Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

1 Especialista em Educação matemática pela FAFIJA - Jacarezinho.Especialista em Gestão Escolar, pela Unopar - Professora da rede pública de educação do Estado do Paraná no Colégio Estadual Aldo Dallago-EFMNP. 2 Mestre em Engenharia de Produção pela UNESP-Bauru - Doutorando na UNESP-Botucatu – docente do Depto. De matemática da UENP – Universidade Estadual do Norte do Paraná - CCHE – CAMPUS JACAREZINHO.

MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O

ENSINO DA GEOMETRIA

Selma Maria Santana1

Jonis Jecks Nervis2

RESUMO: Este artigo pretendeu discutir o conhecimento matemático procurando analisar algumas concepções que envolvem o ensino da Geometria utilizando a matemática das abelhas. Dentre as formas de ensinar a matemática apresenta-se, em especial, a modelagem matemática como estratégia de aprendizado para resolução de problemas. Assim, as reais possibilidades de se introduzir conceitos geométricos utilizando como estratégia de ensino a geometria das abelhas, subsidia, contribui e ressignifica a aprendizagem dos alunos. Mediante isso, esta pesquisa apontou como problema, que também se tornou o objetivo geral, investigar em que medida a modelagem matemática no ensino de geometria poderá contribuir para que os conceitos geométricos e os conteúdos sejam mais bem compreendidos pelos alunos. Ainda, como articular o ensino de geometria com a matemática das abelhas a fim de torná-lo uma aprendizagem significativa?E por que as abelhas utilizam o prisma de base hexagonal para construir seus alvéolos? Trata-se de uma pesquisa de natureza qualitativa, com enfoque na observação participante, tendo em vista a atuação direta do professor pesquisador no ambiente da pesquisa. Verificou-se que o trabalho oportunizou um espaço rico de problematização, pesquisa e construção de conhecimentos, levando os alunos a compreender, descrever e representar de forma organizada suas aprendizagens. Houve um maior interesse e participação nas atividades, na interpretação e na solução de problemas propostos sobre o conteúdo. Sugere-se ampliar o estudo das figuras geométricas explorando suas diferenças, suas áreas, seus volumes e suas aplicações práticas, buscando sempre evidenciar as dificuldades dos alunos na apropriação de conceitos matemáticos e analisá-las através dos referenciais teóricos Palavras-chave: Modelagem Matemática. Geometria. Geometria das Abelhas.

INTRODUÇÃO

No presente estudo aponta-se uma proposta de ensino matemático que procura o

conhecimento e o aprendizado do aluno por meio da modelagem matemática, um instrumento

utilizado em diversos segmentos da ciência e que pode permitir ao aluno interagir com o

conteúdo para uma aprendizagem significativa com a matemática na sua vivência

educacional. Moreira (2003) caracteriza a aprendizagem significativa como a interação entre

o novo conhecimento e o conhecimento prévio. O autor afirma que só se pode aprender a

partir do que já se conhece. Aprofundar as concepções e conceitos da Modelagem Matemática

aplicada à Geometria por meio da matemática das abelhas oportuniza identificar sua

importância em situações concretas provenientes da natureza.

Assim, associando-se à geometria, ou seja, à matemática das formas, dos triângulos,

das figuras diversas, sendo representadas e interpretadas, favorece o processo de

aprendizagem do aluno. Neste sentido, a modelagem matemática, focalizada no ensino da

própria matemática, particularmente da geometria, beneficia o artifício de aprendizagem,

despertando no aluno seu compromisso e interesse por esta disciplina, entendida por muitos

como uma forma de ensino tradicional, onde os conteúdos estabelecidos proporcionam uma

concepção mecanizada. (PARANÁ, 2008).

De acordo com Passos (2000) a geometria é muito utilizada em aplicações e é

considerada uma ferramenta importante, pois por meio dela se desenvolve habilidades de

visualização, orientação no espaço, além da capacidade para medir, quantificar e fazer

estimativas de comprimentos, áreas e volumes. Entretanto, para o estudante, a matemática

ensinada nas escolas está fora da sua realidade. Mediante uma concepção crítica de ensino,

como é o caso da modelagem matemática por meio da geometria das abelhas, desenvolve-se

no aluno o papel de protagonista de seu aprendizado. Essa é uma prática de ensino utilizada

para desenvolver um trabalho em que os alunos participam ativamente no ensino, tornando a

Matemática interessante, eficiente e sedutora, por meio do trabalho com conceitos

matemáticos e aplicabilidade em situações concretas.

Um fato incontestável da atualidade é a busca, por parte da educação, pela

metodologia de ensino mais atraente para o aluno. Assim, a modelagem matemática como

uma estratégia de aprendizado na resolução de problemas favorece reais possibilidades de se

introduzir conceitos geométricos utilizando como estratégia de ensino a fim de auxiliar,

contribuir e melhorar a aprendizagem dos alunos.

Diante disso, serão propostas questões a serem modeladas, tais como a área e

perímetro de figuras planas, soma dos ângulos internos dos polígonos regulares, planificações

dos sólidos geométricos e área e volume dos prismas, bem como, a área máxima de

preenchimento e a área máxima de fechamento dos alvéolos.

