1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:

- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:          a1=5     r=11    a13=?        - Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:

        a13 = 5 + (13 - 1).11        a13 = 5 + (12).11        a13 = 5 + 132        a13 = 137

2) Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:

        a5 = a1 + (5 - 1).r        100 = a1 + (5 - 1).10        100 = a1 + 40        100 - 40 = a1

        a1 = 60

3) Sendo a7 = 21 e a9 = 27, calcule o valor da razão:

        a7 = a1 + (7 - 1).r  Substituindo pelos valores  21 = a1 + 6r          a9 = a1 + (9 - 1).r  Substituindo pelos valores  27 = a1 + 8r          Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações. Vamos isolar o a1 na primeira equação e substituir na segunda:

        a1 = 21 - 6r

        Agora, substituindo na segunda:

        27 = (21 - 6r) + 8r        27 = 21 + 2r        27 - 21 = 2r        6 = 2r        6/2 = r        r = 3

4) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:

        (A) 8a

        (B) 7a

        (C) 6a

        (D) 5a

        (E) 4a

        - informações do problema:        a1 = 23      r = -6      an = -13      n=?

        - Substituindo na fórmula do termo geral:        an  = a1 + (n-1)r        -13 = 23 + (n - 1).(-6)        -13 - 23 = -6n + 6        -36 - 6 = -6n        -42 = -6n      Vamos multiplicar os dois lados por (-1)        6n = 42        n = 42/6        n = 7            Resposta certa letra "B

5) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:

        (A) 1/2        (B) 2/3        (C) 3        (D) 1/2        (E) 2

        - Informações:

               a1= 2x          a2= x+1          a3= 3x

        - Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:

a2 = a1 + r    isolando "r"    r = a2 - a1

a3 = a2 + r    isolando "r"    r = a3 - a2

        - Como temos "r" igualado nas duas equações, podes igualar uma a outra, ou seja:

a2 - a1 = a3 - a2

        - Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:

        (x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1)        x + 1 - 2x = 3x - x - 1        x - 2x - 3x + x= -1 - 1        -3x = -2             Multiplicando ambos os lados por (-1)        3x = 2

        x = 2/3             Resposta certa letra "B"

Em um vestibular, pode também ser pedido que você calcule a soma dos termos de uma PA. Pode ser pedido a soma dos 25 primeiros termos, ou dos 200 primeiros termos.

Estas somas são simbolizadas por S25 (soma dos 25 primeiros termos), por S200 (soma dos 200 primeiros termos) ou por Sn (soma dos "n" primeiros termos). Vamos ver um exemplo:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)

Esta progressão possui 10 termos, com a1=1, a10=19 er=2. Se quiséssemos saber a soma dos 10 primeiros termos desta PA, poderíamos calcular manualmente, ou seja, 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100. Mas, se fosse pedido a soma dos 145 primeiros termos?? BAH, manualmente iria demorar muito.

Vamos ver se existe uma maneira mais prática.

Observe quanto vale a soma do primeiro com o último termo desta PA:

Agora, veja a soma do segundo com o penúltimo:

E a soma do terceiro com o antepenúltimo, do quarto com o antes do antepenúltimo ...

Note, que a soma 20 apareceu exatamente 5 vezes. Ao invés de somar termo a termo, poderíamos somar 5 vezes o 20, ou seja, 5x20=100 (mesmo resultado).

Agora, pense!!! Por que que apareceu cinco vezes a soma = 20?????

Isto mesmo, pois tínhamos 10 termos, e como pegamos eles de 2 em 2, é óbvio que a soma iria aparecer um número de vezes igual a metade do número de termos!

E agora, se fosse uma progressão com 100 elementos? Deveríamos proceder da mesma maneira!A soma do primeiro com o último iria se repetir por 50 vezes (metade de 100), portanto, matematicamente falando teríamos:

S100=(a1+a100).50

Para concluir. Se tivéssemos que calcular a soma dos elementos de uma PA com "n" termos?  A soma do primeiro com o último iria se repetir por n/2 vezes. Ou seja, podemos escrever:

Dê uma olhada nos exercícios abaixo e veja como é fácil:

1) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?

        - Informações do problema:                a1=100     a30=187    n=30    S30=?

        - Aplicando a fórmula da soma, temos:

                                S30 = (287) . 15                S30 = 4305

2) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:

        - Informações do problema:                a1=21     r=7    S12=?

        - Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de a12? Então antes de tudo devemos calcular o valor de a12.                a12=a1+(12-1)7                a12=21+77                a12=98

        - Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma:                S12=(a1+a12)6                S12=(21+98)6                S12=119*6                S12= 714

3) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:

    (A) 195    (B) 190    (C) 27    (D) 26    (E) 25

        - Este tipo de questão é clássica, pois tem um pega ratão horrível. Então, vamos esmigalhar ao máximo. Te liga só!        - Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo (a1) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.

        - À primeira vista você pode achar que se substituirmos "n" por 13 teremos o valor do 13o termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra "A" (pega ratão).        - O que devemos fazer é substituir primeiro "n" por 1, isso dá            S1=12+2.(1)            S1=3        - Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele (a1=3)        - Se substituirmos "n" por 2, temos:            S2=22+2.(2)            S2=8

        - Agora tem que se ligar. S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é igual à a1+a2. Como já sabemos o valor de a1,logo:            S2=a1+a2=8            3+a2=8            a2=5

        Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:

an=a1+(n-1)ra13=3+(13-1)2a13=3+24a13=27    Resposta certa letra "C"

Muitos exercícios citam "Interpolação de meios aritméticos" entre dois termos.

Este tópico nada mais é do que uma simples interpretação do que é pedido no exercício.

Primeiramente devemos saber o que significa o verbo "interpolar". Significa "colocar entre".

E, "meios artméticos", significa "números que formam uma PA". Veja os exercícios resolvidos:

1) Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão:

    (A) 1    (B) 2    (C) 3    (D) 4    (E) 5

 

        - Interpretando o que é dito: o exercício pede para colocarmos 10 números entre 5 e 38. Assim, teremos:

        - Como inserimos dez termos no meio dos dois já existentes, a PA terá, 12 termos. Então, as informações deste exercício são:

                a1=5 e a12=38 r=?

        - Agora é só usar a fórmula do termo geral :                a12=a1+(12-1)r                38=5+11r                38-5=11r                33=11r                r=33/11                r=3             Resposta certa letra "C"

2) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?

    (A) 3    (B) 4    (C) 5    (D) 6    (E) 7

        - Informações do problema:                a1=112      an=250      r=23

        - Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:

          

        - Aqui que a cobra fuma, meu amigo. A alternativa "E" tá te esperando, pedindo pra tu marcá-la.

7 não é a resposta, é o número total de termos.

Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois.

Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.

A resposta certa é a letra "C"

1) O número 15 possui quantos múltiplos com 2 dígitos?Sabemos que todos os números naturais são múltiplos de si mesmos exceto o zero, então neste exercício tratamos de uma P.A. que se inicia no número 15 e de quinze em quinze termina no número 90, que é o maior número com dois dígitos que é divisível por 15, ou seja, que é o maior múltiplo de quinze com dois dígitos.Então os dados que possuímos para a resolução do problema são:

Através da fórmula do termo geral vamos identificar o número de termos desta P.A.:

Portanto a referida P.A. possui 6 termos.Apenas para que você possa conferir, veja abaixo a P.A. completa:P.A. ( 15, 30, 45, 60, 75, 90 )Logo:

O número 15 possui 6 múltiplos com 2 dígitos.

2) Qual é o trigésimo múltiplo do número natural 21?Sabemos que com exceção dele próprio, o número zero é múltiplo de todos os números naturais, então estamos tratando da seguinte P.A.:P.A. ( 0, 21, 42, ..., a30 )Estamos em busca do termo a30, sendo que dispomos dos seguintes dados:

Através da fórmula do termo geral vamos identificá-lo:

Logo:O trigésimo múltiplo do número natural 21 é 609

3) Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 176 e o central e igual a 81. Qual é o primeiro termo?Como esta sucessão possui 39 termos, sabemos que o termo central é o a20, que possui 19 termos à sua esquerda e mais 19 à sua direita. Então temos os seguintes dados para solucionar a questão:

Sabemos também que a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos seus extremos. Como esta P.A. tem um número ímpar de termos, então o termo central tem exatamente o valor de metade da soma dos extremos.Em notação matemática temos:

Assim sendo:

O primeiro termo desta sucessão é igual a -14.

4) Uma sucessão de números igualmente distantes um após o outro, tem como décimo e vigésimo termos, respectivamente os números 43 e 83. Qual é o trigésimo termo desta sucessão?Vamos utilizar a fórmula abaixo na resolução do problema:

Temos os seguintes dados:

Substituindo-os na fórmula temos:

Agora que conhecemos a razão da sucessão, podemos partir do termo a20, poderia ser o termo a10 se assim quiséssemos, para encontrarmos o termo a30:

Assim sendo:O trigésimo termo desta sucessão é igual a 123.

