ETAPA Unicamp QUESTÃO 13 O uso do sistema de localização GPS (Global Positioning System) cresceu bastante nos últimos tempos devido principalmente à existência do sensor GPS na maioria dos celulares dispo- níveis no mercado. Nesses celulares, o sinal de GPS tem sido usado para localização do aparelho em mapas, para obter sugestões de rotas e até em jogos. Considere que os satélites responsáveis por enviar o sinal GPS encontram-se a aproximadamente R GPS = 27.000 km do centro da Terra, seu período de rotação em torno do centro da Terra é T GPS = 12 horas e sua órbita é circular. a) Qual é a velocidade escalar média de um satélite do sistema GPS? b) Os satélites de GPS enviam continuamente as três coordenadas que determinam sua posição atual e o horário do envio da mensagem. Com as informações de 4 satélites, o receptor pode de- terminar a sua posição e o horário local. Para garantir a precisão dessas informações, efeitos rela- tivísticos são considerados na determinação do horário enviado pelos satélites. Os relógios loca- lizados nos satélites são afetados principalmente por efeitos da relatividade restrita, que atrasam os relógios, e da relatividade geral, que adiantam os relógios, conforme mostra a figura abaixo. Qual é a distância do centro da Terra R e o período T da órbita em que os efeitos da relatividade geral e da relatividade restrita se cancelam, ou seja, quando a soma dos dois efeitos é zero? 6 _ 4 _ 3 _ 2 _ 1 0 1 2 Correção no tempo do relógio para cada segundo na Terra [10 _ 10 s] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Distância do centro da Terra [10 3 km] 21 22 23 24 25 26 27 r e l a t i v i d a d e g e r a l relatividade g eral r e l a t i v i d a d e r e s t r i t a r elatividade restrita Resposta a) Da definição de velocidade escalar média, vem: v t s T R 2 12 2 3 27 000 m GPS GPS & $ $ $ $ π Δ Δ = = = v m = 1,35 ⋅ 10 4 h km b) Do gráfico podemos concluir que os efeitos da relatividade geral e da relatividade restrita se cancelam para uma distância do centro da Terra R = 9 ⋅ 10 3 km. Pela Terceira Lei de Kepler, o período T da órbita para que os efeitos relativísticos se cance- lem é dado por: ( ) ( ) T T R R T 12 27 10 9 10 GPS GPS 2 2 3 3 2 2 33 33 & & $ $ = = T h 3 4 3 =

O uso do sistema de localização GPS (Global Positioning … · ETAPA U QUESTÃO 13 O uso do sistema de localização GPS (Global Positioning System) cresceu bastante nos últimos

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ETAPA Unicamp

QUESTÃO 13

O uso do sistema de localização GPS (Global Positioning System) cresceu bastante nos últimos tempos devido principalmente à existência do sensor GPS na maioria dos celulares dispo-níveis no mercado.Nesses celulares, o sinal de GPS tem sido usado para localização do aparelho em mapas, para obter sugestões de rotas e até em jogos. Considere que os satélites responsáveis por enviar o sinal GPS encontram-se a aproximadamente RGPS = 27.000 km do centro da Terra, seu período de rotação em torno do centro da Terra é TGPS = 12 horas e sua órbita é circular.a) Qual é a velocidade escalar média de um satélite do sistema GPS?b) Os satélites de GPS enviam continuamente as três coordenadas que determinam sua posição atual e o horário do envio da mensagem. Com as informações de 4 satélites, o receptor pode de-terminar a sua posição e o horário local. Para garantir a precisão dessas informações, efeitos rela-tivísticos são considerados na determinação do horário enviado pelos satélites. Os relógios loca-lizados nos satélites são afetados principalmente por efeitos da relatividade restrita, que atrasam os relógios, e da relatividade geral, que adiantam os relógios, conforme mostra a figura abaixo. Qual é a distância do centro da Terra R e o período T da órbita em que os efeitos da relatividade geral e da relatividade restrita se cancelam, ou seja, quando a soma dos dois efeitos é zero?

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21 22 23 24 25 26 27

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relatividade restritarelatividade restrita

Respostaa) Da definição de velocidade escalar média, vem:

vts

TR2

122 3 27 000

mGPS

GPS &$ $ $ $π

∆∆= = = vm = 1,35 ⋅ 104

hkm

b) Do gráfico podemos concluir que os efeitos da relatividade geral e da relatividade restrita se cancelam para uma distância do centro da Terra R = 9 ⋅ 103 km.Pela Terceira Lei de Kepler, o período T da órbita para que os efeitos relativísticos se cance-lem é dado por:

( )

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12 27 10

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