MINISTRIO DA EDUCAO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

OTIMIZAO DE ESTRUTURAS UNIFILARES POR PROGRAMAO INTEIRA COM

RESTRIES DE FALHA

por

Adriano Kuckoski

Dissertao para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia

Porto Alegre, Dezembro de 2013

ii

OTIMIZAO DE ESTRUTURAS UNIFILARES POR PROGRAMAO INTEIRA COM

RESTRIES DE FALHA

por

Adriano Kuckoski

Engenheiro Mecnico

Dissertao submetida ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica, da

Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos

necessrios para a obteno do Ttulo de

Mestre em Engenharia

rea de Concentrao: Mecnica dos Slidos

Orientador: Prof. Jun S. Ono Fonseca, Ph.D

Comisso de Avaliao:

Prof. Dr. Rogrio Marczak, PROMEC / UFRGS

Prof. Dr. Igncio Iturrioz, PROMEC / UFRGS

Prof. Dr. Carlos Eduardo Marcos Guilherme, FURG

Prof. Dr. Rogrio Marczak

Coordenador do PROMEC

Porto Alegre, 10 dezembro de 2013

iii

A simplicidade o ltimo grau de sofisticao

Leonardo da Vinci

iv

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador Prof. Dr. Jun S. Ono Fonseca pelo apoio e incentivo para o

desenvolvimento deste trabalho.

Aos meus irmos Eliane, Alceu e Elaine Kuckoski pelo companheirismo para vencer as

batalhas da vida.

Em especial a minha esposa, Enf. Milene Castro pela pacincia, carinho e dedicao

nesta longa caminhada.

v

RESUMO

O contedo deste trabalho trata da formulao para soluo do problema de otimizao

estrutural com minimizao de massa em estruturas unifilares, sujeitas a restrio de tenso,

flambagem das barras isoladas e fadiga. So considerados trs casos de otimizao:

paramtrica, de forma e dimensional. Os problemas de singularidades nas restries de tenso

e flambagem so evitados atravs de uma formulao que faz uso de programao inteira para

soluo do problema. Outra singularidade encontrada na otimizao topolgica a

singularidade na matriz de rigidez da estrutura. Este problema foi evitado atravs de uma

formulao que considera a existncia de matriz de rigidez regular como restrio do problema.

O mtodo de soluo utilizado para resolver problema de otimizao o mtodo dos

algoritmos genticos. As restries do problema so impostas atravs da penalizao da funo

objetivo. O mtodo de soluo mostrou-se adequado para soluo dos problemas estudados.

A formulao implementada validada atravs da soluo de problemas clssicos de

otimizao estrutural. Os resultados obtidos so comparados com a literatura onde verificou-se

a coerncia dos mesmos. Aps realizar a validao, a formulao utilizada em um estudo que

tem como base uma estrutura real: uma torre de queima de gases (flare) oriundos do processo

de extrao e armazenagem de petrleo em uma unidade flutuante. Para o problema da torre as

restries foram determinadas com base em critrios de falha estabelecido na norma DNV. A

otimizao do flare permitiu minimizar a massa da estrutura sem que os critrios de falha

fossem violados. Verificou-se que a metodologia proposta adequada para soluo com grande

nmero de restries e com diversos casos de carregamento.

Palavras-chave: Otimizao estrutural, unifilares, falha, singularidades, programao inteira.

vi

ABSTRACT

The purpose of this work is the development of a methodology to solve the structural

optimization problem of frame structures subject to stress, buckling of isolated members, and

fatigue constraints. Three types of structural optimization problems are considered: sizing,

shape and topological. The stress and buckling singularity problems are avoided by an integer

design variable formulation, using integer programing to obtain the optimization problem

solution. Another issue found in optimization problems is the stiffness matrix singularity. The

proposed formulations include the linear system stability as a constraint in the optimization

problem. A genetic algorithm is used to solve the general optimization problem.

All constraints of the problem are included with a penalization equation. The results

show that genetic algorithm is a good approach to solve the proposed formulation. The proposed

formulation is tested for solving classical optimization problems. The obtained results are

consistent with the literature.

A real engineering problem is solved with proposed methodology: a gas burning tower

(flare). In this problem, all constraints are based on failure criteria recommended by DNV

standards. The structural optimization of this problem shows that structural mass minimization

is possible without violating the failure criteria. It is observed that solution methodology deals

successfully with problems with multiple constraints and load cases

Keywords: Structural optimization, frame, failiure, singularity, integer programming.

vii

NDICE

1 INTRODUO ................................................................................................................ 1

1.1 Organizao do trabalho ............................................................................................. 2

2 REVISO BIBLIOGRFICA ........................................................................................ 2

2.1 Breve histrico da otimizao estrutural .................................................................... 2

2.1 Otimizao topolgica em estruturas discretas .......................................................... 3

2.2 Restries e Singularidades ........................................................................................ 4

2.3 Algoritmo de Soluo ................................................................................................. 5

2.4 Objetivos do trabalho ................................................................................................. 6

3 OTIMIZAO ESTRUTURAL ..................................................................................... 7

3.1 Variveis de projeto .................................................................................................... 8

3.2 Funo objetivo .......................................................................................................... 9

3.3 Restries ................................................................................................................... 9

3.4 Apresentao do problema geral de otimizao estrutural ....................................... 10

3.5 Singularidade nas restries de tenso ..................................................................... 10

3.6 Singularidades nas restries de flambagem de barras isoladas da estrutura ........... 11

4 PROGRAMAO INTEIRA ....................................................................................... 14

4.1 Algoritmos genticos (AG) ...................................................................................... 15

4.2 Terminologia dos algoritmos genticos .................................................................... 16

4.3 Operadores genticos ................................................................................................ 16

4.4 Parmetros genticos ................................................................................................ 18

viii

4.5 Funo aptido e restries....................................................................................... 19

4.6 Esquema de um algoritmo gentico ......................................................................... 20

4.7 Comparativo entre algoritmos genticos e algoritmos clssicos de otimizao ....... 21

5 TEORIAS ESTRUTURAIS CLSSICAS ................................................................... 23

5.1.1 Carregamento axial em Barras ............................................................................. 23

5.1.2 Toro em membros circulares............................................................................. 24

5.1.3 Flexo de vigas ..................................................................................................... 26

6 ELEMENTOS FINITOS ............................................................................................... 27

6.1 Histrico do Mtodo dos elementos finitos .............................................................. 27

6.2 Formulao geral do mtodo dos elementos finitos ................................................. 28

6.2.1 Princpio dos trabalhos virtuais ............................................................................ 28

6.2.2 Princpio da mnima energia potencial ................................................................. 29

6.3 Elemento finito de barra ........................................................................................... 30

6.4 Elemento finito de toro ......................................................................................... 32

6.5 Elemento finito de viga em duas dimenses ............................................................ 32

6.6 Superposio dos efeitos de barra, toro e flexo ................................................... 35

7 DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL .................................................................... 36

7.1 Mtodo das tenses admissveis ............................................................................... 36

7.2 Mtodo dos estados Limites ..................................................................................... 37

7.3 Mtodo da Confiabilidade ........................................................................................ 38

7.4 Falha por fadiga em unies soldadas ........................................................................ 39

7.4.1 Resistncia fadiga de uma junta soldada ........................................................... 40

7.4.2 Fadiga em juntas tubulares ................................................................................... 44

7.4.3 Anlise simplificada de fadiga em estruturas offshore ......................................... 45

7.5 Critrio de falha por Flambagem .............................................................................. 46

ix

7.5.1 Flambagem de colunas de Euler ........................................................................... 46

7.5.2 Critrio de falha por flambagem conforme norma DNV ..................................... 48

8 APRESENTAO DA FORMULAO PROPOSTA E DO ALGORITMO DE

SOLUO IMPLEMENTADO ........................................................................................... 51

8.1 Funo aptido .......................................................................................................... 51

8.1 Esquema geral........................................................................................................... 54

9 SOLUO DE PROBLEMAS ..................................................................................... 57

9.1 Trelia com 5 barras ................................................................................................. 57

9.2 Trelia com 10 barras ............................................................................................... 61

9.3 Trelia com 6 barras ................................................................................................. 65

9.4 Estrutura com elementos de barra e viga .................................................................. 67

9.5 Utilizao do algoritmo implementado para soluo de um problema real de

engenharia ............................................................................................................................. 71

9.5.1 Descrio das variveis de projeto e do modelo numrico .................................. 72

9.5.2 Efeitos de Inerciais ............................................................................................... 75

9.5.3 Cargas de Vento ................................................................................................... 78

9.5.4 Combinao dos casos de carga ........................................................................... 79

9.5.5 Critrio de Falha ................................................................................................... 81

9.5.6 Resultados para otimizao paramtrica e topolgica e de forma ........................ 84

10 CONCLUSO ................................................................................................................. 92

11 SUGESTES PARA TRABALHOS FUTUROS ........................................................ 94

12 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................... 95

APNDICE A - BARRA BI-ARTICULADA SUBMETIDA CARGA COMPRESSIVA

100

x

APNDICE B - TRELIA DE 18 BARRAS COM OTIMIZAO DIMENSIONAL E

DE FORMA .......................................................................................................................... 102

APNDICE C - FATORES DE CONCENTRAO DE TENSO E LIMITE DE

RESISTNCIA A FADIGA CONFORME RECOMENDAES DNV ....................... 105

xi

Figura 2.1. Exemplos de estruturas de trelia obtidas por Michell em 1904. ............................ 3

Figura 2.2. Ground Structure na otimizao topolgica de estruturas discretas. ....................... 4

