Ondas Não-lineares

Ondas No-lineares

Roberto Andr Kraenkel

IFT-UNESPSo Paulo

Brasil

Julho de 2007 / IFT-UNESP

Aula II: Variaes ao redor de uma equao.

(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 1 / 27

Ondas No-lineares


IFT-UNESPSo Paulo

Brasil


Aula II:

Variaes ao redor de uma equao.


Ondas No-lineares


IFT-UNESPSo Paulo

Brasil


Aula II: Variaes ao redor de uma equao.


Sumrio

1 Os personagens

2 A equao de Korteweg-de Vries

3 Perguntas Feitas Freqentemente

4 Resumo


Os personagens da nossa histria

Figure: Diederik Korteweg. Grande matemtico holands. Estudou a propagao de ondasngua.



Figure: Gustav de Vries. Aluno de Korteweg e de van der Waals. Tornou-se professor decolgio.



Figure: Joseph Valentin Boussinesq. Importante hidrodinamicista francs. Note a existnciada associao dos amigos de Boussinesq no Brasil:http://www.oceanica.ufrj.br/costeira/projetos/boussinesq/navegacao.php?cod=1



Figure: Martin Kruskal. Fsico-matemtico americano quen redescobriu KdV" e inventou ummtodo para resolv-la.



Figure: John Scott Russell. Engenheiro escocs que observou uma ond solitria num canal ese dedicou a reproduzi-la em um laboratrio.


A equao de Korteweg-de Vries

Retomemos a equao comentada na aula anterior:

ut

+ 6uux

no-linear

+

disperso3ux3

= 0

Observaes:I O fator 6 no importante. Por que?Se reescalonamos u, u u,

a equao fica: ut 6uux +

3ux3 = 0

I que tem um coeficiente arbitrrio no termo no-linear.

Voltemos a olhar as solues de KdV ( assim a chamaremosdaqui por diante).




ut

+

6uux

no-linear

+

disperso3ux3

= 0



3ux3 = 0






ut

+ 6uux

no-linear

+

disperso3ux3

= 0



3ux3 = 0






ut

+ 6uux

no-linear

+

disperso3ux3

= 0

Observaes:I O fator 6 no importante.

Por que?Se reescalonamos u, u u,a equao fica: ut 6u

ux +

3ux3 = 0






ut

+ 6uux

no-linear

+

disperso3ux3

= 0

Observaes:I O fator 6 no importante. Por que?

Se reescalonamos u, u u,a equao fica: ut 6u

ux +

3ux3 = 0






ut

+ 6uux

no-linear

+

disperso3ux3

= 0


a equao fica:

ut 6u

ux +

3ux3 = 0






ut

+ 6uux

no-linear

+

disperso3ux3

= 0



3ux3 = 0






ut

+ 6uux

no-linear

+

disperso3ux3

= 0



3ux3 = 0


Voltemos a olhar as solues de KdV

( assim a chamaremosdaqui por diante).




ut

+ 6uux

no-linear

+

disperso3ux3

= 0



3ux3 = 0




KdV com u(x , 0) = sech2(x)

Figure: ut + 6uux + uxxx = 0, com u(x , 0) = sech2(x)


kdv_amp1.aviMedia File (video/avi)

OU seja,..

Nada de muito excitante...

a onda tornou-se ...ondulada.no quebrouDado que a equao no-linear, talvez se mudarmos aamplitude, a dinmica mude.


OU seja,..

Nada de muito excitante...a onda tornou-se ...ondulada.

no quebrouDado que a equao no-linear, talvez se mudarmos aamplitude, a dinmica mude.


OU seja,..

Nada de muito excitante...a onda tornou-se ...ondulada.no quebrou

Dado que a equao no-linear, talvez se mudarmos aamplitude, a dinmica mude.


OU seja,..

Nada de muito excitante...a onda tornou-se ...ondulada.no quebrouDado que a equao no-linear, talvez se mudarmos aamplitude, a dinmica mude.


