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Objetivos da aula
1. Saber usar o ângulo externo de um polígono.
2. Saber que ângulos alternos internos têm a mesma medida.
3. Saber calcular a soma dos ângulos internos de um polígono.
4. Saber a relação entre o número de lados e diagonais em polígonos convexos.
1 Ângulos
1.1 Definição
É uma região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem.
1.2 Ângulos adjacentes
2 Bissetriz de um ângulo
2.1 Definição
É a semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.
2.2 Propriedade
Um ponto equidista das semirretas OA e OB se somente se ele pertence a bissetriz.
p
c.
.
β
β
Pelo caso ALA de congruência de triângulos temos
que os triângulos OBP e OAP são congruentes, então
𝑃𝐶 = 𝑃𝐷
d
Demosntração
Pelo vértice de um ângulo reto, traça-se uma reta r genérica, exterior ao ângulo O. Calcule o ângulo X𝑂𝑌, formado
pelas bissetrizes dos ângulos agudos que AO e OB formam com r.
β
β
α
α
Objetivo:
α + 90°+ β =
2α + 90°+ 2β = 180°
α + β = 45°
45°
135°
Os ângulos A 𝑂B e B 𝑂C são adjacentes e somam 100°. OX, OY e OZ são bissetrizes de A 𝑂B, B 𝑂C e X 𝑂Y,
respectivamente. Se B 𝑂Z = 10°, calcule a medida do ângulo B 𝑂C.
100°
a
a
b
b
10° b + 10°
a - 10°
2a + 2b = 100°
a + b = 50°
a - 10° = b + 10°
a - b = 20°
a + b = 50°
a - b = 20°-
2b = 30°
Dado um segmento de extremos A e B,
dizemos r é mediatriz do segmento AB se r
passa pelo ponto médio de AB e a sua
interseção forma um ângulo reto com o
segmento AB.
3 Mediatriz de um segmento
3.1 Definição
m
p
Mediatriz de AB
A B
..
Se um ponto P está na mediatriz do segmento AB
então PA = PB.
3.2 Propriedade
mA B
Três amigos desejam marcar um encontro. Para isso desejam se encontrar em um local que equidiste das casas de
ambos. Esse local deve estar contido sempre no encontro das:
a) bissetrizes
b) medianas
c) mediatrizes
d) alturas
..
.m1
m3m2
4 Ângulos segundo suas medidas
4.1 Ângulo agudo: α é agudo se e somente se 00 ≤ α ≤ 900.
4.2 Ângulo reto: α é um ângulo reto se e somente α = 900.
4.3 Ângulo obtuso: α é um ângulo obtuso se e somente
se α > 900.
5 Dois ângulos positivos α e β são:
5.1 Complementares se α + β = 900
5.2 Suplementares se α + β = 1800
5.3 Replementares α + β = 3600
(G1 - cftce 2006) Dois ângulos são suplementares. Os 2/3 do maior excedem os 3/4 do menor em 69°. Determine os
ângulos.
a + b = 180°
2𝑎
3= 3𝑏
4+ 69°
a = 180° - b
2(180° − b)3
= 3𝑏
4+ 69°
360° − 2b3
= 3𝑏
4+ 69°
120° +− 2b3
= 3𝑏
4+ 69°
120°− 69° =2b3
+ 3𝑏
4
51° = 8𝑏
12+ 9𝑏
12
= 17𝑏
1251°
36°= b
a = 180° - 36°
a = 144°
5. (G1 - cftce 2006) O ângulo cujo suplemento excede de 6° o quádruplo do seu complemento, é:
a) 58°
b) 60°
c) 62°
d) 64°
e) 68°
a + c = 90°
a + s = 180°
s = 4c + 6°
a + 4c + 6° = 180°
a + c = 90°
a + 4c = 174°
a + c = 90° -
3c = 84°
c = 28°
a + 28° = 90°
6 Retas paralelas cortadas por uma transversal
α
α
β
β
β + α = 180°
β
α
β
α
α
αβ
β
Ângulos alternos
internos têm a
mesma medida
A
B C
DM
p
α
αβ
β
(FGV) Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s. Assinale o
valor de α.
30°
10°
10°
60°
60° + 10°α =
α = 70°
(Fuvest 1996) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em
graus, do ângulo 3 é:
a) 50
b) 55
c) 60
d) 80
e) 100
45°
45°
55°
55°
7.1 Demonstração
7 Soma dos ângulos internos de um triângulo
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 1800.
θ αβ
θ + β + α = 180°
(G1 - ifpe 2012) Júlia começou a estudar Geometria na sua escola. Com dúvida em um exercício passado pelo
professor de matemática, ela pediu ajuda ao seu tio. O enunciado era: “As retas r e s são paralelas; as retas u e t,
duas transversais. Encontre o valor do ângulo x na figura abaixo”. Portanto, o valor de x é:
20°40°
X = 140°
a) 1200
b) 1250
c) 1300
d) 1350
e) 1400
(UFRJ) Na figura a seguir, cada um dos sete quadros contém a medida de um ângulo expresso em graus. Em quaisquer
três quadros consecutivos temos os três ângulos internos de um triângulo.
