PAC INIC Raciocinio Logico Karine Waldrich Aula 02

1. Aula 2: Tópicos Iniciais de Matemática Financeira. . . .................................... 21.1 Juros Simples . .......................................................................................... 4 1.2 Juros Compostos . ..................................................................................... 6 1.3 Descontos . ................................................................................................ 7

1.3.1 Desconto simples por dentro – Desconto Racional ............................ 7 1.3.1 Desconto simples por fora – Desconto Comercial ............................. 8

1.4 Taxas . ....................................................................................................... 9 1.5 Rendas Certas . ....................................................................................... 11

1.5.1 Fator de Valor Atual . ........................................................................ 11 1.5.2 Fator de Valor Futuro . . . .................................................................. 14

6. Exercícios de fixação comentados . . ........................................................... 187. Memorex . . . ................................................................................................. 318. Lista das questões comentadas . . . .............................................................. 329. Gabarito . . . ................................................................................................... 36

Raciocínio Lógico – Pacote para Iniciantes

Aula 2 – Professora Karine Waldrich

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1. Aula 2: Tópicos Iniciais de Matemática Financeira.

Olá, concurseiros!

Primeiramente, tenho alguns esclarecimentos a fazer.

Nosso curso precisou sofrer algumas mudanças. Ocorreu o seguinte: quando elaborei o cronograma do curso, não possuía a informação de que haveria também a disciplina de Matemática incluída. Sem esse conhecimento, e imaginando que seria útil para vocês, contemplei alguns tópicos em nossas aulas.

Ocorre que, posteriormente, vi que o curso inclui Matemática, com o excelente professor Guilherme Neves. Como realmente são tópicos de Matemática, preferi, então, mudar o rumo do nosso curso, excluindo aqueles conteúdos de nossas aulas e incluindo outros, tão importantes quanto.

Por isso, tivemos mudanças e atraso no nosso curso. Vocês não imaginam como foi difícil para mim refazer as aulas que eu já havia começado (conciliando com o trabalho na Receita Federal, que nesta época do ano fica ainda mais puxado). Além disso, tive meu notebook roubado um dia antes de entregar a aula... Ou seja, tive que reescrever uma aula que estava praticamente pronta. Sei que vocês não têm nada a ver com isso, que o que importa é a aula pronta para vocês estudarem. Mas peço um pouco de compreensão, por favor.

Não obstante os contratempos, tenho certeza que teremos um excelente curso. Nosso cronograma ficou assim:

AULA DATA ASSUNTO AULA 0 Estruturas lógicas; AULA 1 13/10/2010 Estruturas lógicas (continuação);

Lógica de argumentação; Diagramas lógicos; Exercícios comentados.

AULA 2 29/11/2010 Tópicos Iniciais de Matemática Financeira; Exercícios comentados.

AULA 3 10/12/2010 Tòpicos Iniciais de Estatística; Exercícios comentados.

AULA 4 21/12/2010 Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático; raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos.

Inclui Matemática Financeira e Estatística em nosso estudo. Vou explicar o motivo.

Essas duas disciplinas caem em praticamente todos os concursos, especialmente da área fiscal. Em concursos de agências, alguns tribunais,

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também são conteúdos bastante cobrados. Mas, e aí, professora, vale a pena estudar um monte essas matérias? (vocês podem me perguntar...).

Eu digo, com sinceridade: não. No concurso para Auditor-Fiscal da Receita Federal de 2009, por exemplo, foram cobradas, ao todo, 6 questões de Matemática Financeira e Estatística, dentre as 20 questões de Raciocínio Lógico do concurso. Dentre essas 6, 3 são de Estatística Inferencial, que é uma Estatística um pouco mais avançada, e que não veremos. Mas, para aprender Estatística Inferencial, é necessário saber a Estatística Básica, cujos tópicos iniciais vocês verão aqui.

Ou seja, das 20 questões do concurso, apenas 6 são das matérias acima. É pouco, considerando que existem outras 14 de outros assuntos um pouco menores.

Mas por que, então, eu acho que vocês devem estudá-los?

Porque essas 6 questões foram muito fáceis. Com conhecimentos básicos, como os que veremos aqui, era possível acertar todas as questões, com tranquilidade. Quem ignorou esses assuntos, esperando fazer o mínimo de 8 entre as 14 restantes, teve um trabalhão, porque a ESAF dificultou bem mais nessas outras questões.

E eu já vi isso acontecer em outros concursos, de Fiscos estaduais (que frequentemente cobram essas matérias), de provas de agências... Os conhecimentos cobrados são básicos, e muita gente erra as questões mais bobas da prova por achar que é melhor “largar mão” e se aprofundar em outros assuntos...

Por isso, eu acredito que uma boa estratégia para quem quer ser aprovado em concurso é tentar dominar o maior número de assuntos possíveis da ementa do concurso, mesmo sem se aprofundar tanto. No caso de Raciocínio Lógico (uma matéria que, na maioria das vezes, inclui Matemática, Lógica propriamente dita, Matemática Financeira, Estatística...), o “sem se aprofundar tanto” significa aprender os conceitos gerais, resolver exercícios, e ter um bom formulário para consulta antes da prova (aquela “olhadinha” para refrescar a memória).

Digo isso porque nunca se sabe onde a banca vai resolver “apertar”, cobrar mais difícil. Você não pode ir para a prova pensando assim: “Ah, estudei 70% dos conteúdos da prova, então, das 20 questões da prova, vou acertar 14”. Você tem que pensar que, dentro das 14, a banca pode resolver fazer as questões mais difíceis. No caso da prova que vimos acima, se havia 10 questões fáceis, 5 médias e 5 difíceis, 6, das 10 fáceis, estavam em assuntos que muita gente ignorou. Sobrou só 4 questões “de graça”, dentre as 20 da prova...

Expliquei tudo isso, pessoal, para mostrar para vocês a linha que vamos seguir no nosso curso. Meu objetivo aqui não será fazer um tratado de Matemática Financeira, tampouco de Estatística. Não falarei muito de assuntos teóricos, teoremas “de sei lá quem”, assuntos pouco cobrados ou muito árduos. Para

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isso, seria necessário um curso só de Matemática Financeira e outro só de Estatística.

Aqui no nosso curso veremos o entendimento-chave, as principais equações, quando elas são usadas, o que elas significam. E veremos muitas questões sobre esses assuntos, para vocês verem como tais conteúdos são cobrados em prova. Enfim, vocês saberão o suficiente para acertarem todas as questões fáceis e médias de uma prova de MatFin e de Estatística. Terão o nosso tradicional Memorex para revisão antes da prova. E terão muitas questões comentadas para treinar.