KdV com u(x , 0) = 2sech2(x)

Figure: ut + 6uux + uxxx = 0, com u(x , 0) = 2sech2(x)



O soliton

Mudou mesmo!

A onda simplemente manteve sua forma inalteradaChamamos isto de um solitonH um balano entre no-linearidade e disperso


O soliton

Mudou mesmo!A onda simplemente manteve sua forma inalterada

Chamamos isto de um solitonH um balano entre no-linearidade e disperso


O soliton

Mudou mesmo!A onda simplemente manteve sua forma inalteradaChamamos isto de um soliton

H um balano entre no-linearidade e disperso


O soliton

Mudou mesmo!A onda simplemente manteve sua forma inalteradaChamamos isto de um solitonH um balano entre no-linearidade e disperso


Nomes de ondas e de gente

Por que ser que utilizei a palavra soliton aqui e antes haviautilizado a expresso onda solitria ?

I Em geral, um pulso que viaja inalterado chamado de uma ondaviajante.

I Um pulso localizado que viaja inalterado chamado de uma ondasolitria.

I Um pulso localizado que viaja inalterado ee no se destroi quando interage com outras ondas chamado deum soliton

Pelo que vimos nas simulaes, sabemos que temos uma ondasolitria.J veremos que se trata de um soliton.



Por que ser que utilizei a palavra soliton aqui

e antes haviautilizado a expresso onda solitria ?










I Um pulso localizado que viaja inalterado e

e no se destroi quando interage com outras ondas chamado deum soliton








Pelo que vimos nas simulaes, sabemos que temos uma ondasolitria.

J veremos que se trata de um soliton.


I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair

of horses, when the boat suddenly stopped - not so the mass of water in the channel which it had

put in motion; it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation, then

suddenly leaving it behind, rolled forward with great velocity, assuming the form of a large solitary

elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of water, which continued its course along

the channel apparently without change of form or diminution of speed. I followed it on horseback,

and overtook it still rolling on at a rate of some eight or nine miles an hour, preserving its original

figure some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height. Its height gradually

diminished, and after a chase of one or two miles I lost it in the windings of the channel. Such, in

the month of August 1834, was my first chance interview with that singular and beautiful

phenomenon which I have called the Wave of Translation.


Figure: John Scott Russell, 1845.


Figure: Cenas darepetio da experincia, 1995.


Figure: Cenas da repetio da experincia, 1995.


Soliton + coda

O perfil inicial foi destruido.

mesmo assim, vemos claramente o soliton.ele viaja por cima das ondulaes.temos um soliton + trem de ondas dispersivo.Muito bom! Vamos continuar a jogar este jogo. Consideremosmaiores amplitudes.


Soliton + coda

O perfil inicial foi destruido.mesmo assim, vemos claramente o soliton.

ele viaja por cima das ondulaes.temos um soliton + trem de ondas dispersivo.Muito bom! Vamos continuar a jogar este jogo. Consideremosmaiores amplitudes.


Soliton + coda

O perfil inicial foi destruido.mesmo assim, vemos claramente o soliton.ele viaja por cima das ondulaes.

temos um soliton + trem de ondas dispersivo.Muito bom! Vamos continuar a jogar este jogo. Consideremosmaiores amplitudes.


Soliton + coda

O perfil inicial foi destruido.mesmo assim, vemos claramente o soliton.ele viaja por cima das ondulaes.temos um soliton + trem de ondas dispersivo.

Muito bom! Vamos continuar a jogar este jogo. Consideremosmaiores amplitudes.


Soliton + coda

O perfil inicial foi destruido.mesmo assim, vemos claramente o soliton.ele viaja por cima das ondulaes.temos um soliton + trem de ondas dispersivo.Muito bom! Vamos continuar a jogar este jogo. Consideremosmaiores amplitudes.


Nada de novo

Nada de novo.Um soliton viajando por cimas das ondas dispersivas.Mais amplitude!


Dois solitons

Temos dois solitons, exatamente.

O maior vai mais rpidoeles passam um pelo outro sem serem destruidosqueremos mais . Mais amplitude.


