Embed Size (px)
Citation preview
Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
FICHA PARA CATÁLOGO
PRODUÇÃO DIDATICO PEDAGÓGICA
TÍTULO: AVALIAÇÃO - Um repensar sobre a prática pedagógica
AUTOR Edno Mariano dos Santos
ESCOLA DE ATUAÇÃO Colégio Estadual “Adélia Dionisia Barbosa” – Ens. Fund. E Médio
MUNICIPIO DA ESCOLA Londrina
NUCLEO REGIONAL DE ESDUCAÇÃO Londrina
ORIENTADOR Dra. Magna Natalia Marin Pires
INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIOR Universidade Estadualde Londrina
DISCIPLINA/ÁREA Matemática
PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA UNIDADE DIDÁTICA
PÚBLICO ALVO Alunos de 9º anos
LOCALIZAÇÃO DO COLÉGIO R: Jubelino Barbosa Cabral, 670 – CEP. 86.031-130
APRESENTAÇÃO O projeto “Avaliação: um repensar sobre a prática pedagógica” é um estudo que visa implementar o portfólio como instrumento de prática pedagógica na disciplina de Matemática no 9º ano da Escola Estadual “Professora Adélia Dionísia Barbosa” Ensino Fundamental e Médio, para tal, o mesmo faz parte integrante do PDE – PR (Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná). Este estudo busca uma prática avaliativa que contemple a evolução e crescimento do aluno, viabilizando estratégias de reflexão para corroborar na construção do conhecimento. Além disso, este projeto busca trazer reflexões acerca do processo avaliativo, bem como, tornar-se um instrumento de indagação e questionamento, a fim de proporcionar um repensar por parte do educador no momento da avaliação, em todas as suas esferas.
PALAVRAS-CHAVES Ensino. Aprendizado. Avaliação. Portfólio.
Escrever deve ser relevante para a vida [...] Escrever deveria ser significativo para as crianças [...] uma necessidade intrínseca deveria emergir nelas, e [...] o ato de escrever deveria estar incorporado a uma tarefa que se mostrasse necessária e relevante para a vida. Apenas assim podemos estar certos de que ela desenvolverá não como uma questão de hábitos manuais, mas como uma forma de discurso realmente nova e complexa.
Vygotsky
1 INTRODUÇÃO
Esta unidade didática tem como pressuposto pedagógico trabalhar o ensino
de matemática, mais especificamente o conteúdo: EQUAÇÃO DO 2º GRAU,
utilizando o portfólio educacional como método de ensino e aprendizagem numa
concepção renovadora, mostrando que este instrumento proporciona no seu
desenvolvimento a oportunidade de aprender interagindo e integrando situações de
avaliações sistemáticas.Também poderemos constatar a ação socializadora que o
portfólio proporciona fazendo os alunos interagirem entre si por meio de atividades
em grupo e também com a sociedade em que vive, socializando o saber;
respeitando às diferenças; valorizando o espírito de cooperação e a promoção da
autoestima.
Quando nos referimos à prática da avaliação sistemática, significa dizerque
o professor deverá gradativamente, numaatitudereguladora, de constante reflexão e
em conjuntocom o aluno, analisar os acertos e erros ocorridos nas atividades
desenvolvidas ao longo das 20 aulas de implementação do projeto. Desta análise,
o professor concluirá a respeito das intervenções didáticas, necessárias para
aprofundamento do conteúdo estudado com novas estratégias de ensino com
objetivo de dissipar as defasagens e dúvidas suscitadasao longo das práticas
pedagógicas.
A intenção deste procedimento pedagógico visa desenvolver as habilidades
cognitivas dos alunos, torná-los pesquisadores, capazes de organizar o raciocínio
lógico e também abstrair-se no processo como forma responsável e comprometida
em realizar o trabalho pedagógico a cada aula.
No desenrolar das aulas os alunos terão contato com o caminhar histórico
da Equação do 2º GRAU, tendo informações a respeito de quando e por que
razão,os matemáticos desenvolveram os métodos matemáticos que possibilitaram
as aplicações deste conteúdo nas diversas situações cotidianas de cálculo e análise
de resultados, os alunos verificarão que no mundo contemporâneo se utiliza
constantemente este modelo matemático ou método de resolução de problemas, e
vão conhecer a importância deste conhecimento para o desenvolvimento da
matemática.
2 OBJETIVOS GERAIS
Experimentar instrumento de avaliação inovador, o qual dá suporte aos
processos de ensino e aprendizagem com métodos pedagógicos integradores,
possibilitando avaliar o desenvolvimento global do aluno dentro do processo de
construção do conhecimento.
2.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Tornar a avaliação um ato indissociável na ação pedagógica de ensinar
e aprender.
Desenvolver metodologias de ensino e aprendizagem integradas na
oportunidade de construção do conhecimento com enfoque na avaliação
formativa.
Oportunizar aprendizado registrando-os documentadamente, utilizando-
sepor exemplo de: trabalhos, provas, relatório de estudos e pesquisa
entre outros, de forma sistemática e reflexiva.
Formatar o processo de construção dos saberes baseada na interação
professor/aluno proporcionando resultados positivos desta cumplicidade
pedagógica.
Reunir a produção pedagógica significativa no instrumento de
armazenagem, possibilitando posteriores consultas, análises, pesquisas
e reflexões.
Fomentar a consciência da autoavaliação no processo de ensinar e de
aprender.
Democratizar o processo avaliativo com a utilização do portfólio.
3 REFERENCIAL TEÓRICO
De acordo com o Departamento de Educação Básica - DEB (2001) as
tendências de práticas pedagógicas no âmbito da Matemática defendem que o
alunado se envolva com experiências de aprendizagem diversificadas, como a
exploração, a investigação, a resolução de problemas, projetos e outros. O saber e o
fazer na disciplina de Matemática, não se resume apenas na resolução, ou mesmo,
na compreensão de conceitos isolados, respeitando determinada sequência, mas
sim, na aquisição de competência científica ou desenvolvimento do poder de análise
científica, que representa a aptidão no uso de conceitos e procedimentos na
resolução de problemas.
Há que se pensar em um ensino que forme o aluno do ponto de vista reflexivo, flexível, crítico e criativo. Não é uma formação para o mercado de trabalho apenas, mas um jovem preparado para enfrentar as transformações cada vez mais céleres que certamente virão. (PONTUSCHKA, 2001, p. 112).
Para tanto atualmente existem vários mecanismos de avaliação conforme
expressa Bona (2010):
a) Testes escritos aplicados a partir de um tipo de ensino expositivo;
b) Testes em duas fases que permitem captar aspectos relevantes sobre a
aprendizagem do que apenas o exame final, ou mesmo, testes de
múltipla escolha;
c) Relatórios com produções escritas nos quaiso alunado descreve, analisa
e critica a atividade proposta, a partir de um roteiro orientado;
d) A apresentação oral que deve ser parte integrante do saber e fazer as
Ciências Físicas e Biológicas e exige melhor preparação;
e) Portfólios que são um conjunto de trabalhos realizados pelos estudantes
e classificados por eles como os seus melhores, segundo periódica
orientação do professor, com objetivos preestabelecidos: na ótica do
aspecto formativo, presentes nas reflexões do alunado em ter escolhido
este ou aquele trabalho e, na ótica do aspecto sumativo, obtidos a partir
da análise do material como um todo.
De acordo com Barret (2005) os portfólios na área de Educação são
normalmente utilizados como instrumento de avaliação de alunos de diversos níveis
de ensino, como estratégia de desenvolvimento e aprendizagem, ou ainda, no
desenvolvimento profissional dos professores, especialmente como atividade
reflexiva da prática pedagógica. No contexto escolar de ensino e deaprendizagem, o
portfólio do aluno representa o trabalho que este colecionou e selecionou ao longo
de um determinado período de tempo, bem como as suas reflexões relativas a cada
trabalho produzido ou referente ao portfólio como um todo.
Scallon (2003) argumenta que os portfólios são instrumentos de
aprendizagem e de avaliação que se fundamentam na capacidade de conseguir que
o aluno se envolva na sua avaliação (auto-avaliação), refletindo sobre a sua
aprendizagem (metacognição) com vista a empreender ações para se aprimorar
(autoregulação).
A importância em se utilizar o portfólio como instrumento de avaliação de
aprendizagem centra-se no próprio aluno como agente neste processo, ou seja, a
forma como este compreende a sua aprendizagem é o objeto a ser avaliado,
contemplando as diversas etapas de aprendizagem que é recíproca e
retroalimentada nas relações entre professor, aluno, grupo e ambiente e, por isso,
será avaliada com o acompanhamento dessa evolução no aprendizado, estimulando
a autonomia do aluno em seu processo de formação para a vida.
