Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

,, A Resolução de

Problemas como Recurso Pedagógico para a Consolidação dos Conhecimentos

sobre Grandezas e Medidas

PDE 2013

Otair Beloto

Clélia Maria Ignatius Nogueira

all

1

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA – PDE/2013

Título: A Resolução de Problemas como Recurso Pedagógico para a Consolidação dos

Conhecimentos sobre Grandezas e Medidas

Autor Otair Beloto

Disciplina/Área (ingresso no PDE) Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Alberto Jackson Byington Junior – Ensino

Fundamental e Médio

Rua: Saint Hilaire, 1.318

Município da escola Maringá

Núcleo Regional de Educação Maringá

Professor Orientador Dra Clélia Maria Ignatius Nogueira

Instituição de Ensino Superior UEM – Universidade Estadual de Maringá

Relação Interdisciplinar Não

Resumo Os alunos têm demonstrado diversas dificuldades no que se refere ao conhecimento básico sobre “medidas” e suas transformações. Por isso, propõe-se essa sequência didática para tentar amenizar essas dificuldades. A sequência didática apresenta situações-problema e uma abordagem teórica sobre as medidas de comprimento, medidas de superfície, medidas de volume, medidas de massa, medidas de capacidade e medidas de tempo. A resolução de problemas foi eleita como recurso pedagógico porque pode tornar o ensino da Matemática mais interessante para o aluno, pois por meio dela, ele pode ser desafiado a buscar soluções e assim, consolidar seus conhecimentos.

Palavras-chave (3 a 5 palavras) Medidas de Grandezas; Recurso Pedagógico; Resolução de Problemas.

Formato do Material Didático Sequência Didática

Público Alvo Alunos do 1º ano do Ensino Médio

all

2

APRESENTAÇÃO

Esta produção didático-pedagógica é resultado de um trabalho realizado no

Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE e refere-se à produção de uma

sequência didática do conteúdo “medidas de grandezas e suas transformações”.

A sequência didática está estruturada de modo a considerar as medidas de

comprimento, as de superfície, as de volume, de massa, de capacidade e as de

tempo. Primeiramente, é feita uma abordagem teórica sobre cada grandeza e sua

medida e, em seguida são apresentadas situações-problema referentes a cada

grandeza.

Essas medidas, segundo Camilo, Nogueira e Andrade (2011) fazem parte do

cotidiano das pessoas. Por fazerem parte do cotidiano das pessoas, o seu ensino

torna-se imprescindível, entretanto precisam ser abordadas de modo interessante,

motivador, com problemas que desafiem os alunos. Nesta fase de sua

escolarização, os alunos já estudaram este tema, entretanto, nossa prática indica

que tais conhecimentos não foram consolidados. Por isso, a resolução de problemas

foi eleita enquanto recurso pedagógico porque pode tornar o ensino das grandezas e

medidas mais interessante para o aluno e desta forma favorecer a consolidação do

seu conhecimento sobre o conteúdo escolhido.

A sequência didática aqui proposta, que será colocada em cheque durante a

intervenção pedagógica na escola tem objetivos direcionados ao aluno e ao

professor. Para o aluno objetiva o aprofundamento teórico do tema em questão,

consolidando o seu conhecimento. Para o professor, objetiva a apresentação de

uma alternativa metodológica para o ensino de grandezas e medidas. No entanto,

não esperamos que essa sequência didática seja um manual a ser seguido

rigorosamente pelo(a) professor(a), mas uma produção didático-pedagógica que

auxilie aqueles que acreditam que a resolução de problemas é um recurso que pode

favorecer o ensino da Matemática.

Otair Beloto e Clélia Maria Ignatius Nogueira

all

3

Para usar a resolução de problemas enquanto recurso pedagógico,

primeiramente será solicitado ao aluno que cortem pedaços de barbante que

representem 1 cm, 1 dm, 1 m, 1 dam e 1 km.

Após será solicitado ao aluno que faça estimativas sobre o comprimento de uma

rua, de uma estrada, altura de uma pessoa, etc. para ter saber se ele tem noção de

grandeza.

Além disso, sugere-se que o aluno resolva as duas situações problemas a seguir:

1 – Considere um cubo com 1 m de lado. Ou seja, que tem 1 m3 de volume. A

capacidade deste cubo é de 1000 l. Agora, imagine que você colocou, dentro do cubo,

uma esfera com 1 m de diâmetro. Sobram partes vazias no cubo, que você "enche" de

água. Em outro cubo, igual, você vai encher com bolinhas de 10 cm de diâmetro cada e

depois preencher os espaços vazios com água. Em um terceiro cubo, você preenche com

bolinhas de 1 cm de diâmetro cada e depois enche de água. Qual o maior volume de

água necessário para preencher os cubos? O da situação 1 (esfera de 1 m de diâmetro)?

Da situação 2 (esferas com 10 cm de diâmetro) ou da situação 3 ( esferas com 1 cm de

diâmetro)?

