Ana Paula Noro

O USO DO SOFTWARE CABRI-GOMTRE II PARA O ENSINO DOS NMEROS COMPLEXOS

Santa Maria, RS 2008

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Ana Paula Noro

O USO DO SOFTWARE CABRI-GOMTRE II PARA O ENSINO DOS NMEROS COMPLEXOS

Trabalho final de graduao apresentado ao Curso de Matemtica rea de Cincias Naturais e Tecnolgicas, do Centro Universitrio Franciscano, como requisito parcial para obteno do grau de Licenciado em Matemtica.

Orientadora: Leila Brondani Pincolini

Santa Maria, RS 2008

3 Ana Paula Noro

O USO DO SOFTWARE CABRI - GOMTRE II PARA O ENSINO DOS NMEROS COMPLEXOS

Trabalho Final de Graduao apresentado ao Curso de Matemtica rea de Cincias Naturais e Tecnolgicas, do Centro Universitrio Franciscano, como requisito parcial para obteno do grau de Licenciado em Matemtica.

_________________________________________ Leila Brondani Pincolini Orientadora (Unifra)

_________________________________________ Ana Maria Coden Silva

_________________________________________ Rosane Rossato Binotto

Aprovado em ......... de ................................. de .............

4 RESUMO

O uso das tecnologias tem-se tornado cada vez mais necessrio e comum nos espaos educacionais em particular nas aulas de matemtica. Com esse propsito foi realizada uma pesquisa bibliogrfica para qual analisamos o software Cabri-Gomtre II, tal software permite ao aluno fazer o desenho geomtrico e a anlise do mesmo. Entre outros aspectos que vai muito alm da manipulao dinmica imediata das figuras ele permite visualizar lugares geomtricos materializando a trajetria de um ponto escolhido enquanto que outro ponto est sendo deslocado, respeitando as propriedades particulares da figura. Ele permite tambm medir distncias, ngulos e observar a evoluo em tempo real durante as modificaes da figura. O software Cabri-Gomtre contribui para o aprimoramento da prtica pedaggica, possibilitando situaes de ensino-aprendizagem em que propicia que o aluno construa o seu conhecimento matemtico. Neste trabalho, apresentamos um pouco da histria dos nmeros complexos, e do software CabriGomtre, mas o principal objetivo desenvolver atividades com os nmeros complexos, suas propriedades e operaes, tendo como ferramenta as novas tecnologias no caso um software educativo. Sendo que esses softwares so desenvolvidos com o objetivo de contribuir para a melhoria do ensinoaprendizagem de Matemtica.

Palavras-chave: cabri-gomtre, nmeros complexos e ensino-aprendizagem.

ABSTRACT The use of technology has become increasingly necessary and common spaces in educational classes, particularly in mathematics, for this purpose a literature search was conducted in which analyzes Cabri software-Geometra II, this software allows the student to do the design geometric and analysis of it. Among other things that go far beyond the immediate dynamic manipulation of figures he shows loci materializing the trajectory of a chosen point while another section is being moved, while the private properties of the figure. He will also measure distances, angles and observe developments in real time during the changes of the figure.

The software Cabri-Geometra contributes to the improvement of practice teaching,

5 allowing the teaching-learning situations in which provides the student builds his mathematical knowledge. We present a little history of complex numbers, and softwareCabri Geometry, but its main goal is to develop activities with the complex numbers, their properties and operations, and new technologies as a tool for an educational software. Since this software is developed with the aim of contributing to the improvement of teaching and learning of mathematics.

Keywords:cabri-gomtre, complex numbers and teaching-learning.

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SUMRIO 1 INTRODUO ...........................................................................................................7 2. REFERENCIAL TERICO .......................................................................................7 2.1 O USO DO COMPUTADOR NA AULA DE MATEMTICA ..............................8 3.1 HISTRIA DOS NMEROS COMPLEXO..............................................................9 3.2 SOBRE O CABRI -GEOMTRE.............................................................................13 3.3 NMEROS COMPLEXOS E O CABRI- GEOMTRE.........................................20 4 CONCLUSO ............................................................................................................37 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ..........................................................................38

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1 INTRODUO

Muitos so os recursos de informtica desenvolvidos durante os ltimos anos, tendo como objetivos motivar o ensino aprendizagem assim como ampliar os horizontes das metodologias de ensino. O surgimento de softwares educativos traz para o ensino da matemtica, disciplina considerada um dos pilares da educao bsica, uma perspectiva muito animadora de metodologias diferenciadas que podem tornar o ensino muito mais significativo. Atravs dos ambientes informatizados de aprendizagem, o aluno assume papel de investigador de conceito e de propriedades.. Um desses programas com esse propsito educativo o programa CabriGomtre II, que um software comercial, desenvolvido por Jean- Marie Laborde e Franck Bellemain no Institun d Informatique et Mathmatiques Appliques de

Grenoble (IMAG), um laboratrio de pesquisa em estruturas discretas e didticas da Universidade de Joseph Fourier em Grenoble, Frana, acoplado ao Centre Nacional de Recherches Scientifique (CNRS), com a colaborao da Texas Instruments, utilizado principalmente para o ensino da geometria plana, mas que tambm pode ser usado para o ensino de trigonometria e nmeros complexos. Esse programa traz ao ensino aprendizagem, uma linguagem visual, que torna a linguagem matemtica muito mais interessante, sua interatividade, permite fazer conjecturas de novas propriedades, confirmao de resultados. No presente trabalho estudamos o surgimento dos nmeros complexos, o conceito, suas propriedades e operaes, alm disso, pretende-se desenvolver atividades envolvendo os nmeros complexos utilizando-se o software Cabri Gomtre II.

2 REFERENCIAL TERICO

2.1 O COMPUTADOR NA AULA DE MATEMTICA

O ensino vem sofrendo modificaes em todos os aspectos, a todo instante. E o professor deve estar apto a essas transformaes. Segundo SANCHO (1998, 30), a interao do indivduo com suas tecnologias, tem transformado profundamente o mundo