Nesse contexto Freire (1996, p. 134) reflete que o “ensinar não é transferir
conteúdo a ninguém, assim como aprender não é memorizar o perfil do conteúdo
transferido no discurso vertical do professor”. Nesta ótica a avaliação deve ser
desenvolvida num processo de sociabilidade, entre professores, alunos e
comunidades, bem como expressar a pedagogia do sucesso, proporcionando a
autonomia do alunado em suas diversas possibilidades de aprendizado, polaridades
e sonhos.
4 ESTRUTURAÇÃO DIDÁTICA
Está Unidade Didática descreve as atividades didáticas que serão
desenvolvidas no decorrer de 10 semanas de trabalho pedagógico de forma
cronológica, com as respectivas abordagens aula a aulaeprogramação
individualizada para cada uma delas, obedecendo uma sequência pedagógica
orientada dos conteúdos e o passo a passo na composição do portfólio educacional
na proposta de aprendizagem. Nortearemos todo trabalho conforme a definição de
portfólio elaborada por educadores da NORTHWEST EVOLUTION ASSOCIATION
em 1990, Helen C. Barret no seu artigo “Eletronic Portfólios, A chapter in Educational
Technology”, que diz o seguinte:
Um portfólio é uma coleção de trabalhos de um estudante com um propósito que expõe os seus esforços, progresso e realizações numa ou mais áreas. A coleção deve incluir a participação do estudante na seleção de conteúdos, o critérios de seleção, o critério para julgar o mérito, e evidência da auto-reflexão do estudante”. (BARRET, 2013)
Relacionamos abaixo alguns desafios e vantagens que perfazem toda a
estrutura das sequências pedagógicas e sua inserção no portfólio como instrumento
de ensino e deaprendizagem com avaliação na concepção formativa, evidenciando
estes desafios e vantagens conforme (WIEDMER, 1998, p. 586):
ESPERA-SE DO PROFESSOR:
a) Melhoria da autoconfiança;
b) Maior intervenção pedagógica;
c) Eficiência na retomada e redirecionamento de conteúdos;
d) Estímulo do profissionalismo e da colaboração;
e) Resumo da experiência num produto educacional inovador;
f) Possibilidade de reflexão das filosofias e métodos de aprendizagem e de
ensino.
ESPERA-SE DO ALUNO:
a) Maior participação no aprofundamento no processo individual de
seleção e concepção;
b) Estimular-se para o comportamento reflexivo nas decisões de seleções;
c) Maior sentido de responsabilidade pessoal na aprendizagem;
d) Motivar-se acrescentado gradual melhora na obtenção dos resultados;
e) Melhorar o interesse na aprendizagem;
f) Ajudar na percepção de crescimento pessoal.
4.1 CONSTRUÇÃO, MEIOS, MÉTODOS E FUNDAMENTOS DA UTILIZAÇÃO E
CONSTRUÇÃO DO PORTFÓLIO EDUCACIONAL.
A) MATERIAIS QUE SERÃO UTILIZADOS
1) Sacos plásticos com furos para arquivo; dimensões 24 x 33 cm.
2) Folhas de sulfite branca tamanho ofício 8,5 x 14 pol.
3) Pastas para arquivo com presilha para arquivamento de trabalhos.
4) Caderno universitário com folhas destacáveis.
5) Lápis, lápis de cor, canetas coloridas, borracha, canetas
esferográficas azuis e vermelhas.
6) réguas de 30 cm.
B) GUIA ESTRUTURAL E REGRAS NA CONSTRUÇAO DO PORTFÓLIO
Baseamo-nos para composição deste item na obra de Alves & Gomes
(2007, p. 7) - Como organizar portfólios na sala de aula de matemática), obra que
organiza o portfólio da seguinte maneira:
1) O portfólio é individual, sua manutenção e composição é de
responsabilidade do aluno.
2) Os trabalhos que serão incluídos no portfólio de matemática deve seguir
cronologicamente a respectiva ordem de apresentação das atividades
pedagógicas.
3) O portfólio de matemática deve iniciar-se com uma apresentação,
registrar os seus dados pessoais, e uma breve descrição da sua vida
escolar e o que espera do uso do portfólio de aprendizagem matemática
no ensino de matemática no 9º ano, e/ou outras considerações
interessantes relativas a Matemática ou à disciplina.
4) O aluno deverá ser responsável na alimentação diária do portfólio com
as atividades desenvolvidas, selecionando e arquivando suas produções
e respectivos relatórios de aprendizagem, aos quais deverão estar
constantemente à disposição do professor para a avaliação contínua
dos trabalhos inseridos e respectivas conjecturas avaliativas.
5) O portfólio de Matemática terá, no final das 10 semanas entre 10 e 15
trabalhos.
6) Esses trabalhos são escolhidos das atividades desenvolvidas pelo
aluno.
7) O Professor deverá fazer regulares considerações, principalmente em
algum trabalho que necessite de melhoras indicando nas reflexões as
sugestões de reformulações a serem efetuadas.
C) GUIA DE PRODUÇÕES PEDAGÓGICAS A INSERIR NO PORTFÓLIO
INDIVIDUAL:
C.1) Que materiais escolher?
Os materiais escolhidos para o portfólio devem ser de tipos variados (ou
seja, não devemos escolher, por exemplo, 4 trabalhos todos eles a cerca de
geometria):
a) Trabalhos com investigações, representações gráficas, geometria.
b) Trabalhos com calculadoras gráficas (investigações, representações
gráficas).
c) Trabalhos de pesquisa (história da matemática, curiosidades,...)
d) Trabalhos de construções geométricas (com uso de material de
desenho).
e) Trabalhos com manipuláveis (com modelos construídos,...)
f) Relatórios.
g) Participação em concursos.
C.2) Devem representar:
a) Os teus melhores trabalhos.
b) Os trabalhos que mais gostou de realizar.
c) O trabalho que considerou que aprendeu mais e melhor a matemática.
OBS.: CADA ATIVIDADE OU TRABALHO INSERIDO NO PORTFÓLIO
DEVE SER ACOMPANHADO DE UMA REFLEXÃO que conterá a justificativa da
escolha efetuada.
D) GUIA PARA AS REFLEXÕES A INSERIR NO PORTFÓLIO
D.1) O que dizer na reflexão?
a) Qual o tema do trabalho?
b) Que tema de matemática abordou-se? Elabore um pequeno resumo.
c) No que a atividade de matemática desenvolvida lhe foi útil e
acrescentou na sua aprendizagem?
d) Descreva o procedimentos que usou para desenvolver ou chegar na
resposta? Descreva qual foi o melhor caminho utilizado para
desenvolver sua resposta?
e) Quais foram as maiores dificuldades encontradas para desenvolver ou
realizar as atividades propostas? Como conseguiu ultrapassar as
dificuldades?
f) Para encontrar a resposta certa que procedimentos matemáticos adotou
ou utilizou?
g) Depois de sua reflexão descreva que critérios utilizou para escolher as
atividades matemáticas para composição do portfólio.
h) Faça uma auto avaliação do grau de envolvimento que você teve na
execução da atividade?
SEQUÊNCIAS DE AULAS –COMPREENDENDO A EQUAÇÃO DO 2º GRAU
PASSO A PASSO COM O USO DO PORTFÓLIO EDUCACIONAL
1ª AULA – Exposição, Contrato Pedagógico e Construção do Portfólio
Desenvolvimento
Nesta aula seguiremos o seguinte roteiro:
a) Explicaremos e apresentaremos a metodologia do portfólio educacional
e seus objetivos, evidenciando o seu caráter avaliativo.
b) Apresentaremos e explicaremos detalhadamente as normas passo a
passo e o guia na confecção e construção do portfólio respeitando
oroteiro de trabalho pedagógico.
c) Desenvolveremos a construção participativa “professor(a) e alunos” do
contrato pedagógico para realização das atividade.
d) Confeccionaremos o portfólio, usando os materiais e organizando suas
partes.
e) Produção da apresentação pelo aluno, que preencherá a folha
APRESENTAÇÃO, conforme o modelo abaixo.
f) Dividiremos a turma em grupos de acordo com a quantidade de alunos.
