Para Computação

Aula de Monitoria – Prova 12011.2

oAlberto TrindadeoGisely Meloo José Araújo

Roteiro

• Crescimento de Funções

• Inclusão-Exclusão

• Indução Matemática

• Definições Recursivas

• Teorema Binomial

• Triângulo de Pascal

Crescimento de Funções

NOTAÇÃO NOMEO(xx) ordem exponencialO(x!) Ordem fatorialO(cx) ordem exponencialO(xc) Ordem polinomial

O(x · log x) ordem linear-logarítmica

O(x) ordem linearO(log x) ordem logarítmica

O(1) ordem constante

A letra c denota uma constante qualquer

Gisely Melo

Crescimento de Funções

Gisely Melo

Crescimento de Funções

Retire todas as Constantes: f(x): 3x2 + 9f(x): x2 O(x2)

Fica sendo o big-O aquele que possuir maior expoente.

g(x) = 3x2 + 70x5

= x2 + x5 = x5 O(x5

)reduzir os expoentes...h(x) = 3x2 + 70x5 + 10 x12/x4

= x2 + x5 + x12/x4

= x2 + x5 + x8 = x8

O(x8)

ampliar os expoentes...

r(x) = 3x2 + 70x5 + 5(x6 . x4)r(x) = x2 + x5 + (x6 . x4) = x2 + x5 + (x10) = (x10)

O(x10)

Gisely Melo

Crescimento de Funções

12n4 + 55 n3

78n2 + 10 n log n

log n + 240

O(n4) O(n5) O(n3)

O(n2) O(n5) O(n)

O(log n) O(n)

Gisely Melo

Crescimento de Funções

Gisely Melo

Crescimento de Funções

Gisely Melo

Crescimento de Funções

Gisely Melo

Crescimento de Funções

Gisely Melo

Crescimento de Funções

E se aparecer um sinal de MENOS na equação?

Gisely Melo

Crescimento de Funções

o BIG–O é pra estimar o tempo que um algoritmo leva pra ser realizado..

Essas equações que vocês veem, é como se fosse a “soma dos tempos”. E não faz sentido aparecer tempo negativo na

equação...

Gisely Melo

Inclusão-Exclusão

Gisely Melo

Inclusão-Exclusão

Exemplo QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COMEÇAM E TERMINAM COM BITS IGUAIS

2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 1

321/0 1/0 1/0 1/0 1/0 *

Esse valor vai depender do primeiro, logo nessa posição só vai ter uma opção: A QUE FOI COLOCADA NO PRIMEIRO QUADRADO

Gisely Melo

Inclusão-ExclusãoExemplo

QUANTAS CADEIAS DE 8 BITS PODEMOS FORMAR DE MODO QUE ELAS SEJAM PALÍDROMOS?

2 X 2 X 2 X 2 X 1 X 1 X 1 X 1

16 CADEIAS

1/0 1/0 1/0 1/0 . . . .

Essas ultimas quatro posições vão procurar saber o que a correspondente a ela colocou...

Gisely Melo

Inclusão-Exclusão

1) Encontre a quantidade de inteiros positivos que são menores ou iguais a 100 que ñ são divisíveis por 5 e por 7.

Por 5 Por 7

Por 5 e por 7

Calcularemos primeiro a quantidade de inteiros positivos:

De 1 até 100100 números

Depois Calcularemos a quantidade de inteiros positivos divisíveis por 5 e por 7:

{35, 70} = 2 números

Resposta100 – 2 = 98

Gisely Melo

Inclusão-Exclusão

Exemplo:1) Quantas cadeias de tamanho 8 ou começam com o bit 1,

ou terminam com 2 bits 00?

1 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0

1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 0 0

1 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 0 0

Essa opção já esta incluída em A e em B

Gisely Melo

Inclusão-Exclusão Exemplo : questão 5 da lista de vocês:

QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COM 4BITS “1” JUNTOS EXISTEM?

Gisely Melo

Provar que a quantidade de subconjuntos de um conjunto finito S é .....

existem cadeias de bits de tamanho | S |. Logo, | P(S) |=

Inclusão-Exclusão

Gisely Melo

6) Entre 100 pessoas quantas pelo menos nasceram no mesmo mês?

• Eu vou dividir 100 por 12 pra ver quantos grupos de 12 certinho eu consigo formar

• Depois percebo que da 8,333333?

RespostaFunção teto de: 8,333 = 9

Gisely Melo

Crescimento de Funções

Inclusão-Exclusão

Exemplo

QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COMEÇAM E TERMINAM COM BITS IGUAIS

Gisely Melo

Indução matemática

1ª) Use a indução matemática para provar que para qualquer inteiro positivo n:

a) 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n²

b) - 1 é divisível por 7

Alberto Trindade

Definições recursivas

2ª) Dê uma definição recursiva para a seqüência {An}, n = 1, 2, 3, ... se:

a) An = 5n – 3

b) An = n(n + 1)

c) An = n²

Alberto Trindade

Definições recursivas e Indução matemática

Alberto Trindade

Indução matemática

1ª) Use a indução matemática para provar que para qualquer inteiro positivo n:

a) 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n²

b) - 1 é divisível por 7

Alberto Trindade

Definições recursivas

2ª) Dê uma definição recursiva para a seqüência {An}, n = 1, 2, 3, ... se:

a) An = 5n – 3

b) An = n(n + 1)

c) An = n²

Alberto Trindade

Definições recursivas e Indução matemática

3ª) Seja o n-ésimo número de Fibonacci. Use indução matemática para provar que )² + )² + ... + )² = )² . )², sendo n um inteiro positivo.

Alberto Trindade

Teorema binomial / Triângulo de Pascal

4ª) Prove, usando argumento combinatorial, que:

Ligeiro

Teorema binomial / Triângulo de Pascal

5ª) Prove

a) Usando argumento combinatório

b) Usando identidade de Pascal

Ligeiro

Teorema binomial / Triângulo de Pascal

6ª) ProveUse uma interpretação combinatória

Ligeiro