8 e o prprio indivduo. De certa forma a educao segue uma evoluo que vem desde a poca das palmatrias at hoje, onde encontramos um ensino atravs de programas de computador e meios eletrnicos. Existe uma grande mudana de hbitos para a nossa prpria adequao ao que criamos. Segundo ALMEIDA JUNIOR (2000, 16), A informtica aplicada Educao tem funcionado como instrumento para a inovao. Por se tratar de uma ferramenta poderosa e muito valorizada pela sociedade, facilita a criao de propostas que ganham logo a ateno de professores, coordenadores, diretores, pais e alunos. A tecnologia deve ser parceira do professor no sentido de conhecer e analisar todos os recursos disponveis buscando a sua melhor utilizao. No adianta fazer uso da tecnologia se isso no for feito da melhor maneira possvel. As crianas e os adolescentes at podem apresentar, muitas vezes, um conhecimento bem mais adiantado de todas as ferramentas tecnolgicas hoje existentes, mas esse conhecimento no trar proveito se ele no for utilizado de maneira crtica. Escola e professor devem caminhar juntos procurando desenvolver, em todos os trabalhos envolvendo a tecnologia, a competncia crtica dos alunos. O uso adequado da tecnologia no ambiente escolar requer cuidado e ateno por parte do professor para avaliar o que vai ser usado e reconhecer o que pode ou no ser til para facilitar a aprendizagem de seus alunos tornando-os crticos, cooperativos e criativos. Entretanto segundo AREA (1991b, citado por SANCHO,67) o professor sujeito ativo e adulto que dispe de sua prpria forma de entender a prtica e de implement-la. Assim suas concepes e habilidades profissionais definem a utilizao que iro fazer de diferentes programas e meios educativos. A Matemtica como sabemos a disciplina exata que mais impe medo nos estudantes, isso ocorre, pois a maioria dos alunos, por exemplo, do ensino mdio se dedicam em decorar frmulas e clculos no desenvolvendo seu raciocino. Sendo assim, porque no fazer uso da tecnologia para tornar as aulas de Matemtica mais dinmica, de melhor compreenso sendo que dispomos nos dias de hoje de inmeros softwares que ajudam na editorao de frmulas, no desenho grfico, geomtrico e outros afins. Esses softwares so denominados softwares educativos, os quais doem ser definidos como um conjunto de recursos informticos projetados com a inteno de serem usados em contextos de ensino e de aprendizagem. Tais programas abrangem finalidades muito diversas que podem ir da aquisio de conceitos, at o desenvolvimento das habilidades bsicas ou da resoluo de problemas SANCHO (1998,169).

9 A matemtica sem dvida uma das matrias mais temidas pelos alunos em geral, e como tal, pode-se ver que quanto mais recursos e meios reais forem utilizados numa aula maior ser o aproveitamento da matria. A escola no se justifica pela apresentao do conhecimento obsoleto e ultrapassado e, sim em falar em cincias e tecnologia DAMBRSIO (2002,80) Mas deve-se ter em mente que uso das tecnologias em prol da educao, no vai substituir o quadro negro, nem to pouco a figura do professor nunca ficar ultrapassada, mas para isso so necessrios estratgias, planejamentos e projetos pedaggicos, instrumentos fundamentais para a incorporao de qualquer meio de comunicao ao ensino.

3 DESENVOLVIMENTO

Para melhor compreenso dos nmeros complexos apresentamos inicialmente um pouco de sua histria.

3.1 A HISTRIA DOS NMEROS COMPLEXOS

Vindo contradizer com o que muitos dizem, os nmeros complexos no foram inventados para resolver equaes do segundo grau e sim para sanar insuficincias no conjunto dos reais. Pois foram a partir de equaes do terceiro grau que se sentiu necessidade de utilizar os nmeros complexos. A soluo apresentada para equaes da forma x 3 = px 2 + q era dada da seguinte forma:

Sabe-se que em 1515 Scipione Del Ferro conseguiu determinar um mtodo para encontrar a soluo da equao x 3 = px + q , mas, porm no chegou a publicar, pois achava que teria mais vantagem em manter segredo, caso acontecesse um desafio entre os sbios tinha uma carta na manga, pois alm da fama o vencedor levava uma recompensa em dinheiro pela resoluo de um problema. O que era muito comum na poca, cientistas faziam descobertas, mas ficavam em segredo, e muitas vezes morriam sem passar seus conhecimentos adiante.

10 Quinze anos aps Tonini da Coi props a Tartaglia um desafio que consistia na resoluo das equaes

x 3 + 6 x 2 + 8 x = 1000 e x 3 + 3x 2 = 5 . Mas no teve nem

resposta, pois Tartaglia no sabia como resolver tais equaes. Em 1535 Tartaglia recebe outro convite dessa vez de Antonio Fiori para um duelo intelectual, no qual estavam propostos 30 problemas da forma x3 + px = q . Os quais Tartaglia desenvolveu rapidamente, sem apresentar dificuldades, por sua vez apresentou ainda outros, entre os3 quais cbicas da forma x + px = q , que Antonio Fiori no foi capaz de resolver.

Cardano ao ficar sabendo que foi encontrado o mtodo para a resoluo de equaes do 3 grau, tenta que Tartaglia lhe ensine a soluo, junto com sua demonstrao. Mas foi somente em 1539 que Tartaglia revelou seu mtodo a Cardano, este estando sobre o juramento de nunca o revelar s podendo escrever em cdigos para depois de sua morte ningum descobrir seu segredo. A revelao foi feita na forma de um poema, que apresentava 25 versos sendo que os nove primeiros dizem respeito 3 equao. x + px = q . Apresentamos a seguir o poema escrito por Tartaglia com a

respectiva traduo:Quando chel cubo com le cose apresso. Se agualia a qualche Nmero discreto Trouan dui altri differenti in esso, Dapoi terrain questo per consueto Chle lor producto sempre si egale Al terzo cubo dell cose neto. El resduo poi suo generale Delli lor tali cubi bem sotrati Varra la tua cosa principale(...) E faz como usual Que o produto seja sempre igual Ao cubo da tera parte das coisas Ento a diferena Dos seus lados cbicos bem subtrados Valer a tua coisa principal Quando o cubo junto com as coisas Se igualar a algum nmero Descobrem dois outros que difiram do conhecido

x + px = q ab = q p 3

a *b =

x = 3 a 3 b

(Pedro Nunes, 1950, p. 404)

Essa foi forma que Tartaglia encontrou para fazer a revelao que em termos3 atuais vem nos dizer: Dada equao x + px = q , determinar dois nmeros a e b cuja

diferena seja q e cujo produto seja o cubo de

p . Desta forma era feita a revelao 3

3 que em termos atuais corresponde a: dada equao x + px = q , determinar dois

11 p . A soluo . No 3

nmeros a e b cuja diferena seja q e cujo produto seja o cubo de era tecido nenhum comentrio que indicava qualquer prova.

Cardano tendo em mos a soluo consegue sua demonstrao sem problemas, porm no pode fazer sua publicao devido promessa feita a Tartaglia. No ano de 1542 Cardano juntamente com Ferrari consegue permisso de Della Nave para examinar os manuscritos de Scipione del Ferro, sendo encontrado entre esses3 a soluo da equao x + px = q .

Em 1545, Jernimo de Cardano (1501 -1576), em seu livro Ars Magna(A Grande Arte), mostrou o mtodo para resolver equaes do terceiro grau que hoje conhecido como Frmula de Cardano. Bombelli (1526-1572), discpulo de Cardano, em3 sua lgebra, aplicou frmula de Cardano a equao x = 15 x + 4 . Efetuando os

clculos chegou a: . Embora no se sentisse completamente vontade com as razes quadradas de nmeros negativos, da mesma forma que Cardano ele chama essa expresso de sofstica. Bombelli operava livremente com elas, aplicando-lhes as regras usuais da lgera. Bombelli mostrou que:

(2 + 1) 3 = 2 3 + 3.2 2. 1 + 3.2.( 1) 2 + ( 1) 3 = 8 + 12 1 6 1 = 2 + 11 1 = 2 + 121Logo,3

2 + 121 = 2 + 13

E analogamente

2 121 = 2 1 .