APRESENTAÇÃO
IDENTIFICAÇÃO DO ALUNO
NOME:______________________________________________________________
IDADE:_________________________SEXO:_______________________________
LOCAL DE NASCIMENTO:______________________________________________
ENDEREÇO: ________________________________________________________
BAIRRO: _________________________________TELEFONE: ________________
TURMA: ______________TURNO: _________________
TEMPO QUE FREQUENTA A ESCOLA: ___________________________________
TRATAMENTO MÉDICO: ( ) SIM ( ) NÃO
Escreva neste espaço o que você acha sobre o uso do portfólio de matemática e
quais suas previsões iniciais sobre aprender os conteúdos esta disciplina com este
recurso:
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_________________________________________________________________
HISTÓRICO DA FAMÍLIA E COMUNIDADE: Faça uma descrição de como é sua
família, por exemplo: há quanto tempo sua família mora nesta comunidade. E todas
as informações que você deseje registrar e que considere importante para você.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_________________________________________________________________
2ª AULA – Exposição, Debate, Quebra-Cabeça
Desenvolvimento
Iniciar a aula informando os alunos que o estudo da Equação do 2º Grau
passará por uma abordagemhistórica ressaltando sua importância e também sua
aplicação como recurso matemático na resolução de problemas do cotidiano.
Escrever a equação do 2º Grau no quadroax2 + bx + c = 0.
Pedir para os alunos lerema equação e identificaremsuas partes:a, b e c
e o que representa o x2 e o x.
Perguntar se os alunos entenderam a equação, não se importe com as
respostas, o objetivo deste recurso é fazê-los ter contato inicial com a
equação e despertar o interesse em conhecê-la, na verdade a
relevância deste procedimento esta nos alunos terem contato
descontextualizado com a equação.
Logo em seguida apresentar a atividade abaixo, ler em voz alta com os
alunos o texto, o objetivo é fazer os alunos perceberem que podemos
montar equações para resolvermos os problemas contextualizados.
Ao final solicitar aos alunos que façam a atividade “VAMOS JOGAR
COM A MATEMÁTICA”, interpretando o problema montando uma
equação e resolvendo-a dando sua solução.
RESOLVENDO QUEBRA-CABEÇA1
“Aplicando as regras aqui expostas um homem inteligente pode
inventar milhares de problemas semelhantes. Assim como o Sol empalidece as estrelas com o seu brilho, um homem discreto eclipsa a glória de outro homem nos concursos populares, propondo e resolvendo problemas.”
Este texto, extraído de um manual de Matemática da Índia Antiga, fala de um
passatempo muito popular dos matemáticos hindus da época: a solução de quebra-
cabeças em competições públicas, em que um competidor propunha problemas para
outro resolver.
1 GUELLI, Oscar. Contando a história da matemática: história da equação do 2º Grau. São Paulo: Ática, 1992. 55 p. 06-08.
Escritos por sacerdotes brâmanes, os grandes clássicos matemáticos eram
um misto de ciência e religião. Cada assunto consistia de um texto básico chamado
sutra, que o professor lia em voz alta e os alunos repetiam centenas de vezes até
que o texto se lhes “grudasse na garganta”, ou seja, até que eles conseguissem
decorar.
Os sutras eram constituídos de ditos populares, em forma de versos:
Alegravam-se os macacos
divididos em dois bandos:
sua oitava parte ao quadrado
no bosque brincava.
Com alegres gritos, doze
gritando no campo estão.
Sabes quantos macacos há
na manada no total?
Hoje podemos traduzir este quebra-cabeça para o idioma da Álgebra com
uma equação. Veja:
Alegravam-se os macacos divididos em dois bandos:
X
Sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava.
8
X 2
Com alegres gritos, doze gritando no campo estão.
12
Sabes quantos macacos há na manada no total? X =
8
X 2 + 12
Desenvolvendo a equação temos:
Note que obtivemos uma equação que contém o termo x2.
x =
8
X 2 + 12
X = 64
2X +12
Esta equação, que contém o termo x2,
é chamada de equação do 2º grau.
Levou muito tempo para os
matemáticos descobrirem uma fórmula
resolutiva das equações do 2º grau.
Mesmo sem conhecer a fórmula, os
64X =X2 + 64.12
64X = X2 + 768
X2 – 64X + 768 = 0
bravos matemáticos da antiguidade, que
escreviam as equações totalmente em
palavras, inclusive os números
conseguiram resolver a maioria delas.
Como isto era possível?
VAMOS JOGAR COM A MATEMÁTICA?
Traduza este quebra-cabeça hindu para o idioma da álgebra:
De um enxame de abelhas, 5
1 dirige-se a uma flor de lótus,
3
1 a uma
bananeira. Um número igual a três vezes a diferença entre os dois números
precedentes, oh, bela de olhos de gazela, voa em direção a uma árvore. Por fim,
uma outra abelha, indecisa, voa errante para lá e para cá nos ares, atraída ao
mesmo tempo pelo delicioso perfume do jasmim e do pândano. Diga-me, oh, minha
encantadora, quantas abelhas existem?
Resolução: x = 5
x+
3
x + 3 .
3
x +
5
x + 1
x = 15
Resposta: Existem 15 abelhas.
3ª AULA – Exposição, Vídeo, Debate
Material: cópias das perguntas elaboradas para resposta.
Desenvolvimento
Retomar o que foi trabalhado na aula anterior, escrever no quadro a
equação do 2ºgrau, revisar suas partes, e relembrar como foirealizada a resolução
de um problema que teve o objetivo de mostrar que podemos resolver problemas
com equações.
Informar aos alunos que utilizaremos um vídeo que trata da histórica da
equação do 2º grau como parte importante para entender a sua construção, e como
surgiu a fórmula resolutiva, neste vídeo será apresentado um problema de aplicação
da equação, e que este recurso audiovisual tem o objetivo de dar uma perspectiva
geral dos conhecimentos que irão adquirir no desenvolvimento desta unidade.
Em seguida vamos exibir o vídeo: “Equação quadrática, Raízes de uma
função quadrática e Bhaskara” http://www.youtube.com/watch?v=BmuWuMJZlQs.
Iniciaremos o vídeo e vamos pausá-lo em 1’42”, (um minuto e quarenta e
dois segundos), nesta pausa escreveremos no quadro e disponibilizaremos aos
alunos as perguntas que abaixo descrevemos, registrar no quadro o problema
exposto pelo vídeo na forma literal, e vamos discuti-las em forma de debate:
Perguntas:
1) Quem foi Bhaskara e em que século ele viveu?
2) Qual outro nome podemos dar a equação do 2º grau? Por que podemos
chamá-la desta maneira?
3) Qual é o problema que se pretende resolver? (Sendo necessário
repasse o vídeo novamente)
4) Como podemos resolver esse problema?
Anotar as melhores respostas das perguntas 1 e 2 no quadro negro e pedir
para os alunos que façam suas anotações no material disponibilizado, pedir aos
alunos que executem a pergunta 3 e sua resolução preocupando-se em chegar na
sua melhor resposta. Ao final da aula recolher o material.
Após esta atividade, explicar-lhes que este estudo será retomado na próxima
aula.
Pedir aos alunos que tragam na próxima aula uma calculadora.
4ª AULA – Exposição, Vídeo, Debate, Calculadora
Material: calculadora
Desenvolvimento
Fazer uma exposição do que foi trabalhado na aula anterior. Para
isso,relembrar quem foi Bhaskara e o porquê chamar a equação do 2º grau por
equação quadrática, assim como relembrar o problema exposto no vídeo:
Coloque R$100,00 no banco numa aplicação qualquer rendendo juros numa
taxa anual fixa, depois de um ano você tira os R$100,00 do banco e deixa lá o que
rendeu por mais um ano, aí no final do segundo ano você consegue o total de
R$75,00. Qual foi a taxa real de juros?
Exibir novamente o vídeo da aula
(http://www.youtube.com/watch?v=BmuWuMJZlQs), anterior e pausar em 1’42” (um
minuto e quarenta e dois segundos), fazendo uma retrospectiva das ações
executadas até esta parte do vídeo.
Nesta aula o objetivo é que os alunos relembrem a raiz quadrada por
aproximação e o uso da tecnologia. Os alunos deverão perceber que nos povos
antigos não se usava o recurso algébrico e tecnológico para resolução de problemas
que envolviam equação do 2º grau.
Introduziremos o texto FALANDO DE ESCRIBAS, realizando uma
explanação expositiva do conteúdo, fazendo leitura dinâmica em voz alta e fazendo
o entendimento em conjunto com os alunos.
FALANDO DE ESCRIBAS2
“Sei subtrair e somar com perfeição. Sou muito hábil para contar e
calcular”.
Com que orgulho se gabava de sua sabedoria da segunda dinastia o Rei
Shulgi, um dos soberanos da segunda dinastia de Ur, cidade da Suméria, por volta
do ano 2000 a.C.!
Naquela época, o ensino da Matemática, disciplina considerada muito difícil,
começava cedo nas escolas. Durante dez anos, os filhos de humildes agricultores ou
2 GUELLI, Oscar. Contando a história da matemática: história da equação do 2º grau. 2. ed. São Paulo: Ática, 1992. p.9.
comerciantes estudavam ao lado dos filhos dos ricos e poderosos, para se tornarem
escribas: esta era a sua única chance de ascensão social.
