22
Onda Plana Uniforme Unidade 2 – Onda Plana Uniforme Objetivos: • Desenvolver a equação de onda eletromagnética a partir das equações de Maxwell. • Diferenciar emissor e receptor de ondas eletromagnéticas. • Determinar a equação de onda plana nos diferentes meios de propagação. • Definir o vetor de Poynting. Relacioná-lo com transmissão de energia. • Definir Polarização da onda eletromagnética. introdução Propagação de ondas no espaço Lívre Propagação de Ondas em Dielétricos Vetor de Poynting e Considerações de Potência Propagação em Bons Condutores: Efeito Pelicular Polarização de Ondas.

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Onda Plana Uniforme

Unidade 2 – Onda Plana Uniforme Objetivos:

• Desenvolver a equação de onda eletromagnética a partir das equações de Maxwell.• Diferenciar emissor e receptor de ondas eletromagnéticas.• Determinar a equação de onda plana nos diferentes meios de propagação.• Definir o vetor de Poynting. Relacioná-lo com transmissão de energia.• Definir Polarização da onda eletromagnética.

introduçãoPropagação de ondas no espaço LívrePropagação de Ondas em DielétricosVetor de Poynting e Considerações de PotênciaPropagação em Bons Condutores: Efeito PelicularPolarização de Ondas.

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introduçãoInicialmente nesta unidade vamos partir das equações de Maxwell será definida a equação de onda e velocidade de propagação.Este processo será realizado de duas formas diferentes, sendo o segundo método utilizando a interpretação fasorial.Posteriormente serão demonstradas as soluções das equações de onda tanto no espaço livre como no dielétrico. A diferença entre as soluções é apenas a condição de contorno (cc). No meio dielétrico, isotrópico, a onda eletromagnética sofre uma atenuação que será descrito.Sabe-se que a onda transporta energia sem transporte de matéria. Neste ínterim será apresentado o teorema de Poyntig que define a energia de onda eletromagnética bem como a potência transportada. Finalizando, será definido e descrito o processo de polarização da onda eletromagnética.

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Propagação de ondas no espaço Livre

Equações de Maxwell

0

B

D

t

BE

t

DJH

v

Lembrando

0

0

0

0

B

D

t

HE

t

EH

0

0

Constante de permissividade magnética

Constante de permissividade elétrica

ED

HB

0

0

Equações de Maxwell no vácuo

1

2

3

4

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Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre

Se E(t) em um ponto⇨H possui um rotacional em trono do ponto no espaço.Se E(t) ⇨ H(t) não necessariamente do mesmo modo.

Da mesma forma, a 2ª equação indica que E forma pequenos anéis fechados em torno das linhas de H.

Determinando as equações de onda.

Aplicando-se o rotacional na equação (2) temos.

t

HE

0

Et

EE

2

2

002)(

Observando-se a equação (1)

Ett

E

00

=0 devido à equação (3)

Et

E

2

2

002

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Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre

01

2

2

22

t

F

vF

5

Se observarmos, a equação (5) é análoga a equação de onda

Corresponde à equação de onda de uma corda.

Portanto:

00

1

v Corresponde à velocidade da luz no vácuo.

00

1

c Exercício: Verificar esta afirmação.

02

2

002

t

EE

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Desta forma temos as equações de onda para o vácuo:

Propagação de ondas no espaço Livre

601

2

2

22

t

E

vE

701

2

2

22

t

H

vH

Exercício: Partir das equações de Maxwell e chegar nesta equação.O cálculo da velocidade da luz foi obtida por

Maxwell em 1861. A 1ª experiência de produçãode ondas eletromagnéticas diferentes da luz foi em 1887 realizada por Heinrich Hertz com circuito RLC produzindo 108 Hz e l=1 m.

Interpretação fasorial.

Vamos tratar a solução como um caso especial senoidal com o tempo (efetuando a notação complexa e fasores.

Dado o campo vetorial

xxaEE ˆ

Sendo: )cos(),,( tzyxEEx 8

Função real no espaço

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Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre

Lembrando a identidade de Euler:

tjsente tj cos Onde j é 0 número imaginário: 1j

]),,(Re[]),,(Re[ )( jtjtjx eezyxEezyxEE

Re indica a parte real da função. Suprimindo a função dependente do tempo tje

Ex pode ser descrito como um fasor.

jxs ezyxEE ),,(

Identificador do fasor.

jxss eEE

Indica o domínio da frequência, indicado como uma função de frequência complexa.