Certo, pessoal? Espero que vocês aproveitem a chance. Para mim, vai dar um trabalhão fazer isso, resumir estes assuntos em apenas uma aula cada (isso sem contar que eu já possuía, quase prontas, as aulas dos outros conteúdos que excluí do nosso curso...). Mas tenho certeza que vai valer à pena, pois vocês sairão daqui com uma base muito boa, e quando fizerem um concurso com essas matérias bastará revisar nossas aulas e correr para o abraço...

Ah, vocês não devem ter entendido muito bem o que veremos na nossa última aula, não é? Pois explico. As bancas normalmente escrevem aquilo que escrevi no cronograma (a ESAF fez isso na última prova da Receita, a FCC vive fazendo isso em provas para tribunais...) quando querem cobrar questões que envolvem raciocínio propriamente dito. Sabe aquela questão que você sabe que não precisa de um grande conhecimento, mas que precisa de atenção, ter uma “sacada” ou algo assim? Então, essas questões caem aos montes nos concursos, e as veremos por aqui. Cada banca tem um padrão de questões desse tipo (a FCC, por exemplo, adora questões com letrinhas... rs)... Por isso é bom aprender, porque normalmente são questões “acessíveis” e muito cobradas em prova.

Bem, vamos começar nosso estudo, pelos tópicos iniciais de Matemática Financeira. Voi la!!!!!

1.1 Juros Simples

Pessoal, juros é, em grossas palavras, o preço do dinheiro. E juros simples, hoje em dia, é algo quase irreal, porque os bancos (e demais “donos de dinheiro”) inventaram uma coisa para tornar os juros ainda mais “sacanas”, que são os juros compostos... Rs.

Mas os juros simples são muito úteis para entendermos a lógica da matemática financeira, e funcionam muito bem quando temos apenas 1 período de análise. Por exemplo:

Imaginem que vocês cheguem a uma loja, para comprar um carro. O vendedor diga assim: “Olha, o carro que você quer custa 10.000 à vista, ou 11.000 se você pagar em 30 dias”.

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Primeiro que é uma situação quase utópica, porque quase não existem carros de 10.000 reais, certo? Rs... Mas, “abstraindo” esse ponto, vocês percebam que, para sair com o carro e pagar só no mês seguinte, o sujeito irá desembolsar 1.000 reais. Ou seja, esse é o preço do dinheiro, para o cliente, durante 1 mês.

Para saber o a taxa de juros simples, temos que dividir esse valor pelo valor inicial que temos, e que deu origem aos juros. No nosso exemplo:

1.000/10.000 = 0,1 ao mês.

Normalmente, as taxas de juros são apresentados em termos percentuais, ou seja, “tantos”% ao mês. Basta multiplicar o valor acima por 100, o que resultaria em 10% ao mês.

Assim, temos:

taxa de juros simples = isimples = valor dos juros em um período x 100 valor inicial

Pessoal, e se tivéssemos mais de 1 mês? Se o vendedor chegasse para você, na tal loja, e falasse assim: “Fulano, o preço à vista é 10.000, mas se você quiser pagar daqui à 2 meses o valor será de 12.000”?

Para saber a taxa de juros, você teria que dividir o valor dos juros por 2 meses, certo? Aí saberíamos quanto de juros tivemos por mês... Teríamos o seguinte:

isimples = (valor dos juros em dois períodos)/2 x 100 valor inicial

Reorganizando a equação, e generalizando para “n” períodos, temos:

isimples = valor dos juros em n períodos x 100 valor inicial.n

Em Matemática Financeira, o “valor inicial” é normalmente chamado de “valor presente” ou “capital”. No nosso curso, chamaremos de valor presente (VP), ok? O valor dos juros é chamado J. Assim, temos nossa primeira equação:

isimples = J__ VP.n

E como fica o valor final do dinheiro? No nosso caso, como fica o valor total pago pelo carro? Vocês concordam comigo que o valor final é o valor inicial (o nosso VP) mais os juros que pagamos? Ou seja:

Valor total = VP + J

Em Matemática Financeira, o “valor total” é chamado de “valor futuro” ou “montante”. Chamaremos de valor futuro (VF). Assim:

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VF = VP + J

Podemos substituir o J por VP.n.isimples, derivada da equação anterior. Assim:

VF = VP + VP.n.isimples

VF = VP.(1 + n.isimples)

Pronto, temos uma equação que ainda vai nos acompanhar por muito tempo... Rs.

Agora vamos para os juros compostos, que são bem mais utilizados na nossa vida real... Infelizmente! (Quer dizer, ou felizmente, se você é o “dono do din din”... o que não é o meu caso rs).

1.2 Juros Compostos

Vamos voltar para o exemplo da loja de carros. Imagina que você chegue à loja e o vendedor diga: “Beltrano, para você comprar esse carro, terá de dar 10.000 à vista, ou poderá pagar em 2 meses, com juros de 10% ao mês”.

Observação número 1: quando dizemos simplesmente “juros”, estamos, normalmente, nos referindo aos juros compostos. As questões também, viu? Se elas dizem simplesmente “juros”, eles são compostos, via de regra.

E aí? Como sabemos quanto pagamos em dois meses? No caso dos juros simples é fácil, já sabemos: pagaríamos 10.000.(1 + 2.0,1) = 12.000. E agora, o que muda?

No caso dos juros compostos, incide juros, no 2º mês, também sobre o montante de juros capitalizado no primeiro mês. Ou seja, no segundo mês, os juros incidentes não seriam de 10.000 x 0,1 (que é VP x taxa), e sim de 11.000 x 0,1 (que é (VP + J) x taxa).

Ou seja, enquanto nos juros simples temos:

J1 = 1000 J2 = 1000 Período 1 Período 2

VP 10000

No segundo mês, a taxa de juros incide apenas em VP, ou seja, J2 = VP.i.

divulgação e distribuição, sujeitando-se os infratores à

responsabilização civil e criminal.

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Enquanto isso, nos juros compostos temos:

J2 = 1100 Período 2 J1 = 1000 Período 1

VP 10000

Entenderam por que os juros são compostos? Porque eles incidem sobre os juros do período anterior...

O nosso VF, com juros compostos, fica:

VF = VP + J1 + J2

VF = VP + VP.i + (VP + J).i

VF = VP + VP.i + (VP + VP.i).i

VF = VP + VP.i + VP.i + VP.i.i

VF = VP.(1 + 2.i + i.i) = VP.(1 + i)2 = 1000.(1 + 0,1)2 = 12.100

Acima desenvolvemos a equação para 2 meses, que foi o tempo que o nosso vendedor deu para que paguemos o carro. A equação geral, para n períodos, é:

VF = VP.(1 + icompostos)n

1.3 Descontos

Existem muitas “fórmulas” para o cálculo de descontos que vocês podem encontrar por aí. Eu prefiro ensinar para vocês o raciocínio envolvido no caso dos descontos, pois, dessa forma, vocês não precisam decorar nada, basta saber a equaçãozinha dos juros simples e o resto vocês matam.

