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Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos matemáticos esperados dos alunos em relação a itens e questões ALESSANDRA CARVALHO TEIXEIRA

Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

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Page 1: Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

Orientações didáticas sobre a mobilização

de conhecimentos matemáticos esperados

dos alunos em relação a itens e questões

ALESSANDRA CARVALHO TEIXEIRA

Page 2: Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS SOBRE

A MOBILIZAÇÃO DE

CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS

ESPERADOS DOS ALUNOS EM

RELAÇÃO A ITENS E QUESTÕES

Alessandra Carvalho Teixeira

Profa Dra Cintia Ap. Bento dos Santos

Page 3: Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS SOBRE

A MOBILIZAÇÃO DE

CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS

ESPERADOS DOS ALUNOS EM

RELAÇÃO A ITENS E QUESTÕES

Universidade Cruzeiro Do Sul

2013

Page 4: Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

© 2013

Universidade Cruzeiro do Sul

Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa. Dra. Sueli Cristina Marquesi

PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA

Pró-Reitor – Prof. Dr. Danilo Antonio Duarte

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

Coordenação – Profa. Dra. Edda Curi

Banca examinadora

Profa. Dra. Edda Curi

Profa. Dra. Celi Aparecida Espasandin Lopes

Profa. Dra. Maria Tereza Carneiro Soares

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

T264o

Teixeira, Alessandra Carvalho.

Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

matemáticos esperados dos alunos em relação a itens e questões / Alessandra Carvalho Teixeira. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2013.

24 p. : il. Produto educacional (Mestrado em ensino de Ciências e

Matemática). 1. Ensino de matemática. 2. Saresp 3. Didática – Matemática 4.

Ensino fundamental. I. Título II. Série.

CDU: 51

Page 5: Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

Sumário

1 APRESENTAÇÃO ................................................................................................................... 5

2 OS NÍVEIS DE FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO............................................ 7

3 O PRODUTO ........................................................................................................................... 9

3.1 EXEMPLOS DE COMO ANALISAR ITENS E QUESTÕES DE ACORDO COM OS

NÍVEIS DE FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO ...................................................... 9

3.1.1 Nível Técnico ..................................................................................................................... 9

3.1.2 Nível Mobilizável ............................................................................................................. 11

3.1.3 Nível Disponível .............................................................................................................. 16

4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ................................................................................... 21

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................ 23

REFERÊNCIAS ........................................................................................................................ 24

Page 6: Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

1 APRESENTAÇÃO

Este produto educacional foi construído a partir da dissertação intitulada

“Uma análise sobre a mobilização de conhecimentos matemáticos em

relação aos itens e questões do Saresp 2010 do 9º ano do Ensino

Fundamental1”, defendida em 2013 por Alessandra Carvalho Teixeira sob a

orientação da Profª. Drª. Cintia Ap. Bento dos Santos. O objetivo da pesquisa

foi categorizar os itens e questões referentes à 8ª série/9ºano divulgados no

Relatório Pedagógico do Saresp 2010 acerca de quais são os indicativos em

relação a mobilização de conhecimentos solicitada dos alunos.

A referida autora é mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela

Universidade Cruzeiro do Sul (Unicsul SP); Licenciada em Matemática com

ênfase em Ciências da Computação pelo Centro Universitário São Camilo;

Licenciada em Pedagogia pela Universidade São Bernardo; Especialista em

Modelagem Matemática pela UFABC (Universidade Federal do ABC - Santo

André/SP); Professora de Matemática dos anos finais do Ensino Fundamental

e do Ensino Médio, da rede Pública do Estado de São Paulo desde 1995;

Orientadora de Trabalho de Conclusão de Curso da Especialização Docência

no Ensino Superior da Universidade Cruzeiro do Sul Virtual; Professora

Coordenadora de Estágio do curso de Matemática EAD pela Universidade

Paulista (UNIP); Orientadora de Trabalho de Conclusão de Curso das turmas

de Pedagogia e Matemática da Unip Interativa.