Dois solitons

Temos dois solitons, exatamente.O maior vai mais rpido

eles passam um pelo outro sem serem destruidosqueremos mais . Mais amplitude.


Dois solitons

Temos dois solitons, exatamente.O maior vai mais rpidoeles passam um pelo outro sem serem destruidos

queremos mais . Mais amplitude.


Dois solitons

Temos dois solitons, exatamente.O maior vai mais rpidoeles passam um pelo outro sem serem destruidosqueremos mais . Mais amplitude.


Dois solitons + coda

Temos solitons sobre um fundo de ondas dispersivas ( a coda ).

Este esquema pode ser continuado. Para certos valores dasamplitudes iniciais temos solues solitnicas puras.Seno, teremos solitons + trem de ondas dispersivoPara tempos muito grandes ,a energia se concentra nos solitonsSolitons dominam.



Temos solitons sobre um fundo de ondas dispersivas ( a coda ).Este esquema pode ser continuado. Para certos valores dasamplitudes iniciais temos solues solitnicas puras.

Seno, teremos solitons + trem de ondas dispersivoPara tempos muito grandes ,a energia se concentra nos solitonsSolitons dominam.



Temos solitons sobre um fundo de ondas dispersivas ( a coda ).Este esquema pode ser continuado. Para certos valores dasamplitudes iniciais temos solues solitnicas puras.Seno, teremos solitons + trem de ondas dispersivo

Para tempos muito grandes ,a energia se concentra nos solitonsSolitons dominam.



Temos solitons sobre um fundo de ondas dispersivas ( a coda ).Este esquema pode ser continuado. Para certos valores dasamplitudes iniciais temos solues solitnicas puras.Seno, teremos solitons + trem de ondas dispersivoPara tempos muito grandes ,a energia se concentra nos solitons

Solitons dominam.



Temos solitons sobre um fundo de ondas dispersivas ( a coda ).Este esquema pode ser continuado. Para certos valores dasamplitudes iniciais temos solues solitnicas puras.Seno, teremos solitons + trem de ondas dispersivoPara tempos muito grandes ,a energia se concentra nos solitonsSolitons dominam.


A pergunta que voc deveria ter feito.

Por que temos sempre uma sech2 nas condies iniciais.

E se a gente escolher outra?Ok, vocs me pegaram.Ainda teramos solitons, mas no solues solitnicas puras.Trem de solitons + coda. Mas .. para tempos grandes os solitonsdominam.



Por que temos sempre uma sech2 nas condies iniciais.E se a gente escolher outra?

Ok, vocs me pegaram.Ainda teramos solitons, mas no solues solitnicas puras.Trem de solitons + coda. Mas .. para tempos grandes os solitonsdominam.



Por que temos sempre uma sech2 nas condies iniciais.E se a gente escolher outra?Ok, vocs me pegaram.

Ainda teramos solitons, mas no solues solitnicas puras.Trem de solitons + coda. Mas .. para tempos grandes os solitonsdominam.



Por que temos sempre uma sech2 nas condies iniciais.E se a gente escolher outra?Ok, vocs me pegaram.Ainda teramos solitons, mas no solues solitnicas puras.

Trem de solitons + coda. Mas .. para tempos grandes os solitonsdominam.



Por que temos sempre uma sech2 nas condies iniciais.E se a gente escolher outra?Ok, vocs me pegaram.Ainda teramos solitons, mas no solues solitnicas puras.Trem de solitons + coda.

Mas .. para tempos grandes os solitonsdominam.



Por que temos sempre uma sech2 nas condies iniciais.E se a gente escolher outra?Ok, vocs me pegaram.Ainda teramos solitons, mas no solues solitnicas puras.Trem de solitons + coda. Mas .. para tempos grandes os solitonsdominam.