1.3.1 Desconto simples por dentro – Desconto Racional

No segundo mês, a taxa de juros incide em VP + J, ou seja, J2 = (VP + J).i.

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No desconto simples por dentro (também chamado de desconto racional), temos dois valores importantes:

N = Valor Nominal do título (ou valor de face. Pense que você possui um boleto de uma conta na mão e vai pagar antes, e quer desconto por isso. O valor nominal é o valor que está escrito no boleto, sem o desconto).

Vhoje = Valor do título Hoje

No desconto racional, basta você pensar que N é o VF que já aprendemos e que Vhoje é o VP. Assim, utilizando os conhecimentos de juros simples que aprendemos (os descontos normalmente só são capitalizados via juros simples, ou seja, não se usa juros compostos para o cálculo dos descontos), sabemos que existe uma relação entre N e Vhoje, ok?

VF = VP.(1 + i.n), assim: N = Vhoje.(1 + i.n).

Assim, o valor do desconto será:

Dracional = N – Vhoje

Fácil, né? Então, vamos ver como se calcula o Desconto Comercial??

1.3.1 Desconto simples por fora – Desconto Comercial

Eu tenho uma teoria: o desconto comercial foi criado porque as pessoas tinham preguiça de calcular o desconto racional!!! Rs.

No desconto comercial, o desconto (D) é simplesmente:

Dcomercial = N.i.n

Ou seja:

VHoje = N – N.i.n = N.(1 – i.n)

Entenderam porque o desconto comercial é chamado de desconto por fora? Porque ele não capitaliza o valor atual, para que se chegue no valor futuro N. Ele simplesmente multiplica N pela taxa e pelo período, como se o próprio N fosse o valor atual. Esquisito, não acham? Rs.

Enfim, duas conclusões importantes:

1) O desconto comercial é sempre maior do que o desconto racional, nas mesmas circunstâncias. Isso pois, enquanto no desconto racional capitalizamos o valor atual para chegar no futuro, no desconto comercial pegamos o próprio valor futuro, que é maior, e calculamos o desconto por fora, diretamente.

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2) Pode ser feita uma relação entre os descontos, em função de N. Vou deduzir, mas não se preocupem com isso, se atenham à relação encontrada. Vejam só:

DRacional = N – N__ 1 + i.n

DComercial = N.i.n, logo i.n = DComercial/N

DRacional = N – N_____ = N – N_______ = 1 + DComercial/N (N + DComercial)/N

N – N.N______ = N.(1 – N/(N+DComercial)) N + DComercial

N = _________DRacional = _______DRacional_______ ((N + DComercial – N)/(N + DComercial)) DComercial/(N + DComercial)

N = DRacional(N + DComercial)/DComercial

N = (DRacional.N + DRacional.DComercial)/DComercial

N – DRacional.N/DComercial = DRacional

N.(1 – DRacional/DComercial) = DRacional

N = DRacional/(1 – DRacional/DComercial)

N = DRacional/((DComercial – DRacional)/DComercial)

Outra maneira de relacionar os dois descontos é através das taxas.

Onde n é o número de períodos.

1.4 Taxas

O assunto Taxas não exige muito raciocínio. Minha intenção aqui é esclarecer os termos diferentes que o examinador usa, para que vocês não errem coisas bobas na hora da prova.

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Primeiro vou esclarecer o que é a Taxa Efetiva. Bem, taxa efetiva é a taxa que a gente quer sempre saber, aquela que iremos chamar de i, colocar na equação e utilizar para resolver a questão. Bem, essa é a taxa efetiva.

Acontece que, em algumas questões, o examinador diz assim: “A taxa é de 24% ao ano com capitalização mensal”. O que é isso?

Essa taxa fornecida pelo examinador (24% ao ano) é o que chamamos de Taxa Nominal. Ela é chamada assim porque só tem nome mesmo, rs! O que quero dizer é que ela tem nome de taxa anual, mas, como é capitalizada mensalmente, sua taxa efetiva é uma taxa mensal. E a taxa efetiva é resultante da taxa nominal dividida pelo período compreendido. Por exemplo, nesse caso, a taxa efetiva é de 24/12 = 2% ao mês. Ou seja:

Taxa Efetiva = Taxa Nominal/Período.

Existem também as Taxas Equivalentes. Por exemplo, sabemos que a maioria dos bancos cobra juros do cheque especial de 10% ao mês. E se quisermos saber quanto isso significa em um ano? Basta multiplicar por 12???

Não!! Isso já sabemos... como, nesse caso, estamos falando de juros compostos, não adianta multiplicar 10 x 12 e achar que os juros serão de 120% ao ano. Eles serão maiores, porque os 10% de cada mês incide sobre os juros do mês anterior, resultando numa taxa anual maior... compreendido?

E agora? Se não basta multiplicar, como calculamos? Bem, existe uma equação simples para isso:

(1 + I) = (1 + i)K

Explicando o que significa cada incógnita:

I = é a taxa do período maior (por exemplo, ano) i = é a taxa do período menor (por exemplo, mês) K = é o número de períodos menores incluídos em cada período maior (por exemplo, 1 ano possui 12 meses, então, nesse caso, K = 12).

Pessoal, eu citei anos e meses mas essa equação pode ser utilizada com qualquer relação entre períodos, ok?

Vamos resolver para o nosso exemplo? Saber de quanto é a taxa de juros do cheque especial em 1 ano...

(1 + I) = (1 + 0,1)12 1 + I = 1,112 = 3,1384 I = 3,1384 – 1 = 2,1384 = 213,84%

Ou seja, muuuuuito maior do que os 120% se o método utilizado fosse o de juros simples... certo?

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De tudo isso, pessoal, aprendemos uma coisa fundamental... Cuidem com o cheque especial... Rs!

1.5 Rendas Certas

1.5.1 Fator de Valor Atual

Pessoal, o assunto que veremos agora é um dos assuntos mais cobrados em Matemática Financeira, tenho certeza.

Quando você ouvir sobre esse nome (“Rendas Certas”), lembre logo das Casas Bahia. Frequentemente, passamos em frente a alguma loja das Casas Bahia e ouvimos promoções como essa:

Vocês percebem que existem juros incluídos no parcelamento proposto acima? Sim! Percebam que, à vista, o produto custa 1.199,00 reais. Já o valor a prazo é de 12x119,90, ou seja, 1.950,00 reais.

A pergunta é: isso representa juros de quanto? Para que entendamos melhor, expressaremos a promoção na série de pagamentos abaixo:

SÓ HOJE!!! TV DE LCD POR R$ 1.199,00 À VISTA OU 10 x 195,00!!!

Ao invés de 1 pagamento de 1.199,00, à vista...

São feitos 10 pagamentos de 195,00, com juros...

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A Matemática Financeira chama o esquema acima de Rendas Certas, e propõe a seguinte equação para resolvê-la.

