Padrões Um Tema Transversal

Universidade do Minho

Padrões: um tema transversal Padrões: um tema transversal Padrões: um tema transversal Padrões: um tema transversal

do currículodo currículodo currículodo currículo

Carla Cristina Rocha Gomes Larsen

Trabalho da unidade curricular Metodologia do Ensino da Matemática I Doutora Helena Martinho

Mestrado em Ensino da Matemática no 3º ciclo do Ensino Básico e no Secundário

Fevereiro 2010

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Resumo

Este trabalho pretende analisar a importância atribuída à exploração de padrões no Programa de

Matemática do Ensino Básico, a forma como este tópico é introduzido ao longo da escolaridade e qual a sua

relevância para a aprendizagem da matemática. Com o trabalho de intervenção, que consistiu na proposta de

uma tarefa sobre exploração de padrões a uma turma do 7º ano e outra do 8º ano, pretende-se avaliar até que

ponto o estudo do tópico Sequências e regularidades no 8º ano contribuiu para o desenvolvimento do

pensamento algébrico e capacidade de abstracção dos alunos. Depois de uma revisão bibliográfica onde se

reconhece a matemática como a ciência dos padrões e se analisa a importância da exploração dos padrões para

o entendimento da linguagem algébrica, é feita uma análise do Currículo e do Programa de Matemática do

Ensino Básico de forma a perceber a relevância dada a este tema e a forma como é abordado ao longo da

escolaridade. Por fim, a análise dos dados recolhidos no trabalho de intervenção, obtidos por observação das

aulas e recolha dos documentos produzidos pelos alunos no âmbito das tarefas propostas.

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Índice

1. Introdução ………………………………………………………………………………………………………….…4

2. A Matemática como a ciência dos padrões ………………………………………………………………….5

2.1. Exploração de padrões e o pensamento algébrico …………………………..………………..5

2.2. Padrões: um tema transversal do currículo …………………………………………….……….6

2.3. Padrões no Programa de Matemática do Ensino Básico …………………………………….7

3. Trabalho de intervenção ………………………………………………………………………………………..10

3.1. Descrição do trabalho proposto aos alunos …………………………………………………...10

3.2. Descrição das turmas ……………………………………………………………………………….11

3.3. Análise e discussão dos dados recolhidos ……………………………………………………..11

3.4. Outras propostas de exploração ……………………………………………………………….…21

4. Conclusão …………………………………………………………………………………………………………..23

Lista de referências

Anexos

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1 – Introdução

Vários estudos internacionais assim como as provas de aferição e exames nacionais revelaram que os

estudantes portugueses têm sérias deficiências ao nível das capacidades matemáticas, sobretudo na resolução

de problemas, raciocínio e comunicação, assim como se vem assistindo a uma progressiva desmotivação dos

alunos em relação à matemática. O objectivo de que todos os alunos aprendam matemática só pode ser

alcançado a partir de uma proposta curricular onde sejam definidas tarefas que sirvam de suporte a

aprendizagens significativas e para as quais se sintam motivados. A matemática como a ciência dos padrões

pode contribuir para uma nova visão da natureza da matemática e proporcionar contextos interessantes de

aprendizagem contribuindo para que os estudantes aprendam e aprendam melhor matemática (Barbosa,

Borralho, Cabrita, Fonseca, Pimentel, Vale, 2008).

Assim, este trabalho pretende analisar se esta importância atribuída à exploração de padrões para uma

melhor aprendizagem da matemática é efectivamente reconhecida no Currículo Nacional do Ensino Básico e no

Novo Programa de Matemática do Ensino Básico. A par disso, levou-se a cabo um trabalho de intervenção com o

objectivo de analisar a evolução revelada pelos alunos relativamente às estratégias de generalização e resolução

de problemas e à compreensão da linguagem algébrica, após a leccionação da unidade de ensino baseada no

estudo de padrões e regularidades.

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2 - A Matemática como a ciência dos padrões

Apesar da importância que os padrões sempre tiveram em matemática, foi sobretudo nas últimas

décadas que mais ênfase se lhes deu sobretudo quando os matemáticos, na procura de uma definição mais

actual para matemática, chegaram à ideia mais consensual de que a matemática é a ciência dos padrões

(Devlin, 2002). Mas este conceito de padrão não se refere apenas a padrões visuais como os que se vêem nos

tecidos, papel de parede e peças de arte. É um conceito bem mais genérico, refere-se a uma disposição ou

arranjo de números, formas, cores ou sons onde se detectam regularidades (Borralho, Cabrita, Palhares e Vale,

2007).

Nesta perspectiva, a actividade matemática caracteriza-se pela análise de padrões diversos que irão dar

origem a diferentes temas matemáticos. Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em

examinar padrões abstractos, tanto reais como imaginários, visuais ou mentais ou seja, procuram regularidades

nos números, no espaço, na ciência e na imaginação e as teorias matemáticas tentam explicar as relações entre

elas. Vários investigadores referem que o que os matemáticos fazem melhor é descobrir e revelar padrões

escondidos, sendo o próprio objectivo da matemática, em certa medida, descobrir a regularidade onde parece

vingar o caos, extrair a estrutura e a invariância da desordem e da confusão (Vale, Pimentel, 2005).