Figura 3.1. Tipos de otimizao estrutural: (a) dimensional ou paramtrica; (b) forma; (c)

topolgica. .......................................................................................................................... 8

Figura 3.2. Exemplo de estrutura com restrio de flambagem local. ..................................... 12

Figura 4.1. Esquema de soluo de um algoritmo gentico. .................................................... 21

Figura 5.1. Geometria simplificada de uma barra. ................................................................... 24

Figura 5.2. Ilustrao da hiptese sobre os deslocamentos em um membro circular de seo

constante. .......................................................................................................................... 25

Figura 6.1. Elemento finito para uma barra, definido em coordenadas globais e coordenadas

paramtricas. ..................................................................................................................... 30

Figura 6.2. Elemento finito para flexo, definido em coordenadas globais e coordenadas

paramtricas. ..................................................................................................................... 33

Figura 6.3. Funes de interpolao para um elemento de viga em duas dimenses. ............. 33

Figura 7.1. Distribuio de probabilidades para a solicitao e resistncia. ............................ 38

Figura 7.2. Efeito da tenso mdia em um ciclo de carga de fadiga. ....................................... 41

Figura 7.3. Curvas S-N para diversas juntas soldadas em ao. ................................................ 42

Figura 7.4. Solda cruciforme em T. .......................................................................................... 42

Figura 7.5. Curvas S-N para diversas juntas soldadas em ao. ................................................ 43

Figura 7.6. Comprimento efetivo em funo da condio de contorno. .................................. 47

Figura 7.7. Curva tpica de falha por flambagem. .................................................................... 49

Figura 7.8. Curvas limite de flambagem. ................................................................................. 50

Figura 8.1. Comportamento do coeficiente de violao das restries para diversas

penalizaes. ..................................................................................................................... 52

Figura 8.2. Estrutura cuja matriz de rigidez singular. ............................................................ 53

Figura 8.3. Fluxograma do algoritmo de soluo. .................................................................... 54

LISTA DE FIGURAS

xii

Figura 8.4. Fluxograma do clculo estrutural e avaliao da funo aptido. ......................... 56

Figura 9.1. Trelia de 5 barras. ................................................................................................. 57

Figura 9.2. Curvas de convergncia para diversos coeficientes de penalizao. ..................... 60

Figura 9.3. Curvas de convergncia para diversas taxas de mutao. ...................................... 61

Figura 9.4. Trelia de 10 barras. ............................................................................................... 61

Figura 9.5. Topologia final trelia com 10 barras. ................................................................... 62

Figura 9.6. Tenses axiais na trelia de 10 barras. ................................................................... 64

Figura 9.7. Curvas de convergncia para diversos coeficientes de penalizao. ..................... 64

Figura 9.8. Modelo estrutural da trelia de 6 barras. ................................................................ 65

Figura 9.9. Curva de convergncia para a trelia de 6 barras. .................................................. 66

Figura 9.10. Tenses axiais. ..................................................................................................... 66

Figura 9.11. Estrutura com elementos de barra e viga. ............................................................ 67

Figura 9.12. Definio das variveis de projeto. ...................................................................... 67

Figura 9.13. Topologia final da estrutura. ................................................................................ 68

Figura 9.14. Tenso axial na estrutura otimizada. .................................................................... 70

Figura 9.15. Torre de queima com seo triangular. ................................................................ 72

Figura 9.16. Torre de queima com seo retangular. ............................................................... 72

Figura 9.17. Definio das variveis de projeto. ...................................................................... 72

Figura 9.18. Numerao das variveis de projeto e restries. ................................................ 73

Figura 9.19. Esquema de aplicaao das cargas de vento na torre. ............................................ 75

Figura 9.20. Graus de liberdade de um navio. .......................................................................... 76

Figura 9.21. Locais onde as aceleraes so conhecidas. ........................................................ 76

Figura 9.22. Coeficiente de arrasto para estruturas de perfis tubulares. ................................... 79

Figura 9.23. Junta utilizada para estimativa inicial do fator de concentrao de tenso. ......... 83

Figura 9.24. Topologia final do flare aps a otimizao. ......................................................... 85

Figura 9.25. Valores mnimos para razo d

d

SR para diferentes critrios de falha. .................... 86

Figura 9.26. Tenses de fadiga na estrutura. ............................................................................ 87

Figura 9.27. Curvas de convergncia normalizadas para dois diferentes casos de otimizao.

.......................................................................................................................................... 90

Figura 9.28. Detalhe curva de convergncia da Figura 9.27 a partir da gerao 500. ............. 90

xiii

Figura A.1. Condies de contorno e numerao das variveis de projeto. ........................... 100

Figura A.2. Geometria final da barra aps a otimizao. ....................................................... 101

Figura A.3. Tenses axiais na barra aps a otimizao. ......................................................... 101

Figura A.4. Deformao do primeiro modo de flambagem da barra, sendo coeficiente de carga

de flambagem 1.0. .......................................................................................................... 101

Figura B.1. Trelia de 18 barras. ............................................................................................ 102

Figura B.2. Forma final da trelia de 18 barras. ..................................................................... 104

Figura C.1. Definies geomtricas de uma junta tubular. .................................................... 105

Figura C.2. Equaes utilizadas para o clculo dos fatores de concentrao de tenses. ...... 106

Figura C.3. Modelo estrutural da junta tubular. ..................................................................... 106

Figura C.4. Tenses na junta tubular. ..................................................................................... 107

Figura C.5. Intervalo de tenses admissvel em funo do parmetro h. ............................... 108

Figura C.6. Fator de utilizao em funo do fator de projeto de fadiga e da vida til de projeto.

........................................................................................................................................ 108

Figura C.7. Fator de reduo das resistncias em funo do fator de utilizao. ................... 109

xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 7.1. Parmetros da equao de flambagem. .................................................................. 49

Tabela 9.1.reas da trelia de 5 barras aps a otimizao para diferentes formulaes.......... 58

Tabela 9.2. Tenses para cada um dos casos de carregamento. ............................................... 59

Tabela 9.3. Resultados da otimizao para diversos mtodos. ................................................. 62

Tabela 9.4. Tenses nas barras aps a otimizao. .................................................................. 63

Tabela 9.5. Tenses e limite de flambagem em cada uma das barras. ..................................... 69

Tabela 9.6. Tabela de aceleraes sobre o flare. ...................................................................... 77

Tabela 9.7. Aceleraes mdias no flare. ................................................................................. 78

Tabela 9.8 Fatores de majorao das cargas para estados limites ltimos. .............................. 80

Tabela A.1. Valores discretos das variveis de projeto. ......................................................... 100

Tabela B.1. Variveis de projeto aps a otimizaao para diversos autores. ........................... 103

Tabela B.2. Tenses axiais e limite de flambagem. ............................................................... 104

Tabela C.1. Tenses axiais nas barras e fator de concentrao de tenso. ............................. 107