Esta pesquisa apontou como problema, que também se tornou o objetivo geral

investigar em que medida a modelagem matemática no ensino de geometria plana e espacial

irá contribuir para que os conteúdos sejam mais bem compreendidos pelos alunos. Trata-se de

uma pesquisa de natureza qualitativa, com enfoque na observação participante tendo em vista

a atuação direta do professor pesquisador no ambiente da pesquisa.

HISTÓRIA E CONCEITOS EM GEOMETRIA

O interesse pelas formas geométricas remonta desde o começo da história, na

construção de objetos de decoração, de utensílios, de enfeites, na criação de desenhos para

pintura de cavernas e corpos. O desenvolvimento humano foi influenciado pela geometria

abstraída das formas da natureza, que estão presentes tanto na vida inanimada como na vida

orgânica e nos objetos produzidos pelas diversas culturas. A Geometria tem raízes muito

antigas, a história não trás ao certo sua origem, mas há alguns indícios que apontam seu

nascimento como forma de atender as necessidades humanas e resolver problemas.

(PARANÁ, 2008).

Há cerca de 5000 anos, os agrimensores egípcios já marcavam terrenos e mediam seus

perímetros e áreas, e isso era uma tarefa que determinava a quantia de imposto paga por cada

dono de terra. Esse conjunto de conhecimentos que possibilitava a medida de terras foi

chamado de Geometria, pelo historiador grego Heródoto. Há 2000 anos a. C., os babilônios já

utilizavam a Geometria como meio de demarcar territórios, possuindo conhecimentos sobre a

congruência e a simetria. Perto de 1300 anos a. C., os egípcios a empregavam para medir

terrenos e edificações, pois há estudos que indicam utilização de triângulos, trapézios

retângulos e quadriláteros. Já na Grécia, era usada para a medição de terras, de onde vem Geo,

que significa terra e metria que significa medida. Seu uso era rudimentar e prático,

consistindo em utilizar-se de conhecimentos sobre o espaço para construir moradias, tecer,

confeccionar vasos e potes, tecidos, cestas, outros. (ROJAS, 2001).

Os egípcios calculavam a área de quadriláteros fazendo o produto das medidas

aritméticas de seus lados opostos, cujos procedimentos utilizados eram o que hoje se

denomina de método indutivo, com noções geométricas construídas intuitivamente e

desconexas, sem organização lógica. Os primeiros a utilizarem o método dedutivo foram os

gregos Tales de Mileto e Pitágoras de Samos, dando uma nova forma de interpretar a

Geometria, sendo que ambos contribuíram com a elaboração de teoremas. (BOYER, 1996).

Para Rojas (2001) atribui-se a Platão a descoberta dos poliedros regulares.

Historiadores afirmam que foi com o matemático grego Euclides, por volta de 300 anos a. C

que se deu a sistematização e ordenação lógica dos conhecimentos geométricos que

contribuíram para o desenvolvimento da Geometria como se conhece hoje. A partir de 600

a.C., os gregos avançaram muito nesses conhecimentos. Assim, a geometria deixou de servir

apenas para a medição de terra, transformando-se na ciência que estuda figuras como

retângulos, cubos, esferas, um dos ramos fundamentais da matemática.

Neste sentido, a geometria aqui elencada tem como foco o estudo de prismas, planos

retos, figuras geométricas, como triângulos, polígonos, quadrados, outros, com atividades que

vão desde as mais simples como cálculos de áreas, até os cálculos dos ângulos

(complementares, suplementares) e associação de figuras e problemas geométricos.

Sabendo que a Geometria tem como um dos principais objetivos apresentar condições

para que o aluno leia e interprete a realidade em que vive, faz-se útil pensar sobre o seu ensino

possibilitando concretizá-lo através da matemática das abelhas e com a utilização das

concepções e conceitos da metodologia Modelagem Matemática.

Em linhas gerais, Gerdes (1992) completa as ideias anteriores sobre a origem de

conceitos geométricos elementares e a geometria como ciência afirmando que:

A geometria nasceu como uma ciência empírica ou experimental. Na confrontação com o seu meio ambiente o homem da Antiga Idade da Pedra chegou aos primeiros conhecimentos geométricos. O processo da aquisição pelo trabalho de imagens abstratas das relações espaciais entre os objetos físicos e as suas partes decorreu, primeiro, de uma forma extremamente lenta. Depois de ter sido reunido suficiente material factual respeitante às formas espaciais mais simples, tornou-se possível, sob condições sociais especiais, como, por exemplo, no Egito antigo, Mesopotâmia e China, sistematizar consideravelmente o material factual recolhido. Com isso começou a transformação da geometria de uma ciência empírica numa ciência matemática, que, com os Elementos de Euclides alcançou. (GERDES, 1992, p.17).

Mediante essas informações, segundo Lorenzato (1995) com a evolução da geometria, é

possível contribuir na reflexão do conhecimento geométrico e como isso pode se relacionar

com o processo de aprendizado dos alunos propiciando uma melhor compreensão. Nos

currículos escolares, a geometria se apresenta como um tema importante para a formação

matemática dos alunos, considerada como sendo a forma menos abstrata da Matemática por

ela ser a intermediária entre a linguagem comum e o formalismo matemático.