2.1 – Exploração de padrões e o pensamento algébrico

A passagem da Aritmética para a Álgebra é uma das grandes dificuldades dos alunos e os professores

devem diversificar estratégias permitindo aos seus alunos desenvolver o pensamento algébrico. Ouve-se muitas

vezes os alunos dizer que não gostam de equações e que tudo fica mais complicado quando as letras se juntam

aos números. Estas reacções devem-se, principalmente, ao facto de sentirem dificuldade em compreender o

significado dos símbolos, a linguagem formal própria da Álgebra e todas as regras e procedimentos que lhe estão

associados, bem diferentes do trabalho realizado nos primeiros anos de escolaridade, no âmbito da Aritmética.

Na escola, o ensino deste tema limita-se, em grande parte, ao ensino da aplicação de regras e procedimentos,

principalmente através da resolução de exercícios. Deste modo, o que é pedido aos alunos é que saibam aplicar

essas regras e procedimentos numa determinada expressão, sem que percebam a sua estrutura, o seu

significado e a necessidade ou vantagem da sua utilização. Para lidar com as dificuldades apresentadas é

preciso elaborar estratégias que conduzam a uma maior motivação e a um crescente interesse, por parte dos

alunos, para a Matemática.

Nas Normas para o Currículo e Avaliação da Matemática Escolar (NCTM, 1991), o estudo de padrões e

regularidades é referido como um aspecto importante para o ensino da Álgebra. Neste documento, o NCTM

recomenda que nos primeiros níveis de ensino a sua aprendizagem se baseie no estudo de padrões e relações.

Mais tarde, esse estudo deve ser alargado para a análise, representação e generalização de funções. Sugere

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ainda ser essencial que os alunos explorem conceitos algébricos de uma forma informal com vista à construção

de uma base para o posterior estudo formal da Álgebra. Assim, o NCTM defende que o trabalho com padrões e

regularidades é relevante para as capacidades de resolver problemas, compreender conceitos e relações

importantes, investigar relações entre quantidades (variáveis) num padrão, generalizar padrões através do uso de

palavras ou variáveis, continuar e relacionar padrões e compreender o conceito de função.

Segundo Ponte (2005), o estudo de padrões e regularidades pode constituir um meio privilegiado para

promover o desenvolvimento do pensamento algébrico. Para este autor, a procura de padrões e regularidades e

a formulação de generalizações em diversas situações devem fomentar-se desde os primeiros anos do ensino

básico. Os alunos devem, então, desde cedo, desenvolver a capacidade de identificar e descrever padrões e

regularidades, bem como de continuar um determinado padrão ou de criar novos padrões.

A interacção dos padrões com a Álgebra é um domínio privilegiado. Em primeiro lugar porque irá

permitir que a descoberta assuma um papel fundamental na sua aprendizagem. Outra razão muito importante é

que é esta ligação que permite pensar no estudo da Álgebra desde o pré-escolar. As opções curriculares de hoje

afastam-se da simples memorização e da aplicação pura de técnicas de cálculo para se centrarem na

apropriação de aspectos essenciais dos números e suas relações (Ponte, Brocardo e Oliveira, 2003).

Acredita-se que através da resolução de problemas, onde a procura de padrões seja uma estratégia

fundamental, os estudantes possam experienciar a utilidade da matemática e desenvolver o conhecimento de

novos conceitos, e os professores possam encontrar contextos interessantes para desenvolver o poder

matemático dos alunos. Aliás, os padrões podem permitir que os estudantes construam uma imagem mais

positiva da Matemática, porque apelam fortemente ao seu sentido estético e criatividade; estabeleçam várias

conexões entre os diferentes temas; promovam uma melhor compreensão das suas capacidades matemáticas;

desenvolvam a capacidade de classificar e ordenar informação e compreendam a ligação entre a Matemática e o

mundo em que vivem.

Apesar do papel significativo em matemática, os padrões não têm sido um tema ao qual se deu sempre

grande relevância nos currículos nacionais da matemática escolar (Barbosa, Borralho, Cabrita, Fonseca,

Pimentel e Vale, 2008). Terá havido diferenças na elaboração do último Currículo Nacional do Ensino Básico e

no novo Programa de Matemática do Ensino Básico?

2.2 – Padrões: um tema transversal do currículo

Uma análise do currículo revela que o estudo dos padrões atravessa todos os temas do programa da

matemática escolar, desde o ensino básico ao secundário.