A robustez de um soliton

Eu disse: para tempos grandes os solitons dominam.Ou seja: para tempos grandes, os detalhes da condio inicialsomem.u(x , 0) determinar apenas o contedo solitnico da soluo.Quantos e quo grandes.Note: ns gostamos desta propriedade. ela nos diz:noprecisamos ter um condio inicial bem escolhida para ver umsoliton na natureza, pois qualquer condio inicial nos darsolitons!Os solitons so robustos.Qualquer?.OK, quase qualquer. Ela deve ser localizada.



Eu disse: para tempos grandes os solitons dominam.

Ou seja: para tempos grandes, os detalhes da condio inicialsomem.u(x , 0) determinar apenas o contedo solitnico da soluo.Quantos e quo grandes.Note: ns gostamos desta propriedade. ela nos diz:noprecisamos ter um condio inicial bem escolhida para ver umsoliton na natureza, pois qualquer condio inicial nos darsolitons!Os solitons so robustos.Qualquer?.OK, quase qualquer. Ela deve ser localizada.



Eu disse: para tempos grandes os solitons dominam.Ou seja: para tempos grandes, os detalhes da condio inicialsomem.

u(x , 0) determinar apenas o contedo solitnico da soluo.Quantos e quo grandes.Note: ns gostamos desta propriedade. ela nos diz:noprecisamos ter um condio inicial bem escolhida para ver umsoliton na natureza, pois qualquer condio inicial nos darsolitons!Os solitons so robustos.Qualquer?.OK, quase qualquer. Ela deve ser localizada.



Eu disse: para tempos grandes os solitons dominam.Ou seja: para tempos grandes, os detalhes da condio inicialsomem.u(x , 0) determinar apenas o contedo solitnico da soluo.

Quantos e quo grandes.Note: ns gostamos desta propriedade. ela nos diz:noprecisamos ter um condio inicial bem escolhida para ver umsoliton na natureza, pois qualquer condio inicial nos darsolitons!Os solitons so robustos.Qualquer?.OK, quase qualquer. Ela deve ser localizada.



Eu disse: para tempos grandes os solitons dominam.Ou seja: para tempos grandes, os detalhes da condio inicialsomem.u(x , 0) determinar apenas o contedo solitnico da soluo.Quantos e quo grandes.

Note: ns gostamos desta propriedade. ela nos diz:noprecisamos ter um condio inicial bem escolhida para ver umsoliton na natureza, pois qualquer condio inicial nos darsolitons!Os solitons so robustos.Qualquer?.OK, quase qualquer. Ela deve ser localizada.



Eu disse: para tempos grandes os solitons dominam.Ou seja: para tempos grandes, os detalhes da condio inicialsomem.u(x , 0) determinar apenas o contedo solitnico da soluo.Quantos e quo grandes.Note: ns gostamos desta propriedade. ela nos diz:

noprecisamos ter um condio inicial bem escolhida para ver umsoliton na natureza, pois qualquer condio inicial nos darsolitons!Os solitons so robustos.Qualquer?.OK, quase qualquer. Ela deve ser localizada.



Eu disse: para tempos grandes os solitons dominam.Ou seja: para tempos grandes, os detalhes da condio inicialsomem.u(x , 0) determinar apenas o contedo solitnico da soluo.Quantos e quo grandes.Note: ns gostamos desta propriedade. ela nos diz:noprecisamos ter um condio inicial bem escolhida para ver umsoliton na natureza, pois qualquer condio inicial nos darsolitons!

Os solitons so robustos.Qualquer?.OK, quase qualquer. Ela deve ser localizada.



Eu disse: para tempos grandes os solitons dominam.Ou seja: para tempos grandes, os detalhes da condio inicialsomem.u(x , 0) determinar apenas o contedo solitnico da soluo.Quantos e quo grandes.Note: ns gostamos desta propriedade. ela nos diz:noprecisamos ter um condio inicial bem escolhida para ver umsoliton na natureza, pois qualquer condio inicial nos darsolitons!Os solitons so robustos.

Qualquer?.OK, quase qualquer. Ela deve ser localizada.



