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Orientações didáticas sobre a mobilização
de conhecimentos matemáticos esperados
dos alunos em relação a itens e questões
ALESSANDRA CARVALHO TEIXEIRA
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS SOBRE
A MOBILIZAÇÃO DE
CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS
ESPERADOS DOS ALUNOS EM
RELAÇÃO A ITENS E QUESTÕES
Alessandra Carvalho Teixeira
Profa Dra Cintia Ap. Bento dos Santos
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS SOBRE
A MOBILIZAÇÃO DE
CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS
ESPERADOS DOS ALUNOS EM
RELAÇÃO A ITENS E QUESTÕES
Universidade Cruzeiro Do Sul
2013
© 2013
Universidade Cruzeiro do Sul
Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa. Dra. Sueli Cristina Marquesi
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
Pró-Reitor – Prof. Dr. Danilo Antonio Duarte
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
Coordenação – Profa. Dra. Edda Curi
Banca examinadora
Profa. Dra. Edda Curi
Profa. Dra. Celi Aparecida Espasandin Lopes
Profa. Dra. Maria Tereza Carneiro Soares
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
T264o
Teixeira, Alessandra Carvalho.
Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos
matemáticos esperados dos alunos em relação a itens e questões / Alessandra Carvalho Teixeira. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2013.
24 p. : il. Produto educacional (Mestrado em ensino de Ciências e
Matemática). 1. Ensino de matemática. 2. Saresp 3. Didática – Matemática 4.
Ensino fundamental. I. Título II. Série.
CDU: 51
Sumário
1 APRESENTAÇÃO ................................................................................................................... 5
2 OS NÍVEIS DE FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO............................................ 7
3 O PRODUTO ........................................................................................................................... 9
3.1 EXEMPLOS DE COMO ANALISAR ITENS E QUESTÕES DE ACORDO COM OS
NÍVEIS DE FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO ...................................................... 9
3.1.1 Nível Técnico ..................................................................................................................... 9
3.1.2 Nível Mobilizável ............................................................................................................. 11
3.1.3 Nível Disponível .............................................................................................................. 16
4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ................................................................................... 21
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................ 23
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................ 24
Alessandra Carvalho Teixeira
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
1 APRESENTAÇÃO
Este produto educacional foi construído a partir da dissertação intitulada
“Uma análise sobre a mobilização de conhecimentos matemáticos em
relação aos itens e questões do Saresp 2010 do 9º ano do Ensino
Fundamental1”, defendida em 2013 por Alessandra Carvalho Teixeira sob a
orientação da Profª. Drª. Cintia Ap. Bento dos Santos. O objetivo da pesquisa
foi categorizar os itens e questões referentes à 8ª série/9ºano divulgados no
Relatório Pedagógico do Saresp 2010 acerca de quais são os indicativos em
relação a mobilização de conhecimentos solicitada dos alunos.
A referida autora é mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela
Universidade Cruzeiro do Sul (Unicsul SP); Licenciada em Matemática com
ênfase em Ciências da Computação pelo Centro Universitário São Camilo;
Licenciada em Pedagogia pela Universidade São Bernardo; Especialista em
Modelagem Matemática pela UFABC (Universidade Federal do ABC - Santo
André/SP); Professora de Matemática dos anos finais do Ensino Fundamental
e do Ensino Médio, da rede Pública do Estado de São Paulo desde 1995;
Orientadora de Trabalho de Conclusão de Curso da Especialização Docência
no Ensino Superior da Universidade Cruzeiro do Sul Virtual; Professora
Coordenadora de Estágio do curso de Matemática EAD pela Universidade
Paulista (UNIP); Orientadora de Trabalho de Conclusão de Curso das turmas
de Pedagogia e Matemática da Unip Interativa.
