Otimização Topológica Estrutural em Estado Plano deDeformações

Renatha B. dos Santos, Antonio A. Novotny,LNCC - Laboratório Nacional de Computação Científica

25651-075, Petrópolis, RJE-mail: renatha@lncc.br, novotny@lncc.br.

Palavras-chave: Derivada Topológica, Otimização Topológica, Múltiplos carregamentos, EstadoPlano de Deformações

Resumo: A derivada topológica mede a sensibilidade de um dado funcional com respeito a umaperturbação infinitessimal no domínio, como a inserção de furos, inclusões ou até mesmo ter-mos fontes. A derivada topológica vem sendo utilizada com sucesso na obtenção de topologiaótima para uma grande classe de problemas da física e da engenharia. Neste trabalho utiliza-sea derivada topológica em um problema de otimização topológica estrutural em estado plano dedeformação. Em particular, minimiza-se a flexibilidade da estrutura submetida a vários casos decarregamento considerando uma restrição no volume. Uma vez que lida-se com múltiplos casosde carregamento um problema de otimização multi-objetivo é proposto e a derivada topológica éobtida como uma soma para cada caso de carregamento.

1 Introdução

Em Elasticidade Linear consideram-se dois tipos de problemas planos: problemas em estadoplano de tensões e problemas em estado plano de deformações. Os problemas em estado planode deformação caracterizam-se por estruturas nas quais a dimensão na direção z é muito maiorque as dimensões no plano xy. As cargas são paralelas ao plano xy e não variam na direçãoz. Assume-se que os deslocamentos na direção z sejam restringidos. Desta forma, qualquerseção transversal (paralela ao plano xy) encontra-se submetida ao mesmo estado de deformação.Nesta seção é apresentado um modelo matemático para o cálculo da derivada topológica paraum problema em elasticidade linear bidimensional em estado plano de deformação considerandoa hipótese de pequenas deformações.

Considere um domínio Ω ⊂ R2. Introduz-se uma função característica χ = 1Ω associada aodomínio, tal que:

|Ω| =∫R2

χ, (1)

onde |Ω| é a medida de Lebesgue de Ω. Deseja-se calcular a derivada topológica do funcionalenergia potencial total

ψ(χ) := Jχ(u) =1

2

∫Ωσ(u) · ∇su−

∫ΓN

q · u . (2)

O campo vetorial u representa o deslocamento de cada ponto do domínio e é solução do seguinteproblema variacional: Achar u ∈ U tal que∫

Ωσ(u) · ∇sη =

∫ΓN

q · η, ∀η ∈ V, (3)

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com σ(u) = C∇su. Aqui entende-se: σ(u) tensor de Cauchy de 2a ordem ou tensor tensão, ∇su =12(∇u+∇Tu) tensor de Green linearizado, também de 2a ordem, ou tensor das deformações e Ctensor de Hooke generalizado (constitutivo) de quarta ordem dado por:

C = 2µI+ λI ⊗ I, (4)

onde I e I são os tensores identidade de segunda e quarta ordem, respectivamente, µ e λ são oscoeficientes de Lamé, ambos considerados constantes em todo domínio, o que caracteriza o casoisotrópico e homogêneo. Em estado plano de deformação:

µ =E

2(1 + ν)e λ =

νE

(1 + ν)(1− 2ν), (5)

onde E é o módulo de elasticidade de Young e ν é o coeficiente de Poisson. O conjunto U e oespaço V são definidos como:

U := φ ∈ H1(Ω;R2) : φ|ΓD= u, (6)

V := φ ∈ H1(Ω;R2) : φ|ΓD= 0. (7)

2 Conceito de Derivada Topológica

Considera-se agora que Ω é submetido a uma perturbação não suave confinada numa pequenaregião ωε(x) = x + εω de tamanho ε, com x um ponto arbitrário do domínio e ω um domíniofixo em R2, como mostra a figura 1.

Figura 1: Conceito de derivada topológica.