Determine o valor do ângulo X.
a
b
a + 100° + b = 180°
100° + b + x = 180°
= a
100° X + 100° + 65° = 180°
X = 15°
A medida do ângulo externo de um triângulo é igual
a medida da soma dos dois ângulos não adjacentes
8 Teorema do ângulo externo
Eθ
Eθ + θ = 180°
α + β + θ = 180°Eθ = α + β
A medida do ângulo externo de um triângulo é igual
a medida da soma dos dois ângulos não adjacentes
8 Teorema do ângulo externo
Eθ
Eθ + θ = 180°
α + β + θ = 180°Eθ = α + β
Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Se DOE é paralelo ao lado BC, AB = 19,
AC = 21 e BC = 25, então o perímetro do triângulo ADE vale:
a) 38
b) 39
c) 40
d) 44e) 46
2119
25
bb
DE // BC
2b
b
DOB é isósceles
cc
2c
x
19- x
x y
y
21 - y
c
2p = 19 - x + 21 - y + x + y
(Eear 2017) Se ABC é um triângulo, o valor de α é
700 = 400 + 2α
150 = α
9 Polígonos 9.1 Definições:
9.1.3 Arestas:
9 Polígonos
A B
C
D
EF
G
H
9.1 Definições:
9.1.1 Ângulos internos:
9.1.2 Ângulos externos:
9.1.3 Arestas:
9.1.4 Diagonais
9.1.0 Vértices
ae ai
aeai + = 180°
9 Polígonos
A B
C
D
EF
G
H
9.1 Definições:
9.1.1 Ângulos internos:
9.1.2 Ângulos externos:
9.1.3 Arestas:
9.1.4 Diagonais
9.1.0 Vértices
ae ai
aeai + = 180°
9.1.5 Obs.: o nome do polígono é dado em função do
número de lados.
9.1.6 Polígono regular: é o polígono que possuí todos
os lados e todos os ângulos congruentes.
10 Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
3 lados 1 . 180°
4 lados 2 . 180°
5 lados 3 . 180°
n lados (n-2) . 180°
3 - 2
4 - 2
5 - 2
n - 2
Sn = (n-2) . 180°Sn = (n-2) . 180°
10.1 Se o polígono for regular temos que:
A B
C
D
EF
G
Hai ai
ai
ai
aiai
ai
ai
= ai
ai = (n-2) . 180°n
Sn = (n-2) . 180°
S8 = (8-2) . 180°8 8
10.2 Soma dos ângulos externos de um polígono qualquer
A B
C
D
EF
G
H
ae ai
aeai + = 180°bi bebi + = 180°
.
.
.
(n-2) . 180° + Σe = n. 180°
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n.180°-360° + Σe = n. 180°
Σe = 360°
be
ci+
9 Polígonos
A B
C
D
EF
G
H
9.1 Definições:
9.1.1 Ângulos internos:
9.1.2 Ângulos externos:
9.1.3 Arestas:
9.1.4 Diagonais
9.1.0 Vértices
ae ai
aeai + = 180°
(Fuvest-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130° cada um e os demais ângulos internos medem
128° cada um. O número de lados do polígono é:
a) 6
b) 7
c) 13
d) 16
e) 17
Sn = (n-2) . 180°
(n-2) . 180° = 2. 130° (n-2). 128°
n.180° - 360 ° = 260° + n.128° - 256°
n.52° = 364 °
n = 7
+
11 Número de diagonais de um polígono convexo
A B
C
D
EF
G
H
(8 – 3) . 8d =
2= 20
(n – 3) . nd =
2
A diferença entre o número de diagonais dos dois polígonos é 27 e o primeiro tem 3 lados a mais que o segundo.
Determine os dois polígonos.
X : número de lados do que tem mais lados
Y : número de diagonais do que tem mais lados
X - 3 : número de lados do que tem menos lados
Y - 27 : número de diagonais do que tem menos lados
(n – 3) . nd =
2
[X – 3] . XY =
2
[(X – 3)- 3] . (X- 3)Y - 27 =
2
X² – 3XY =
2
[X –6] . (X- 3)Y - 27 =
2
X² –9X +18Y - 27 =
2
X² – 3X
2
X² –9X +18- 27 =
2
6X/2 = 36
X = 12
R: Dodecágono (12 lados) e eneágono (9 lados)
12 Número de diagonais que passam pelo centro
I) Se o número n de lados é par e d é o número de diagonais,
então o número de diagonais que passam pelo centro é igual
a n/2.
II) Se o número n de lados é impar e d é o número de
diagonais, então o número de diagonais que passam pelo
centro é igual a 0.
Qual o polígono que tem 6 diagonais passando pelo seu centro?
I) Se o número n de lados é par e d é o número de diagonais,
então o número de diagonais que passam pelo centro é igual
a n/2.
II) Se o número n de lados é impar e d é o número de
diagonais, então o número de diagonais que passam pelo
centro é igual a 0.
n/2 = 6
n = 12