Oscilação Cinemática em Veículos

Ferroviários (Hunting)

PEF 5916 – Dinâmica e Estabilidade das Estruturas

Debora Naomi Higa

Paulo R. Refachinho de Campos

Maio/2017

2017 Polytechnic School at the University of São Paulo.

Motivação

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Oscilação Cinemática em Veículos Ferroviários (Hunting)

3

Veículos Ferroviários

[1]

[2]

Diferem-se de outros meios de transporte pelo fato de operarem sobre trilhos.

O mecanismo fundamental para guiar esses veículos é a geometria do rodeiro

ferroviário, que conta com rodas cônicas rigidamente conectadas a um eixo.

[4] [4][3]

Tal geometria é benéfica em vários aspectos... No entanto, existe um efeito

indesejado associado:

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Oscilação Cinemática em Veículos Ferroviários (Hunting)

4

A instabilidade causada pelo fenômeno de hunting é um resultado do acoplamento entre deslocamentos lateral

e angular (yaw) e das forças de creep (forças resultantes dos deslizamentos relativos entre roda e trilho).

[5]

[6] [6]

Deslocamento lateral inicial introduz movimento de yaw.

[6]

Yaw induz deslocamentos laterais.

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Objetivo e Metodologia

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Oscilação Cinemática em Veículos Ferroviários (Hunting)

OBJETIVO

Investigar, em nível introdutório, o fenômeno de hunting em veículo ferroviários e apresentardois modelos matemáticos utilizados na representação do problema: as equações de Klingele o as equações de Carter.

METODOLOGIA

I. Estudar as equações de Klingel, assim como as de Carter, entendendo as respostasfornecidas e as limitações de cada modelo.

II. Aplicar os modelos estudados em um caso teórico, com dimensões retiradas daliteratura.

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Modelos Matemáticos: Klingel e Carter

7

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Equações de Klingel (1883)

8

[7]

∆𝑅 = 𝑦𝛾(1)

𝑉 =𝑉𝑙 + 𝑉𝑟2

=𝜔

2𝑅0 + 𝑦𝛾 + 𝑅0 − 𝑦𝛾 = 𝑅0𝜔(6)

𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑡=𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡= ψ𝑉 = ψ𝑅0𝜔(7)

𝑥𝑟 − 𝑥𝑙𝐺

= 𝑡𝑎𝑛ψ = ψ(8)

𝑑

𝑑𝑡

𝑥𝑟 − 𝑥𝑙𝐺

=𝑑ψ

𝑑𝑡→𝑉𝑟 − 𝑉𝑙𝐺

= ψ(9)

ψ =𝑅𝑟 − 𝑅𝑙 𝜔

𝐺=

𝑅0 − 𝑦𝛾 − 𝑅0 + 𝑦𝛾 𝜔

𝐺= −

2𝑦𝛾𝜔

𝐺(10)

𝑦 = ψ𝑅0𝜔(11)

𝑦

𝑅0𝜔= −

2𝑦𝛾𝜔

𝐺→

𝑦

𝑅0𝜔+2𝑦𝛾𝜔

𝐺= 0(12)

𝑦 +2𝑅0𝛾𝜔

2

𝐺𝑦 = 0(13)

−𝐴𝜔𝑛2𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 + 𝐾𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 = 0(17)

𝐾 =2𝑅0𝛾𝜔

2

𝐺(18)

−𝜔𝑛2 + 𝐾 = 0(19)

𝜔𝑛 = 𝐾 =2𝑅0𝛾𝜔

2

𝐺= 𝑅0𝜔

2𝛾

𝑅0𝐺= 𝑉

2𝛾

𝑅0𝐺

𝑇 =2𝜋

𝜔𝑛=2𝜋

𝑉

𝑅0𝐺

2𝛾𝜆 = 𝑉𝑇 = 2𝜋

𝑅0𝐺

2𝛾

(20)

(21) (22)

𝑅𝑙 = 𝑅0 + 𝑦𝛾 𝑅𝑟 = 𝑅0 − 𝑦𝛾(2) (3)

𝑉𝑙 = 𝑅𝑙𝜔 𝑉𝑟 = 𝑅𝑟𝜔(4) (5)𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 𝑦 = 𝐴𝜔𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 𝑦 = −𝐴𝜔𝑛

2𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡(14) (15) (16)

[7]

Dedução puramente

geométrica

Conclusão importante:A frequência da oscilação

aumenta com o aumento

da velocidade!

Equações de Klingel

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Equações de Carter (1916)

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𝑚 𝑦 + 2𝑓22 𝑦

𝑉− ψ + 𝑘𝑦𝑦 = 0(1)

2𝑓11𝛾𝑙𝑦

𝑅𝑜+ 𝐼𝑧 ψ +

2𝑓11𝑙2 ψ

𝑉+ 𝑘ψψ = 0(2)

Além da conicidade da roda, Carter introduziu o conceito

fundamental de creep (inicialmente desprezado por Klingel) no

contexto da dinâmica lateral de veículos ferroviários.

Coeficientes de creep longitudinal e

lateral: 𝑓11 e 𝑓22, respectivamente.