Eu disse: para tempos grandes os solitons dominam.Ou seja: para tempos grandes, os detalhes da condio inicialsomem.u(x , 0) determinar apenas o contedo solitnico da soluo.Quantos e quo grandes.Note: ns gostamos desta propriedade. ela nos diz:noprecisamos ter um condio inicial bem escolhida para ver umsoliton na natureza, pois qualquer condio inicial nos darsolitons!Os solitons so robustos.Qualquer?.

OK, quase qualquer. Ela deve ser localizada.



Eu disse: para tempos grandes os solitons dominam.Ou seja: para tempos grandes, os detalhes da condio inicialsomem.u(x , 0) determinar apenas o contedo solitnico da soluo.Quantos e quo grandes.Note: ns gostamos desta propriedade. ela nos diz:noprecisamos ter um condio inicial bem escolhida para ver umsoliton na natureza, pois qualquer condio inicial nos darsolitons!Os solitons so robustos.Qualquer?.OK, quase qualquer.

Ela deve ser localizada.



Eu disse: para tempos grandes os solitons dominam.Ou seja: para tempos grandes, os detalhes da condio inicialsomem.u(x , 0) determinar apenas o contedo solitnico da soluo.Quantos e quo grandes.Note: ns gostamos desta propriedade. ela nos diz:noprecisamos ter um condio inicial bem escolhida para ver umsoliton na natureza, pois qualquer condio inicial nos darsolitons!Os solitons so robustos.Qualquer?.OK, quase qualquer. Ela deve ser localizada.


Integrabilidade

equao de KdV:

ut +6uux +uxxx = 0 tem certas particularidades.Ela pode ser resolvida.Defina-se melhor: podemos resolver o problema de Cauchy paraela.Como? Complicado. H um mtodo, chamado de mtodo doespalhamento inverso.No vamos entrar nesta seara.Ela faz parte de um grupo de equaes ditas integrveis.So o anlogo para EDPs da integrabilidade de Lagrange dasODEs.So raras.


Integrabilidade

equao de KdV: ut +6uux +uxxx = 0 tem certas particularidades.Ela pode ser resolvida.

Defina-se melhor: podemos resolver o problema de Cauchy paraela.Como? Complicado. H um mtodo, chamado de mtodo doespalhamento inverso.No vamos entrar nesta seara.Ela faz parte de um grupo de equaes ditas integrveis.So o anlogo para EDPs da integrabilidade de Lagrange dasODEs.So raras.


Integrabilidade

equao de KdV: ut +6uux +uxxx = 0 tem certas particularidades.Ela pode ser resolvida.Defina-se melhor: podemos resolver o problema de Cauchy paraela.

Como? Complicado. H um mtodo, chamado de mtodo doespalhamento inverso.No vamos entrar nesta seara.Ela faz parte de um grupo de equaes ditas integrveis.So o anlogo para EDPs da integrabilidade de Lagrange dasODEs.So raras.


Integrabilidade

equao de KdV: ut +6uux +uxxx = 0 tem certas particularidades.Ela pode ser resolvida.Defina-se melhor: podemos resolver o problema de Cauchy paraela.Como?

Complicado. H um mtodo, chamado de mtodo doespalhamento inverso.No vamos entrar nesta seara.Ela faz parte de um grupo de equaes ditas integrveis.So o anlogo para EDPs da integrabilidade de Lagrange dasODEs.So raras.


Integrabilidade

equao de KdV: ut +6uux +uxxx = 0 tem certas particularidades.Ela pode ser resolvida.Defina-se melhor: podemos resolver o problema de Cauchy paraela.Como? Complicado.

H um mtodo, chamado de mtodo doespalhamento inverso.No vamos entrar nesta seara.Ela faz parte de um grupo de equaes ditas integrveis.So o anlogo para EDPs da integrabilidade de Lagrange dasODEs.So raras.


Integrabilidade

equao de KdV: ut +6uux +uxxx = 0 tem certas particularidades.Ela pode ser resolvida.Defina-se melhor: podemos resolver o problema de Cauchy paraela.Como? Complicado. H um mtodo, chamado de mtodo doespalhamento inverso.