Este material é destinado a professores de Matemática, alunos das
licenciaturas de Matemática e Pedagogia e pesquisadores da área, com
objetivo de apresentar um forte instrumento no momento de professores e
futuros professores compreenderem as dificuldades de seus alunos, ou seja,
como ocorre a aquisição de conhecimento e o trabalho com as noções
matemáticas aprendidas anteriormente no momento em que os alunos
precisam resolver tarefas que nem sempre apresentada, de forma explícita, a
noção matemática ali presente.
1http://sites.cruzeirodosulvirtual.com.br/pos_graduacao/trabs_programas_pos/trabalhos/Mestra
do_Ensino_de_Ciencias_e_Matematica/MESTRADO_ENSINO_DE_CIENCIAS_E_MATEMATICA-Alessandra%20Carvalho%20Teixeira_532.PDF
Alessandra Carvalho Teixeira
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Além disso, outro ponto que nos motivou a elaborar esse material é o
fato de percebermos a importância de analisar os exercícios propostos em sala
de aula e as habilidades que eles desenvolvem, se a relação entre eles está
correta, pois percebemos em alguns exemplos que apresentaremos, falha
entre o que é proposto e a habilidade indicada. Também devemos olhar a
resolução que o aluno apresenta e o erro cometido, pois esse erro não significa
ausência de conhecimento.
Alessandra Carvalho Teixeira
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
2 OS NÍVEIS DE FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO
Nesta seção apresentaremos a abordagem teórica da pesquisadora
francesa Aline Robert (1998) sobre o funcionamento dos conhecimentos
esperados dos educandos, o qual é definido em níveis, denominados como
técnico, mobilizável e disponível.
Santos (2008, p. 23), diz que “os estudos de Robert não representam
uma teoria de aprendizagem e sim um caminho para possibilitar uma nova
estratégia didática para o ensino”, uma vez que além de proporcionar
compreender as dificuldades dos alunos, também possibilita a seleção de
tarefas a serem trabalhadas de acordo com o nível de funcionamento do
conhecimento que se espera dos educandos.
Segundo Robert (1998), o nível técnico requer do aluno a aplicação
imediata de um conhecimento. Nesse nível, os elementos são muito claros,
explicitam aplicações imediatas que podem ser de teoremas, propriedades,
definições, fórmulas, etc. Nesse nível, as contextualizações se fazem de forma
simples e não exigem etapas, trabalho preliminar de reconhecimento ou
adaptações.
A pesquisadora considera que o nível técnico deve ser trabalhado, mas
não como uma forma de se tratar uma noção matemática, pois quando o
professor privilegia o trabalho no nível técnico, corre o risco de, por exemplo,
ao alterar um detalhe no enunciado de uma tarefa, fazer com que os alunos
não mais reconheçam a noção em jogo ou os procedimentos necessários de
resolução, ou seja, os níveis de conhecimento estão associados à forma como
as tarefas são apresentadas aos alunos.
Robert (1998) considera que o nível mobilizável permite ao aluno
reconhecer o elemento matemático, ou seja, o que é solicitado ainda é claro.
Porém, é preciso que modificações e/ou adaptações sejam realizadas para a
resolução da tarefa. Nesse nível, apesar de o elemento matemático ainda estar
explícito, os alunos devem mobilizar conhecimentos matemáticos de forma a
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
adaptá-los para que seja possível a resolução da situação proposta.
Esse nível testa um funcionamento de conhecimento em que existe a
justaposição de saberes e mesmo de organização. Se um saber estiver bem
identificado e for bem utilizado pelo aluno, mesmo que seja necessária
adaptação ao contexto particular, ele é considerado mobilizável.
Para o nível disponível, Robert (1998) considera que este requer do
aluno procurar em seus próprios conhecimentos já construídos soluções para
intervir na resolução da questão proposta, ou seja, resolver o que está proposto
sem indicações, fornecer contra-exemplos e aplicar métodos não previstos.
Segundo a pesquisadora, esse nível funciona ainda como um desafio para os
alunos.