Este material é destinado a professores de Matemática, alunos das

licenciaturas de Matemática e Pedagogia e pesquisadores da área, com

objetivo de apresentar um forte instrumento no momento de professores e

futuros professores compreenderem as dificuldades de seus alunos, ou seja,

como ocorre a aquisição de conhecimento e o trabalho com as noções

matemáticas aprendidas anteriormente no momento em que os alunos

precisam resolver tarefas que nem sempre apresentada, de forma explícita, a

noção matemática ali presente.

1http://sites.cruzeirodosulvirtual.com.br/pos_graduacao/trabs_programas_pos/trabalhos/Mestra

do_Ensino_de_Ciencias_e_Matematica/MESTRADO_ENSINO_DE_CIENCIAS_E_MATEMATICA-Alessandra%20Carvalho%20Teixeira_532.PDF

Page 7: Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

Além disso, outro ponto que nos motivou a elaborar esse material é o

fato de percebermos a importância de analisar os exercícios propostos em sala

de aula e as habilidades que eles desenvolvem, se a relação entre eles está

correta, pois percebemos em alguns exemplos que apresentaremos, falha

entre o que é proposto e a habilidade indicada. Também devemos olhar a

resolução que o aluno apresenta e o erro cometido, pois esse erro não significa

ausência de conhecimento.

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Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

2 OS NÍVEIS DE FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO

Nesta seção apresentaremos a abordagem teórica da pesquisadora

francesa Aline Robert (1998) sobre o funcionamento dos conhecimentos

esperados dos educandos, o qual é definido em níveis, denominados como

técnico, mobilizável e disponível.

Santos (2008, p. 23), diz que “os estudos de Robert não representam

uma teoria de aprendizagem e sim um caminho para possibilitar uma nova

estratégia didática para o ensino”, uma vez que além de proporcionar

compreender as dificuldades dos alunos, também possibilita a seleção de

tarefas a serem trabalhadas de acordo com o nível de funcionamento do

conhecimento que se espera dos educandos.

Segundo Robert (1998), o nível técnico requer do aluno a aplicação

imediata de um conhecimento. Nesse nível, os elementos são muito claros,

explicitam aplicações imediatas que podem ser de teoremas, propriedades,

definições, fórmulas, etc. Nesse nível, as contextualizações se fazem de forma

simples e não exigem etapas, trabalho preliminar de reconhecimento ou

adaptações.

A pesquisadora considera que o nível técnico deve ser trabalhado, mas

não como uma forma de se tratar uma noção matemática, pois quando o

professor privilegia o trabalho no nível técnico, corre o risco de, por exemplo,

ao alterar um detalhe no enunciado de uma tarefa, fazer com que os alunos

não mais reconheçam a noção em jogo ou os procedimentos necessários de

resolução, ou seja, os níveis de conhecimento estão associados à forma como

as tarefas são apresentadas aos alunos.

Robert (1998) considera que o nível mobilizável permite ao aluno

reconhecer o elemento matemático, ou seja, o que é solicitado ainda é claro.

Porém, é preciso que modificações e/ou adaptações sejam realizadas para a

resolução da tarefa. Nesse nível, apesar de o elemento matemático ainda estar

explícito, os alunos devem mobilizar conhecimentos matemáticos de forma a

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Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

adaptá-los para que seja possível a resolução da situação proposta.

Esse nível testa um funcionamento de conhecimento em que existe a

justaposição de saberes e mesmo de organização. Se um saber estiver bem

identificado e for bem utilizado pelo aluno, mesmo que seja necessária

adaptação ao contexto particular, ele é considerado mobilizável.

Para o nível disponível, Robert (1998) considera que este requer do

aluno procurar em seus próprios conhecimentos já construídos soluções para

intervir na resolução da questão proposta, ou seja, resolver o que está proposto

sem indicações, fornecer contra-exemplos e aplicar métodos não previstos.