xv

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

SCF Stress Concentration Factor

DNV Det Norsk VERITAS

ABS American bureau of shipping

GALIB Genetic Algorithm Library

FPSO Floating Production and Storage

DOC Design operation Conditions

DEC Design Extreme Conditions

ELU Estado Limite Ultimo

ELF Estado Limite de Fadiga

AG Algoritmo Gentico

xvi

LISTA DE SMBOLOS

X Vetor de variveis de projeto

f(x) Funo objetivo

ix i-sima varivel de projeto

minx Limite inferior da varivel de projeto

maxx Limite superior da varivel de projeto

0)( xg j Conjunto de restries de igualdade

0)( xhk Conjunto de restries de desigualdade

adm Tenso admissvel

ij Tensor de tenses

iA rea da i-sima barra

Coeficiente de relaxao

b Limite de tenso de flambagem elstica de Euler

l

ia Limite mvel inferior

u

ia Limite mvel superior

)(xf p Funo objetivo penalizada

C Constante de penalizao

i Constante de violao de restrio

ij Tensor de deformaes infinitesimal

it Vetor de traes de superfcie

jn Vetor normal superfcie

if Vetor de foras de corpo

Constante de Lam

xvii

Constante de Lam

E Mdulo de Elasticidade

Coeficiente de Poisson

u Vetor de deslocamentos

d Regio superficial onde so aplicadas restries de deslocamentos

n Regio superficial onde so aplicadas tenses prescritas

R Raio da seo circular

Funo de empenamento da seo transversal

Funcional de energia potencial total

)(uB Energia potencial de deformao

)(uf Trabalho realizado pelas foras externas

C Tensor constitutivo do material

N Vetor de funes de interpolao

eu Vetor de deslocamentos do elemento

eK Matriz de rigidez do elemento

eF Vetor de foras do elemento

Eixo do sistema de coordenadas paramtrico

L Comprimento de uma barra

A rea da seo transversal de uma barra

G Mdulo de cisalhamento do material

tI Momento polar de inrcia da seo

zI Momento de inrcia da seo

nS Tenses geradas pelas cargas de servio

dR Resistncia do material

dS Solicitao de dimensionamento

dR Resistncia de dimensionamento

N Nmero de ciclos de carga at a falha por fadiga

C Constante do material para caracterizar a resistncia fadiga

xviii

Intervalo de variao das tenses em um ciclo de fadiga

max Tenso mxima do ciclo de fadiga

min Tenso mnima do ciclo de fadiga

m Inclinao da curva de fadiga

nom Tenso nominal

hotspot Tenso estrutural

)( Q Probabilidade de que seja excedido

h Parmetro de forma

q Parmetro de escala

critP Carga crtica de flambagem linear de uma coluna

I Momento de inercia da seo transversal

effL Comprimento efetivo de uma barra

k Fator para o clculo do comprimento efetivo de uma barra

ndice de esbeltes

esc Limite de escoamento

E Limite de flambagem elstica

ji,,1 Coeficiente de restrio de tenso

ji,,2 Coeficiente de restrio de flambagem

ki,,3 Coeficiente de restrio de fadiga

ELTn Nmero de casos de carregamento para estados limites de tenso

ELFn Nmero de casos de carregamento para estados limites de fadiga

barrasn Nmero de barras

jieqv ,, Tenso equivalente na barra i para o caso de carga j

iadm, Tenso admissvel na barra i

jiB ,, Tenso de flambagem na barra i para o caso de carga j

xix

iBadm ,_ Tenso de flambagem admissvel na barra i

kiF ,, Tenso de fadiga na barra i para o caso de carga k

iFadm ,_ Tenso de fadiga admissvel na barra i

Densidade do material

ndice de reas exposta

Re Nmero de Reynolds

01fc Coeficiente de arrasto na direo 1

02fc Coeficiente de arrasto na direo 2

kp Presso caracterstica

kV Velocidade caracterstica

iG Coeficiente de carga relativo ao cargas de peso prprio

iE Coeficiente relativo s cargas ambientais

?ja Aceleraes para cada estado de carregamento

?V Carga de Vento

ELFdS , Solicitao de dimensionamento para estado limite de fadiga

1

1 INTRODUO

No passado, o projeto de estruturas mecnicas era feito com base em clculos analticos

simplificados e principalmente experincia do projetista. Aps a realizao do projeto, quando

necessrio, era construdo um prottipo para realizao de testes e verificao do desempenho.

Surgiram ento os mtodos numricos, que com o advento dos computadores digitais,

permitiram realizar o clculo das solicitaes de forma muito mais precisa. A etapa de

construo do prottipo para testes passou a ser realizada de maneira virtual. Logo, durante

concepo do projeto so criadas diversas configuraes para um componente ou estrutura, que

so simuladas numericamente para avaliar o desempenho. Por critrio de comparaes

estabelecida a configurao estrutural que melhor atende os requisitos de projeto e com maior

viabilidade econmica. No entanto, no se pode afirmar que a soluo encontrada por esse

mtodo a soluo mais econmica para construo de uma estrutura mecnica.

O crescente aumento de competitividade, e a incansvel busca pela reduo de custos,

tm impulsionado o desenvolvimento da tcnica que atravs de algoritmos de busca determina

a soluo tima para o problema: a otimizao estrutural. A otimizao estrutural busca

determinar a configurao estrutural para qual todos os requisitos de projeto so atendidos e

que apresente o menor custo.

Os primeiros problemas de otimizao foram abordados por Maxwell em 1872 e

posteriormente por Michell [Michell, 1904]. No entanto, foi a partir da dcada de 60, com o

surgimento dos computadores digitais, que a pesquisa por mtodos de otimizao se

intensificou.

Diversos livros foram publicados com os conceitos bsicos de otimizao. Destacam-se

as publicaes de Haftka [Haftka e Grdal, 1992], Arora [Arora, 2012] e [Bendsoe, 1995].

A proposta deste estudo o desenvolvimento de uma formulao para o problema de

otimizao estrutural, por variveis inteiras, submetidas a restries de critrios de falha. As

restries so determinadas com base em critrios de falha por escoamento, flambagem das

barras e fadiga. Os critrios de falha so determinados com base na norma de projeto DNV.

O problema de otimizao estrutural abordado considerando trs problemas de

otimizao: paramtrica, de forma e topolgica.

2

1.1 Organizao do trabalho

No captulo 2 realizada a reviso bibliogrfica sobre otimizao estrutural. Neste

captulo so enunciados os principais problemas e diversas solues propostas pela literatura

especfica. Por ltimo so apresentados os objetivos deste trabalho.

O captulo 3 dedicado ao estudo das principais formulaes existentes para o problema

de otimizao estrutural em geometrias unifilares. So apresentadas diversas metodologias para

soluo do problema de singularidade de tenses e flambagem.

No captulo 4 so listados os principais mtodos de programao inteira. Neste captulo

so apresentados os conceitos fundamentais dos mtodos dos algoritmos genticos.

Nos captulos 5 e 6 apresentada a reviso bibliogrfica sobre teorias estruturais

clssicas e o mtodo dos elementos finitos.

O captulo 7 trata da apresentao do principais mtodos para o dimensionamento

estrutural.

No captulo 8 apresentada a formulao utilizada na soluo dos casos apresentados

neste trabalho.

Os resultados da aplicao da formulao proposta em problemas clssicos so

apresentados no captulo 9. Tambm so apresentados os resultados da utilizao do algoritmo

para soluo de um caso prtico de engenharia.

As concluses e sugestes para trabalhos futuros so apresentadas no captulo 10 e 11.

2 REVISO BIBLIOGRFICA

2.1 Breve histrico da otimizao estrutural

A otimizao estrutural a disciplina que trata do projeto timo de estruturas. Os

primeiros problemas de otimizao foram abordados por Maxwell em 1872 e Michell [Michell,

1904]. A tcnica utilizada consiste em solucionar o campo de tenses principais, para um dado

caso de carga, e com base nas linhas de isotenso principal, propor uma estrutura formada por

elementos de barra. A estrutura tima consiste em uma forma treliada onde seus elementos

esto alinhados s iso-linhas de tenso, desta forma os membros estruturais esto submetidos

somente a esforos axiais. Este tipo de critrio fornece o mesmo resultado que o critrio da

3

mxima rigidez com mnimo material. Atualmente j provado que a configurao tima para

este critrio uma estrutura de trelias. As figuras abaixo ilustram os resultados descritos:

(a) Flexo simples em viga bi apoiada

(b) Toro em casca esfrica.

Figura 2.1. Exemplos de estruturas de trelia obtidas por Michell em 1904.

Embora bastante surpreendentes estes resultados permaneceram esquecidos at a dcada

de 60. Durante este perodo foram estudados somente a soluo de problemas acadmicos em

estruturas simples (vigas e trelias), sem aplicao prtica e que no seguiam a premissa de

Michell.

O advento da otimizao iniciou-se aps a dcada de 60 com o surgimento dos

computadores digitais e o mtodo dos elementos finitos. O trabalho considerado incio da era

moderna da otimizao foi publicado por Schmit [Schmit, 1960]. O artigo trata da otimizao

de trelias combinando a anlise estrutural por computador e a programao matemtica.

Na dcada de 70 vrios algoritmos foram implementados e testados. Assim, por

exemplo, desenvolvido o mtodo Simplex para a soluo de problemas de programao linear.

Os algoritmos de otimizao apareceram em softwares comerciais a partir dos anos 80.

Posteriormente, na dcada de 90, o mtodo da otimizao topolgica (MOT) foi incorporado a

pacotes comerciais de elementos finitos causando grande impacto na indstria automotiva e

aeroespacial [Silva, 2003].

2.1 Otimizao topolgica em estruturas discretas

A otimizao topolgica de estruturas discretas foi incialmente apresentada por Dorn

em 1964 [Dorn et al., 1964], o qual apresentou uma estrutura denominada ground structure.

Nesta estrutura, todos os ns so conectados entre si e so impostas as condies de

carregamento e restries. O autor aplicou a programao linear para retirar da estrutura os

perfis redundantes e desta forma reduzir seu peso. A Figura 2.2 apresenta um exemplo da

denominada ground structure.

4

Dobbs e Felton [Dobbs e Felton, 1968] propuseram a reduo do peso de uma trelia,

submetida a mltiplos casos de carga e restrio de tenso, utilizando as sees transversais

como variveis de projeto. O algoritmo de busca utilizado conhecido como steepest descent-

alternate mode. O mtodo busca reduzir o valor da funo objetivo com base nas informaes

dos gradientes. Quando uma seo transversal atinge o limite inferior o elemento removido, no

podendo mais retornar anlise.

Figura 2.2. Ground Structure na otimizao topolgica de estruturas discretas.

2.2 Restries e Singularidades

As restries so condies que impostas ao modelo numrico conduzem a soluo do

problema a um domnio vivel. Qualquer violao de restrio indica que a soluo se encontra

em um ponto em que a soluo no permitida.

Ao inserir restries sobre os limites de tenso, o problema de otimizao topolgica

tem soluo em um ponto do domnio onde ocorrem singularidades. O problema foi constatado

primeiramente por Sved e Ginos [ Sved e Ginos, 1968], os autores estudaram um caso de trelia

de trs barras submetido a diversos casos de carga. A concluso obtida foi que o timo global

s poderia ser alcanado se uma das barras fosse completamente removida, violando assim as

restries de tenso.

Os tipos de problemas onde o timo singular foram abordados por Kirsch [Kirsch,

1990]. Nos seus estudos, o autor concluiu que nos casos de soluo com timo singular pode

ser extremamente difcil ou at impossvel obter o timo global utilizando mtodos numricos.

Cheng e Jiang [Cheng e Jiang, 1992] mostraram que a existncia do timo singular est

vinculada a descontinuidade da restrio de tenso quando a rea de uma barra tende a um valor

nulo.

Diversos autores estudaram formulaes para o problema de singularidade nas

restries de tenso, cabe citar alguns deles: Rozvany [Rozvany e Birker, 1994] e Cheng

[Cheng, 1995].

5

Uma soluo para as singularidades nas restries de tenso em trelias foi proposta por

Cheng [Cheng e Guo, 1997] atravs do mtodo da relaxao epsilon (). Este trabalho tem

fundamental importncia, pois a tcnica de relaxao foi estendida para aplicao em estruturas

contnuas.