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Exemplo1: Expresse a função como um V/m fasor.

)30510cos(100 8 oy ztE

]Re[100 )30510( 8 oztjy eE ]Re[100 )305( ozj

ys eE

Exemplo2: Dado o vetor de intensidade do como, Es=100<300ax+20<-500ay+40<2100az V/m identificado como um fasor por seu subscrito s, desejamos o vetor como uma função real do tempo.

Solução: considerando a frequencia de1 MHz.

zj

yj

xj

s aeaeaeE ˆ40ˆ20ˆ100 2105030

Inserindo a dependência temporal:tje

tjz

jy

jx

js eaeaeaetE

6000 1022105030 )ˆ40ˆ20ˆ100()(

ztj

ytj

xtj aeaeae ˆ40ˆ20ˆ100( )210102()50102()30102( 060606

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mVat

atattE

z

yx

/)ˆ)210102cos(40

ˆ)50102cos(20ˆ)30102cos(100()(06

0606

Apesar das amplitudes não estarem sendo expressas em função das coordenadas, é possível que isto ocorra.

A partir de (8), aplicando-se a equação (1).

Tomando apenas a parte real, obtendo o vetor real.

Lembrando a identidade de Euler:

tsentjje

tjsentetj

tj

cos

cos

xsx

tjxs

x

Ejt

E

eEjt

E

]Re[

)(),,(

tsenzyxEt

Ex

É o fasor da derivada temporal.

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Substituindo os resultados nas equações de Maxweel (1) a (4) temos:

0

0

0

0

s

s

ss

ss

H

E

HjE

EjH

9

10

11

12

São as equações de Maxwell na forma fasorial para o espaço lívre.

Nota-se que (11) e (12) não são mais independentes e podem ser obtidas tomando-se a divergência de (9) e (10). (Isto pode ser comprovado como exercício desenvolvido pelo aluno). Outro exercícios é aplicar a derivada temporal da equação (2) e obter a equação (10).

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Determinando novamente a equação de onda.

Aplicando-se o rotacional em (10).

)()( 02

ssss HjEEE

0 – equação (11)

equação (9)

ss

ss

EE

EjjE

0022

002

Fazendo-se:

000 k 13

Número de onda do espaço livre.

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Equação Vetorial de Helmholtz

Desta forma, a equação de onda:

Propagação de ondas no espaço Livre

ss EkE

220 14

Considerando que Exs constante em x e y temos:

xsxs EkE

220

xsxs EkEzyx

2

2

2

2

2

2

2

0

15

Usando apenas a componente x de (14):

xsxs EkEz

2

2

2

0

16

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A solução da equação (16) pode ser:

zjkxxs eEE 00

Reinserindo o fator temporal e tomando-se a parte real temos:

tje

)cos(),( 00 zktEtzE xx

Pode ser medido na prática.

Valor de Ex(0,0).

Medido em radianos onde: [w]=rad/s; [k0]=rad/m sendo k0 definido como: frequência espacial, número de ondas do espaço livre. É uma constante de fase de uma onda plana uniforme no espaço livr.

17

c

100 Onde c é a velocidade da luz. Portanto . A equação

(17) pode ser escrita como: ck

0

)(cos),( 0 c

ztEtzE xx 18

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)cos(coscos)0,( 0000 zkEc

zE

c

zEzE xxxx

Para t=0.

Sabendo-se que a função de onda se repete a cada comprimento de onda l, portanto: 20 k

ff

c

f

cck

8

0

10.3

2

222

(espaço livre)

Considerando a crista (um ponto). A próxima ocorrência do ponto dever ser após uma volta: 2p. Para m-ésima crista da onda temos.

mzk 20

mcztzkt 2)/(0 A crista da onda move-se na direção positiva de z.

