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OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA APLICADA AO PROJETO DE SISTEMAS FLUIDOS E TÉRMICOS
Agradecimento:
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecatrônica e Sistemas Mecânicos
Adriano Akio Koga
Prof. Dr. Emílio Carlos Nelli Silva
contato:
Sumário
Método de Otimização Topológica Aplicado a Meios Fluidos
Estudo de Caso
Motivação e Objetivos
Fundamentação Teórica- Formulação da Mecânica dos Fluidos;
- Método dos Elementos Finitos (MEF).
Formulações de Otimização
Implementação Numérica
Exemplos
Conclusões1
Como tudo começou…
M. P. Bendsøe and N. Kikuchi, “Generating optimal topologies in
structural design using a homogenization method”, Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering 71, pp.197–224,
1988.
Em 2008 comemorou-se 20 anos!!!
• Problemas estruturais em geral:
* maximização da rigidez, freqüência de ressonância (ou carga
de flambagem);
* minimização da resposta em freqüência;
* maximização da absorção de energia de impacto;
* etc...
• Problemas de Condutividade Térmica;
• Projeto de materiais compostos com propriedades desejadas;
A Expansão …
As Três Ondas (“Big Waves”)...
Primeira Onda
• Mecanismos Flexíveis;
• MEMS (“Microelectromechanical Systems”)
• Transdutores (atuadores, motores) Piezoelétricos;
• Dispositivos Eletromagnéticos:
* maximização da relação torque/volume nos motores elétricos;
* maximização da receptividade e emissividade em antenas;
Segunda Onda
Terceira Onda
A Expansão …
• Meios Fluidos
• Estruturas “band-gap” Fonônicas: isolamento acústico,
isolamento de vibrações mecânicas, dispositivos SAW, etc…
• Materiais “band-gap” Fotônicos: projeto de filtros
eletrônicos, antenas, fibra óptica, “laser switch”, etc…
Técnicas de Otimização Para Sistemas Fluidos
Abordagens de Otimização
9
Otimização
Paramétrica
Otimizaçãode forma
OtimizaçãoTopológica
elementosde tubos
“splines”
distribuiçãode material
Bendsøe, M. P., e O. Sigmund. “Topology Optimization - Theory, Methods and Applications.”
Berlin Heidelberg: Springer Verlag, 2003.
Definição
10
Procedimentos da Otimização
- Distribuição de uma quantidade limitada de material para
obtenção de uma topologia otimizada.
Domínio Inicial Domínio Discretizado Topologia Obtida
Pós-ProcessamentoVerificação
Fabricação
Ventr
Vsaída
Otimização Topológica Para Meios Fluidos
11Borrvall, T., e J. Petersson. “Topology optimization of fluids in Stokes flow.” International Journal for
Numerical Methods in Fluids 41, 2003: 77–107.
Minimização de arrasto em
perfis
Seletor de escoamentoReversor de escoamento 3D
Canal duplo
Distribuição do material “fluido” e “sólido”
Otimização Topológica Para Meios Fluidos
Estudo de Caso
2
Dispositivos de microcanais:
- misturadores;
- dosagem e análise de reagentes
químicos;
- sensores;
- “lab-on-a-chip”;
- trocadores de calor.
Whitesides, G. M. “The origins and the future of
microfluidics.” Nature 442 (2006): 368-373.
Aplicações
Bioengenharia:
Indústria Eletrônica:
Vantagens da otimização no
projeto:
Motivação
• Automação Laboratorial
• Dosagem de reagentes
• Sensores e “lab-on-a-chip”
• Dissipadores de calor
• Melhor desempenho
• Minimização da dissipação de
energia
• Menor consumo de energia3
Aplicação do Método de Otimização Topológica
para o projeto de dispositivos de microcanais que
resultem em menor perda de carga no escoamento
fluido e maior dissipação térmica (remoção de calor).
Objetivo
4
Dispositivos de microcanais:
- pequena escala (mm~cm);
- água como fluido base;
- baixas velocidades / baixo número de Reynolds (Re<1);
- regime permanente.
