Parte 5 Anal Comb - Bin. Newton - Prob

Vestibular a 1000 Prof. Carpinelli

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Parte 5: 120 questões resolvidas Análise Combinatória. Binômio de Newton. Probabilidade.

Número Fatorial: Seja n natural e diferente de zero. Definimos:

n! = 1. 2 . 3 . 4 . ... . (n – 1). n

Obs: Por definição: 0! = 1

Q.1 (UECE) Calcule: !12

!13!12

Temos: 141

131

!12

!12.13!12

Q.2 (OSEC - SP) Simplificar: !!)2(

!!)1()!( 2

nn

nnn

Temos: n! n! + (n + 1)!n! = n! + (n + 1)! n! (n + 2)! (n+2). (n+1).n! Assim: n!+ (n + 1)n! = (n + 2) =. 1 . (n+2).(n+1) n! (n+2).(n+1) (n + 1) Q.3 (FGV - SP) Simplifique a expressão ( K! ) 3 [(K-1)!] 2

Temos: K!K!K! = K (K-1)! K (K-1)! K! (K-1)!(K-1)! (K–1)! (K-1)! Ou, seja: K2. K!

Q.4 (Sta Casa-SP) Determine n tal que: 4!)1n(!)1n(

!)2n(!)2n(

Então: 41n

2n4

!)2n)(1n(!)1n(

!)2n(!)1n)(2n(

Logo: 4n – 4 = n + 2 => n = 2


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Q.5 (PUC-SP) Simplifique: !)1rn(

!)1rn(

Repare que para quaisquer valores de n e r naturais, sempre teremos: (n – r + 1) > (n – r – 1)

Assim: )rn)(1rn(!)1rn(

!)1rn)(rn)(1rn(

Q.6 (FEI) Calcule n, tal que:

=

Temos:

=

Simplificando o 1º membro por (n – 1)!

=

6n2 = 25 (n + 1) 6n2 – 25n – 25 = 0

Resolvendo a equação: n = 5 ou n = -5/6

Q.7 (ITAJUBÁ – MG) Calcule m, tal que

= 2

Calculando o determinante, temos:

+

= 2

= 2 -

=

Logo: m + 1 = 4 m = 3

Q.8 (MACK) Determine n, sabendo que

= 56

Temos:

= 56 n (n – 1) = 56

Assim: n2 – n – 56 = 0 n = 8 ou n = -7


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Análise Combinatória:

Tem por objetivo o estudo da formação de grupos. Dois grupos podem diferenciar:

1. Pela NATUREZA: Sempre que houver a substituição de um elemento por outro, estará sendo gerado um novo grupo.

Veja que os números 123 e 124 são distintos.

Neste exemplo, substituímos o algarismo 3 pelo algarismo 4 e, assim, formamos

grupos (números) diferentes.

2. Pela ORDEM: Nem sempre quando alteramos a ordem dos elementos estaremos gerando um novo grupo.

Observe que a simples troca da posição de dois algarismos (sem substituição) pode

gerar, ou não, um novo grupo:

São diferentes os números 123 e 132.

(Trocamos as posições dos algarismos 2 e 3)

No entanto, os produtos 1.2.3 e 1.3.2 são iguais e, neste caso, não gera um novo

grupo, apesar de termos trocado as posições dos algarismos 2 e 3.

Permutação Simples de n elementos (Pn )

Antes, de mais nada saiba que: Pn = n !

O exemplo mais clássico de permutação é encontrarmos o número total de anagramas palavra AMOR.

Um anagrama de AMOR é ROMA. Palavra encontrada pela simples troca de posições das letras de AMOR. Ou, seja: para encontrarmos o total de anagramas é necessário formar todas as palavras (que tenham, ou não, sentido) usando-se as letras A, M, O e R e sem repeti-las. Agora, observe que queremos formar palavras de quatro letras: _ _ _ _ 4 .3 2. 1 = 4! = 24 anagramas. 04 possibilidades para a 1ª “casa”: 1 ou 2 ou 3 ou 4. 03 possibilidades para a 2ª “casa”. (letras distintas) E, assim por diante.