5) A soma dos dez termos de uma P.A. é igual a -35. O último termo é igual ao número de termos. Qual é o primeiro termo?Do enunciado tiramos que o último termo, a10, é igual a 10. Então podemos utilizar a fórmula a seguir para solucionarmos a questão:

Dispomos dos seguintes dados:

Substituindo-os na fórmula em busca de a1 temos:

Portanto:O primeiro termo desta progressão é igual a -17.

6) Há uma certa P.A. que tanto o primeiro termo, quanto a razão são iguais ao número de termos. Sabe-se que a soma do primeiro com quarto termo é igual a 40. Qual é esta P.A.?Temos os seguintes dados:

Utilizaremos a fórmula abaixo para representarmos a4 em função de a1:

Para n = 4 do termo a4 e m = 1 do termo a1, temos:

Portanto a4 = 4a1 e como sabemos que a1 + a4 = 40 temos:

Como temos uma P.A. com 8 termos, que se inicia em 8 e cuja razão também é igual a 8 temos:

A P.A. procurada é P.A. ( 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 ).

7) Se somarmos do quinto ao décimo-nono termo de uma P.A., quanto dará esta soma sabendo-se que o quinto termo é igual a 32 e o décimo-nono é igual a 81?Na resolução deste problema utilizaremos a seguinte fórmula:

Temos os seguintes dados:

Substituindo estes dados na fórmula acima temos:

Portanto:A soma do quinto ao décimo-nono termo desta P.A. é igual a 847,5.

8) A soma dos 3 termos de uma P.A. decrescente finita é igual a 21 e o seu produto é igual a 231. Qual é o valor do último termo?Temos então a seguinte progressão aritmética:P.A. ( a1, a2, a3 )Como visto na parte teórica, sabemos que podemos representar um termo em função de outro, através da adição ou da subtração da razão, de n vezes a razão, onde n é a quantidade de termos deslocados de um ao outro.Pensando nisto podemos eleger o termo a2 para representarmos todos os outros em função dele, assim:P.A. ( a2 - r, a2, a2 + r )Mas por que foi escolhido o termo a2 e não o a1, por exemplo?Caso tivéssemos escolhido o termo a1 teríamos:P.A. ( a1, a1 + r, a1 + 2r )Repare que como a2 é o termo central, ao escolhê-lo temos a possibilidade de eliminarmos a razão r e encontramos o seu valor ao somarmos todos os termos da P.A., vejamos:

No entanto podemos ver que se tivéssemos escolhido o termo a1 isto não seria possível:

Note que neste caso teríamos uma expressão com duas variáveis, o que não nos permitiria obter o valor das mesmas a partir de uma única sentença.Agindo de forma análoga, na expressão do produto iremos escrever os demais termos também em função de a2, visto que este é um valor já identificado:

Visto que a P.A. é decrescente, a sua razão é negativa. Como a2 = 7, r = -4 e a3 = a2 + r, temos que:

Logo:O valor do último termo desta P.A. é igual a 3.

9) A soma dos 5 primeiros termos de uma P.A. é igual a -35 e a soma dos 10 primeiros termos é igual a 5. Qual é a soma dos 15 primeiros termos desta P.A.?Sabemos que através da fórmula abaixo podemos calcular a soma dos n primeiro termos de uma progressão aritmética. Com o auxílio dela iremos solucionar o problema.

Para a soma dos 5 primeiros termos temos:

Para a soma dos 10 primeiros termos temos:

Expressando estas duas equações em função de a1 temos:

Multiplicando 2a1 + 4r = -14 por -1 e somando com 2a1 + 9r = 1, temos:

Tendo conhecimento do valor da razão, podemos identificar o valor de a1 na expressão 2a1 + 9r = 1:

Finalmente conhecendo-se o valor de a1 e da razão, podemos calcular a soma dos 15 primeiros termos:

Assim sendo:A soma dos 15 primeiros termos desta P.A. é igual a 120

10) A soma dos termos da P.A.(5+x, 10+x, 15+x, ..., 100+x) é igual a 1110. Qual é valor de x?Primeiramente iremos calcular a razão da progressão aritmética:

Agora temos como calcular o seu número de termos:

Finalmente iremos calcular o valor de x:

Portanto:O valor de x é 3.