2 – Meça o perímetro da moeda utilizando um barbante, acrescente um metro a

esta medida. Construa com este barbante (medida da circunferência da moeda + 1

metro) uma nova circunferência e coloque a moeda no centro desta nova circunferência.

Suponha que você faça o mesmo procedimento com o pneu de um trator (medir a

circunferência do trator, mais um metro e construir uma nova circunferência com o

all

4

Pneu, no centro) e com a Terra (medir a circunferência do equador, mais um metro e

construir uma nova circunferência tendo o planeta como centro). A pergunta é: qual

distância entre a borda do que está no centro e a circunferência de barbante é maior,

em cada um dos três casos?

Em seguida, será proposta a resolução de problemas sobre medidas de

comprimento, superfície, volume, massa, capacidade e tempo. Com o intuito de que o

aluno possa:

- Compreender transformações de unidades de medidas (comprimento,

superfície, volume, massa, capacidade e tempo);

- Reconhecer as unidades padrões das medidas de grandezas;

- Oportunizar situações de transformações de unidades de medidas de

grandezas;

- Compreender a necessidade da adoção de unidades padronizadas para

estabelecer medidas precisas;

- Resolver situações-problema envolvendo medidas de grandezas.

,Após a resolução de problemas de cada grandeza tentar-se-á a construção da

teoria juntamente com o aluno sobre cada medida de grandeza.

all

5

1 – Tenho 228 metros de barbante e preciso dividi-lo em 20 pedaços do

mesmo comprimento. Quantos centímetros de comprimento terá cada pedaço de

barbante?

2 – Confeccione um metro de papel, depois responda:

a) Quantos cm há em 100 hm?

b) Quantos cm há em 3 m e 2 cm?

c) Quantos cm há em 2 m e 5 dm?

d) Quantos cm há em 1 m?

e) 70 cm é menor que 1 m?

f) 60 cm é igual a 6 dam?

3 – Faça uma estimativa de quanto mede a rua em frente à sua escola em::

a) Quilômetro: ___________

b) Hectômetro: ___________

c) Decâmetro: ___________

d) Metro: ___________

e) Decímetro: ___________

f) Centímetro: ___________

g) Milímetro: ___________

4 – Um ringue de boxe tem o formato de um quadrado de 4,90 m de lado e é

cercado com 4 voltas de corda elástica. Quantos metros de corda elástica são

necessários para formar o ringue?

Alguns Problemas para Solucionar de Medidas de Comprimento

all

6

5 – Em um mapa, cada centímetro corresponde a 15 km.

a) Qual é a distância entre duas cidades que distam no mapa, 20 cm?

b) Uma cidade está a 89.850 m de outra. No mapa qual será a distância entre

essas duas cidades?

all

7

Medidas de Comprimento

Segundo Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.

(2007) no sistema métrico decimal, a unidade

fundamental de medida de comprimento é o metro,

cuja abreviação é o m.

Os mesmos autores, explicam que medir um

comprimento é compará-lo com outro tomado como

unidade. Sendo assim, pode-se dizer que, quando se

mede um comprimento, obtêm-se medidas diferentes

ao serem utilizadas unidades diferentes.

Por isso, se faz necessário que ao registrar uma

medida se explique a qual unidade ela se refere

(CAMILO; NOGUEIRA; ANDRADE, 2011).

Um pouco de história... Os egípcios usavam o

cúbito (distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio) como unidade de comprimento.

O cúbito padrão, hoje equivale a 52,4 cm.

Os sumérios usavam um cúbito padrão equivalente a 49,5 cm.

Para medir grandes extensões, os egípcios usavam cordas que tinham nós espalhados a intervalos iguais. Cada intervalo correspondia a 10 cúbitos.

Já os romanos usavam o pé (cerca de 30 cm) como unidade de medida para pequenas distâncias, e a passada dupla, equivalente a cinco pés, para medir grandes distâncias. Mil passadas duplas constituíam a milha.

A partir de 1878, a Inglaterra passou a usar a jarda imperial e a libra imperial. Há ainda o pé (30,48 cm) e a polegada (2,54 cm) (GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, G.; GIOVANNI JR., 2007).

Atualmente, de acordo

com a definição ratificada

pela 17ª CGPM de 1983,

um metro é o

comprimento do trajeto

percorrido pela luz, no

vácuo, durante um

intervalo de tempo de

1/(299 792 458) do

segundo (CAMILO;

NOGUEIRA; ANDRADE,

2011).

all

8

Lopes (2013) informa que o metro possui múltiplos e submúltiplos, os

primeiros são utilizados para medir grandes distâncias, a saber, o decâmetro, o

hectômetro e o quilômetro e os últimos servem para medir pequenas distâncias, a

saber, o decímetro, o centímetro e milímetro.

Para efetivar a transformação de uma unidade imediatamente inferior ou

superior, Camilo, Nogueira e Andrade (2011)

explicam que basta multiplicar ou dividir o número

por 10, respectivamente.