Segundo a pesquisadora, esse nível funciona ainda como um desafio para os

alunos.

É necessário que o aluno busque em seus conhecimentos construídos

anteriormente a ferramenta mais útil para solução do item, ou seja, existe uma

justaposição de saberes que precisam estar organizados para serem

mobilizados.

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Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

3 O PRODUTO

O presente produto consiste em apresentar ao professor exemplos de

itens e questões analisados de acordo com os níveis de funcionamento do

conhecimento esperados dos alunos, de modo que seja possível a identificação

das atividades que serão trabalhadas em sala de aula, uma vez que, assim

como Robert (1998), evidenciamos a importância de um trabalho que leve em

consideração a dimensão dos três níveis de conhecimento como forma de

fazer alunos evoluírem em suas aprendizagens e poderem mobilizar

conhecimentos matemáticos mesmo em situações distintas da sala de aula.

3.1 EXEMPLOS DE COMO ANALISAR ITENS E QUESTÕES DE ACORDO

COM OS NÍVEIS DE FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO

As atividades, cujas análises serão apresentadas, estão separadas em

subseções de acordo com o nível de funcionamento do conhecimento: técnico,

mobilizável e disponível.

3.1.1 Nível Técnico

O item apresentado na figura 1 requer do aluno a passagem da

representação fracionária para a decimal em relação a um número racional.

Figura 1 – Item referente ao nível básico de proficiência

Fonte: São Paulo, 2011, p. 141.

De acordo com abordagem de Robert (1998), o item pode ser

classificado como de nível técnico, uma vez que, apesar de apresentar um

contexto do cotidiano, sua contextualização é simples e requer do aluno a

aplicação imediata de um conhecimento, ou seja, a passagem de uma

representação fracionária para decimal (o aluno precisa apenas dividir o

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

numerador pelo denominador).

A figura 2 apresenta um item que avalia a habilidade do aluno de

“reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas

relações” (São Paulo, 2011, p. 147).

Figura 2 – Item referente ao nível avançado de proficiência

Fonte: São Paulo, 2011, p. 147.

Segundo a abordagem de Robert (1998), o item pode ser classificado

como de nível técnico de funcionamento do conhecimento. Trata-se de uma

contextualização simples, dentro do contexto da própria Matemática, em que é

necessário apenas que o aluno disponha dos elementos da circunferência, ou

seja, a noção a ser trabalhada está explícita. O aluno deve identificar que o raio

é qualquer segmento que une o centro a um ponto da circunferência, sendo,

assim, a metade do diâmetro. A representação figural presente no item deixa

claro ao aluno, dentre as alternativas apresentadas, que o raio solicitado está

representado pelo segmento .

Faz-se necessário que o aluno leia as alternativas para saber qual o raio

solicitado, considerando o fato de que a figura apresenta os raios , e

. Isso indica falha na elaboração do enunciado, podendo atrapalhar a

mobilização do conhecimento pelo aluno, causando confusão no processo de

organização do conhecimento a ser disponibilizado para a resolução do item,

ou seja, o conceito de raio.

O item apresentado na figura 3 avalia a habilidade do aluno de

“identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema”

(São Paulo, 2011, p. 151).

PQ

PR PT

PQ

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Alessandra Carvalho Teixeira

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Figura 3 – Item referente ao nível avançado de proficiência

Fonte: São Paulo, 2011, p. 151.

De acordo com a abordagem de Robert (1998), o item pode ser

classificado no nível técnico de funcionamento do conhecimento, uma vez que

o enunciado evidencia que a noção em jogo são os sistemas de equações,

exigindo que o aluno reconheça imediatamente o papel de cada variável

envolvida. Ressaltamos que se essa tarefa não fosse de múltipla escolha, não

estaria relacionada ao nível técnico.

3.1.2 Nível Mobilizável

A figura 4 apresenta um item que avalia a habilidade do aluno de

“efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais” (São Paulo,

2011, p. 147).

