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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE DO PARANÁ CAMPUS DE CORNÉLIO PROCÓPIO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE
PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
FICHA DE IDENTIFICAÇÃO
Título: O ensino de Números Naturais para o 6º Ano Fundamental: uma proposta metodológica com História da Matemática
Autor: Norma Aparecida Casaçola
Disciplina/área: Matemática
NRE: Cornélio Procópio
Escola de Implementação: Colégio Estadual João Turin - EFM
Município: São Sebastião da Amoreira
IES: UENP – Campus Cornélio Procópio
Professor Orientador: Mário Sérgio Benedeti Guilhem
Relação interdisciplinar: História
Resumo: Esta Unidade Didática para o ensino de Matemática baseia-se em uma perspectiva histórica da evolução dos conceitos matemáticos. Procura-se ensejar aos alunos a compreensão de que ela é uma ciência que passou e passa por um processo de (re) elaboração ao longo do tempo, assim como de que se originou da necessidade da solução de problemas humanos. Acredita-se que essa visão histórica, a ser considerada no ensino de Números Naturais, pode “humanizar” a disciplina, contribuindo para aproximá-la dos alunos, especialmente daqueles que revelam uma atitude negativa diante de uma matéria cujos conteúdos e utilidade constituem para eles um enigma. Pretende-se aplicar a Unidade Didática em uma intervenção na realidade escolar, durante a qual será feita a coleta de dados, para análise e discussão, a serem sistematizadas no Artigo Final do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), com o objetivo de contribuir para as discussões sobre as potencialidades da História da Matemática como alternativa metodológica. Palavras-Chave: História da Matemática. Ensino. Números Naturais
Formato: Unidade Didática
Público-alvo: Alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental
APRESENTAÇÃO
Ainda permeia a prática pedagógica do ensino de Matemática a ideia
dominante de que a disciplina se constitui de uma associação de conceitos
verdadeiros, estáticos e inquestionáveis. Nessa acepção, a disciplina é vista
como pronta e terminada, prevalecendo a suposição de que seus conceitos
foram descobertos ou instituídos por indivíduos geniais no passado.
Dentre os problemas dessa habitual visão da disciplina está a
inflexibilidade de solução, bem como a indisposição na tentativa de outras
resoluções por parte do aluno, além dos caminhos que o professor propõe.
Assim, não se dá ocasião nem se cria a necessidade para que o aluno crie algo
novo ou proponha uma solução mais interessante, o que o coloca em papel
passivo e desestimulador.
Nas entrelinhas dessa prática está a noção de ensino de Matemática
como transmissão de conhecimento, evidenciando-se ao aluno que, para a
solução dos problemas, basta efetuar os processos definidos pelo professor,
caminho exclusivo. Então, para os alunos, a aprendizagem de Matemática
resume-se a seguir e aplicar regras passadas pelo professor.
Exposto esse cenário, surge a necessidade de procura de alternativas
metodológicas para uma reaproximação do estudante com a Matemática. Dos
caminhos metodológicos emergentes para o ensino da disciplina, a História da
Matemática tem se revelado muito promissor. O potencial dessa corrente
metodológica para a melhoria da relação do aluno com a disciplina está
especialmente na possibilidade de humanização da matéria. Explicita-se que,
de um ponto de vista da evolução dos conceitos matemáticos, pode-se ensejar
a compreensão de que a Matemática é uma ciência que passou e passa por
um processo de (re) elaboração ao longo do tempo, bem como de que se
originou da necessidade da resolução de problemas enfrentados pelo homem.
Essa visão, assumida nesta Unidade Didática, contribui para nivelar a
Matemática a outras áreas do saber, no sentido de ser conhecimento em
processo de edificação. Pode se avançar ainda mais, ao se propor que a
disciplina não deve ser um campo de pesquisa restrito a poucos indivíduos que
a têm como objeto de pesquisa, de modo que também o aluno pode exercer a
criatividade na busca de soluções alternativas dos problemas. Assim, o
aprendiz terá a visão de que a Matemática também é uma ciência que avança
e cujos saberes estão sendo continuamente (re) elaborados.
Com essa perspectiva norteadora, optou-se, neste caso, pela
elaboração de uma Unidade Didática, para um trabalho com os Números
Naturais, partindo-se de um panorama histórico, o qual se constitui passo
importante em direção a uma postura pedagógica que admita situações de
investigação, exploração e descobrimento em Matemática por parte de
professor e alunos. O público-alvo constitui-se de alunos do 6º ano do Ensino
Fundamental, cujo programa de ensino inclui os Números Naturais.
O objetivo visado é que a dimensão histórica enseje a visão de que a
Matemática vem sendo construída pelo homem ao longo do tempo, resultando
da busca de solução para os problemas com que se depara, os quais,
conforme sua crescente complexidade, vão exigindo soluções cada vez mais
elaboradas. Focaliza-se, especificamente, que os números percorreram um
longo processo histórico de elaboração, até chegar à forma com que se
apresentam na atualidade em nossa cultura.
MATERIAL DIDÁTICO
Observação ao professor:
Conforme David Ausubel (1980), para que ocorra a aprendizagem
significativa, é preciso que os conceitos trabalhados sejam vinculados a
conhecimentos prévios dos alunos. O professor poderá evocar os
conhecimentos cotidianos dos alunos para estabelecer a ancoragem com os
conceitos históricos a serem trabalhados. Como os números estão presentes
no dia a dia, há muitas situações que o professor pode aproveitar de maneira a
preparar a estrutura cognitiva dos discentes para a sistematização dos
conhecimentos. Inicialmente, o professor anota na lousa as situações em que
os alunos se envolveram com números, nas últimas 24 horas.