O Currículo Nacional do Ensino Básico - Competências Essenciais (ME-DEB, 2001) destaca a

especificidade da matemática como “a ciência das regularidades e da linguagem dos números, das formas e das

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relações” (p. 58). Fazendo uma análise das Competências matemáticas que todos devem desenvolver, encontra-

se:

- no domínio dos Números e Cálculo, a “predisposição para procurar e explorar padrões numéricos em

situações matemáticas e não matemáticas e o gosto por investigar relações numéricas, nomeadamente em

problemas envolvendo divisores e múltiplos de números ou implicando processos organizados de contagem” (p.

60);

- no campo da Geometria, a “predisposição para procurar e explorar padrões geométricos e o gosto por

investigar propriedades e relações geométricas” (p. 62).

- na Álgebra e Funções, a “predisposição para procurar padrões e regularidades e para formular

generalizações em situações diversas , nomeadamente em contextos numéricos e geométricos” (p. 66).

2.3 - Padrões no Programa de Matemática do Ensino Básico

Os padrões no Ensino Básico são um tema transversal aos vários níveis de escolaridade:

- nas Finalidades e nos Objectivos Gerais do Ensino da Matemática existem referências a regularidades e

a generalizações. Indica-se, por exemplo, que a matemática se constituiu como domínio autónomo ao estudo dos

números e operações, das formas geométricas, das estruturas e regularidades, da variação, do acaso e da

incerteza (p. 2);

- nos Objectivos Gerais do Ensino da Matemática defende-se que os alunos devem ser capazes de

raciocinar matematicamente, isto é, entre outros aspectos devem ser capazes de reconhecer e apresentar

generalizações matemáticas e exemplos e contra-exemplos de uma afirmação (p.5) e explorar regularidades e

formular e investigar conjecturas matemáticas (p. 6);

- nos Temas Matemáticos e Capacidades Transversais referem-se às sequências como sendo essenciais

ao desenvolvimento das primeiras ideias algébricas dos alunos (p. 7).

Padrões no 1º ciclo do ensino básico

Nas Indicações metodológicas reconhece-se que a exploração de situações relacionadas com

regularidades de acontecimentos, formas, desenhos e conjuntos de números é importante neste ciclo e que os

alunos devem procurar regularidades em sequências de números finitas e infinitas e observar padrões de pontos

e representá-los tanto geométrica como numericamente, fazendo conexões entre a geometria e a aritmética (p.

14).

No tema Números e operações, nos 1º/2º anos de escolaridade, no item Regularidades - Sequências, é

objectivo específico “elaborar sequências de números segundo uma dada lei de formação e investigar

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regularidades em sequências e em tabelas de números (p.17) e nos 3º/4º anos “investigar regularidades

numéricas e resolver problemas que envolvam o raciocínio proporcional” (p.18).

No tema Organização e tratamento de dados refere-se a palavra regularidade nas Indicações

metodológicas quando refere que a realização de várias experiências, permite aos alunos concluírem que,

embora o resultado em cada realização da experiência dependa do acaso, existe uma certa regularidade ao fim

de muitas realizações da experiência (p.27).


Neste programa encontra-se referências aos padrões nos quatro temas em que o programa está

organizado, com especial relevo no tema da Álgebra e Geometria. Também nas Capacidades transversais a

desenvolver, no tópico da Resolução de problemas, se recomenda a apresentação de problemas que possam ser

resolvidos por diferentes estratégias, em particular a “identificação de regularidades” (p.46).

No tema Números e operações são referidos termos relacionados com os padrões, como por exemplo,

regularidades e sequências, neste caso as numéricas. Estas referências surgem tanto nas Indicações

metodológicas, onde se sustenta que o trabalho com sequências numéricas estabelece uma ponte conceptual

importante entre os três ciclos de ensino básico (p.32) e ainda que a calculadora e o computador permitem

experiências com números e regularidades numéricas (p.33), como nos Tópicos e objectivos específicos onde,

no tópico Potências de base e expoente naturais, se sugere o estudo de regularidades com potências (p.33).

No tema Geometria foram detectadas referências aos padrões geométricos e frisos. A referência aos

padrões geométricos surge pela primeira vez apesar de, na Articulação com o 1ºciclo, se referir este tipo de

padrão como sendo um meio de desenvolver nos alunos, já desde o ciclo anterior, o pensamento algébrico.

Espera-se que este ciclo possa contribuir para que os alunos ampliem e aprofundem esse trabalho explorando

padrões, determinando termos de uma sequência a partir da sua lei de formação e uma lei de formação pelo

estudo da relação entre os termos (p.40). Nos Objectivos gerais de aprendizagem refere-se que os alunos devem

“ser capazes de analisar padrões geométricos e desenvolver o conceito de simetria” (p.36).

