Onda Senoidal

JOSUÉ PETERSON MACEDO DE OLIVEIRA Página 1

Onda Senoidal

Introdução As formas geométricas das ondas, em particular a retangular e a triangular, já nossas conhecidas de textos anteriores, foram postas com o objetivo de ilustrar determinados princípios. Porém, simples como possam parecer tais ondas, o emprego de qualquer uma delas como norma, complicaria a matemática e a prática das correntes alternadas. Todavia, essas ondas não são encontradas comumente no dia-a-dia; nenhuma delas está de acordo com nossa idéia corriqueira de onda, já que a temos em vista como uma curva contínua. Porém, algumas curvas, ainda que contínuas como as queremos, podem apresentar diferentes formas, pelo que foi necessário escolher uma onda que obedeça a uma lei matemática. A norma que se usa baseia-se em uma das funções trigonométricas fundamentais, a saber, o seno de um ângulo. A curva senoidal é o gráfico do seno de um ângulo (em geral expresso em radianos) traçada em função do ângulo; qualquer onda dessa forma é denominada de senoidal, senóide ou ainda sinusóide. A função em questão é então do tipo:

y = sen x ou na sua forma, mais geral,

y = a.sen(x + b)

onde y é a função senoidal, x o ângulo em radianos, sendo a e b constantes em relação a x.

A curva senoidal tem numerosas aplicações. São exemplos os muitos sistemas mecânicos oscilatórios --- o sistema massa-mola, o diapasão, o pêndulo simples --- onde o movimento é 'harmônico simples', ou seja, onde o gráfico do deslocamento, quando traçado tomando-se o tempo como variável independente, dá como resultado uma senóide.

Nesse presente texto investigaremos a aplicação da curva do seno para as grandezas alternantes. Destacaremos suas vantagens particulares para esse propósito, ainda que algumas serão melhor apreciadas ao longo do amadurecimento do aprendizado.

A curva senoidal Qualquer livro de tabelas matemáticas inclui os valores dos senos naturais para ângulos até 90o. Uma calculadora científica, mesmo as mais simples, dá diretamente o valor do seno de um ângulo até com 9 casas decimais; esses valores podem ser empregados para traçar a curva. Na ausência de tabelas e calculadoras ainda poderemos traçar uma curva aproximada se memorizarmos os seguintes valores: sen 0o = 0; sen 30o = 0,50; sen 60o = 0,86 e sen 90o = 1.


Todavia, será bem mais instrutivo nesta etapa inicial desenvolver a curva senoidal mais simples, dada pela função y = sen θθθθ, através da técnica indicada na ilustração abaixo, onde se usa da idéia de 'raio girante':

O raio r da circunferência ABCD inicia seu movimento de rotação em torno de O, a partir da posição OA, girando em sentido anti-horário. Na posição ilustrada acima, o raio está deslocado do ângulo θθθθ e o sen θθθθ fica definido pela relação (razão) entre a perpendicular p e o raio r. Todavia, se r é tomado como a unidade de medida linear, resultará que p será numericamente igual a sen θθθθ e poderá ser projetado para obter um ponto da curva, como se ilustra acima, à direita da circunferência. Outros pontos poderão ser obtidos de modo semelhante, girando r sempre no sentido anti-horário. O ângulo θθθθ não precisa, necessariamente, ser medido em "graus"; como boa alternativa, a linha base (eixo das abscissas, no gráfico) pode exibir medidas circulares, como é o caso do "radiano", como se indica na ilustração. Sabemos que 2π2π2π2π radianos corresponde a 360o, logo 1 rad = 360o/2π2π2π2π = ~57,3o. Vale lembrar: 0o = 0 rad; 30o = ππππ/6 rad; 60o = ππππ/3 rad; 90o = ππππ/2 rad; 180o = ππππ rad; 270o = 3ππππ/2 rad; etc.

O uso do radiano para a medida de ângulo, além de ser a unidade oficial do Sistema Internacional, tem a vantagem de simplificar muitas fórmulas de C.A.

Gerando um f.e.m. senoidal Em princípio é bastante simples produzir uma f.e.m. que siga a lei dos senos; tudo que se necessita é fazer girar um quadro de fio, ou uma bobina, à velocidade constante, em um campo magnético uniforme, ainda que, como veremos depois, existem certas dificuldades para a aplicação desse princípio básico aos alternadores práticos.