Fundamentação Teórica
5
2
0
pt
t
uu u u f
u
Equações de Navier-Stokes
2
0
pu f
u
Equações de Stokes
- regime permanente;
- baixo número de Reynolds
(Re<1);
- termo convectivo desprezível;
- predomínio de efeitos viscosos;
- escoamento incompressível;
u – velocidade
p – pressão
f – forças de corpo
μ – viscodidade do
fluido
ρ – densidade do
fluido
- escoamento através de meios porosos;
- permeabilidade do material.
6
Equação de Darcy
Vin Vout
Equações de Brinkman
2
0
pu u f
u
- Stokes + Darcy
α – permeabilidade
inversa do meio
poroso
pu f
α como fator de penalização
Fundamentação Teórica
Borrvall, T., e J. Petersson. “Topology optimization of fluids in Stokes flow.” International Journal for
Numerical Methods in Fluids 41, 2003: 77–107.
7
- descreve os processos de troca de calor;
- condução/convecção.
Equação de Transferência de Calor (equação
de energia)
TkTct
Tc pp
2
tfu
u – velocidade
T – temperatura
ft – fonte de calor
k – condutividade térmica
cp – calor específico
ρ – densidade do fluido
Fundamentação Teórica
Método de Elementos Finitos (MEF)
8
- Elemento Fluido
1
2
3
4
u1
u2
u3
u4
v1
v2
v3
v4
x
y
velocidade
pressão
- Elemento Térmico
1
2
4
T1
T2
T3
T4
x
y
temperatura
T u fK G
p 0-G 0
1 1 2 2 3 3 4 4
tu v u v u v u vu
pp
Tn T kT q
1 2 3 4{ }TT T T TT
Formulação
Streamline Upwind
Petrov-Galerkin
12
Domínio Fixo Estendido
Ω
Ωd
Ω
Γu
Γt ?
Modelo de Material
- modelo SIMP (“Solid Isotropic Material with Penalization”)
p=1
23
46
10
C(x
)ρ(x)
00
0.2 0.4 0.6 0.8 1
C0
0 1
?
0 1Problema discreto
(mal-posto)
Problema relaxado
p – fator de penalização
O problema é relaxado, permitindo
que a variável de projeto assuma
valores intermediários durante o
processo de otimização.
0C Cx x0
pC Cx x
Conceitos da Otimização Topológica
Formulação do Problema de Otimização
13Solução através de PLS (Programação Linear Seqüencial)
Minimização de perdas de carga
uIN
uOUT
u=0
minimizar: energia potencial de escoamento do
sistema fluido
sujeito a: equações de equilíbrio
restrição de volume
Formulação do Problema de Otimização
14Solução através de PLS (Programação Linear Sequencial)
Maximização de velocidade
u
u
IN
OUT
u i
u=0
maximizar: velocidade em pontos definidos
sujeito a: equações de equilíbrio
restrição de volume
Formulação do Problema de Otimização
15Solução através de PLS (Programação Linear Sequencial)
Maximização da condutividade (dissipação) térmica
calor
adiabático T=T 0
maximizar: energia potencial térmica
sujeito a: equações de equilíbrio térmicas
restrição de volume
Formulação do Problema de Otimização
16Solução através de PLS (Programação Linear Sequencial)
Função multi-objetivo
min: perda de carga
max: dissipação térmica
Cálculo de Sensibilidade
através do Método Adjunto
u in u outcalor
u=0
adiabático T=T0
minimizar: função multi-objetivo
sujeito a: equações de equilíbrio fluídicas
equações de equilíbrio térmicas
restrição de volumeTin, Tout,
17
Fluxograma da Otimização
Implementação Numérica
início
MEF
cálculo dos gradientes
otimização
resultado
convergiu?