Assim como as restries de tenso, restries sobre a flambagem das barras de uma

trelia acarretam no aparecimento de singularidades. A incluso do limite de flambagem local

acarreta na ocorrncia de problemas muito mais severos daqueles relatados nos casos de

restrio sobre as tenses [Zhou, 1995].

O problema na singularidade das restries locais de flambagem foi abordado por Guo

[Guo, et al., 2001], no artigo foi proposto a utilizao do mtodo denominado tcnica de

suavizao de segunda ordem. Os autores resolveram com sucesso o problema com restrio

de flambagem para estruturas de barras submetidas a mltiplos casos de carregamentos com

restrio sobre os limites de tenso e flambagem das barras.

Uma formulao exata para este tipo de problema foi proposta por Achtziger [Achtziger,

1999a]. O mesmo autor utilizou a sua formulao para apresentar resultados numricos

Achtziger [Achtziger, 1999b].

2.3 Algoritmo de Soluo

As tcnicas para soluo do problema de otimizao estrutural, em meios contnuos, so

divididas em dois grandes grupos [Kirsch, 1989]:

Mtodos analticos: Critrio de timo;

Mtodos numricos de busca.

Critrios de timo: O mtodo do critrio de timo busca satisfazer um conjunto de critrios

pr-estabelecidos relacionados ao comportamento estrutural. Este tipo de mtodo foi

inicialmente estudado por Michell [Michell, 1904] e [Rozvany, 1994].

Apesar de estar comprovado que os mtodos de programao matemtica so mais

gerais e estarem desenvolvidos a pontos de serem capazes de solucionar problemas de grande

porte, os critrios de timo ainda so amplamento utilizados. Este tipo de critrio permite uma

anlise muito mais qualitativa do fenmeno fsico, alm de muitas vezes, fornecer os limites

superiores e inferiores para as possveis solues timas [Kirsch, 1989].

Programao matemtica: Esta classe de mtodos permite que problemas de otimizao com

diversas restries sejam solucionados de forma sistemtica atravs de algoritmos

6

computacionais. O primeiro pesquisador a utilizar esta tcnica para solucionar um problema de

otimizao foi Schmit em 1960 [Schmit, 1960].

Para cada tipo de restrio e forma da funo objetivo existe um mtodo de programao

matemtica que se mostra mais adequado:

Programao linear: funo objetivo e restries so lineares;

Programao quadrtica: funo objetivo quadrtica e restries lineares;

Programao no linear: funo objetivo e/ou restries quadrticas;

Programao inteira: Variveis de projeto possuem valores discretos;

Programao mista: Combinao entre tcnica de programao inteira e qualquer uma

das demais.

Programao linear Sequencial: A programao linear um mtodo utilizado para resolver

problemas de otimizao quando as restries e a funo objetivo so funes lineares. A

abordagem de problemas no lineares feita utilizando a tcnica de expanso das funes

restrio e objetivo em sries de Taylor, onde os termos de segunda ordem so desprezados.

Desta forma, possvel resolver o problema de otimizao no linear atravs de sucessivas

aproximaes em funes lineares.

Aps sucessivas aproximaes esta tcnica converge para a regio prxima soluo

exata do problema de otimizao no linear [Haftka e Grdal, 1992, Cheng, 1992, Kirsch,

1989].

Programao Inteira: Existem diversos algoritmos de programao inteira aplicveis a

otimizao estrutural. Dentre os mais populares importante citar o mtodo do recozimento

simulado proposto por Kirkpatrick [Kirkpatrick, et al., 1983] e o mtodo do algoritmos

genticos [Holland, 1975].

2.4 Objetivos do trabalho

O objetivo geral deste trabalho a formulao de uma metodologia para soluo do

problema de otimizao estrutural com minimizao de massa, submetido a restries de tenso

e flambagem das barras e tenses limites de fadiga

Os objetivos especficos do trabalho so enunciados abaixo:

Propor uma metodologia para soluo de trs casos de otimizao estrutural

(paramtrica, topolgica e de forma) de maneira unificada atravs do uso de

programao inteira;

7

Evitar problemas de singularidades nas restries de tenso e flambagem local

sem o uso de tcnicas de relaxao;

Realizar a otimizao de uma estrutura baseado em um caso real de engenharia

com grande quantidade de restries e casos de carregamento, onde:

o So consideradas restries sobre o limite de escoamento, flambagem das

barras da estrutura e tenses limites de fadiga;

o As restries so determinadas com base em critrios de falha

estabelecidos na norma DNV.

3 OTIMIZAO ESTRUTURAL

A otimizao estrutural dividida em quatro diferentes reas: otimizao de material,

otimizao dimensional ou paramtrica, otimizao de forma e otimizao topolgica. A

otimizao de material pode ser o projeto de materiais com caractersticas constitutivas pr-

definidas, ou tambm a determinao dos materiais mais adequados para uma determinada

aplicao. Um exemplo de otimizao de material a criao de um material cujo coeficiente

de Poisson negativo, ou seja, o material expande transversalmente quando submetido a

carregamento de trao simples.

Na otimizao de forma, a geometria do contorno da estrutura determinada. A

aplicao tpica da otimizao de forma a remoo dos concentradores de tenso que levam

um componente a falha.

Na otimizao paramtrica as dimenses da estrutura so as variveis de projeto. Um

exemplo de otimizao dimensional a determinao tima da seo transversal dos elementos

de uma estrutura com minimizao da massa submetida a restries de falha.

Na otimizao topolgica, o objetivo a determinao da disposio tima do material

no domnio de projeto. Em estruturas contnuas a otimizao topolgica consiste em determinar

o formato externo e interno da geometria, bem como a quantidade e posies de buracos e

cavidades. J em modelos discretos, como exemplo: estruturas treliadas, o objetivo

determinar a quantidade, tamanho e conectividade dos elementos estruturais [Haftka e Gurdal,

1992].

A figura abaixo ilustra os tipos de otimizao estrutural geomtrica:

8

Figura 3.1. Tipos de otimizao estrutural: (a) dimensional ou paramtrica; (b) forma; (c)

topolgica.

3.1 Variveis de projeto

Quando se fala em otimizao estrutural, pressupe-se certa liberdade em modificar da

estrutura. As possibilidades de alteraes so representadas por um conjunto definido de

parmetros, os quais so denominados variveis de projeto. As variveis de projeto podem ser:

a seo transversal das vigas, parmetros que controlam a geometria da estrutura, propriedades

do material e etc. As variveis de projeto so descritas conforme vetor abaixo:

),...,,( 21 nxxxxX (3.1)

As variveis de projeto podem ser contnuas ou discretas. Quando na forma contnua

esto restritas a um intervalo de valores admissveis. J na forma discreta podem assumir um

conjunto finito de valores dentro de um intervalo.

Em muitos casos, as variveis de projeto so tratadas como contnuas na etapa inicial de

otimizao e, posteriormente, so transformadas em discretas na etapa final. Um exemplo

clssico a otimizao de sees transversais de vigas, onde a soluo tima obtida com

variveis discretas e posteriormente os resultados so ajustados aos valores disponveis nas

tabelas de perfis comerciais.

No entanto, ajustar a soluo tima para valores discretos existentes nem sempre resulta

em boa aproximao. Tal considerao aceitvel quando o domnio discreto apresenta pontos

razoavelmente prximos aos da soluo contnua [Haftka e Grdal, 1992].

9

3.2 Funo objetivo

Na otimizao admite-se a existncia de uma funo f(x), ou um conjunto de funes

f(x) = [f1(x), f2(x),,fn(x)], que representa uma caracterstica da estrutura que pode ser

melhorada. Essa funo, ou conjunto de funes, denominada funo objetivo ou funo

custo.

No caso da utilizao de mltiplas funes objetivo, no existe uma nica soluo tima

e sim um conjunto de solues que so melhores que todas as outras encontradas no espao de

busca. Este conjunto de solues conhecido como solues timas de Pareto por formarem a

fronteira de Pareto [Haftka e Grdal, 1992]. No entanto, este conjunto de solues pode

apresentar resposta inferior as demais quando avaliado somente um objetivo.

Para simplificar o problema de mltiplas funes objetivo, possvel combinar as

mesmas atravs de uma tcnica de programao de compromisso, onde montada uma funo

objetivo principal que composta por todas as funes objetivos. Ainda possvel eleger a

funo principal como objetivo e inserir as demais como restries ou limites.

A utilizao de mltiplas funes objetivo adequada para classe de problemas com

objetivos conflitantes, por exemplo: minimizar a massa de uma estrutura e maximizar a vida

em fadiga.

Nos problemas tratados neste estudo a funo objetivo nica: minimizao de massa

da estrutura. As funes de falha so inseridas no problema como restries.

3.3 Restries

Dado conjunto de variveis de projeto definidas na equao (3.1), as restries laterais

do problema so denotadas conforme equao abaixo:

nixxx i ...1maxmin (3.1)

onde n o nmero total de variveis de projeto.

As restries impostas sobre outras quantidades podem ser restries de igualdade ou

desigualdade:

jj njxg ...10)( (3.2)

onde nj a quantidade total de restries de igualdade.

kk nkxh ...10)( (3.3)

10

onde nk a quantidade total de restries de desigualdade.

Nos problemas de otimizao estrutural, geralmente, as restries de igualdade so as

equaes de equilbrio. J as restries de desigualdade so os valores limites admissveis de

tenses, deslocamentos, frequncias naturais e etc.

