Os nmeros complexos Os nmeros complexos so teis para resolver equaes do tipo x+1=0 uma vez que no existe qualquer nmero real com a propriedade que o seu quadrado seja igual a -1. Todo nmero complexo tem a forma a+bi, onde a e b so nmeros reais e a unidade imaginria i tem a propriedade i= -1. Dado o nmero complexo z = a+bi, ento a a parte real de z, denotada por Re(z) e b a parte imaginria de z, denotada por Im(z). O conjunto dos nmeros reais pode ser considerado como um subconjunto dos nmeros complexos com b = 0. Se a = 0 o nmero complexo 0+bi=bi dito um nmero imaginrio puro.

Exemplos 1. 2. 3. 4. 5. Z = 3+0i, Re(z ) = 3 e Im(z ) = 0, um nmero real. Z = 7+4i, Re(z) = 7 e Im(z) = 4, um nmero complexo. Z = 0+5i, Re(z) = 0 e Im(z) = -5, nmero imaginrio puro. Z = -2+0i, Re(z) = -2 e Im(z) = 0, um nmero real. Z = 0+0i, Re(z) = 0 e Im(z) = 0, um nmero real.

Igualdade de nmeros complexos Dois nmeros complexos z = a+bi e w = c+di so iguais se, e somente se, a = c e b = d.

Exerccio: Determinar nmeros reais x e y que satisfazem igualdade 3x+2iy-ix+5y = 7+5i.

Adio (e subtrao) de nmeros complexos Sejam os nmeros complexos z = a+bi e w = c+di. Definimos a adio (subtrao) entre os nmeros complexos z e w, como: z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i z - w = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Exerccios: Efetue as seguintes operaes: 1. A = (8+7i) + (5-3i) 2. B = (2+3i) - (8-6i)

Multiplicao de nmeros complexos Sejam os nmeros complexos z = a+bi e w = c+di. Definimos a multiplicao entre os nmeros complexos z e w, como z.w = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i Exerccio: Efetue as seguintes operaes: 1. 2. 3. 4. A = (5-4i).(7-3i) B = (7-2i) - 2i(5-i) C = (1+i/5).(-8/3+6i) D = (1+i3)

O conjugado de um nmero complexo O conjugado de um nmero complexo z = a+bi definido como o nmero complexo = a - bi.

Propriedades gerais do conjugado: a. O conjugado do conjugado de z igual a z. b. O conjugado da soma de dois nmeros complexos igual soma dos conjugados desses nmeros. c. O conjugado do produto de dois nmeros complexos igual ao produto dos conjugados desses nmeros. d. Se z for um nmero real, o conjugado de z o prprio z. e. Re(z)=[z+ ]/2 e Im(z)=[z- ]/2 As demonstraes devem ser realizadas pelo interessado.

Exerccios: Obter o conjugado de cada um dos nmeros complexos: 1. Z = 2i - (5-i) 2. W = (3-2i) - (1+i)(1-i)i

Diviso de nmeros complexos Sejam os nmeros complexos z = a+bi e w = c+di. Definimos a diviso entre z e w, como

Muitas vezes usaremos a notao mais simples z/w para representar a diviso de z por w. Exerccio: Escreva na forma z = a+bi, cada uma das expresses abaixo: 1. Z = 1/i 2. Z =(9-7i)/(1-5i) 3. Z =(1+i)/(1-i)

4. Z =1/(5+2i) 5. Z = (i/1+i)5 6. Z = (-2+3i)/(1+i2)

Valor absoluto de um nmero complexo O mdulo ou valor absoluto de um nmero complexo z=a+bi definido com sendo o nmero real no negativo

Propriedades gerais do Valor absoluto: Se z e w so nmeros complexos, ento: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. |z| = |-z| = | | |z| > 0 |z| = 0 se, e somente se, z=0 |z.w| = |z|.|w| |z/w| = |z|/|w| se w # 0 z. = |z| |z+w| < |z|+|w|, (des.triangular) |z-w| < |z|+|w|, (des.triangular) |z|-|w| < |z-w|, (des.triangular) |Re(z)| < |z| |Im(z)| < |z|

Exerccio: Determinar o valor da expresso z = |3u-4v| sabendose que u = 2+i e v = 3-2i.

O plano complexo Podemos interpretar os nmeros complexos como sendo pontos do plano cartesiano. Um nmero complexo z = a+bi pode ser representado pelo par ordenado (a,b) de nmeros reais, portanto corresponde a um ponto P do plano cartesiano R com coordenadas a e b. Exemplos 1. 2. 3. 4. z = 2+2i representado pelo ponto (2,2) z = -2+2i representado pelo ponto (-2,2) z = 3-2i representado pelo ponto (3,-2) z = -2-3i representado pelo ponto (-2,-3)

Estes nmeros esto representados no grfico:

Interpretao vetorial dos nmeros complexos Um nmero complexo z = a+bi pode ser considerado como um vetor OP onde a origem deste vetor a origem do plano cartesiano O = (0,0) e a extremidade o ponto P = (a,b), desse modo o vetor tem coordenadas a e b.