Portanto, o valor de x x = 2 + 1 + 2 1 = 4 . Como 4 realmente a raiz3 da equao x = 15 x + 4 , a partir da outros matemticos passaram a usar as razes de

nmeros complexos, mesmo se sentindo um pouco desconfortvel com isso. Bombelli trabalhava sistematicamente com a quantidade unidade imaginria e a representamos como i. Cardano em sua obra d o crdito da descoberta a Scipione del Ferro. O que deixa Tartaglia furioso se sentido trado por Cardano, vindo a publicar o livro Cuesiti

1 , que hoje a conhecemos com

12 et invezioni diverse, no qual dava sua verso e destratava Cardano, esse no se incomodando com os desatinos de Tartaglia. Mesmo assim Ferrari amigo fiel de

Cardano o desafia pra um debate pblico, Tartaglia no aceita no primeiro momento, mas acaba concordando. De fevereiro de 1547 a junho de 1548 houve um duelo entre Ferrari e Tartaglia com doze panfletos, que eram conhecidos como Cartelli de sfida mathemtica, onde os dois puderam expor as suas razes. No dia dez de agosto de1548 ficou marcado o debate final, no jardim da igreja Frati Zoccolanti em Milo. No fim do primeiro dia vendo que iria perder Tartaglia regressou para Veneza, deixando a vitria moral para o desafiante. Agora perdida a honra da descoberta e cheio de raiva de Cardano volta para Brescia onde tem seu contrato da Universidade de Brescia, alegando estar insatisfeito com o seu trabalho. Em resumo sobre a evoluo dos complexos temos que: O smbolo de

1 foi introduzido em 1629 por Alberte Girard. 1 por Leonhard

O smbolo i foi usado pela primeira vez para representar

Euler em 1777, e apareceu impresso pela primeira vez em 1784 tornado amplamente conhecido aps seu uso por Gauss em 1801. Os termos real e imaginrio foram empregados pela primeira vez por Ren Descartes em 1637. A expresso nmero complexo foi introduzida por Carl Friedrich Gauss em 1832. O primeiro a formular a representao grfica foi um agrimensor noruegus chamado de Caspar Wessel (1745-1818) o qual representa o nmero complexo a + bi pelo vetor do plano com origem O ( a origem dos eixos coordenados) e com extremos no ponto P de coordenadas (a,b), ou seja, da mesma forma como feita nos dias atuais. Finalmente a formalizao dos nmeros complexos como pares ordenados de nmeros reais seria desenvolvida em 1833 por Wilian Rowan Hamilton (1805-1865) e em 1847 por Agustn Cauchy ( 1789-1857). Com tudo temos assim o que hoje conhecemos como nmeros complexos. Para auxiliar no ensino dos nmeros complexos foi desenvolvido um software matemtico chamado CabriGomtre II, que permite mostrar aos alunos que os nmeros complexos no foram inventados somente para resolver exerccios sobre nmeros complexos.

3.2 SOBRE O CABRI GOMTRE

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O Cabri -Gomtre II um software com o qual podem ser abordadas atividades de geometria, de trigonometria e inclusive nmeros complexos. Esse programa possui excelentes propriedades que o tornam um forte aliado ao professor de ensino fundamental e mdio. Entre as principais caractersticas destacam se: Permite construir figuras geomtricas e deform-las mantendo suas propriedades. Permite criar novas funes (macro construes) e adicion-las na barra menu. Excelente interface. Fcil de manusear. Alm da construo de pontos, retas, tringulos, polgonos e crculos, possibilitam tambm a construo de cnicas; Utiliza coordenadas cartesianas e polares, para atividades em Geometria Analtica; Permite a criao de macros para construes que se repetem com freqncia; Diferencia os objetos criados, atravs de atributos de cores e estilos de linha; Permite explorar transformaes de simetria, translao e rotao. Ilustra as caractersticas dinmicas das figuras por meio de animaes.

3.2.1 CONHECENDO O CABRI GOMTRE II

O Cabri - Gomtre funciona como uma folha grande de caderno de desenho, na qual podemos desenhar os objetos geomtricos e interagir com as figuras. O programa abre em uma tela onde, no topo esto apresentados, o menu e a barra de ferramentas, onde esto os botes que so chamados de caixas de ferramentas. Quando clicamos com o boto esquerdo do mouse e mantemos o boto pressionado aparecem as caixas com as ferramentas que ficam ocultas, para selecionar basta ir com o ponteiro e clicar na opo desejada. Vejamos alguns exemplos de botes disponveis no software:

1) Ponteiro: A janela 01, contm opo ponteiro

que pode assumir as seguintes

formas de acordo com as tarefas a serem desenvolvidas, observe a figura 1:

Ponteiro: Para selecionar as opes. Lpis: Quando o ponteiro movido para a tela, serve pra desenhar.

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Mo apontando: Quando aparece mensagens do tipo por esse ponto, nesta reta, etc. Mo cumprimentando: Quando pressionado o mouse, a mo apontando se transformaem mo cumprimentando, serve para mover.

Uma lupa: Quando tiver mais de um objeto a marca da mo apontando transforma-senuma lupa com a mensagem Qual objeto?

Giro: Gira um objeto ao redor de um ponto selecionado ou de seu centro geomtrico. Semelhana: Amplia ou reduz um objeto tendo como referncia um ponto ou seucentro geomtrico.

Giro e Semelhana: Gira e simultaneamente, cria um objeto semelhante aoselecionado.

Fig. 1 Ponteiro

2) Ponto: Na janela 02 tem-se as seguintes opes, conforme a figura 2: Ponto: Cria um ponto em um espao livre, em um objeto ou em uma interseco. Ponto sobre Objeto: Cria um ponto sobre um objeto. Ponto de Interseco: Cria um ponto na interseco de dois objetos.

Fig. 2 - Ponto

3) Retas: Na janela 03 so apresentadas as seguintes opes, veja figura 3: Reta: Constri a reta que passa por dois pontos ou a reta por um ponto com umadireo dada.

Segmento: Constri um segmento de reta atravs das suas extremidades. Semi-reta: Constri uma semi-reta, definida por um ponto e uma direo.

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Vetor: Constri um vetor com mdulo e direo definida por dois pontos extremos. Tringulo: Constri um tringulo, definido por trs pontos (vrtices). Polgono: Constri um polgono de n lados. (O ltimo ponto deve coincidir com oponto inicial).

Polgono regular: Constri um polgono regular de at 30 lados. Deve-se indicar ocentro, um vrtice e um ponto que fixe o nmero de vrtices. (O polgono ser convexo se o desenvolvimento for feito no sentido horrio)

Fig. 3 Reta

4) Curva: Na janela 04 so apresentadas as seguintes opes, veja figura 4. Circunferncia: Constri uma circunferncia definida por um ponto (centro) e o raio. Arco: Constri um arco, definido por um ponto inicial, um ponto que determina acurvatura e um ponto final.