Figura 4 – Item referente ao nível avançado de proficiência

Fonte: São Paulo, 2011, p. 147.

De acordo com a abordagem de Robert (1998), o item está no nível

mobilizável de funcionamento do conhecimento, pois embora esteja explícito

que a noção matemática é efetuar cálculo com valores aproximados de

radicais, é necessário que o aluno faça pequenas adaptações, uma vez que o

Page 13: Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

valor a ser calculado da distância está representado na forma de um número

irracional.

Para resolver o item, é necessário que o aluno perceba que a distância

percorrida não está indicada na figura, e sim, no seu enunciado, ou seja, a

distância representada por √1800 𝑚. Na verdade, a primeira habilidade

desenvolvida pelo aluno é a identificação do valor da raiz quadrada aproximada

de um número e só depois ele desenvolve a habilidade de calcular com valor

aproximado de radicais. Sendo assim, temos aqui uma questão inadequada,

considerando a habilidade avaliada e a contextualização do item proposto.

Uma das ferramentas que pode ser utilizada para a resolução do item é

a decomposição do radicando em fatores primos (√1800 = √2³. 32. 5² =

√2.2². 32. 5² = 2.3.5√2 ≅ 30√2 ≅ 30.1,4 = 42), o que resulta numa distância de

42 m. A alternativa correta é a “A”, porque outro fator que deve ser observado

pelo aluno para a indicação da alternativa é que o item solicita saber acima de

quantos metros (indicados nas alternativas) Carlos deverá percorrer.

Outra forma de resolver o item é a decomposição do radicando, obtendo

√1800 = √18.100 = √18√100 = √2.9. 10 ≅ 30√2 ≅ 30.1,4 = 42

Usualmente ninguém se desloca considerando um número irracional,

embora o mesmo seja utilizado em medida de comprimento. Com base nisso,

temos aqui um item que apresenta uma falsa contextualização, fugindo do

contexto real do aluno. Não existe aqui nada que, de certa forma, auxilie o

aluno na mobilização dos seus conhecimentos para a resolução do item; pelo

contrário, o mesmo apresenta uma representação figural desnecessária, que, a

nosso ver, pode atrapalhar o aluno em sua resolução. Temos aqui uma crítica

ao tipo de questões elaboradas que, muitas vezes, pouco auxiliam os alunos a

mobilizar seus conhecimentos.

Neste caso, temos um item cujo enunciado pode ter dificultado o

entendimento do aluno. Em quais momentos percorremos distâncias

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Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

representadas na forma de radical em nosso dia a dia?

A figura 5 apresenta um item que avalia a habilidade do aluno de

“resolver problema utilizando propriedades dos polígonos (soma de ângulos

internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno dos

polígonos regulares)” (São Paulo, 2011, p. 150).

Figura 5 – Item referente ao nível avançado de proficiência

Fonte: São Paulo, 2011, p. 150.

Segundo a abordagem de Robert (1998), o item está no nível mobilizável

de funcionamento do conhecimento, pois embora a noção em jogo –

propriedades dos polígonos – esteja explícita, é necessário que o aluno faça

uma adaptação que permita encontrar a medida do ângulo BAC, o que

possibilita o cálculo do ângulo solicitado, uma vez que ângulo é a terça parte

da medida do ângulo BAC.

Uma das possíveis soluções é observar que a medida do ângulo é a

terça parte da medida do ângulo BAC. Para determinar a medida do ângulo

BAC, usa-se que a soma dos ângulos internos do polígono é (𝑛 − 2). 180°

sendo assim, (5 − 2). 180° = 3.180° = 540° . A medida do ângulo BAC é obtida

através do cálculo do quociente entre 540° e 5. (540°

5= 108°) e como é a terça

parte da medida do ângulo BAC, é necessário calcular o quociente ente 108° e

3. (𝜃 =108°

3= 36°), chegando à medida solicitada, que é 36°.