É necessário que o aluno busque em seus conhecimentos construídos
anteriormente a ferramenta mais útil para solução do item, ou seja, existe uma
justaposição de saberes que precisam estar organizados para serem
mobilizados.
Alessandra Carvalho Teixeira
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
3 O PRODUTO
O presente produto consiste em apresentar ao professor exemplos de
itens e questões analisados de acordo com os níveis de funcionamento do
conhecimento esperados dos alunos, de modo que seja possível a identificação
das atividades que serão trabalhadas em sala de aula, uma vez que, assim
como Robert (1998), evidenciamos a importância de um trabalho que leve em
consideração a dimensão dos três níveis de conhecimento como forma de
fazer alunos evoluírem em suas aprendizagens e poderem mobilizar
conhecimentos matemáticos mesmo em situações distintas da sala de aula.
3.1 EXEMPLOS DE COMO ANALISAR ITENS E QUESTÕES DE ACORDO
COM OS NÍVEIS DE FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO
As atividades, cujas análises serão apresentadas, estão separadas em
subseções de acordo com o nível de funcionamento do conhecimento: técnico,
mobilizável e disponível.
3.1.1 Nível Técnico
O item apresentado na figura 1 requer do aluno a passagem da
representação fracionária para a decimal em relação a um número racional.
Figura 1 – Item referente ao nível básico de proficiência
Fonte: São Paulo, 2011, p. 141.
De acordo com abordagem de Robert (1998), o item pode ser
classificado como de nível técnico, uma vez que, apesar de apresentar um
contexto do cotidiano, sua contextualização é simples e requer do aluno a
aplicação imediata de um conhecimento, ou seja, a passagem de uma
representação fracionária para decimal (o aluno precisa apenas dividir o
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
numerador pelo denominador).
A figura 2 apresenta um item que avalia a habilidade do aluno de
“reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas
relações” (São Paulo, 2011, p. 147).
Figura 2 – Item referente ao nível avançado de proficiência
Fonte: São Paulo, 2011, p. 147.
Segundo a abordagem de Robert (1998), o item pode ser classificado
como de nível técnico de funcionamento do conhecimento. Trata-se de uma
contextualização simples, dentro do contexto da própria Matemática, em que é
necessário apenas que o aluno disponha dos elementos da circunferência, ou
seja, a noção a ser trabalhada está explícita. O aluno deve identificar que o raio
é qualquer segmento que une o centro a um ponto da circunferência, sendo,
assim, a metade do diâmetro. A representação figural presente no item deixa
claro ao aluno, dentre as alternativas apresentadas, que o raio solicitado está
representado pelo segmento .
Faz-se necessário que o aluno leia as alternativas para saber qual o raio
solicitado, considerando o fato de que a figura apresenta os raios , e
. Isso indica falha na elaboração do enunciado, podendo atrapalhar a
mobilização do conhecimento pelo aluno, causando confusão no processo de
organização do conhecimento a ser disponibilizado para a resolução do item,
ou seja, o conceito de raio.
O item apresentado na figura 3 avalia a habilidade do aluno de
“identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema”
(São Paulo, 2011, p. 151).
PQ
PR PT
PQ
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 3 – Item referente ao nível avançado de proficiência
Fonte: São Paulo, 2011, p. 151.
De acordo com a abordagem de Robert (1998), o item pode ser
classificado no nível técnico de funcionamento do conhecimento, uma vez que
o enunciado evidencia que a noção em jogo são os sistemas de equações,
exigindo que o aluno reconheça imediatamente o papel de cada variável
envolvida. Ressaltamos que se essa tarefa não fosse de múltipla escolha, não
estaria relacionada ao nível técnico.
3.1.2 Nível Mobilizável
A figura 4 apresenta um item que avalia a habilidade do aluno de
“efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais” (São Paulo,
2011, p. 147).
Figura 4 – Item referente ao nível avançado de proficiência
Fonte: São Paulo, 2011, p. 147.