No tema Álgebra referem-se padrões geométricos, sequências, regularidades e lei de formação. Ao longo

de todo o tema são feitas referências explícitas aos padrões, como se exemplifica no tópico Sequências e

regularidades: identificar e dar exemplos de sequências e regularidades numéricas e não numéricas; determinar

o termo seguinte (ou o anterior) a um dado termo e ampliar uma sequência numérica, conhecida a sua lei de

formação; determinar termos de ordens variadas de uma sequência, sendo conhecida a sua lei de formação e

analisar as relações entre os termos de uma sequência e indicar uma lei de formação, utilizando linguagem

natural ou simbólica (p.41)

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No tema da Organização e tratamento de dados também são feitas referências aos padrões pela

necessidade de explorar regularidades de diferentes fenómenos. Por exemplo, é referido que “os alunos devem

realizar experiências aleatórias em que se explora a regularidade a longo termo “(p.43).


Neste ciclo nota-se que existe uma grande articulação com os ciclos anteriores onde os padrões e as

regularidades assumem um papel preponderante ao nível do estudo dos Números e Operações e da Álgebra.

No tema Números e Operações, em particular no estudo dos Números Reais, um dos objectivos

específicos é “Resolver problemas e investigar regularidades envolvendo números racionais e reais” (p. 50). As

Indicações metodológicas apontadas para este tema também são explícitas sobre a importância da investigação

de regularidades numéricas.

Na Álgebra, retoma-se a investigação de sequências e regularidades, já realizada nos ciclos anteriores,

com vista a aprofundar o estudo de relações algébricas e sua simbolização, fundamental para o desenvolvimento

da noção de variável e para a compreensão da linguagem algébrica (p. 55).

Ao nível do Raciocínio Matemático e da Comunicação Matemática o programa é explícito na importância

da exploração de padrões para promover capacidades transversais. Por exemplo, ao nível do Raciocínio

Matemático, o programa refere que o professor deve “proporcionar situações em que os alunos raciocinem

indutivamente (formulando conjecturas a partir de dados obtidos na exploração de regularidades) e

dedutivamente (demonstrando essas conjecturas)” (p. 64) e a nível da comunicação matemática aponta para a

necessidade de “descrever regularidades, explicar e justificar conclusões e soluções usando linguagem natural e

matemática, apresentar argumentos de modo conciso e matematicamente fundamentado, e avaliar a

argumentação matemática (por exemplo, de um colega, de um texto, do próprio professor)” (p. 63).

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3. Trabalho de intervenção

Com o objectivo de analisar a evolução revelada pelos alunos relativamente às estratégias de

generalização e resolução de problemas e à compreensão da linguagem algébrica após a leccionação da

unidade de ensino baseada no estudo de padrões e regularidades, foi proposta uma tarefa de exploração de

padrões a duas turmas, uma do 7º ano, outra do 8º, de forma a fazer um estudo comparativo das estratégias

usadas (ver plano de aula, em anexo). De entre as várias opções de tarefas que possuía, optei por uma que não

apresentasse um grau de dificuldade elevado. Primeiro, desconhecendo as turmas, não sabia até que ponto

poderia exigir, arriscando-me a não ter dados para análise. Segundo, “investigar não representa obrigatoriamente

trabalhar em problemas muito difíceis” (Ponte, Brocardo, Oliveira,2003, p .9).

3.1. Descrição do trabalho proposto aos alunos Esta tarefa apresenta uma sequência de figuras constituídas por azulejos brancos e cinzentos de forma

quadrangular. Os alunos têm oportunidade de analisar a sequência, identificando regularidades e de expressar

as suas generalizações em linguagem natural e em linguagem algébrica.

Tarefa

Azulejos (adaptado da Brochura de Sequências e regularidades, DGIDC, 2009)

A Sara construiu uma sequência de figuras utilizando pequenos azulejos brancos e cinzentos, dispostos do

seguinte modo:

Responde às perguntas seguintes, apresentando o teu raciocínio por palavras, esquemas, cálculos ou símbolos.

a) Quantos azulejos tem, no total, a 30.ª figura?

b) Que figura da sequência tem, no total, 81 azulejos?

c) Ajuda a Sara a completar a tabela que fez para organizar os dados.

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Objectivos:

- Analisar e descrever padrões e regularidades e formular generalizações a partir de contextos geométricos e

numéricos.

Organização:

- Duração de 90 minutos.

- Trabalho em grupos de dois.

- A aula é constituída por três momentos: no primeiro faz-se a apresentação da tarefa e do que se pretende,

num segundo momento os alunos resolvem a tarefa a pares e num terceiro momento a tarefa é corrigida pelos

alunos no quadro e é discutido o trabalho desenvolvido. Esta discussão colectiva é fundamental. É reflectindo

sobre o trabalho feito, confrontando as suas ideias com as dos outros, argumentando e analisando argumentos,

que os alunos aprofundam e consolidam a sua aprendizagem.