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Retomando às equações de Maxwell (9) a (12) determinaremos H. Dado Es, Hs é obtido de (10)

ss HjE

0 Deforma simplificada zjkxxs eEE 00

z

Ea

y

Ea

Ezyx

aaa

E xsy

xsz

xs

zyx

s

ˆˆ

00

ˆˆˆ

0 pois Exs varia apenas na direção z.

ysxs Hjz

E0

zjk

xxs eEjkz

E0

00

zjkx

zjkxys

zjkxys

zjkxys

eEeEH

eEk

HeEjkHj

00

00

00

00

0

00

00

0000

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zjkxys eEH 00

0

0

Propagação de ondas no espaço Livre

Colocando a dependência temporal

)cos(),( 000

0 zktEtzH xy

19

Real

0

0

),(

),(

tzH

tzE

y

xque é constante.

Comparando-se as equações (17) e (19) observa-se que E oscila em x e H em y com a razão de intensidades dada pela relação:

)cos(),( 000

0 zktEtzH xy

)cos(),( 00 zktEtzE xx

20

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)cos(),( 000

0 zktEtzH xy

)cos(),( 00 zktEtzE xx

Usando a linguagem de teoria de circuitos, pode-se dizer que Ex e Hy estão em fase, sendo que a relação refere-se tanto ao espaço quanto ao tempo.

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De acordo com as equações (17) e (19) apresentadas abaixo, observa-se que os máximos de Ex e Hy ocorrem quando w(t-z/c) for múltiplo inteiro de 2p rad.

Impedância intrínseca [h] = ohms = W

Para o espaço livre: 1203770

00

Neste caso a onda é chamada de onda plana uniforme.

A energia flui na direção positiva de z.

E e H são perpendiculares à direção de propagação.

Dúvidas???? Exercícios.

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Propagação de Ondas em DielétricosVamos estudar a propagação da onda eletromagnética no meio dielético considerando-o:

Isotrópico e homogênio;Permissividade e;Permeabilidade m.

ss EkE

22

Partindo da equação de Helmholtz:

21

O número de onda pode se formalizado:

RRkk 0 22

Para Exs temos:

xsxs Ekz

E

22

2

23

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Onda Plana UniformePropagação de Ondas em Dielétricos

Neste caso k pode ser complexo e portanto pode ser escrito da forma:

jjk 24

Consequentemente a solução da equação de onda pode ser:zjz

xjkz

xxs eeEeEE 00 25

Inserindo a parte temporal ejwt e multiplicando à (25) temos:

tjzjzxxs eeeEE 0

)cos(),( 0 zteEtzE zxx 26

É a equação da onda plana uniforme que se propaga na direção z com fase constante b.

Analisando a.>0: diminui a amplitude com o aumento de z com fator e-az . É um

coeficiente de atejnuação<0: Amplificador Laser. É coeficiente de ganho

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Onda Plana UniformePropagação de Ondas em Dielétricos

[a]=nepers/metro=Np/m -Dado em homenagem a John Napier (Matemático Escocês que que propôs o uso do logarítmo)

Examinando a unidade de a.

Se = 0,01 a Np/m a amplitude da onda em z=50m.

607,05.00

50.01,0

ee

eVezes o valor inicial em z=0

Propagando-se à uma distância 1/a na direção +z a ampitude é reduzida num fator e-1 ou 0,368.

O campo elétrico da onda, alterado no meio material, é descrito por uma constante de permissividade complexa.

''' j 27 É originado por dois mecanismos que resultam na perda da onda:

Oscilações iônicasRelaxamento do dipolo – Estudar o Apêndice D do Hayt Mecanismo adicional: Condução de elétrons livres ou lacunas

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Onda Plana UniformePropagação de Ondas em Dielétricos

Com relação ao campo magnético.As perdas podem ocorrer e serem modeladas pela permeabilidade complexa.

''' Exemplos: materiais ferromagnéticos ou ferrites.

A resposta magnética é muito fraca quando comparada à resposta do dielétrico, na maioria dos materiais de interesse de propagação de onda.Portanto nesses materiais m=m0.Desta forma serão discutidos os mecanismos descritos através da permissividade complexa.Substituindo (27) em (22)

)'

''1(')'''(

jjk 28

k

k

0''

0''

é real

é complexo – ocorrem perdas quantificadas por a.