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Q.9 (F. C. Chagas – SP – Adap.) Seja n o número total de anagramas da palavra ENIGMA e seja m o número desses anagramas que terminam com a letra A. Calcule o valor de n – m. Veja: ENIGMA possui 06 letras distintas. Assim, o número total de anagramas é P6 = 720 (n = 720). Se desejarmos anagramas que terminem com a letra A, fazemos: _ _ _ _ _ A. Ou seja: fixamos a letra A na última posição e permutamos as 05 letras restantes. Então, temos: P5 = 5.4.3.2.1 = 120 (m = 120). Logo: n – m = 720 – 120 = 600. Q.10 (FAAP) Quantos são os anagramas da palavra VESTIBULAR, em que as letras V,E,S, nesta ordem, permaneçam juntas? Observe que a palavra VESTIBULAR possui 10 letras. As letras VES deverão permanecer juntas, nesta ordem, porém, poderá ocupar qualquer posição. Uma maneira fácil de você entender é fazendo a substituição de VES por W. Assim, sobrarão 07 letras: (T, I, B, U, L, A, R) mais a letra W. Portanto, temos: P8 = 8! = 40320 Q.11 (FUVEST) Quantos são os anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal? Observe que a palavra possui 06 letras e apenas 02 vogais Assim, temos as possibilidades: A _ _ _ _ U ou U _ _ _ _ A Logo, restam 04 letras para 04 “casas”: P4 = 4! Portanto, temos: 4! + 4! = 24 + 24 = 48. Q.12 (Mack - SP) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, qual o número de modos diferentes de montar a composição? O que temos: L, R, V1, V2, V3, V4 e V5. (n = 7) A locomotiva sempre estará à frente: L V _ _ _ _ _ 5 5 4 3 2 1 Para a 2ª posição temos 05 escolhas (restaurante não) Então, restam 05 vagões para 05 casas: 5! Total de modos: 5. 5! = 5.5.4.3.2.1 = 600.


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Q.13 (UFC) Deseja-se colocar em fila cinco crianças: Marcelo, Rogério, Reginaldo, Daniele e Márcio. Calcule o número de maneiras distintas que elas podem ser dispostas de modo que Rogério e Reginaldo fiquem sempre vizinhos. Já resolvemos um problema parecido! Troque os dois Ro Re por um “gordão” (W). Assim, temos um total de 04 crianças: Marcelo, Daniele, Márcio e o “gordão W”. Logo, faremos: P4 = 4! = 24 Agora, lembre-se que colocamos juntos Ro Re, mas se colocarmos juntos Re Ro, os dois também permanecem vizinhos.

Então, temos mais 24 possibilidades.

Assim, o total de modos será 24 + 24 = 48. Q.14 (Mack - SP) Em um teste de múltipla escolha, com 05 alternativas, sendo uma única correta, qual o número de modos distintos de ordenar as alternativas de maneira que a única correta não seja nem a primeira e nem a última? Sejam as alternativas: A B C D E Observe que o problema quer: _ V _ _ _ ou _ _ V _ _ ou _ _ _ V _ 4! + 4! + 4! Assim, temos: 3. 4! = 3. 24 = 72. Q.15 (Sta Casa - SP) Existem 04 estradas de rodagem e 03 estradas de ferro entre as cidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem? Veja que temos que escolher entre: R e T Para a ida: Temos 04 escolhas para rodovia e 03 escolhas para trem. Ou, seja: 4 . 3 = 12 escolhas diferentes. Como, para a volta serão mais 12 escolhas, temos um total de 24 modos distintos.

Q.16 (F. C. Chagas - SP) Um teste compõe-se de 20 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada uma 04 alternativas distintas. Se todas as 20 questões forem respondidas ao acaso, qual o número máximo de maneiras de preencher a folha de respostas? Para cada questão o “chutador” tem 04 possibilidades. Como são 20 questões, temos: 4 . 4. ... .4 = 4 20 ou 240


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Q.17 (Mack - SP) O número de telefones de uma cidade são constituídos de 06 dígitos. Sabendo que o primeiro dígito nunca pode ser zero, se os números dos telefones passaram a ter 07 dígitos, qual o aumento possível na quantidade de telefones? Observe que nada foi dito em relação à repetição dos dígitos, assim podemos ter o número 377744 ou o número 5444 3211. 1°) 06 dígitos: _ _ _ _ _ _ 9 10 10 10 10 10 = 9. 105 2°) 07 dígitos: _ _ _ _ _ _ _

9 10 10 10 10 10 10 = 9. 106 O aumento será: 9. 106 – 9. 105 = 9. 105(10 – 1) = 81. 105. Q.18 (CESGRANRIO) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, qual o número mínimo de peças (número de calças mais número de paletós) que ele precisa? Observe: N° calças N° paletós N° de peças 1 24 25 2 12 14 3 8 11 4 6 10 6 4 10 8 3 11 12 2 14 24 1 24 O menor número de peças para 24 sessões é 10. Q.19 (PUC - SP) Qual o número de anagramas da palavra ALUNO que tem as vogais em ordem alfabética? Problema difícil. Mais à frente será resolvido de outra maneira, um pouco mais fácil. Observe o que nos interessa: A O U_ _ A O _ U _ A O _ _ U A _ _ O U A _ O _ U _ A O U _ _ A O _ U _ A _ O U _ _ A O U A _ 0 U _ Para cada uma das 10 possibilidades se tem 2! (troca de posição entre L e N). Assim, o total é: 10. 2 = 20.