Por simplicidade, representamos apenas um único condutor na ilustração abaixo (x), deslocando-se desde A até a posição definida pelo ângulo θθθθ e cortando obliquamente as linhas do campo de indução B, no vácuo ou ar.


A velocidade tangencial V, pode ser decomposta em dois componentes ortogonais u e v, um paralelo e outro perpendicular ao campo de indução B, de modo que, pela geometria da figura, podemos escrever para seus módulos: u = V.cos θθθθ e v = V.sen θθθθ. O componente v determina a rapidez com que o condutor corta as linhas de indução do campo e, portanto, é a velocidade que interessa no equacionamento da f.e.m. instantânea gerada no condutor móvel. Sabemos, do eletromagnetismo, que a f.e.m. gerada num condutor de comprimento L que se desloca com velocidade v perpendicularmente às linhas de indução de um campo cuja densidade de fluxo é B é expressa por:

E = B.L.v

com B em tesla (T), L em metros (m) e v em metros por segundo (m/s), E resultará em volts (V).

Essa expressão pode ser usada para a f.e.m. instantânea (e) induzida no nosso condutor móvel (x), simplesmente substituindo-se v por Vsen θθθθ:

e = B.L.V.sen θθθθ

Nessa expressão, BLV representa a f.e.m. máxima (valor de pico), Emáx., de modo que:

e = Emáx.sen θθθθ

Esta é a expressão básica para uma f.e.m. senoidal, independente do modo como foi gerada; pode também ser empregada para representar outras grandezas senoidais, como a intensidade de corrente alternada por exemplo, substituindo-se os símbolos apropriadamente.

Freqüência angular ( ωωωω) Suponha que o condutor (x) ilustrado acima execute f revoluções por segundo.


Assim, f é a freqüência e, posto que gira de 360o (ou 2π2π2π2π rad) em cada volta, sua velocidade angular (o total de ângulo que descreve em cada segundo) será 360.f. O valor de θθθθ em graus, vale então 360.f.t, onde t é o tempo em segundos transcorridos desde o início do movimento em A ou, simbolicamente: θθθθ = 360.f.t .

Se θθθθ for medido em radianos, na expressão acima basta substituir 360 por 2π2π2π2π e teremos: θθθθ = 2π2π2π2π.f.t , onde 2π2π2π2π.f é a velocidade angular do condutor em radianos por segundo. A quantidade 2π2π2π2π.f aparece freqüentemente nas fórmulas de C.A., baseadas em grandezas senoidais; foi atribuído o nome especial de freqüência angular à essa velocidade angular e indica-se com a letra ωωωω (letra grega minúscula 'omega'). A equação fundamental poderá ser escrita então:

e = Emáx.sen ωωωωt

Exemplo 1 : Uma bobina quadrada de 100 mm de lado e com 250 espiras gira à razão de 60 revoluções por segundo, com seu eixo perpendicular a um campo magnético uniforme, cuja densidade de fluxo é de 40 militeslas. A bobina parte da posição de fluxo concatenado nulo (θθθθ = 0o) Calcular: (a) a f.e.m. máxima induzida (Emáx.); (b) a f.e.m. instantânea quando a bobina descreveu ângulo θθθθ = 1 radiano (e1); (c) a f.e.m. média (Em); (d) a freqüência angular (ωωωω); (e) instante no qual a bobina atinge pela primeira vez sua f.e.m. máxima induzida.

Solução : Ajustes para unidades coerentes: densidade de fluxo B = 40 mT = 0,04 T; comprimento do lado da bobina c = 100 mm = 10 cm = 0,1 m; freqüência de rotação da bobina f = 60 r.p.s. = 60 Hz; raio de giro da bobina r = c/2 = 0,05 m; ângulo de giro θθθθ = 1 radiano = 57,3o .

(a) A cada volta completa de uma espira da bobina, temos dois comprimentos c ativos, logo o comprimento efetivo do condutor da bobina será L = 2.c.250 = 2 . 0,1 . 250 = 50 m. Velocidade tangencial do condutor periférico V = 2.ππππ.f.r = 2 . 3,14 . 60 . 0,05 = 18,84 m/s. F.e.m. máxima induzida Emáx.= B.L.V = 0,04 . 50 . 18,84 = 37,68 volts Resposta (a): Emáx. = 37,68 volts

(b) sen(57,3o) = 0,8415 (obtido pela calculadora ou tabela trigonométrica) F.e.m. instantânea e1 = Emáx..senθθθθ = 37,68 . 0,8415 = 31,7 volts Resposta (b): e1 = 31,7 volts

