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  • Osciladores lineares contnuos Apontamentos da Disciplina de Dinmica e Engenharia Ssmica

    Mestrado em Engenharia de Estruturas

    Instituto Superior Tcnico

    Lus Guerreiro

    Maro de 1999

  • Osciladores Lineares Contnuos

    Dinmica e Engenharia Ssmica, IST, 1999 1

    Osciladores lineares contnuos

    1. Introduo

    A anlise dinmica de estruturas normalmente realizada com base em modelos discretos. Estes modelos, que apresentam a grande vantagem de permitir realizar a anlise com base num nmero limitado de variveis, conduzem sempre a solues aproximadas por mais refinado que o modelo seja, pois estaremos sempre a representar uma realidade continua atravs coordenadas discretas.

    Uma alternativa possvel a representao da realidade atravs de modelos com infinitos graus de liberdade ou seja atravs de modelos contnuos. A formulao necessria anlise de modelos contnuos pode ser obtida a partir do estabelecimento das equaes de equilbrio duma poro infinitesimal do oscilador. Desta forma so estabelecidas as equaes diferenciais de equilbrio, atravs das quais se podem obter as frequncias e as configuraes modais dos infinitos modos de vibrao do oscilador.

    Nesta seco so analisados essencialmente trs problemas: a vibrao longitudinal de barras; a vibrao transversal de barras e a vibrao de lajes.

    2. Vibrao longitudinal de barras

    Considere-se uma barra com alinhamento recto, de seco A(x), densidade de massa e mdulo de elasticidade E. Se se admitir que N o esforo axial que actua uma seco transversal genrica da barra recta e que u representa o deslocamento dessa seco ao longo do alinhamento da barra, ento pode-se estabelecer a equao de equilbrio de foras segundo este alinhamento. Na figura 1 esto representadas as foras envolvidas no equilbrio duma poro infinitesimal da barra.

    Figura 1 Equilbrio de um elemento infinitesimal de barra.

    N(x,t) N(x,t)+ N(x,t)

    x dx

    u(x,t)+ u(x,t)

    x dx u(x,t)

    m(x) 2 u(x,t)

    t2 dx

    dx X

  • Osciladores Lineares Contnuos

    Dinmica e Engenharia Ssmica, IST, 1999 2

    - N(x,t) - m(x) 2 u(x,t)

    t2 dx + N(x,t) + N(x,t)

    x dx = 0 (1)

    u(x,t) - deslocamento ao longo do eixo X; N(x,t) - esforo axial; m(x) - massa na seco x [m(x) = A(x)];

    m(x) 2 u(x,t)

    t2 - fora de inrcia.

    Simplificando a equao e introduzindo a relao fora-deformao expressa na equao (2) obtem-se uma nova representao da equao de equilbrio.

    N(x,t) = E A(x) u(x,t)

    x (2)

    N(x,t) x =

    x [ EA(x)

    u(x,t) x ] (3)

    - m(x) 2 u(x,t)

    t2 +

    x [ EA(x) u(x,t)

    x ] = 0 (4)

    Uma forma simples de resoluo da equao de equilbrio (4) e que permite determinar as frequncias e os modos de vibrao, passa pela separao da varivel u(x,t) em duas componentes, representando uma delas a configurao deformada e a outra a variao no tempo que se admite harmnica.

    u(x,t) = u_(x) Y(t) (5)

    Y(t) = sen(p t) (6)

    Y.(t) = p cos(p t) (7)

    Y..

    (t) = - p2 sen(p t) = - p2 Y(t) (8)

    2 u(x,t) t2 = u

    _(x) Y

    ..(t) = - u

    _(x) p2 Y(t) (9)

    u(x,t) x = u

    _(x) Y(t) (10)

    m(x) u_(x) p2 Y(t) +

    x [ EA(x) u

    _(x) Y(t)] = 0 (11)

    Se se resumir o problema anlise da vibrao longitudinal de barras uniformes (barras com densidade e caractersticas mecnicas constantes ao longo do eixo) e com seco transversal constante, ento a equao (11) toma a seguinte forma:

    m u_(x) p2 Y(t) + EA u

    _(x) Y(t) = 0 (12)

  • Osciladores Lineares Contnuos

    Dinmica e Engenharia Ssmica, IST, 1999 3

    Eliminando a varivel Y(t) da equao (12) obtem-se uma nova equao, s dependente da varivel que representa a configurao deformada da estrutura.

    m u_(x) p2 + EA u

    _(x) = 0 (13)

    u_(x) +

    m p2

    EA u_(x) = 0 (14)

    Se tivermos em considerao que a velocidade de propagao de ondas elsticas em barras uniformes traduzida pela equao (15) [Clough e Penzien, 1993], pode-se escrever a equao (14) em funo deste novo parmetro.

    co = EAm (15)

    u_(x) +

    p

    co

    2

    u_(x) = 0 (16)

    Esta equao traduz um problema de valores e vectores prprios com a seguinte soluo geral:

    u_(x) = A sen

    p

    co x + B cos

    p

    co x (17)

    Na equao (17) as constantes A e B dependem das condies de fronteira. A ttulo de exemplo comecemos por resolver o problema em que ambas as extremidades so fixas. Posteriormente sero abordadas outras situaes mas de forma abreviada.