Cnica: Constri uma cnica (elipse, parbola e hiprbole) definida por cinco pontos.

Fig. 4 Curva

5) Construir: Na janela 05 so apresentadas as seguintes opes, como na figura 5. Reta perpendicular: Por um ponto, constri a reta perpendicular a uma reta, semi-reta,segmento, vetor, eixo ou lado de um polgono.

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Reta paralela: Por um ponto, constri a reta paralela a uma reta, semi-reta, segmento,vetor, eixo ou lado de um polgono.

Ponto mdio: Constri o ponto mdio de um segmento, do lado de um polgono ouentre dois pontos.

Mediatriz: Constri a perpendicular pelo ponto mdio de um segmento, do lado de umpolgono ou entre dois pontos.

Bissetriz: Constri a bissetriz de um ngulo definido por trs pontos. Soma de vetores: Constri a soma de dois vetores a partir de um ponto definido comoorigem do vetor resultante.

Compasso: Constri uma circunferncia a partir de seu centro (ponto), com raiodefinido pelo comprimento de um segmento ou pela distncia entre dois pontos.

Transferncia de medidas: Copia um comprimento, indicado por um nmero, em umasemi-reta, eixo, vetor ou circunferncia (neste ltimo caso, deve-se selecionar uma circunferncia e um ponto sobre ela).

Lugar geomtrico: Constri automaticamente o lugar geomtrico descrito pelomovimento de um objeto ao longo de uma trajetria.

Redefinir objeto: Redefine as caractersticas de dependncia de um objeto definidopreviamente.

Fig. 5 Construir

6)Transformar: Na janela 06 so apresentadas as seguintes opes, veja a figura 6. Simetria axial: Constri a imagem simtrica de um objeto em relao a uma reta, semireta, segmento, eixo ou lado de um polgono.

Simetria central: Constri a imagem de um objeto atravs de uma rotao de 180 grausem torno de um ponto.

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Translao: Constri a imagem de um objeto transladada por um dado vetor. Rotao: Constri a imagem girada ao redor de um ponto por um dado ngulo. Homotetia: Constri a imagem dilatada de um objeto desde um ponto por um fatorespecificado.

Inverso: Constri um ponto inverso, definido por um ponto e uma circunferncia.

Fig.6 Transformar

7) Macro: Na janela 07 so apresentadas as seguintes opes, conforme figura 7. Objetos iniciais: Especifica o objeto que define o objeto final. Objetos finais: Especifica o objeto final resultante da definio do objeto inicial. Definir macro: Abre a caixa de dilogo para nomear e salvar um macro construo.

Fig. 7- Macro

8) Propriedades: Na janela 08 so apresentadas as seguintes opes, observe a figura 8. Colinear: Verifica se trs pontos pertencem ou no a uma reta. Paralelo: Verifica se duas retas, semi-retas, segmentos, vetores ou lados de umpolgono so paralelos ou no.

Perpendicular: Verifica se duas retas, semi-retas, segmentos, vetores ou lados de umpolgono so perpendiculares ou no.

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Eqidistantes: Verifica se um ponto eqidistante de outros dois ou no. Pertencente: Verifica se um ponto est sobre um objeto.

Fig. 8 Propriedades

9) Medir: Na janela 09 so apresentadas as seguintes opes, veja a figura 9. Distncia e comprimento: Mostra a distncia, comprimento, permetro, comprimentoda circunferncia ou de um arco de um objeto correspondente.

rea: Mede a rea de polgonos, crculos e elipses. Inclinao: Mede a inclinao de uma reta, semi-reta, segmento ou vetor. ngulo: Mede um ngulo definido por trs pontos, sendo o segundo ponto o seuvrtice.

Equao e coordenadas: Gera as coordenadas de um ponto ou a equao de uma reta,circunferncia ou cnica.

Calculadora: Gera o resultado de uma expresso matemtica; pode conter valoresnumricos e/ou medidas.

Planilha: Cria uma tabela para valores numricos, medidas, clculos, ou coordenadasde um ponto.

Fig. 9 Medir

10) Exibir: Na janela 10 so apresentadas as seguintes opes, veja a figura 10. Rtulo: Anexa um rtulo criado pelo usurio a um ponto, reta ou circunferncia. Comentrios: Coloca um comentrio em uma posio selecionada no desenho.

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Edio numrica: Cria e edita valores numricos; o valor, preciso, unidades e corpodem ser modificados.

Marca de ngulo: Coloca uma marca em um ngulo definido por trs pontos; osegundo ponto o vrtice.

Fixo/ livre: Fixa a localizao de um ponto. Libera um ponto fixo. Rasto On/ Off: Desenha a trajetria de um objeto medida que ele se move. Comutaentre ativado e desativado.

Animao: Automaticamente translada, gira ou amplia um objeto selecionado nadireo especificada, puxando a mola de animao na direo oposta.

Mltipla animao: Anima mltiplos objetos ao longo de mltiplas trajetrias;pressione Return/Enter para iniciar.

Fig.10-Exibir

11) Desenhar: Na janela 11 so apresentadas as seguintes opes, observe a figura 11: Esconder/ Mostrar: Esconde objetos da tela de desenho. Mostra objetos escondidos. Cor: Muda a cor de um objeto. Preencher: Preenche o interior de uma tabela, de um campo de textos, polgono oucircunferncia com uma cor escolhida.

Espessura: Muda a espessura da linha de um objeto. Pontilhado: Muda o padro da linha de um objeto. Modificar aparncia: Muda a aparncia de um objeto a partir da paleta de atributos. Mostrar eixos: Mostra os eixos do plano cartesiano. Novos eixos: Cria um sistema de eixos definido por trs pontos; o primeiro pontodetermina a origem, o segundo o eixo x, e o terceiro o eixo y.

Definir grade: Coloca uma grade em um sistema de coordenadas selecionado.

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Fig.11 - Desenhar

Essas so as principais ferramentas que podemos usar no software CabriGomtr, destacamos tambm alguns comandos mais utilizados como:

Apagando tudo: Menu editar, escolha a opo selecionar tudo, ficar tudopiscando, em seguida aperte a tecla delete.

Apagando apenas uma figura: Clique no boto ponteiro, leve o cursor figuraque deseja apagar, aparecer uma mensagem especificando a figura; clique; a figura ficar piscando aperte a tecla delete.

Permetro: (tringulo, polgono, etc): Colocar o cursor na figura at aparecer amensagem permetro da figura e clique.

rea: Pressione o boto medir e escolha a opo rea, v figura que desejamedir a rea at aparecer mensagem especificando a figura e clique.

Movendo objetos (ponto, reta, semi-retas, etc): Pressione o boto ponteiroleve o cursor ao objeto at aparecer mensagem especificando este objeto, o ponteiro fica na forma de uma mo apontando; clique e o ponteiro fica uma mo cumprimentando, com o mouse pressionado mova o objeto.