(c) área da bobina quadrada A = c2 = 0,12 = 0,01 m2 fluxo máximo concatenado com a 1 espira φφφφmáx.esp. = B.A = 0,04 . 0,01 = 0,0004 weber = 0,0004 Wb


fluxo máximo concatenado com a bobina de n = 250 espiras φφφφmáx.bob. = n.φφφφmáx.esp. = 250 . 0,0004 = 0,1 Wb por revolução. A variação de fluxo, desde zero até seu valor máximo e de máximo até o retorno a zero, ocorre 2 vezes para cada meia-revolução, donde a variação total ∆φ∆φ∆φ∆φ = 2 . 2 . 0,1 = 0,4 Wb a cada volta completa, ou seja, durante o intervalo de tempo ∆∆∆∆t = 1 período = 1/f = 1/60 s. A f.e.m. média induzida, em cada período, será (lei de Faraday): Em = ∆φ∆φ∆φ∆φ/∆∆∆∆t = 0,4/(1/60) = 0,4 . 60 = 24 volts. Resposta (c): Em = 24 volts

(d) freqüência angular ωωωω = 2ππππf = 2 . 3,14.60 = 376,8 rad/s . Resposta (d): ωωωω = 376,8 rad/s

(e) A primeira f.e.m. máxima induzida ocorrerá quando o fluxo também for máximo pela primeira vez, ou seja, após o primeiro quarto de volta (90o). Em outras palavras, ao completar o primeiro quarto de período, logo, t = T/4 = (1/f)/4 = 1/4f = 1/4.60 = 1/240 = 0,004 s. Outro modo de ver isso é escrever a equação geral da f.e.m. induzida: e = Emáx..sen(2ππππf.t) e determinar para que valores de t a f.e.m. torna-se igual à Emáx.; logo Emáx. = Emáx..sen(2ππππ.60.t) ou sen(120ππππ.t) = 1. Assim, a equação é satisfeita para 120ππππ.t = k.ππππ/2 , com k inteiro. Simplificando, 120.t = k/2. O menor dos k, positivo, é 1, logo: t = 1/240 = 0,004 s. Resposta (e): t = 0,004 s

Propriedades de uma onda senoidal As relações entre os valores máximo, médio e rms, já são nossas conhecidas; agora devemos especificá-los para a onda senoidal. Podemos estimar valores aproximados pelo método da ordenada média, como visto anteriormente, porém, tendo-se em conta a importância da onda senoidal convém partirmos para a obtenção de relações mais exatas. Isso pode ser feito facilmente por meio do cálculo ou pela interpretação de certas equações trigonométricas; aqui, no escopo desse texto, nos contentaremos com provas geométricas simples, todas elas baseadas na revolução de um condutor em um campo magnético uniforme. Ainda que estabelecidas para as f.e.m(s), essas relações se aplicam igualmente à intensidade de corrente e outras grandezas senoidais. Importante: Referindo-nos ainda à ilustração acima, vale salientar que: a f.e.m. instantânea é proporcional a v e a f.e.m. máxima é proporcional a V, pelo que será suficiente determinar o valor médio e o rms da primeira velocidade em termos da segunda.

Valor médio Na ilustração a seguir, parte da figura anterior, destacamos que o ponto P, projeção do condutor sobre o diâmetro AC, move-se com velocidade variável v . Se você examinar bem a geometria da figura e notar que o eixo AC está orientado positivamente de C para A, perceberá que devemos ter v = - V.senθθθθ, com o condutor na posição da ilustração. Mas, vamos por outro caminho:


O tempo necessário para que esse ponto P percorra o diâmetro de A para C é igual ao tempo que o condutor necessita para percorrer a semicircunferência ABC, com velocidade tangencial constante V. Porém, o diâmetro AC em questão vale somente 2/ππππ da semicircunferência, pelo que o valor de v é, em média, somente 2/ππππ do valor de V [veja o destaque Importante acima]. Aplicando-se isso para a f.e.m. teremos:

Em= (2/ππππ).Emáx.= 0,637.Emáx.

Essa relação é válida para todas as grandezas senoidais e para a curva do seno; por exemplo, poderia ter sido empregada para resolver o item (c) do exemplo 1 acima, usando o resultado do item (a). Observe: no item (a) obtivemos [ Emáx.= 37,68 volts] , logo para resolver o item (c) bastaria fazer [ Em = 0,637.Emáx.= 0,637 . 37,68 = 24 volts ].