Todo dia, nós realizamos alguma atividade ou vemos alguma coisa que
tem a ver com os números. Quase sempre nem refletimos sobre a presença
deles em nossa vida, mas eles estão por toda parte. Vamos pensar no nosso
dia a dia, de ontem para hoje. Quantas vezes você se envolveu com os
números? Pense em momentos e situações em que usou números.
Se pensarmos no passado do homem, será que sempre houve essa
dependência dos números? Tempos atrás as pessoas não tinham telefone em
casa, nem celular, não havia automóveis nas ruas, poucas casas tinham
números e o comércio não era tão forte como é hoje. Quanto mais voltamos no
tempo, vemos que os números não eram tão necessários como são hoje. Mas
desde quando os números existem? Quando, como e por quê foram criados?
A história dos números se mistura com a história do ser humano
Para entender a origem dos números, temos que relacioná-la com a
história da humanidade. Há cerca de 50 mil anos, as pessoas viviam em
grupos pequenos, alimentavam-se da caça e de frutos e raízes que coletavam
na natureza. Para se proteger do tempo, dos inimigos e dos animais, moravam
em cavernas. Não existia comércio nem dinheiro; os homens não plantavam,
não criavam animais e nem construíam casas.
Mas, com o passar do tempo, essa forma de vida foi mudando, porque o
homem deixou de ser apenas caçador e coletor de alimentos para se tornar
criador de animais e agricultor. Assim, passou a capturar animais para
domesticá-los e mantê-los como reserva de alimentos e a cultivar plantações. A
agricultura e a criação de animais trouxeram várias mudanças para a vida do
homem. Passou a se organizar e viver em grupos, o que exigia reserva de
alimentos para a população em crescimento. Apareceu o sentimento de
propriedade (de animais, da terra e de seus produtos) e o homem começou a
desenvolver um comércio simples, baseado num sistema de trocas. No
começo, para fazer as contas, o homem usava os dedos, pedras, nós em corda
e marcas em osso.
Cada ovelha uma pedra
Para que pudesse controlar o rebanho e tivesse certeza de que
nenhuma ovelha tinha fugido ou sido comida por algum bicho selvagem, os
pastores primitivos usavam pedras. Para cada ovelha que saía para pastar, o
pastor separava uma pedra. Depois, colocava as pedras todas em um
saquinho. No final do dia, conforme as ovelhas iam voltando para o cercado,
ele ia retirando as pedras correspondentes para cada ovelha que voltava. O
problema era quando as ovelhas paravam de chegar e sobrava alguma pedra!
Era sinal que o pior podia ter acontecido!
Curiosidade: A palavra cálculo no latim, língua dos antigos romanos,
significa pedra. Pelo que estudamos da história dos números, fica clara a
ligação de contagem com pedras.
Dessa forma, relacionando coisas com outras coisas, uma a uma (cada
ovelha com uma pedra, como vimos no exemplo), o ser humano começou a
desenvolver a ideia de número. O corpo humano teve papel muito importante
nesse processo, porque se passou a relacionar a contagem com os dedos da
mão: cinco dedos podiam equivaler a cinco peixes; os dedos das duas mãos
juntos podiam representar dez animais e assim por diante. Por isso, a ligação
entre dedos e números está presente até hoje na palavra dígito, que veio do
latim digitus = dedo (BRANCO, s.d).
Os números também são usados nos cálculos que fazem parte de nosso
dia a dia. Muitas das coisas inventadas pelo homem dependem de cálculos
matemáticos (IMENES; LELLIS, 1999). A começar pela mesa ou a carteira
sobre as quais comemos ou estudamos, que foram primeiramente desenhadas
com base em contas. Não escapam dos cálculos o prato, a garrafa, a
geladeira, a televisão, o tablet e outros objetos e aparelhos. Quando você anda
na rua e observa as casas, os postes, as calçadas, é possível negar a
presença da matemática no nosso dia a dia?
Senso Numérico
A gata e seus quatro gatinhos. Será que os animais sabem contar?
Uma gata possuía quatro filhotes. Certa vez a mamãe gata percebeu
que estava faltando um gatinho. Mas como? Será que ela aprendeu a contar?
Na verdade, os gatos não são capazes de contar. Porém, eles, assim
como outros animais, percebem a diferença em uma quantidade pequena. Por
isso, se a gata tivesse muitos gatinhos, ela não notaria que um tinha sumido.
Essa capacidade de perceber diferenças em quantidades pequenas tem
o nome de senso numérico. Nós, seres humanos, também possuímos o senso
numérico, mas também desenvolvemos a contagem. No início, a humanidade
também só conhecia os números até três ou quatro. Mesmo hoje em dia, ainda
há povos que só dominam números muito pequenos, como é o caso dos
pigmeus da África e dos índios botocudos do Brasil (BIGODE, 2000).
A ideia de número
Em Matemática, o tipo de ligação que vimos antes, para cada ovelha
uma pedra, chama-se correspondência um a um, que é, então, ligar cada
objeto de um grupo a um objeto de outro grupo. A correspondência um a um foi
uma das etapas importantes para o aparecimento da ideia de número: alguma
coisa em comum havia entre o saquinho ou monte de pedras e o grupo de
ovelhas: quando se nota que a quantidade de pedras correspondia
precisamente à quantidade de animais, esses dois conjuntos tinham uma
característica em comum: o número de ovelhas ou pedras. Desse modo, as
ovelhas ou as pedras são elementos concretos, mas a ideia de número é
abstrata (IFRAH, 2005).
Curiosidade:
Fazendo o corvo perder a conta (e a vida)
Em plena Idade Média, um senhor feudal resolveu matar um corvo que
tinha feito ninho em uma das torres de seu castelo e estava sujando tudo por
ali, além da fama de ave agourenta que tinha. Por inúmeras vezes tentou
surpreender o pássaro, mas não conseguia: quando o homem chegava perto, o
corvo saía voando do ninho, e ficava observando do alto de uma árvore ao
longe. Só voltava para a torre quando não havia ninguém. Outra vez, o senhor
decidiu usar um truque: mandou dois homens entrarem na torre, mas um tinha
que ficar lá dentro e o outro sair. A ave não se deixou enganar e só regressou
quando o segundo homem saiu também. A armadilha foi repetida nos dias
seguintes com dois, três e quatro homens, sem resultado. Por último, cinco
homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto
o quinto preparava a arma à espera do corvo. Dessa vez, o pássaro perdeu a
conta e a vida.