3.4 Apresentao do problema geral de otimizao estrutural

De forma geral, o problema de otimizao escrito da seguinte maneira [Haftka e

Grdal, 1992]:

min )(xf

(3.4)

sujeito

Vx

nixxx

nkxh

njxg

i

kk

gj

...1

...10)(

...10)(

maxmin

onde f(x) a funo objetivo, jg e kh so as restries de igualdade e desigualdade,

respectivamente, ix so as variveis de projeto e V o conjunto de valores para qual as variveis

de projeto so definidas.

3.5 Singularidade nas restries de tenso

Uma soluo para o problema de singularidade nas tenses foi discutido por Cheng e

Guo [Cheng e Guo, 1997]. Nos seus estudos, os autores propuseram a modificao do problema

de restrio de tenses atravs da tcnica reconhecida como relaxao-. O mtodo consiste em

permitir que haja certa violao nas restries de tenso quando as sees transversais se

aproximam do limite inferior:

iijadm A (3.5)

onde adm a tenso admissvel, ij so as tenses na estrutura, iA a rea de cada seo

transversal e um parmetro determinado de forma heurstica.

11

O mtodo da relaxao- unificou a otimizao paramtrica e topolgica. O problema

modificado atravs da introduo de um parmetro artificial elimina a existncia do timo

singular no domnio vivel [Cheng e Guo, 1997].

Mais tarde em 2001, Stolpe e Svanberg [Stolpe e Svanberg, 2001] questionaram a

validade do mtodo da relaxao. Foi demonstrado que em alguns casos particulares o mtodo

no capaz de eliminar a descontinuidade no domnio vivel. Desta forma no fica garantido

que os algoritmos de soluo sejam capazes de encontrar o timo global.

No entanto, apesar da contestao de Stolpe e Svanberg, o mtodo da relaxao epsilon

tem sido utilizado com sucesso por diversos autores para resolver o problema de singularidade

nas tenses.

3.6 Singularidades nas restries de flambagem de barras isoladas da estrutura

No caso de estruturas formadas por elementos de barra e vigas, a restrio de tenso

definida com base em dois critrios de falha: a primeira oriunda no limite de tenso admissvel

do material e a segunda relacionada ao limite de flambagem de cada um dos membros da

estrutura.

Zhou [Zhou, 1995] mostrou em seu estudo que a otimizao com restrio de

flambagem das barras da estrutura pode levar a soluo para o caso da condio de equilbrio

instvel. A utilizao de alguma tcnica para a remoo de juntas da estrutura pode devolver o

equilbrio ao sistema. No entanto, a tenso crtica de flambagem alterada de forma bastante

significativa, modificando substancialmente o problema original. Considere o exemplo da

Figura 3.2.

Todos os elementos tem a mesma tenso limite (p) e mdulo de elasticidade (E).

Considerando a restrio de flambagem, esperado que a soluo final seja da topologia

indicada na Figura 3.2-b. Neste caso, a tenso para flambagem de Euler fica:

2L

Ak Ib

(3.6)

onde AI a rea da seo transversal, L o comprimento da barra e k o coeficiente de flambagem.

12

(a) (b) (c)

Figura 3.2. Exemplo de estrutura com restrio de flambagem local.

Igualando a equao (3.6), tenso atuante no elemento:

I

I

A

P

L

Ak

2

(3.7)

kPLL

Ak

k

PLA IbI

1,

2

Definindo o coeficiente k conforme equao abaixo, resulta que:

10,

100

)( 2 pb

p

P

Lk

(3.8)

A seo transversal e o volume total ficam definidos como:

b

I

b

I

LPV

PA

10,

10 (3.9)

Agora considerando a topologia indicada pela Figura 3.2-c, o comprimento de cada uma

das barras fica:

32,

3254321

LL

LLLLL (3.10)

Os esforos internos:

32,

3254321

PN

PNNNN (3.11)

A seo transversal tima dos elementos 1-5:

1

1

2

1

1

A

N

L

Akb

(3.12)

13

pP

Ak

PLAAAA

32

1,

32

15

434321

Substituindo a definio do coeficiente de flambagem apresentado em (3.8) na equao (3.12),

resulta que o volume total fica:

p

II

PLLALAV

78.74 5511 (3.13)

Verifica se que o volume total menor daquele obtido para o primeiro caso, equao

(3.9) 10/78.7III VV .

No exemplo citado ficam evidenciadas as possveis complicaes na busca da soluo

tima para o caso de restries de flambagem nas barras da estrutura.

Guo [Guo, et al., 2001] props uma formulao para contornar os problemas relativos

as singularidades nas restries de flambagem de barras. Na soluo proposta por Guo, a

restrio de flambagem reescrita da seguinte forma:

T

ii

i

T

i

i

T

iT

i

T

iii

i

Bii

B

i

AAseAF

F

AF

FF

AAseAF

AF

AAAFAg

,1)(

3)(

),(

)(

/)()()(

2mod

,

mod

mod

(3.14)

onde A a rea da barra, Bi, a tenso limite de flambagem da barra e )(AFi a fora atuante

na barra, o coeficiente de relaxao das tenses, TiA um valor limite de rea e

T

iF a fora

barra i sendo sua seo transversal com rea TiA .

A formulao consiste em modificar a forma da restrio de flambagem quando a rea

de uma seo for reduzida gradativamente e se tornar menor que o valor pr-estabelecido TiA .

14

4 PROGRAMAO INTEIRA

Em uma grande gama de aplicaes de otimizao, conveniente adotar que as variveis

de projeto assumam valores discretos. Para soluo destes problemas, mais adequado utilizar

uma tcnica de busca baseada em programao inteira, onde as variveis possam assumir

valores discretos dentro de um conjunto finito de possibilidades.

Os mtodos de programao inteira tm como caracterstica fundamental a abordagem

do problema de forma estocstica. Desta forma, necessrio avaliar a funo objetivo um

nmero de vezes muito maior se comparado os mtodos de programao matemtica.

Atualmente existem diversos mtodos de programao inteira para soluo de problema

de otimizao, cabendo citar: o mtodo do recozimento simulado proposto por Kirkpatrick

[Kirkpatrick, et al., 1983] e o mtodo dos algoritmos genticos inicialmente proposto por

Holland [Holland, 1975]. Tambm existem outros mtodos, que conforme Le Riche [Le Riche

e Haftka, 2012] so considerados derivados do recozimento simulado: Particle Swarm (nuvem

de partculas) apresentado por Kennedy [Kennedy e Eberhart, 1995], o mtodo Ant colony

Search (Colnia de formigas) proposto por Dorigo [Dorigo, 1992].

O mtodo dos algoritmos genticos o mais popular entre os mtodos de programao

inteira disponveis. O mtodo tem sido amplamente utilizado na soluo de problemas de

otimizao estrutural. A simplicidade do mtodo, sua fcil implementao e a variada

disponibilidade de bibliotecas computacionais j testadas e validadas fizeram com que este

mtodo fosse escolhido para utilizao neste trabalho.

No artigo publicado por Le Riche [Le Riche e Haftka, 2012], o autor realiza a anlise

sobre os artigos que tratam de mtodos meta-heursticos publicados no peridico Structural

Multidisciplinary Optimization. Frente similaridade entre as diversas metodologias propostas,

o autor estabelece critrios para aceitao de futuros trabalhos no peridico:

Os novos algoritmos de soluo meta-heursticos propostos devem mostrar com clareza

a diferena entre os mtodos j existentes;

Deve ser apresentado estudo mostrando a influncia dos parmetros do mtodo na

soluo do problema, bem como testes para verificar a influncia da estimativa inicial

no resultado final;

O autor deve explicitar claramente para qual classe de problemas o algoritmo proposto

adequado. Tambm deve mostrar porque a classe de problemas em estudo no pode

ser solucionada com mtodos de gradiente.

15

Dentro desse contexto, a proposta deste estudo estabelecer uma formulao para

considerar as restries especficas para o problema de otimizao em estruturas unifilares. Para

atingir este objetivo, foi utilizado um mtodo de programao inteira, que leva vantagem sobre

os demais para soluo desta classe de problemas. O algoritmo de soluo no o foco central

da pesquisa, somente umas das ferramentas utilizadas para compor a soluo do problema

formulado.

A utilizao de um algoritmo de soluo por programao inteira se justifica pelas

singularidades intrnsecas classe de problemas estudados, bem como pela necessidade de

adotar variveis inteiras. essencial que as variveis sejam inteiras, pois as mesmas so

definidas com base um conjunto de valores e no apenas por um nico valor representativo.

4.1 Algoritmos genticos (AG)

Os algoritmos genticos so mtodos baseados na teoria da seleo natural proposta por

Darwin. O autor props que a evoluo dos indivduos ocorre naturalmente, tendo maior chance

de sobrevivncia e reproduo aqueles com caractersticas mais adaptveis ao meio. Os

indivduos mais fracos acabam sendo eliminados e suas caractersticas desfavorveis so

extintas da populao em geraes futuras.

Atravs do processo de seleo natural, os indivduos mais adaptados ao ambiente

geram seus descendentes perpetuando suas caractersticas positivas. Desta forma, as

caractersticas desejveis aumentam gradativamente na populao tornando-a cada vez mais

forte.

As primeiras simulaes computacionais envolvendo o mtodo dos algoritmos

genticos foram criadas por bilogos nos anos 50 e 60. John Holland [Holland, 1975] publicou

o livro Adaptation in Natural and Artificial Systems e David Goldberg [Goldberg, 1989]

publicou o trabalho Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, os

quais foram considerados trabalhos percursores para o desenvolvimento desta classe de

mtodos.