Valor quadrático médio (rms) Neste caso, será necessário, primeiro, determinar o valor quadrático médio, ou seja, o valor médio de v2 , em termos de V. Na ilustração acima, aplicando-se o teorema de Pitágoras ao triângulo das velocidades v, u e V teremos:

v2 + u2 = V2 = constante

Então: valor médio de v2 + valor médio de u2 = V2 = constante (*)

Porém, a menos do sentido, u sofre as mesmas variações no segundo quadrante que sofre a v no primeiro quadrante, e vice-versa; assim, tomando-se sobre meia-revolução (meio período) teremos:

valor médio de v2 = valor médio de u2

Substituindo-se essa identidade na expressão acima (*):

2 x valor médio de v2 = V2 valor médio de v2 = V2/2 ... <=== a raiz quadrada disso será o rms!

ou seja, valor quadrático médio de v = rms de v = raiz quadrada(V2/2) = V/(raiz quadrada de 2).

Donde se infere que o valor quadrático médio da f.e.m. (Erms) será:


Erms = [1/(raiz quadrada de 2)].Em = 0,707.Em

Novamente, esta relação é válida para a curva senoidal e todas as senóides. Deve-se notar que o valor médio de v2 é a metade de V2, pelo que o valor médio de e2, será também a metade de (Emáx.)

2 ; para a curva senóide (y = senθθθθ), em si mesmo, o valor médio de sen2θθθθ é 1/2 = 0,5.

Fator de forma Define-se como fator de forma a razão entre o valor quadrático médio (rms) e o valor médio de uma grandeza alternada; para a f.e.m., teremos, portanto:

fator de forma = Erms/Em = 0,707.Emáx./0,637.Emáx. = 1,11

Fator de pico Define-se como fator de pico a razão entre o valor máximo e o valor quadrático médio (rms) de uma grandeza alternada; para a f.e.m., teremos, portanto:

fator de pico = Emáx./Erms = Emáx./0,707.Emáx.= 1,414

Velocidade ou rapidez de variação É outra propriedade importante de uma senóide e conseqüentemente das grandezas alternadas como tensão elétrica, intensidade de corrente elétrica etc. Vamos nos concentrar na conceituação da rapidez da variação da tensão alternada em volts por segundo, ao longo de um ciclo (um período). Novamente nos ateremos ao condutor girando com velocidade angular constante no campo magnético uniforme, analisando sua projeção P no diâmetro AC. Já sabemos que sua velocidade instantânea (v) varia senoidalmente, produzindo a f.e.m. senoidal; queremos saber agora com que rapidez varia essa velocidade, ou seja, sua aceleração através das linhas de campo. Se o texto se destinasse ao nível superior, a tarefa seria simples, bastaria dizer que essa aceleração é simplesmente a segunda derivada da função e = Emáx..senωωωω.t em relação ao tempo. Todavia, estamos nos esforçando para evitar a matemática superior e, não vamos 'mudar a regra do jogo' agora. Continuemos.

Conforme o condutor se movimenta em uma trajetória circular com velocidade tangencial V, de módulo (valor) constante, sua aceleração radial também tem módulo (valor) constante, porém sua direção varia de ponto a ponto, sempre com sentido orientado para o eixo de rotação; trata-se, portanto, de uma aceleração centrípeta. Na ilustração abaixo essa aceleração centrípeta se representa por A e mostra também seus componentes retangulares, dos quais destacamos a parcela vetorial a que é justamente a aceleração do ponto P. A geometria da figura mostra claramente que : a = A.cosθθθθ .


O valor (módulo) de A é constante, mas a aceleração transversal a é proporcional ao cosseno de θθθθ . Assim, se infere que a rapidez de variação de uma grandeza senoidal (que é proporcional a senθθθθ ), pode ser representada por uma curva cujos valores são proporcionais a cossenoθθθθ . é o que mostramos abaixo:

A curva cossenoidal (verde) mostrada na figura acima é a própria curva senoidal (azul) deslocada para a esquerda de 90o ; a curva dos cossenos tem a mesma forma da curva dos senos e, portanto, é uma senóide. Isso significa que a rapidez de variação de uma grandeza senoidal é também senoidal. A recíproca também é verdadeira, se a rapidez de variação de uma grandeza é senoidal, a própria grandeza também deve ser senoidal; nenhuma outra curva periódica possui uma propriedade semelhante.