Então, define-se também, uma função característica associada ao domínio topologicamenteperturbado na forma, x 7→ χε(x). No caso de furo, por exemplo, χε(x) = 1Ω−1ωε(x)

, e o domíniotopologicamente perturbado é obtido na forma: Ωε(x) = Ω \ ωε(x). Então, assume-se que, dadoum funcional de forma ψ(χε(x)) associado ao domínio topologicamente perturbado, admite-se aseguinte expansão assintótica topológica:

ψ(χε(x)) = ψ(χ) + f(ε)T (x) + o(f(ε)), (8)

onde ψ(χ) é o funcional de forma associado ao domínio original (não perturbado), f(ε) é umafunção positiva tal que f(ε) → 0 quando ε → 0. A função x 7→ T (x) é chamada de derivadatopológica de ψ no ponto x. Reescrevendo (8) e tomando o limite quando ε→ 0, obtem-se:

T (x) = limε→0

ψ(χε(x))− ψ(χ)

f(ε). (9)

Neste trabalho, o domínio é topologicamente perturbado pela nucleação de uma pequenainclusão, ao invés de fazer furos. Mais precisamente, o domínio perturbado é obtido quandouma região Bε(x) é inserida em Ω, onde Bε(x) é usada para denotar a bola de raio ε e centroem x ∈ Ω. Em seguida, essa região é preenchida por uma inclusão com propriedade materialdiferente da propriedade do meio. Em particular, χε(x) = 1Ω− (1− γ)1Bε(x), e γε é uma funçãoconstante por partes na forma:

γε = γε(x) :=

1, se x ∈ Ω \Bε,γ, se x ∈ Bε,

(10)

onde γ ∈ R+ é o contraste na propriedade material.

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3 Derivada Topológica

A expansão assintótica topológica do funcional energia é dada por [1]:

ψ(χε(x)) = ψ(χ)− πε2Pγσ(u(x)) · ∇su(x) + o(ε2). (11)

onde o tensor de polarização Pγ é dado pelo seguinte tensor isotrópico de quarta ordem:

Pγ =1

2

1− γ

1 + γα2

((1 + α2)I+

1

2(α1 − α2)

1− γ

1 + γα1I ⊗ I

), (12)

com

α1 =1

1− 2νe α2 = 3− 4ν. (13)

Tomando f(ε) = πε2, tem-se a seguinte fórmula para a derivada topológica,

T (x) = −Pγσ(u(x)) · ∇su(x). (14)

4 Resultados Numéricos

O problema de otimização que deseja-se resolver é: Minimizar FΩ(ui) = −n∑

i=1

Jχ(ui),

sujeito à |Ω| ≤ |Ω∗|,(15)

onde n é o número de casos de carregamento. Utilizando o método da penalização linear paracontrole de volume, o problema de otimização (15), é reescrito como:

minΩ⊂R2

FβΩ(ui) , (16)

ondeFβΩ(ui) = FΩ(ui) + β|Ω|, (17)

sendo β um multiplicador fixo que impõe a restrição na quantidade de material. Como o problemaé linear, a derivada topológica associada ao funcional (17) é escrita como:

T (x) =

n∑i=1

Ti(x)− λ (18)

onde, de (14):

Ti(x) = Pγσ(ui(x)) · ∇sui(x). (19)

No exemplo aqui apresentado, o domínio Ω é discretizado por elementos finitos. Utiliza-se oalgorítmo proposto por [2], que baseia-se em uma representação por função level-set para odomínio. Consideram-se dois casos:

• caso 1: as cargas são aplicadas simultaneamente (único carregamento),

• caso 2: as cargas são aplicadas separadamente (múltiplo carregamento).

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4.1 Exemplo

A figura 2 representa o domínio inicial submetido a um carregamento distribuído na laterale a três forças concentradas tal que q1 = 2q e a intensidade de q = 0.1. Para o coeficientede penalização foi tomado β = 3.0. O contraste na propriedade material γ = 10−4. O módulode Young E = 1 e o coeficiente de Poisson ν = 0.3. A malha inicial é uniforme com 400elementos finitos. As topologias finais foram obtidas com 33 e 31 iterações para o caso 1 e caso2 respectivamente. Veja figuras 3(a) e 3(b).

Figura 2: Modelo

(a) único carregamento (b) múltiplo carregamento

Figura 3: Resultados

5 Conclusão

Neste trabalho a derivada topológica foi utilizada no contexto de otimização topológica deestruturas em estado plano de deformação sujeitas a múltiplos casos de carregamento. A otimiza-ção topológica foi feita minimizando-se a flexibilidade da estrutura com restrição em volume. Aderivada topológica foi encontrada como uma soma das derivadas topológicas para cada caso decarregamento, uma vez que o problema de otimização é multi-objetivo. Por fim foi apresentadoum exemplo numérico de otimização estrutural mostrando o papel dos múltiplos carregamentos.

Referências

[1] Novotny, A.A., Sokołowski J., Topological Derivatives in Shape Optimization, LecturesNotes, Brazil-France (2012).

[2] Amstutz S., Andra H., A new algorithm for topology optimization using a level-set method,Journal of Computational Physics, vol. 216(2), pp. 573-588 (2006)

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