Por conveniência, utiliza-se aqui o

parâmetro 2𝑙 (equivale a 𝐺).

𝑚 e 𝐼𝑧 representam, respectivamente, a

massa e o momento de inércia do rodeiro.

Por fim, 𝑘𝑦 e 𝑘ψ representam as rigidezes

nas direções lateral e de yaw.

Através das equações de Carter é possível prever os

seguintes cenários de Hunting:

[3]

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Aplicação

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Solução

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Características de um rodeiro típico [7]

𝑚 = 1250 𝑘𝑔 𝑅𝑜 = 0.45 𝑚 𝑙 = 0.7452 𝑚𝐼𝑧 = 700 𝑘𝑔.𝑚² 𝛾 = 0.1174𝑓11 = 7.44 𝑀𝑁 𝑘𝑦 = 0.23 𝑀𝑁/𝑚

𝑓22 = 6.79 𝑀𝑁 𝑘ψ = 2.5 𝑀𝑁.𝑚/𝑟𝑎𝑑

Parâmetros de um rodeiro típico foram selecionados na literatura:

Os modelos estudados foram implementados no programa Mathematica® e, no

caso das equações de Carter, a função ParametricNDSolve[ ] foi utilizada para

resolver o sistema [8].

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Solução

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Resumo dos resultados das equações de Klingel:

𝑽 [km/h] 𝝎𝒏 [rad/s] 𝑻 [s] 𝝀 [m]

144 23.7 0.26 10.6

267.3 43.9 0.14 10.6

270 44.4 0.14 10.6

Resumo dos resultados das equações de Carter:

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Solução

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Solução

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Comentários sobre análise da estabilidade do sistema:

A determinação da velocidade crítica, ou seja, aquela a partir da qual o sistema torna-se instável, pode ser

feita através do Primeiro Método de Lyapunov.

𝑚 𝑦 + 2𝑓22 𝑦

𝑉− ψ + 𝑘𝑦𝑦 = 0(1)

2𝑓11𝛾𝑙𝑦

𝑅𝑜+ 𝐼𝑧 ψ +

2𝑓11𝑙2 ψ

𝑉+ 𝑘ψψ = 0(2) ψ = −

1

𝐼𝑧

2𝑓11𝛾𝑙𝑦

𝑅𝑜+2𝑓11𝑙

2 ψ

𝑉+ 𝑘ψψ

𝑦 = −1

𝑚2𝑓22

𝑦

𝑉− ψ + 𝑘𝑦𝑦

Redução

sist. 1ª. ordem

𝑥1 = 𝑦

𝑥2 = ψ

𝑥3 = 𝑦

𝑥4 = ψ

𝑥1 = 𝑥3

𝑥2 = 𝑥4

𝑥3 = 𝑦

𝑥4 = ψ

𝒙 = 𝑨𝒙 →

𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4

=

0 0 1 00 0 0 1

−𝑘𝑦𝑚

2𝑓22𝑚

−2𝑓22𝑚𝑉

0

−2𝑓11𝛾𝑙

𝐼𝑧𝑅𝑜−𝑘ψ

𝐼𝑧0 −

2𝑓11𝑙2

𝐼𝑧𝑉

𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4

Extração dos autovalores de 𝑨:

Se 𝑅𝑒𝑘 < 0, L-Estável

Se 𝑅𝑒𝑘 > 0, L-Instável

Se 𝑅𝑒𝑘 = 0, L-Crítico

Portanto, é possível determinar 𝑉 de tal forma a se

obter uma das condições acima.

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Solução

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OBRIGADO!

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REFERÊNCIAS

[1] Figura retirada de: http://www.goodhopefreight.com/freightimg/freight-train.jpg (10/05/2017)

[2] Figura retirada de: http://static3.businessinsider.com/image/57a4cae68d3eae23650ac95c-1190-625/this-animated-map-shows-how-radically-a-high-speed-train-system-would-improve-travel-in-the-us.jpg (10/05/2017)

[3] Figura retirada de: TOURNAY, H. The Fundamentals of Vehicle/Track Interaction. In: INTERNATIONAL HEAVY HAUL ASSOCIATION Guidelines to Best Practices For Heavy Haul Railway Operations: Management of the Wheel and Rail Interface. Virginia: Simmons-Boardman Books, Inc., 2015. Cap. 1.

[4] Animação retirada de: https://en.wikipedia.org/wiki/Hunting_oscillation (10/05/2017)

[5] Figura retirada de: WICKENS, A. H. A History of Railway Vehicle Dynamics. In: IWNICK, S. Handbook of Railway Vehicle Dynamics. Boca Raton: CRC Press, 2006. Cap. 2.

[6] Figura retirada de: http://the-contact-patch.com/book/rail/r0418-hunting (10/05/2017)

[7] Dados retirados de: WICKENS, A. H. Fundamentals of Rail Vehicle Dynamics: Guidance and Stability. Lisse: Swets & Zeitlinger Publishers, 2005.

[8] Mais informações em: https://reference.wolfram.com/language/tutorial/NDSolveOverview.html

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