(LORENZATO, 1995)

Quanto à relevância do ensino de geometria, Lorenzato (1995) aponta que:

Na verdade, para justificar a necessidade de se ter a Geometria na escola, bastaria o argumento de que sem estudar Geometria as pessoas não desenvolvem o pensar geométrico ou o raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente conseguirão resolver as situações de vida que forem geometrizadas; também não poderão se utilizar a Geometria como fator altamente facilitador para a compreensão e resolução de questões de outras áreas de conhecimento humano. (LORENZATO, 1995, p.5).

Neste sentido, é importante destacar que a finalidade das Oficinas de Matemática,

como foi o caso deste trabalho, é apresentar os conteúdos de maneira clara e objetiva

desenvolvendo habilidades de raciocínio, construindo com os alunos cada conteúdo,

relacionando-os com o cotidiano, além de refletir o espírito da matemática atual. Percebe-se a

necessidade de mudanças do currículo de matemática, deixando de lado o modo tradicional de

dar aula, visando o exercício da cidadania, que pressupõe o acesso aos conhecimentos

Matemáticos de forma a dar mais autonomia para o aluno aprender.

MODELAGEM MATEMÁTICA E GEOMETRIA DAS ABELHAS

A Modelagem Matemática tem como perspectiva relacionar o aspecto científico da

matemática e a realidade. E ainda, analisa a questões inovadoras, que podem mudar com o

tempo, considerando a cultura de cada sociedade. Isso requer criatividade para ser

desenvolvida.

No entender da DCE (Paraná, 2008) considera-se a modelagem um método de

pesquisa das Ciências Naturais, empregada com a finalidade de modelar matematicamente

fenômenos físicos, químicos, geográficos e sociais, o que vem ao encontro da utilização da

modelagem como uma metodologia no ensino e aprendizagem da matemática, alicerçada na

investigação e interação do contexto escolar e sociocultural.

Segundo Christofoletti (1999) a modelagem matemática consiste em uma série de

procedimentos que visam representar a realidade de forma simplificada com o objetivo de

estudar um aspecto ou um conjunto de aspectos dela. Ela reflete, na verdade, um

procedimento intuitivo da mente humana na tentativa de compreender os diversos fenômenos

presentes no mundo por meio de sua representação. Ao longo do tempo, a modelagem foi

adquirindo “traços” específicos que a tornaram um método, uma ferramenta específica para

aprimorar o conhecimento de sistemas. Por isso, atualmente, a modelagem pode ser

considerada como um instrumento entre os procedimentos metodológicos da pesquisa

científica.

A definição de “modelo matemático” enunciada por Biembengut e Hein (2011) é a

seguinte:

Nessa perspectiva, um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real, denomina-se “modelo matemático”. A modelação norteia-se por desenvolver o conteúdo programático a partir de um tema ou modelo matemático e orientar o aluno na realização de seu próprio modelo-modelagem. Pode valer como método de ensino-aprendizagem de Matemática em qualquer nível escolar, das series iniciais a um curso de pós-graduação. Não ha restrição!Os objetivos são: aproximar outra área do conhecimento da Matemática; enfatizar a importância da Matemática para a formação do aluno;despertar o interesse pela Matemática ante a aplicabilidade;melhorar a apreensão dos conceitos matemáticos;desenvolver a habilidade para resolver problemas; e estimular a criatividade. (BIEMBENGUT E HEIN, 2011, p.19).

Sendo assim, a modelagem possibilita reconstruir a realidade, antecipar um

comportamento ou uma transformação, ela representa o mundo real. Ou seja, pode-se definir

modelo como uma abreviação de um caminho já percorrido, títulos que abreviam o tempo e

associam situações, objetos, elementos ou fenômenos.

Para o professor Bassanezi (2006):

Sendo um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação dos modelos matemáticos, é uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências e consiste na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual. (BASSANEZI, 2006, p.24):

Levando o modelo à matemática, a modelagem é a arte de transformar problemas da

realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem

do mundo real (BASSANEZI, 2006).

Desta forma, a matemática, estando presente na vida dos alunos de forma criativa, e

em todos os momentos, da mais simples conta de adição até a mais complexa forma

geométrica, é possível mostrar e ver a arte dos números e da lógica, do sentido espacial, do

pensamento espacial, ou ainda, do raciocínio espacial. Assim, é necessário que a matemática

desperte e desenvolva o lado intuitivo e lógico dos educandos, e a modelagem na geometria

contribui para que esses fatores se potencializem na escola (FREUDHENTAL, 1973).

Nesse contexto, de acordo com Abreu (2011) a modelagem matemática como

estratégia de ensino e aprendizagem é uma forma de fazer com que o estudante desenvolva a

sua capacidade de reflexão e assimilação dos conteúdos. Assim, é o modelo que faz a ligação

entre as informações apreendidas pelo aluno e sua ação sobre a realidade, e desta forma,

através da reflexão, cria-se o modelo como um instrumento de auxílio à compreensão da

realidade. É, portanto, uma dinâmica realidade-reflexão sobre a realidade, que procede em

uma ação planejada e consciente. Para se chegar ao modelo é necessário que se faça uma

análise ampla da realidade na qual tem uma ação, onde se define estratégias para criar o

mesmo.