VP = PMT.A(n,i)

VP é o valor presente que conhecemos. No nosso caso, é o 1.199.

PMT é o valor da prestação. Em inglês, significa Periodic Payment Amount.

A(n,i) é a grande novidade! Esse é um valor que se chama Fator de Valor Atual. É um valor encontrado a partir do número de parcelas (o “n”) e da taxa (o “i”). Este valor, assim como a equação acima, são derivados das equações que já vimos, de juros compostos (a dedução é longa e não farei, por ser desnecessária para o aprendizado de vocês). Este fator é encontrado em tabelas financeiras, como abaixo.

TABELA DO FATOR DE VALOR ATUAL A(n,i) n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%1 0,99 0,98 0,971 0,962 0,952 0,943 0,935 0,926 0,917 0,909 0,893 0,87 0,847 2 1,97 1,942 1,913 1,886 1,859 1,833 1,808 1,783 1,759 1,736 1,69 1,626 1,566 3 2,941 2,884 2,829 2,775 2,723 2,673 2,624 2,577 2,531 2,487 2,402 2,283 2,174 4 3,092 3,808 3,717 3,63 3,546 3,465 3,387 3,312 3,24 3,17 3,037 2,855 2,69 5 4,853 4,713 4,58 4,452 4,329 4,212 4,1 3,993 3,89 3,791 3,605 3,352 3,1276 5,795 5,601 5,417 5,242 5,076 4,917 4,767 4,623 4,486 4,355 4,111 3,784 3,498 7 6,728 6,472 6,23 6,002 5,786 5,582 5,389 5,206 5,033 4,868 4,564 4,16 3,812 8 7,652 7,325 7,02 6,733 6,463 6,21 5,971 5,747 5,535 5,335 4,968 4,487 4,078 9 8,566 8,162 7,786 7,435 7,108 6,802 6,515 6,247 5,995 5,759 5,328 4,772 4,303

10 9,471 8,983 8,53 8,111 7,722 7,36 7,024 6,71 6,418 6,145 5,65 5,019 4,494 11 10,37 9,787 9,253 8,76 8,306 7,887 7,499 7,139 6,805 6,495 5,938 5,234 4,656 12 11,26 10,58 9,954 9,385 8,863 8,384 7,943 7,536 7,161 6,814 6,194 5,421 4,793 13 12,13 11,35 10,64 9,986 9,394 8,853 8,358 7,904 7,487 7,103 6,424 5,583 4,91 14 13 12,11 11,3 10,56 9,899 9,295 8,745 8,244 7,786 7,367 6,628 5,724 5,008 15 13,87 12,85 11,94 11,12 10,38 9,712 9,108 8,559 8,061 7,606 6,811 5,847 5,092 16 14,72 13,58 12,56 11,65 10,84 10,11 9,447 8,851 8,313 7,824 6,974 5,954 5,162 17 15,56 14,29 13,17 12,17 11,27 10,48 9,763 9,122 8,544 8,022 7,12 6,047 5,222 18 16,4 14,99 13,75 12,66 11,69 10,83 10,06 9,372 8,756 8,201 7,25 6,128 5,273

No caso da TV das Casas Bahia (nosso exemplo), temos:

VP = PMT.A(n,i) 1199 = 195.A(10,i) A(10,i) = 6,149

Agora, vamos à tabela e procuramos na linha referente ao n = 10 (pois são 10 parcelas).

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 10 9,471 8,983 8,53 8,111 7,722 7,36 7,024 6,71 6,418 6,145 5,65 5,019 4,494

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Reparem que o valor encontrado é aproximadamente o valor referente a uma taxa de 10% por período (o que, no nosso caso, se refere ao mês). Ou seja, na promoção das Casas Bahia que observamos, a taxa é de aproximadamente 10% ao mês.

1.5.1.4 Fator de Valor Atual - Diferido

Pessoal, pode acontecer de a questão apresentar uma pequena variação do que vimos para vocês. Hoje em dia isso acontece muito nos feirões de automóveis que existem nas concessionárias. Normalmente, eles dizem o seguinte:

Ê, beleza! Compramos um carro agora (Novembro de 2010) e começamos a pagar só no Carnaval (que, em 2011, ocorrerá em Março)...

Digamos que o carro seja pago em 10x, com a primeira parcela em Março. A série de pagamentos toma a seguinte forma:

Matematicamente falando, teremos três períodos sem pagamento (Dezembro, Janeiro e Fevereiro). Para calcular, criamos algo que alguns professores chamam de “Parcela Fictícia”.

O nome pode parecer difícil, mas a resolução é bem tranquila. Vejam só: no nosso exemplo, não houve pagamentos em três períodos, certo? Então, para solucionar o problemas, utilizamos o seguinte cálculo:

COMPRE UM CARRO AGORA E SÓ COMECE A PAGAR NO CARNAVAL!!!

Compramos o carro agora (Novembro)

O pagamento começa no Carnaval...

Em Dez, Jan e Fev não realizamos pagamento algum

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VP = PMT.[A(10+3,i) – A(3,i)]

No primeiro termo referente ao Fator de Valor Atual, além das 10 parcelas que contêm o financiamento, adicionaremos mais 3, que são aquelas em que não há pagamentos. Só que, no segundo termo, retiramos estas parcelas! Ou seja, incluímos no primeiro termo, o que significa pegar o A(13,i) na tabela. E diminuímos este valor encontrado do A(3,i).

Esse conceito de parcelas fictícias é bastante utilizado na resolução de problemas de Matemática Financeira, pessoal.

1.5.2 Fator de Valor Futuro

E se, ao invés de uma promoção das Casas Bahia, tivéssemos uma aplicação, que nos renderia um dinheiro no futuro? Imaginem um banco fazendo o seguinte anúncio:

Agora, temos uma situação diversa da que vimos antes. Aqui, ela acumula capital durante um ano, capitalizado com juros compostos, e ao final retira um valor.

A pergunta, aqui, é: quanto isso representa de juros? Para que entendamos melhor, expressaremos a “poupança” proposta acima na série abaixo:

BANCO PARAÍSO!!! SÓ AQUI VOCÊ APLICA 100 REAIS POR MÊS DURANTE

UM ANO E AO FINAL RETIRA 2800 REAIS!!!

E, ao final, se retira o valor total de 2.800 reais...

São feitos 12 depósitos de 100 reais...

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Agora, ao invés de anteciparmos os valores de uma série de pagamentos, fazemos o contrário: o que ocorre é a capitalização dos valores das parcelas, até a data final.

A Matemática Financeira propõe a seguinte equação para a resolução do sistema acima:

VF = PMT.S(n,i)

VF é o nosso conhecido Valor Futuro, ou seja, o quanto de capital acumulado teremos ao final dos depósitos.

PMT é o valor dos depósitos.