A questão apresentada na figura 6, avalia a habilidade de “resolver

problemas envolvendo relações de proporcionalidade direta entre duas

grandezas, por meio de funções do primeiro grau” (São Paulo, 2011, p. 154).

Page 15: Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

Figura 6 – Questão que avalia a habilidade de resolver problemas envolvendo relações de

proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do primeiro grau Fonte: São Paulo, 2011, p. 154.

Para a resolução desta questão, necessário que o aluno disponha dos

conhecimentos de proporcionalidade entre duas grandezas e de função

polinomial de 1º grau. Porém, antes de mobilizar esses conhecimentos, é

necessário que o aluno reconheça quais são as duas grandezas envolvidas na

questão, no caso, o número de pregadores e o número de desenhos.

Para responder ao item “a”, o aluno deve verificar, de acordo com a

figura apresentada, que para prender 5 desenhos (no caso, a variável x) são

necessários 6 pregadores (no caso, a variável y). Segundo o raciocínio de

proporcionalidade direta, é possível concluir que o número de pregadores (y)

será sempre o número de desenhos (x) adicionado a 1. A partir da verificação

em várias situações o aluno chegaria à função 𝑦 = 𝑥 + 1 ou 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 que

expressa a quantidade de pregadores utilizados para prender os desenhos, o

que não poderia ser concluído só com esse desenho, sendo necessário fazer

várias verificações/simulações.

Já para a resolução do item “b”, basta que o aluno utilize a função

elaborada no item “a” e substitua a variável em x por 24, chegando ao resultado

de 25 pregadores. Cabe salientar que para a resolução do item “b”, o aluno não

precisaria dispor da função de 1º grau e poderia chegar à solução a partir

apenas do raciocínio de proporcionalidade direta com base no observado na

figura.

Esta questão, em relação aos níveis de funcionamento dos

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

conhecimentos esperados pelos alunos, está no nível mobilizável. Segundo

Robert (1998), esse nível corresponde a um funcionamento mais amplo, porém

com indicação ainda da noção em jogo. Podemos verificar que o próprio item

“a” faz referência à necessidade de se utilizar função de 1º grau e que a noção

de proporcionalidade pode ser trabalhada pelo aluno de forma intuitiva.

A questão apresentada na figura 7, avalia a habilidade de “resolver

problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos”

(São Paulo, 2011, p. 158).

Figura 7 – Questão que avalia a habilidade de resolver problemas envolvendo informações

apresentadas em tabelas e/ou gráficos Fonte: São Paulo, 2011, p. 158-159.

Podemos observar que esta questão, para sua resolução, depende da

interpretação do aluno em relação à representação da pirâmide apresentada. É

necessário que o aluno verifique que a base da pirâmide alimentar é

constituída por cereais, pães, tubérculos, raízes e massas, sendo que estes

têm uma indicação diária de consumo por um adulto de 5 a 9 porções. O

enunciado explicita que cada porção dos alimentos corresponde a 150 kcal;

desse modo, basta o aluno realizar a operação multiplicativa de 5x150 kcal =

750 kcal e 9 x 150 kcal = 1350 kcal, sendo estas as respectivas doses diárias

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Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

mínimas e máximas a serem consumidas.

Conforme descrito no parágrafo anterior sobre os procedimentos de

resolução, fica evidente a exigência que faz a questão em relação ao trabalho

cognitivo do aluno de um trabalho preliminar de reconhecimento, e que a

operação de multiplicação não é utilizada imediatamente, ou seja, apesar de o

que é solicitado estar indicado, é necessário que o aluno adapte seus

conhecimentos para utilizar a operação de multiplicação. Pelos motivos

expostos, esta questão, segundo a classificação de Robert (1998), encontra-se

no nível de funcionamento mobilizável.

Podemos verificar que essa questão não está de acordo com a

habilidade avaliada, considerando o fato de que a figura apresentada para

análise e resolução da questão não é gráfico e nem tabela.