As regras do paralelogramo para a soma e subtrao de vetores tambm se aplicam para soma e subtrao de nmeros complexos.

Exerccios: 1. Efetuar as operaes indicadas analtica e graficamente. a) z =(2+4i)+(3+2i) b) w = (3-2i)-(3+4i) 2. Se u e v so nmeros complexos, construa graficamente os nmeros complexos z e w abaixo: (a) z = 3u-3v (b) w = v/2+u/3 Forma polar dos nmeros complexos Dado um nmero complexo no nulo z = a+bi, considere sua representao geomtrica.

O argumento de z o ngulo t formado entre o vetor OZ e o eixo OX e o mdulo de z a distncia entre o nmero z e a origem do sistema cartesiano. Logo: a = rcos(t) e b = r sen(t)

onde r = |z| = (a+b)1/2 e podemos escrever: z = a+bi = r[cos(t) + i sen(t)] Esta a representao polar do nmero complexo z, onde r e t so suas coordenadas polares. Tambm so usuais as notaes

r cis(t) = r[cos(t) + isen(t)] = r Exerccio: Para cada nmero complexo apresentado, escreva a sua forma polar e represente este nmero geometricamente. 1. 2. 3. 4. 5. 6. z = 2+2i3 z = -6-i2 z = 1+i z = -1-i(3) z = (-i/1-i)5 z = (-5/3-i)

Frmula de De Moivre Sejam z1 e z2 nmeros complexos, tal que z1 = r1[cos(t1) + i.sen(t1)] e z2 = r2[cos(t2) + i. sen(t2)]. Multiplicando estes nmeros complexos, obtemos: z1 = r1 r2[cos(t1)+isen(t1)][cos(t2) + i sen(t2)] z2 r r2[cos(t1) cos(t2) - sen(t1)sen(t2)] = 1 i(sen(t1)cos(t2)+cos(t1) sen(t2)] = r1 r2[cos(t1+t2) + i sen(t1+t2)]

+

r1

r2

Conclumos que para multiplicar dois nmeros complexos em suas formas trigonomtricas, basta multiplicar os seus mdulos e somar os seus argumentos. z1 z2 = r1 r2 [cos(t1+t2) + i sen(t1+t2)] Vale um resultado anlogo para a diviso de nmeros complexos: z1 r1 = [cos(t1 - t2) + i sen(t1 - t2)] z2 r2

Para dividir dois nmeros complexos na forma trigonomtrica devemos realizar o quociente de seus mdulos e a diferena dos seus argumentos. Se zj = rj[cos(tj) + isen(tj)], para j = 1,2,...,n, ento, temos uma generalizao do fato acima: z1.z2...zn = r1 r2 rn[cos(t1+t2 + +tn) + isen(t1+t2 + +tn)] Se z1 = z2 =...= zn e r = 1, temos a Frmula de De Moivre: [cos(t) + i sen(t)]n = cos(nt) + i sen(nt)

Exerccio: Demonstrar as seguintes identidades trigonomtricas: 1. sen(3t)=3 sen(t)-4 sin(t) 2. cos(3t) =4 cos(t)-3cos(t)

Exerccio: Efetuar cada uma das operaes indicadas: 1. 2. 3. 4. z1 = [4(cos(40) + isen(40)].[5(cos(80) + isen(80)] z2 = [5.cis(20)][3.cis(40)] z3 = [2.cis(50)]6 z4 = [8.cis(40)][2.cis(60)]4

Razes n-simas de nmeros complexos Um nmero complexo p um zero (ou raiz) de uma funo complexa f(z) = 0 se f(p) = 0. Um nmero w uma raiz n-sima de um nmero complexo z, se wn = z. A raiz n-sima pode ser denotada por: w= =z1/n

Consideremos os nmeros complexos z e w na forma polar: z = r [cos(t) + i sen(t)] w = R [cos(u) + i sen(u)] Se wn=z, ento usando a frmula de De Moivre, obtemos: Rn [cos(nu) + i sen(nu)] = r [cos(t) + isen(t)] Igualando as partes reais e as partes imaginrias, teremos Rn cos(nu) = r cos(t) Rn sen(nu) = r sen(t) Dessa forma, para todo k inteiro no negativo, temos Rn = r nu = t + 2k Assim, wk indicar a k-sima raiz por:

Se k>n, as razes se repetem e basta tomar k=0,1,...,n-1 para esta frmula produzir n razes distintas do nmero complexo z.

Exemplo 1: As razes cbicas de 8i podem ser obtidas da seguinte forma. Se z=0+8i, ento |z|=8 e t= /2. Logo: r1/3 = 81/3 = 2 Os argumentos so t0=(t+0 )/3= /6, t1=(t+2 )/3=5 /6, t2=(t+4 )/3=3 /2

Assim, as razes cbicas de 8i so: w0=2[cos(1 /6) + i.sen(1 /6)]= +i, w1=2[cos(5 /6) + i.sen(5 /6)]=- +i, w2=2[cos(3 /2) + i.sen(3 /2)] = -2i

As n razes de um nmero complexo z pertencem a uma circunferncia com o centro na origem e raio igual a |z|1/n, esses nmeros dividem esta circunferncia em n partes iguais. As razes cbicas de 8i esto representadas na figura.