O que fazia um escriba?
O escriba podia dedicar-se ao ensino da matemática, propondo a seus
alunos problemas como este, por exemplo:
Qual é a medida do lado de um terreno quadrado de área 50?
Hoje expressamos este problema por meio daequação do 2º grau:
X2 = 50
Os escribas não sabiam representar as equações por letras, mas sabiam
que para calcular o lado do terreno bastava extrair a raiz quadrada de 50.
Todo número positivo tem sempre duas raízes quadradas, uma positiva e
outra negativa. Por exemplo, o número 49 tem como raízes +7 e – 7.
Veja:
(+7)2 = (+7).(+7) = 49
(-7)2 = (-7) . (-7) = 49
Assim, para nós, a equação x2 = 50 tem duas soluções:
x2= 50 → x = + 50 ou x = - 50 , embora pelos dados do problema devamos
considerar somente a raiz quadrada positiva, já que não tem sentido expressarmos o
lado do terreno por um número negativo.
CALCULANDO COMO OS ESCRIBAS
Os escribas da Babilônia nunca poderiam imaginar que um dia os
matemáticos inventariam os números negativos. Mas é impressionante a exatidão
dos cálculos efetuados por aqueles escribas para extrair a raiz quadrada positiva de
um número.
Então, vejamos:
Em uma primeira aproximação, selecionavam o número inteiro cujo
quadrado mais se aproxima de 50.
52= 25 50 = a
62= 36
72= 49 50 = a2
82= 64
Primeira aproximação: a = 7
Dividiam 50 pela primeira aproximação a = 7, até que o quociente ficasse
com o dobro de algarismos do divisor.
Calculavam a média aritmética entre a primeira aproximação a = 7 e 7,1.
05,72
1,77
Segunda aproximação: a = 7,05, até que o quociente ficasse com o dobro
de algarismo do divisor.
Calculavam a média aritmética entre a segunda aproximação a = 7,05 e
7,09219.
071095,72
09219,705,7
Este é o resultado que os babilônios obtinham há 4000 anos:
50 = 7,07105
E este é o resultado que um estudante consegue hoje com a máquina de
calcular:
50 = 7,07106
Não é incrível?
TAREFA:
Calcular a raiz quadrada dos números que serão apresentados pelo
professor(a) usando do método usado pelos babilônicos. Em seguida calcule a raiz
destes números com a máquina de calcular. Determine a resposta e faça uma
análise e registre, de uma resposta de como se chegou a este resultado?
a) 21
b) 31
c) 37
d) 43
e) 53
5ª AULA – Portfólio, Organização de Materiais, Relatório Escrito
Desenvolvimento
Iniciamos esta aula relembrando os conteúdos estudados na aula anterior,
falaremos sobre a extração da raiz quadrada pelos antigos e pela calculadora
fazendo uma reflexão sobre como os antigos faziam seus cálculos e como são feitos
nos dias atuais.
Faremos uma breve exposição do GUIA ESTRUTURAL E REGRAS NA
CONSTRUÇAO DO PORTFÓLIO.
Oportunizaremos a produção do relatório escrito pelo aluno nos quaiso
mesmo vai descrever tudo que aprendeu até aquele momento.
Este relatório escrito fará partedesta produção e deverá ser arquivado no
portfólioao final de cada etapa.
O professor ao final da aula recolherá os portfólios para análise, avaliação e
possíveis intervenções.
6ª AULA – Exposição, Atividade, Debate, Fórmula
Recurso: projetor de slides, data show.
Material: o texto contido nesta aula deverá ser projetado para leitura e
acompanhamento pelos alunos.
Desenvolvimento
Primeiramente informaremos aos alunos que o principal objetivo desta aula é
mostrar a resolução de equações de segundo grau sem utilizar a fórmula resolutiva,
e fazê-los visualizar a forma geométrica de resolver equações de segundo grau.
Para tanto vamos trabalhar o texto ‘EQUAÇÃO DE 2ºGRAU SEM FÓRMULA”, o
professor disponibilizará o texto em projetor de slides ou Datashow, pediremos aos
alunos para fazermos a leitura do texto e o professor daráexplicações se os alunos
apresentarem dúvidas.
EQUAÇÃO DE 2º GRAU SEM FÓRMULA3
Costumamos estudar equações de 2º grau aplicando a fórmula da equação
quadrática (conhecida também como fórmula de Báskara):
3 ROQUE, Tatiana. A história como problema, a história como remédio: equação do 2º Grau sem fórmula. Cálculo: Matemática para todos. São Paulo, n. 31, p.21, ago. 2013. Mensal. Entrevista: História, Ensino, função Quadrática.
Os matemáticos resolviam equações apenas com palavras. Depois,
passaram a usar símbolos só para as incógnitas. A fórmula acima só pode surgir
quando tiveram a ideia de usar símbolos também para os coeficientes do polinômio
de segundo grau. Os símbolos nem sempre são do mesmo tipo. Por exemplo, na
equação ax² + bx + c = 0, a, b, c e x são símbolos, mas têm características e nomes
diferentes, isto é:
x é a incógnita, ou seja, é desconhecido, mas pode ser encontrado com
a resolução da equação;
a, b e c são os coeficientes e não podem ser encontrados a partir da
resolução da equação. Cada conjunto de valores para a, b e c determina
uma única equação no universo de todas as equações quadráticas.
Os matemáticos usavam vários métodos do tipo passo a passo para resolver
tais equações até que, no século XVI, Viète propôs a fórmula que todos conhecem
hoje. Quando se estuda outras formas de resolver equações, nos livra da fórmula ─
o que é bom, pois fórmulas deixam a resolução da equação do 2º grau maçante e
sem sentido. “Se verificarmos o conhecimento inserido num contexto, entenderemos
a diferença entre incógnita e coeficiente e veremos que há muito mais envolvido do
que somente aplicar a fórmula e resolver a equação”. Por anos, matemáticos geniais
resolviam equações sem fórmulas, mas com métodos interessantíssimos.
Mostramos aqui o método geométrico descrito por Al-khwarizmi (≈séc.9 d.C.) para
resolver a equação que hoje descreveríamos como x² + 10x = 39. Al-Khwarizmi
explica a resolução com palavras e diz para o leitor pensá-la como quadrados de
lados desconhecidos.
Devemos desenhar um quadrado com diagonal AB, cuja área representa o
quadrado da incógnita, isto é, x². Depois construiremos em dois lados adjacentes do
quadrado retângulos de lados iguais à metade de 10, ou seja, a metade do
coeficiente b. A soma das áreas das três figuras é 39, ou nos termos de hoje: x² +
10x = 39. Em seguida, completamos a figura com um quadrado de mesmo lado que
os retângulos, ou seja, com área igual a 25. A área total da figura é 64 e seus lados
medem 8; então, subtraímos 5 de 8 e chega ao x da questão: 3. Na resolução,
considera-se apenas a raiz positiva; afinal, as figuras têm lados e áreas maiores que
zero. (O estudo de comprimentos e áreas iguais a zero, ou negativos, é mais
recente).
No método tradicional resolve-se a mesma equação com a fórmula
quadrática. Primeiro, coloca-a na forma canônica: x² + 10x – 39 = 0. Então,
usaremos os coeficientes e a fórmula para achar a raiz positiva.
Bhaskara não inventou tal fórmula; em seu tempo não havia esse
simbolismo algébrico. Se ela não é de Bhaskara, é de quem? Dizemos que essa é a
típica pergunta a ser desconstruída e respondemos: não é de ninguém. Sua história
transcorre ao longo de vários séculos, e os historiadores não tem como reconstruí-la
para apontar quem a inventou.
Concluindo esta exposição, informar aos alunos que na próxima aula
continuaremos com a sequência deste conteúdo.
7ª AULA – Exposição, Atividades, Tarefas, Discussões.
Material: cópias das tarefas com os exercícios que serão propostos.
Desenvolvimento
Retomaremos o conteúdo da última aula, relembrando que os antigos
resolviam problemas em seu dia a dia sem a utilização de equação,apenas com
palavras e que o método de resolução foi evoluindo com símbolos, relembrar os
símbolos que representam a equação do 2º grau, fazer uma retomada da resolução
do exemplo geométrico da aula anterior.
Propor aos alunos a resolução de um problema por equipe, pedindo para
que eles desenvolvam a resolução pelas equipes que foram formadas na primeira
aula desta unidade. Os problemas deverão ser sorteados e cada equipe deverá
então ficar responsável pela sua respectiva resolução.