Sendo assim,

1 decâmetro = 10 x 1 metro = 10 metros

1 hectômetro = 100 x 1 metro = 100 metros

1 quilômetro = 1.000 x 1 metro = 1000 metros

1 decímetro = 1/10 do metro = 0,1 metro

1 centímetro = 1/100 metros = 0, 01 metro

1 milímetro = 1/1.000 do metro = 0, 001 metro

Observe a seguir essas diferenças no visual:

Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr. (2007) estabelecem um quadro das

unidades padronizadas de medidas de comprimento.

Múltiplos Unidade Padrão

Submúltiplos

Unidade quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

Símbolo km

hm

dam

m

dm

cm

mm

Relações com

o metro

1. 000m

100m

10m

1m

0,1m

0,01m

0,001m

● ● ●

deca: dez, em grego hecto: cem, em grego

kilo: mil, em grego deci: décimo, em grego

centi: centésimo, em grego mili: milésima, em grego (GIOVANNI; CASTRUCCI;

GIOVANNI JR., 2007).

● ● ●

x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

km hm dam m dm cm mm

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

all

9

A seguir é mostrada uma exemplificação das medidas de comprimento:

3,65 m = 36,5 dm = 365 cm = 3650 mm

3 mm = 0,3 cm = 0,03 dm = 0,003 m 1 k = 10 hm = 100 dam = 1000 m (CAMILO; NOGUERIA;

ANDRADE, 2011).

all

10

1 – Para cobrir o piso de sua sala de aula é preciso de aproximadamente

quantos quadrados de 1 m de lado?

2 – Uma costureira confecciona 20 tapetes de retalhos por semana. Todos os

tapetes tem o formato de um quadrado de 40 cm de lado, totalizando 12 retalhos de

comprimento e 6 retalhos na largura.

a) Qual é o comprimento do tapete em centímetros?

b) Qual é a largura do tapete em centímetros?

c) Quantos metros quadrados de tecido são necessários para confeccionar

dois tapetes?

d) Quantos metros quadrados de tecido são necessários para confeccionar os

tapetes de uma semana?

3 – Uma folha foi dividida em quadradinhos com lados de medida 1

centímetro (1 cm). Observe a representação a seguir:

Alguns Problemas para Solucionar de Medidas de Superfície

1 dm

1 dm

1 cm

1 cm

1 cm2

all

11

a) Quantos centímetros quadrados tem essa folha?

b) Se aumentar o quadrado com lados de medida 1 cm em quadrinhos

maiores, com lados de medida 1 dm, quantos decímetros quadrados terá o

quadrado com lados de medida 1 m?

4 – Observe o quadrado abaixo:

1 m

a) Qual é a medida do lado desse quadrado em:

decímetros?

centímetros?

milímetros?

b) O que fazer para converter uma medida em centímetros quadrados em:

milímetros quadrados?

metros quadrados?

decímetros quadrados?

5 – Numa fazenda de criação de caprinos, cada hectare deve ser ocupado por 40

cabras. Quantas cabras poderiam ser criados em um terreno de 70.000 m2?

all

12

Medidas de Superfície

Em Matemática, segundo Camilo, Nogueira e Andrade (2011) superfície é o

limite de um corpo geométrico, como exemplo a face de um cubo. A medida de uma

superfície é denominada de área. Neste sentido, destaca-se que:

Para melhor compreensão do conceito de área, Souza (2012) pede para

observar as figuras abaixo:

De acordo com as figuras, observa-se que são necessárias 15 para cobrir

cada uma delas. Assim, diz-se que a área ou a medida da superfície de cada uma

das figuras é de 15 , considerando-se como unidade de medida de área.

Como a quantidade de para cobrir cada figura é igual, diz-se que as figuras têm

a mesma área.

Superfície é uma

grandeza com duas

dimensões, ou seja,

comprimento e largura.

Área é a medida dessa

grandeza. Portanto,

trata-se de um número

(MORI; ONAGA, 2009).

all

13

O metro quadrado corresponde à medida de superfície de um quadrado que

tem 1 m de lado, assim como o centímetro quadrado corresponde à medida de

superfície de um quadrado que tem 1 cm de lado (GIOVANNI; CASTRUCCI;

GIOVANNI JR., 2007).

Além do metro quadrado, existem outras unidades de medida de superfície,

os múltiplos e os submúltiplos do metro quadrado. A seguir, Matheus et al. (2010)

estabelecem um quadro com a equivalência entre essas unidades e o metro

quadrado.

Múltiplos Unidade Padrão

Submúltiplos

Unidade quilômetro

quadrado

hectômetro

quadrado

decâmetro

quadrado

metro

quadrado

decímetro

quadrado

centímetro

quadrado

milímetro

quadrado

Símbolo km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

Relações

com o metro

quadrado

1.000.000m2

10.000m2

100m2

1m2

0,01m2

0,0001m2

0,000001m2

Para melhor compreensão, Camilo, Nogueira e Andrade (2011) explicam que:

Quilômetro quadrado (km2) – área de um quadrado cujo lado mede um

quilômetro ou mil metros;

Hectômetro quadrado (hm2) – área de um quadrado cujo lado mede cem

metros ou um hectômetro;

As medidas de superfície

têm como unidade padrão

o metro quadrado, cujo

símbolo é m2 (GIOVANNI;

CASTRUCCI; GIOVANNI

JR., 2007).

all

14

Decâmetro quadrado (dam2) –

área de um quadrado cujo lado

mede um decâmetro ou dez

metros;

Decímetro quadrado (dm2) – área

de um quadrado cujo lado mede

um decímetro ou 0,1 metro;

Centímetro quadrado (cm2) –

área de um quadrado cujo lado

mede um centímetro ou 0,01

metro;

Milímetro quadrado (mm2) – área

de um quadrado cujo lado mede

um milímetro ou 0,0001 metro.