Usando a calculadora: Pressione o boto medir e escolha a opo calculadora;aparecer uma calculadora no inferior da tela, v com o ponteiro ao nmero at aparecer escrito este nmero e clique; depois clique na funo calculadora, na outra medida e no sinal de igual.

3.3 NMEROS COMPLEXOS E O CABRI- GOMTRE IIAntes de enunciarmos atividades apresentamos a definio de nmeros complexos e sua representao geomtrica.

Definio: Os nmeros complexos constituem um conjunto C , em que todonmero complexo pode ser escrito de forma nica a + bi , onde a e b so reais ( a

21 chamado parte real e b chamado parte imaginria do complexo), escreve-se de forma abreviada Re(a + bi ) = a e Im(a + bi ) = b , onde i = 1 . Os nmeros complexos foram construdos de tal modo que sejam vlidas as mesmas propriedades vlidas para os nmeros reais.

Representao de um nmero complexo: Fixado um sistema de coordenadasno plano o nmeros complexo z = a + bi , representado pelo ponto P(a, b). O ponto P chamado de Imagem do complexo z. Como a correspondncia entre os complexos e suas imagens um-a-um, freqentemente identificaremos os complexos e suas imagens escrevendo

(a, b ) = a + bi .

A representao geomtrica dos nmeros complexos

mediante os pontos do plano foi decisiva para que os nmeros complexos fossem aceitos como nmeros. A representao desses nmeros era clara para autores como, Cotes, De Moivre, Euler e Vandermonte, todos esses autores tentaram resolver a equao x n 1 = 0 pensando em suas solues como vrtices de um polgono regular de n lados, porm essa idia ainda era incompleta, pois nenhum desse autores achou a representao geomtrica para as operaes com complexos. Casper Wessel em (1745-1818), um agrimensor noruegus, foi o primeiro a formular uma tal representao. Uma tentativa foi publicada em 1799 nas memrias da Real academia da Dinamarca, onde ali escreveu: Vamos designar por + 1 a unidade retilnea positiva, por + e outra perpendicular a primeira, com a mesma origem; ento o ngulo de direo de +1 ser 0, o de 1 ser 180, o de e ser 90 e o de e ser 90ou 270 o . Entretanto em 1806, Jean- Robert Argand (1768 1822), bibliotecrio suo, autodidata publica um livro intitulado Essai sur la maniri de representer ls quantits imaginires dans ls constructions gomtriques. Nesse livro ele observava que se multiplicssemos +1 por i obteremos i se voltssemos a multiplicar o resultado por i teramos -1. Ento ele representava i como uma rotao de 90 em sentido anti- horrio. Mas quem verdadeiramente tornou a interpretao geomtrica amplamente aceita foi Carl Friederich Gauss (1777-1855), plano no qual at hoje representado os nmeros complexos esse plano chamado de plano de Argand- Gauss. Levamos em conta que os nmeros complexos so dados da forma z = a + bi ,2 em que i unidade imaginria i = 1 podendo ser representado como um vetor no

22 plano cartesiano em que a parte real a representada no eixo das abscissas Ox e a parte imaginria bi representada no eixo das ordenadas Oy. Apresentamos algumas atividades com o software Cabri Gomtre II, para representao e a interpretao geomtrica dos nmeros complexos de suas operaes.

3.3.1 REPRESENTAO DE UM NMERO COMPLEXO Atividade 1: Represente no plano de Gauss o nmero complexo z = a + bi .O nmero real a denominado parte real de z (Re(Z)) e o nmero real b denominada parte imaginria de z (Im(Z)).

1 passo: Mostre os eixos (janela 11) e rotule a origem como O.Na janela 10 escolha a opo comentrio, edite no eixo das ordenadas a palavra Im(z), faa o mesmo no eixo das abscissas editando a palavra Re(z). Temos assim representados os eixos, real e imaginrio, sendo que agora o plano cartesiano representa o plano de Gauss.

2 passo: Clique na janela 3 e selecione a opo vetor. Aps ter selecionado a opovetor clique sobre O e em um ponto qualquer do plano, temos assim um vetor, rotule ele como z = a + bi .

3 passo: Clique na janela 3 e escolha a opo reta. Construa uma reta paralela aoeixo das ordenadas passando pela extremidade do vetor, em seguida construa uma reta paralela o eixo das abscissas passando pela extremidade do vetor.

4 passo: Clique novamente sobre a janela 3 e escolha a opo segmento, construaum segmento com extremidade na interseco da reta com o vetor. Repita a operao com as duas retas.

5 passo: Clique na janela 11 e escolha a opo esconder/mostrar, e clique sobre asretas construdas. Em seguida obtenha as projees da extremidade do vetor sobre os eixos Re(z) e Im(z). Aps construa os vetores sobre as projees e denomine Oa sobre o eixo Re(z) e Ob sobre o eixo Im(z).

6 passo: Na janela 11 escolha a opo pontilhado, em seguida clique sobre ossegmentos construdos no passo 4.

7 passo: Calcule as coordenadas dos vetores, usando a opo equaes ecoordenadas na janela 9.

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Fig. 12 Representao de um nmero complexo

Exemplo 1: Represente no plano de Gauss o nmero complexo z = 1 + 2i , veja figura 12.1. 1) Construa o plano de Gauss conforme descrito no passo 1. 2) Clique sobre a janela 3 e escolha a opo reta. Construa uma reta paralela ao eixodas ordenadas passando pela abscissa de valor 1, em seguida construa uma reta paralela ao eixo das abscissas passando pela ordenada de valor 2.

3) Clique sobre a janela 2 e escolha a opo ponto de interseco e marque o pontode interseco das duas retas, temos assim o ponto P de coordenadas (1,2) .

4) Clique na janela 3 e escolha a opo segmento, trace os segmentos do ponto P a suarespectiva abscissa e ordenada.

5) Clique na janela 11 e escolha a opo esconder/mostrar, e clique sobre as retasconstrudas.

6) Na janela 11 escolha a opo pontilhado, em seguida clique sobre os segmentosconstrudos no passo 4.

7) E por fim escolha a opo vetor na janela 3, construa um vetor com origem em O eextremidade no ponto P. Temos assim a representao geomtrica do nmero complexo z = 1 + 2i .

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Fig. 12.1 - Exemplo representao de um nmero complexo

3.3.2 OPERAES COM NMEROS COMPLEXOS Atividade 2: A multiplicao de um nmero da forma z = a + bi por um nmero real puroConsiderando a construo feita na atividade 1), queremos multiplicar o vetor encontrado por um nmero real h.

8 passo: Clique na janela 10 e selecione a opo edio numrica clique em umcanto digite um valor qualquer, por exemplo, 3. Aps feito isso escolha a opo comentrio e edite h = na frente do nmero editado.