No vamos entrar nesta seara.Ela faz parte de um grupo de equaes ditas integrveis.So o anlogo para EDPs da integrabilidade de Lagrange dasODEs.So raras.


Integrabilidade

equao de KdV: ut +6uux +uxxx = 0 tem certas particularidades.Ela pode ser resolvida.Defina-se melhor: podemos resolver o problema de Cauchy paraela.Como? Complicado. H um mtodo, chamado de mtodo doespalhamento inverso.No vamos entrar nesta seara.

Ela faz parte de um grupo de equaes ditas integrveis.So o anlogo para EDPs da integrabilidade de Lagrange dasODEs.So raras.


Integrabilidade

equao de KdV: ut +6uux +uxxx = 0 tem certas particularidades.Ela pode ser resolvida.Defina-se melhor: podemos resolver o problema de Cauchy paraela.Como? Complicado. H um mtodo, chamado de mtodo doespalhamento inverso.No vamos entrar nesta seara.Ela faz parte de um grupo de equaes ditas integrveis.

So o anlogo para EDPs da integrabilidade de Lagrange dasODEs.So raras.


Integrabilidade

equao de KdV: ut +6uux +uxxx = 0 tem certas particularidades.Ela pode ser resolvida.Defina-se melhor: podemos resolver o problema de Cauchy paraela.Como? Complicado. H um mtodo, chamado de mtodo doespalhamento inverso.No vamos entrar nesta seara.Ela faz parte de um grupo de equaes ditas integrveis.So o anlogo para EDPs da integrabilidade de Lagrange dasODEs.

So raras.


Integrabilidade

equao de KdV: ut +6uux +uxxx = 0 tem certas particularidades.Ela pode ser resolvida.Defina-se melhor: podemos resolver o problema de Cauchy paraela.Como? Complicado. H um mtodo, chamado de mtodo doespalhamento inverso.No vamos entrar nesta seara.Ela faz parte de um grupo de equaes ditas integrveis.So o anlogo para EDPs da integrabilidade de Lagrange dasODEs.So raras.


Exerccio I

Seja a equao de KdV:

ut + 6uux + uxxx = 0

Mostre que 2k2sech2(k2 (x 4k2t) soluo de KdV.

Discuta a frase: os solitons maiores vo mais rpido.Tome uma soluo do tipo onda viajante, u(x , t) = u(x vt).Obtenha uma expresso integral para uma onda viajante geral.


Exerccio I




Discuta a frase: os solitons maiores vo mais rpido.

Tome uma soluo do tipo onda viajante, u(x , t) = u(x vt).Obtenha uma expresso integral para uma onda viajante geral.


Exerccio I




Discuta a frase: os solitons maiores vo mais rpido.Tome uma soluo do tipo onda viajante, u(x , t) = u(x vt).Obtenha uma expresso integral para uma onda viajante geral.


Perguntas Feitas Freqentemente

A equao ut + Auux + Buxxx = 0 tambm integrvel?.I Claro, basta reescalonar u , t e x para voltar forma anterior.

KdV unidirecional. H algo como uma "KdV bi-direcional"?I Sim, trata-se da equao de Boussinesq:

utt uxx + uxxxx + (u2)xx = 0H equaes que apresentam ondas solitrias que no sosolitons.?

I Muitas. Exemplo, a equao BBM ( Benjamin-Bona-Mahoney ):ut ux + 6uux + uxxt = 0

H equaes integrveis que no tm solitons?I Se for integrvel atravs do mtodo doespalhamento inverso,

haver solitons.I Mas h outras classes de equaes integrveis.I Exemplo: equao de Burgers, ut + 6uux uxx = 0 que tem

solues tipo kink.KdV e suas parentes tm aplicaes na fsica?

I Sim, muitas. Na aula seguinte ser a vez de falar disto.


Perguntas Feitas FreqentementeA equao ut + Auux + Buxxx = 0 tambm integrvel?.