De acordo com a abordagem de Robert (1998), o item está no nível
mobilizável de funcionamento do conhecimento, pois embora esteja explícito
que a noção matemática é efetuar cálculo com valores aproximados de
radicais, é necessário que o aluno faça pequenas adaptações, uma vez que o
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
valor a ser calculado da distância está representado na forma de um número
irracional.
Para resolver o item, é necessário que o aluno perceba que a distância
percorrida não está indicada na figura, e sim, no seu enunciado, ou seja, a
distância representada por √1800 𝑚. Na verdade, a primeira habilidade
desenvolvida pelo aluno é a identificação do valor da raiz quadrada aproximada
de um número e só depois ele desenvolve a habilidade de calcular com valor
aproximado de radicais. Sendo assim, temos aqui uma questão inadequada,
considerando a habilidade avaliada e a contextualização do item proposto.
Uma das ferramentas que pode ser utilizada para a resolução do item é
a decomposição do radicando em fatores primos (√1800 = √2³. 32. 5² =
√2.2². 32. 5² = 2.3.5√2 ≅ 30√2 ≅ 30.1,4 = 42), o que resulta numa distância de
42 m. A alternativa correta é a “A”, porque outro fator que deve ser observado
pelo aluno para a indicação da alternativa é que o item solicita saber acima de
quantos metros (indicados nas alternativas) Carlos deverá percorrer.
Outra forma de resolver o item é a decomposição do radicando, obtendo
√1800 = √18.100 = √18√100 = √2.9. 10 ≅ 30√2 ≅ 30.1,4 = 42
Usualmente ninguém se desloca considerando um número irracional,
embora o mesmo seja utilizado em medida de comprimento. Com base nisso,
temos aqui um item que apresenta uma falsa contextualização, fugindo do
contexto real do aluno. Não existe aqui nada que, de certa forma, auxilie o
aluno na mobilização dos seus conhecimentos para a resolução do item; pelo
contrário, o mesmo apresenta uma representação figural desnecessária, que, a
nosso ver, pode atrapalhar o aluno em sua resolução. Temos aqui uma crítica
ao tipo de questões elaboradas que, muitas vezes, pouco auxiliam os alunos a
mobilizar seus conhecimentos.
Neste caso, temos um item cujo enunciado pode ter dificultado o
entendimento do aluno. Em quais momentos percorremos distâncias
Alessandra Carvalho Teixeira
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
representadas na forma de radical em nosso dia a dia?
A figura 5 apresenta um item que avalia a habilidade do aluno de
“resolver problema utilizando propriedades dos polígonos (soma de ângulos
internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno dos
polígonos regulares)” (São Paulo, 2011, p. 150).
Figura 5 – Item referente ao nível avançado de proficiência
Fonte: São Paulo, 2011, p. 150.
Segundo a abordagem de Robert (1998), o item está no nível mobilizável
de funcionamento do conhecimento, pois embora a noção em jogo –
propriedades dos polígonos – esteja explícita, é necessário que o aluno faça
uma adaptação que permita encontrar a medida do ângulo BAC, o que
possibilita o cálculo do ângulo solicitado, uma vez que ângulo é a terça parte
da medida do ângulo BAC.
Uma das possíveis soluções é observar que a medida do ângulo é a
terça parte da medida do ângulo BAC. Para determinar a medida do ângulo
BAC, usa-se que a soma dos ângulos internos do polígono é (𝑛 − 2). 180°
sendo assim, (5 − 2). 180° = 3.180° = 540° . A medida do ângulo BAC é obtida
através do cálculo do quociente entre 540° e 5. (540°
5= 108°) e como é a terça
parte da medida do ângulo BAC, é necessário calcular o quociente ente 108° e
3. (𝜃 =108°
3= 36°), chegando à medida solicitada, que é 36°.