3.1.3 Nível Disponível

A figura 8 apresenta um item que avalia a habilidade de “resolver

problemas em diferentes contextos, envolvendo as relações métricas dos

triângulos retângulos (Teorema de Pitágoras)” (São Paulo, 2011, p. 149).

Figura 8 – Item referente ao nível de proficiência

Fonte: São Paulo, 2011, p. 149.

De acordo com a classificação de Robert (1998), o item está associado

ao nível disponível de funcionamento do conhecimento, uma vez que a noção

em jogo não está explícita, ou seja, o Teorema de Pitágoras. Para resolver este

item, é necessário que o aluno disponibilize, em seus próprios conhecimentos,

Page 18: Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

as propriedades do Teorema de Pitágoras (soma dos quadrados dos catetos é

igual ao quadrado da hipotenusa, a qual é localizada oposta ao ângulo reto)

para conseguir reconhecer que a medida do comprimento da peça de madeira

com extremidades em A e em B é a hipotenusa do triângulo retângulo BAD.

Este item ainda exige do aluno uma leitura das figuras que são

apresentadas em perspectiva e também por meio de uma visão frontal, o que

pode gerar certa dificuldade.

O Teorema de Pitágoras diz que o quadrado da medida da hipotenusa é

igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Sendo assim, é

necessário que o aluno mobilize seus conhecimentos para identificar os catetos

indicados no telhado da casa representada na figura 25. Identificando que um

dos catetos mede 2 m e o outro mede 4 m, a partir da representação fornecida

que deveria auxiliar na resolução do item, o aluno consegue calcular o valor da

peça de madeira com extremidades em A e em B, que representa a hipotenusa

do triângulo retângulo (𝑥2 = 42 + 22 = 16 + 4 = 20 ⇒ 𝑥 = √20 = √22. 5 =

2√5 ≅ 2.2,24 = 4,48).

A questão apresentada na figura 9, avalia a habilidade de “resolver

problema com números racionais envolvendo as operações (adição, subtração,

multiplicação, divisão, potenciação e radiciação)” (São Paulo, 2011, p. 157).

Figura 9 – Questão que avalia a habilidade de resolver problemas com números racionais

envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) Fonte: São Paulo, 2011, p. 157.

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Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

A resolução desta questão depende de que alunos mobilizem

conhecimentos sobre operações com números racionais em sua representação

fracionária. Podemos perceber que nessa questão, a noção em jogo não é

explícita e o contexto não é simples em relação ao reconhecimento por parte

dos alunos dos conhecimentos matemáticos que eles devem mobilizar para

solucionar a questão.

Esta questão, conforme a abordagem de Robert (1998), pode ser

classificada como uma tarefa de nível disponível, uma vez que, conforme

mencionamos anteriormente, o aluno deve primeiramente converter as

informações do enunciado fornecidas na língua natural para uma

representação fracionária, ou seja, trabalhar com operações com números

racionais em sua representação fracionária. Uma solução possível seria o

aluno construir seu esquema de resolução partindo do princípio de que o

primeiro escoteiro pegou 1

3 da corda, e que o segundo escoteiro, por pensar

que era o primeiro a pegar, pegou 1

3 da corda que estava no carretel; porém,

deveria considerar que o segundo escoteiro pegou 1

3 , não de um inteiro, e sim,

de 2

3, pois o primeiro escoteiro já havia pegado inicialmente sua parcela. Assim,

o segundo escoteiro pegou 1

3 de

2

3 , que equivale a

1

3.

2

3=

2

9. Para saber

quantos metros de corda havia no carretel, o aluno poderia partir do princípio

de que adicionando as partes que o primeiro e segundo escoteiros pegaram,

teria 1

3+

2

9=

5

9, considerando que esta fração subtraída de um inteiro

corresponde a 40 m, que é o que sobrou para o terceiro escoteiro; ele teria

1 −5

9=

4

9, ou seja, se

4

9 equivale a 40 m, então,

1

9 equivale a 10 m e, portanto,

no carretel havia 90 m de corda.