Conclusão: As espécies de animais possuem uma noção de quantidade
numérica bem pequena. No homem também não é muito diferente, porque,
mesmo na nossa espécie, o sentido visual direto do número quase nunca
passa do número quatro. Mas o ser humano aprendeu a criar “truques” para
ajudar seu sentido de número, como a comparação, o agrupamento ou a
própria ação de contar. (CIVITA, 1968).
Outro exemplo da limitação do senso numérico:
Vimos que o senso numérico é uma capacidade que os seres humanos
e alguns animais possuem de perceber pequenas quantidades. Num rápido
olhar, quase sempre podemos diferenciar um conjunto com cinco balas de
outro com seis, mas não conseguimos perceber na hora a diferença entre
quinze e dezesseis balas. Nesse caso, precisamos contar.
ATIVIDADE:
Vamos verificar a quantas anda seu sendo numérico? Sem contar,
escreva quantas barras há em cada item:
a) I
b) II
c) III
d) IIII
e) IIIII
f) IIIIII
g) IIIIIIIIII
h) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
A ideia de número não depende de contagem
Mesmo sem precisar contar, podemos ter uma ideia clara e lógica de
número. Por exemplo, numa sala de cinema, onde temos diante de nós dois
conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem recorrer à
contagem, podemos saber se esses dois conjuntos têm ou não o mesmo
número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Isso porque,
se cada cadeira está ocupada e ninguém está de pé, sabemos que os dois
conjuntos têm igual número. Por outro lado, se todas as poltronas estão
ocupadas e tem gente de pé na sala, sabemos sem contar que existem mais
pessoas do que cadeiras.
Isso se torna possível devido ao procedimento da matemática que
recebeu o nome de correspondência biunívoca. Significa atribuir a cada objeto
de um conjunto um objeto de outro conjunto, ou seja, no caso do cinema,
atribuímos cada pessoa a uma cadeira (CIVITA, 1968).
Não bastava contar, era necessário registrar
Um outro problema apareceu. A correspondência dos objetos com os
dedos das mãos, por exemplo, permitia saber a quantidade de objetos, apenas
no momento, mas como guardar essa informação? A limitação da memória
podia fazer esquecer quantos dedos haviam sido levantados. O uso das
pedrinhas possibilitava manter a informação por algum tempo, mas esse
método também não dava segurança. O registro das quantidades era um
problema que exigia uma solução (IFRAH, 2005).
Valia de tudo para registrar os números
Talhos em pedaços de pau, pedaços de barro e ossos com marcas e
cordas com nós. Em museus de todo o mundo, existem vários objetos com
marcas, pertencentes a tempos antigos. Há também marcas pintadas ou
talhadas em paredes de cavernas. Isso parece confirmar a necessidade
sentida pelo homem de registrar as coisas que contava. Para fazer esse
registro, ele usava também a correspondência um a um, sobre a qual já
comentamos, ou seja, uma marca para cada objeto ou animal (IFRAH, 2005).
Contagem de grandes quantidades e a estratégia de agrupamento
Quando temos que contar um montão de coisas, procuramos juntar as
unidades em montes ou em grupo, pois isso facilita a contagem. Quando
lidamos com dúzias, é isso que fazemos, estamos agrupando de 12 em 12.
Em muitas situações, esses agrupamentos são necessários e facilitam a
vida. Podemos observar, por exemplo, como são embaladas muitas coisas que
compramos. Os fabricantes juntam um certo número de unidades do produto
em cada embalagem: os tubinhos de gomas vêm com o mesmo número, as
caixas de fósforos costumam vir com o mesmo número de palitos, etc.
Você já viu, por exemplo, um pacote grande de fósforos ? Um pacote
grande vem com 20 maços, cada maço com 10 caixas e cada caixa com 40
palitos de fósforo.
A essa altura, uma pergunta: Em relação ao pacote de fósforos, faça a
conta e responda:
a) Quantos fósforos tem um maço com 10 caixas de fósforos ?
fósforos
b) Quantos fósforos tem um pacote grande ? fósforos.
Mas esse processo de agrupar para facilitar a contagem não aconteceu
de um dia para o outro. Muito provavelmente, o homem usou as mãos e os pés
quando pensou em agrupar os elementos, juntando as coisas de cinco em
cinco, de dez em dez, vinte em vinte, procurando equivalência com os dedos
das mãos e dos pés (IFRAH, 2005).
Por que juntar de dez em dez?
A ação de agrupar ou reagrupar de 10 em 10 é uma das características
do sistema de numeração que utilizamos. Pelo fato de ter base 10, é chamado
de sistema de numeração decimal.
Quando reagrupamos dez grupos de dez, temos as centenas; os grupos
de dez são chamados de dezenas, e os objetos soltos, de unidades.
A tática de juntar de 10 em 10, observada em vários sistemas de
numeração (a exemplo do egípcio, do romano e do chinês), sem dúvida tem a
ver com a utilização dos dedos para contagens. Foi usando os dez dedos das
mãos que o homem aprendeu a contar, coisa que fazemos isso até hoje...
Porém, o homem não se satisfez só com suas mãos. Desenvolveu
alguns instrumentos para ajudá-lo nas contas. Entre os mais conhecidos, está
o ábaco, que por sua eficiência e simplicidade, é usado até os dias de hoje
(MAIA; GONÇALEZ, s.d).
ATIVIDADE: Faça uma pesquisa sobre o funcionamento do ábaco.