Assim, percebe-se que nas

unidades de superfície cada unidade,

conforme os mesmos autores é cem vezes

maior do que a imediatamente inferior e

cem vezes menor do que a imediatamente

superior.

Observe a seguir essas diferenças

no visual:

Medidas Agrárias

O hectare é uma medida usada

para medir grandes superfícies

como as de sítios, chácaras e

fazendas e é classificada como

medida agrária. Um hectare

equivale à área de um quadrado

com 100 m de lado, isto é,

1 ha = 100m . 100m = 10 000m2.

Outra unidade de medida agrária é

o alqueire. Essa unidade é muito

utilizada no Brasil. De acordo com a

região do país, a medida do

alqueire pode variar, por exemplo,

1 alqueire paulista = 24 200m2

1 alqueire mineiro = 48 400m2

1 alqueire do norte = 27 225m2

(SOUZA; PATARO, 2012).

x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

: 100 : 100 : 100 : 100 : 100 : 100

all

15

Para transformar m2 em mm2 (três posições para a direita) deve-se multiplicar

por 1.000.000 (100 x 100 x 100). Por exemplo:

5,37 x 1.000.000 = 5.370.000

5,37 m2 = 5.370.000 mm2

Para transformar dam2 em km2 (duas posições para a esquerda) deve-se

dividir por 10.000 (100 : 100). Por exemplo:

989,5 : 10.000 = 0.09895

989,5 dam2 = 0,09895 km2

all

16

1 – Qual é a capacidade, em litro, de uma caixa de suco que tem 8 cm de

largura, 8 cm de comprimento e 25 cm de altura?

2 – Um paralelepípedo de arestas medindo 10 cm, 12 cm e 14 cm é formado

por cubinhos de aresta igual a 2 cm. Qual é o volume desse paralelepípedo?

3 – Uma piscina tem 14 m de comprimento, 10 m de largura e 2,50 m de

profundidade. Quantos litros de água são necessários para encher totalmente essa

piscina?

4 – O volume de um recipiente é de 400 dm3. Quantos cm3 de refrigerante

pode conter nesse recipiente?

5 – Uma caixa de água possui volume de 4.0003. Qual a capacidade em litros

dessa caixa de água?

6 – (Oliveira, 2013) Dividir os alunos em grupos e solicitar que construam no

mínimo seis caixas de papel para tentarem descobrir qual delas tem o maior volume.

Para a construção das caixas, os alunos precisarão de folhas de papel A4, régua,

lápis, tubo de cola e tesoura.

Ao construir cada caixa os alunos deverão ter em mente o seguinte problema:

dada uma folha A4, qual a medida de x para que a caixa, sem tampa, obtida pela

dobradura dos cantos, tenha o maior volume possível?

Para a construção das caixas é preciso fazer, com o auxílio de régua,

quadrados de lado x nos quatro cantos da folha A4. Depois, é preciso anotar

próximo ao lado desse quadrado, o valor de x utilizado. Por último, para montar a

Alguns Problemas para Solucionar de Medidas de Volume

all

17

caixa, corte um dos lados de cada um dos quadrados e cole a face do quadrado de

forma a montar uma caixa. Faça isso com todos os quadrados.

Cada grupo deverá construir no mínimo seis caixas, escolhendo para cada

uma delas diferentes valores de x. Depois, colocando-as uma ao lado da outra, o

grupo deve discutir e tentar descobrir intuitivamente qual delas tem maior volume.

Feito isso, eles irão numerá-las em relação ao volume, do maior para o menor. Essa

numeração servirá de registro para a verificação da percepção visual dos alunos

acerca do volume das caixas.

Será chamada de 1ª numeração aquela realizada na etapa 1, na qual os

alunos ordenaram as caixas com base em suas percepções visuais e as

classificaram em relação ao seus volumes. Nesta etapa, peça aos alunos para

calcularem os volumes das caixas algebricamente: será chamada de 2ª numeração.

Para isso, com o auxilio de uma régua, medirão o comprimento, a largura e a altura

de cada caixa. Depois de calculados os volumes de todas as caixas, os alunos irão

realizar a 2ª numeração, do maior para o menor volume obtido. Neste momento, eles

poderão comparar a percepção visual que têm do volume com o seu valor real.

