Oscilações

INTRODUÇÃO

Neste material vamos aprender mais sobre oscilações, envolvendo osciladores harmônicos, energia e

movimento, pêndulos, movimento harmônico amortecido,oscilações forçadas e ressonância.

1 CONCEITOS INICIAIS DE LIMITES

Na física, oscilador harmônico é a denominação dada a qualquer sistema que representa um movimento

harmônico (simples ou complexo) de oscilação (vai e vem).

Um exemplo de Oscilador harmônico é o pêndulo simples, que realiza movimento harmônico simples.

Vamos falar inicialmente sobre o Movimento Harmônico Simples(MHS).

2 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

Um MHS é um movimento que é gerado por uma força restauradora . Esta força é definida por:

Sendo k uma constante e x o deslocamento gerado pela força

Da segunda lei de Newton, temos:

Sendo a a segunda derivada de x em função do tempo, temos:

Dividindo ambos os lados por m, temos:

Todo MHS obedece esta EDO.

Sempre que for preciso provar

que um movimento é MHS,

basta encontrar esta EDO.

Resolvendo esta EDO, encontramos:

Temos também que

(De (I))

Logo:

Substituindo na relação anterior, temos:

Com esta equação podemos calcular a posição final de um sistema em função do tempo t. Outra

fórmula de calcular a posição em função do tempo é:

Sendo A amplitude atingida pelo MHS e ф a fase (ponto em que o ciclo está em t=0).

Para determinar a velocidade e aceleração, basta derivar em função do tempo, uma e duas vezes

respectivamente:

Também temos que a fase pode ser calculada por

Como a velocidade angular ou frequência angular, pelo conceito, é “o quão rápido o movimento faz uma

rotação de 2 ”, temos:

Sendo T o período (tempo que um movimento faz um ciclo completo e volta a posição inicial).

Aplicando a equação II em III, temos:

Com essa equação podemos resolver grande parte, das questões que envolvem período no MHS.

Exemplo 1: Uma partícula de massa m parte do repouso em x = +25cm e oscila em torno da posição de

equilíbrio em x = 0, com o período de 1,5s. Determine as equações:

A) da posição x em função do tempo t.

B) da velocidade v em função de t.

C) da aceleração a em função de t.

Resposta:

A) Da função horária do MHS, temos:

Para encontrar a fase ф,utilizamos t=0.

Para encontrar o w, podemos utilizar a relação

A função horária deste MHS fica: x(t) = 0,25cos

B)Derivando encontramos a velocidade, que é dada por:

C)Derivando mais uma vez encontramos a aceleração, que é dada por:

3 ENERGIA DO MHS

Temos, pela energia mecânica, no exemplo da mola, o seguinte:

Encontramos, com algumas manipulações algébricas, que:

A Energia Mecânica é sempre conservada no MHS.

Gráfico da Energia em função da posição

Temos, pela energia mecânica, no exemplo do pêndulo simples, o seguinte:

Por trigonometria, temos

Neste caso a Energia Mecânica é dada por:

Exemplo 1: Qual a amplitude do movimento de um bloco preso a uma mola com velocidade

angular w, que quando passa no ponto x tem velocidade v?

Resposta:

Pela conservação da energia mecânica no MHS, temos:

Como ele não nos informa a massa, podemos utilizar a relação:

Exemplo 2:Em qual posição um MHS de amplitude A tem sua energia cinética igual a potencial?

Resposta:

Sendo

4 SITUAÇÕES EM QUE OCORRE UM MHS

Molas em Paralelo:

Sendo um sistema ligado por duas ou mais molas como nas figuras abaixo, podemos calcular sua

constante elástica resultante por:

Logo, o período é dado por:

Molas em série:

Sendo duas ou mais molas ligadas como na figura abaixo, podemos calcular a constante elástica

resultante por:

Logo, o período se oscilação deste sistema é dado por:

Mola na vertical:

Neste caso temos a posição de equilíbrio deslocado ( em relação a posição que seria se fosse só a

mola) em:

Pela 2ª Lei de Newton, temos:

Logo, a posição de equilíbrio é dada por:

E a sua equação horária é dada por:

E o seu período é igual no caso da mola horizontal:

Pêndulo Simples:

Temos, pela 2ª Lei de Newton:

Logo, o período em um pêndulo simples é dado por:

Pêndulo Físico:

Um pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito, em contraste

com o modelo do pêndulo simples, que usa corpo com massa concentrada em um único ponto.

Utilizando a 2ª Lei de Newton para corpos rígidos, temos:

Para pequenos ângulos, podemos fazer a seguinte aproximação:

Logo, temos:

Sendo I o momento de inércia da barra e a aceleração angular.

Logo, temos:

Com esta equação de MHS, encontramos:

O período pode ser calculado por:

Sendo I o momento de inércia da barra, m sua massa, d a aceleração da gravidade e d a distância do ponto de rotação ao centro de

massa.

