Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Produção Didática – Pedagógica Turma – PDE/2013

Título Estratégia de Ensino: Matematizando

a Realidade e o Imaginável

Autor Cláudia Ursula Bochanoski Martinho

Disciplina/ área Matemática

Colégio de Implementação do Projeto e sua localização

CEEBJA-Centro Estadual de Educação Básica de Jovens e Adultos – Professora Linda Eiko Akagi Miyadi Apucarana

Município Apucarana

Núcleo Regional de Educação Apucarana

Profª. Orientadora Magna Natalia Marin Pires

Instituto de Ensino Superior Universidade Estadual de Londrina

Formato do Material Didático Unidade Didática Pedagógica

Público alvo Início do Ensino Médio

Resumo Esta unidade Didática Pedagógica propõe tarefas na perspectiva da Educação Matemática Realística, proporcionando um ambiente de aprendizagem em que os alunos observem regularidades, estabeleçam padrões e cheguem a generalização, com a intenção de fazê-los matematizar. Ela é composta por 6 tarefas distribuídas em 3 fases e está destinada a alunos da EJA.

Palavras chaves Pensamento Algébrico; Educação Matemática Realística; Resolução de Problemas; EJA

TAREFAS MATEMÁTICAS

As tarefas realizadas e as reflexões feitas a respeito dessas tarefas podem ser um

caminho para que os estudantes aprendam.

A tarefa pode ser formulada pelo professor e apresentada ao estudante ou ser da

iniciativa do estudante. Podendo ser proposta logo no início do trabalho ou ser

construída em sala de aula à medida que vão surgindo novos conteúdos. Porém, não

bastar que as tarefas sejam bem formulas, é preciso ter atenção ao modo de propô-las e

de conduzir sua realização na sala de aula.

Há muitos tipos de tarefas matemáticas: problemas, exercícios, investigações,

projetos, modelagem. Esta Unidade Didática propõe tarefas na perspectiva da Educação

Matemática Realística (RME), com a intenção de fornecer aos estudantes a

oportunidade “conduzida” para “reinventar” matemática fazendo-a.

A Matemática deve ser conectada à realidade, permanecer familiar aos

estudantes e ser relevante à sociedade, isto significa que na Educação Matemática o

foco não deveria estar na Matemática como um sistema fechado, mas na atividade

humana e no seu processo de matematização, (Freudenthal, 1968), em que modelos se

originam a partir de situações contextuais que funcionam como estados de acesso para

um nível superior de compreensão de como lidar com uma regra.

Tarefas com essas características vêm ao encontro com o estudo de padrões,

regularidades e de equações com caráter problemático, exploratório e investigativo

proporcionando aos estudantes experiências de aprendizagem diversificadas e

significativas, tendo em vista as suas capacidades de representar, compreender e

trabalhar com expressões algébricas e resolver problemas, dando ênfase ao

desenvolvimento do pensamento algébrico e não à prática repetitiva de procedimentos

algébricos.

As tarefas levadas para os alunos também devem criar uma dinâmica de aula

que vise o trabalho individual, o trabalho colaborativo e a discussão em grande grupo,

procurando contribuir para o desenvolvimento e a mobilização do pensamento

algébrico.

As tarefas dessa Unidade Didática Pedagógica tem a intenção de analisar e

responder as questões que seguem.

Quais as estratégias adotadas pelos estudantes para descrever padrões e

regularidades para a resolução dos problemas?

Que compreensão da linguagem algébrica revelam os estudantes?

Qual a evolução dos estudantes nas estratégias de generalização e na

resolução de problemas que envolvem compreensão da linguagem

algébrica, após a práxis desenvolvida nessas atividades, baseada no

estudo de padrões e regularidades?

APRESENTAÇÃO DAS TAREFAS

As tarefas escolhidas devem ser significativas, sedutoras e estimulantes para os

estudantes, aguçando sua curiosidade e conduzindo-os a satisfação de chegar a uma

resolução, e mais, encorajando-os a exibir as técnicas utilizadas no processo de

resolução, talvez até revelando algum conhecimento no processo subjacente,

incentivando-os a explanarem suas formas de pensamento.

Além disso, as tarefas devem incluir conteúdos da vida quotidiana com uma

pitada de complexibilidade, porém passível de resposta de acordo com o conhecimento

acumulado pelos estudantes, sempre que possível, oportunizando a ampliação de seus

conhecimentos.

A “Educação Matemática Realística” (RME) aponta que quando o estudante se

encontra no controle ou comando de uma situação problema proposta, temos um

componente facilitador da aprendizagem. Também é relevante salientar a importância

do envolvimento dos estudantes com o problema, buscando sair da abordagem

mecanicista, inerente com a ideia de Freudenthal a respeito da matemática como uma

atividade humana.