Com os dados obtidos anteriormente, os alunos deverão fazer uma tabela no

caderno, contendo a 1ª numeração, a 2ª numeração, a altura e volume de cada

caixa. Após a confecção da tabela, os grupos podem ainda esboçar um gráfico do

volume da caixa em função de sua altura x em sistema de eixos de coordenadas.

Ao terminarem o esboço, questione qual seria o maior volume possível: o que

obtiveram ou algum outro que eles desconhecem.

all

18

Medidas de Volume

De acordo com Matheus et al. (2010) para determinar a quantidade de areia

de um caminhão ou a quantidade de ar dentro de um balão, se faz necessário

calcular seus respectivos volumes, ou seja, é preciso medir o espaço que a areia

ocupa na caçamba e medir o espaço que o ar ocupa no balão.

Assim ao deparar com problemas que envolvam o uso de três dimensões:

comprimento, largura e altura (profundidade) podem-se realizar cálculos

tridimensionais.

O metro cúbico é a unidade padrão utilizada com mais frequência na medida

de volume e equivale ao volume de um cubo, cuja aresta mede 1 metro.

1m

1m

1m

Como nas outras unidades de medidas, Matheus et al. (2010) explicam que

também há os múltiplos e os submúltiplos do metro cúbico. Observe a relação no

quadro:

Volume é a medida do espaço ocupado por um

corpo (BONJORNO; BONJORNO, 1995).

1m3

all

19

Múltiplos Unidade Padrão

Submúltiplos

Unidade quilômetro

cúbico

hectômetro

cúbico

decâmetro

cúbico

metro

cúbico

decímetro

cúbico

centímetro

cúbico

milímetro

cúbico

Símbolo km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

Relações com o metro

cúbico

1.000.000.000m2

1.000.000m2

1.000m2

1m2

0,001m2

0,000001m2

0,000000001m2

Camilo, Nogueira e Andrade (2011) esclarecem que cada unidade é mil vezes

menor do que a imediatamente superior e mil vezes maior do que a imediatamente

inferior.

Observe essas diferenças visualmente:

Em consequência, para se avaliar uma grandeza em unidade imediatamente

superior, desloca-se a vírgula, três casas para a esquerda; para avaliar em unidade

inferior desloca-se a vírgula três casas para a direita.

x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

: 1000 : 1000 : 1000 : 1000 : 1000 : 1000

all

20

É importante enfatizar ainda que existe uma relação entre volume e

capacidade, ou seja, as medidas de volume e capacidade estão intimamente

relacionadas com as medidas de capacidade, uma vez que, elas podem determinar

a quantidade de líquido que um recipiente pode conter.

Exemplo: 275 hectômetros cúbicos, 107

decâmetros cúbicos, 89 metros cúbicos, 371

decímetros cúbicos 3 235 centímetros

cúbicos poderão ser assim expressos:

275,107089371235 hm3

275107,089371235 dam3

275107089,371235 m3

275107089371,235 dm3

275107089371235 cm3

275107089371235000 mm3

(CAMILO; NOGUEIRA; ANDRADE, 2011).

all

21

1 – O que pesa mais: 1 kg de arroz ou 1 kg de algodão?

2 – Responda os questionamentos a seguir:

a) Se uma maçã pesa 300 g, quanto pesarão 8 maças iguais a essa?

b) Um pedaço de bolo pesa 125 g, quantos pedaços iguais a esse precisam

para completar 2 kg?

c) Um caminhão pesa 3 t e 200 kg e uma caminhonete pesa 1.800 kg. Qual

pesa mais o caminhão ou a caminhonete?

3 – Qual o total de quilogramas dos alunos da sala? O que fazer para saber o

total de quilogramas dos alunos? Justifique.

4 – Solucione as questões.

a) Valéria pesava 63 kg, engordou 950 kg quanto ela pesa agora?

b) Paula pesava 55 kg, engordou 2 kg 100 g quanto ela pesa agora?

c) Marta pesava 74 kg, emagreceu 7 kg e 450 g quanto ela pesa agora?

d) João pesava 102 kg, emagreceu 24 kg 200 g quanto ele pesa agora?

Alguns Problemas para Solucionar de Medidas de Massa

all

22

5 – Observe atentamente os ingredientes necessários para uma receita de

bolo de cenoura.

Sabendo que uma xícara equivale a 240 ml e uma colher equivale a 15 ml,

responda:

a) Quantos quilos de farinha de trigo são necessárias para fazer 5 receitas

de bolo de cenoura?

b) Quantas porções são obtidas quando é preparada 1,5 receita?

c) Para fazer 4 receitas quantos ml de óleo são necessários?

d) Para a cobertura de 7 bolos quantas ml de leite são necessários?

Receita de Bolo de Cenoura Ingredientes: 1/2 xícara de óleo 3 cenouras médias raladas 4 ovos 2 xícara de açúcar 500 g de farinha de trigo 1 colher de fermento em pó Cobertura: 1 colher de manteiga 3 colheres de chocolate em pó 1 xícara de açúcar 5 colheres de leite Rendimento: 10 porções

all

23

e) Clelia dispõe dos seguintes ingredientes:

- 2 kg de farinha de trigo;

- 2 880 ml de açúcar;

- 480 ml de óleo;

- 60 ml de fermento em pó;

- 12 cenouras;

- 16 ovos;

- 60 ml de manteiga;

- 180 ml de chocolate em pó;

- 300 ml de leite.