A seguir so apresentados os principais conceitos sobre sobre os algoritmos genticos.

A reviso baseada na documentao da biblioteca de algoritmos genticos GALIB, utilizada

no desenvolvimento desta pesquisa [Wall, 1996].

16

4.2 Terminologia dos algoritmos genticos

Conforme dito anteriormente, os algoritmos genticos so baseados na teoria da

evoluo. Os termos utilizados no mtodo tm como base a biologia. Conforme Goldberg

[Goldberg, 1989], a analogia com a otimizao feita conforme descrito abaixo:

Cromossomo ou genoma: Conjunto completo de genes de um organismo. Em termos

do AG: Estrutura de dados que codifica uma soluo para o problema, ou seja, um ponto

de busca Vetor de variveis de projetos;

Gen ou gene: Unidade de hereditariedade que transmitida pelo cromossomo. um

elemento do vetor que representa o cromossomo Cada gene representa uma varivel

de projeto;

Alelo: Representa os valores que o gene pode assumir;

Indivduo: definido por um conjunto de variveis de projeto (cromossomo), que

definem um ponto onde se pode avaliar a funo objetivo;

Populao: Conjunto de cromossomos. Representa certa quantidade de indivduos os

quais constituem uma gerao durante a evoluo do AG;

Gerao: Representa o nmero de iteraes do mtodo. As geraes dizem respeito o

nmero de evolues que as populaes vo tendo ao longo do tempo.

4.3 Operadores genticos

A seguir so apresentadas as etapas do algoritmo baseado em teoria gentica.

Representao e Codificao: Para que seja possvel representar os indivduos com

suas caractersticas genticas, necessrio codificar as variveis do problema de

otimizao em cromossomos. A codificao binria foi a primeira a ser desenvolvida:

cada cromossomo representado por um vetor de zeros e uns. A grande desvantagem

deste tipo de codificao fica aparente quando se deseja maior preciso numrica, o que

gera cadeia de bits excessivamente longas. Para evitar este problema numrico, utiliza-

se a codificao em nmeros reais. A representao feita diretamente atravs de

nmeros reais, os quais so utilizados para gerar as operaes genticas de cruzamento

e mutao;

17

Gerao da populao inicial: Geralmente, a populao inicial pode ser gerada de

forma aleatria. No entanto, j foi provado que o ponto de partida pode ter influncia

significativa na velocidade de convergncia do mtodo [Souza, 2009]. Caso se tenha

alguma informao prvia a respeito do problema qual se possa utilizar, como

estimativa inicial para o processo de otimizao, esta deve ser utilizada. Tambm j foi

verificado por Erbatur [Erbatutur et al., 2000] que o ponto final de uma etapa de

otimizao pode ser utilizado como estimativa inicial para a prxima etapa, restringindo

cada vez o limite de variao de cada varivel de projeto;

Seleo: A seleo a escolha dos melhores indivduos os quais so selecionados para

reproduo. Existem diversos mtodos de seleo, entre eles: Mtodo da Roleta

(Roulette Wheel): sobrevive o indivduo que tem a melhor funo objetivo associada;

Seleo por Torneio (Tournament Selector): Seleo aleatria de n cromossomos da

populao e o cromossomo de maior aptido escolhido; Mtodo Elitista: Preserva o

melhor cromossomo de uma gerao para outra sem alterao; Seleo via mtodo

exponencial: Os indivduos so ordenados em ordem crescente de aptido e a aptido

escalonada por um coeficiente de exponenciao [Wall, 1996].

Cruzamento: O cruzamento responsvel por recombinar as caractersticas dos pais

na fase de reproduo. A ideia principal perpetuar as caractersticas favorveis de cada

um dos pais atravs da combinao dos genes de cada progenitor. Aps a fase de

cruzamento os novos indivduos so criados, o que caracteriza a fase de reproduo.

Existem diversos operadores genticos de reproduo a forma como realizada a

reproduo caracteriza diferentes tipos de algoritmos genticos:

o Algoritmo gentico Geracional: Todo populao substituda a cada gerao;

o Algoritmo gentico em Regime (Steady State): Um novo indivduo inserido

na populao a cada vez que criado com base na avaliao de sua aptido. Caso

a aptido do novo indivduo seja melhor que o pior da lista de classificao ele

ter direito a sobreviver, e o pior da lista ser eliminado.

Mutao: A mutao responsvel por garantir a diversidade da populao [Holland,

1975]. No algoritmo, este operador modifica aleatoriamente alguns genes do indivduo.

Esta operao permite ao algoritmo contornar o problema de convergncia para timos

locais. Como a mutao aleatria, a probabilidade de se chegar a qualquer ponto do

espao de busca nunca nula.

18

4.4 Parmetros genticos

Na natureza, diferentes espcies constituem um meio o qual est em equilbrio. As

diferenas entre as espcies, condies climticas e etc, introduzem certo grau de dificuldade

para sobrevivncia e perpetuao de determinada espcie. Desta forma, os indivduos mais

adaptados e com caractersticas mais favorveis acabam se sobressaindo e levando vantagem

no processo de procriao, perpetuando assim as melhores caractersticas da populao.

A implementao de um algoritmo gentico deve tentar reproduzir de forma artificial

um meio ambiente que selecione as caractersticas desejadas no processo de otimizao. Num

ecossistema, o tamanho de uma populao, as taxas de reproduo e de mutao so intrnsecas

ao equilbrio ecolgico. J em um algoritmo gentico, estes parmetros so determinados de

forma heurstica e podem assumir valores diferentes de acordo com o a natureza fsica do

problema que se est tratando.

A seguir so explanados os principais parmetros genticos:

Tamanho da populao: ao se trabalhar com populaes pequenas o desempenho do

algoritmo pode ser comprometido, j que o espao de busca tambm reduzido. Utilizar

populaes com grande nmero de indivduos fornece uma melhor aproximao

evitando a convergncia prematura do mtodo. Porm, o uso de populaes muito

grandes pode consumir tanto tempo computacional at tornar o mtodo lento em

demasia;

Taxa de cruzamento: A taxa de cruzamento permite que novo material gentico seja

inserido na populao. No entanto, se a taxa de cruzamento for muito elevada, as

caractersticas genticas de boa aptido sero perdidas;

Taxa de mutao: O operador de mutao responsvel por garantir que a soluo no

fique estagnada em um ponto e que a probabilidade de encontrar um ponto de timo

global nunca seja nula. Se for utilizada uma taxa de mutao muito alta, a busca da

soluo tima se torna praticamente aleatria;

Intervalo de gerao: Determina a porcentagem da populao a ser substituda na

gerao seguinte. Com valor alto possvel que se percam indivduos com boas

caractersticas. J se for baixo, o algoritmo se torna muito lento.

19

4.5 Funo aptido e restries

No mtodo dos algoritmos genticos no possvel tratar o problema de otimizao

conforme descrito na equao (3.4). Para o AG a nica informao necessria o valor da

funo objetivo, portanto, deve-se modificar o problema original de para incluir as restries

na funo custo.

Nesta pesquisa adotou-se a tcnica de penalizao sobre as restries. Este mtodo

consiste em utilizar uma combinao linear entre funo objetivo e a equao de cada uma das

restries. Sendo a funo objetivo bem definida, o problema consiste em determinar um

coeficiente de penalizao para as restries de forma que quando as mesmas sejam violadas

causem uma perturbao na funo custo.

O mtodo mais simples de penalizao consiste em aplicar uma penalidade constante a

cada restrio violada:

n

i

ip Cxfxf

1

)()( (4.1)

Onde,

)(xf p a funo objetivo penalizada;

)(xf a funo objetivo original;

C o coeficiente de penalizao imposto as restries;

0i se a restrio no violada;

1i se a restrio violada;

n o nmero de restries do problema.

Diversas tcnicas de penalizao tm sido propostas e algumas delas so discutidas por

Michalewicz [Michalewicz, 1995]. No seu estudo, o autor aborda seis diferentes formas de

penalizao e realiza um comparativo entre elas.

Em um artigo posterior. O mesmo autor [Michalewicz e Schoenauer, 1996] conclui que

mesmo com tcnicas de penalizao mais complexas os ganhos na taxa de convergncia no

so significativos. Ao se realizar uma abordagem mais apurada necessrio realizar o ajuste de

uma srie de parmetros de penalizao. Em consequncia, os coeficientes se tornam adequados

a um problema em especfico e necessitam ser ajustados para cada tipo de problema. Diferente

dos casos mais simples de penalizao onde os coeficientes so mais gerais.

20

A grande desvantagem das tcnicas de penalizao a necessidade de ajustar

heuristicamente o valor da penalizao. Diversos autores tm estudado mtodos para evitar o

uso de funes penalizadas. O trabalho mais notrio sobre o assunto foi apresentado por Deb

[Deb, 1998]. No seu trabalho, as restries so impostas ao problema utilizando o mtodo de

seleo por torneio, comparando os indivduos da populao da seguinte forma:

Caso um indivduo tenha soluo possvel e outro no, o primeiro selecionado;

Entre dois indivduos com soluo possvel seleciona-se aquele com melhor valor da

funo objetivo;

Entre dois indivduos cuja soluo no vivel, seleciona-se aquele que viola o menor

nmero de restries.

Na abordagem proposta por Deb, os parmetros de penalizao so eliminados.

A concluso do autor mostra que a metodologia vlida e conduz a resultados

satisfatrios alm de proporcionar grande ganho em custo computacional.