3.2. Descrição das turmas

Esta tarefa foi apresentada a duas turmas do 3º ciclo do Ensino Básico, uma do 7º e outro do 8º ano,

numa escola E.B.2,3 do concelho de Vila Nova de Famalicão, distrito de Braga. Pretendia-se com isso comparar

as estratégias de resolução usadas pelos alunos das duas turmas, analisando se a abordagem das variáveis e

sequências já feita no 8º ano iria reflectir-se no pensamento algébrico dos alunos. Caracterização das turmas:

Turma do 7º ano: 6 rapazes, 10 raparigas, com idades entre os 12 e os 14 anos. Considerada uma

turma mediana, quer em aproveitamento quer em comportamento.

Turma do 8º ano: 13 rapazes, 10 raparigas, com idades entre os 13 e 14 anos. Considerada uma turma

muito boa em termos de aproveitamento mas fraca em comportamento.

3.3. Análise e discussão dos dados recolhidos

A esta sequência pictórica é possível associar diferentes sequências numéricas conforme se considerem

apenas os azulejos brancos, apenas os azulejos cinzentos ou todos os azulejos que formam a figura. Os alunos

podem explorar as sequências seguindo duas estratégias:

- analisando figuras consecutivas e concluindo que, de uma figura para a seguinte, o número de azulejos

brancos aumenta uma unidade, o número de azulejos cinzentos aumenta duas unidades e o número total de

azulejos aumenta três unidades;

- analisando as propriedades geométricas de cada figura e verificando que é possível decompô-la de modo a

relacionar o número de azulejos de cada tipo com a ordem da figura na sequência.

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Turma do 7º ano (8 grupos) 1ª Questão – Quantos azulejos tem, no total, a 30ª figura? (R: 96 azulejos) Apenas um grupo não respondeu a esta questão, todos os outros responderam e chegaram ao valor

correcto. Três grupos continuaram a sequência numérica associada ao número total de azulejos, tendo

constatado que aumentava três unidades relativamente à figura anterior:

Outro também continuou a sequência, mas desta vez multiplicando o número de azulejos da base (que

aumentava sempre um) pelo número dos da altura (sempre três):

Os restantes três grupos optaram por fazer cálculos que evidenciavam uma relação entre o número de ordem da

figura e o número de azulejos. Este grupo distinguiu os dois tipos de azulejos:

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O mesmo raciocínio está presente na próxima resolução, mas agora de forma mais descritiva:

Apenas um explicou o seu raciocínio com recurso a desenhos, também mostrando a relação entre a ordem da

figura e o número total de azulejos (aqui não se fez distinção de cores):

2ª Questão – Que figura da sequência tem, no total, 81 azulejos? (R:25ªfigura) Mais uma vez, um grupo não respondeu e dos restantes, um resolveu usar a regra de três sem se

aperceber que o número da figura e o número total de azulejos não são grandezas directamente proporcionais.

Parece que este conceito não ficou bem assimilado. No entanto obtiveram o número correcto da figura, por

coincidência, pois se tivessem usado outra razão diferente de 96

30o resultado seria outro.

Os quatro grupos que recorreram, na questão anterior, ao prolongamento da sequência, tiveram

resposta imediata a esta questão pois bastava identificar, na sequência previamente escrita, o termo pedido.

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Os grupos que, na alínea anterior, relacionaram o número de azulejos com a ordem, voltaram a usar o

mesmo raciocínio. Este par continuou com a técnica do desenho:

Mas o seguinte não soube mostrar devidamente como obtive o valor 25. O que escreveram parece mais uma

prova de que o 25 é o valor pedido do que o cálculo efectivo do mesmo.

3ª Questão – Preenchimento da tabela

Todos os grupos preencheram a tabela correctamente (até ao n=6). As primeiras linhas foram

preenchidas olhando para as figuras da tarefa mas nas seguintes quase todos tiveram em conta a regularidade

no salto de uma linha para outra da tabela (somar 2 ao valor anterior na coluna dos azulejos cinzentos; somar 1

na coluna dos brancos; somar 3 na coluna do total de azulejos). Apenas um grupo esqueceu essa regularidade

da tabela e relacionou o resultado de cada linha com a ordem da figura.

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4ª Questão – Generalização para a figura número n

Quase todos os grupos entenderam a generalização pedida como sendo a generalização para o

preenchimento da tabela. Tinham descoberto que se preenchia a primeira coluna somando sempre 2, a segunda

somando 1 e a terceira somando 3:

Apenas um grupo escreveu uma expressão com n mas errada (a expressão que está riscada).

Note-se que esta turma ainda não tinha abordado variáveis e sequências. Tudo isto lhes era estranho,

daí terem-me questionado bastante acerca desta última questão. Depois de ter reparado que estavam a fazer

uma generalização para o preenchimento da tabela (e não era o pretendido), resolvi dar-lhes uma pequena

explicação do que pretendia, acabando por encontrar uma expressão geral para o número de azulejos cinzentos.

A partir daí, cinco dos oito grupos apresentaram com sucesso expressões para as outras duas colunas (ver

resolução anterior).

Turma do 8º ano (12 grupos)

1ª Questão – Quantos azulejos tem, no total, a 30ª figura?