Quantas receitas de bolo de cenoura ela pode fazer?

Medidas de Massa

Souza (2012) recomenda que ao ser trabalhado com as medidas de massa,

primeiramente seja explicado ao aluno à diferença entre massa e peso, uma vez que

no dia a dia é comum utilizar essas palavras com o mesmo sentido.

Entre as unidades de medida de massa mais utilizadas estão o grama (g) e o

quilograma (kg). No entanto, a unidade padrão de medida de massa é o quilograma

(SOUZA, 2012).

Massa é a quantidade de matéria de um corpo.

Peso é a intensidade de força que a terra atrai certa massa (SOUZA,

2013).

all

24

Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr. (2007) explicam que o quilograma e o

grama são as unidades de medida de massa mais utilizadas no dia a dia. No

entanto, há outras. Veja o quadro, a seguir:

Múltiplos Unidade

Padrão

Submúltiplos

Unidade quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

Símbolo kg

hg

dag

g

dg

cg

mg

Relações com o grama

1 000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

Por meio desse quadro percebe-se que:

1 quilograma (kg) possui 1 000 gramas (g);

1 hectograma (hg) possui 100 gramas (g);

1 decagrama (dag) possui 10 gramas (g);

1 decigrama (dg) é igual a 0,1 gramas (g);

1 centigrama (dg) é igual a 0,01 gramas (g);

1 miligrama (dg) é igual a 0,001 gramas (g).

Assim, ao converter 100 g em decigrama, centigrama, miligrama, decagrama,

hectograma e quilograma têm-se:

De acordo com Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr. (2007) da esquerda para a

direita, cada unidade contém 10 vezes a unidade seguinte e da direita para a

esquerda, a unidade representa 1/10 da unidade seguinte.

,Para transformar kg em dag (duas posições para a direita) deve-se multiplicar

por 100 (10 x 10). Por exemplo:

x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

kg hg dag g dg cg mg

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

all

25

10.538 x 100 = 1.053.800

10.538 kg = 1.053.800 dag

Os autores acrescentam que o miligrama é uma unidade muito usada em

certas atividades, como, por exemplo, a da indústria farmacêutica. Além disso, ainda

há a tonelada (t), que equivale a 1.000 kg e serve para expressar a medida de

grandes massas e o quilate, que equivale a 0,2 g e serve para expressar a medida

de pequenas massas, como pedras e metais preciosos.

Outra unidade de massa muito utilizada em negociações da pecuária é a

arroba. Uma arroba corresponde a 14 689 kg. Para facilitar os cálculos, esse valor é

arredondado para 15 kg. A arroba é indicada pelo símbolo @ (GIOVANNI;

CASTRUCCI; GIOVANNI JR., 2007).

1 – Maria comprou 3 litros de amaciante de roupas. Em um mês usou 4/5

desse amaciante. Quantos mililitros sobraram?

2 – Carro popular consome 11 litros de gasolina para percorrer 1 km. Sendo

assim:

a) Quantos litros de gasolina o carro consumirá para percorrer 550 km?

b) Quantos litros de gasolina o carro consumirá para percorrer 286 km?

3 – Uma torneira com defeito, ou seja, gotejando pode desperdiçar 45 litros de

água por dia.

Alguns Problemas para Solucionar de Medidas de Capacidade

all

26

a) Calcule quantos litros de água serão desperdiçados em 11 dias?

b) Quantos quilolitros de água serão desperdiçados em um mês?

4 – Marta possui um recipiente com 15 litros de água. Precisa embalar essa

água em garrafas de 1 l e 500 ml e em copos de 250 ml.

a) Se usar garrafas de 1 l vai usar quantas garrafas?

b) Se usar garrafas de 500 ml vai quantas garrafas?

c) Se usar copos de 250 ml foi vai quantos copos?

5 – Em uma caixa de água cabem 1.000 l de água.

Abaixo aparece uma tabela com a quantidade de água gasta em alguns

serviços domésticos:

Serviços Domésticos Quantidade de Água

Gasta

Lavar calçada 125 l

Lavar roupa 425 l

Lavar banheiro 60 l

Lavar calçada 30 l

a) Quantos litros de água foram gastos para fazer todo o serviço doméstico?

b) Quantos litros de água sobraram?

c) Caso fosse acabar de encher uma piscina que precisasse de 290 l de

água. Será que ainda sobraria água na caixa?

all

27

Medidas de Capacidade

Camilo, Nogueira e Andrade (2011) enfatizam que a capacidade é o volume

interior de um copo. Por isso, ao se tratar de objetos reais, por exemplo, quando se

quer saber quantos litros de água cabem em uma caixa de água, se quer saber

exatamente a capacidade da caixa. Já o volume da caixa de água é a medida do

espaço ocupado por ela.