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Q.20 (FGV-SP) De quantas maneiras diferentes, três rapazes e três moças podem sentar-se em volta de uma mesa retangular que tem três cadeiras de um lado e três banquetas do outro lado, a fim de que nunca fique um rapaz sentado ao lado de uma moça? Podemos ter: R R R ou M M M M M M R R R Para cada mesa, se tem: 3!. 3! = 6. 6 = 36. Assim, o total de modos distintos será: 36 + 36 = 72. Q.21 (UFC) Quantos são os números de 5 algarismos, todos eles ímpares, nos quais os dois maiores estão sempre juntos? Dispomos dos algarismos {1, 3, 5, 7, 9} Faça como se o grupo 79 fosse apenas um dígito. Temos então: 1, 3, 5, 79. Logo, permutando-se estes 4 dígitos, temos 4! = 24. Como o grupo 97 também nos interessa, teremos mais 24. Assim, o total é: 24 + 24 = 48. Q.22 (UFC) Com os dígitos 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos, divisíveis por 5, podemos formar? Repare que nada foi dito a respeito da não repetição dos algarismos. Assim, temos: _ _ 5 4 . 4 = 16. Q.23 (U. C. – MG) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 podemos formar números de 3 algarismos distintos. Qual o total deles? Dispomos de 6 algarismos. Lembre-se que um número não pode começar com zero. Assim, temos: _ _ _ 5 5 4 = 100.


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Q.24 (F. Santos) Qual é o número de produtos positivos de 3 fatores distintos, que podem ser obtidos com os elementos do conjunto {1, -1, 4, -4, 5, -5, 7, 8}? Temos: 5 números positivos e 3 números negativos. Queremos formar produtos positivos de 3 fatores: 3 fatores positivos ou 1 fator positivo e 2 negativos: C5, 3 + C5, 1 . C3, 2 Assim: 10 + 5. 3 = 10 + 15 = 25. Q.25 (UNESP) Determinar quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas pertencem a {1,2,3,4} e os demais algarismos a {0,5,6,7,8,9}. Repare que nada foi dito quanto à repetição de algarismos •Para a casa das centenas: temos 4 escolhas • Múltiplos de 5: terminam em 0 ou 5 _ _ 0 ou _ _ 5 4 6 + 4 6 Logo, o total de números é: 24 + 24 = 48 Q.26 (UFC) São dados 8 pontos sobre a reta r e “p” pontos sobre a reta s, paralela a r. Com esses (8 + p) pontos como vértices, constroem-se todos os triângulos e todos os quadriláteros convexos possíveis. Se o número de triângulos é 220 e o número de quadriláteros é q, qual o valor de q dividido por p? r s Total de triângulos: Total de quadriláteros: C8, 1 . Cp, 2 + C8, 2 . Cp, 1 = 220. q = C8, 2. C5, 2 = 28. 10 => q = 280 8. p (p–1) + 28. p = 220 2 4 p2 – 4 p + 28 p – 220 = 0 4 p2 + 24 p – 220 = 0 p2 + 6 p – 55 = 0 => p = 5 Assim: q/p = 280/5 = 56.


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Permutação com repetição.

Antes de qualquer coisa, saiba que: P ,,

n = !!!

!n

Ex 1) Imagine calcular os anagramas da palavra CADA. Se fizermos simplesmente P4, estaremos cometendo um erro, pois ao trocarmos de posição um A por um A, não estaremos alterando nada! Assim, devemos “descontar” esta troca e fazemos:

P42=

= 12

EX 2) Agora, pense nos anagramas de APAGA.

