32
Objetivos da aula 1. Saber usar o ângulo externo de um polígono. 2. Saber que ângulos alternos internos têm a mesma medida. 3. Saber calcular a soma dos ângulos internos de um polígono. 4. Saber a relação entre o número de lados e diagonais em polígonos convexos.

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Objetivos da aula

1. Saber usar o ângulo externo de um polígono.

2. Saber que ângulos alternos internos têm a mesma medida.

3. Saber calcular a soma dos ângulos internos de um polígono.

4. Saber a relação entre o número de lados e diagonais em polígonos convexos.

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1 Ângulos

1.1 Definição

É uma região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem.

1.2 Ângulos adjacentes

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2 Bissetriz de um ângulo

2.1 Definição

É a semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

2.2 Propriedade

Um ponto equidista das semirretas OA e OB se somente se ele pertence a bissetriz.

p

c.

.

β

β

Pelo caso ALA de congruência de triângulos temos

que os triângulos OBP e OAP são congruentes, então

𝑃𝐶 = 𝑃𝐷

d

Demosntração

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Pelo vértice de um ângulo reto, traça-se uma reta r genérica, exterior ao ângulo O. Calcule o ângulo X𝑂𝑌, formado

pelas bissetrizes dos ângulos agudos que AO e OB formam com r.

β

β

α

α

Objetivo:

α + 90°+ β =

2α + 90°+ 2β = 180°

α + β = 45°

45°

135°

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Os ângulos A 𝑂B e B 𝑂C são adjacentes e somam 100°. OX, OY e OZ são bissetrizes de A 𝑂B, B 𝑂C e X 𝑂Y,

respectivamente. Se B 𝑂Z = 10°, calcule a medida do ângulo B 𝑂C.

100°

a

a

b

b

10° b + 10°

a - 10°

2a + 2b = 100°

a + b = 50°

a - 10° = b + 10°

a - b = 20°

a + b = 50°

a - b = 20°-

2b = 30°

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Dado um segmento de extremos A e B,

dizemos r é mediatriz do segmento AB se r

passa pelo ponto médio de AB e a sua

interseção forma um ângulo reto com o

segmento AB.

3 Mediatriz de um segmento

3.1 Definição

m

p

Mediatriz de AB

A B

..

Se um ponto P está na mediatriz do segmento AB

então PA = PB.

3.2 Propriedade

mA B

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Três amigos desejam marcar um encontro. Para isso desejam se encontrar em um local que equidiste das casas de

ambos. Esse local deve estar contido sempre no encontro das:

a) bissetrizes

b) medianas

c) mediatrizes

d) alturas

..

.m1

m3m2

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4 Ângulos segundo suas medidas

4.1 Ângulo agudo: α é agudo se e somente se 00 ≤ α ≤ 900.

4.2 Ângulo reto: α é um ângulo reto se e somente α = 900.

4.3 Ângulo obtuso: α é um ângulo obtuso se e somente

se α > 900.

5 Dois ângulos positivos α e β são:

5.1 Complementares se α + β = 900

5.2 Suplementares se α + β = 1800

5.3 Replementares α + β = 3600

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(G1 - cftce 2006) Dois ângulos são suplementares. Os 2/3 do maior excedem os 3/4 do menor em 69°. Determine os

ângulos.

a + b = 180°

2𝑎

3= 3𝑏

4+ 69°

a = 180° - b

2(180° − b)3

= 3𝑏

4+ 69°

360° − 2b3

= 3𝑏

4+ 69°

120° +− 2b3

= 3𝑏

4+ 69°

120°− 69° =2b3

+ 3𝑏

4

51° = 8𝑏

12+ 9𝑏

12

= 17𝑏

1251°

36°= b

a = 180° - 36°

a = 144°

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5. (G1 - cftce 2006) O ângulo cujo suplemento excede de 6° o quádruplo do seu complemento, é:

a) 58°

b) 60°

c) 62°

d) 64°

e) 68°

a + c = 90°

a + s = 180°

s = 4c + 6°

a + 4c + 6° = 180°

a + c = 90°

a + 4c = 174°

a + c = 90° -

3c = 84°

c = 28°

a + 28° = 90°

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6 Retas paralelas cortadas por uma transversal

α

α

β

β

β + α = 180°

β

α

β

α

α

αβ

β

Ângulos alternos

internos têm a

mesma medida

A

B C

DM

p

α

αβ

β

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(FGV) Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s. Assinale o

valor de α.

30°

10°

10°

60°

60° + 10°α =

α = 70°

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(Fuvest 1996) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em

graus, do ângulo 3 é:

a) 50

b) 55

c) 60

d) 80

e) 100

45°

45°

55°

55°

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7.1 Demonstração

7 Soma dos ângulos internos de um triângulo

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 1800.

θ αβ

θ + β + α = 180°

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(G1 - ifpe 2012) Júlia começou a estudar Geometria na sua escola. Com dúvida em um exercício passado pelo

professor de matemática, ela pediu ajuda ao seu tio. O enunciado era: “As retas r e s são paralelas; as retas u e t,

duas transversais. Encontre o valor do ângulo x na figura abaixo”. Portanto, o valor de x é:

20°40°

X = 140°

a) 1200

b) 1250

c) 1300

d) 1350

e) 1400

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(UFRJ) Na figura a seguir, cada um dos sete quadros contém a medida de um ângulo expresso em graus. Em quaisquer

três quadros consecutivos temos os três ângulos internos de um triângulo.