Aqui, dois grupos não responderam à primeira questão e os que responderam, contrariamente ao que

aconteceu na turma do 7º ano, nenhum continuou a sequência. Todos eles tentaram estabelecer uma relação

com o número da figura ou com o número de “saltos” na sequência. A resolução seguinte, apresentada por

apenas um grupo, falhou no cálculo do número de saltos (são 29 e não 30) e não somou o número de azulejos

da figura inicial:

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Apenas um grupo mostrou este raciocínio de forma correcta:

À semelhança do 7º ano, quatro grupos relacionaram o número de azulejos de cada cor com o número da figura

e somou-os:

Este grupo preencheu primeiro a tabela (última questão) e como chegou a uma expressão geral para o número

de azulejos, usou-a nesta questão:

Outro grupo apercebeu-se de que o bloco central de cada figura era composto sempre por três linhas em que

cada uma continha o número de azulejos igual ao número da figura, bastando depois somar os 6 das

extremidades (raciocínio igual ao do grupo do 7º ano que apresentou o desenho):

Também à semelhança do 7º ano, houve quem usasse a regra de três. Foram dois os grupos que apresentaram

esta resolução mas com resultados diferentes pelo facto de não terem usado as mesmas razões (o que já era de

esperar atendendo a que não estamos perante grandezas directamente proporcionais):

2ª Questão – Que figura da sequência tem, no total, 81 azulejos?

Aqui, três grupos não responderam à questão e os dois grupos que recorreram à regra de três na alínea anterior,

voltaram a usá-la nesta questão, naturalmente com resultados errados.

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Mais uma resolução incorrecta. Este grupo considerou (erradamente), nas duas questões, que o número de

azulejos era o triplo do número da figura:

O seguinte grupo, também na questão anterior, tinha considerado a soma de 3 azulejos no salto de uma figura

para outra chegando à expressão “nº saltos x 3 + 9 (da 1ª figura)”. Por tentativas obteve o número 24 (correcto)

para o número total de saltos mas esqueceu-se de que isso o iria conduzir à figura número 25:

Dois grupos apresentaram a resolução seguinte onde é visível a decomposição da figura no bloco central e uma

coluna de cada lado, tendo reparado que a largura do bloco central era igual ao número da figura, bastando

então apenas multiplicar por três e somar-lhe os 6 das colunas das extremidades. Tinham encontrado a fórmula

e, por tentativas, encontraram o número que deveriam multiplicar para obter 81 no total (foi o 25):

Houve duas resoluções como a que se segue, onde também é visível a mesma decomposição. Começam por

dividir o número total em 3 (número de linhas) e obtêm o número de azulejos da base. Aperceberam-se que

tinham que subtrair os dois azulejos das pontas para obter o número da base do bloco central pois coincidia

sempre com o número da figura:

Apenas um grupo apresentou a resolução seguinte ( o mesmo aconteceu na turma do 7º ano) e mais uma vez

se decompôs a figura. Aqui começou-se por subtrair os 6 azulejos das duas extremidades, restando o bloco

central. Dividindo por 3 obteve-se o número da figura.

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Todos preencheram correctamente a tabela e, à semelhança do 7º ano, nas primeiras linhas olharam

para as figuras da sequência e contaram o tipo de azulejos que se pretendia mas facilmente se aperceberam da

regularidade da tabela e com base nisso acabaram de a preencher.


Todos os grupos entenderam o que lhes era pedido na última linha da tabela até porque a matéria das

sequências ainda era recente. No entanto, dois grupos não responderam, outros dois acharam que era para

generalizar o preenchimento da tabela

Mas os restantes seis chegaram a expressões válidas:

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Comparação das resoluções das duas turmas

1ª Questão – Quantos azulejos tem, no total, a 30ª figura?

7º ano 8º ano

A realçar aqui o facto de a maior parte da turma do 7º ano resolver a questão continuando a sequência

numérica até à ordem pedida, ao passo que nenhum grupo do 8º o fez. Isto é revelador de um raciocínio mais

abstracto, talvez pelo facto de já terem explorado sequências anteriormente. No entanto, este raciocínio

revelou-se mais falível pois 25% chegaram a um valor errado enquanto que os do 7º acertaram todos.

2ª Questão – Que figura da sequência tem, no total, 81 azulejos?

7º ano 8º ano

Uma vez mais, a maior parte das resoluções do 7º ano passou pela continuação da sequência e os do 8º

revelaram uma maior capacidade de abstracção mas errando ainda mais que na anterior. Também a registar

mais alunos do 8º que não responderam.

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7º ano 8º ano

Todos preencheram a tabela correctamente e apenas um grupo esqueceu a regularidade da tabela e teve em

conta a regularidade visível nas figuras.