Exemplo 2: Para resolver a equao complexa z6-1=0, basta obter as 6 razes complexas da unidade, ou seja, obter w tal que w 6=1. Basta ento obter w=11/6=1. Tomaremos z=1, r=1, t=arg(1)=0 e r1/6=11/6=1. Os argumentos das razes so: t0=t/6=0, t1=1 /3, t2=2 /3, t3=3 /3, t4=4 /3, t5=5 /3 Portanto, as razes de z6=1, so: w0 = cos(0 w1 = cos(1 w2 = cos(2 w3 = cos(3 w4 = cos(4 w5 = cos(5 /3) + i sen(0 /3) + i sen(1 /3) + i sen(2 /3) + i sen(3 /3) + i sen(4 /3) + i sen(5 /3) = 1 /3) = 1/2 +i 3/2 /3) = -1/2 + i 3/2 /3) = -1 /3) = -1/2 - i 3/2 /3) = 1/2 - i 3/2

As razes de z6=1 esto representadas na figura abaixo.

Exerccio: Obter as razes das equaes abaixo no conjunto dos nmeros complexos e construir os grficos correspondentes. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. z1/4=1 z1/4=-1 z=-1 z=3 z+z+1=0 z-i=0 z+27i=0 z+(2i-3)z+5-i=0 (1+3i)z+4=0

Frmula de Euler Consideremos os desenvolvimentos em sries de potncias das funes reais: exponencial, cosseno e seno. exp(x)=ex = x x x4 x5 = 1 + x + + + + +... n! 2! 3! 4! 5! n 2n (-1) x x x4 x6 = 1 - + - +... (2n)! 2! 4! 6! (-1)nx(2n+1) x x5 x7 = x - + - +... (2n+1)! 3! 5! 7! xn

cos(x) =

sen(x) =

Estudamos no curso de Clculo de funes reais, que estas frmulas so vlidas para todo x real. Vamos admitir (de modo prematuro) que o desenvolvimento em srie de potncias de exp(x)=ex tambm seja vlido para nmeros complexos, isto , que seja possvel realizar o mesmo desenvolvimento para exp(z)=ez, mas tomaremos um caso particular em que a parte real do nmero complexo seja nula.

Assim, tomando z=0+iy=iy com y real, poderemos escrever: (iy) eiy = 1 + iy + 2! y = 1 + iy 2! (iy) (iy)4 (iy)5 (iy)6 + + + + +... 3! 4! 5! 6! 4 5 y y y y6 -i + +i +... 3! 4! 5! 6!

Um estudo mais detalhado sobre sries absolutamente convergentes ser realizado em um captulo posterior. Tendo em vista que uma srie absolutamente convergente, permite rearranjar os termos da srie, separaremos a parte real desta srie de sua parte imaginria. y y4 y6 y y5 y7 eiy = (1 - + - +...) + i( y - + - +...) 2! 4! 6! 3! 5! 7! Comparando com as sries de potncias das funes cosseno e seno, temos: eiy = cos(y) + i sen(y)

A funo exponencial complexa Baseado no que foi discutido acima, definimos a funo exponencial de um nmero complexo z=x+iy, como: exp(z) = ez = ex+iy = exeiy = ex[cos(y)+i.sen(y)]

Propriedades da exponencial complexa: Quaisquer que sejam os nmeros complexos z e w, valem as seguintes propriedades: 1. 2. 3. 4. 5. 6. ez.ew=ez+w e-z=1/ez [ez]n=enz (n inteiro) ez#0 |ez|=eRe(z) ez=1 se, e somente se, z=2k i, onde k um nmero inteiro.

Notao compacta de um nmero complexo: A partir da definio de exponencial de um nmero complexo z, podemos escrev-lo na forma polar com a notao compacta z=r.ei.t, onde r=|z| e t o argumento de z.

Exemplo: O nmero complexo z=-1+i3 tem mdulo |z|=2 e argumento t=2 /3, logo z=2e2 i/3.

Observao: Existe uma conexo entre a exponencial, o cosseno e o seno: cos(t)=[eit+e-it]/2 e sen(t)=[eit-e-it]/(2i)

Exerccios: Escrever cada um dos nmeros complexos na forma z=r.eit. 1. 2. 3. 4. 5. 6. z=2-2i z=22+22i z=-i z=-1-i3 z=-5 z=-3-4i

Equaes paramtricas de curvas no plano complexo Um meio eficiente de estudar curvas no plano complexo atravs de equaes paramtricas. As coordenadas dos pontos da curva so dadas como funes x=x(t) e y=y(t) de uma varivel real t em [a,b], que denominada parmetro. A curva orientada no sentido em que o parmetro t cresce, para a