A modelagem matemática se depara com a realidade, artefatos e a ação, que agem

sobre o indivíduo e, a partir deste, busca informações e estratégias, gerando o modelo. Com

seu auxílio, levam-se de modo criativo os alunos a desenvolverem conceitos de geometria

através do estudo das abelhas. Basta uma simples observação para verificar como é

surpreendente a matemática destes insetos. A geometria é implícita na produção de seu favo,

tornando-se um exemplo prático a ser estudado, com diversos modelos geométricos a serem

representados e analisados. Para a sobrevivência das abelhas no seu habitat, todas as tarefas

são realizadas em grupo. (FREUDHENTAL, 1973).

De acordo com Hickman (2004, p. 846) “[...] as abelhas possuem uma das mais

complexas organizações dentro do mundo dos insetos.” Segundo o autor, uma colmeia pode

ser composta em torno de 60.000 abelhas e são divididas em três castas: a casta da rainha, a

casta dos zangões e a casta dos operários.

As abelhas, quando fabricam o mel, têm que resolver vários problemas. Precisam

guardar seus favos em compartimentos individuais, de tal maneira que formem um mosaico

sem lacunas, já que têm que aproveitar ao máximo o espaço. Se só o podem fazer utilizando

triângulos, quadrados e hexágonos, porque terão escolhido os hexágonos, se estes são mais

difíceis de construir? A resposta é um problema isoparamétrico (de igual perímetro). Pappus

De Alexandria, matemático que estudou as abelhas, demonstrou que, entre todos os polígonos

regulares com o mesmo perímetro, tem maior área aquele que tiver o maior número de lados.

Por este motivo, as abelhas constroem os favos de forma hexagonal, uma vez que, gastando a

mesma quantidade de cera, conseguem uma maior superfície para guardar o mel

(BATSCHELET, 1978).

Assim, com uma geometria natural e perfeita, produzem o favo apenas com um pouco

de cera, maximizando a produção com o pouco espaço que possuem, ou seja, procuram

produzir e ocupar o máximo possível de armazenagem em relação ao espaço disponível.

Secretam a cera em forma de flocos sólidos, e construir a célula por célula do favo de mel e

rosto por rosto. A abelha humilde é em alguns aspectos, pelo que você vê um feito altamente

matemático, que a evolução equipou para a tarefa de construir a sua colmeia

matematicamente ótima. (HICKMAN, 2004).

Na Geometria questiona-se: por que a seção transversal de um alvéolo é um hexágono

regular? Os recipientes, denominados alvéolos, tem a forma de um prisma hexagonal regular

(faces laterais iguais e ângulos entre as faces iguais) aberto por uma extremidade e formando

um ápice triédrico na outra face. Assim, algumas perguntas podem ser propostas, segundo:

Por que a base é hexagonal? Qual o ângulo formado entre as faces do ápice triédrico e por que

essa medida? (FREUDHENTAL, 1973).

Para solucionar a primeira questão, deve ser verificada que o corte transversal de um

favo representa um mosaico com a repetição de hexágonos regulares. E evidente na

observação da natureza a economia de recursos, buscando a otimização de espaços, a redução

de consumo de energia, tendo em vista a sobrevivência, perpetuação e, segundo as teorias

evolucionistas, o aprimoramento da espécie. Assim, toda a região plana da seção transversal

do favo deve ser plenamente aproveitável. (MARTINS, 2013).

Em linguagem matemática, os polígonos que são produzidos na construção do

mosaico observado no corte transversal do favo, devem completar todo o plano. Esse processo

é denominado de pavimentação do plano, onde a ação de cobrir uma região plana, chamada

mosaico com uma mesma figura – molde, sem deixar espaços vazios e nem ter figuras

interseccionados. Após o entendimento da modelagem matemática no ensino por meio da

geometria das abelhas à luz das teorias, importante parafrasearem que a implementação das

atividades na escola enfoca a Geometria Plana e a Geometria Espacial, cujo intuito é ampliar

e aprofundar os conhecimentos, garantindo ao aluno o aprofundamento dos conceitos da

geometria plana e espacial em um nível de abstração mais complexo.

IMPLEMENTAÇÃO DAS ATIVIDADES DE ENSINO

Levanta-se na implementação discussões sobre as atividades de ensino desenvolvidas

para alunos do 2º Ano do Ensino Médio de uma escola pública, considerando os

encaminhamentos do professor por meio de uma oficina de trabalho, bem como as

contribuições do Grupo de Trabalho em Rede (GTR). Esta é uma das etapas do Programa de

Desenvolvimento Educacional (PDE) cujo objetivo é o de levantar discussões com outros

professores da rede estadual sobre o ensino de Geometria Plana e Espacial utilizando a

matemática das abelhas. A interação se dá por meio de trocas de ideias referente ao trabalho

que está sendo desenvolvido com os alunos em sala de aula. O GTR é composto de dois

momentos: o primeiro é o diário, onde o professor tutor troca experiências com cada um dos

professores participantes e o segundo é o fórum de discussões onde todos os participantes

interagem entre si e com o professor tutor.