I Claro, basta reescalonar u , t e x para voltar forma anterior.KdV unidirecional. H algo como uma "KdV bi-direcional"?

I Sim, trata-se da equao de Boussinesq:utt uxx + uxxxx + (u2)xx = 0

H equaes que apresentam ondas solitrias que no sosolitons.?








I Claro, basta reescalonar u , t e x para voltar forma anterior.

KdV unidirecional. H algo como uma "KdV bi-direcional"?I Sim, trata-se da equao de Boussinesq:

utt uxx + uxxxx + (u2)xx = 0H equaes que apresentam ondas solitrias que no sosolitons.?












H equaes integrveis que no tm solitons?

I Se for integrvel atravs do mtodo doespalhamento inverso,haver solitons.

I Mas h outras classes de equaes integrveis.I Exemplo: equao de Burgers, ut + 6uux uxx = 0 que tem










haver solitons.

I Mas h outras classes de equaes integrveis.I Exemplo: equao de Burgers, ut + 6uux uxx = 0 que tem










haver solitons.I Mas h outras classes de equaes integrveis.

I Exemplo: equao de Burgers, ut + 6uux uxx = 0 que temsolues tipo kink.

KdV e suas parentes tm aplicaes na fsica?I Sim, muitas. Na aula seguinte ser a vez de falar disto.








haver solitons.I Mas h outras classes de equaes integrveis.I Exemplo: equao de Burgers, ut + 6uux uxx = 0

que temsolues tipo kink.

KdV e suas parentes tm aplicaes na fsica?I Sim, muitas. Na aula seguinte ser a vez de falar disto.


Exerccio II

Seja a equao de Burgers:

ut + uux uxx = 0

Faa uma transformao de variveis: u = 2xE mostre que t = xxDiscuta esse resultado. O que h de inusitado?


Exerccio II


ut + uux uxx = 0

Faa uma transformao de variveis: u = 2x

E mostre que t = xxDiscuta esse resultado. O que h de inusitado?


Exerccio II


ut + uux uxx = 0

Faa uma transformao de variveis: u = 2xE mostre que t = xxDiscuta esse resultado.

O que h de inusitado?


Exerccio II


ut + uux uxx = 0

Faa uma transformao de variveis: u = 2xE mostre que t = xxDiscuta esse resultado. O que h de inusitado?


Sumrio e Perspectivas (para amanh)

A equao de KdV tem solues que representam ondasuni-direcionais.Tais solues compe-se de solitons + trem de ondas dispersivas.Vimos que os solitons dominam a dinmica para grandes tempos.Amanh estudaremos ondas de superfcie na gua.Reencotraremos KdV. Mas no s.Nosso zoolgico e equaes tem muitos bichos!E nossa gua poder no ser to plcida.Tsunamis, Ondas Celeradas, Ondas Internas Gigantes.VAI SER EMOCIONANTE.



A equao de KdV tem solues que representam ondasuni-direcionais.

Tais solues compe-se de solitons + trem de ondas dispersivas.Vimos que os solitons dominam a dinmica para grandes tempos.Amanh estudaremos ondas de superfcie na gua.Reencotraremos KdV. Mas no s.Nosso zoolgico e equaes tem muitos bichos!E nossa gua poder no ser to plcida.Tsunamis, Ondas Celeradas, Ondas Internas Gigantes.VAI SER EMOCIONANTE.



A equao de KdV tem solues que representam ondasuni-direcionais.Tais solues compe-se de solitons + trem de ondas dispersivas.

Vimos que os solitons dominam a dinmica para grandes tempos.Amanh estudaremos ondas de superfcie na gua.Reencotraremos KdV. Mas no s.Nosso zoolgico e equaes tem muitos bichos!E nossa gua poder no ser to plcida.Tsunamis, Ondas Celeradas, Ondas Internas Gigantes.VAI SER EMOCIONANTE.



A equao de KdV tem solues que representam ondasuni-direcionais.Tais solues compe-se de solitons + trem de ondas dispersivas.Vimos que os solitons dominam a dinmica para grandes tempos.