S
N
Ventr
Vsaída
Software
totalmente
implementado
em Matlab
18
Interface Gráfica em Ambiente Matlab
Otimização Topológica
Exemplos – Minimização da Perda de Carga
Canal em Curva
19
?u=1v=0
u=0v=-1
x
y
0 5 10 15 20 25 305
10
15
20Energia dissipada ao longo das iterações
iterações
Fu
nçã
o O
bje
tivo
V=0,25 V=0,4 V=0,6 V=0,7
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
(Borrvall and Petersson, 2003)
Vetores de velocidade Módulo da velocidade Campo de pressões
frações de volume
V=0,4
Canal em Curva
21
Independência de Malha
20x20 elementos 40x40 elementos 80x80 elementos
Exemplos – Minimização da Perda de Carga
Bocal/Difusor
22
0 5 10 15 20 25 3020
40
60
80
100Energia dissipada ao longo das iterações
Iterações
Fu
nçã
o O
bje
tivo
1
1/3u=1v=0
x
y
u=3v=0? 60x60 elementos 120x120 elementos
V=0,5
10 20 30 40 50 60
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
80
100
120
140
160
180
200
(Borrvall and Petersson, 2003)
Módulo da velocidade Campo de pressões
Exemplos – Minimização da Perda de Carga
Canal Duplo
23
x
y
?0.2
1/4
0.2
1
δ
1/4
δ = 1,0 δ = 1,5
malha
refinada
(Borrvall and Petersson, 2003)
10 20 30 40 50 60
5
10
15
20
25
30
35
40
0
20
40
60
80
100
120
140
Módulo da velocidade Campo de pressões
V=0,4
Exemplos – Minimização da Perda de Carga
Escoamento ao redor de perfis
24
10
20
30
40
50
60
70
8010 20 30 40 50 60 70 80
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
1
1u=1
v=0u=1
v=0
V = 0,85
V = 0,90
V = 0,95
Módulo da velocidade Campo de pressões
Exemplos – Minimização da Perda de Carga
Campo de Pressões
0
100
200
300
400
500
600
Exemplos – Maximização da velocidade
Reversor
25
u=1v=0
u=0v=-1
x
y
uoutmax
UX
40x40 elementos 80x80 elementos
Campo de pressões
0 5 10 15 20 25 30
-1.6-1.4
-1.2
-1-0.8
-0.6-0.4
-0.20
0.2velocidade ao longo das iterações
iterações
fun
ção o
bje
tivo
V=0,4
Vetores de velocidade
Exemplos – Maximização da Dissipação Térmica
Dissipador de calor (Condução pura)
26
T=0
Calor distribuído
40x40 elementos 160x160 elementos
Distribuição de Temperatura
Trocador de calor (Convecção/Difusão)
27
Exemplos – Maximização da Dissipação Térmica
Pesos da otimização:
u – peso da otimização fluídica
w – peso da otimização térmica
?
u=0v=-1
x
y
T=20ºC
CalorDistribuído
p=0 p=0
Sólido: alumínio
Fluido: águaad
iab
átic
o adiab
ático
Trocador de calor (Convecção/Difusão)
28
Resultados – Maximização da Dissipação Térmica
?
u=0v=- 1
x
y
T=20
CalorDistribuído
p=0 p=0
u=100; w=1 u=1; w=10
u=1; w=100
Perda de carga
u=1; w=1000
Térmico
29
Exemplos – Maximização da Dissipação Térmica
Trocador de calor (Convecção/Difusão)
densidade velocidade
distribuição de temperatura (simetria)
?