Na implementação das atividades, se torna muito interessante instigar os alunos de

como as abelhas vivem em sociedade:

Como é sua organização para construção de alvéolos;

Se os alunos conhecem um favo de mel;

Se já degustaram o mel tirado direto do favo.

A prática de pesquisa bibliográfica em livros e sites da internet na fase inicial da

implementação apresenta o trabalho encantador das abelhas mediante a explicitação de uma

investigação matemática vivenciada pelos alunos. Isso contribui na vivência de momentos

importantes em sala de aula, mostrando que a matemática das abelhas demonstra na prática

um modelo adequado para o ensino da geometria, haja vista que as abelhas utilizam

involuntariamente a matemática no processo de construção dos alvéolos, e a modelagem é

justamente esse processo de busca por modelos adequados para o entendimento do conteúdo.

Uma investigação matemática desenvolve-se na busca de resolução em torno de um ou

mais problemas. O primeiro grande passo de qualquer investigação é identificar claramente o

problema a resolver. Por isso, não é de admirar que, em matemática, exista uma relação

estreita entre problemas e investigações. (PEREZ, 1999).

O matemático inglês Ian Stewart indica quais são as características dos bons

problemas, segundo Ponte; Brocardo; Oliveira; (2003):

Um bom problema é aquele cuja solução, em vez de simplesmente conduzir a um beco sem saída, abre horizontes inteiramente novos [...] um interessante e autocontido pedaço da matemática, concentrando-se num exemplo judiciosamente escolhido, contem normalmente em si o germe de uma teoria geral, na qual o exemplo surge como um mero detalhe, a ser embelezado à vontade. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p.16).

Sendo assim, a investigação inicial se baseia no seguinte apontamento: Por que as

abelhas utilizam o prisma de base hexagonal para construir seus alvéolos?Essa

problematização oportuniza uma variedade de atividades relacionadas ao assunto, tais como

área e perímetro de figuras planas, soma dos ângulos internos de um polígono, planificação

dos sólidos geométricos e cálculo da área e volume dos prismas, bem como a área máxima de

preenchimento e a área máxima de fechamento dos alvéolos. (FAORO, 2010).

Conforme Bassanezi (2002):

As vantagens do emprego da modelagem em termos de pesquisa podem ser constatadas nos avanços obtidos em vários campos como a Física, a Química, a Biologia e a Astrofísica, entre outros, a modelagem pressupõe multidisciplinaridade. E, nesse sentido, vai ao encontro das novas tendências que apontam para a remoção de fronteiras entre as diversas áreas de do conhecimento. (BASSANEZI, 2002, p. 16).

Ao adotar o favo da abelha propondo o estudo geométrico de sua construção com

apoio da modelagem como importante ferramenta, torna-se um estudo contextualizado para os

alunos. Na natureza das abelhas, de forma surpreendente, apresentam-se criações que são

modelos matemáticos, merecendo destaque o hexágono, figura de seis lados que se apresenta

de forma regular possuindo o mesmo comprimento e os mesmos ângulos. A forma hexagonal

está presente na natureza através dos flocos de neve, das moléculas, dos cristais, das formas

marinhas e principalmente dos favos de mel. Isto leva a se pensar na representação do prisma

de base hexagonal, na capacidade e no volume dele em relação aos prismas de base triangular

e de base quadrangular.

Destaca-se, segundo Martins (2013) uma curiosidade interessante sobre as abelhas:

ainda no século XVIII Réaumur, ao se referir a esse inseto, enunciou um problema da

seguinte forma: como construir no menor espaço, células regulares e iguais, com a mesma

capacidade de volume, empregando a menor quantidade de matéria prima possível? Sabe-se

que abelhas não entendem nada de geometria, mas ao se observar uma colmeia, há intenso

surpreendimento com a forma com que fabricam os alvéolos que formam os favos de mel. Os

alunos, ao ver um favo de mel ao vivo e com a mediação do professor levantam questionamos

para estudo e pesquisa, tais como:

O que são os alvéolos?

Qual a finalidade e a forma geométrica dos alvéolos?

Por que as abelhas utilizam a forma de um prisma hexagonal?

Por que os alvéolos não poderiam ser de forma cilíndrica, quadrangular ou triangular?

O que é um prisma de base hexagonal?

Por qual motivo as abelhas escolheriam os prismas com base hexagonal?

Como estocar o maior volume de mel utilizando a menor quantidade de cera possível

para construir os alvéolos?

Porque a abelha produz o mel, alimento de alta classe substancial?

Qual o ângulo formado entre as faces do ápice triédrico e por que essa medida?

Por que as abelhas se utilizam este polígono?

Como cobrir uma maior área sem deixar espaços?

Para auxiliar os alunos nas respostas propôs-se que utilizassem vários polígonos,

hexágonos, quadrados, triângulos, pentágonos, para cobrir uma área retangular definida.

Segundo Martins (2013):

Deve ser verificada que o corte transversal de um favo representa um mosaico com a repetição de hexágonos regulares. E evidente na observação da natureza a economia de recursos, buscando a otimização de espaços, a redução de consumo de energia, tendo em vista a sobrevivência, perpetuação e, segundo as teorias evolucionistas, o aprimoramento da espécie. Assim, toda a região plana da seção transversal do favo deve ser plenamente aproveitável. (MARTINS, 2013, p.87).