4.6 Esquema de um algoritmo gentico

O algoritmo inicia estabelecendo uma populao inicial, conforme dito anteriormente,

o ponto de partida pode ser aleatrio ou determinado por algum outro mtodo. Cada um dos

indivduos avaliado, e posteriormente, aplicado algum mtodo de seleo a fim de escolher

os cromossomos mais adequados para o cruzamento. Os operadores de cruzamento e mutao

so aplicados e geram novos indivduos, os quais so mesclados com uma porcentagem dos

melhores cromossomos da gerao anterior para formar uma nova populao. A lista de novos

cromossomos avaliada e caso seja atendido o critrio de parada, o processo de evoluo

finalizado.

A Figura 4.1 apresenta o esquema de evoluo dos algoritmos genticos.

21

Figura 4.1. Esquema de soluo de um algoritmo gentico.

4.7 Comparativo entre algoritmos genticos e algoritmos clssicos de otimizao

No mtodo da programao linear inicia-se a busca da soluo partindo de um ponto

(estimativa inicial), obtm-se as derivadas e consequentemente a direo para qual soluo deve

progredir. Por necessitarem do clculo de derivadas, estes algoritmos recebem o nome de ordem

n, onde n a ordem da derivada a qual o mtodo necessita. Exemplos tpicos destes mtodos

so os mtodos de Newton e gradientes conjugados.

A soluo da programao linear enunciada atravs do teorema: O timo de uma

funo linear em um poliedro convexo nRP encontra-se pelo menos em um vrtice. Se

encontrar em mais de um vrtice, ento ele obtido em todos os pontos pertencentes a

combinao convexa destes vrtices [Dantzig, 1963]. A consequncia do teorema indica que

no problema de otimizao a soluo est sobre um dos vrtices formados pela interseo entre

22

duas ou mais restries. Como a busca feita com base nos gradientes da funo objetivo, ao

chegar em um vrtice onde as derivadas da funo objetivo so positivas, o algoritmo entende

que a soluo do problema foi encontrada. No entanto, no h nenhuma garantia de que o ponto

de mnimo encontrado o mnimo global. O algoritmo apenas convergiu para o ponto timo

mais prximo de sua direo de busca. Desta forma, se faz necessrio utilizar alguma tcnica

de relaxao para que os algoritmos de soluo consigam alcanar os pontos degenerados do

domnio.

Por outro lado, os algoritmos genticos no necessitam nenhuma informao dos

gradientes do problema e so menos suscetveis a e condies de mnimos locais. As diferenas

que tornam os algoritmos genticos versteis e robustos so descritas conforme Goldberg

[Goldberg, 1989]:

Os AGs no necessitam de informaes dos gradientes do problema;

Os AGs podem trabalhar com funes objetivos descontnuas ou com singularidades

sem grande nus ao mtodo;

Os operadores genticos so probabilsticos, desta forma ficam menos suscetveis a

ficarem presos em mnimos locais;

O operador de mutao garante que em nenhum momento a probabilidade de se

encontrar o timo global seja nula.

Permite utilizar as variveis de projeto de forma discreta, Ex: Tabela de perfis comercias

de vigas;

So de fcil implementao numrica.

Dentre as principais desvantagens, cabe citar:

Os parmetros devem ser adequadamente ajustados, caso contrrio pode ocorrer

convergncia prematura ou o problema pode no convergir;

Durante o processo de busca pode ser necessrio avaliar a funo objetivo um nmero

de vezes muito maior quando comparado com os algoritmos de programao linear;

O elevado custo computacional torna esta classe de algoritmos inadequada para

problemas de grande escala.

No h prova de convergncia do mtodo para o mnimo global. No entanto, a prtica

mostra que o mtodo adequado para soluo de problemas multimodais.

23

5 TEORIAS ESTRUTURAIS CLSSICAS

A grande maioria das estruturas reais projetada de forma que os deslocamentos

causados pelas condies de utilizao so to pequenos que e a configurao deformada e

indeformada confundida. Ainda, se porventura o carregamento for aliviado, a estrutura retorna

a sua configurao original. Esse comportamento permite utilizar a teoria da elasticidade linear

infinitesimal para caracterizar o comportamento estrutural. No entanto, para as estruturas reais

no possvel obter a solues das equaes da elasticidade linear infinitesimal de forma trivial.

Muitas vezes a utilizao de simplificaes sobre a geometria e a adoo de hipteses

adequadas sobre o campo de deslocamentos permite simplificar substancialmente o problema.

A construo da soluo a partir de hipteses simplificadoras caracteriza a classe mtodos de

soluo baseados nas teorias estruturais.

Existem diversas teorias estruturais as quais so aplicveis aos mais variados tipos de

problemas. Dentre as teorias mais importantes cabe citar a teoria de barras, vigas e eixos. Estas

teorias so aplicveis a membros cuja seo transversal no varia ao longo do comprimento e

uma de suas dimenses muito maior que as outras duas.

5.1.1 Carregamento axial em Barras

Seja o corpo da Figura 5.1, cuja seo transversal considerada constante, e as

dimenses da seo transversal so muito menores quando comparados ao comprimento (L) do

corpo. Ainda, supondo que os nicos esforos aplicados a este elementos sejam colineares com

o eixo longitudinal. Neste caso, a condio de trao na direo do eixo longitudinal fica

simplificada :

jjnt 11 (5.1)

e, 032 tt consequentemente 031 jt .

onde 1t , 2t e 2t so os vetores de trao na superfcie do corpo e j1 , j2 e j3 as

componentes do tensor tenso de Cauchy.

Assumindo que as condies de contorno de tenso nas demais faces da pea so nulas,

o problema de elasticidade linear infinitesimal fica definido como:

24

n

d

emnt

emuu

fdx

ud

1111

0

11

1

1

11 0)(

(5.2)

Onde 1f a componente do vetor de foras de corpo na direo axial, 0

11 uu a condio de

fronteira de Diriclet e 1111 nt a condio de fronteira de Neuman.

A figura abaixo, apresenta a geometria considerada no caso de barras sujeitas esforos

axiais.

Figura 5.1. Geometria simplificada de uma barra.

5.1.2 Toro em membros circulares

A deduo das equaes de equilbrio, para toro, assume as seguintes hipteses sobre

o campo de deslocamentos:

As sees transversais inicialmente planas e perpendiculares ao eixo longitudinal

permanecem planas e perpendiculares aps o elemento ser submetido a um esforo de

toro;

As deformaes angulares variam linearmente a partir do eixo central;

As traes so aplicadas apenas nas extremidades.

A figura abaixo ilustra a hiptese sobre o campo de deslocamentos em um membro

circular sob esforos de toro:

25

Figura 5.2. Ilustrao da hiptese sobre os deslocamentos em um membro circular de seo

constante.

Para membros circulares, convm definir as equaes no sistema de coordenadas

cilndrico. Assim, resulta que o campo de deslocamentos representado por:

)1(Xu (5.3)

onde u o deslocamento angular da seo.

A nica componente de tenses no nula 1

1dx

duG , onde a coordenada radial

da seo.

O problema geral de toro em barras circulares fica definido da seguinte forma:

A

d

dAT

emuu

fdx

duG

dx

d

1

0

11

0

(5.4)

onde T o torque aplicado nas extremidades da barra.

No caso de membros cuja seo transversal no circular, as hipteses consideradas em

barras circulares no so mais vlidas. A seo transversal, inicialmente plana no permanece

plana aps a deformao. Maiores detalhes sobre a formulao para toro em barras no

circulares podem ser encontrados em Popov [Popov, 20001].

26

5.1.3 Flexo de vigas

Dentre muitas teorias de vigas existentes uma se destaca por sua simplicidade e

aplicabilidade em uma variada gama de problemas de engenharia. A teoria de Euler- Bernoulli,

para flexo de vigas, assume a seguinte hiptese fundamental sobre o campo de deslocamentos:

As sees transversais, inicialmente planas e perpendiculares ao eixo da viga,

permanecem planas e perpendiculares aps sofrer uma deformao causada por

momento fletor.

Admitindo a hiptese acima, o campo de deslocamentos descrito em funo da

deflexo vertical da linha mdia da seo:

)( 133

1

331

Xuu

dX

duXu

(5.5)

Calculando as deformaes conforme tensor de deformaes infinitesimais e adotando

a lei constitutiva elstica linear isotpica, resulta no campo de tenses abaixo:

0

0

322331132112

2

1

3

2

333

2211

dX

udEX (5.6)

Reescrevendo a equao de equilbrio em termos do campo de deslocamentos, o

problema de flexo em vigas fica definido como:

2

0

1

3

1

0

33

3

1

3

2

1

2

emdX

du

emuu

fdX

udEI

dX

dz

(5.7)

onde 3f o vetor de cargas na direo 3, 0

3u a condio de deslocamento prescrito e 0 a

condio de rotao prescrita.

A aplicao da teoria de vigas de Euler-Bernoulli restrita aos casos onde o

cisalhamento no tem importncia significativa no comportamento estrutural.

27

6 ELEMENTOS FINITOS

Neste captulo feita uma sntese do mtodo dos elementos finitos atravs da abordagem

variacional. A reviso feita com base no livro Finite Element Procedures [Bathe, 1996].

6.1 Histrico do Mtodo dos elementos finitos

Na teoria da elasticidade, a preocupao principal est centralizada em propor modelos

matemticos que sejam capazes de representar a situao real de componentes sujeito a

esforos. Na maioria das vezes, a soluo dos modelos matemticos para casos prticos

apresentam dificuldades intransponveis.

Nos casos reais de engenharia de grande complexidade a tarefa de representar

matematicamente a geometria, condies de contorno, comportamento dos materiais e etc.