A questão apresentada na figura 6, avalia a habilidade de “resolver
problemas envolvendo relações de proporcionalidade direta entre duas
grandezas, por meio de funções do primeiro grau” (São Paulo, 2011, p. 154).
Alessandra Carvalho Teixeira
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 6 – Questão que avalia a habilidade de resolver problemas envolvendo relações de
proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do primeiro grau Fonte: São Paulo, 2011, p. 154.
Para a resolução desta questão, necessário que o aluno disponha dos
conhecimentos de proporcionalidade entre duas grandezas e de função
polinomial de 1º grau. Porém, antes de mobilizar esses conhecimentos, é
necessário que o aluno reconheça quais são as duas grandezas envolvidas na
questão, no caso, o número de pregadores e o número de desenhos.
Para responder ao item “a”, o aluno deve verificar, de acordo com a
figura apresentada, que para prender 5 desenhos (no caso, a variável x) são
necessários 6 pregadores (no caso, a variável y). Segundo o raciocínio de
proporcionalidade direta, é possível concluir que o número de pregadores (y)
será sempre o número de desenhos (x) adicionado a 1. A partir da verificação
em várias situações o aluno chegaria à função 𝑦 = 𝑥 + 1 ou 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 que
expressa a quantidade de pregadores utilizados para prender os desenhos, o
que não poderia ser concluído só com esse desenho, sendo necessário fazer
várias verificações/simulações.
Já para a resolução do item “b”, basta que o aluno utilize a função
elaborada no item “a” e substitua a variável em x por 24, chegando ao resultado
de 25 pregadores. Cabe salientar que para a resolução do item “b”, o aluno não
precisaria dispor da função de 1º grau e poderia chegar à solução a partir
apenas do raciocínio de proporcionalidade direta com base no observado na
figura.
Esta questão, em relação aos níveis de funcionamento dos
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
conhecimentos esperados pelos alunos, está no nível mobilizável. Segundo
Robert (1998), esse nível corresponde a um funcionamento mais amplo, porém
com indicação ainda da noção em jogo. Podemos verificar que o próprio item
“a” faz referência à necessidade de se utilizar função de 1º grau e que a noção
de proporcionalidade pode ser trabalhada pelo aluno de forma intuitiva.
A questão apresentada na figura 7, avalia a habilidade de “resolver
problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos”
(São Paulo, 2011, p. 158).
Figura 7 – Questão que avalia a habilidade de resolver problemas envolvendo informações
apresentadas em tabelas e/ou gráficos Fonte: São Paulo, 2011, p. 158-159.
Podemos observar que esta questão, para sua resolução, depende da
interpretação do aluno em relação à representação da pirâmide apresentada. É
necessário que o aluno verifique que a base da pirâmide alimentar é
constituída por cereais, pães, tubérculos, raízes e massas, sendo que estes
têm uma indicação diária de consumo por um adulto de 5 a 9 porções. O
enunciado explicita que cada porção dos alimentos corresponde a 150 kcal;
desse modo, basta o aluno realizar a operação multiplicativa de 5x150 kcal =
750 kcal e 9 x 150 kcal = 1350 kcal, sendo estas as respectivas doses diárias
Alessandra Carvalho Teixeira
16
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
mínimas e máximas a serem consumidas.
Conforme descrito no parágrafo anterior sobre os procedimentos de
resolução, fica evidente a exigência que faz a questão em relação ao trabalho
cognitivo do aluno de um trabalho preliminar de reconhecimento, e que a
operação de multiplicação não é utilizada imediatamente, ou seja, apesar de o
que é solicitado estar indicado, é necessário que o aluno adapte seus
conhecimentos para utilizar a operação de multiplicação. Pelos motivos
expostos, esta questão, segundo a classificação de Robert (1998), encontra-se
no nível de funcionamento mobilizável.
Podemos verificar que essa questão não está de acordo com a
habilidade avaliada, considerando o fato de que a figura apresentada para
análise e resolução da questão não é gráfico e nem tabela.