Assim, em linguagem matemática, os polígonos que são produzidos na construção do

mosaico observado no corte transversal do favo devem completar todo o plano. Esse processo

é denominado de pavimentação do plano, onde a ação de cobrir uma região plana, chamada

mosaico com uma mesma figura - molde, sem deixar espaços vazios e nem ter figuras

interseccionados. No decorrer das atividades propostas, os alunos sempre podem ter

esclarecimentos de suas dúvidas, tais como:

Nome da forma geométrica dos alvéolos;

A abelha é redonda e alongada para se adaptar melhor a entrada da colméia.

Neste momento há a mediação do professor, indução à pesquisa, discussão com o

grupo até que todos cheguem num consenso, concluindo ser o nome da forma geométrica dos

alvéolos na forma hexagonal. E que a abelha é redonda e alongada para se adaptar melhor a

entrada da colmeia e assim, o inseto terá que colocar o mel dentro dos alvéolos por causa das

paredes. Os alunos relembram conteúdos já estudados, como nome dos polígonos, área de

figuras planas, soma dos ângulos internos e externos de qualquer polígono. Eles são levados

a construírem os conhecimentos já estudados, mas esquecidos,e que são necessários.

Juntamente com a mediação do professor, os alunos questionaram, pesquisaram, fizeram

atividades variadas, tentando descobrir o porquê do prisma hexagonal, por meio do recorte

das figuras e dos problemas dados em sala de aula.

Enfatiza-se que as abelhas, seres geômetras, procuram construir seus alvéolos de

forma que seja mais econômica, que apresente maior volume, para menor porção de material

utilizado (cera). E fazendo um paralelo com outras realidades, verifica-se que é comum

encontrar nos mercados latas de óleo, latas de conservas e outros alimentos armazenados em

embalagens com bases redondas, que são mais econômicas em função do volume. As abelhas

armazenam seu mel em favos construídos em forma de prismas de base hexagonal, utilizando

uma parede para dois alvéolos, tendo assim uma economia grande de cera. Portanto, a forma

cilíndrica não serve para a construção dos alvéolos, pois ficaria grande quantidade de espaços

sem aproveitamento, por falta de paredes em comum. Assim sendo, instintivamente, foi

preciso os alvéolos ter forma prismática para encher totalmente o espaço, sem deixar lacunas

sem preenchimento, por isto as paredes devem ser comuns.

No decorrer da oficina de trabalho, fica-se sabendo que os gregos foram os primeiros

povos a observar que triângulos, quadrados e hexágonos são os únicos polígonos regulares

que se complementam naturalmente para preencher um espaço plano. Este conceito foi e

ainda é muito usado em pinturas de determinados povos, como os mulçumanos, já que sua

religião não permite desenhar seres humanos. Assim, é correto expor que os únicos prismas

regulares cujos lados se encaixam impecavelmente são os triângulos, quadrangulares e

hexágonos.

Por meio das atividades desenvolvidas com as embalagens trazidas pelos alunos,

verifica-se que as abelhas não optaram pela forma cilíndrica porque entre suas paredes sobram

espaços entre um cilindro e outro. Para o triângulo e o quadrado seriam gastos mais materiais

na construção das paredes e mais tempo para se trabalhar, essa foi a conclusão que os alunos

chegaram.

Com o intuito de fazer o aluno aprender pensando e raciocinando, e não apenas

decorando o conteúdo, mas sim relacionando a matéria estudada em sala de aula com o seu

cotidiano, não se pode deixar de lado as embalagens trazidas, em que os alunos constatam que

as embalagens hexagonais realmente são as que se encaixam sem deixar nenhum espaço entre

elas. Estes conteúdos se apresentaram de maneira clara e objetiva, relacionando com o

cotidiano, além de refletir o espírito da matemática contemporânea. A investigação

matemática aproxima o aluno das atividades matemáticas, criando um caráter diferenciado.

(ALMEIDA, 2012).

Sendo assim, considera-se a necessidade de vivência de situações de ensino, além da

formação de professores no sentido de promover mudanças curriculares, proporcionando a

reflexão sobre incorporação de métodos de ensino na prática docente que sejam capazes de

assegurar um aprendizado significativo para a matemática. O sólido geométrico escolhido

pelas abelhas é o prisma de base hexagonal dentre tantos outros como os poliedros, os corpos

redondos, pelo simples fato de ser o que ocupa menos material para ser confeccionado, tendo

uma maior capacidade em relação aos outros, além de se encaixar perfeitamente um do lado

do outro. (FAORO, 2010).

Com as embalagens a importância da dedução para se achar a área total dos prismas

ficou bem evidente para os alunos, como a modelagem matemática tem como objetivo

construir modelos matemáticos, através das embalagens os alunos construíram a área lateral e

área total de qualquer prisma , que é a seguinte: soma-se a área lateral com duas vezes a área

da base. AT = Al + 2.Ab. Como ele é um prisma hexagonal reto e regular, sabe-se que as

medidas das arestas laterais são as mesmas. O modelo matemático para se calcular a área do

triângulo equilátero foi construído com os alunos, utilizando-se o Teorema de Pitágoras, para

calcular a área da superfície da base hexagonal, aplica-se a fórmula da área do triângulo

equilátero e multiplica-se por seis.