Curiosidade: Até hoje na índia e no Egito, é usado o método de contar
com as mãos, usando as falanges dos dedos. O polegar aponta para as 3
falanges dos outros 4 dedos, dando para contar até 12. Alguns estudiosos
acham que isso pode ser a origem da contagem das dúzias que ainda usamos
e também na divisão do dia em dois períodos de 12 horas (MAIA; GONÇALEZ,
s.d.).
ATIVIDADE: Em que outras situações, temos a presença da contagem
por dúzias?
Registrando agrupamentos de grandes quantidades
Você já participou de algum jogo ou competição em que usou contagem
usando riscos que formam quadradinhos que valem cinco pontos, como
ilustrado abaixo?
Na história dos números na vida do homem, a ideia de fazer
agrupamentos facilitou muito a contagem de objetos em grande quantidade.
Mas era necessário pensar em algum tipo de marca para registrar os
agrupamentos. Por que será?
Vamos imaginar que um criador de animais usasse um traço vertical
para representar cada ovelha. Por exemplo, um pastor tinha | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | ovelhas.
Será que isso era um sistema prático? Não, pois podia causar confusão
na hora de visualizar. Por isso, a solução imaginada pode ter sido subdividir e
marcar conjuntos menores dentro do total, dessa forma:
Um homem tinha | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ovelhas.
Com esse agrupamento de dez em dez, separando cada grupo com
esse traço horizontal atravessando os tracinhos, fica mais fácil perceber o total
de 24 ovelhas, ou seja, a pessoa não “perde a conta”.
(USP, s.d. [a]).
ATIVIDADE
1) Usando o método dos quadradinhos, visto acima, represente o
número de pontos de cada item:
a) 5 pontos
b) 7 pontos
c) 11 pontos
d) 14 pontos
e) 22 pontos
f) 40 pontos
2) Desafio
Vamos imaginar que um povo antigo usava agrupamentos de 5 em 5 para
representar quantidades. Os símbolos eram os seguintes:
´a´ representava a unidade.
´b´ representava um agrupamento de cinco unidades.
´c´ representava um agrupamento de cinco agrupamentos de cinco
unidades.
Ou seja:
a = unidade
b = aaaaa
c = bbbbb
Usando os símbolos a, b e c, como seriam representadas as seguintes
quantidades,
a) 16 ______________________________________
b) 32 ______________________________________
c) 24 ______________________________________
d) 107 _____________________________________
(USP, s.d [b])
Voltando à História dos Números:
Como os egípcios representavam os números?
Os sistemas mais antigos de numeração usavam o sistema de agrupar
marcas. Os antigos egípcios desenvolveram uma maneira muito interessante
para escrever números, baseada em agrupamentos.
O 1 era representado por uma marca que se parecia com um bastão |
O 2 era representado por duas marcas ||
E assim por diante:
3 ||| 7 |||||||
4 |||| 8 ||||||||
5 ||||| 9 |||||||||
6 ||||||
Quando chegava no 10, eles trocavam as dez marcas: ||||||||||
por , que indicava o agrupamento de dez unidades.
Depois disso, prosseguiam até o 19:
10 15 |||||
11 | 16 ||||||
12 || 17 |||||||
13 ||| 18 ||||||||
14 |||| 19 |||||||||
Para representar o 20, escreviam:
E assim por diante:
O 30 era:
O 40 era:
E assim até o 90:
Quando chegava em 100, em lugar de
, substituíam esse agrupamento por
um símbolo novo, parecido com um pedaço de corda enrolada:
Juntando vários símbolos de 100, escreviam o 200, o 300,... etc, até o
900.
Para representar a quantidade de 1000, dez marcas de 100 eram
trocadas por um novo símbolo, que era a figura da flor de lótus:
Desse modo, trocando cada dez marcas iguais por uma nova, eles
escreviam todos os números de que necessitavam.
Veja abaixo o resumo dos símbolos usados pelos egípcios e o que
significava cada marca.
Símbolo egípcio
descrição
Número indo-arábico
bastão 1
calcanhar 10
rolo de corda 100
flor de lótus 1000
dedo apontando 10000
peixe 100000
homem 1000000
Veja como eles escreviam o número 322:
ou seja, 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 1 + 1
Mas o sistema egípcio nem sempre era prático para registrar certas
quantidades. Experimente, por exemplo, escrever 999 no sistema egípcio e
compare com a forma de escrever que usamos hoje.
ATIVIDADES:
1) Escreva em escrita numérica egípcia:
26: _____________
435: _____________
676: _____________
2) Veja as informações deste documento antigo:
Na primeira linha, está escrita a idade do Faraó.
Na segunda, há a informação sobre o número de homens trabalhando
na construção de uma pirâmide. Escreva nos algarismos que usamos:
A idade do Faraó: ______ anos.
Quantos homens estão trabalhando: ______ homens.
(USP, s.d [c]).
Escrita dos números pelos romanos. Bem pensado, mas...
Outras grandes civilizações da Antiguidade desenvolveram seus
próprios sistemas de numeração, além dos egípcios. Alguns deixaram
contribuições para a nossa cultura, apesar de terem sido abandonados.
Por exemplo, para contar tempo, agrupamos de 60 em 60; sessenta
segundos compõem um minuto e sessenta minutos compõem uma hora. Isso é
herança da numeração desenvolvida na Mesopotâmia, há mais de 4000 anos,
que usava a base sessenta.
Outra forma de numeração antiga também marca presença ainda hoje
nos mostradores de alguns relógios, na indicação de datas e de capítulos de
livros: são os símbolos de numeração romana, que chamamos de algarismos
romanos.