3.1.3 Nível Disponível
A figura 8 apresenta um item que avalia a habilidade de “resolver
problemas em diferentes contextos, envolvendo as relações métricas dos
triângulos retângulos (Teorema de Pitágoras)” (São Paulo, 2011, p. 149).
Figura 8 – Item referente ao nível de proficiência
Fonte: São Paulo, 2011, p. 149.
De acordo com a classificação de Robert (1998), o item está associado
ao nível disponível de funcionamento do conhecimento, uma vez que a noção
em jogo não está explícita, ou seja, o Teorema de Pitágoras. Para resolver este
item, é necessário que o aluno disponibilize, em seus próprios conhecimentos,
Alessandra Carvalho Teixeira
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
as propriedades do Teorema de Pitágoras (soma dos quadrados dos catetos é
igual ao quadrado da hipotenusa, a qual é localizada oposta ao ângulo reto)
para conseguir reconhecer que a medida do comprimento da peça de madeira
com extremidades em A e em B é a hipotenusa do triângulo retângulo BAD.
Este item ainda exige do aluno uma leitura das figuras que são
apresentadas em perspectiva e também por meio de uma visão frontal, o que
pode gerar certa dificuldade.
O Teorema de Pitágoras diz que o quadrado da medida da hipotenusa é
igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Sendo assim, é
necessário que o aluno mobilize seus conhecimentos para identificar os catetos
indicados no telhado da casa representada na figura 25. Identificando que um
dos catetos mede 2 m e o outro mede 4 m, a partir da representação fornecida
que deveria auxiliar na resolução do item, o aluno consegue calcular o valor da
peça de madeira com extremidades em A e em B, que representa a hipotenusa
do triângulo retângulo (𝑥2 = 42 + 22 = 16 + 4 = 20 ⇒ 𝑥 = √20 = √22. 5 =
2√5 ≅ 2.2,24 = 4,48).
A questão apresentada na figura 9, avalia a habilidade de “resolver
problema com números racionais envolvendo as operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação)” (São Paulo, 2011, p. 157).
Figura 9 – Questão que avalia a habilidade de resolver problemas com números racionais
envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) Fonte: São Paulo, 2011, p. 157.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
A resolução desta questão depende de que alunos mobilizem
conhecimentos sobre operações com números racionais em sua representação
fracionária. Podemos perceber que nessa questão, a noção em jogo não é
explícita e o contexto não é simples em relação ao reconhecimento por parte
dos alunos dos conhecimentos matemáticos que eles devem mobilizar para
solucionar a questão.
Esta questão, conforme a abordagem de Robert (1998), pode ser
classificada como uma tarefa de nível disponível, uma vez que, conforme
mencionamos anteriormente, o aluno deve primeiramente converter as
informações do enunciado fornecidas na língua natural para uma
representação fracionária, ou seja, trabalhar com operações com números
racionais em sua representação fracionária. Uma solução possível seria o
aluno construir seu esquema de resolução partindo do princípio de que o
primeiro escoteiro pegou 1
3 da corda, e que o segundo escoteiro, por pensar
que era o primeiro a pegar, pegou 1
3 da corda que estava no carretel; porém,
deveria considerar que o segundo escoteiro pegou 1
3 , não de um inteiro, e sim,
de 2
3, pois o primeiro escoteiro já havia pegado inicialmente sua parcela. Assim,
o segundo escoteiro pegou 1
3 de
2
3 , que equivale a
1
3.
2
3=
2
9. Para saber
quantos metros de corda havia no carretel, o aluno poderia partir do princípio
de que adicionando as partes que o primeiro e segundo escoteiros pegaram,
teria 1
3+
2
9=
5
9, considerando que esta fração subtraída de um inteiro
corresponde a 40 m, que é o que sobrou para o terceiro escoteiro; ele teria
1 −5
9=
4
9, ou seja, se
4
9 equivale a 40 m, então,
1
9 equivale a 10 m e, portanto,
no carretel havia 90 m de corda.