S(n,i) também é novidade! Ele funciona da mesma maneira que o A(n,i) que já vimos, e se chama Fator de Acumulação de Capital ou Fator de Valor Futuro. É um valor encontrado a partir do número de parcelas (o “n”) e da taxa (o “i”). Este valor também é derivados das equações que já vimos, de juros compostos. Este fator é encontrado em tabelas financeiras, como abaixo.

TABELA: FATOR DE VALOR FUTURO S(n,i) n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,1 2,12 2,15 2,183 3,0301 3,06 3,091 3,122 3,153 3,184 3,215 3,246 3,278 3,31 3,374 3,473 3,5724 4,06 4,122 4,184 4,246 4,31 4,375 4,44 4,506 4,573 4,641 4,779 4,993 5,2155 5,101 5,204 5,309 5,416 5,526 5,637 5,751 5,867 5,985 6,105 6,353 6,742 7,1546 6,152 6,308 6,468 6,633 6,802 6,975 7,153 7,336 7,523 7,716 8,115 8,754 9,4427 7,214 7,434 7,662 7,898 8,142 8,394 8,654 8,923 9,2 9,487 10,089 11,067 12,1428 8,286 8,583 8,892 9,214 9,549 9,897 10,26 10,637 11,028 11,436 12,3 13,727 15,3279 9,369 9,755 10,159 10,583 11,027 11,491 11,978 12,488 13,021 13,579 14,776 16,786 19,086 10 10,462 10,95 11,464 12,006 12,578 13,181 13,816 14,487 15,193 15,937 17,549 20,304 23,521 11 11,567 12,169 12,808 13,486 14,207 14,972 15,784 16,645 17,56 18,531 20,655 24,349 28,755 12 12,683 13,412 14,192 15,026 15,917 16,87 17,888 18,977 20,141 21,384 24,133 29,002 34,931 13 13,809 14,68 15,618 16,627 17,713 18,882 20,141 21,495 22,953 24,523 28,029 34,352 42,219 14 14,947 15,974 17,086 18,292 19,599 21,013 22,55 24,215 26,019 27,975 32,393 40,505 50,818 15 16,097 17,293 18,599 20,024 21,579 23,276 25,129 27,152 29,361 31,772 37,28 47,58 60,965 16 17,258 18,639 20,157 21,825 23,657 25,673 27,888 30,324 33,003 35,95 42,753 55,717 72,939 17 18,43 20,012 21,762 23,698 25,84 28,213 30,84 33,75 36,974 40,545 48,884 65,075 87,068 18 19,615 21,412 23,414 25,645 28,132 30,906 33,999 37,45 41,301 45,599 55,75 75,836 103,74

Mas, aqui, temos uma grande diferença, quanto à maneira de calcular, em relação à equação com o Fator de Valor Atual.

É o seguinte:

16

No sistema de Valor Atual (em que utilizamos o A(n,i)), o primeiro pagamento ocorre um período após o Valor Atual (no exemplo que vimos, a primeira parcela era paga um mês após a compra). Podemos ver melhor no esquema abaixo:

No caso da equação de Valor Futuro (aquela com S(n,i)), temos uma diferença fundamental: se usarmos a equação “crua”, de maneira análoga ao caso do A(n,i), teremos a última parcela no dia do Valor Futuro. Relacionando ao nosso exemplo do Banco Paraíso, é como se fizéssemos o último depósito e no mesmo dia retirássemos o dinheiro. O esquema abaixo ilustra melhor:

PV

Um mês depois ocorre o primeiro pagamento...

Só que a retirada, ao final, ocorre no mesmo dia do último depósito...


17

E agora? Poxa, não queremos que o último depósito ocorra no mesmo dia da retirada, certo? Queremos resolver nosso exemplo, em que a retirada ocorre um mês após o último pagamento.

Para isso, temos que diminuir em 1 o valor encontrado na tabela que vimos acima! “Como assim, professora?!” (Vocês podem perguntar...).

Seguinte, no nosso exemplo, temos:

VF = 2.800

PMT = 100

n = 12.

Se fôssemos resolver na equação “diretamente” (ou seja, VF = PMT.S(n,i)), teríamos o último depósito junto com a retirada. E não queremos isso. Então, vamos “adaptar” a equação, utilizando-a do seguinte jeitinho:

VF = PMT.(S(n,i) – 1)

2.800 = 100.(S(n,i) - 1) S(n,i) – 1 = 28 S(n,i) = 28 + 1 = 29

Agora vamos à tabela, na linha referente ao n = 12:

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%12 12,683 13,412 14,192 15,026 15,917 16,87 17,888 18,977 20,141 21,384 24,133 29,002 34,931

Percebam que o S(n,i) referente ao número encontrado representa uma taxa de juros de 15% por período (no nosso caso, por mês). Deve ser por isso que o nome do banco é Banco Paraíso, porque vocês já viram algum banco oferecer uma taxa 15% por mês para alguma aplicação? Na poupança a taxa é de 0,5%!! Ou seja, só no Paraíso mesmo... rs.

Entenderam, pessoal? Então que tal treinarmos tudo com exercícios?

18

6. Exercícios de fixação comentados

Vamos à primeira questão!

Uma questão que relaciona duas taxas de juros simples. Temos, para cada aplicação, um fluxo de caixa.

Pessoal, fluxo de caixa é o montante recebido ou gasto por uma empresa, pessoa ou aplicação, durante um período. Você, por exemplo, possui um fluxo de caixa na sua vida. Se você trabalha, mensalmente recebe um salário, ou alguns pagamentos pelo seu laboro. Essas são as entradas no fluxo de caixa. Em contrapartida, efetua gastos, que são as saídas de caixa.

O enunciado diz que 1/3 de um capital (a que chamaremos de C) foi aplicado durante 8 meses a uma taxa de 18% ao ano. Temos, então:

A taxa dada pelo enunciado está em anos, mas o período em meses. Essa é uma regra fundamental: a taxa e o período devem estar na mesma unidade!!!

Questão 1 – Vunesp/TJ-SP/Oficial de Justiça/2009

Em um mesmo dia, 1/3 de certo capital foi aplicado por 8 meses a uma taxa de juro simples de 18% ao ano, e o restante foi aplicado também por 8 meses, mas a uma taxa de juro simples de 21% ao ano. No final, obteve-se um total de R$ 6.800,00 de juros pelas duas aplicações. O valor total aplicado foi

(A) R$ 51.000,00. (B) R$ 48.000,00. (C) R$ 45.000,00. (D) R$ 42.000,00. (E) R$ 40.000,00.

C 6 meses depois

C + J

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Para transformar taxas de juros simples (que não incidem sobre os juros do período anterior, como nos juros compostos), basta dividir a taxa pelo K que já vimos. Relembrando, o nosso K é o número de períodos da unidade de tempo menor incluídos na unidade de tempo maior (no nosso caso, temos a taxa em anos e o período em meses, ou seja, K = 12, pois 1 ano possui 12 meses).