De acordo com Freudenthal (1968), a Matemática tem que estar conectada a

realidade, permanecer próxima aos estudantes e ser pertinente à sociedade, para ser de

valor humano.

O desenrolar da aula deve conduzir os estudantes à “re-inventar” a matemática

fazendo-a. Isto significa que, na Educação Matemática, o foco não deve estar na

Matemática como um sistema fechado, mas na atividade, no processo de matematização

(Freudenthal, 1968). Treffers (1987), formulou a ideia de dois tipos de matematização,

explicitamente em um contexto educacional, e distinguiu a matematização “horizontal”

e “vertical”. Segundo Freudenthal (1991) a “matematização horizontal envolve ir do

mundo da vida para o mundo de símbolos, enquanto matematização vertical significa

movimentar-se dentro do mundo de símbolos”.

Em termos mais amplos, estes dois tipos de matematização podem ser

entendidos como segue.

Na matematização horizontal, os estudantes entram com as ferramentas

matemáticas que podem ajudar a organizar e resolver um problema

localizado numa situação da vida real.

Matematização vertical é o processo de reorganização dentro do próprio

sistema matemático como, por exemplo, encontrar atalhos e descobrir

conexões entre conceitos e estratégias e então, aplicar estas descobertas.

Embora esta distinção pareça ser livre de ambiguidade, não significa como

Freudenthal (ibid.) disse, que a diferença entre estes dois mundos está clara. Freudenthal

(ibid.) também ressaltou que estas duas formas de matematização são de valores iguais.

Além disso, deve-se ter em mente que a matematização pode ocorrer em diferentes

níveis de entendimento. Os estudantes, em vez de serem os receptores de matemática já

pronta, são considerados os participantes ativos do processo de ensino-aprendizagem no

qual eles desenvolvem ferramentas matemáticas e insights. Nessa abordagem são

oferecidas, aos estudantes, oportunidades para compartilhar as experiências deles com

outros.

O estudo da Álgebra possui diferentes abordagens, existindo diversos caminhos

possíveis para o seu início. Nas tarefas propostas, a abordagem ao estudo da Álgebra

tem por base a exploração de padrões e regularidades com o objetivo de fomentar o

desenvolvimento do pensamento algébrico dos estudantes, promovendo a capacidade de

generalização e a compreensão da linguagem algébrica.

Assim, as tarefas que envolvem a descoberta de padrões, contribuem para o

desenvolvimento do raciocínio e para o estabelecimento de conexões entre diferentes

temas matemáticos.

Metodologia de Ensino

Essa Unidade Didática Pedagógica será aplicada em uma turma do início do

Ensino Médio, no CEEBJA – Centro Estadual de Educação Básica para Jovens e

Adultos – Professora Linda Eiko Akagi Miyadi de Apucarana-PR. Os estudantes desse

nível de escolarização cumprem a carga horária da disciplina de todo o Ensino Médio

(1ª à 3ª séries), dispostas em 3 dias de aulas semanais com duração de 4 horas (5 horas

aula), em um período de 3 a 4 meses. As tarefas propostas aqui serão desenvolvidas

durante essas aulas.

O aluno da EJA é “um sujeito com diferentes experiências de vida e que em

algum momento afastou-se da escola devido a fatores sociais, econômicos, políticos

e/ou culturais e entre esses fatores, destacam-se: o ingresso prematuro no mundo do

trabalho, a evasão ou a repetência escolar.” (Diretrizes Curriculares Estaduais – EJA,

2006, p.29).

O professor deverá proceder e ter atitudes que estimulem os estudantes a

pensarem, valorizando principalmente o desenvolvimento do pensamento, a

concentração, a perseverança, a flexibilidade, propondo nas aulas sempre possibilidades

de análise, e apresentando novos obstáculos a serem superados.

Foram selecionadas 6 tarefas consideradas com potencial para mobilizar o

pensamento algébrico, resoluções de situações problemas e investigação matemática.

Para efetivar essa proposta, inicialmente será apresentado aos estudantes o filme

“O voo dos gansos”, (tarefa da RME), chamada de “Tarefa do Voo em V” e logo após

os estudantes irão resolver as questões propostas chegando a uma generalização.

As tarefas estão divididas em três fases:

A primeira fase é composta de tarefas nas quais os estudantes procuram observar

a natureza e seus padrões, traduzindo as situações para a linguagem matemática.

A segunda fase tem a intenção de aproximar os alunos de questões com temas do

campo.