Os símbolos usados no sistema de numeração romano são estes:
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
Vamos relembrar como alguns números eram escritos:
Oito Trinta e sete Cento e cinquenta e
três
Mil setecentos e doze
VIII XXXVII CLIII MDCCXII
5+1+1+1 10+10+10+5+2 100+50+1+1+1 1000+500+100+100+10+2
Para tornar mais simples seu sistema de numeração e não repetir 4
vezes um mesmo símbolo, os romanos faziam conta “de menos” (subtração):
Tudo para evitar que alguns números fossem escritos com 4 símbolos.
Com o esquema da subtração, os números ficavam assim:
Quatro Nove Quarenta Quarenta e quatro
Novecentos
IV IX XL XLIV CM
5-1 10-1 50-10 (50-10)+(5-1)
1000-100
Quatrocentos e noventa Mil novecentos e noventa e quatro
CDCX MCMXCIV
(500-100)+(100-10) 1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)
Mesmo sendo uma criação muito engenhosa do povo romano, assim
como acontece no sistema egípcio, na numeração romana também não é muito
prático escrever certos números. Veja o exemplo:
três mil oitocentos e oitenta e oito
MMMDCCCLXXXVIII
1000+1000+1000+500+100+100+100+50+10+10+10+5+1+1+1
(USP, s.d [d]).
ATIVIDADE:
Escreva estes números em algarismos romanos:
38__________
56__________
78__________
214 _________
942 _________
Essa pequena viagem pela história dos números nos mostra que o ser
humano não “descobriu” os números de um dia para o outro. Houve um longo
percurso para que tivéssemos um sistema tão prático e eficiente de numeração
como o que nós usamos. Os povos da terra, em todos os tempos e lugares,
tiveram que “se virar” para resolver seus problemas matemáticos e vários
deram suas contribuições até chegarmos à representação numérica que temos
hoje.
Imagine fazer cálculos com os algarismos romanos! Por causa dessa
dificuldade, só alguns estudiosos romanos dominavam as técnicas de cálculo.
Mas fazer cálculos com os algarismos indo-arábicos, que são os que nós
usamos, é bem mais fácil. A partir do século XV, os algarismos indo-arábicos
foram espalhados por toda a Europa por causa da expansão do comércio e da
navegação e também pelos espanhóis que aprenderam esses números com os
árabes. Daí em diante, mais pessoas puderam aprenderam a fazer contas.
Conceito de Números Naturais
Começando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade, temos os
chamados números naturais: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11...
Os números naturais formam um conjunto numérico chamado de
conjunto dos números naturais, que se indica pela letra N:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
Os números naturais são usados, por exemplo, para contar e como
códigos de identificação (placas, números de documentos, etc.)
Quando tiramos o 0 do conjunto N, temos o chamado conjunto dos
números naturais não-nulos, indicados por N*:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}
Todo número natural tem um sucessor, ou seja, outro que vem depois
dele. Exemplo:
O sucessor de 0 é 0 + 1 = 1
O sucessor de 1 é 1 + 1 = 2
O sucessor de 33 é 33 + 1 = 34
Como vemos, o sucessor de um número natural é obtido somando-se
uma unidade ao número.
Zero é o menor dos números naturais e não é sucessor de nenhum outro
número natural.
Então, com exceção do zero, todo número natural tem um antecessor
(um que vem antes). Exemplos:
O antecessor de 1 é 1 – 1 = 0
O antecessor de 2 é 2 – 1 = 1
O antecessor de 20 é 20 – 1 = 19
Assim, o antecessor de um número natural diferente de zero é obtido,
diminuindo-se uma unidade do número.
Começando do 1, qualquer número natural é maior que todos os
números que vêm antes dele e é menor que todos os números que o seguem:
O sinal > significa “maior que” e < significa “menor que”.
Exemplos:
4 > 3, 4 > 2, 4 > 1, 4 > 0 e 4 < 5, 4 < 6, 4 < 7 e 4 < 8
(GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANI JR., 1998).
Como vimos nosso sistema de numeração é muito prático. Vamos
brincar mais um pouco com os números naturais, fazendo as atividades a
seguir. Para isso, o professor poderá dar algumas explicações adicionais.
ATIVIDADES:
1) Usando todos os algarismos:
6 3 5 9
a) Escreva o menor número, sem repetir nenhum algarismo. _________
b) Escreve o maior número, sem repetir nenhum algarismo. _________
2) Complete a tabela a seguir:
Antecessor Número Sucessor
485 486
599
5.005
999
11.983
3) Rafaela está fazendo uma lista dos números de três algarismos, escritos com os algarismos 7, 8 e 9, sem repeti-los. Quantos números devem aparecer na lista de Maria? E quais são eles? 4)Mário escreveu vários números, de forma que, a partir do terceiro, cada um é a soma dos dois últimos escritos antes. Os cinco primeiros números que ele escreveu foram: 1, 3, 4, 7 e 11. O próximo número será (justifique a resposta):
a) 17 b) 19 c) 20 d) 18
Por quê? :
___________________________________________________________
5) Nos desenhos, cada X representa uma árvore que está sendo cortada de
forma predatória, a cada dia, conforme a sequência abaixo.
No sétimo dia, mantida a sequência, o número de árvores cortadas será de __: 6) Escreva os números abaixo utilizando algarismos: a) Cento e oitenta e cinco milhões quinhentos e onze mil trezentos e sete. b) Três milhões trinta e três mil cento e sessenta e oito. c) Sete bilhões seiscentos e vinte e um milhões. d) Quinhentos e doze trilhões, oitenta e sete milhões, cento e treze mil e trezentos e noventa e) Oito quatrilhões e novecentos mil.
7) Represente os números abaixo na forma decomposta, conforme o exemplo:
EXEMPLO: 38.639 = 30.000+ 8.000+ 600+ 30+ 9
a) 25 b) 964 c) 4.552 d) 12.985 e) 188.302 f) 3.456.210 g) 12.860.154.890
8)Determine:
a) O sucessor de 199:
b) O sucessor de 8.888:
c) O sucessor de 1.005.000:
d) O antecessor de 299:
e) O antecessor de 50.000:
f) O antecessor de 1.000.000:
Adaptado de: PAULO VI, s.d.