Determine o valor do ângulo X.

a

b

a + 100° + b = 180°

100° + b + x = 180°

= a

100° X + 100° + 65° = 180°

X = 15°

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A medida do ângulo externo de um triângulo é igual

a medida da soma dos dois ângulos não adjacentes

8 Teorema do ângulo externo

Eθ + θ = 180°

α + β + θ = 180°Eθ = α + β

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A medida do ângulo externo de um triângulo é igual

a medida da soma dos dois ângulos não adjacentes

8 Teorema do ângulo externo

Eθ + θ = 180°

α + β + θ = 180°Eθ = α + β

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Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Se DOE é paralelo ao lado BC, AB = 19,

AC = 21 e BC = 25, então o perímetro do triângulo ADE vale:

a) 38

b) 39

c) 40

d) 44e) 46

2119

25

bb

DE // BC

2b

b

DOB é isósceles

cc

2c

x

19- x

x y

y

21 - y

c

2p = 19 - x + 21 - y + x + y

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(Eear 2017) Se ABC é um triângulo, o valor de α é

700 = 400 + 2α

150 = α

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9 Polígonos 9.1 Definições:

9.1.3 Arestas:

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9 Polígonos

A B

C

D

EF

G

H

9.1 Definições:

9.1.1 Ângulos internos:

9.1.2 Ângulos externos:

9.1.3 Arestas:

9.1.4 Diagonais

9.1.0 Vértices

ae ai

aeai + = 180°

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9 Polígonos

A B

C

D

EF

G

H

9.1 Definições:

9.1.1 Ângulos internos:

9.1.2 Ângulos externos:

9.1.3 Arestas:

9.1.4 Diagonais

9.1.0 Vértices

ae ai

aeai + = 180°

9.1.5 Obs.: o nome do polígono é dado em função do

número de lados.

9.1.6 Polígono regular: é o polígono que possuí todos

os lados e todos os ângulos congruentes.

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10 Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

3 lados 1 . 180°

4 lados 2 . 180°

5 lados 3 . 180°

n lados (n-2) . 180°

3 - 2

4 - 2

5 - 2

n - 2

Sn = (n-2) . 180°Sn = (n-2) . 180°

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10.1 Se o polígono for regular temos que:

A B

C

D

EF

G

Hai ai

ai

ai

aiai

ai

ai

= ai

ai = (n-2) . 180°n

Sn = (n-2) . 180°

S8 = (8-2) . 180°8 8

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10.2 Soma dos ângulos externos de um polígono qualquer

A B

C

D

EF

G

H

ae ai

aeai + = 180°bi bebi + = 180°

.

.

.

(n-2) . 180° + Σe = n. 180°

.

.

.

.

.

.

.

.

.

n.180°-360° + Σe = n. 180°

Σe = 360°

be

ci+

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9 Polígonos

A B

C

D

EF

G

H

9.1 Definições:

9.1.1 Ângulos internos:

9.1.2 Ângulos externos:

9.1.3 Arestas:

9.1.4 Diagonais

9.1.0 Vértices

ae ai

aeai + = 180°

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(Fuvest-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130° cada um e os demais ângulos internos medem

128° cada um. O número de lados do polígono é:

a) 6

b) 7

c) 13

d) 16

e) 17

Sn = (n-2) . 180°

(n-2) . 180° = 2. 130° (n-2). 128°

n.180° - 360 ° = 260° + n.128° - 256°

n.52° = 364 °

n = 7

+

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11 Número de diagonais de um polígono convexo

A B

C

D

EF

G

H

(8 – 3) . 8d =

2= 20

(n – 3) . nd =

2

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A diferença entre o número de diagonais dos dois polígonos é 27 e o primeiro tem 3 lados a mais que o segundo.

Determine os dois polígonos.

X : número de lados do que tem mais lados

Y : número de diagonais do que tem mais lados

X - 3 : número de lados do que tem menos lados

Y - 27 : número de diagonais do que tem menos lados

(n – 3) . nd =

2

[X – 3] . XY =

2

[(X – 3)- 3] . (X- 3)Y - 27 =

2

X² – 3XY =

2

[X –6] . (X- 3)Y - 27 =

2

X² –9X +18Y - 27 =

2

X² – 3X

2

X² –9X +18- 27 =

2

6X/2 = 36

X = 12

R: Dodecágono (12 lados) e eneágono (9 lados)

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12 Número de diagonais que passam pelo centro

I) Se o número n de lados é par e d é o número de diagonais,

então o número de diagonais que passam pelo centro é igual

a n/2.

II) Se o número n de lados é impar e d é o número de

diagonais, então o número de diagonais que passam pelo

centro é igual a 0.

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Qual o polígono que tem 6 diagonais passando pelo seu centro?

I) Se o número n de lados é par e d é o número de diagonais,

então o número de diagonais que passam pelo centro é igual

a n/2.

II) Se o número n de lados é impar e d é o número de

diagonais, então o número de diagonais que passam pelo

centro é igual a 0.

n/2 = 6

n = 12