Muitas vezes, para obter a soluo de um problema de forma analtica, se faz necessrio

introduo de inmeras hipteses simplificadoras, que acabam diminuindo a fidelidade do

modelo matemtico em relao ao fenmeno fsico. Contudo, cada vez mais necessrio

realizar estudos mais precisos para determinar o comportamento estrutural de peas e

componentes. Resulta, que os modelos matemticos criados so complexos em demasia para

serem tratados analiticamente.

Assim, a nica maneira de obter solues mais precisas para problemas reais a adoo

de um mtodo de aproximao que seja capaz de representar os princpios das teorias

matemticas de forma acessvel e suficientemente precisa. Dentre os diversos mtodos

existentes, os que mais se destacaram so aqueles baseados na diviso do meio contnuo em

pedaos menores. O mtodo dos elementos finitos sem dvida a abordagem mais utilizada

para soluo de problemas estruturais. A sua larga utilizao se deve ao fato de poder ser

aplicado em diferentes reas, mecnica dos slidos, mecnica dos fludos, eletromagnetismo,

etc.

A origem do mtodo no claramente conhecida. Segundo Felippa [Felippa, 2001]

estima-se que o mtodo foi criado na Inglaterra ou na Alemanha no final da dcada de 1920 ou

no nicioda dcada de 1930. No entanto, foi em 1943 que o matemtico Richard Courant

[Courant, 1943] publicou um estudo onde props a aproximao para a soluo do problema

de toro atravs da utilizao de funes lineares. O domnio foi dividido em regies

triangulares, e sobre cada pedao foram aplicadas as condies de equilbrio e obtidas s

28

solues para elasticidade linear isotrpica de forma aproximada. Devido aproximao por

funes lineares e a forma de diviso do domnio, esta publicao deu origem ao conhecido

elemento finito denominado triangulo de deformaes constantes (CST).

Argyris e Kelsey [Argyris e Kelsey, 1960] publicaram um estudo onde foram unificados

os conceitos de anlise estrutural e anlise do meio contnuo e propuseram os procedimentos

de soluo na forma matricial. Este o considerado por Bathe [Bathe, 1996] um dos trabalhos

percursores para o desenvolvimento do mtodo dos elementos finitos. Outro trabalho

considerado de suma importncia foi produzido por Turner [Turner, 1956] onde o mtodo da

rigidez direta proposto de maneira geral e eficiente de forma que se tornou a base para o

mtodo dos elementos finitos.

At ento o mtodo no dispunha de uma terminologia caracterstico. O termo

Elemento Finito foi citado pela primeira vez por Clought [Clought, 1960].

Posteriormente as publicaes mencionadas, a partir da dcada de 60, iniciou-se um

desenvolvimento intensivo do mtodo. Impulsionado pelo surgimento dos computadores

digitais e pela nova realidade em termos de processamento computacional o mtodo difundiu-

se e se tornou muito popular na indstria e no meio acadmico [Fonseca, 2002].

6.2 Formulao geral do mtodo dos elementos finitos

O mtodo dos elementos finitos utiliza a formulao fraca dos mtodos dos resduos

ponderados, ou a formulao variacional quando existe um funcional associado ao problema.

No mtodo dos elementos finitos so obtidos os campos de deslocamentos, e

posteriormente, por diferenciao so obtidas as deformaes e tenses.

Uma das formas de deduo do mtodo atravs do enunciado dos princpio dos

trabalhos virtuais e do princpios da mnima energia potencial.

6.2.1 Princpio dos trabalhos virtuais

Considere um corpo qualquer sujeito a foras de corpo e de superfcie. Com base no seu

equilbrio esttico, sua configurao modificada por um conjunto de pequenos deslocamentos

que so compatveis com suas condies de contorno. O princpio dos trabalhos virtuais

estabelece que o trabalho realizado pelas tenses internas nas deformaes virtuais igual ao

trabalho realizado pelas foras externas nos deslocamentos virtuais dos seus pontos de

aplicao.

29

6.2.2 Princpio da mnima energia potencial

A energia potencial de um corpo definida como a soma da energia de deformao e o

trabalho realizado pelas foras externas. Partindo da forma geral do funcional de energia

potencial:

)()( ufuB (6.1)

onde

dCuB T )(2

1)( (6.2)

corresponde parcela de energia potencial de deformao, o tensor deformao e C o tensor

constitutivo , e:

dutdubuf )( (6.3)

o trabalho realizado pelas foras externas. O termo esquerda corresponde ao trabalho

realizado pelas foras de corpo e o termo mais direita o trabalho realizado pelas foras de

superfcie.

Princpio da mnima energia potencial: De todas as configuraes possveis

(cinematicamente admissveis) que um slido deformvel pode assumir, a que ocorre aquela

que resulta na energia potencial mnima. Em termos matemticos, significa realizar a primeira

variao do funcional de energia em relao aos deslocamentos:

dutdubdC TTT

0)(

(6.4)

que a forma geral do enunciado do princpios dos trabalhos virtuais.

O mtodo dos elementos finitos, consiste em aproximar o campo de deslocamentos por

um conjunto de funes de interpolao que so definidas em termos dos deslocamentos nodais:

euNu ][ (6.5)

onde eu so os deslocamentos dos ns de cada elemento finito e ][N o vetor de funes de

interpolao. Inserindo a equao 5.5 na equao 5.4 e realizando as devidas simplificaes,

resulta que:

30

0

dFNdFNduBCB ST

C

T

e

T (6.6)

A equao acima a forma geral do mtodo dos elementos finitos. O termo

eT

KdBCB

a matriz de rigidez do elemento finito, e o termo

eST

C

TFdFNdFN

o vetor de foras nodais do elemento.

O que resulta na forma clssica de um problema de elementos finitos:

eee FuK (6.7)

6.3 Elemento finito de barra

O elemento finito para barras o elemento mais simples entre os elementos finitos para

anlise estrutural.

Figura 6.1. Elemento finito para uma barra, definido em coordenadas globais e coordenadas

paramtricas.

Conforme dito anteriormente, hiptese fundamental est em definir a forma das funes

de interpolao. Para o caso de barras so consideradas funes de interpolao lineares.

Abaixo so listadas as funes de interpolao para o elemento finito de barra:

2

1 1

N

N (6.8)

As funes de interpolao so equaes polinomiais que atendem o seguinte requisito

fundamental:

Cada uma das funes tem valor unitrio para o n onde definida, e nula nos demais

ns;

31

Geralmente, as funes de interpolao so definidas em termos de um elemento

unitrio em coordenadas parametrizadas.

Assim, as coordenadas nodais tambm so definidas em termos das funes de

interpolao:

2

1

21x

xNNx (6.9)

No caso de elementos unidimensionais, a relao entre o sistema de coordenadas global

e o elemento em coordenadas parametrizadas fica:

L

x (6.10)

Definindo os deslocamentos em funo das funes de interpolao:

2

1

21

x

x

eu

uNNu (6.11)

O campo de deformaes fica:

2

121

x

xe

u

u

dx

dN

dx

dN

dx

du (6.12)

Como as funes de interpolao so definidas em termos das coordenadas

paramtricas, para obter as derivadas em relao s coordenadas cartesianas necessrio

utilizar a regra da cadeia:

dx

dN

dx

dNL

dx

dN

dx

dN

d

dx

d

dN

d

dN 212121

(6.13)

11

11 2121

Ld

dN

d

dN

Ldx

dN

dx

dN

(6.14)

Substituindo o resultado acima na equao (6.12), o campo de deformaes definido

da seguinte forma:

2

111

x

x

u

u

LL (6.15)

euB

(6.16)

Substituindo o resultado da equao (6.16) na equao (6.6):

11

111

0L

EALdBEBAK

T

e (6.17)

32

Que a matriz de rigidez para um elemento de barra alinhado com o sistema de

coordenadas global.

6.4 Elemento finito de toro

O elemento finito para efeitos de toro utiliza as mesmas funes de interpolao que

o elemento de barra (equao (6.8)). A diferena est nos graus de liberdade que so

interpolados:

2

1

21

x

x

e NNu

(6.18)

onde 1x e 2x so os ngulos de toro do eixo nos ns.

Procedendo de maneira idntica ao a deduo do elemento de barra, a matriz de rigidez

do eixo definida como:

11

111

0L

GILBGBIK t

T

te (6.19)

onde G o mdulo de cisalhamento do material e tI o momento polar de inrcia da seo.

A matriz de rigidez de toro obtida vlida somente para elementos com sees

circulares.

6.5 Elemento finito de viga em duas dimenses

A Figura 6.2 apresenta o elemento finito de viga e os graus de liberdade considerados

para deduo da matriz de rigidez.

So necessrias quatro funes de interpolao para caracterizar o comportamento de

um elemento de viga. A equao (6.20) apresenta as funes de interpolao para o elemento

de viga:

)1(

)23(

)21(

231

2

4

2

3

2

2

32

1

LN

N

LN

N

(6.20)

as quais so chamadas de polinmios de Hermite.

Devido a hiptese de que as sees permanecem planas e perpendiculares aps a

deformao, os deslocamentos transversais e rotaes da linha neutra da viga so relacionados

33

de forma direta. Dessa forma, necessrio definir funo de interpolao para 4 graus de

liberdade, 2 translaes e duas rotaes em cada elemento. As funes N2 e N4 so as funes

de interpolao para as rotaes da linha neutra, estas so definidas de maneira que as derivadas

das mesmas so unitrias para o n onde cada uma definida.

A forma de cada um das funes est representada graficamente na Figura 6.3.

Figura 6.2. Elemento fin