Vamos assistir a um vídeo que é um bom resumo da história dos
números. Está no endereço eletrônico:
https://www.youtube.com/watch?v=ntylzQWvzCA
Para saber mais: Faça uma pesquisa sobre a história dos números indo-
arábicos, procurando informações sobre como assumiram a forma atual e por
que os usamos hoje em dia.
Operações com números naturais
Na história do homem, a função mais básica dos números tem sido fazer
contagens simples. Mas com o tempo, surgiu a necessidade de operar com
esses números, ou seja, fazer cálculos no dia a dia, em situações do tipo:
- Juntar duas ou mais quantidade (adição);
- Tirar uma quantidade de outra (subtração);
- Juntar várias vezes a mesma quantidade (multiplicação);
- Repartir uma quantidade em duas, três, quatro ou mais partes iguais (divisa).
Adaptado de: GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI JR., 1998.
ATIVIDADES:
Após as explicações adicionais do professor sobre adição, subtração,
multiplicação e divisão e mais exemplos, resolva as questões a seguir:
1) Faça a adição e dê o resultado:
a) 238 com seu antecessor:
b) 198 com seu antecessor:
c) 278 com seu sucessor:
2) Uma máquina agrícola custa R$ 417.723,00. O comprador terá ainda R$
21.912,00 de despesa de frete. Quanto o comprador vai pagar?
3) Ao receber o meu salário paguei R$ 438, 50 de aluguel, R$ 69,15 de
impostos, tive R$ 1.079,68 de gastos com alimentação e ainda me sobraram
R$ 739,20. Quanto recebi de salário?
4) Em 2010, o Brasil vendeu para o exterior 285.356 veículos e, em 2011, essa
venda foi de 346.768 veículos. Quantos veículos o Brasil vendeu para o
exterior nesses dois anos?
5) Em um condomínio, há 375 lotes já vendidos e 995 lotes para vender.
Quantos lotes de terreno há nesse condomínio?
6)Dom Pedro II, imperador do Brasil, faleceu em 1891 com 66 anos de idade.
Em que ano ele nasceu?
7)Um avião Boeing 747 pode levar 370 passageiros e um avião DC-10 pode
transportar 285 passageiros. Quantos passageiros o Boeing 747 pode
transportar a mais que o DC10?
8) O preço à vista de um carro custa 31.454 reais. A prazo, o mesmo
automóvel custa 37.395 reais. A diferença entre o preço cobrado é chamado de
juros. Qual é a quantia que se pagará de juros?
9) Um avião pode transportar 295 passageiros. Em determinado voo, o avião
está transportando 217 passageiros. Quantas poltronas desse avião estão
vazias?
10)Se Mateus tem 519 selos e Jorge tem 743 selos, quantos selos Jorge tem a
mais que Mateus?
11)Um professor de Educação Fisíca prepara 19 grupos de alunos para uma
apresentação de ginástica. Cada grupo é formado por 25 alunos. Quantos
alunos devem participar dessa demonstração?
12)Com 12 prestações mensais iguais de 625 reais posso comprar uma moto.
Quanto vou pagar por essa moto?
13)Um automóvel bem regulado percorre 13 quilômetros com um litro de
gasolina. Se numa viagem foram consumidos 46 litros, qual a distância em
quilômetros que o carro andou?
14)Em um cinema há 126 poltronas distribuídas igualmente em 9 fileiras.
Quantas poltronas foram colocadas em cada fileira?
15) Quantos garrafões de 5 litros são necessários para engarrafar 325 litros de
vinho?
16)Uma pessoa ganha R$ 27,00 por hora de trabalho. Quanto tempo deverá
trabalhar para receber R$ 486,00?
Adaptado de: SANTA ROSA, s.d.
Curiosidade: Tabela de adição
Para efetuar a soma de dois números com a tabela abaixo, um de uma
linha e outro de uma coluna, basta escolher um número na coluna e um
segundo número nas linhas. No cruzamento da linha e coluna escolhida, está
a soma dos números. Veja o exemplo dado: se pegarmos o número 7 na linha
horizontal e o número 6 na coluna, obteremos a soma 13.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Adaptado de INTRODUÇÃO, s.d.
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
A prática dos professores tem refletido a crença de que a Matemática é
um corpo de conhecimentos já definitivamente delineados. Essa concepção
coloca o aluno em situação passiva e desinteressada, uma vez que não
necessita criar nada, pela crença admitida de que não há outras soluções
possíveis para os exercícios (D’AMBROSIO, 1989).
Como alternativa ao ensino de diversos conceitos, a História da
Matemática pode proporcionar maior compreensão de sua evolução,
evidenciando que esse campo do conhecimento é uma atividade plenamente
humana, com seus altos e baixos. No exame da história do conhecimento
matemático, o aluno poderá perceber que o conteúdo estudado hoje passou
por um longo percurso de aperfeiçoamento até sua atual configuração. A
Matemática sempre fez parte do cotidiano do homem e vem se
aperfeiçoamento conforme as necessidades que se impõem.
Essa metodologia contraria o ensino da Matemática de forma isolada
das outras áreas do saber, em que a abordagem dos conteúdos só serve como
pré-requisito para o prosseguimento do ensino nos mesmos padrões, ou seja,
estuda-se matemática para se poder entender mais matemática na sequência,
situação que parece justificar os questionamentos e a rejeição da matéria por
muitos alunos.
Dado o fato de vincular-se estreitamente com diversas áreas do
conhecimento, a Matemática tem muito a contribuir para a formação do aluno.