Outra solução possível para o item “b”, que solicita o cálculo da medida
em metros de corda que havia no carretel, seria o aluno dispor do raciocínio
algébrico. Considerando o valor em metros de corda do carretel como x, ele
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
poderia elaborar a seguinte expressão: 1
3𝑥 +
2
9𝑥 + 40 = 𝑥 , chegando, após
a resolução, à medida de 𝑥 = 90𝑚.
A questão apresentada na figura 10, avalia a habilidade de “resolver
problemas em diferentes contextos, envolvendo triângulos semelhantes” (São
Paulo, 2011, p. 160).
Figura 10 – Questão que avalia a habilidade de resolver problemas em diferentes contextos,
envolvendo triângulos semelhantes Fonte: São Paulo, 2011, p. 160.
A questão para a sua resolução exige que o aluno possua e mobilize
conhecimentos matemáticos relativos à semelhança de triângulos, ou seja, é
necessário trabalhar com as propriedades de proporcionalidade das medidas
dos triângulos – no caso, os triângulos CED e CBA.
Após a identificação do contexto e da propriedade matemática a ser
utilizada, basta o aluno dispor da proporcionalidade das medidas de triângulos,
considerando que o lado CE do triângulo CED é proporcional ao lado CB do
triângulo CBA e que suas bases ED e AB também são proporcionais na mesma
ordem. Dessa forma, uma possível solução a ser realizada pelo aluno seria
𝐶𝐸
𝐶𝐵=
𝐷𝐸
𝐴𝐵 em que
120𝑚
300𝑚=
100𝑚
𝐴𝐵, chegando à medida de 250 m para o segmento
AB.
Podemos verificar que a noção em jogo – proporcionalidade das
medidas dos triângulos – não está explícita, e que é necessário ao aluno
recorrer a conhecimentos já construídos, no caso da identificação das medidas
Alessandra Carvalho Teixeira
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
e da semelhança entre os triângulos CED e CBA. De acordo com estas
considerações, podemos classificar esta tarefa em relação ao funcionamento
dos conhecimentos esperados dos educandos, de acordo com a abordagem de
Robert (1998), como sendo uma tarefa de nível disponível.
Alessandra Carvalho Teixeira
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR
Ao propor os níveis de funcionamento do conhecimento, Robert (1998)
evidencia uma ferramenta de análise em relação às dificuldades dos alunos e a
possibilidade de selecionar as atividades a serem realizadas de acordo com o
nível de funcionamento do conhecimento esperado do aluno a ser trabalhado.
Alguns professores ainda aplicam questões de resolução imediata, nível
técnico, ou questões padronizadas. Repetem o mesmo tipo de exercício
inúmeras vezes. Dessa forma, e também por vários outros motivos, não se
permitem verificar as reais dificuldades de seus alunos.
Sendo assim, sugerimos que os exercícios sejam selecionados de modo
a contemplar os três níveis de funcionamento do conhecimento, pois assim
permitirão que os alunos desenvolvam a competência de organizar seus
conhecimentos podendo identificar o momento de disponibilizá-los, ou seja,
para que possam mobilizá-los ao resolver uma situação proposta.
Considerando o exposto acima, é evidente a importância de possibilitar
atividades nas quais os alunos possam, de diferentes maneiras, colocar em
funcionamento as noções matemáticas já introduzidas a fim de articulá-las com
os conhecimentos novos. Para Robert (1998), é importante que o professor
trabalhe com os alunos os três níveis de forma a possibilitar que eles tenham
conhecimentos disponíveis e organizados.
A pesquisadora elucida a necessidade de a aprendizagem acontecer de
“maneira segura”, de forma que os alunos possam mobilizar os conhecimentos
matemáticos em diversas situações. Muitas vezes, o aluno não resolve uma
questão, não porque não saiba fazê-lo, e sim, por não saber como articular as
noções necessárias para que isso aconteça.