Curva do quadrado do seno Como já notamos acima, o valor quadrático médio (rms) requer o conhecimento do valor médio do sen2θθθθ, e isso pode ser representado por uma curva, como veremos a seguir.

A ilustração abaixo foi obtida elevando-se ao quadrado os valores dos senos de vários ângulos desde 0 até 360o. Na figura, os ângulos θθθθ são indicados por x .


Ao contrário da curva dos senos (y = sen x), essa nova curva encontra-se completamente acima da linha de base (eixo x), porque o quadrado de um número sempre é positivo, independente de seu sinal. Além disso, os valores do seno ao quadrado de θθθθ são, no geral, menores que os os valores do seno de θθθθ, porque esse último é sempre menor que a unidade.

Como já mencionamos, o valor médio de sen2θθθθ é 1/2 = 0,5, que também está indicado na figura acima. Pode-se observar claramente que a curva sen2θθθθ (preenchida para dar destaque) é simétrica em relação ao seu valor médio e que flutua em torno desse valor médio com o dobro da freqüência da curva original sen θθθθ, sendo também uma senóide (*); além disso, repare que se 'cortarmos' suas cristas, essas partes preencherão perfeitamente seus vales.

(*) Nota matemática: Isso dito acima, resulta da identidade trigonométrica sen2θθθθ = 1/2 - (1/2).cos2θθθθ . Neste caso, a constante 1/2 representa o deslocamento para cima do eixo horizontal (translação de eixos) e, com essa nova linha de base, a curva fica representada por -(1/2).cos2θθθθ, sendo portanto de forma senoidal.

Superposição de curvas senoidais Quando duas f.e.m.(s) ou duas intensidades de corrente se superpõem num circuito C.C., a resultante será sempre sua soma algébrica. Assim, uma pilha de f.e.m. 2 V e uma outra de f.e.m. 1,5 V poderão ser conectadas em série e concordância para se obter 3,5 V ou em série e oposição para se obter 0,5 V, porém, não será possível nenhum outro valor. Duas f.e.m.(s) alternadas, senoidais, também poderão ser superpostas do modo acima descrito, sempre que tenham a mesma freqüência e passem simultaneamente por seus valores 'zero' e 'máximo'. Essas associações em concordância e oposição de curvas senoidais de mesma freqüência são representadas abaixo.


Na ilustração superior, as f.e.m.(s) E1 e E2 de dois alternadores ligados em série, estão em concordância de fase entre si e se superpõem para produzir a f.e.m. resultante E, igual à sua soma algébrica em cada ponto definido pelo ângulo de giro no ciclo. A fase de uma dessas f.e.m.(s), digamos a E2, pode ser invertida se trocarmos as conexões, como se indica na ilustração inferior do quadro acima. As f.e.m.(s) estarão agora em oposição de fases (ou, em contra-fase, como também se diz) e a superposição delas produz a resultante E, igual à soma algébrica em cada ponto. Assim, no ponto definido pelo ângulo de 90o, por exemplo, teremos E1 = + 2 V e E2 = - 1 V, dos quais resulta E = E1 + E2 = (+2V) + (-1V) = + 1 V.

Esse exemplo descrito acima é, sem dúvida, um caso especial de superposição de duas f.e.m.(s) para circuitos de C.A. Suponhamos que as f.e.m.(s) não estão nem em fase, nem em contra-fase ou oposição; qual será então o valor da resultante? Dependendo das relações de fases entre as duas f.e.m.(s), a resultante poderá assumir qualquer valor contido entre sua soma e sua diferença. Uma


situação dessas possibilidades está ilustrada abaixo, os as f.e.m.(s) apresentam uma diferença de fase dada pelo ângulo φφφφ (letra grega, minúscula, fi). Este ângulo, medido em graus ou em radianos, entre as posições correspondentes, se denomina diferença de fase ou ângulo de defasagem.