Amanh estudaremos ondas de superfcie na gua.Reencotraremos KdV. Mas no s.Nosso zoolgico e equaes tem muitos bichos!E nossa gua poder no ser to plcida.Tsunamis, Ondas Celeradas, Ondas Internas Gigantes.VAI SER EMOCIONANTE.



A equao de KdV tem solues que representam ondasuni-direcionais.Tais solues compe-se de solitons + trem de ondas dispersivas.Vimos que os solitons dominam a dinmica para grandes tempos.Amanh estudaremos ondas de superfcie na gua.

Reencotraremos KdV. Mas no s.Nosso zoolgico e equaes tem muitos bichos!E nossa gua poder no ser to plcida.Tsunamis, Ondas Celeradas, Ondas Internas Gigantes.VAI SER EMOCIONANTE.



A equao de KdV tem solues que representam ondasuni-direcionais.Tais solues compe-se de solitons + trem de ondas dispersivas.Vimos que os solitons dominam a dinmica para grandes tempos.Amanh estudaremos ondas de superfcie na gua.Reencotraremos KdV.

Mas no s.Nosso zoolgico e equaes tem muitos bichos!E nossa gua poder no ser to plcida.Tsunamis, Ondas Celeradas, Ondas Internas Gigantes.VAI SER EMOCIONANTE.



A equao de KdV tem solues que representam ondasuni-direcionais.Tais solues compe-se de solitons + trem de ondas dispersivas.Vimos que os solitons dominam a dinmica para grandes tempos.Amanh estudaremos ondas de superfcie na gua.Reencotraremos KdV. Mas no s.

Nosso zoolgico e equaes tem muitos bichos!E nossa gua poder no ser to plcida.Tsunamis, Ondas Celeradas, Ondas Internas Gigantes.VAI SER EMOCIONANTE.



A equao de KdV tem solues que representam ondasuni-direcionais.Tais solues compe-se de solitons + trem de ondas dispersivas.Vimos que os solitons dominam a dinmica para grandes tempos.Amanh estudaremos ondas de superfcie na gua.Reencotraremos KdV. Mas no s.Nosso zoolgico e equaes tem muitos bichos!

E nossa gua poder no ser to plcida.Tsunamis, Ondas Celeradas, Ondas Internas Gigantes.VAI SER EMOCIONANTE.



A equao de KdV tem solues que representam ondasuni-direcionais.Tais solues compe-se de solitons + trem de ondas dispersivas.Vimos que os solitons dominam a dinmica para grandes tempos.Amanh estudaremos ondas de superfcie na gua.Reencotraremos KdV. Mas no s.Nosso zoolgico e equaes tem muitos bichos!E nossa gua poder no ser to plcida.

Tsunamis, Ondas Celeradas, Ondas Internas Gigantes.VAI SER EMOCIONANTE.



A equao de KdV tem solues que representam ondasuni-direcionais.Tais solues compe-se de solitons + trem de ondas dispersivas.Vimos que os solitons dominam a dinmica para grandes tempos.Amanh estudaremos ondas de superfcie na gua.Reencotraremos KdV. Mas no s.Nosso zoolgico e equaes tem muitos bichos!E nossa gua poder no ser to plcida.Tsunamis, Ondas Celeradas, Ondas Internas Gigantes.

VAI SER EMOCIONANTE.



A equao de KdV tem solues que representam ondasuni-direcionais.Tais solues compe-se de solitons + trem de ondas dispersivas.Vimos que os solitons dominam a dinmica para grandes tempos.Amanh estudaremos ondas de superfcie na gua.Reencotraremos KdV. Mas no s.Nosso zoolgico e equaes tem muitos bichos!E nossa gua poder no ser to plcida.Tsunamis, Ondas Celeradas, Ondas Internas Gigantes.VAI SER EMOCIONANTE.


Os personagens A equao de Korteweg-de VriesPerguntas Feitas FreqentementeResumo

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Ondas Não-lineares