Como calcular a área de superfície da base:

Para se calcular a área lateral aplica-se a fórmula da área de um retângulo e multiplica-

se por 6, pois são seis lados. Ficará: 6.b.h . Após calcular a área da base e a área lateral,

aplica-se a fórmula já conhecida AT = Al + 2.Ab. Então se saberá a quantidade de material

usada para confeccionar o prisma de base hexagonal regular reto. Se aplicar estes mesmos

conceitos para outros poliedros e corpos redondos, percebe-se que o escolhido pelas abelhas

foi um dos sólidos que menos material ocupou para ser construído, com maior volume.

As atividades efetuadas com os alunos demonstram que materiais manipuláveis, tais

como os sólidos geométricos e favo de mel são recursos didático-metodológicos que

oportunizam a eles um meio de criar as primeiras representações de um conceito matemático.

Essa preocupação da construção dos conceitos necessita da ação dos sujeitos, visando a

análise e a generalização dos conhecimentos matemáticos.

Assim, de acordo com Lorenzato (1995) é importante as ações do professor na

organização de situações de ensino-aprendizagem em sala de aula, a qual perpassa as suas

concepções sobre a Matemática e as formas de aquisição dos objetos matemáticos. O

professor de Matemática precisa conhecer tanto os conteúdos específicos de sua área quanto a

maneira de ensinar aos alunos tais conteúdos. A utilização do material didático depende mais

da concepção do professor a respeito da Matemática e da arte de ensinar do que do próprio

material.

A vivência mediante várias atividades oportuniza uma aprendizagem significativa,

além da reflexão sobre a necessidade de atividades que exijam a participação dos alunos, o

levantamento de hipóteses e a comprovação a partir da manipulação de materiais, de

questionamentos e de atividades em grupo. O professor percebe que há uma melhora

significativa na interpretação e solução de problemas, posteriormente propostos, sobre o

assunto, o que sinaliza que os objetivos foram plenamente atingidos.

Com base nos depoimentos postados no diário e no fórum fica evidente a preocupação

dos participantes com o ensino de geometria no Ensino Médio de forma descontextualizada da

realidade dos alunos, como mostra o depoimento de um professor: Para que a matemática

possa ter sentido, precisamos enxergar o significado dela, o objetivo que iremos atingir para

se chegar ao resultado. Não basta ensinar matemática só por ensinar, precisa de algo mais e

este projeto veio num momento oportuno, pois ensinar geometria através do método das

abelhas, isso realmente é maravilhoso, pois o ensino da Modelagem Matemática é uma

possibilidade metodológica muito oportuna uma vez que se focaliza principalmente na

motivação e ligação da matemática com a realidade do aluno.

Também se observam nas postagens a preocupação com a formação do professor,

como mostra a fala de outra professora: Atualmente concorremos com os meios tecnológicos,

portanto devemos "tentar" chamar a atenção dos nossos alunos com aulas diferenciadas,

trazendo a teoria para a prática.

Interessante este outro depoimento: Essa experiência de trabalho com as abelhas é

muito gratificante, pois o aluno se interessa pelo assunto, interage com os colegas e

professores, pois a modelagem matemática é um método mais dinâmico de se trabalhar. O

aluno concretiza seus conhecimentos através das formas geométricas, sua interpretação da

geometria enriquece e o ensino da geometria pode ser aplicado com mais criatividade. O

trabalho é rico em experiência e na formação de novos conceitos geométricos.

Os professores, de uma forma geral, reconhecem a importância de abordar a geometria

de forma contextualizada para que se torne um conteúdo mais agradável e atrativo, pois assim

os alunos serão capazes de entender a utilidade do que está sendo estudado ,deixando de ser

apenas uma repetição de fórmulas e cálculos sem sentido concreto e que esse projeto ainda

mostra a importância de uma matemática projetada por insetos tão pequenos e de tamanha

sabedoria ,trazendo a forma de vivência das abelhas e como elas encontraram a melhor

maneira de armazenar o mel, transformando problemas da realidade em problemas

matemáticos.

Na finalização do projeto os alunos construíram prismas de bases triangulares,

quadradas e hexagonais, com caixas de leite, feitas de polietileno, material que evita

vazamento e suporta líquidos quentes, onde preencheram uma caixa de MDF de mesmo

tamanho e mesmo volume distribuídas para todos os grupos onde puderam comprovar que os

prismas de base hexagonal são os que menos utilizam material e para comprovar o volume

foram distribuídas barras de chocolate de mesmo volume para todos os grupos, os alunos

derreteram para preencher os prismas (alvéolos), chegaram a conclusão que as abelhas

realmente são seres que mesmo não sabendo matemática conseguem utilizá-la na sua vida

diária de maneira surpreendente.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Na presente pesquisa, procurou-se desenvolver atividades de Modelagem Matemática

utilizando a Geometria das Abelhas como recurso educacional que contribua para um

processo de ensino e aprendizagem significativo para alunos de nível médio. Foi apontado

como problema, que também se tornou o objetivo geral, investigar em que medida a

Modelagem Matemática no ensino de Geometria com apoio da Geometria das Abelhas

poderia contribuir para que os conteúdos sejam mais bem compreendidos e significativos para

os alunos. E ainda, por que as abelhas utilizam o prisma de base hexagonal para construir seus

alvéolos. Verificou-se que os objetivos foram atingidos, na medida em que ia se finalizando

este trabalho.