Por isso, se propõe que a exploração da História da Matemática em articulação
interdisciplinar pode trazer grande contribuição para o desenvolvimento
discente. O uso dessa metodologia de cunho histórico permite a
contextualização e a humanização da disciplina, motivando para o trabalho de
formalização dos conceitos com os alunos. A análise do percurso de criação
das teorias e práticas matemáticas constitui-se em recurso didático que tende a
levar ao aperfeiçoamento e valorização da Matemática, a partir da motivação
gerada por um trabalho instigante do professor.
Por outro lado, o entrelaçamento da História da Matemática com a do
desenvolvimento das civilizações permite perceber que esse campo do saber
reflete as necessidades e preocupações de diferentes povos em diferentes
momentos históricos, colocando-se comparações entre ideias matemáticas do
passado e do presente. Acredita-se que essa abordagem pode promover o
desenvolvimento de atitudes e valores mais favoráveis à Matemática por parte
do aluno. Como alude Groenwald (2004), o estudo dos conceitos vistos em
sua ligação com a história são veículos de informação cultural, sociológica e
antropológica possuidores de alto valor para a formação humana do aluno.
Nessa direção, o pressuposto é de que, no estudo da história e da filosofia dos
conceitos matemáticos, o professor pode variar suas estratégias de ensino e
preparar aulas mais criativas, que podem provocar o interesse dos alunos para
o estudo da disciplina, conduzindo-os a melhores resultados de aprendizagem.
Quanto a essa potencialidade, Farago (2003, p.17) reitera que:
A história da matemática constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das ideias que deram forma a nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento: enxergar os homens que criaram essas ideias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Assim, esta história é um valioso instrumento para o ensino e aprendizado da própria matemática. Podemos entender por que cada conceito foi introduzido nessa ciência e por que, no fundo, ele sempre era algo natural no seu momento.
Desse modo, nessa compreensão de que o conhecimento matemático
produzido é resultado das interações do ser humano com o meio em que vive é
que reside o potencial metodológico da História da Matemática. O uso desse
conjunto de conhecimentos pode permitir que os alunos percebam a evolução
histórica dos conceitos, bem como vinculem esse conhecimento ao seu dia a
dia. Esse enfoque, conforme aponta a literatura, pode servir como fator
motivacional para o aluno.
Enfatizando o aspecto da motivação, Groenwald (2004, p.47) coloca que
O enfoque histórico é uma proposta metodológica que permite ao
aluno descobrir a gênese dos conceitos e métodos que aprenderá na aula. Em outras palavras, este enfoque permitirá ao aluno fazer relação das ideias matemáticas desenvolvidas em sala de aula com suas origens. O conhecimento da história da matemática proporciona uma visão dinâmica da evolução dessa disciplina, buscando as idéias originais em toda sua essência.
No reconhecimento da Matemática como criação humana, abarcam-se
os conceitos matemáticos como construções socioculturais, a partir de formas
específicas de raciocínio, cuja finalidade primeira era resolver problemas
práticos ou teóricos que se impunham. Esse movimento evolutivo da
Matemática, como se constata, teve papel fundamental no desenvolvimento
das sociedades humanas.
Desse modo, esta Unidade Didática estriba-se na necessidade de se
recorrer constantemente à História da Matemática, por seu potencial em
corresponder às dúvidas colocadas pelos alunos em relação à origem de
determinado conceito e de seu significado no todo do conhecimento
matemático que ele tem estudado. Nessa acepção, a história da evolução dos
conhecimentos não deve ser apenas como uma curiosidade que o autor do
livro didático coloca esporadicamente, às vezes até por aproveitamento de
espaço gráfico. O estudo da origem dos objetos matemáticos deve ocupar
lugar central nas aulas, por seu alto potencial de motivação.
Como ressaltado nas Diretrizes para a disciplina (PARANÁ, 2008), os
debates e pesquisas sobre as práticas pedagógicas apontam para a urgência
de superação da visão fragmentada e destituída de História da Matemática. A
tendência metodológica a partir da História da Matemática tem muito a
contribuir para uma formação mais abrangente do aluno, ao atentar para
aspectos históricos, culturais e lógicos das elaborações matemáticas. Só assim
o ensino poderá trazer reflexões, análises, investigações e generalizações,
para o desenvolvimento do cidadão criativo, crítico e socialmente responsável.
Não se nega que a abstração é a principal componente da matemática e
que um de seus objetivos é a formação de representações simbólicas, a partir
de uma linguagem específica. Porém, é justamente na apropriação dessa
linguagem que reside o problema para grande parcela dos alunos, quando se
depara com as perguntas tão circulares: “Para que serve isso?”; “Por que
estudar essa matéria?”. Precisamente para dar respostas satisfatórias a esses
questionamentos é que se pode recorrer à formação histórica dos conceitos.
Nessa direção, a presente Unidade Didática procura levar em conta as
discussões sobre a História da Matemática de Grunetti e Rogers (2000, apud
Baroni e Bianchi, 2007) que distinguem três pontos de vista para sua
exploração:
a) o aspecto filosófico: vê a matemática como uma atividade humana
ensejada pelas relações socioculturais;
b) o aspecto interdisciplinar: considera a compreensão da matemática
na dimensão de suas ligações históricas como outros campos do
conhecimento humano;
c) o aspecto cultural: focaliza as contribuições de uma cultura em
particular ou de várias culturas para a evolução dos conceitos
matemáticos.
Dessa maneira, espera-se que a abordagem integrada dessas
dimensões, além de favorecer a compreensão do caminho percorrido para a
formalização dos conceitos matemáticos também sirva para construir valores e
atitudes necessários à formação para a cidadania. Com o foco na ciência
matemática em sua dimensão de criação humana, na perspectiva aqui
assumida, aponta-se para possibilidades reais de sucesso na motivação dos
alunos, assim como nos resultados de aprendizagem significativa dos
conceitos.