Casos diversos:

Para resolver qualquer questão de MHS, devemos, antes de tudo, identificar se o sistema é mesmo

um MHS, encontrando, a partir das relações dadas, a EDO . Para chegar nesta relação,

utilize a Segunda Lei de Newton para partícula, ou para corpo rígido.

Encontrada a EDO,pode-se determinar o valor de w,que podemos utiliza-la para encontrar o

período pela relação

.

Outra forma de encontrar o período é , para partículas, ao fazer a segunda Lei de Newton, igualar

, que , encontrando o valor de k, podemos aplicá-lo na fórmula do período

.

Tendo a velocidade angular, podemos calcular a amplitude do MHS também sabendo sua posição

inicial, ou posição em um tempo qualquer , pela relação:

Exemplo 1:

(IME) Considere um túnel retilíneo que atravesse um planeta esférico ao longo do seu diâmetro. O

tempo que um ponto material abandonado sobre uma das extremidades do túnel leva para atingir a

outra extremidade é?

Dados:

• constante de gravitação universal: G;

• massa específica do planeta: ρ.

•

• Massa da Terra M e d distância do ponto ao centro

da terra.

Resposta:

Sabemos que quanto mais próximo do centro da terra, maior a gravidade. Ao cair no buraco, se fosse

possível, o ponto material teria velocidade máxima, e na extremidade oposta teria velocidade nula,

voltando a fazer o mesmo movimento, caracterizando um MHS.

Temos, pela 2ª Lei de Newton:

Sendo x = R( Raio da Terra)

Mas como o enunciado nos informa a massa específica ρ, temos:

Substituindo na equação anterior, temos:

Como o período (tempo de ida e volta) p0ode ser calculado por

, temos que ele atravessaria

a Terra em metade de um período, logo t=

Exemplo 2:

(Irodov-Traduzido) Determine o período de oscilação de um líquido de massa m e densidade d

colocado dentro de um tubo de área transversal S (figura abaixo). O ângulo de inclinação do lado direito

é θ.

Resposta:

Após deslocar x para baixo (lado esquerdo), encontramos o seguinte sistema:

Após o líquido deslocado para baixo em x do lado esquerdo, no lado direito temos, para cima

Pela figura abaixo vemos que a única força restauradora é o = Pcos(θ)

Logo, temos:

Logo:

Então:

5 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS

Temos uma oscilação amortecida (MHA), oscilações não ideais, ou seja, oscilações com presença de

atrito, resistência do ar, entre outros fatores que impossibilitam uma oscilação de ser um MHS por causa

da dissipação de energia causada por essas forças resistivas.

Sabe-se que forças resistivas são proporcionais à velocidade. Temos:

Pela Segunda Lei de Newton, temos:

Logo:

Resolvendo esta EDO homogênea,temos:

Dependendo do valor de

podemos ter 3 casos de oscilações amortecidas, são eles:

Superamortecido:

Acontece se

EDO de uma Oscilação

Amortecida.

A função horária desta oscilação passa a ser:

O gráfico deste tipo de oscilação é :

É interessante notar que para , ou seja, o sistema tende a permanecer em repouso

na posição de equilíbrio após um tempo suficientemente grande. Além disso, o sistema nem sequer

chega a oscilar, ou seja, é um caso de amortecimento elevado.

Subamortecido:

Acontece se

Resolvendo a EDO do MHA, temos:

Sendo a amplitude inicial da oscilação.

Logo,o gráfico da oscilação subamortecido é:

Percebemos que, neste caso temos oscilações que diminuem de amplitude em função do tempo, e tendem a permanecer no ponto de equilíbrio (x=0) após certo tempo de oscilação.

A curva tracejada é chamada de envoltória, e é justamente dada por:

Além disso, temos o conceito de Qualidade do Oscilador que é dado por:

Crítico:

Acontece se

ou seja, se

Resolvendo a EDO, encontramos a função horária:

Logo, esta solução (em geral) decai mais rapidamente (para em tempos grandes) que a solução supercrítica.

O gráfico com a comparação das MHAs é:

Esta oscilação, após grande período de oscilação, permanecerá parada no ponto x=0, e chegará neste estado mais rápido que o supercrítico.

6 OSCILAÇÕES FORÇADAS

Imagine que você esteja empurrando uma criança para ela oscilar num balanço de um parque de diversões. O movimento do balanço é um movimento harmônico amortecido subcrítico, por causa da resistência do ar.Para impedir o término das oscilações do balanço, é necessário que você dê novos impulsos no balanço. Pois bem, o movimento resultante da ação permanente da força externa sobre o balanço denomina-se movimento harmônico forçado quando a força externa atua periodicamente sobre o balanço. Se a força externa não atua periodicamente no sistema oscilante, dizemos que se trata apenas de um movimento oscilatório forçado (não necessariamente harmônico). Podemos generalizar esta situação e afirmar que todo movimento harmônico forçado é aquele que necessita de uma excitação externa periódica para compensar a perda de energia existente no movimento amortecido.