Assim, pode-se dizer que, as medidas de capacidade avaliam o volume

interno de recipientes.

Os autores destacam ainda que a medida de capacidade universalmente

estabelecida é a de um volume equivalente a um decímetro cúbico ou ainda, um litro

equivale ao volume de 1 kg de água destilada a 4 graus centígrados. Um mililitro

equivale a um centímetro cúbico. Assim, tem-se:

1 litro (l) = 1 dm3

1 mililitro (ml) = 1 cm3

De acordo com Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr. (2007) dentro do sistema

decimal, além do litro, existem outras unidades de medida para expressar

capacidade, que são os múltiplos e submúltiplos do litro:

O litro é a principal unidade padrão para medir

capacidades, particularmente o volume de líquidos, ou

seja, a capacidade do objeto que os contém (CAMILO;

NOGUEIRA; ANDRADE, 2011).

all

28

Múltiplos Unidade Padrão Submúltiplos

Unidade quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

Símbolo kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

Relações

com o litro 1 000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l

Resumindo pode-se dizer que cada unidade, conforme Camilo, Nogueira e

Andrade (2011) é dez vezes maior do que a imediatamente inferior e dez vezes

menor do que a imediatamente superior.

Observe essas diferenças visualmente:

Como consequência, nas mudanças de unidade a vírgula será deslocada uma

casa decimal.

Para transformar l em ml (três posições para a direita) deve-se multiplicar por

1.000 ( 10 x 10 x 10). Por exemplo:

5,25 x 1.000 = 5.250

5,25 l = 5.50 ml

x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

kl hl dal l dl cl ml

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

all

29

1 – Qual o dia, mês e ano de seu aniversário?

a) Quantos anos você tem?

b) Você acha que tem mais ou mesmo de 300 meses?

c) Você acha que tem mais ou menos de 5.300 dias?

2 – Observe o calendário do ano de 2011, 2012 e 2013. Depois responda:

a) Quantas semanas têm o ano de:

2011: _______

2012: _______

2013: _______

b) Qual dia da semana vai começar o ano de:

2011: _______

2012: _______

2013: _______

c) Qual dia da semana vai terminar o ano de:

2011: _______

2012: _______

2013: _______

d) Qual dia da semana caiu ou cairá seu aniversário no ano de:

2011: _______

Alguns Problemas para Solucionar de Medidas de Tempo

all

30

2012: _______

2013: _______

3 – Durante uma gincana com os alunos, uma das provas era estourar três

balões.

Aluno Tempo

Maria 30 segundos

João 23 segundos

Pedro 21 segundos

Guilherme 19 segundos

a) Qual aluno foi mais rápido?

b) Qual foi o tempo gasto pelos alunos para estourar todos os balões?

4 – Pedro é caminhoneiro, e para fazer uma viagem de Maringá a São Paulo,

cuja distância é de aproximadamente 628 km, gastou aproximadamente 11 h.

a) Quantos quilômetros, aproximadamente, Pedro percorreu a cada hora?

b) Quantos metros, aproximadamente, Pedro percorreu a cada segundo?

5 – João viajou por dias e 10 h e Lucia viajou por 63 h.

a) Quantas horas João e Lucia viajaram?

b) Quantos minutos João e Lucia viajaram?

b) Quantos segundos João e Lucia viajaram?

all

31

Medidas de Tempo

Camilo, Nogueira e Andrade (2011) explicam que a unidade legal de medida

de tempo é o segundo (s) que é definido como 1 / (86 4000) do dia solar médio. O

número 86 4000 vem da divisão do dia em 24 horas, e cada hora em 60 minutos e

cada minuto em 60 segundos, ficando dessa forma o dia dividido em 86 4000

segundos.

Para medir o tempo durante o dia usa-se o relógio, que segundo Souza

(2012) pode ser de ponteiros ou digital. Em geral, os relógios marcam as horas, os

minutos e os segundos, sendo que:

Sobre o sistema de medidas constituído pelas unidades segundo, minuto e

hora, Camilo, Nogueira e Andrade (2011) enfatizam que:

Não é um sistema decimal de medidas, uma vez que cada unidade de uma

ordem corresponde a 60 unidades da ordem imediatamente inferior;

Abrevia-se, por exemplo, três horas,

vinte minutos e quinze por 3h 20min

15s;

A representação 3h 20min 15s é muito

usada devido à influência dos relógios

digitais. Mas, não é notação oficial no

Brasil.

Em geral, o minuto, a hora e o dia são

considerados múltiplos do segundo e o décimo

de segundo (0,1s), o centésimo de (0,001s) e o

milésimo de segundo (0,0001s) são

considerados os submúltiplos do segundo.