Assim, nossa taxa mensal é de 18/12 = 1,5%, ou seja, i = 0,015.

Utilizando nossa equação de juros simples, que já aprendemos, temos:

VF1 = VP.(1 + i.n) VF1 = (1/3).C.(1 + 8.0,015) VF1 = (1/3).C.(1 + 0,12) VF1 = 1,12C/3

O mesmo ocorreu com o restante do capital C (2/3 de C), que foi aplicado pelo mesmo período (8 meses), a uma taxa de 21% ao ano. Para saber a taxa em meses, dividimos por 12, e chegamos a i = 1,75%, ou i = 0,0175.

VF2 = VP.(1 + i.n) VF2 = (2/3).C.(1 + 8.0,0175) VF2 = (2/3).C.(1 + 0,14) VF2 = 2,28C/3

Pronto, esses são nossos valores finais de C, após a capitalização com os juros. A questão diz que os juros de ambas somaram $6.800. Assim, temos:

VF1 + VF2 = + J1 + + J2 =

C + (J1 + J2) =

C + 6800 =

- C = 6800

C = 51000.

Resposta: Letra C.

20

Mais uma questão de juros simples. Aqui, o que se quer saber é quando VF = 3.VP, em um sistema de juros simples. Os juros são de 200% ao ano (i = 2), então podemos achar o tempo em anos e depois calcular o equivalente em meses. Vamos lá?

VF = VP.(1 + i.n) 3.VP = VP.(1 + 2.n) 3 = 1 + 2.n n = 1.

Ou seja, 1 ano para o capital triplicar a esta taxa, o que significam 12 meses. Percebam que não há essa alternativa de resposta. A questão foi anulada (imaginem quantas pessoas não refizeram essa questão váááarias e vááááárias vezes, achando que tinham errado alguma conta???).

Resposta: anulada.

Nessa questão, temos mais uma vez a aplicação da equação dos juros simples.

Questão 2 – FEPESE/SEFAZ-SC/Auditor-Fiscal/2010

Em quantos meses um capital triplica a juros simples de 200% ao ano?

(A) 6 meses (B) 3 meses (C) 8 meses (D) 36 meses (E) 96 meses

Questão 3 – FGV/CAERN/Agente Administrativo/2010

Leandro aplicou a quantia de R$ 200,00. Ao final do período, seu montante era de R$ 288,00.

Se a aplicação de Leandro se deu em regime de juros simples, durante 8 meses, a taxa mensal de juros foi

(A) 5,0%. (B) 5,5%. (C) 6,5%. (D) 7,0%. (E) 6,0%.

21

O enunciado diz que VF = 288,00 e VP = 200,00, e que a capitalização ocorreu em 8 meses. Vamos colocar isso na equação?

VF = VP.(1 + i.n) 288 = 200.(1 + i.8) 1,44 = 1 + 8i 8i = 0,44 i = 0,055.

Assim, a taxa é de 5,5% ao mês.

Resposta: Letra B.

Essa questão mistura juros simples e juros compostos. Vamos resolver por partes: primeiro analisaremos a aplicação de Antônio. Em seguida, a de Paulo.

Com juros simples, já estamos craques. O VP de Antônio é igual a 20.000, i = 0,18 ao ano e o tempo de aplicação de 15 meses, ou então 1,25 ano. Colocando isso na equação:

VF = VP.(1 + i.n)

VF = 20000.(1 + 0,18.1,25)

VF = 20000.(1 + 0,225)

VF = 24500


Considere que em uma mesma data:

I. Antônio aplicou R$ 20.000,00 a uma taxa de juros simples de 18% ao ano, durante 15 meses. II. Paulo aplicou um determinado capital a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre, durante um ano.

O valor do montante da aplicação realizada por Antônio superou em R$ 7.004,00 o valor do montante correspondente ao de Paulo. Então, o valor do capital que Paulo aplicou no início foi de

(A) R$ 12.500,00. (B) R$ 17.500,00. (C) R$ 16.500,00. (D) R$ 15.000,00. (E) R$ 16.200,00.

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A questão diz que o montante encontrado acima superou em 7004 o montante da aplicação de Paulo. Ou seja, o montante de Paulo é de 24500 – 7004 = 17.496.

Esse montante é resultado de uma aplicação de um valor presente VP, a uma taxa de 8% ao semestre, durante um ano. Para colocar na equação, devemos ter taxa e tempo na mesma unidade. Sabemos que um ano possui dois semestres, então vamos fazer a equação em semestres (senão teremos de usar outra equação para mudar a taxa para ano...).

Assim:

VF = VP.(1 + i)n

17496 = VP.(1 + 0,08)2

17496 = VP.1,1664

VP = 15000.

Portanto, Paulo aplicou, no início, a quantia de R$ 15.000,00.

Resposta: Letra D.

Essa é uma questão teórica sobre descontos. Veja bem: qual é o desconto que é calculado sobre o valor nominal? Já sabemos que é o desconto comercial, certo? Lembram que eu disse que o desconto comercial era mais fácil de ser calculado? Justamente por isso: ele é calculado diretamente sobre o valor nominal.

O desconto racional é aquele em que o desconto é uma diferença do valor atual e do valor nominal (que vira o VF).

Resposta: Errada.

Questão 5 – CESPE/ANTAQ/Analista Administrativo/2009

Com relação a juros e descontos, julgue os itens a seguir.

Desconto racional é aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes de seu vencimento.

23

Essa questão caiu no concurso em que fui aprovada. Ela mistura taxas e juros compostos.

Vamos organizar o que ela diz. Primeiramente, temos uma taxa de 10% ao ano capitalizada semestralmente. Ou seja, a taxa é de 5% ao semestre.

Assim, temos:

FV = PV.(1 + 0,05)2 FV = PV.(1,05)2

E temos, igualmente, o mesmo FV e PV numa aplicação trimestral, como diz a questão:

FV = PV.(1 + it)1

Como o FV é o mesmo para ambas os casos apresentados, igualamos as equações:

PV.(1,05)2 = PV.(1 + it)

1 + it = 1,052

it = 1,1025 – 1

it = 0,1025 = 10,25% ao trimestre.

Lembram do que eu falei no início da aula? Muitas pessoas que eu conheço não estudaram Matemática Financeira para concurso, pois a ementa de Raciocínio Lógico era imensa. Mas veja essa questão, por exemplo. Com um pouco de conhecimento em Matemática Financeira já é possível resolvê-la, com tranquilidade. Não esqueçam disso, pessoal!!!