#Fikadik A frequência das oscilações de um movimento harmônico forçado é igual à própria frequência da excitação que atua para forçar o movimento.

Sendo a força externa que gera a oscilação forçada e a frequência angular (ou velocidade

angular) ,temos que:

Supondo que a partícula está submetida a uma ação de uma força elástica e a uma força

de amortecimento

Logo, a 2ª Lei de Newton do movimento será:

Com nossa intuição física, é fácil de observar que o corpo não oscilará com sua velocidade angular

do movimento harmônico, nem com a frequência amortecida

, mas sim com frequência

angular da força aplicada.

Temos a função horária para as oscilações forças:

Logo, a amplitude A tem a forma:

E a fase inicial é dada por:

Nota-se que nem a amplitude nem a fase são constantes arbitrárias, mas sim quantidades fixas que dependem da velocidade angular . Como a força aplicada supera as forças de amortecimento, ela dá energia suficiente para manter a amplitude das oscilações.

A amplitude tem um máximo quando é mínimo.Quando a frequência angular da fonte de energia externa (força externa) se torna igual a dizemos que o sistema entra em ressonância.É importante que durante a ressonância de um sistema as amplitudes das oscilações se somam, podendo-se obter uma amplitude resultante extremamente elevada. Se a força resultante no interior do material superar o limite de elasticidade do material, poderá ocorrer a ruptura do sistema.

EDO característica de uma

oscilação forçada. Note

que é uma EDO de

segunda ordem não

homogênea.

O gráfico demonstra a ressonância em uma oscilação forçada amortecida, mostrando que, a amplitude é máxima em

e em frequências angulares

a amplitude A é igual a

.

O gráfico demonstra a ressonância em uma oscilação forçada mas não amortecida.

Exercícios:

1) (Adir Moysés-Modificada)A velocidade, a aceleração e a energia cinética que executa um MHS tem, nos extremos do percurso, um módulo que:

a)São zero nos três.

b)São máximo nos três.

c)São zero a velocidade e a energia cinética e é máxima a aceleração.

d)São mínimo nos três.

2) (Adir Moysés)A constante de uma certa mola que oscila junto com um corpo apoiado sobre uma mesa horizontal sem atrito vale k=5,0N/m. A amplitude deste MHS vale A=0,06m. Calcule a energia mecânica do sistema.

3) (Adir Moysés) Um sistema massa-mola produz um MHS com amplitude de 2cm e com período de 0,4s.Qual a função horária da oscilação?

4) (Adir Moysés) Um líquido sem viscosidade executa um MHS no interior de um tubo em forma de U. O comprimento total da coluna de líquido vale L. Considere a gravidade g. Determine a frequência angular das oscilações deste MHS.

5) (Compendio Académico de Física-Traduzido)Um bloco pequeno de 0,5kg experimenta um MHS com 2s de período.Determine o valor de sua aceleração quando se encontra a 10cm de sua posição de equilíbrio.

6) ( Compendio Académico de Física-Traduzido)Determine o período para pequenas oscilações para a combinação de pêndulo e molas abaixo:

7) ( Compendio Académico de Física-Traduzido)A equação do movimento de um bloco pequeno que

realiza um MHS é x(t)=50sen(

) onde x está em centímetros e t em segundos.Determine a

velocidade do bloco em x=30cm.

8) (UFRJ-2013.1) 9) (UFRJ-2013.1)

10) (UFRJ-2013.2) Um avião está voando em trajetória retilínea a uma altitude constante. De repente, ele é atingido por uma rajada de vento que faz força sobre sua parte frontal. O nariz do avião começa a oscilar por um dado período de tempo, assustando os passageiros, mas aos poucos a oscilação cessa e o avião volta a sua posição de equilíbrio. A situação apresentada representa:

a) Um MHS.

b)Uma oscilação amortecida em regime sub-crítico.

c) Uma oscilação amortecida em regime super-crítico.

d)Uma oscilação amortecida em regime crítico.

e) O avião entra em ressonância com o vento.

11) [IEF-ITA]Um bloco de 10,0kg esta suspenso por uma corda enrolada em torno de um disco de 5,00kg. Se a mola tem uma rigidez k = 200 N/m, determine o período natural de vibração do sistema.

12) [IEF-ITA]Qual o período para pequenas oscilações de um sistema com uma barra homogênea horizontal de comprimento L que está equilibrada sobre a metade de um cilindro de raio R como na figura abaixo?

Gabarito:

1)C 2)0,009J 3)x(t)=0,02sen( ) 4)

5)

6)

7)20 8)d 9)c 10)B

11)1,57s 12)

Bons Estudos!!

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