Outra solução possível para o item “b”, que solicita o cálculo da medida

em metros de corda que havia no carretel, seria o aluno dispor do raciocínio

algébrico. Considerando o valor em metros de corda do carretel como x, ele

Page 20: Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

Alessandra Carvalho Teixeira

19

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

poderia elaborar a seguinte expressão: 1

3𝑥 +

2

9𝑥 + 40 = 𝑥 , chegando, após

a resolução, à medida de 𝑥 = 90𝑚.

A questão apresentada na figura 10, avalia a habilidade de “resolver

problemas em diferentes contextos, envolvendo triângulos semelhantes” (São

Paulo, 2011, p. 160).

Figura 10 – Questão que avalia a habilidade de resolver problemas em diferentes contextos,

envolvendo triângulos semelhantes Fonte: São Paulo, 2011, p. 160.

A questão para a sua resolução exige que o aluno possua e mobilize

conhecimentos matemáticos relativos à semelhança de triângulos, ou seja, é

necessário trabalhar com as propriedades de proporcionalidade das medidas

dos triângulos – no caso, os triângulos CED e CBA.

Após a identificação do contexto e da propriedade matemática a ser

utilizada, basta o aluno dispor da proporcionalidade das medidas de triângulos,

considerando que o lado CE do triângulo CED é proporcional ao lado CB do

triângulo CBA e que suas bases ED e AB também são proporcionais na mesma

ordem. Dessa forma, uma possível solução a ser realizada pelo aluno seria

𝐶𝐸

𝐶𝐵=

𝐷𝐸

𝐴𝐵 em que

120𝑚

300𝑚=

100𝑚

𝐴𝐵, chegando à medida de 250 m para o segmento

AB.

Podemos verificar que a noção em jogo – proporcionalidade das

medidas dos triângulos – não está explícita, e que é necessário ao aluno

recorrer a conhecimentos já construídos, no caso da identificação das medidas

Page 21: Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

e da semelhança entre os triângulos CED e CBA. De acordo com estas

considerações, podemos classificar esta tarefa em relação ao funcionamento

dos conhecimentos esperados dos educandos, de acordo com a abordagem de

Robert (1998), como sendo uma tarefa de nível disponível.

Page 22: Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Ao propor os níveis de funcionamento do conhecimento, Robert (1998)

evidencia uma ferramenta de análise em relação às dificuldades dos alunos e a

possibilidade de selecionar as atividades a serem realizadas de acordo com o

nível de funcionamento do conhecimento esperado do aluno a ser trabalhado.

Alguns professores ainda aplicam questões de resolução imediata, nível

técnico, ou questões padronizadas. Repetem o mesmo tipo de exercício

inúmeras vezes. Dessa forma, e também por vários outros motivos, não se

permitem verificar as reais dificuldades de seus alunos.

Sendo assim, sugerimos que os exercícios sejam selecionados de modo

a contemplar os três níveis de funcionamento do conhecimento, pois assim

permitirão que os alunos desenvolvam a competência de organizar seus

conhecimentos podendo identificar o momento de disponibilizá-los, ou seja,

para que possam mobilizá-los ao resolver uma situação proposta.

Considerando o exposto acima, é evidente a importância de possibilitar

atividades nas quais os alunos possam, de diferentes maneiras, colocar em

funcionamento as noções matemáticas já introduzidas a fim de articulá-las com

os conhecimentos novos. Para Robert (1998), é importante que o professor

trabalhe com os alunos os três níveis de forma a possibilitar que eles tenham

conhecimentos disponíveis e organizados.

A pesquisadora elucida a necessidade de a aprendizagem acontecer de

“maneira segura”, de forma que os alunos possam mobilizar os conhecimentos

matemáticos em diversas situações. Muitas vezes, o aluno não resolve uma

questão, não porque não saiba fazê-lo, e sim, por não saber como articular as

noções necessárias para que isso aconteça.