NOTA SOBRE A COLETA DE DADOS:
Conforme proposto nas estratégias de ação do Projeto de
Implementação pedagógica, durante o desenvolvimento da proposta na escola,
serão coletados os dados para posterior reflexão sobre a experiência de
intervenção com a História da Matemática. Quando se trata de pesquisa-ação,
além do uso de entrevistas e questionários, alguns pesquisadores costumam
valer-se de técnicas antropológicas, como a observação participante, os diários
de campo, histórias de vida e outras (THIOLLENT, 2012).
No caso desta pesquisa, pretende-se recolher dados indicativos da
relação dos alunos com a disciplina de Matemática. Para essa finalidade,
pretende-se elaborar um questionário prévio que possa revelar a atitude do
grupo de alunos com relação à disciplina de Matemática. No transcorrer da
explicação e aplicação do questionário, também serão tomadas notas de
eventuais comentários espontâneos dos alunos. Dados numéricos de
avaliações anteriores dos alunos também podem ser indícios de sua relação
com essa área do conhecimento. Na intervenção da escola, após cada aula,
proceder-se-á a anotações de campo sobre a implementação da proposta e
seus resultados, a partir da observação. Ao discutirem sobre o método da
observação, Lüdke; André (2012,p. 26) afirmam que:
A observação direta permite também que o observador chegue mais perto da “perspectiva dos sujeitos”, um importante alvo nas abordagens qualitativas. Na medida em que o observador acompanha in loco as experiências diárias dos sujeitos, pode tentar apreender a sua visão de mundo, isto é, os significados que eles atribuem à realidade que os cerca e às suas próprias ações.
Os dados coletados durante a aplicação do projeto de intervenção serão
sistematizados e discutidos no Artigo Científico, atividade final do Programa de
Desenvolvimento Educacional (PDE).
(No Anexo I: Propostas de questionários para aplicação anterior e posterior à
intervenção escolar).
REFERÊNCIAS
AUSUBEL, David P.; NOVAK, Joseph D.; HANESIAN, Helen. Psicologia
Educacional.Trad. De Eva Nick e outros. Rio de Janeiro: Interamericana,
1980.
BARONI, R. L. S.; BIANCHI, M. I. Z. História da Matemática em livros didáticos.Guarapuava: SBHMat, 2007. (Coleção História da Matemática para Professores). BIGODE, A.J.L. Matemática hoje é feita assim. V.1. São Paulo: FTD, 2000)
BRANCO, E.S. História dos Números. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22107.
Acesso em: 23 out 2013.
D’AMBROSIO, Beatriz S. Como ensinar matemática hoje? Temas e Debates. SBEM. Ano II. n.2. Brasília, 1989, p.15-19.
FARAGO, Jorge Luiz. Do ensino da História da Matemática a sua contextualização para uma aprendizagem significativa. São Paulo: Moderna, 2003.
GIOVANNI, J.R; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JR., J.R. A conquista da matemática. V.1. São Paulo: FTD, 1998. GROENWALD, Claudia L.Silva. Perspectivas em Educação Matemática. Canoas: Ulbra, 2004. CIVITA, Victor. (Ed.) Conhecer Dicionário Enciclopédico. São Paulo: Abril Cultural, v. 2, 1968, p. 461- 468.
IFRAH, Georges. Os Números – História de uma grande invenção.Tradução: Stella M. de Freitas Senra. São Paulo: Globo, 2005
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1999. INTRODUÇÃO aos Números Naturais, s.d. Disponível em:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm. Acesso em 31 out. 2013. LÜDKE, Menga; ANDRÉ, Marli E.D.A. Pesquisa em Educação: abordagens qualitativas. São Paulo: E.P.U, 2012. MAIA, Alessandro; GONÇALEZ, Tífani T. O drama da história dos números. Disponível em: http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Minicurso/Trabalhos/MC91356652034T.doc. Acesso em 24 set. 2013. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2008. PAULO VI, Colégio. 1ª lista de exercícios complementares de matemática. Números naturais. Disponível em: http://www.colegiopaulovi.com.br/wp-content/uploads/1_exercicio_complementar_matematica.pdf. Acesso em 05 nov.2013.
SANTA ROSA, Colégio. Exercícios de operações com números naturais. Disponível em: http://www.colegiosantarosapa.com.br/material_do_professor/marcelo_bentes/6ano_operacoes_com_numeros_naturais.pdf. Acesso em: 09 nov 2013.
THIOLLENT, Michel. Metodologia da pesquisa-ação. 18. ed. São Paulo: Cortez, 2012. USP, Universidade de São Paulo. Programa Educar. s.d.[a] Disponível em: http://educar.sc.usp.br/matematica/l1t4a.htm. Acesso em: 15 ago. 2013. USP, Universidade de São Paulo. Programa Educar. s.d.[b] Disponível em: http://educar.sc.usp.br/matematica/ex3l1.htm. Acesso em: 16 set. 2013. USP, Universidade de São Paulo. Programa Educar. s.d.[c] Disponível em: http://educar.sc.usp.br/matematica/l1t5.htm. Acesso em: 18 set. 2013. USP, Universidade de São Paulo. Programa Educar. s.d.[d] Disponível em: http://educar.sc.usp.br/matematica/l1t6.htm. Acesso em: 20 set. 2013.
ANEXO I
Questionário prévio à intervenção:
1) Você gosta de Matemática? Por quê?
2) Considera Matemática uma disciplina importante? Por quê?
3) O que você acha mais importante saber de Matemática? O que é mais
útil?
4) O que você acha menos importante saber de Matemática? Por quê?
5) Você tem boas notas em Matemática? Por quê?
6) Você se esforça para aprender Matemática estudando mais em casa?
Por quê?
Questionário posterior à intervenção:
1)Você gostou do conteúdo sobre História da Matemática?
2)O que você achou mais interessante na História da Matemática? Por
quê?
3)Você acha que isso mudou sua visão da Matemática? Por quê?