9 passo: Escolha na janela 6, a opo Homotetia. E siga os seguintes passos: cliquesobre o vetor, sobre o nmero editado e por fim sobre o ponto de origem do sistema O. Ao fazer isso voc ver um dilogo sendo conduzido, dilatar esse vetor, usando esse fator e por esse ponto. Aps essa operao voc ter um vetor passando pela origem, no mesmo sentido de z = a + bi .

10 passo: Repita o mesmo processo para os vetores Oa e Ob. 11 passo: Calcule as coordenadas dos novos vetores.

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Fig 13 - Produto de um nmero complexo por um nmero real

Aplicando a propriedade distributiva, podemos concluir que h * (a + bi ) o nmero complexo (h a ) + (h b )i .

Exemplo 2: Faa a multiplicao do nmero z = 1 + 2i , por um nmero real h = 2 .Considere a construo feita acima.

1) Clique na janela 10 e selecione a opo edio numrica clique em um canto edigite o valor 2. Aps feito isso escolha a opo comentrio e edite h = na frente do nmero editado.

2) Escolha na janela 6, a opo Homotetia. E siga os seguintes passos, clique sobre ovetor, sobre o nmero editado e por fim sobre o ponto O. Ao fazer isso voc ver um dilogo sendo conduzido, dilatar esse vetor, usando esse fator e por esse ponto. Aps essa operao voc ter um vetor passando pela origem, no mesmo sentido de z = a + bi .

3) Calcule as coordenadas dos novos vetores. Clique sobre a janela 9 e escolha a opoequao e coordenadasem seguida clique sobre a extremidade do vetor.

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Fig 13.1 - Exemplo produto de nmero complexo por nmero real

Note que aplicando a propriedade distributiva temos: 2 * (1 + 2i ) = (2 * 1) + (2 * 2)i = 2 + 4i , logo o vetor encontrado acima corresponde ao nmero complexo 2 + 4i .

Atividade 3: Adio de nmeros complexosQueremos efetuar a adio de dois nmeros complexos:

1 passo. Construa dois vetores no plano complexo de Gauss, z = a + bi e w = c + di .Calcule as coordenadas de z e w, em seguida construa os vetores, Oa = Re(z), Oc = Re(w), Ob = Im(z) e Od = Im(w). Deixe suas coordenadas editadas e os segmentos pontilhados como foi feito nos passos 1 a 6 da atividade 1.

2 passo: Na janela 5 escolha a opo soma de vetores. Para fazer a soma siga osseguintes passos, clique sobre o vetor a + bi , em seguida no vetor c + di , e por ltimo na origem do sistema. Ao terminar voc ter construdo um vetor que passa em O, rotule sua extremidade como z + w e calcule suas coordenadas.

3 passo: Repita o mesmo processo com os demais vetores; Oa + Oc sobre o eixo Re(z),com origem em O, Ob+Od sobre o eixo Im(z) com origem em O.

4 passo: Calcule as coordenadas dos novos vetores. 5 passo: Construa um vetor que liga a extremidade do vetor z a z + w da mesma formacom o vetor w. Obtemos assim o vetor z + w , ou seja, o vetor soma dos nmeros complexos z e w.

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Fig. 14 Soma de dois nmeros complexos

Portanto o nmero complexo que resulta na soma z + w representado geometricamente por um vetor de origem em O, que a diagonal maior do paralelogramo de lados paralelos a z e w, respectivamente. Se os vetores z e w so paralelos, ento soma tem as direes do mesmo se forem opostos, isto , w = z , ento z + w o vetor nulo O de coordenadas (0,0), essa a regra do paralelogramo da soma dos vetores. Podemos observar que para efetuar a soma de dois nmeros complexos basta somar a parte real com a parte real e a parte imaginria com a parte imaginria, note que z + w = (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i , e ainda a operao da adio goza da propriedade comutativa, tambm o elemento neutro da adio o nmero complexo 0 = 0 + 0i . importante observar que essa adio generaliza a adio de nmeros reais quando se trata de nmeros complexos com parte imaginria nula.

Exemplo 3: Efetuar a adio dos nmeros complexos z = 1 + 2i e w = 2 3i . 1) Construa dois vetores no plano complexo de Gauss, z = 1 + 2i e w = 2 3i . 2) Na janela 5 escolha a opo soma de vetores. Para fazer a soma siga os seguintespassos, clique sobre o vetor z = 1 + 2i , em seguida no vetor w = 2 3i , e por ltimo na

28 origem do sistema. Ao terminar voc ter construdo um vetor que passa em O, rotule sua extremidade como z + w e calcule suas coordenadas.

3) Construa um vetor que liga a extremidade do vetor z a z + w, da mesma forma como vetor w. Obtemos assim o vetor z + w , ou seja, o vetor soma dos nmeros complexos z e w.

Fig. 14.1-Exemplo soma de dois nmeros complexos

Note que algebricamente temos: z + w = (1 + 2i ) + (2 3i ) = (1 + 2) + (2 3)i = 3 1i .

Atividade 4: Multiplicao de nmeros complexos. 1 passo: Mostre os eixos (janela 11) e rotule a origem como O. 2 passo: Construa dois nmeros complexos z = a + bi e w = c + di , com a opo vetora partir de O, e calcule as coordenadas usando as opo equaes e coordenadas que se encontra na janela 9.

3 passo: Em seguida escolha a opo distncia e comprimento na janela 9, e mea ocomprimento dos vetores z e w , veremos mais adiante como determinar o mdulo de um nmero complexo com uso do software. Observe que estamos usando a notao de mdulo para o vetor que representa o nmero complexo. Dizemos mdulo do nmero complexo.

4 passo: V a opo 10 e escolha marca de ngulo, faa a marca do ngulo comvrtice na origem O para cada um dos nmeros complexos acima, de forma que o primeiro lado do ngulo seja sempre o eixo positivo Re(z), em seguida calcule suas medidas.

29 O ngulo que acabamos de calcular, chamado de argumento do nmero complexo. As propriedades mencionadas nas operaes acima e a propriedade segundo a qual as partes real e imaginria de um nmero complexo satisfazem a estrutura multiplicativa de um nmero real sugere que a multiplicao de nmeros complexos generaliza tal operao seja da forma.

z * w = (a + bi ) * (c + di ) = (ac + (bd )i 2 ) + (bc + ad )i = (ac bd ) + (bc + ad )i

5 passo: Na janela 9 e escolha a opo calculadora, calcule Re( z * w) = ac bd em( z * w) = bc + ad , inserindo os dados com o mouse, clicando sobre as coordenadasapropriadas de z e w.

6 passo: Transfira os valores calculados de Re( z * w) = ac bd para o eixo Re(z) em( z * w) = bc + ad para Im(z)

7 passo: Construa um ponto de coordenadas ( e( z * w) e m( z * w) ) no plano deGauss e com a opo vetor na janela 3 construa um vetor com origem em O, o rotule como z * w .

8 passo: Calcule o produto dos mdulos z * w com os valores obtidos no passo 3 e asoma dos ngulos dos argumentos arg( z ) + arg( w) com os dados do passo 4. com a opo distncia e comprimento (janela 9) calcule o mdulo do vetor z * w e compare com o com o produto z * w . Manipule os vetores construdos no passo 1 veja o que acontece.

