Padrões de simetria e o Geoplano - Simpósio Nacional de ... Ensinodematematica... · momento. Palavras-chave : Simetria, Geoplano, Ensino de matemática. Abstract ... A atividade

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT

I Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia – 2009 ISBN: 978-85-7014-048-7

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Padrões de simetria e o Geoplano

Rosemeire Bressan

Resumo

A simetria ensinada no ensino fundamental e médio pode ser aprofundada com o uso do Geoplano, material de fácil utilização e que também pode ser aplicado no ensino de Matemática. Exemplos de algumas construções são mostrados neste trabalho, visando a incentivar os alunos a construírem seus padrões, seguindo a criatividade de cada um e modificando-os a qualquer momento.

Palavras-chave: Simetria, Geoplano, Ensino de matemática.

Abstract

Patterns of symmetry and Geoboard

The symmetry taught in elementary and high school can be enhanced with the use of Geoplana devices, easy to use and can also be applied in the teaching of Mathematics. Examples of some buildings are shown in this work to encourage students to construct their patterns according to the creativity of each and change them at any time.

Keywords: Symmetry, Geoboard, Teaching of mathematics.




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Introdução

A Matemática é uma das disciplinas em que os alunos apresentam os maiores índices de

dificuldade como pode ser visto no resultado do Saresp 2007 e na Prova Brasil. No Saresp(

Sistema de avaliação e rendimento do Estado de São Paulo), 80% dos alunos do ensino

fundamental obtiveram notas abaixo do esperado e, para os alunos do ensino médio, 71% tiraram

pontuação que os classificaram no nível abaixo do básico. A Secretaria da Educação do Estado de

São Paulo dispõe, em seu site, de todos esses resultados, classificando-os por cidade, diretoria e

escola. Tendo em vista essa dificuldade, faz-se necessário melhorar o ensino de Matemática. Para

o professor, que necessita transmitir conhecimentos, vale a pena tentar maneiras diferentes e

agradáveis, para que o aluno possa aplicar a sua criatividade e seu conhecimento.

Um material que pode contribuir com o ensino é o Geoplano. O primeiro trabalho sobre o

uso do Geoplano foi escrito pelo Dr. Caleb Gattegno em 1961. Desde então, tem sido utilizado por

muitos professores para ensinar frações, áreas, perímetros, números racionais, simetria e outros.

Ele pode ser formado por quadrados, triângulos equiláteros ou círculo. O Geoplano com

triângulos é chamado de isométrico, porém o mais utilizado é o que tem pregos dispostos sobre

uma malha quadrada.

A figura 1 ilustra um geoplano de madeira com 9 pinos, também de madeira, em cada

lado.

Figura 1 – Geoplano

Os pinos são utilizados para colocar elásticos que formarão figuras para serem utilizadas

nas atividades. Uma outra opção para a construção do geoplano é utilizar isopor e palitos de

madeira ou alfinetes, que farão o papel do prego.

Figuras com simetria




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A atividade de construção de figuras simétricas sempre é abordada em artigos com o uso

do Geoplano. A Construção dessas figuras é bem diversificada, só depende da criatividade de cada

aluno. A figura 2 mostra três construções feitas no Geoplano com simetria de rotação e reflexões

na horizontal, vertical e diagonal.

Figura 2 – Aplicação de simetria de rotação e reflexões.

Na figura 3, tem-se uma figura construída sobre o geoplano com elásticos de cores branca

e rosa na qual foi utilizado apenas simetria de rotação. Observe que, dividindo a figura em 4

quadrantes, a única maneira de obter a figura do outro quadrante é aplicando rotação de 90

graus.

Figura 3 – Simetria de Rotação.

Em (Bressan, 2006a), as simetrias de rotação, translação e reflexão são exemplificadas

com diversas figuras.

Para complementar o assunto, pode-se utilizar o software Kali. Ele tem uma opção para a

construção de rosáceas com motivos retilíneos e curvilíneos. De fácil manuseio, pode ser obtido

gratuitamente na Internet.




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Padrões de Simetria em faixas

A simetria utilizada na construção de faixas faz uso da translação, reflexão, rotação e

translação refletida. Com essas transformações é possível construir qualquer um dos sete tipos de

faixa como mostra (Bressan, 2006a).

Na figura 4, tem-se uma faixa construída no Geoplano. Como foram utilizadas duas linhas

do Geoplano com oito quadrados, pode-se chamá-la de faixa de ordem 2x8(dois por oito).

Figura 4 – Faixa com simetrias de rotação, reflexão e translação.

Analisando a figura 4, nota-se o uso de translação, reflexão na horizontal, reflexão na

vertical e rotação. Assim, essa faixa é classificada no padrão 6 como mostra (Bressan, 2006a).

Um resumo dos padrões de faixa apresentada pela autora nesse artigo pode ser visto na

tabela 1:

Tabela 1 –Padrões de simetria para faixas.