7º ano 8º ano

A salientar o facto de os do 7º ano ainda não terem tido contacto formal com variáveis nem com

sequências o que os levou a não entender o que lhes era pedido. Foi necessária a minha intervenção para

lhes explicar o que se pretendia com a generalização, acabando por escrever uma expressão para a primeira

coluna. Mas depois desta explicação, os cinco que responderam, escreveram expressões correctas. Os alunos

do 8º não precisaram de explicação, trataram de arranjar expressões imediatamente mas alguns deles

erraram. Isto evidenciou que já possuíam um pensamento algébrico mais desenvolvido. De notar que em

ambas as turmas houve muitos grupos a não responder.

Quanto à discussão final das resoluções, efectuada no final da aula, em cada turma, foi agradável

verificar uma grande vontade, por parte dos alunos, de quererem explicar aos outros as suas resoluções.

Todos se ofereciam para ir ao quadro mas naturalmente só foram os que apresentaram resoluções diferentes

das já referidas. Os alunos que estavam a ouvir as explicações dos que estavam no quadro não puseram

grandes questões perante as novas resoluções, pareciam ter assimilado facilmente as diferentes estratégias.

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3.4 . Outras propostas de exploração

Dada a importância da exploração de padrões para o desenvolvimento da capacidade de estabelecer

generalizações, um aspecto fundamental do raciocínio matemático, apresento de seguida outras tarefas com

diversos graus de dificuldades.

Tarefa 2

A Moldura (Adaptado das Normas, NCTM, 1989)

A Moldarte faz molduras em espelhos rectangulares formadas por azulejos quadrados, como mostra a figura.

1- Desenha espelhos de várias dimensões. Explica por palavras tuas, recorrendo a números, a tabelas, etc., o número de azulejos que são necessários para colocar à volta de um espelho com quaisquer dimensões. 2- Tenta encontrar uma fórmula que permita saber o número de azulejos necessários à construção de qualquer espelho.

Tarefa 3

Diferentes visões de um padrão (adaptado da Brochura de Álgebra no Ensino Básico, DGIDC, 2009) Considerem os seguintes padrões:

1 - Observem o número de quadrados que cada padrão tem de comprimento. Apresentem uma expressão que

represente o comprimento de um padrão qualquer.

2 - Poderá um padrão ter 88 quadrados de comprimento? Justifiquem.

3 – Encontre uma fórmula para determinar o número total de quadrados em função do número do padrão.

Padrão número 1 Padrão número 4

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Tarefa 4 O Super-chocolate (adaptado de Principles and Sandards, NCTM, 2000)

O Super-chocolate é apresentado em caixas onde os caramelos estão dispostos no centro de cada uma das filas

de bombons, como mostra a figura.

As dimensões de cada uma das caixas dizem-nos quantas colunas e quantas linhas de bombons tem cada caixa.

Descubra um método para encontrar o número de caramelos e de bombons em cada uma das caixas sabendo

as suas dimensões. Explique e justifique o método que usou para chegar ao resultado.

Tarefa 5 Sequência numérica (adaptado de Principles and Sandards, NCTM, 2000)

Observa o seguinte esquema:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 … … … …


a) Continua a representação da tabela até obteres o número 40.

b) Supõe que esta tabela é continuada infinitamente. Identifica as regularidades que conseguires encontrar.

c) Podes prever em que coluna se encontra o número 64? E em que linha? E o 99?

d) Considerando um número qualquer, podes prever em que coluna e em que linha se encontra nesta tabela?

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4. Conclusão

Pela análise do Currículo Nacional do Ensino Básico e do Programa de Matemática do Ensino Básico

nota-se a transversalidade da exploração de padrões e regularidades a todos os níveis de escolaridade e a todos

os temas, servindo portanto propósitos imediatos de diferentes conteúdos. A investigação que se tem realizado

na sala de aula relativamente à natureza das tarefas tem sublinhado o interesse de uma abordagem de cunho

exploratório e investigativo no ensino da Matemática. Nesta abordagem, em que as tarefas de exploração e

investigação têm um papel de destaque, o conhecimento é construído pelos alunos a partir das tarefas que lhes

são propostas e pela discussão que fazem do seu trabalho. Isto contrasta claramente com as abordagens em

que o conhecimento é apresentado de forma já sistematizada pelo professor, cabendo aos alunos depois

memorizá-lo através da prática repetitiva de exercícios (Ponte, 2005). Padrões e regularidades prestam-se

bastante à aplicação deste tipo de actividades e, segundo vários autores já referidos, contribuem fortemente para

o desenvolvimento do pensamento algébrico e da capacidade de abstracção bem como o desenvolvimento da

capacidade de estabelecer generalizações, um aspecto fundamental do raciocínio matemático.