Entre as formas de ensinar a matemática apresenta-se, em especial, a modelagem

matemática como estratégia de aprendizado para resolução de problemas. Assim, as reais

possibilidades de se introduzir conceitos geométricos utilizando como estratégia de ensino a

geometria das abelhas subsidia, contribui e ressignifica a aprendizagem dos alunos. O

trabalho, por meio de Oficinas, oportunizou um espaço rico de problematização, pesquisa e

construção de conhecimentos, levando os alunos a compreender, descrever e representar de

forma organizada seu aprendizado, tendo o professor como mediador. Isso proporcionou

maior interesse e participação nas atividades, na interpretação e na solução de problemas

propostos sobre o assunto.

As atividades realizadas comprovaram que materiais manipuláveis como o favo de

mel são recursos didáticos que oportunizam aos alunos um meio de construírem as primeiras

representações de conceitos matemáticos. Foi possível desenvolver o estudo das figuras

geométricas explorando suas diferenças, suas áreas, seus volumes e suas aplicações práticas,

buscando sempre evidenciar as dificuldades dos alunos na apropriação de conceitos

matemáticos e analisá-las através dos referenciais teóricos. Assim, conclui-se que a opção de

se utilizar a metodologia da modelagem matemática foi essencial para a motivação e a

participação efetiva dos alunos na realização das atividades, o que provocou um avanço na

compreensão dos conceitos de geometria, possibilitando assim uma aprendizagem expressiva

de alguns conceitos de geometria.

Averiguou-se que as atividades elaboradas, de fato, situaram os alunos no centro do

processo de ensino e aprendizagem, sendo deles a atribuição de buscar informações para

resolver os problemas tendo o professor como mediador e fazendo sua interferência sempre

que necessário. Esse projeto permitiu analisar de como a formação continuada é importante

no desempenho dos professores, possibilitando articular entre a sua atuação na sala de aula e a

troca de experiências em grupo, para que essa discussão possa induzir o professor a estar

sempre revendo e aperfeiçoando as suas práticas educativas, levando sempre em consideração

a produção do saber.

Diante da importância do ensinar geometria, ao se propor condições de entender a

matemática em suas diferentes representações, além de melhorar a prática pedagógica,

viabiliza o despertar e o prazer de compreender a dinâmica da geometria por meio das

abelhas, criando-se um contexto para uma nova práxis pedagógica em relação ao ensino

aprendizagem, caracterizando uma nova perspectiva pedagógica. Nisso o aluno só tem a

ganhar.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABREU, L. L. de B. Estudando conteúdos matemáticos com direcionamentos de modelagem matemática: o caso da função afim. 2011. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade Estadual de Juiz de Fora (UFJF), Juiz de Fora, MG. ALMEIDA, L. W; SILVA, K.; VERTUAN, R. Modelagem Matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, 2012. BASSANEZI, R. C. Ensino aprendizagem com modelagem matemática: Uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2006. BATSCHELET, E. Introdução a matemática para biocientista. São Paulo: Interciência. 1978. BIEMBENGUT, M. S; HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino. São Paulo: Contexto, 2011. BOYER, Carl. B. História da Matemática. 2ª. Ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996. CRISTOFOLLETTI, A. Modelagem de sistemas ambientais. São Paulo: Edgard Blücher, 1999. FAORO, Tiaki Cíntia Togura. Geometria das abelhas. Dourado: UEMS, 2010. FERRUZZI, E. C. et al. Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem nos cursos superiores de tecnologia. In: World Congress on Engineering and Technology Education, São Paulo, 2004. FREUDHENTAL, H. Mathematics as an educational task. Dordrecht: Reidel. Ano: 1973. HICKMAN, Jr, Cleveland, P.; ROBERTS, L. S.; LARSON, A. Princípios integrados de Zoologia. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 11 ed, 2004. LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática. São Paulo, ano III, nº 4, 1º semestre 1995. MARTINS, M. D. Geometria das abelhas. 2009. Disponível em: http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_Dominique.pdf. Acesso em: 25 de maio de 2013. MOREIRA, P. C.; DAVID, M. M. M. S. Matemática escolar, matemática científica, saber docente e formação de professores. Revista Zetetiké. Campinas, v.11, nº 19, jan/jun. 2003. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

PASSOS, C. M .B. Representações, interpretações e prática pedagógica: a geometria na sala de aula. Tese de doutorado (Universidade Estadual de Campinas – Faculdade de educação), 2000. PEREZ, G. Formação de Professores de Matemática sob a Perspectiva do Desenvolvimento Profissional. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999. PONTE, J. P. da; BROCARDO, J .; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. ROJAS, J. In FAZENDA, Ivani C. A. Metáfora - dicionário em construção: interdisciplinaridade/ Ivani C. A. Fazenda (org.). – São Paulo: Cortez, 2001.