Explicar que os alunos poderão realizar a resolução do problema criando
seus próprios métodos, os que acharem mais convenientes, desta maneira deverão
obter uma resposta, e um representante da turma, fará a exposição da resolução
consensual da solução do problema, para a turma.
PROBLEMAS PARA SEREM SORTEADOS
Tarefa: Sortear entre as equipes um problema de aplicação da equação do
segundo grau para serem resolvidas sem fórmulas, cada equipe deverá extrair sua
resolução utilizando-se do método proposto ou método matematizado pelos
integrantes, apresentando suas conjecturas e resultados.
PROBLEMA Nº 014
Num terreno de 99 m2 de área será construída uma piscina de 7 m de
comprimento por 5 m de largura, conforme figura abaixo, deixando-se um recuo x ao
seu redor para construir um calçadão. Qual será a medida do recuo x:
Solução:
(7 + 2x)(5 + 2x) = 99
x2+ 6x -16 = 0
x’ = 2
x’’ = - 8 (não convém)
Resposta: O recuo é de 2 metros.
PROBLEMA 025
A idade de Rodrigo daqui a 4 anos, multiplicada pela idade que tinha há 7
anos, é igual a 5 vezes a sua idade atual aumentada de 5. Determine a idade de
Rodrigo.
Solução:
(x + 4)(x – 7)= 5x + 5
x2– 8x – 33 = 0
x’= 11e x” = -3 (não convém)
R: A idade de Rodrigo é 11 anos
4 ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando matemática: 9º ano, p.76. São Paulo: Editora do Brasil, 2006. 248 p..
5 Ibidem.
PROBLEMA 036
A figura abaixo mostra um salão retangular tem área de 204 m2 e seu
comprimento tem 5 m a mais do que sua largura. Quais as dimensões deste salão?
Solução:
x(x + 5) = 204
x’ = 17 m e x” = 24 m
Resposta: O salão tem 17 m de largura por 24 metros de comprimento.
PROBLEMA 047
Um pedaço de papel retangular mede 10 cm a mais de comprimento do que
de largura. Cortando quadrados de 2 cm de lado em cada canto do papel e
dobrando os extremos, formamos uma caixa aberta de 1008 cm2 de volume. Ache
as dimensões do papel.
Solução:
6 Ibidem.
7 GUELLI, op cit., p. 49.
PROBLEMA 058
Um terreno de 7200 m2 de área vai ser dividido entre herdeiros. Para isso
ele foi dividido em 6 faixas retangulares iguais, sendo três verticais e três
horizontais. O comprimento de cada faixa é o triplo da largura. Qual é o perímetro
desse terreno?
8 ANDRINI; VASCONCELLOS, op cit., p. 248.
Solução:
6(3x . x) = 7200
x’ = 20
x” = - 20 (não convém)
P= 2 . 120 + 2 . 60 = 360 m
Resposta: O perímetro do terreno é 360 metros.
PROBLEMA 069
Um jardim retangular tem 6 m de largura por 8 m de comprimento. Seu
proprietário diminuirá o jardim, que passará a ter a metade da área inicial. Em volta
do jardim será construída uma calçada de largura x. Qual é a largura x?
9 ANDRINI; VASCONCELLOS, op cit., p. 248..
Solução:
(6 – 2x)(8 – 2x) = 2
1. 8 .6
x2 - 7x + 6 = 24
x’ = 6 (não convém)
x”= 1
R: A largura da calçada e x= 6 m.
PROBLEMA 0710
Numa festa de final de ano, na qual participou um certo número de pessoas,
ficou combinado que cada participante daria uma pequena lembrança aos demais. E
assim foi feito. Quantas pessoas participaram desta festa, sabendo-se que foram
trocadas 132 lembranças?
Solução:
n(n – 2) = 132
n = 12
n = -11 (não convém)
Resposta: 12 pessoas
10
ANDRINI; VASCONCELLOS, op cit., p. 248.
OBS.: o professor deverá lembrar de formular alguns problemas adicionais caso o
número de equipes exceda a 7 grupos.
8ª e 9ª AULAS – Exposição, Discussão, Debate, Explanação, Resolução,
Socialização.
Desenvolvimento
Iniciaremos as aulas relembrando todo o trajeto da construção realizada na
aula anterior.
O professor disponibilizará 10 minutos para a exposição da resolução do
problema feito pela equipe, peloseu representante. O problema deverá ser lido e
todos os seus dados deverão ser anotados no quadro, assim como a resolução
construída em consenso com a equipe.
Após o término da exposição da resolução do problema, a equipe entregará
ao professor a resolução produzida. O professor então fará as intervenções junto à
turma, utilizando do método da investigação para a solução do problema, caso este
não tenha tido uma resposta satisfatória, fará inserções objetivando relembrar
conteúdos já esquecidos e que seriam pré-requisitos necessários para a solução
satisfatória do problema.
Cronologicamente este processo se repetirá até o última resolução,
lembrando que todas as dúvidas dos alunos devem ser dirimidas no decorrer do
processo.
10ª AULA - Portfólio, Organização de Materiais, Síntese, Relatório Escrito,
Avaliação.
Desenvolvimento
Iniciamos esta aula relembrando em síntese o que foi estudado nas aulas
anteriores.
Oportunizaremos a produção do relatório escrito pelo aluno. O aluno
produzirá um texto síntese de tudo que aprendeu e o que foi mais significativo para
ele nas 6ª, 7ª, 8ª e 9ª aulas.
Este relatório escrito fará parte da produção do aluno e deverá ser arquivado
no portfólio ao final desta segunda etapa.
O professor ao final da aula recolherá os portfólios para análise, avaliação e
possíveis intervenções.
11ª AULA – Atividade, Expositiva, Discussão e Debate.
Desenvolvimento
Disponibilizar como provocação para reflexão um problema para os alunos
resolverem, solicite aos alunos que encontrem uma solução e a reserve para
posterior discussão. Vamos estudarjuntos o problema e os alunos visualizarão o
que é uma equação completa do 2º grau e uma equação incompleta do 2º grau e
como identificar suas partes.
PROBLEMA11:
Calcule em quanto tempo um coco cai se ele está num coqueiro com 19,6m
de altura. Fórmula: d = 4,9 t2
11
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO BÁSICA (DEB). Currículo Nacional do Ensino Básico: competências essenciais. 2001. Disponível em: <http://www.dgidc.min-edu.pt/public/cnebindex.asp>. Acesso em: 16 set. 2006. p. 50.
9,4
6,19 =
9,4
9,4 2t dividindo por 4,9 dos dois
lados:
4 = t2
±√4=t
t’ = 2 t”= -2
Como não existe tempo negativo,
devemos ter t = 2.
Assim, o coco levará 2 segundos para
chegar ao chão
Explicar-lhes que como dissemos na 2ª aula, as equações do 2º grau pode
ser reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, na qualo a acompanha a incógnita que está
elevada a 2, o b sempre acompanha a incógnita que está elevada a 1 e o c é o
termo que está sozinho, dizemos termo independente.
Pedir para repararem que a equação 4,9t2 = 78,4 ou 4,9t2 - 78,4 = 0 é uma
equação incompleta, porque ela tem apenas a (= + 4,9) e c (= -78,4). A equação não
tem o termo b, aquele que acompanharia a letra t; logo, dizemos que b = 0.
Deverão observar também que a equação 4,9 t2 =19,6 ou 4,9 t2 - 19,6 = 0 é
uma equaçãoincompleta, na quala = + 4,9 b = 0 c = -19,6.
Perguntar ao aluno: mas, e quando o b não é zero? Como é que eu resolvo?
Deixar o aluno responder escrevendo no quadro algumas respostas.
Muito bem, vamos ensinar-lhe agora! O primeiro passo é que você saiba
identificar quem são os coeficientes a, b e c de qualquer equação do 2º grau.
Vamos fazer alguns exemplos e pedir para você fazer alguns exercícios.
Identifique os coeficientes a, b e c das equações em que se pede:
Exemplo:
14 - w2 - 18w = 0 a = -1; b = -18 ; c = +14
a) Agora, você:
2k + 3k2 = 0 a =......; b =......; c =......
Exemplo:
- 2y2 + 9 = y2 - 5y
Observe que não está na forma ax2+ bx + c = 0, logo, temos que reorganizá-
la respeitando as propriedades.
-2y2 + 9 - y2 + 5y = 0
-3y2 + 9 + 5y = 0 a = -3; b = +5; c = + 9
b) Agora, você: 4 m - 2 = 8 - m2 a =......; b =......; c =......
Exemplo:
(z + 1) • (2z - 3) = 4z
2z2 - 3z + 2z - 3 = 4z
2z2 - z - 3 - 4z = 0
2z2 - 5z - 3 = 0 a = +2; b = -5;c = -3
c) Agora, você: (3n - 1) • (n + 4) = 0
a =...... b =...... c =......
d) Novamente, você: 5 - 8t = - t2 + 5
a =...... b =...... c =......