Ao escolher uma atividade, além de olhar o nível de funcionamento do

conhecimento ao qual ele pertence, espera-se que os professores possam

enxergar a habilidade que está sendo desenvolvida e a resolução do que é

proposto, podendo utilizar os erros como instrumento de construção do

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Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

conhecimento.

O importante não é o acerto ou o erro por eles mesmos durante a

análise de uma atividade, e sim a forma com a qual o aluno se apropriou do

conhecimento em questão, podendo evidenciar dificuldades no processo de

aprendizagem. Esse tipo de análise contribui para a construção de novos

degraus do conhecimento.

Muitos professores não investigam qual raciocínio o aluno desenvolveu

ao realizar determinada atividade, ou seja, a apropriação do processo de

construção do mesmo. Trabalhando assim, o professor priva o aluno do seu

direito à aquisição ou construção de conhecimentos, uma vez que o erro deve

ser encarado como um momento do processo de construção da aprendizagem,

visando à sua superação e ao alcance dos objetivos propostos.

Os erros não são compreendidos como devem ser e não são utilizados

como deveriam, visto que são considerados como uma das etapas principais

do processo de aprendizagem. Os erros devem ser compreendidos e não

combatidos, devem ser analisados, pois constituem amostras de diferentes

modos de pensar, escrever, agir e construir. O erro deve tornar-se um

instrumento de investigação que leve docente e discente a refletirem sobre os

procedimentos utilizados para a obtenção da resposta alcançada, fazendo

evoluir as concepções dos discentes.

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Alessandra Carvalho Teixeira

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Robert (1998) com seus estudos nos permite analisar como a

mobilização do conhecimento acontece, possibilitando que o professor

compreenda as dificuldades de seus alunos e que o processo de ensino e

aprendizagem ocorra, permitindo que o aluno entenda como utilizar as noções

matemáticas em contextos diferentes dos habituais de sala de aula.

Segundo Robert (1998), não cabe justificar o que o aluno não aprendeu,

mas levar em consideração sua dificuldade em mobilizar conhecimentos,

muitas vezes porque o aluno não os tem disponíveis naquele momento, não os

reconhece ou não consegue representá-los numa forma de registro diferente.

Consideramos ainda que a abordagem da pesquisadora introduz

elementos auxiliares na reflexão sobre a abordagem das questões

matemáticas a fim de melhorar a qualidade de ensino e aprendizagem e

possibilitar formas de os alunos alcançarem níveis mais altos de proficiência.

A análise de erros nos ajudou a verificar que não basta apenas observar

o que os alunos erram, mas sim qual a causa do erro para que este se

transforme em possíveis indicativos para a melhoria do processo de ensino e

aprendizagem.

Imaginamos que um olhar mais atento sobre o erro produzido pelo aluno

no processo de aprendizagem em Matemática, pode fazer com que

professores reconheçam de fato as dificuldades de seus alunos.

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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

REFERÊNCIAS

ROBERT, A. Outils d’analyse des contenus mathématiiques à enseigner au

lycée à l’université. Recherches en didactique des Mathématiques, vol. 18,

nº 2, p. 139-190, 1998.

SANTOS, C. A. B. Formação de professores de matemática: contribuições

de teorias didáticas no estudo das noções de área e perímetro. 2008. 156 f.

Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) – Universidade

Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2008.

SÃO PAULO. Saresp 2010: Relatório Pedagógico: Matemática/Secretaria da

Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini. – São Paulo: SEE, 2011.

TEIXEIRA, A. C. Uma análise sobre a mobilização de conhecimentos

matemáticos em relação aos itens e questões do Saresp 2010 do 9º ano

do Ensino Fundamental. 2013. 188 f. Dissertação (Mestrado em Ciências e

Matemática) – Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2013.