A primeira f.e.m. que passa por seu valor 'zero' ou seu valor 'máximo' se diz que está adiantada ou que está adiante da outra (caso da E1,no exemplo ilustrado acima), a qual, por sua vez se diz que está atrasada ou que está atrás em relação à primeira; na ilustração, E1 está 30o adiante de E2, ou E2 está 30o atrás de E1. Existe, sim, o perigo de confundir-se, porque à primeira vista parece que E2 está adiante de E1, olhando da esquerda para a direita. Todavia, não são as curvas que se movem, nós (observadores) é que devemos, imaginariamente, percorrer a linha de base da esquerda para a direita e observar os eventos que têm lugar. Como podemos observar na ilustração acima, onde usamos a letra 'y' para representar as f.e.m.(s) e 'x' para representar o ângulo θθθθ, as curvas são gráficos das seguintes equações:

e1 = E1máx..senθθθθ e e2 = E2máx..sen(θθθθ - φφφφ) ou, e1 = E1máx..senωωωωt e e2 = E2máx..sen(ωωωωt - φφφφ)

O sinal "-" indica que a segunda f.e.m. está atrás da primeira. A curva da f.e.m. resultante E pode ser obtida somando-se algebricamente as ordenadas das curvas que se superpõem (componentes). A seguir, seu valor máximo pode ser medido e seu valor quadrático médio (rms) pode ser calculado; além disso, sua relação de fase com qualquer das componentes pode ser lido ao longo da linha de base.

Esse processo acima descrito é demorado e tedioso; seria interessante procurar uma técnica mais rápida e simples para resolver tais questões ---


felizmente tal método existe! E tem um nome pomposo: vetores girantes de Fresnel, por vezes simplificado, simplesmente, para fasores.

Fasores = vetores girantes de Fresnel Vimos, na Parte 1 desse trabalho, como um círculo de raio unitário (r = 1) pode ser utilizado para desenvolver uma curva senoidal; e, se assumirmos que tal raio represente o valor máximo de uma f.e.m. ou de uma corrente senoidal, a sua curva característica pode ser construída. Assim, tudo de que se necessita para especificar uma grandeza senoidal e seu desenvolvimento quer em relação ao ângulo, quer em relação ao tempo é traçar um segmento orientado (segmento de reta dotado de uma seta de orientação) em uma escala apropriada e fazê-lo girar ao redor de um eixo perpendicular à sua direção, passando pela sua extremidade. Nada além de um 'vetor girante' (agora chamado de 'fasor'), como o foi introduzido por Fresnel. Eis um visual:

No geral, uma grandeza vetorial, como são exemplos a força, a velocidade, a aceleração etc., apresentam três características importantes, a saber: um módulo ou valor (medida da grandeza), uma direção e um sentido. O vetor que representa tal grandeza pode ser traçado numa escala conveniente para indicar seu módulo. As coisas também ocorrem assim em relação ao vetor elétrico ou fasor. Neste caso, sua direção é fixada por uma fase particular do ciclo, como se representa acima. Na superposição de grandezas elétricas de mesma espécie [f.e.m.(s), por exemplo], teremos distintos fasores em um mesmo diagrama e é importante que se indique a defasagem correta entre eles, isto é, se a diferença de fase entre as duas grandezas é de 60o, seus fasores devem ser desenhados com uma separação angular de 60o.

Adição geométrica de fasores A resultante de duas forças concorrentes ou de duas velocidades, como sabemos, é dada pela "regra do paralelogramo", ou seja, a diagonal do paralelogramo traçado, usando como lados adjacentes os vetores dado, é a representação, na mesma escala, da sua resultante. A pergunta básica é: esse princípio bem conhecido se aplica também aos fasores de correntes e aos de f.e.m.(s)?

A ilustração a seguir é um diagrama de fasores, em escala, representando as f.e.m.(s) componentes e defasadas de φφφφ = 30o (é exatamente o caso da terceira figura desse trabalho).


O fasor E1máx. representa, em escala, o valor máximo de E1, colocado fazendo um ângulo θθθθ com a horizontal; o outro fasor E2máx. está desenhado atrasado com um ângulo de diferença de fase igual a φφφφ. Assim, construímos o paralelogramo e desenhamos sua diagonal. Para comprovar que, na realidade, a diagonal representa a f.e.m. resultante E, deveremos mostrar que na posição (ou tempo) considerado, a f.e.m. instantânea e é soma algébrica dos valores instantâneos de e1 e de e2. E é exatamente o que o diagrama mostra, somando-se algebricamente as projeções e1 e e2. Incidentalmente a ilustração mostra algo bem importante: o fato da f.e.m. poder ser representada por um fasor (E), demonstra que ela própria é uma curva senoidal!