Fazemos: P53=

= 5. 4 = 20

Ex 3) Para terminar nossos exemplos, que tal calcular os anagramas de MATEMATICA? São 10 letras, sendo: 2 M, 3 A, 2 T

Então: P10 2, 3, 2 =

Permutação circular de n elementos Por enquanto, saiba que se quisermos colocar n pessoas em volta de uma mesa redonda, isto pode ser feito de (n - 1)! modos diferentes. Q.27 (FGV - SP) Sobre uma mesa são colocadas em linha 06 moedas. Qual o total de modos pelos quais podemos obter 2 caras e 4 coroas voltadas para cima? Sejam: C: cara

K: coroa Observe que uma das possibilidades é termos: CCKKKK.

Mas, a troca de posição entre os “C” ou entre os “K” não altera nada. Portanto, trata-se de um problema de Permutação com repetição. Assim, temos:

2

5.6

!4!2

!6

= 15.


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Q.28 (PUC - SP) Qual o número de anagramas da palavra ALUNO que tem as vogais em ordem alfabética? O total de anagramas de ALUNO é 5 ! = 120. No entanto, não interessa a mudança de ordem das vogais. Só nos interessa a seqüência AOU. Então, temos:

!3

!5 5 . 4 = 20.

Q.29 (FGV-SP) Quantos números diferentes obtemos, permutando-se os algarismos do número 718844? Repare que o problema é idêntico ao anterior. Temos um número com 06 dígitos, sendo: 2 “4” e 2“8”. Logo a resposta é 180. Q.30 (Especial) Quantas soluções inteiras e não negativas tem a equação x + y + z = 4? Observe algumas soluções: (1,1,2) ; (0,0,4) ; (1,0,3) ; ... Veja: . / . . / . representa a solução (1,2,1). É como se tivéssemos uma palavra com 06 letras, sendo: 4 “.” e 2 “ / ”. Assim, temos um problema de permutação com repetição.

Logo, temos: !2!4

!6 15.

Q.31 De quantas formas 03 pessoas podem sentar ao redor de uma mesa redonda? Veja, trata-se de permutação circular. Agora, imagine que estas 03 pessoas estão jogando cartas. Só existem duas possibilidades: 1ª) A dá cartas a B, B dá cartas a C e C dá cartas a A. 2ª) A dá cartas a C, C dá cartas a B e B dá cartas a A. A A A Veja: ou B C C B Ou, seja: são (3 – 1)! = 2! = 2 maneiras distintas.


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Q.32 (UECE) Queremos formar uma roda com 06 crianças A, B, C, D, E e F, de modo que A e B permaneçam sempre juntas. De quantos modos isto pode ser feito? Imagine trocar as crianças AB (ou BA) por uma “gordona” W. Teremos então 05 crianças: C, D, E, F e W. Colocá-las em roda: 2 . (5 – 1)! = 2. 24 = 48 modos

Q.33 Temos 03 meninos e 03 meninas. De quantos modos eles podem formar uma roda, de modo que os meninos e as meninas se alternem? Inicialmente, vamos colocar os meninos formando uma roda. Existe um total de: (3 – 1)! = 2! = 2 modos. Agora, existem 03 meninas para ocuparem 03 “casas” (entre A e B; entre B e C; entre C e A). Portanto o número de modos distintos que isto pode ocorrer é: 3! = 6. Logo, o número total será: 2 . 6 = 12. Q.34 (PUC-RS) Resolva a equação A x , 3 - 8.C x , 2 = 0 Usando as fórmulas, temos:

!)3x()2x(

4

!)3x(

1

!2!)2x(

!x.8

!)3x(

!x

E, assim: x – 2 = 4 => x = 6. Q.35 (UNIFOR) Resolva a equação: (x + 1)! = x! + 6x Temos: (x + 1)! – x! = 6x => (x + 1) x! – x! = 6x Colocando-se x! em evidência: x! [(x + 1) – 1] = 6x => x! x = 6x E, assim: x! = 6 => x = 3.


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Q.36 (U. C. MG) Qual o número de maneiras pelas quais seis pessoas podem ser distribuídas em três grupos, cada um formado por duas pessoas? 1° grupo: escolher 2 entre 6 pessoas: C 6,2 = 15 2° grupo: escolher 2 entre 4 pessoas: C 4,2 = 6 3° grupo: as duas pessoas restantes: 1 Então, o total será dado por: 15. 6. 1 = 90. Q.37 (UFC) Qual a quantidade de números pares de 4 algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, 8 e 9? Temos um total de 07 algarismos: 3 pares e 4 ímpares. Para que o número seja par, temos 03 opções: _ _ _ 2 ou _ _ _ 4 ou _ _ _ 8 A 6,3 + A 6,3 + A 6,3 => 3 . A 6,3