Para concluir faça uma feedback das respostas dadas pelos alunos a
pergunta formulada “mas, e quando o b não é zero? Como é que eu resolvo?”
12ª AULA – Expositiva, Discussão, Debate, Quadro Demonstrativo.
Recurso: projetor de slides ou Datashow, tv pedrive
Desenvolvimento
Iniciaremos a aula informando aos alunos que trabalharemos a FÓRMULA
RESOLUTIVA da equação do 2º grau, explicaremos que após François Viéte
expressar uma equação do 2º grau por meio de uma fórmula geral, os matemáticos
da época foram descobrindo muitas propriedades das equações o que resultou na
dedução de uma fórmula única, que tornou possível a resolução de qualquer
equação do 2º grau. Ou seja, esta que é utilizada para resolver os problemas da
atualidade, determinando suas incógnitas, seus significados e representações. Para
entendermos utilizaremos um quadro comparativo, utilizando o data show ou lâmina
de projetor de slides disponibilizando a dedução da fórmula e fazendo a discussão
passo a passo de seu desenvolvimento como segue:
Fonte: GUELLI, Oscar. Contando a história da matemática: história da equação do 2º Grau. São Paulo: Ática, 1992. 41 p. ISBN 85-08-03933-6.
Daí, x = 2
3ou x = 1
A expressão b2 – 4ac recebe nome de discriminante, sendo indicada pela letra
(delta):
= b2 – 4 ac.
E com a fórmula:
x = a
b
2
Fórmula completa =
a
acbbx
2
42
Os alunos deverão ser informados que o assunto continua na aula seguinte.
13ª AULA – Expositiva, Discussão, Debate, Atividades.
Desenvolvimento
Retomaremos o conteúdo fazendo uma breve retrospectiva da dedução da
equação do segundo grau, apenas relembrando as partes da equação e o que
representa cada uma delas.
Ministraremos uma aula expositiva com duas situações que correspondema
forma direta de resolução da equação do segundo grau sem o uso da fórmulae a
apresentação de um problema que resolveremos com a equação do 2º grau passo a
passo. Utilizaremos este recurso didático como objetivo de possibilitar aoaluno
compreender e visualizar que podemos resolver uma equação já formulada ou
matematizar um problema montando a equação e resolvê-lousando a fórmula
resolutiva.
Relembrando, a fórmula que vamos apresentar que leva o nome de um
grande matemático, Báskara. Esse matemático indiano era capaz de resolver
equações sem se prender a figuras para representá-las. A fórmula de Báskara é
uma fórmula geral para resolução de equações do 2º grau; ela nos permite encontrar
tanto as raízes positivas, quanto as negativas. Porém, em alguns casos, por
exemplo quando b = 0, é melhor não utilizá-la.
Fórmula de Bhaskara: ,onde Δ = b2 - 4 • a • c
Primeiro, o Δ é o discriminante (mais conhecido como “delta”, letra do alfabeto
grego). Para calculá-lo, basta você seguir sempre a fórmula Δ = b2 - 4 • a • c
Depois, você substitui o valor do Δ na fórmula:
Vamos fazer um exemplo:
Resolva a equação -2z - 3 = - z2
Essa equação não está na forma completa e organizada para encontrarmos os
valores de a,b e c. Precisamos passar o -z2para a esquerda, então: - 2z - 3 + z2 = 0,
então, z2 – 2z + 3 = 0
Logo, a = +1 b = -2 c = -3
Calculando o delta, Δ = b2 - 4 • a • c
Δ = (-2)2 - 4 • (+1) • (-3)
Δ = +4 + 12
Δ = +16
Logo, √ 16 = 4
Calculando a incógnita:
)1.(2
16)2(
z =
2
42
Vamos encontrar o valor das duas incógnitas, que chamaremos de z’ e z’’.
z’ = 2
42
=
2
6
= +3
z” = 2
42
=
2
2
= -1
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem à equação substituindo
+3 e -1 no lugar de z.
Verificação:
-2z - 3 + z2 = 0 - 2z - 3 + z2 = 0
-2(+3) - 3 + (+3)2 = 0 -2(-1) - 3 + (-1)2 = 0
-6 -3 + 9 = 0 + 2 - 3 + 1 = 0
-9 + 9 = 0 + 3 - 3 = 0
0 = 0 (certinho!!) 0 = 0 (certinho!!)
As raízes da equação são -1 e +3.
Propor aos alunos:
Vamos resolver um problema agora?
Os alunos deverão levar o problema abaixo como atividade extraclasse e
trazer na próxima aula com a conclusão que chegaram e com uma resposta escrita
justificando os resultados encontrados, esta resolução deverá ser entregue para o
professor.
O Sr. João decidiu construir um pequeno tanque para criar pacus, assim
teria mais uma fonte de alimentação. O tanque dele media 9m de comprimento por
3m de largura. Só tinha um problema: quando chovia, ficava aquele barreiro na beira
do tanque. Então, ele teve uma ideia: “Sobraram 13m2 de lajotas quando eu fiz a
reforma da casa. Por que não aproveitar essas lajotas para colocar em volta do
tanque?”. Vamos ajudar o Sr. João, calculando para elea extensão dafaixa de lajota
em volta do tanque!12
12
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO BÁSICA (DEB), op cit., p. 55.
Informar aos alunos que o conteúdo terá continuidade na próxima aula com
discussão sobre o problema.
14ªAULA – Problema, Explanação, Expositiva, Discussão, Debate.
Desenvolvimento
Escreveremos no quadro a equação completa para resolução de uma
equação do 2º grau. Perguntaremos aos alunos quem desejaria vir ao quadro para
expor sua própria resolução do problema.
Havendo algum aluno, oportunizar sua resolução planificando-a no quadro, e
depois o professor deverá fazer às intervenções e reflexões pertinentes as
resoluções do problema e as interpretações das respostas.
A resolução poderá ser diferente da que abaixo disponibilizamos, maso
importante será o aluno apresentar o passo a passo oque eles utilizaram para sua
resolução, e caso não tenhamresolvido corretamente o aluno deverá debater e
discutir junto com o professor e seus colegas de turma a resolução até chegarem ao
resultado correto.
Resolução:
Como não sabemos a largura da faixa, vamos chamá-la de x.
Calculando a área de cada faixa em volta do tanque: A área de cada quadrado roxo é x • x = x2 A área do retângulo B é 3 • x = 3x A área do retângulo C é 3 • x = 3x A área do retângulo D é 9 • x = 9x A área do retângulo E é 9 • x = 9x
Somando todas as áreas das faixas em volta do tanque, temos que o total deveser,
no máximo, igual aos 13m2 de lajotas:
x2 + x2 + x2 + x2 + 3x + 3x + 9x + 9x = 13
4x2 + 24x - 13 = 0
a = +4 - b = +24 - c = -13
Calculando Δ,
Δ = b2 - 4 • a • c
Δ = (+24)2 - 4 • (+4) • (-13)
Δ = 576 + 208
a2
2
X = )4.(2
784)24(
=
8
2824
X=8
2824
= 0,5
X=8
52
8
2824
(não serve por que não existe largura negativa)
Resposta: A faixa de lajotas em volta do tanque do Sr. João deverá ter 0,5m
(meio metro) de largura.
15ª AULA: Portfólio, Organização de Materiais, Síntese, Relatório Escrito,
Avaliação.
Desenvolvimento
Iniciamos esta aula relembrando em síntese o que foi estudado nas aulas
anteriores.
Oportunizaremos a produção do relatório escrito pelo aluno. O aluno
produzirá um texto síntese de tudo que aprendeu e o que foi mais significativo para
ele nas 11ª, 12ª, 13ª e 14ª aulas.
Este relatório escrito fará parte da produção do aluno edeverá ser arquivado
no portfólio ao final desta terceira etapa.
O professor ao final da aula recolherá os portfólios para análise, avaliação e
possíveis intervenções.
16ª AULA – Resolução de Problema, Exposição, Vídeo, Debate, Discussão.
Recursos: tvprendrive ou Datashow
Desenvolvimento
Faremos uma breve retomada dos problemas resolvidos na 14ª aula,
ressaltando expositivamente as respectivas resoluções e qual método foi utilizado
para se chegar a uma resposta sistematizada do problema proposto.
Iniciamos a aula informando aos alunos que retornaremos ao vídeo com o
tema: Equação quadrática, Raízes de uma equação quadrática e Bhaskara, faremos
a resolução do problema proposto e sua resolução
(http://www.youtube.com/watch?v=BmuWuMJZlQs).