A terceira fase está mais voltada para tarefas investigativas.

Primeira Fase

O grau de dificuldade desta fase não é muito elevado, dando assim uma oportunidade

para que os alunos comecem a sentir-se mais à vontade, a ganharem mais familiaridade

com sequências simples de números, com generalizações e padrões.

Objetivos das tarefas da primeira fase:

desenvolver a capacidade de observação;

procurar padrões e regularidades na natureza;

reconhecer o padrão na sequência, observando e definindo a regra de formação;

observar e buscar regularidades;

identificar padrões em sequências de figuras geométricas;

identificar padrões em conjuntos de expressões numéricas;

estabelecer a relação entre a ordem da figura e a quantidade de pontos;

expressar generalidades na forma oral e escrita.

Tarefa 1 – Voo em “V”1

Inicialmente será apresentado um filme retirado do site:

http://www.youtube.com/watch?v=MGJRiU2i4HQ

Após discussão sobre as lições do vídeo, lançaremos a seguinte questão:

Certamente já repararam que algumas espécies de aves migratórias voam em bando,

rumando uma configuração em V. Este tipo de organização pode ser uma estratégia

encontrada por estas espécies para facilitar o voo e poupar energia. Não é, pois, de

admirar que diversas equipes de cientistas se tenham dedicado a investigar este tipo de

organização, procurando compreender as vantagens que podem surgir da aplicação

deste conhecimento da natureza à aviação. Cabe-nos agora o papel de investigadores…

Na sequência que se segue, cada figura representa um bando, cada ponto simboliza uma

ave que lhe pertence e, de figura para figura, o número de aves vai sempre aumentando.

Em seguida estão representadas, as primeiras quatro figuras desta sequência:

. . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . .

. .

1 2 3 4

1. Descreva de que modo podemos construir a figura número 5? Quantos pontos terão,

no total? O que podem dizer quanto às figuras 6 e 7?

2. Quantos pontos terão, no total, a 100ª figura desta sequência? Explique o raciocínio.

3. Existirá alguma figura, nesta sequência, constituída por 135 pontos? Se existir,

determine a posição em que se localiza nesta sequência. Apresente o raciocínio.

4. Descreva, por escrito, uma regra geral que permita determinar o número total de

pontos existentes em qualquer figura desta sequência.

1 Tarefa adaptada da Positive Algebra, a collection of productive exercises, composed by Martin Kindt,

06/2006.

Tarefa 2 – Voo em “W”2

Ao longo da resolução das tarefas que se seguem, apresente todos os cálculos que

mostram o raciocínio desenvolvido.

I. Você se recorda da tarefa em que estudou os grupos de aves (e aviões) que voaram em

V para poupar energia? Existem outras formas possíveis de voar, com um consumo

de energia mais econômico. Observa a sequência seguinte, em que cada grupo voa

numa formação em W.

1. Quantos pontos terão a 5ª figura desta sequência. Explique como pensou.

2. Quantos pontos terão a 100ª figura desta sequência? Apresente o seu raciocínio.

3. Escreva uma expressão geral que represente o número de total de pontos em qualquer

figura desta sequência. Explique como obteve-a.

2 Tarefa adaptada da Positive Algebra, a collection of productive exercises, composed by Martin Kindt,

06/2004 .

Segunda Fase

As tarefas da segunda fase têm a intenção de aproximar os alunos de questões com

temas do campo.

Objetivos das tarefas da segunda fase:

desenvolver a capacidade de observar a realidade e o cotidiano;

descobrir e descrever, na foram oral e escrita, regularidades matemáticas;

procurar padrões e regularidades na natureza;

compreender correspondência em situações cotidianas;

compreender como transpor um modelo matemático para uma tabela;

mostrar a compreensão das fórmulas;

compreender como aplicar uma fórmula dada;

compreender como resolver uma equação ou expandir um padrão com uma

tabela.

Tarefa 1 – Plantio de milho3

Sabe-se que um hectare são dez mil metros quadrados e que ao se fazer um plantio de

milho, com boa tecnologia, recomenda-se de 65 mil a 85 mil plantas por hectare

(Dados: departamento técnico da COAMO), os espaçamentos entre linhas em um

plantio é de 45 cm até 90 cm, é apropriado também que a distribuição de plantas seja

uniforme, evitando duplas ou falhas, o espaçamento mínimo entre as plantas deve ser

em torno de 16 cm.

`

Espaçamento entre linhas Espaçamento entre plantas

3 Esta tarefa conta com informações do engenheiro agrônomo Luiz Cláudio Bochanoski Martinho.

Pergunta-se:

Obedecendo a essas recomendações, quantas plantas pode-se ter por metro

linear?