Ao escolher uma atividade, além de olhar o nível de funcionamento do
conhecimento ao qual ele pertence, espera-se que os professores possam
enxergar a habilidade que está sendo desenvolvida e a resolução do que é
proposto, podendo utilizar os erros como instrumento de construção do
Alessandra Carvalho Teixeira
22
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
conhecimento.
O importante não é o acerto ou o erro por eles mesmos durante a
análise de uma atividade, e sim a forma com a qual o aluno se apropriou do
conhecimento em questão, podendo evidenciar dificuldades no processo de
aprendizagem. Esse tipo de análise contribui para a construção de novos
degraus do conhecimento.
Muitos professores não investigam qual raciocínio o aluno desenvolveu
ao realizar determinada atividade, ou seja, a apropriação do processo de
construção do mesmo. Trabalhando assim, o professor priva o aluno do seu
direito à aquisição ou construção de conhecimentos, uma vez que o erro deve
ser encarado como um momento do processo de construção da aprendizagem,
visando à sua superação e ao alcance dos objetivos propostos.
Os erros não são compreendidos como devem ser e não são utilizados
como deveriam, visto que são considerados como uma das etapas principais
do processo de aprendizagem. Os erros devem ser compreendidos e não
combatidos, devem ser analisados, pois constituem amostras de diferentes
modos de pensar, escrever, agir e construir. O erro deve tornar-se um
instrumento de investigação que leve docente e discente a refletirem sobre os
procedimentos utilizados para a obtenção da resposta alcançada, fazendo
evoluir as concepções dos discentes.
Alessandra Carvalho Teixeira
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Robert (1998) com seus estudos nos permite analisar como a
mobilização do conhecimento acontece, possibilitando que o professor
compreenda as dificuldades de seus alunos e que o processo de ensino e
aprendizagem ocorra, permitindo que o aluno entenda como utilizar as noções
matemáticas em contextos diferentes dos habituais de sala de aula.
Segundo Robert (1998), não cabe justificar o que o aluno não aprendeu,
mas levar em consideração sua dificuldade em mobilizar conhecimentos,
muitas vezes porque o aluno não os tem disponíveis naquele momento, não os
reconhece ou não consegue representá-los numa forma de registro diferente.
Consideramos ainda que a abordagem da pesquisadora introduz
elementos auxiliares na reflexão sobre a abordagem das questões
matemáticas a fim de melhorar a qualidade de ensino e aprendizagem e
possibilitar formas de os alunos alcançarem níveis mais altos de proficiência.
A análise de erros nos ajudou a verificar que não basta apenas observar
o que os alunos erram, mas sim qual a causa do erro para que este se
transforme em possíveis indicativos para a melhoria do processo de ensino e
aprendizagem.
Imaginamos que um olhar mais atento sobre o erro produzido pelo aluno
no processo de aprendizagem em Matemática, pode fazer com que
professores reconheçam de fato as dificuldades de seus alunos.
Alessandra Carvalho Teixeira
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
REFERÊNCIAS
ROBERT, A. Outils d’analyse des contenus mathématiiques à enseigner au
lycée à l’université. Recherches en didactique des Mathématiques, vol. 18,
nº 2, p. 139-190, 1998.
SANTOS, C. A. B. Formação de professores de matemática: contribuições
de teorias didáticas no estudo das noções de área e perímetro. 2008. 156 f.
Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) – Universidade
Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2008.
SÃO PAULO. Saresp 2010: Relatório Pedagógico: Matemática/Secretaria da
Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini. – São Paulo: SEE, 2011.
TEIXEIRA, A. C. Uma análise sobre a mobilização de conhecimentos
matemáticos em relação aos itens e questões do Saresp 2010 do 9º ano
do Ensino Fundamental. 2013. 188 f. Dissertação (Mestrado em Ciências e
Matemática) – Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2013.