Se o diagrama for construído, como se faz geralmente, não para avaliar valores instantâneos, senão apenas com o propósito de obter o valor da resultante de duas grandezas senoidais, a orientação do paralelogramo não tem importância alguma e é isso que mostramos na ilustração acima, em (b).

Existe ainda outra simplificação. O diagrama de fasores é muitas vezes solicitado para superpor valores quadráticos médios [rms(s)] de f.e.m.(s) ou de correntes. Estritamente, esses rms(s) devem ser convertidos a seus valores máximos, antes de desenhar o paralelogramo, e a seguir, o valor máximo da resultante deve ser re-convertido para seu rms. Uma trabalheira! Com o objetivo de evitar essas sucessivas conversões, é costume (como foi feito na figura acima) representar diretamente seus rms(s). Escolher o valor máximo da grandeza senoidal ou seu rms para desenhar a figura dependerá apenas do uso que se deva dar ao resultado da superposição.

Exemplo 2 A resultante de duas correntes senoidais tem valor de 5 ampères. Se uma das componentes vale 3 ampères, estando 30o atrás da resultante, determinar o valor da outra componente e sua relação de fase com a resultante.

Solução: A corrente resultante de 5 A é utilizada como fator de referência, como se ilustra abaixo, e o componente de 3 A está desenhado com atraso de 30o. Completa-se então o paralelogramo (traçando as paralelas que faltam;


tracejadas, na ilustração) para obter a corrente que falta (em vermelho) e seu ângulo f com respeito à resultante.

Nota : Um método alternativo consiste em 'inverter' o fasor de 3 A (ou seja, construir o fasor oposto daquele que representa os 3 A) e adicioná-lo geometricamente (regra do paralelogramo) com o fasor de 5A, para obter o fasor procurado. Isso se baseia na subtração vetorial onde, subtrair o vetor b do vetor a (efetuar a - b) nada mais é que somar geometricamente ao vetor a o vetor oposto de b, que se indica por -b, ou seja: a - b = a + (-b) .

Ondas não senoidais As condições nos alternadores práticos diferem consideravelmente daquelas de um condutor ou uma bobina girando em um campo magnético uniforme. Na realidade, por exemplo, o fluxo polar corta os condutores 'mais ou menos' em ângulo reto e o próprio fluxo em si não está uniformemente distribuído devido à presença das ranhuras. Ainda que o projetista empregue vários recursos para obter uma onda que se aproxime da senoidal, ou pelo menos uma com mesmo fator de forma, poderá obter uma distorção considerável. Também nos transformadores, continuando a exemplificar, a tensão de saída pode estar distorcida devido aos efeitos de histerese no núcleo e à variação na permeabilidade do ferro no decorrer do ciclo magnético.

Ainda que o fornecimento de tensão seja senoidal, a corrente desenvolvida não o será, necessariamente. Uma lâmpada fluorescente conduz somente quando a tensão instantânea excede um certo valor e ainda existira uma distorção posterior devido à variação na resistência dos gás ionizado. Assim, nos circuitos de C.A., deveremos estar preparados para encontrar ondas --- particularmente de correntes --- que se afastam da ideal. A teoria das ondas senoidais, como discorremos nesse texto, não pode ser aplicada diretamente em tais casos, porém será útil se as ondas puderem ser decompostas em seus componentes senoidais. E é isso que veremos.

Harmônicos Existe um teorema, chamado de Fourier, que nos diz que qualquer onda periódica completa pode ser considerada como constituída de duas ou mais das seguintes ondas senoidais:

(i) uma onda fundamental da mesma freqüência que a onda complexa. (ii) ondas harmônicas cuja freqüência seja 2, 3, 4, ... etc. vezes a freqüência fundamental.

Exemplos disso ocorrem fartamente em música. Um diapasão vibra com movimento harmônico simples (em primeira aproximação) e produz no ar uma onda sonora sinusoidal. O tom da nota emitida, dependente da geometria do


diapasão, pode ser o Dó médio, com 256 Hz. Este som produzido é 'seco' e até 'desagradável', segundo nos informa os 'ouvidos bem apurados' dos mestres na arte. Um instrumento musical, ou mesmo a voz humana, também poderá produzir uma nota dessa mesma freqüência mas, sem dúvida, a onda não será senoidal! Mesmo um ouvido não apurado discernirá o som emitido pelo diapasão daquele emitido pelo instrumento ou da voz humana. Essa onda produzida pelo instrumento conterá aquela freqüência de 256 Hz e diversos harmônicos, de modo que a onda resultante apresenta um 'timbre' totalmente diferente daquele do diapasão. A onda resultante nada tem de aspecto senoidal! As fontes produtoras do som são diferentes.