Considerando que ocorre uma perda de 6% com a falha da germinação, quantas

plantas germinarão no plantio de 80 mil plantas por hectare.

Quantas plantas terão por metro linear, se trabalharmos com espaçamentos de 70

cm entre linhas. O espaçamento encontrado é adequado para o plantio?

Justifique sua resposta.

Foi recomendado um plantio utilizando 80.000 pl/ha, qual o melhor

espaçamento para ter a distância entre plantas de 22cm?

Tarefa 2 – Maçãs 4

MAÇÃS

Um fazendeiro planta macieiras em uma área quadrada. Para protegê-las contra o vento,

ele planta coníferas ao redor do pomar. O diagrama abaixo mostra essa situação, na qual

se pode ver as macieiras e as coníferas, para um número (n) de filas de macieiras.

Observe a figura e faça o que se pede:

Complete a tabela abaixo:

4 Itens Liberados do PISA 2006.

Existem duas fórmulas que você pode usar para calcular o número de macieiras

e o número de coníferas no padrão descrito acima. Escreva-as, considerando que

n é o número de fileiras de macieiras.

Número de macieiras =

Número de coníferas =

Existe um valor n para o qual o número de macieiras é igual ao número de

coníferas. Encontre o valor de n, mostrando o método usado para fazer os

cálculos.

Suponha que o fazendeiro queira fazer um pomar muito maior com muitas

fileiras de árvores. À medida que o fazendeiro aumenta o pomar o que crescerá

mais rápido: o número de macieiras ou o número de coníferas? Explique como

você encontrou a sua resposta.

Terceira Fase

A terceira fase está mais voltada para tarefas investigativas.

Objetivos das tarefas da terceira fase:

compreender padrões, relações e funções;

representar e analisar situações e estruturas matemáticas usando símbolos

algébricos;

simbolizar quantidades e operar com as expressões simbólicas;

usar modelos matemáticos para representar e compreender relações

quantitativas;

analisar a variação em diversos contextos;

descobrir relações funcionais (explorar correspondência entre quantidades);

prever resultados desconhecidos usando dados conhecidos (formular conjecturas

acerca do que não se sabe , a partir de que se sabe);

Tarefa 1 – Piscinas

Explique seu raciocínio, utilizando cálculos, palavras ou desenhos.

A empresa Queda d’Agua constrói piscinas de fundo retangular. Na construção de cada

piscina são utilizados azulejos azuis, para o fundo, e azulejos brancos, para colocar na

borda. A figura ilustra uma piscina de dimensões 7 x 4 construída pela empresa Queda

d’Agua.

Os azulejos tem 1m de comprimento conforme a figura acima. Existem azulejos para

piscina com 1 m de comprimento? Os azulejos padrões para colocar em piscinas são de

qual tamanho?

Determine o número de azulejos de cada cor para uma piscina de dimensões 10 x 6.

Supõe agora que a empresa construiu uma piscina de dimensões 30 x 90.

Proponha uma expressão numérica que permita calcular o número de azulejos azuis

necessários à construção dessa piscina. Explique como chegou a essa expressão.

Proponha agora uma expressão numérica para determinar o número de azulejos brancos

existentes na piscina considerada. Explique como chegou a essa expressão.

Imagine que a empresa dispõe de 300 azulejos azuis para construir a piscina de um

cliente. Sabendo que este pretende uma piscina quadrangular, determine as dimensões

máximas dessa piscina e o número de azulejos de cada tipo necessários à sua

construção.

Tarefa 2 – Bolinhas

Era final de ano, fui ao shopping comprar alguns presentes quando vi uma promoção

que me chamou a atenção: Ganhe um vale compra no valor de R$10.000,00 para gastar

nas lojas do shopping. Havia um carro cheio de bolinhas dentro, a pergunta era a

seguinte: Quantas bolinhas havia dentro do carro?

Como resolver esta questão?

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

FREUDENTHAL, H. Why to Teach Mathematics so as to Be Useful. Educational

Studies in Mathematics. Holanda, 1968, p. 3-8.

________________. Revisiting Mathematics Education. Netherlands: Kluwer

Academic Publishers, 1991.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. DCE -

Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná –

Disciplina de Matemática e EJA - Curitiba: SEED/2006.

TREFFERS, A. Three dimensions: a model of goal and theory description in

mathematics instruction – the wiskobas project. Dordrecht: Reidel Publishing Company,

1987.

KINDT, Martin. Positive Algebra a collection of productive exercises, Utrecht, June

2004.