Tem-se ainda os múltiplos do dia:

um dia tem 24 horas

1 dia = 24 h

uma hora tem 60 minutos

1 h = 60 min

um minuto tem 60 segundos 1 min = 60 s

O Relógio Indígena

Para se orientar durante

o dia, os indígenas não

tinham relógio e

utilizavam o Sol como

referência. Eles mediam

as horas do dia em que

o Sol se encontrava

acima da linha do

horizonte (SOUZA,

2012).

all

32

semana, quinzena, mês (comercial), ano (civil), ano (comercial) e ano bissento,

correspondendo, respectivamente, a 15, 30, 365, 360 e 366 dias; os múltiplos do

mês: bimestre, trimestre, quadrimestre e semestre, correspondendo,

respectivamente, a dois, três, quatro e seis meses e; múltiplos do ano: biênio, triênio,

quadriênio e decênio ou década, século e milênio, correspondendo respectivamente,

a dois, três, quatro, cinco, dez, cem e mil anos (CAMILO; NOGUEIRA; ANDRADE,

2011).

all

33

REFERÊNCIAS

BONJORNO, R. A.; BONJORNO, J. R. Pode contar comigo: matemática. São

Paulo: FTD, 1995.

CAMILO, A. V.; NOGUEIRA, C. M. I.; ANDRADE, D. O sistema internacional de

medidas. In: NOGUEIRA, M. I.; ANDRADE, D. (Org.). Grandezas e medidas.

Maringá: Eduem, 2011, p. 29-50.

GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, G.; GIOVANNI JR.; J. R. A conquista da

matemática. São Paulo: FTD, 2007.

LOPES, A. J. Matemática. São Paulo: Scipione, 2013.

MATHEUS, A. dos R.; NANI, A. P. S.; MACHADO, C. A. V. B.; ALMEIDA, J. J. P. de;

BARROSO, J. M.; MOURA, L. de O. G.; GODÓI, L. G. de; VERIDIANO, M. C. da S.

Projeto araribá: matemática. 3.ed. São Paulo: Moderna, 2010.

MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: ideias e desafios, 6º ano. 15 ed. São Paulo:

Saraiva, 2009.

OLIVEIRA, S. R. de. Caixa de papel: experimento. Disponível em:

<http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1367>. Acesso em: 10 set. 2013.

SOUZA, J. R. de; PATARO, P. R. M. Vontade de saber matemática, 6º ano. 2.ed.

São Paulo: FTD, 2012.

all

34

GABARITO DOS PROBLEMAS

Situações-Problemas

1 – Em todas as situações o volume de água necessário para preencher os

cubos será o mesmo de aproximadamente 500 litros.

2 – A distância da borda até o centro é o raio antigo mais 15 cm, em cada um

dos três casos. A circunferência nos três casos é proporcional aos raios logo não

são maiores.

Medidas de Comprimento

1 – 1.140 cm

2 – a) 0,1 cm

b) 3.002 cm

c) 2.050 cm

d) 100 cm

e) Sim

f) Não

3 – a) Depende do comprimento da rua

b) Depende do comprimento da rua

c) Depende do comprimento da rua

d) Depende do comprimento da rua

e) Depende do comprimento da rua

f) Depende do comprimento da rua

g) Depende do comprimento da rua

4 – São necessários 78m 40 cm de corda elástica.

all

35

5 – a) 300 km

b) 5,99 cm

Medidas de Superfície

1 – Resposta pessoal

2 – a) 480 cm

b) 240 cm

c) 11.520 m2

d) 230.400 m2

3 – a) 100 centímetros quadrados

b) 100 decímetros quadrados

4 – a) 10 dm

1 cm

1.000 mm

b) Multiplicar a medida em centímetros quadrados por 10

Dividir a medida em centímetros quadrados por 10.000

Dividir a medida em centímetros quadrados por 100

5 – 280 cabras

Medidas de Volume

1 – 1 l e 600 ml

2 – 210 cubinhos

3 – 350.000 l

all

36

4 – 400.000 cm3

5 – 4.000.000 litros de água

6 – Aproximadamente 1144 cm3

Medidas de Massa

1 – 1 kg de arroz tem o mesmo peso de um 1kg de algodão, havendo apenas

diferença de volume ocupado.

2 – a) Pesarão 2.400 g

b) 16 pedaços de bolo

c) O caminhão é mais pesado

3 t e 200 kg = 3.200 kg

3.200 kg – 1.800 kg = 1.400 kg

A diferença entre o caminhão e a caminhonete é de 1.400 kg.

3 – Resposta pessoal.

4 – a) 63 kg 950 g

b) 57 kg 100 g

c) 66 kg 550 g

d) 77 kg 800 g

5 – a) 5 kg e 500 g

b) 15 porções

c) 30 ml

d) 525 ml

e) 4 receitas

all

37

Medidas de Capacidade

1 – a) 50 l

b) 26 l

2 – 600 ml

3 – a) 495 l

b) 1,35 kl

4 – a) 15 garrafas

b) 30 garrafas

c) 60 copos

5 – a) 700 l

b) 300 l

c) Sim, sobraria 10 ml

Medidas de Tempo

1 – a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

c) Resposta pessoal.

2 – a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

c) Resposta pessoal.

d) Resposta pessoal.

3 – a) Guilherme

b) 1min 33s

all

38

4 – a) 57,09 km

b) 951,5 s

5 – a) 121 h

b) 7260 min

c) 435600 s