u=0v=- 1
x
y
T=20
CalorDistribuído
p=0 p=0
Conclusões
• O MOT consiste num método de otimização robusto e
sistemático no projeto de sistemas termo-fluidos;
•O método permite obter a geometria de um canal de escoamento
do fluido mais eficiente, reduzindo as perdas de carga ao longo
do mesmo, bem como domínios com melhor condução térmica;
• É possível combinar os dois fenômenos através de uma função
multi-objetivo, sendo útil no projeto de trocadores de calor;
•A otimização topológica permite o desenvolvimento de um
projeto mais eficiente com relação às dissipações termo-fluidicas;
30
![Grupo 3 Lista Sapequinha - Colégio Palas Atena · K u ] ] P µ ] À } v À ] } ] ] u v } u v ] } v](https://img.document.onl/doc/110x75/5f902f9344d5bd3432265c4c/grupo-3-lista-sapequinha-colgio-palas-k-u-p-v-u-v-.jpg)
![Excel - formatado - Copia€¦ · K v · u } ] ] À _ P µ o ] u o v } v · u } ] v u Z } V } v · u } µ v u X](https://img.document.onl/doc/110x75/60fad68b56a7f7480f7bdfc4/excel-formatado-copia-k-v-u-p-o-u-o-v-v-u-v-u-z-v-.jpg)
![W Ì } o ] v U P µ ] ] } v ] ] o ] Ì u } µ u µ u } } u ] v ...€¦ · W Ì } o ] v U P µ ] ] } v ] ] o ] Ì u } µ u µ u } } u ] v ( } u v ] ] } ] v µ u v }](https://img.document.onl/doc/110x75/5f66b514d61239776070c2a9/w-oe-o-v-u-p-v-o-oe-u-u-u-u-v-w-oe-o-v.jpg)
![Chaminade CARTAS 3 - Ágora Marianista...} Ç u µ Ç } v v } U u ] µ ] } Z ] i } U µ ^ ] v rZ u Ç À Ì u } µ ] À } V À u ] v } v P µ } o ( µ v ] } v u ] v } µ v µ v o o](https://img.document.onl/doc/110x75/5fae9148f4bfd635d90cabb2/chaminade-cartas-3-gora-marianista-u-v-v-u-u-z-.jpg)
![AULA 12 - AULA · W> d &KZD t W o ( } u ] W ±& u v µ ] o ] Ì o ] u /& Z E X X X Z ^ ^K / /^ d u } o ] } v u v } v } U Æ ]](https://img.document.onl/doc/110x75/602de165dfafe12bfb6af673/aula-12-aula-w-d-kzd-t-w-o-u-w-u-v-o-oe-o-u-.jpg)
![z u v µ } ] } P ( ] · > ] W ! u ] } ] v ] W o µ v cZ v } ^ c } P Z ] z u v µ ^ ( } u ] v ] } } ' u u Ç > ] v } î ì í ô X](https://img.document.onl/doc/110x75/6142477655c1d11d1b3417e8/z-u-v-p-w-u-v-w-o-v-cz-v-c-p-z-z-u-v-.jpg)
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![Z ] } : v ] } W ( ] µ D µ v ] ] o D Z ] u v } u } ] } v ...€¦ · } } Z ] } : v ] } W ( ] µ D µ v ] ] o D Z ] u v } u } ] } v } } í ï l ì óY µ W o](https://img.document.onl/doc/110x75/5fbb1a6cc5d958305744b563/z-v-w-d-v-o-d-z-u-v-u-v-z-v-.jpg)
![Nota Tecnica 02 COVIDIMETROS ERJ - ufrj.br · E } d v ] µ o ] Ì ] v ( } u v u í } } } Z ] } : v ] } U Z P ] D } } o ] v / // U ] } Z ] }](https://img.document.onl/doc/110x75/5f79d41d7a71d5541268c6e4/nota-tecnica-02-covidimetros-erj-ufrjbr-e-d-v-o-oe-v-u-v-u-.jpg)
![r o Z Ç v W v } ^ v P Ç D ] ] v d v ( µ ] } v o U ^ ] u](https://img.document.onl/doc/110x75/62d62fc48fae164ac2663384/r-o-z-v-w-v-v-p-d-v-d-v-v-o-u-u-.jpg)
![í D ] o ^ ] v > ] ] } v · ð P v u ] } ] } ] ] v } µ } ] À u } v Z ] u v } ] D^> À](https://img.document.onl/doc/110x75/5f09e7dd7e708231d429114f/-d-o-v-v-p-v-u-v-u-v-z-u-v-.jpg)
![u v]u oWKhDWµv ] } }v } ] v](https://img.document.onl/doc/110x75/616a52a111a7b741a3513da0/u-vu-owkhdwv-v-v.jpg)
![> ^^/&/ K ^/ K^ KDWKZd D EdK^ E W^/ Kd Z W/ W &hE /KE ...( ] o Z } U ] v } v ] v v } u v i } } v ] v P ! v ] ( } u v } X U } u } µ o } } ] } } u } u v o ] v o } v } } } Z ] ] } v](https://img.document.onl/doc/110x75/612921fb9daefb7735270c37/-k-k-kdwkzd-d-edk-e-w-kd-z-w-w-he-ke-o-z-u.jpg)