Harmônicos na onda de C.A . O teorema de Fourier se aplica também às ondas de C.A., que podem ser consideradas, portanto, como formadas por uma onda fundamental e uma ou mais ondas harmônicas. Para muitos propósitos, estes componentes se comportam como se existissem 'em separado', dando-nos então a vantagem de se poder aplicar a teoria fundamental das ondas senoidais sucessivamente a tais componentes. Os componentes podem ser medidos com instrumentos especiais ou, se conhecemos a priori a forma de onda, podem ser calculados mediante processo matemático denominado análise harmônica. Ainda que a dificuldade de tais processos escapem ao teor desse texto (não queremos nos aprofundar usando da matemática superior), é vantajoso examinar alguns casos simples com o objetivo de entender como as harmônicas afetam a forma de onda.

As formas de onda resultante, nas ilustrações a seguir, foram obtidas por soma algébrica das ordenadas de uma onda fundamental (usei y = 2.senx) com uma ou mais de suas harmônica (Hi).

Fundamental + segundo harmônico É costume expressar a harmônica como uma percentagem da fundamental. Nesta primeira ilustração adotou-se o valor alto de 20% apenas com o objetivo de ressaltar seu efeito. Ainda nesta ilustração, por simplicidade, se considera que a harmônica passa por zero no mesmo instante que a fundamental, ainda que isto não ocorra, necessariamente, em muitos casos práticos.


Observe que o segundo harmônico foi tomado como positivo com relação à fundamental ao iniciar seu primeiro período. Ao iniciar seu segundo período o segundo harmônico ainda é positivo ainda que a fundamental seja agora negativa. Deste modo, os dois semiciclos da onda resultante têm formas diferentes e uma delas não é imagem especular da outra, ou seja, invertendo-se o primeiro semiciclo ele não será superponível ao segundo semiciclo, por simples translações. Isto exclui o segundo harmônico e todos os harmônicos de ordem par das formas de ondas originadas nos alternadores (este é um requisito básico!).

Fundamental + terceiro harmônico As coisas são diferentes com o terceiro harmônico, como veremos a seguir. Ilustremos a superposição:


Aqui o harmônico se inverte três vezes enquanto que a fundamental se inverte uma vez, portanto ambas iniciam juntas o segundo semiciclo como o fizeram no primeiro. A onda resultante tem simetria especular (o inverso do primeiro semiciclo é superponível ao segundo semiciclo por simples translação) e isto se estende quando estão presente os harmônicos ímpares. O terceiro harmônico é a harmônica, no geral, mais provável nas ondas de C.A. e, harmônicas ímpares superiores, quando ocorrem, são geralmente de amplitudes decrescentes.

A fase do movimento harmônico simples pode ter efeito considerável na forma de onda resultante. Assim, se o terceiro harmônico na ilustração acima tiver deslocamento de fase em relação à fundamental, a forma da onda resultante apresentará sérias modificações. Se a onda harmônica se inverte (adiantada de 180º --- ilustração à direita) a onda resultante deve ter um pico em lugar de achatamento com cavidade.

Fundamental + vários harmônicos


Uma aplicação das harmônicas é seu emprego na determinação do valor r.m.s . Cada componente da onda resultante produz seu próprio aquecimento proporcional a seu valor quadrático médio, sendo o efeito total de aquecimento igual ao da onda resultante. Por esta razão o valor r.m.s. da onda resultante é dado pela seguinte expressão:

onde os símbolos representam os valores rms da onda fundamental e das harmônicas.

Vantagens da onda senoidal Concluiremos este trabalho relativo à curva senoidal com um resumo de suas principais vantagens:

1- A onda senoidal é a forma periódica mais simples possível, posto que não pode ser decomposta em componentes mais simples que ela mesmo. 2- Por outro lado, qualquer onda periódica pode ser analisada em suas componentes senoidais. 3- A rapidez com que se modifica uma grandeza senoidal é também senoidal (derivada). 4- Quando se combinam várias curvas senoidais de mesma frequência, produz sempre outras curvas senoidais. 5- Uma grandeza senoidal pode ser representada por um fasor e duas ou mais senoidais de mesma frequência podem ser combinadas por adição de seus fasores.

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Onda Senoidal