Questão 6 – ESAF/Receita Federal/AFRFB/2009

No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durante um ano à taxa de 10 % ao ano com capitalização semestral resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um trimestre à taxa de it% ao trimestre resultará no mesmo valor final FV, se a taxa de aplicação trimestral for igual a:

(A) 26,25 % (B) 40 % (C) 13,12 % (D) 10,25 % (E) 20 %

24

Resposta: Letra D.

Essa questão mistura os conhecimentos de desconto racional simples e desconto comercial simples, que já vimos. A questão quer saber o valor da soma dos descontos de títulos com valores nominais iguais. Vamos resolvê-la por partes.

Inicialmente, cabe lembrar que a convenção do mês comercial nada mais é do que dizer que o mês possui 30 dias, independentemente de ser janeiro (que possui 31 dias), fevereiro (que possui 28 ou 29 dias), etc. Guardem apenas isso: na convenção do mês comercial, todo mês possui 30 dias.

O primeiro título:

• Desconto racional simples; • Taxa = i = 2% ao mês; • Valor atual = 21.000,00; • Período = n = 45 dias = 1,5 mês.

Questão 7 – FCC/DNOCS/Administrador/2010

Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados, em um banco, da seguinte maneira:

Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos descontos correspondentes é igual a

(A) R$ 1.260,00. (B) R$ 1.268,80. (C) R$ 1.272,60. (D) R$ 1.276,40. (E) R$ 1.278,90.

25

Como calcular o valor do desconto em um sistema de desconto racional simples? Isso já sabemos, certo? O desconto é a diferença entre o valor atual e o valor nominal, calculado segundo o método de capitalização com juros simples. Assim:

VF = VP.(1 + i.n), ou então: N = Vhoje.(1 + i.n).

N = 21000.(1 + 0,02.1,5)

N = 21630.

Assim, sabemos que o desconto foi de 630 reais, certo? Porque o valor nominal do título é de 21630 e o valor atual é de 21000... Entendido?

O segundo título:

• Desconto comercial simples; • Taxa = i = 1,5% ao mês; • Período = n = 60 dias = 2 meses.

Primeiramente, temos que ter claro que o valor nominal deste segundo título é aquele que encontramos para o primeiro título, pois a própria questão diz que os valores são iguais! Assim: N = 21.630.

E como calculamos o desconto comercial? Lembre-se que o desconto comercial é aquele para preguiçosos... é o desconto que é calculado diretamente sobre o valor nominal do título.

Dcomercial = N.i.n

Dcomercial = 21630.0,015.2

Dcomercial = 648,90

A questão pede a soma dos descontos. Então:

630 + 648,90 = 1278,90.

Resposta: Letra E.

26

Taxas proporcionais são taxas que apresentam a mesma proporção entre si do que os tempos a que se referem.

No nosso caso, temos uma taxa de 24% ao ano e uma de 2% ao mês. Um ano possui 12 meses, certo? E quanto é 24/12? 2! Ou seja, elas são taxas proporcionais. A resposta está correta.

Que fique claro que, em sistema de juros compostos, taxas proporcionais NÃO SÃO taxas equivalentes. Já em sistema de juros simples sim, pois não há capitalização dos juros, ou seja, não há “juros sobre juros”.

Resposta: Certo.

Questão 8 – CESPE/TJ-DF/Analista Judiciário/2008

Pedro Santos entrou na justiça contra uma empresa construtora por quebra de contrato, pois, mesmo tendo pago o serviço contratado, este sequer havia sido começado. Após o julgamento, foi decidido que a empresa construtora pagaria a Pedro Santos uma indenização de R$ 100.000,00, além de multa contratual e mais um valor a título de dano moral. Na decisão judicial constou que, na data do pagamento, o valor de R$ 100.000,00 correspondente à indenização deveria ser corrigido a uma taxa nominal de juros compostos de 24% ao ano, com capitalização mensal, contados a partir de 1.º de janeiro de 2002.

Considerando essa situação hipotética e tomando 1,13 como valor aproximado para (1,02)6, julgue o item seguinte.

As taxas de juros compostos de 24% ao ano e de 2% ao mês são taxas proporcionais.

(A) Certo (B) Errado

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Já sabemos tudo sobre taxas! Então vamos aplicar nossos conhecimentos nessa questão.

Ela fala sobre taxas equivalentes. Então, temos de ver se as taxas indicadas “significam” a mesma coisa.

Quero que vocês percebam que não é necessário “fazer contas”, numa questão como essa. Fiquem ligados...

A primeira taxa é de 24% ao ano com capitalização anual. Ou seja, percebam que a taxa, por bimestre (lembrando que um ano possui 6 bimestres), é menor do que 3%.

Porque estou dizendo isso? Simples!!!

Vejam só: como estamos falando de juros compostos, se a taxa fosse de 3% ao bimestre, sua equivalente anual seria de mais de 24%, certo? Não esqueçam que incide juros sobre juros...

E a questão afirma que essa taxa é equivalente a uma taxa bimestral de 4%, com capitalização bimestral. Ora... errado!! Como já vimos, a taxa é, com certeza, menor do que 3% ao bimestre... como pode ser de 4%??

Compreendido?

Resposta: Errado.


Ainda considerando a situação hipotética anterior e o valor numérico de aproximação mencionado, julgue o item seguinte.

Uma taxa de juros compostos de 24% ao ano, com capitalização anual, é equivalente a uma taxa de juros compostos de 4% ao bimestre, com capitalização bimestral.

(A) Certo

(B) Errado

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Já sabemos que taxa efetiva é a taxa que realmente utilizamos no cálculo da matemática financeira. É o nosso “i”, presente em todas as equações de MatFin...

E a taxa de 24% ao ano, dita no enunciado, é a taxa efetiva? NÃÃOOOO!

Tal enunciado diz: “taxa nominal de juros compostos de 24% ao ano, com capitalização mensal”.

Pessoal, uma dica: a taxa só é efetiva se seu período e capitalização forem os mesmos... Por exemplo, se a taxa fosse 24% ao ano com capitalização anual, a taxa seria efetiva. No nosso caso, a taxa é de 24% ao ano com capitalização mensal. Ou seja, essa taxa é nominal. Para sabermos a taxa mensal, basta dividir a referida taxa pelo número de vezes que o período menor está contido no período maior (o nosso K, lembram?).

Dessa forma, a taxa de 24% ao ano com capitalização mensal é equivalente à taxa de 24/12=2% ao mês com capitalização mensal. E é essa a taxa efetiva, e não a taxa de 24% ao ano apresentada no enunciado. Assim, a afirmação está incorreta.

Resposta: Errado.



A taxa de 24% apresentada na sentença judicial corresponde também à

taxa efetiva de juros que será praticada no pagamento da indenização

citada.

(A) Certo

(B) Errado

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Essa é uma questão sobre Rendas Certas, para treinarmos o que vimos. O enunciado diz que a pessoa deposita R$ 10.000 no início de cada mês, durante três meses, e que o objetivo é possuir um valor X imediatamente após o último depósito.