9 passo: Clique na janela 6 e selecione a opo rotao. Clique sobre o vetor w,sobre a medida do arg(z) e finalmente sobre o ponto O. Aparecer um dilogo como segue para orientar os passos girar este vetor, usando este vetor, usando esse ngulo e ao redor deste ponto. Confirme que o vetor obtido o vetor resultante da multiplicao.

observe, sendo z = 2,86 + 0,77i e w = 0,58 + 1,27i ;

z * w = (2,86 + 0,77i ) * (0,58 + 1,27i ) = (2,86 * 0,58) + (2,86 * 1,27)i + (0,77 * 0,58)i + (0,77 * 1,27)i = 1,65 + 3,63i 0,44i + 0,97i = = 2,64 + 3,18i Portanto z * w = 2,64 + 3,18i , como podo ser observado na figura 15.

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Fig. 15- Multiplicao de nmeros complexos

3.3.3 MDULO DE UM NMERO COMPLEXO

Para determinar o mdulo de um nmero complexo com uso do software, utiliza-se o seguinte procedimento:

1 passo: Construa o plano de Gauss em seguida construa um vetor qualquer cujaorigem esteja na origem do plano. Rotule o vetor como z = a + bi .

2 passo: Escolha a opo distncia e comprimento (janela 9), em seguida no vetorconstrudo.

Fig. 17- Mdulo de um nmero complexo

O mdulo de z representa geometricamente o comprimento do vetor Oz. Algebricamente, atravs do teorema de Pitgoras, o mdulo de z, | z | , dado por

z = a 2 + b2 .

31

Exemplo 6: Calcule o mdulo do nmero complexo z = 4 + 3i . 1) Mostre os eixos, rotule a origem, edite os eixos, use a opo mostrar grade na janela11 em seguida pinte-a da cor que preferir.

2) Sobre o eixo Re(z) marque o ponto de coordenada (4,0) e sobre o eixo Im(z) marqueo ponto de coordenadas (0,3).

3) Clique sobre a janela 3 e escolha a opo reta. Construa uma reta paralela a eixodas ordenadas passando pela abscissa de valor 4, em seguida construa uma reta paralela o eixo das abscissas passando pela ordenada de valor 3.

4) Clique sobre a janela 2 e escolha a opo ponto de interseco e marque o pontode interseco das duas retas, temos assim o ponto P de coordenadas (4,3) .

5) Clique na janela 11 e escolha a opo esconder/mostrar, e clique sobre as retasconstrudas.

6) Construa o vetor OP, em seguida escolha a opo distncia e comprimento (janela9), em seguida no vetor construdo.

Fig. 17.1 - Mdulo de um nmero complexo

Note que algebricamente temos: z = 4 + 3i | z |= 4 2 + 3 2 z = 5 | OP | = 5

3.3.4 O CONJUGADO DE UM NMERO COMPLEXOSeja z = a + bi um nmero complexo qualquer, seu conjugado o nmero complexo indicado por z , tal que z = a bi . Em outras palavras, obtemos o conjugado de um nmero complexo trocando o sinal de sua parte imaginria. Para visualizar sua representao geomtrica com uso do software procede-se do seguinte modo:

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1 passo: Construa o plano de Gauss, em seguida construa um vetor qualquer cujaorigem esteja na origem do plano. Rotule o vetor como z = a + bi

2 passo: Calcule as coordenadas do vetor construdo. Faa a transferncia do valorpara o eixo Re(z) e rotule como A. construa em seguida um novo vetor Oa, repita o mesmo processo para o valor b e construa o vetor Ob.

3 passo: Escolha na janela 6 a opo simetria axial, clique sobre o vetor z emseguida sobre o eixo Re(z).

4 passo: Calcule as coordenadas do novo vetor criado.

Fig. 16 - Conjugado de um nmero complexo

Geometricamente o conjugado de um nmero complexo a reflexo do nmero complexo em relao ao eixo Re(z), assim preserva o mdulo dos vetores Oz e Oz .

Exemplo 5: Encontre o conjugado do nmero complexo z que possui mdulo 4. 1) Mostre os eixos, rotule a origem, edite os eixos, use a opo mostrar grade na janela11.

2) Com a opo arco na janela 3, clicando sempre sobre os pontos da grade: (4,0),(0,4) e (-4,0 ), nesta ordem. Em seguida construa um nmero complexo z sobre o arco, calcule suas coordenadas.

3) Escolha a opo simetria axial(janela 6), em seguida clique sobre o vetor e apssobre o eixo Re(z). Observe que voc obteve o conjugado do nmero z = a + bi . Note que ao manipularmos o vetor inicial o mdulo do numero complexo permanece igual, neste caso igual a 4.

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Fig. 16- Exemplo conjugado de um nmero complexo

3.3.5 OPERAO

1 , PARA z = a + bi NO-NULO z 1 um nmero que satisfaz z

Dado z um nmero complexo no-nulo, seu inverso a propriedade z *

1 = 1 , em que 1 = 1 + 0i , o nmero complexo unitrio com a parte z

imaginria nula, que tem mdulo 1 e argumento 0. Veja como determinar geometricamente o nmero 1 com o software Cabri Gomtre II: z

1 passo: Mostre os eixos, edite os eixos real e imaginrio e defina a grade. 2 passo: Na janela 4 escolha a opo crculo, construa uma circunferncia de raio 1 ecentro na origem do sistema, sempre escolhendo sobre a grade.

3 passo: Construa um vetor qualquer z = a + bi e calcule o seu mdulo. Distncia ecomprimento).

4 passo: Na janela 6 selecione a opo inverso. Clique sobre a extremidade dovetor z e sobre a circunferncia unitria. Voc ver um ponto construdo na mesma semi-reta de Oz, cuja distncia origem 1 . z

5 passo: Escolha a opo simetria axial na janela 6 clique sobre o ponto obtido nopasso 4 e em seguida sobre o eixo Re(z).

6 passo: Rotule o ponto no passo 5 como

1 . z

34 1 1 = . Manipule o vetor Oz e z z

7 passo: Com a opo calculadora, confirme que

verifique que os nmeros complexos no interior do crculo unitrio possuem seus inversos fora do crculo, e vice-versa.

Fig. 18 O inverso de um nmero complexo

Pode-se verificar que os vetores unitrios possuem seus inversos tambm unitrios, e o inverso de um nmero complexo unitrio simplesmente seu conjugado sendo assim a operao de inverso de nmeros complexos geometricamente uma composio da inverso do plano relativo ao crculo unitrio com centro em O e reflexo segundo o eixo Re(z).

3.3.6 FORMA TRIGONOMTRICA OU POLAR

Os nmeros complexos podem tambm ser escritos de outra forma, conhecida como forma trigonomtrica de um nmero complexo. Para expressar um nmero complexo nesta forma, com auxilio do software, procede-se do seguinte modo:

1 passo: Mostre os eixos, edite os eixos real e imaginrio e defina a grade. 2 passo: Construa um vetor qualquer z = a + bi e calcule o seu mdulo. 3 passo: Faa a transferncia do valor para o eixo Re(z) e rotule-o como A, construaem seguida um novo vetor Oa, repita o mesmo processo para o valor b e construa o vetor Ob.