Relembraremos aqui o problema da 4ª aula desta unidade, qual seja:
Coloque R$100,00 no banco numa aplicação qualquer rendendo juros numa
taxa anual fixa, depois de um ano você tira os R$100,00 do banco e deixa lá o que
rendeu por mais um ano, ai no final do segundo ano você consegue o total de
R$75,00. Qual foi a taxa real de juros?
Vamos exibir o vídeo conforme o link
(http://www.youtube.com/watch?v=BmuWuMJZlQs) desde o início para que os
alunos relembre a situação. Pausar o vídeo em 2’32” (dois minutos e trinta e dois
segundos). Então, pediremos que os alunos executem a resolução do exercício
durante 15 minutos, escrevendo contextualizadas todas as suas dúvidas pertinentes
a sua resolução, estas dúvidas deverão ser entregues ao professor sem a
identificação do aluno.
O professor oportunizará aos alunos irem atéo quadro paramostrarem sua
resolução do problema. Com esse método o professor poderá fazer as intervenções
necessárias para elucidação das dúvidas suscitadas na resolução do
problema,clarificando a compreensão e entendimento dos alunos. Desta forma o
problema se constituirá um instrumento de avaliação coletiva da aprendizagem do
aluno até o presente momento.
Resolução:
Montando a equação teremos;
x2 + 100x – 7500 = 0
a= +1 = b2 – 4.a.c
b= +100 )7500.(1.4)100( 2
c= -7500 3000010000
= 40000
)1.(2
40000)100(
x
X’= 2
200100 =
2
100= 50
X”= 2
200100 =
2
300= -150 (não existe
rendimento negativo)
R: A taca real de juros foi de 50% durante uma aplicação de um ano.
Informar aos alunos que na próxima aula serão desenvolvidas novas
atividades em equipe sobre o assunto como forma de avaliação com oportunidade
de aprendizagem.
17ª AULA – Avaliação, Debate, Equipes, Exercícios, Discussão.
Desenvolvimento
Material: disponibilização de material impresso com os problemas de 2º
grau.
Recurso didático: Datashow ou retroprojetor e TV pendrive.
Organizaremos equipes com mesmo número de alunos, faremos o sorteio
de umproblema para cada equipe, relativa ao tema equação do 2º grau, os
problemas terãomaior grau de complexidade no objetivo de aprofundar discussões
para sua resolução por meio da investigação.
Problemas de equação do segundo grau que sortearemos entre as equipes
com suas respectivas resoluções.
1) Duas placas retangulares de vidro, uma azul, e outra amarela, foram
sobrepostas para compor a cor verde. Porém, um pequeno toque fez com que uma
delas deslizasse e as placas ficassem da seguinte forma13:
Solução:
13
TRAMBAIOLLI NETO, Egidio. Série: O contador de histórias e outras histórias da matemática: a missão. São Paulo: Ftd, 2010. 80 p. (9º ano). – Suplemento de Trabalho – Outros desafios – p.05.
2) Marcos pretendia comprar um terreno retangular mas, ao perguntar as medidas
do comprimento e da largura, o proprietário não soube responder. Só lhe disse
que a área era 600 m² e que gastara 372 m de arame farpado para fazer uma
cerca, dando três voltas ao redor do terreno. Resolva o problema de Marcos,
sem se machucar com o arame farpado14!
Solução
3) Um apostador dirigiu-se a uma casa lotérica para conferir seu jogo da mega
Sena. Quando lá chegou, notou que a folha dos resultados estava um pouco
rasgada. Mesmo assim, decidiu conferir os resultados e, para seu espanto,
havia acertado cinco das seis dezenas premiadas. Ao observar que o pedaço
rasgado continha o último número,dirigiu-se ao balcão e perguntou ao
funcionário da casa lotérica qual era a última dezena sorteada. Este, que estava
estudando para a prova de matemática, respondeu:
─ O número sorteado é composto por dois algarismos cujo produto é 24.
Alterando-se a ordem dos algarismos, teremos um número que ultrapassa em
18 unidades o número original.
14
Ibidem.
Diante das informações, o apostador entrou em desespero. Ajude-o a descobrir
o número que faltava conferir15.
Solução:
4) Uma fã aproximou-se de uma dupla sertaneja, formada por pai e filho, e
despejou um caminhão de perguntas. Entre elas, qual a idade de cada um dos
integrantes.
Zeca, o filho respondeu:
─ Ih, minha fã, a soma de nossas idades já chega a um século!
Neca, o pai, foi além e respondeu:
─ Ah, minha filha, eu comecei minha carreira muito tarde, aos 48 anos. Se hoje
multiplicar a minha idade pela do meu filho, chegarei ao quadrado da idade com
a qual comecei a carreira.
A partir dessas informações, descubra a idade de Zeca e de Neca16.
Solução:
15
TRAMBAIOLLI NETO, op. cit., p. 08. 16
TRAMBAIOLLI NETO, op. cit., p.08.
5) O número de alunos de Ana Mércia e o de Florisneide são pares consecutivos,
tais que a soma de seus inversores é igual a 84
12. Sabendo que Ana Mércia tem
mais alunos que Florisneide, quantos alunos tem cada uma17?
Solução:
6) Duas lagartas podem, juntas, devorar uma planta em 18 horas. Quanto tempo
cada lagarta levaria para devorar a planta, sozinha, sabendo que uma delas leva
27 horas a mais que a outra18?
17
TRAMBAIOLLI NETO, op. cit., p. 10.
Solução:
7) Quando perguntaram ao professor Rubens a idade do filho dele, ele respondeu:
A idade de Diogo é um número natural não nulo tal que sua quarta potência é
igual ao quadrado de quatro vezes ele mesmo. Qual a idade de Diogo19?
Solução:
8) Em 1995, o vencedor das 500 Milhas de Indianápolis foi o piloto Jacque Jacques
Villeneuve, com o tempo de 3h 15m 17s. Ao perguntarem para um dos
responsáveis pela cronometragem qual o tempo (t) de vantagem de Villeneuve
para o segundo colocado, Christian Fittipaldi, o cronometrista respondeu:
18
TRAMBAIOLLI NETO, op. cit., p. 10. 19
TRAMBAIOLLI NETO, op. cit., p.15.
─ O produto entre o quadrado do tempo (t) adicionado ao seu dobre e o
quadrado desse tempo subtraído de seu dobre é igual a 45.
Calculando essa equação teremos o tempo aproximado entre um piloto e outro.
Qual a diferença de tempo entre os dois pilotos20?
18ª e 19ª AULAS – Exposição, Debate, Discussões.
Desenvolvimento
Iniciaremos as aulas relembrando todo o trajeto da construção realizada na
aula anterior.
O professor disponibilizará 10 minutos para a exposição da resolução do
problema feito pela equipe, peloseu representante. O problema deverá ser lido e
todos os seus dados deverão ser anotados no quadro, assim como a resolução
construída em consenso com a equipe.
Após o término da exposição da resolução do problema, a equipe entregará
ao professor a resolução produzida. O professor então fará as intervenções junto à
turma, utilizando do método da investigação com reflexão juntamente com os alunos
para as correções necessárias na resolução do problema, caso este não tenha tido
uma resposta satisfatória, fará inserções objetivando relembrar conteúdos já
esquecidos e que auxiliampara a solução satisfatória do problema.
20
TRAMBAIOLLI NETO, op. cit., p.16.
Cronologicamente este processo se repetirá até o última resolução,
lembrando que todas as dúvidas dos alunos devem ser dirimidas no decorrer do
processo.
20ª AULA - Portfólio, Organização de Materiais, Síntese, Relatório Escrito,
Avaliação.
Desenvolvimento
Iniciamos esta aula relembrando em síntese o que foi estudado nas aulas
anteriores.
Oportunizaremos a produção do relatório escrito pelo aluno. O aluno
produzirá um texto síntese de tudo que aprendeu e o que foi mais significativo para
ele nas 16ª, 17ª, 18ª e 19ª aulas.
Nesta última aula a aluno discorrerá na forma escrita no final do portfólio
suas considerações fazendo uma avaliação do método de aprendizagem com
portfólio, seus pontos positivos e acrescentarásugestões para o seu aprimoramento.
Este relatório escrito fará parte da produção do aluno e deverá ser arquivado
no portfólio ao final desta terceira etapa.
O professor ao final da aula recolherá os portfólios para análise, avaliação e
possíveis intervenções.
OBSERVAÇÕES: o professor fará análise do desempenho de cada aluno
preenchendo e arquivando no portfólio particular do aluno o formulário denominado:
“AVALIAÇÃO PEDAGÓGICA DAS ATIVIDADES” em anexo no final desta unidade
didática.