Perceberam do que a questão está falando? Vamos esquematizar:

Como resolvemos? Já que a questão quer saber um valor futuro, o correto é usar a equação com o fator de valor futuro. Percebam que, aqui, nem precisaremos “ajeitar” a equação, visto que a questão quer saber o valor imediatamente após o depósito da última parcela.

Questão 11 – FCC/MPE-RS/Assessor-Administração/2008

Uma pessoa deposita no início de cada mês R$ 10.000,00, durante 3 meses, em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, com capitalização mensal. O valor que esta pessoa terá que complementar ao seu montante, imediatamente após a realização do último depósito, para comprar um carro à vista no valor de R$ 35.000,00, é igual a

(A) R$ 4.699,00. (B) R$ 4.090,97. (C) R$ 3.781,88. (D) R$ 4.495,98. (E) R$ 4.292,96.

E, ao final, se retira o valor total de X reais... Quanto mais próximo de 35000 melhor!


30

Além disso, a questão diz que a taxa é de 12% ao ano, com capitalização mensal. Ou seja, para sabermos o valor da taxa mensalmente, devemos dividir 12 pelo número de meses contidos em um ano. Como um ano contém 12 meses, a taxa mensal é de 12/12 = 1% ao mês.

Assim, temos:

VF = PMT.(S(n,i))

VF = 10000.(S(3,1))

O valor S(3,1) pode ser encontrado na tabela:

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,1 2,12 2,15 2,183 3,0301 3,06 3,091 3,122 3,153 3,184 3,215 3,246 3,278 3,31 3,374 3,473 3,572

VF = 10000.3,0301

VF = 30.301.

Ao final dos três meses, portanto, a pessoa terá de complementar 35000 – 30301 = 4699 ao montante, para adquirir o carro de 35000 reais.

Gabarito: Letra A

Pessoal, finalizamos por aqui a nossa aula. Nos vemos no fórum de dúvidas.

Até a próxima!

Karine

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7. Memorex

VF = VP.(1 + n.isimples)

VF = VP.(1 + icompostos)n

Dracional = N – Vhoje ------------ N = Vhoje.(1 + i.n).

Dcomercial = N.i.n

Taxa Efetiva = Taxa Nominal/Período.

(1 + I) = (1 + i)K

VP = PMT.A(n,i)

VF = PMT.S(n,i)

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8. Lista das questões comentadas

Questão 1 – Vunesp/TJ-SP/Oficial de Justiça/2009

Em um mesmo dia, 1/3 de certo capital foi aplicado por 8 meses a uma taxa de juro simples de 18% ao ano, e o restante foi aplicado também por 8 meses, mas a uma taxa de juro simples de 21% ao ano. No final, obteve-se um total de R$ 6.800,00 de juros pelas duas aplicações. O valor total aplicado foi

(A) R$ 51.000,00. (B) R$ 48.000,00. (C) R$ 45.000,00. (D) R$ 42.000,00. (E) R$ 40.000,00.

Questão 2 – FEPESE/SEFAZ-SC/Auditor-Fiscal/2010

Em quantos meses um capital triplica a juros simples de 200% ao ano?

(A) 6 meses (B) 3 meses (C) 8 meses (D) 36 meses (E) 96 meses


Leandro aplicou a quantia de R$ 200,00. Ao final do período, seu montante era de R$ 288,00.

Se a aplicação de Leandro se deu em regime de juros simples, durante 8 meses, a taxa mensal de juros foi

(A) 5,0%. (B) 5,5%. (C) 6,5%. (D) 7,0%. (E) 6,0%.


Considere que em uma mesma data:

I. Antônio aplicou R$ 20.000,00 a uma taxa de juros simples de 18% ao ano, durante 15 meses.

33

II. Paulo aplicou um determinado capital a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre, durante um ano.

O valor do montante da aplicação realizada por Antônio superou em R$ 7.004,00 o valor do montante correspondente ao de Paulo. Então, o valor do capital que Paulo aplicou no início foi de

(A) R$ 12.500,00. (B) R$ 17.500,00. (C) R$ 16.500,00. (D) R$ 15.000,00. (E) R$ 16.200,00.

Questão 5 – CESPE/ANTAQ/Analista Administrativo/2009

Com relação a juros e descontos, julgue os itens a seguir.

Desconto racional é aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes de seu vencimento.

Questão 6 – ESAF/Receita Federal/AFRFB/2009

No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durante um ano à taxa de 10 % ao ano com capitalização semestral resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um trimestre à taxa de it% ao trimestre resultará no mesmo valor final FV, se a taxa de aplicação trimestral for igual a:

(A) 26,25 % (B) 40 % (C) 13,12 % (D) 10,25 % (E) 20 %

Questão 7 – FCC/DNOCS/Administrador/2010

Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados, em um banco, da seguinte maneira:

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Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos descontos correspondentes é igual a

(A) R$ 1.260,00. (B) R$ 1.268,80. (C) R$ 1.272,60. (D) R$ 1.276,40. (E) R$ 1.278,90.


Pedro Santos entrou na justiça contra uma empresa construtora por quebra de contrato, pois, mesmo tendo pago o serviço contratado, este sequer havia sido começado. Após o julgamento, foi decidido que a empresa construtora pagaria a Pedro Santos uma indenização de R$ 100.000,00, além de multa contratual e mais um valor a título de dano moral. Na decisão judicial constou que, na data do pagamento, o valor de R$ 100.000,00 correspondente à indenização deveria ser corrigido a uma taxa nominal de juros compostos de 24% ao ano, com capitalização mensal, contados a partir de 1.º de janeiro de 2002.

Considerando essa situação hipotética e tomando 1,13 como valor aproximado para (1,02)6, julgue o item seguinte.

As taxas de juros compostos de 24% ao ano e de 2% ao mês são taxas proporcionais.



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Uma taxa de juros compostos de 24% ao ano, com capitalização anual, é equivalente a uma taxa de juros compostos de 4% ao bimestre, com capitalização bimestral.




A taxa de 24% apresentada na sentença judicial corresponde também à taxa efetiva de juros que será praticada no pagamento da indenização citada.


Questão 11 – FCC/MPE-RS/Assessor-Administração/2008

Uma pessoa deposita no início de cada mês R$ 10.000,00, durante 3 meses, em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, com capitalização mensal. O valor que esta pessoa terá que complementar ao seu montante, imediatamente após a realização do último depósito, para comprar um carro à vista no valor de R$ 35.000,00, é igual a

(A) R$ 4.699,00. (B) R$ 4.090,97. (C) R$ 3.781,88. (D) R$ 4.495,98. (E) R$ 4.292,96.

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9. Gabarito

1 – C 5 - Errada 9 – Errado 2 – Anulada 6 - D 10 - Errado 3 – B 7 - E 11 - A 4 – D 8 - Certo

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