E foi com esta ideia em mente que foi feito o trabalho de intervenção em duas turmas, uma do 7ºano e

outra do 8º, para tentar avaliar este tipo de raciocínio matemático, antes e depois da leccionação do tema das

Sequências e regularidades. Foi notória uma maior capacidade de abstracção nos alunos do 8ºano pois não

precisaram de continuar a sequência da tarefa proposta para resolverem às questões. O conceito de variável

também lhes era perfeitamente familiar. No entanto ainda é uma compreensão frágil, atendendo aos resultados

errados que alguns deles apresentaram (muitas vezes devido a erros mínimos). Em termos globais, os alunos do

7º ano erraram menos mas utilizaram em geral estratégias mais concretas ao passo que os do 8º erraram mais

mas com uma abstracção maior nas suas resoluções. De notar ainda que o conceito de grandezas directamente

proporcionais não foi bem assimilado por alguns alunos de ambas as turmas, mesmo por alunos aparentemente

com bom desempenho. É portanto um tema que deve ser novamente abordado nos dois anos.

O entusiasmo com que os alunos de ambas as turmas acolheram a minha proposta, a variedade de

respostas recolhidas (algumas delas uma surpresa para mim) e a partilha final das estratégias usadas revelam

que este tipo de actividades podem realmente levar os alunos a aprender mais e melhor matemática, tornando-

se sujeitos activos na construção do seu conhecimento.

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Lista de referências

Borralho, A., Cabrita, I., Palhares, P. e Vale, I. (2007). Os Padrões no Ensino e Aprendizagem da Álgebra. Em I. Vale, T. Pimentel, A. Barbosa, L. Fonseca, L. Santos e P. Canavarro (Orgs), Números e Álgebra (pp. 193-211). Lisboa: SEM-SPCE. Devlin, K. (2002). Matemática: a ciência dos padrões. Porto: Porto Editora. Barbosa, A., Borralho, A., Cabrita, I., Fonseca, L., Pimentel, T e Vale, I.(2008). Padrões no Currículo de

Matemática: Presente e Futuro in R. Luengo, B. Alfonso, M. Camaho e B. Nieto, (Eds.), Investigación en

Educación Matemática (pp. 477-493). Badajoz: SEEM e SEIEM

NCTM (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston: NCTM. ME-DGIDC (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. http://sitio.dgidc.min-edu.pt/matematica/Documents/ProgramaMatematica.pdf

ME–DEB (2001). Currículo nacional do ensino básico: Competências essenciais. Lisboa: Ministério da Educação, Departamento de Educação Básica. NCTM (1991). Normas para o currículo e a avaliação em matemática escolar. Lisboa: APM & IIE. Ponte, J. P., Brocardo, J. e Oliveira, H. (2003). Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica. Ponte, J. P. (2005). Álgebra no currículo escolar. Educação e Matemática, nº 85. Vale, I. e Pimentel, T. (2005). Padrões : um tema transversal do currículo. Revista Educação e Matemática, nº 85.

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Anexos

Plano de Aula

anos: 7º/8º 02/2010

Escola Bernardino Machado

Sumário: Explorar padrões

Tema: Sequências e regularidades

Material didáctico: Ficha de trabalho com a tarefa proposta

Metodologia: Trabalho em grupos de 2 Objectivos: Analisar e descrever padrões e regularidades e formular generalizações a partir de contextos geométricos e numéricos

Acção didáctica (duração 90 minutos):

1º momento (10 minutos)

Explicação da minha presença Formação dos grupos

Distribuição e apresentação da tarefa (ver anexo)

2ª momento (40 minutos)

Trabalho em grupo

3º momento (40 minutos)

Discussão final das resoluções

Possíveis intervenções da minha parte: Referir que podem usar palavras, desenhos ou contas para explicar o raciocínio Lembrar se conseguem relacionar o número de azulejos com o número da figura Explicar o que significa “generalização”

Avaliação: - Algumas resoluções acabaram por me surpreender, por serem completamente diferentes das que tinha idealizado o que me ensinou que realmente não devemos interferir e conduzir demasiado os seus procedimentos de resolução - No caso do 8º ano, surpreendeu-me o facto de nenhum aluno ter necessitado de continuar a sequência para responder às questões - Apenas no 7º ano foi necessário explicar o que significa “generalizar para qualquer figura” mas já era de esperar atendendo a que o conceito de variável ainda lhes é estranho mas o conceito foi apreendido com facilidade - Os alunos mostraram-se empenhados e entusiasmados com a tarefa e confortáveis na explicação dos seus raciocínios

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UNIVERSIDADE DO MINHO

MESTRADO EM ENSINO DA MATEMÁTICA NO 3º CICLO DO ENSINO BÁSICO E NO SECUNDÁRIO

EXPLORANDO PADRÕES

FEVEREIRO DE 2010 8º ANO DE ESCOLARIDADE

TAREFA

A Sara construiu uma sequência de figuras utilizando pequenos azulejos brancos e cinzentos, dispostos do seguinte modo:


a) Quantos azulejos tem, no total, a 30.ª figura?

b) Que figura da sequência tem, no total, 81 azulejos?

c) Ajuda a Sara a completar a tabela que fez para organizar os dados.