Padrões Translação Reflexão

Horizontal

Reflexão

Vertical Rotação

Translação

Refletida

I

II

III

IV

V

VI

VII

O padrão 6 é o que possui todas as simetrias, incluindo a de translação refletida que

ocorre em conjunto com a reflexão na horizontal.

A faixa apresentada na figura 5 possui simetria de translação e reflexão na horizontal.

Analisando a tabela 1, percebe-se que não existe um padrão apenas com essas duas

transformações, mas também aparece a translação refletida. Assim, conclui-se que sempre que




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ocorrer reflexão na horizontal também ocorre a translação refletida, em que a recíproca não é

verdadeira, pois o padrão 3 possui a translação refletida e não possui a reflexão horizontal.

Figura 5 – Faixa com reflexão na horizontal.

O padrão 2, que possui translação e reflexão na vertical, pode ser observado na faixa da

figura 6. Essa faixa possui ordem 3x8(três por oito) e foi elaborada com 18 elásticos.

Figura 6 – Faixa com reflexão na horizontal.

Pavimentação de um plano com o Geoplano

Os padrões para pavimentar um plano podem ser obtidos aplicando transformações

geométricas que vão desde rotações de 60, 90, 120 e 180 graus até reflexões na horizontal,

vertical e diagonal à direita e esquerda, além de translação na horizontal e vertical. O padrão

mostrado na figura 7 foi obtido utilizando apenas translação horizontal e vertical.




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Figura 7 – Padrão com translação horizontal e vertical.

Aplicando as simetrias de rotação citadas anteriormente na figura 7, obtêm-se os padrões

mostrados na figura 8.

Figura 8 – Padrões com rotação de 60, 90,120 e 180º.

A construção desses padrões foi possível com o auxílio do software Tess, específico para a

construção de rosáceas ou rosetas, faixas ou frisos e mosaicos. Uma versão de demonstração

pode ser obtida gratuitamente na internet. Em (Bressan, 2006b) é possível saber mais sobre o

software.

O estudo matemático desses padrões para pavimentar o plano é feito por (Ledergerber-

Ruoff, 1982) e comentado historicamente em (Barbosa, 1993).

Com o geoplano, é possível construir algumas pavimentações observando apenas as

principais simetrias que, quando combinadas entre si, geram 17 padrões diferentes para

pavimentar um plano.

Na figura 9, tem-se uma pavimentação construída no geoplano com o uso de elásticos. As

principais simetrias existentes são translações na horizontal e vertical, rotação de 90 graus e

simetria de reflexão na horizontal, vertical e diagonal.




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Figura 9 – Pavimentação

Como o geoplano é formado por quadrados, eles podem aparecer em diversas

pavimentações como mostra a figura 10. Nos dois casos foram utilizados dois planos de cores

diferentes. No primeiro caso, colocaram-se os elásticos verdes e depois os de cor branca. Para o

segundo caso, foi feita a base com elásticos brancos e depois com elásticos de cor rosa, dando a

idéia de unir os quadrados brancos.


A simetria de translação na horizontal e vertical ocorre em todas as pavimentações, caso

contrário não seria possível preencher uma região plana. Essa simetria pode ser observada na

figura 11, em que o padrão em formato de X é repetido na horizontal e na vertical como mostra o

esquema ao lado da figura.




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Com o uso do Geoplano, podem-se encontrar diferentes pavimentações com motivos

retilíneos diversos. A figura 12 mostra duas pavimentações, em que a primeira serviu de base

para a construção da segunda pavimentação. Os elásticos de cor rosa foram colocados sobre os

brancos em sentido contrário.


Considerações finais

O conceito de simetria e aplicações na construção de faixas, rosáceas e mosaicos podem

ser trabalhadas com o auxílio de disciplinas de História e Educação Artística. Na Matemática,

como foi mostrado neste artigo, uma ferramenta simples e de fácil uso é o Geoplano que pode

ser construído com madeira e pregos ou isopor e alfinetes.




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O seu uso permite que alunos criem e recriem, formulando conceitos e desenvolvendo a

criatividade de uma maneira simples e divertida, juntamente com o auxílio dos colegas e do

professor.

Para os professores que gostam de inovar e prender a atenção dos discentes, propor

atividades variadas com o Geoplano pode ser uma solução para as aulas que, muitas vezes, não

são consideradas interessantes.

Referências

Barbosa, R. M. Descobrindo padrões em Mosaicos. São Paulo: Atual. 1993. Bressan, R. Construindo Faixas simétricas. In: III Seminário Internacional de Pesquisa em

Educação Matemática, Águas de Lindóia, 2006.

_________. Ferramentas para o ensino de Matemática. Mosaico - Revista de Pesquisa da área de

Ciências Exatas da UNIFEV, Votuporanga, v. 1, n. 2, 2006.

Lederberger-Ruoff, E. B. Isometrias e ornamentos no plano Euclidiano. São Paulo: Atual. 1982.

Rosemeire Bressan: professora da Faculdade de Tecnologia de Catanduva(FATEC) e Centro

Universitário de Votuporanga(UNIFEV). [email protected]

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