AVALIAÇÃO
Para a avaliação das atividades e relatórios realizados no conteúdo
“resolução de problemas envolvendo a equação do 2º grau”, utilizaremos a ESCALA
MULTIDIMENSIONAL DE AVALIAÇÃO DE RELATÓRIOS, construída na obra
intitulada “Investigação matemática na sala de aula"21.
MÉTODOS E OBJETIVOS DAS ESCALAS:
A construção dessas escalas assenta numa ideia muito simples. Escolhe-se
um objetivo ao conjunto dos objetivos que possam ser graduados em diferentes
níveis. Depois faz-se corresponder a cada par objetivo-nível uma descrição de
aspectos observáveis nos relatórios dos alunos.
Princípios descritores de avaliação:
Conhecimento matemático;
Estratégias e processos de raciocínio;
Permitir obter informação mais detalhada;
Cinco níveis.
Conclui-se que este método avaliativo concomitante a utilização do portfólio
educacional possibilita aos professores além de avaliar os relatórios dos alunos,
também estruturar e monitorar de modo mais seguro o seu desempenho durante a
realização das tarefas de resolução de problemas.
Os alunos devem ter informação deste processo avaliativo e conhecer sua
escala, o objetivo é propiciar a auto-avaliação. Para cada relatório o professor
deverá fazer inferências adequando os descritores que melhor se adequam.
Também fará comentários relacionados explicitando quais as indagações que
ficaram genéricas nas descrições do aprendizado feito no relatório e o que se
poderia acrescentar e que seria relevante ao alunado pesquisar intuindo o
complemento seu conhecimento.Este tipo de escala foi usado por VARANDAS
(2000)22, e verificou-se que possibilitou uma melhor atuação do Professor com
relação a avaliação dos relatórios escritos, assim como estruturou seus
redirecionamentos metodológicos nas atividades propostas ao alunado.
21
PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H.. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
22 Uma experiência utilizando este tipo de tabelas vem descrita no trabalho de VARANDAS (2000).
ESCALA MULTI-DIMENSIONAL DE AVALIAÇÃO DE RELATÓRIOS
NIVEL CONHECIMENTO MATEMATICO ESTRATÉGIAS E
PROCESSOS DE RACÍOCINIO COMUNICAÇÃO
4 Mostra compreender os conceitos e princípios matemáticos do problema. Usa terminologia e notação apropriada. Executa completa e corretamente os algoritmos.
Usa informação exterior relevante de natureza formal ou informal. Identifica todos os elementos importantes do problema e mostra uma compreensão da relação entre eles. Indica uma estratégia apropriada e sistemática para a resolução do problema e mostra, de forma clara o processo de solução. O processo de solução é claro e sistemático.
Apresenta uma resposta completa com uma descrição ou explicação clara e não ambígua. Inclui um diagrama completo e apropriado. Comunica efetivamente com a audiência. Apresenta, como suporte, argumentos fortes, lógicos e completos. Inclui exemplos e contraexemplos.
3 Mostra compreender, quase completamente, os conceitos e princípios matemáticos do problema. Usa quase corretamente a terminologia e notação apropriada. Executa completamente algoritmos. Os cálculos estão na generalidade corretos, contendo eventualmente pequenos erros.
Usa informação exterior relevante de natureza formal ou informal. Identifica todos os elementos importantes do problema e mostra uma compreensão da relação entre eles. Indica uma estratégia apropriada e sistemática para a resolução do problema e mostra, de forma clara o processo de solução. O processo de solução é claro e sistemático.
Apresenta uma resposta completa com uma razoável explicação ou descrição. Apresenta um diagrama apropriado e quase completo. Na generalidade, comunica efetivamente com a audiência e apresenta como suporte argumentos que estão logicamente corretos embora contendo pequenas imperfeições.
2 Mostra compreender alguns dos conceitos e princípios matemáticos do problema. A resposta tem erros de cálculos.
Identifica alguns elementos importantes do problema, mas mostra apenas uma compreensão limitada da relação entre eles. Mostra alguma evidência do processo de solução mas esse está incompleto ou pouco sistematizado.
Mostra um progresso significativo na direção de completar o problema, mas a descrição ou explicação é ambígua ou pouco clara. Inclui um diagrama pouco claro ou pouco preciso. A comunicação é vaga ou de difícil interpretação e os argumentos são incompletos ou baseados em premissas pouco importantes.
1 Mostra uma compreensão muito limitada dos conceitos e princípios matemáticos do problema. Falha no uso dos termos matemáticos. A resposta tem erros de cálculo graves.
Usa informação exterior irrelevantes. Falha na identificação, quase por completo, de aspectos importantes ou coloca muita ênfase em elementos pouco importantes. Reflete uma estratégia inadequada para resolver o problema.
Apresenta alguns elementos satisfatórios, mas omite partes significativas do problema. Inclui um diagrama que represente a situação problemática de uma forma incorreta ou o diagrama é pouco claro ou de difícil interpretação. Falta a explicação ou descrição ou é difícil de seguir.
0 Mostra não compreender os conceitos princípios matemáticos do problema.
Da evidência incompleta do processo de solução. O processo de solução não existe, é de difícil identificação ou não está sistematizado. Tenta usar informações exteriores irrelevantes. Falha na indicação de quais os elementos do problema são apropriados para a resolução. Copia partes do problema mais sem procurar solução.
Comunica de forma eficaz. Integra desenhos que não representa de todoa situação problemática. As palavras não refletem o problema.
AVALIAÇÃO PEDAGÓGICAS NAS ATIVIDADES
NOME DO ALUNO:____________________________________________________
ASSUNTO:__________________________________________________________
ATIVIDADE: _________________________________________________________
DATA: ____/_____/____
OBJETIVO DO TRABALHO:
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
DESENVOLVIMENTO DO ALUNO DURANTE A ATIVIDADE:
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
COMENTÁRIOS DO PROFESSOR:
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
NIVEL: ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4
REFERÊNCIAS
ALVEZ, Ana Paula; GOMES, Maria João. Como organizar Portefólios na sala de aula de Matemática. In.: ACTAS DO CONGRESSO PROFMAT-07. Lisboa: Associação de Professores de matemática. CD-ROM. ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando matemática (9º ano). São Paulo: Editora do Brasil, 2006. 248 p.. BARRET, H. C..The researchon portfólios in education. 2005. Disponível em: <http://electronicportfolios.org/ALI/research.html>. Acesso em: 13 nov. 2006. BONA, A. S. Portfólio de matemática: um instrumento de análise do processo de aprendizagem. 2010. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Programa de Pós-Graduação em Ensino da Matemática, Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), Porto Alegre, 2010. BONA, A. S.; MORAIS, A. D. D. Como avaliar de maneira formativa e não somente somativa um portfólio de Matemática? In: CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 13., 2011, Recife, Anais... Recife: Comitê Interamericano de Educação Matemática, p. 1-11. DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO BÁSICA (DEB). Currículo nacional do ensino básico: competências essenciais. 2001. Disponível em: <http://www. dgidc.min-edu.pt/public/cnebindex.asp>. Acesso em: 16 set. 2006. FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática da educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996. GUELLI, Oscar. Contando a história da matemática: história da equação do 2º grau. São Paulo: Ática, 1992. 55 p.. PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H.. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. PONTUSCHKA, N. N. A. Geografia: pesquisa e ensino. In: CARLOS, A. F. A.. Novos caminhos da geografia. São Paulo: Contexto, 2001. ROQUE, Tatiana. A história como problema, a história como remédio: equação do 2º grau sem fórmula. Entrevista: História, Ensino, função Quadrática - Cálculo: Matemática para todos, São Paulo, n. 31, p.21-21, ago. 2013. Mensal. SCALLON, G. Le portfólio ou dossier d’apprentissage. Guideabrégé. 2003. Disponível em: <http://www.ulaval.ca/Gerard.Scallon/valise_BEP/portfolioguide.pdf>. Acesso em: 10 mar. 2006. TRAMBAIOLLI NETO, Egidio. Série: o contador de histórias e outras histórias da matemática - a missão. São Paulo: Ftd, 2010. 80 p. (9º ano).
UNICAMP. Esse tal de Bhaskara. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=BmuWuMJZlQs>. Acesso em 24 out. 2013. VARANDAS, J.M.. A avaliação de investigações matemáticas: uma experiência. Tese de Mestrado, Universidade de Lisboa, Lisboa, 2010. Disponível em: <http://ia.fc.ul.pt>. Acesso em 24 out. 2013. VYGOTSKY, L.S.. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 1995. WIEDMER, L. T... Digital portfolios: capturing and demonstrating skills and levels of performance. Phi Delta Kappan, v. 79, n. 8, p. 586-589, 1998.