    Barra com ambas extremidades fixas

    Condies de fronteira para ambas extremidades fixas:

    1) u_(0) = 0

    2) u_(L) = 0

    Soluo geral: u_(x) = A sen

    p

    co x + B cos

    p

    co x

    Substituindo nas condies de fronteira:

    1) u_(0) = 0 B = 0

    2) u_(L) = 0 A = 0 sen

    p

    co x = 0

    Se A e B forem simultaneamente nulos seremos conduzidos soluo trivial, pelo que interessa reter a condio que anula a funo seno, ous seja:

    pco

    L = n pco

    = n L

    A soluo ter ento a seguinte forma:

    u_(x) = A sen

    n

    L x

  • Osciladores Lineares Contnuos

    Dinmica e Engenharia Ssmica, IST, 1999 4

    A equao soluo obtida representa o conjunto de modos de vibrao longitudinais de uma barra uniforme com alinhamento recto e com ambas as extremidades fixas. Como acontece sempre que se resolve um problema de valores e vectores prprios, as configuraes do modos (vectores prprios) esto definidos a menos de uma constante. Esta constante pode ser definida atravs de uma qualquer condio imposta como por exemplo definir que a mxima amplitude deve ter valor unitrio. semelhana do que se faz frequentemente quando se trabalha com sistemas discretos, tambm nos sistemas contnuos possvel normalizar os modos de vibrao em relao massa. Neste caso a expresso a utilizar tomar a seguinte forma:

    0

    L

    m [z(x)]2 dx = 1 (18)

    z(x) configurao normalizada dos modos

    Aplicando esta regra de normalizao ao modos de vibrao representados atravs da soluo indicada, obtem-se a seguinte representao modal:

    z(x) = 2

    mL sen

    n

    L x (19)

    No Quadro 1 esto indicadas, alm da equao caracterstica que representa o problema das vibraes longitudinais de barras uniformes de seco constante, as solues para vrias condies de apoio.

    possvel demonstrar que os modos de vibrao obtidos apresentam relaes de ortogonalidade equivalentes s apresentadas pelos modos de vibrao em modelos discretos. Para o caso dos osciladores contnuos a condio de ortogonalidade em relao massa representada atravs da seguinte expresso:

    0

    L

    m u_

    n(x) u_

    m(x) dx = 0 m n (20)

    Recorrendo ao teorema de reciprocidade de Betti pode-se afirmar que o trabalho das foras de inrcia fIn, calculadas com base no modo n, na deformao correspondente ao modo m igual ao trabalho das foras de inrcia fIm na deformao do modo n:

    0

    L

    fIn(x,t) um(x,t) dx = 0

    L

    fIm(x,t) un(x,t) dx (21)

    fIn(x,t) = m(x) 2 un(x,t)

    t2 (fora de inrcia) (22)

    un(x,t) = u_

    n(x) Yn(t) (com Yn(t) = An sen (pn t)) (23)

    Substituindo na equao (21) a definio de fora de inrcia traduzida pela relao (22) e fazendo a separao de variveis indicada em (23), temos:

  • Osciladores Lineares Contnuos

    Dinmica e Engenharia Ssmica, IST, 1999 5

    Yn(t) Ym(t) p2n

    0

    L

    m u_

    n(x) u_

    m(x) dx = Yn(t) Ym(t) p2m

    0

    L

    m u_

    n(x) u_

    m(x) dx (24)

    Eliminando a varivel dependente do tempo e agrupando os termos da equao de outro modo, obtem-se:

    (p2n - p2m)

    0

    L

    m u_

    n(x) u_

    m(x) dx = 0 (25)

    Como, para modos diferentes temos frequncias diferentes, para que a igualdade se verifique necessrio que o integral indicado se anule. Desta forma se traduz a condio de ortogonalidade dos modos de vibrao em relao massa.

    No caso do integral atrs indicado envolver o mesmo modo, ou seja, na hiptese de m ser igual a n, ento define-se a seguinte grandeza:

    0

    L

    m u_

    n(x) u_

    n(x) dx = Mn (26)

    Existe tambm, semelhana do que acontece com osciladores discretos, ou descontnuos, uma segunda condio de ortogonalidade, envolvendo a rigidez da estrutura. Comecemos por considerar a equao de equilbrio dinmico representada em (4).

    - m(x) 2 u(x,t)

    t2 +

    x [ EA(x) u(x,t)

    x ] = 0 (4)

    Se se considerar apenas a contribuio do modo de vibrao n, a equao atrs indicada pode ser apresentada na seguinte forma:

    - m(x) 2 un(x,t)

    t2 +

    x [ EA(x) un(x,t)

    x ] = 0 (27)

    Fazendo a alterao de variveis indicada em (23) e eliminando a varivel que depende do tempo, temos:

    p2n m(x) u_

    n(x) + d

    d x [ EA(x) d un(x)

    d x ] = 0 (28)

    Multiplicando toda a equao pela configurao do modo m, e integrando ao longo do comprimento da barra obtem-se:

    0

    L

    p2n u_

    m(x) m(x) u_

    n(x) dx +0

    L

    u_

    m(x) d

    d x [ EA(x) d un(x)

    d x ] dx = 0 (29)

    Como devido propriedade de ortogonalidade dos modos de vibrao em relao massa o primeiro termo da equao nulo, resta a seguinte igualdade que traduz a segunda condio de ortogonalidade:

  • Osciladores Lineares Contnuos

    Dinmica e Engenharia Ssmica, IST, 1999 6

    0

    L

    u_

    m(x) d

    d x [ EA(x) dun(x)

    dx ] dx = 0 se m n (30)

    Em geral no esta a forma de apresentar esta condio de ortogonalidade. A equao normalmente utilizada para exprimir esta condio pode ser obtida