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4 passo: Ligue as extremidades dos vetores com segmentos, em seguida escolha aopo pontilhado na janela 11.

5 passo: Construa a marca do ngulo, do vetor z com o eixo Re(z).

Fig. 20 Forma trigonomtrica de um nmero complexo

Observe a figura 20, podemos concluir que: cos =sen = a a = p cos p b b = p cos p

Substituindo em z = a + bi obtemos:z = a + bi z = p cos + psen.i

A expresso z = p (cos + i.sen ) conhecida como forma trigonomtrica ou polar do complexo z, onde p o mdulo de z.

Exemplo 7: Escreva na forma trigonomtrica o nmero complexo z = 1 + 3i 1) Mostre os eixos, edite os eixos real e imaginrio 2) Construa o vetor z = 1 + 3i . Em seguida calcule o seu mdulo. 3) Faa a marca do ngulo e logo aps calcule o valor do ngulo construdo.

Fig. 21 Forma trigonomtrica de um nmero complexo

36 Levando em conta os valores encontrados na figura 21 conclumos que:p = 2 e = 60 0 ; logo

cos 60 =

1 2 = 3 3 sen60 = 2

Substituindo na frmula z = p (cos + i.sen ) temos z = 2(cos

+ isen ) 3 3

3.3.7 POTENCIAO FRMULA DE MOIVREA representao geomtrica da multiplicao de um nmero complexo nos permite obter a frmula trigonomtrica desse mesmo nmero, observe: Seja z =| z | cos + (| z | sen )i e w =| w | cos + (| w | sen )i . Assim z * w =| z || w | [(cos + ) + ( sen + )i ] . Entretanto se z = w , o produto vira potncia dessa forma temos a frmula conhecida como Frmula de Moivre. Sendoz =| z | 2 (cos 2 + isen 2 )

e para

usando

o

mtodo n

indutivo positivo

temos em

que que

z n =| z | n [cos(n ) + sen(n )i ]

qualquer

(cos(n ) + isen(n )) = (cos + isen ) n . Para obter a interpretao geomtrica da potncia de um nmero complexo ( z n ) , com auxilio do software, procede-se do seguinte modo: vamos considerar o caso n = 2.

1 passo: Mostre os eixos, edite os eixos real e imaginrio e defina a grade. 2 passo: Construa um vetor qualquer z = a + bi .3 passo: V na janela 9, escola a opo equao e coordenada em seguida clique sobre o vetor construdo.

4 passo: V na opo 10 e escola marca de ngulo, faa a marca do ngulo comvrtice na origem O, em seguida calcule sua medida.

5 passo: Na janela 9 e escolha a opo calculadora, calcule Re( z * z ) = a.a b.b em( z * z ) = ab + ab = 2 * ab , inserindo os dados com o mouse, clicando sobre as coordenadas apropriadas de z.

37

6 passo: Transfira os valores calculados de Re( z * z ) = aa bb para o eixo Re(z) em( z * z ) = ab + ab para Im(z).

7 passo: Construa um ponto de coordenadas ( e( z * z ) e m( z * z ) ) no plano de Gausse com a opo vetor na janela 3 construa um vetor com origem em O, o rotule comoz*z .

Fig. 22 Potncia de um nmero complexo

4 CONCLUSO

A incluso das tecnologias na vida de cada indivduo vai exigir, habilidades que vo muito alm do simples lidar com elas. O computador que hoje instrumento mais relevante na incluso das tecnologias, exigir do ensino de Matemtica umredirecionamento sob uma perspectiva curricular que favorea o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento.

Assim sendo, o computador e os softwares devem ser mais um instrumento no auxlio do ensino-aprendizagem da matemtica. Atravs do uso do software CabriGomtre juntamente com as atividades elaboradas e desenvolvidas, temos um forte

aliado para o ensino-aprendizagem dos nmeros complexos, pois atravs do software os conceitos geomtricos do ao aluno uma viso do que esto fazendo, deixando de ser uma matria rudimentar sem muita importncia assim considerada por muitos.

38

BIBLIOGRAFIAALMEIDA, Fernando Jos de; JUNIOR, Fernando Moraes Fonseca. Proinfo: Projetos

e Ambientes Inovadores. Braslia: Ministrio da Educao, Seed, 2000.CARMO, Manfredo Perdigo do, MORGADO, Augusto Csar, WAGNER Eduardo:

Trigonometria e Nmeros Complexos. Ed. Graftex Comunicaes Visuais. Rio deJaneiro;1992.

DAMBRSIO, Ubiratan. Educao matemtica: da teoria prtica. Ed. Papirus, 9 edio. Campinas, 2002. GAUDIO, Eduardo Viana. O uso de multimeios digitais como o suporte metodolgico no processo didtico da educao matemtica. Disponvel em: www.somatematica.com.br/Artigos/a12/index.php, acessado em: 19/03/2006. GIOVANNI, Jos Rui; BONJORNO, Jos Roberto e JR, Jos Rui Givanni.

Matemtica Fundamental. 2 Grau. Volume nico. Ed. FTD.

LEITE, J. C. S. P. Gerenciando a Qualidade de Software com Base em Requisitos. In: Rocha, A. R. C. da, Maldonado, J. C. , Weber, K.C. (Orgs.) Qualidade de Software:

Teoria e Prtica. So Paulo: Prentice Hall, p. 238-246, 2001

LIMA, E. L. Matemtica e Ensino. Rio de Janeiro: SBEM, 202p, 2001

LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto, WAGNER, Eduardo, MORGADO, Augusto Csar. A matemtica do ensino mdio. Sociedade Brasileira de matemtica, Rio de Janeiro,1998. v. 3

MORAES, M. C. (2001) O Paradigma Educacional Emergente. 7. ed. Campinas, Sp: Papirus, 239p.

MORAN, J. M. (2000) Mudar a Forma de Ensinar e de Aprender com Tecnologias.

39 Revista Interaes Estudos e Pesquisas em Psicologia. So Paulo: Unimarco. v.5, jan/jun, 9: 57-72. NBRIGA, Jorge Cssio Costa. Aprendendo Matemtica com o Cabri- Gomtre II, Jorge Cssio Costa Nbriga- 2.ed. Ed. do Autor, 2003.160 p.il. v.1 e 2

SANCHO, Juana M. Para uma tecnologia educacional. Ed. Artmed. Porto Alegre: 1998. ZLD, Harold H. e Correa, Sergio. Novo Manual Nova Cultura Matemtica. Volume nico.2000 Edio Integral Ed. Nova Cultura Ltda., So Paulo, Brasil. http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf. Acesso em 27 out.2008 15h11min. http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf. Acesso em 27 out.2008 14h30 mi