Ou, seja: 3 . (6 . 5 . 4) = 3 . 120 = 360. Q.38 (FGV-SP) Uma empresa tem 5 diretores e 10 gerentes. Quantas comissões podem ser formadas, constituídas de 1 diretor e 4 gerentes? Primeiramente, entenda que uma comissão formada por ABC é igual à outra formada por BAC. Portanto, a ordem não gera novo grupo. Trata-se de um problema de combinação. Agora, devemos “escolher” 1 diretor e 4 gerentes: Então: C5, 1 . C10, 4 = 5 . 10 ! = 5 . 10. 9 . 8 . 7 4! 6! 4. 3. 2 Assim, temos: 5. 5. 3. 2. 7 = 1050 comissões. Q.39 (Mack - SP) O número de comissões diferentes, de 2 pessoas, que podemos formar com n diretores de uma firma é K. Se, no entanto ao formar estas comissões, tivermos que identificar uma das pessoas para presidente e a outra para suplente, poderemos formar (K + 3) comissões distintas. Calcule n. No 1° caso a ordem não é importante: C n ,2 = K No 2° caso a ordem é importante: : A n ,2 = K + 3 Então:

(I): 2

)1n(nKK

!)2n(2

!n

(II): 3)1n(nK3K

!)2n(

!n

Deste modo, temos: n2 – n = 2 (n2 – n – 3) Ou, seja: n2 – n – 6 = 0 => n = - 2 ou n = 3.


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Q.40 (U. F. Uberlândia) Em um plano há 12 pontos, dos quais três nunca são colineares, exceto 5 que estão sobre uma mesma reta. Qual o número de retas determinadas por estes pontos? Para formarmos uma reta necessitamos de 2 pontos. Com os 7, não colineares, formamos: C 7,2 = 21 Com 1 destes 7 e 1 da reta, formamos: C 7,1 . C 5,1 = 35 E, ainda temos a própria reta: 1 Assim, o total será: 21+ 35 + 1 = 57 retas.

Q.41 (U. F. BA) Sendo F = {x ;

20000 < x < 50000}, qual o número de elementos de F formados com os algarismos 2, 3, 4, 5, 7 e 0, sem repetição, que são divisíveis por 4? Veja, são dados 6 dígitos e queremos: 1°) Números com 5 alg. começados por: 2, 3 ou 4. 2°) Terminados em: 04, 20, 24, 32, 40, 52 ou 72

a) 2 _ _ _ _ terminará em 04 ou 40 => 2. A3, 2

b) 3 _ _ _ _ 6 opções para terminar => 6. A3, 2 (04, 20, 24, 40, 52 ou 72)

c) 4 _ _ _ _ 4 opções para terminar => 4. A3, 2 (20, 32, 52 ou 72)

Assim, temos um total de 12. A3, 2 = 12. 6 = 72. Q.42 (UFC) Considere os números maiores que 64000 que possuam 5 algarismos, todos distintos, e que não contém os dígitos 3 e 8. Qual a quantidade desses números? Dispomos de 8 algarismos: {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}. Queremos formar números maiores que 64000 e com 5 algarismos distintos. 64 _ _ _ A6, 3 (usados o 6 e o 4, restam 6 para 3 “casas”) 65 _ _ _ A6, 3 67 _ _ _ A6, 3 69 _ _ _ A6, 3

7 _ _ _ _ A7, 4 (usado o 7, restam 7 para 4 “casas”) 9 _ _ _ _ A7, 4 Assim, temos um total de: 4. A6, 3 + 2. A7, 4 Ou, seja: 4. 120 + 2. 840 = 480 + 1680 = 2160.


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Q.43 (ABC - SP) De quantos modos 3 homens e 5 mulheres se podem dispor numa fila, de modo que olhando só os homens, eles estão em ordem crescente de altura, e o mesmo olhando só para as mulheres? Queremos colocar em fila: 3H e 5M. Existem 3 homens e 8 lugares na fila, mas apenas a ordem crescente nos interessa. Então: C8, 3 Agora, restam 5 “casas” para 5 mulheres e apenas uma seqüência nos interessa (ordem crescente). Então: 1 modo. Logo, o total será: C8, 3 . 1 = 56. 1 = 56. Q.44 (F. Santos) Qual é o número de produtos positivos de 3 fatores distintos, que podem ser obtidos com os elementos do conjunto {1, -1, 4, -4, 5, -5, 7, 8}? Temos: 5 números positivos e 3 números negativos. Queremos formar produtos positivos de 3 fatores: 3 fatores positivos ou 1 fator positivo e 2 negativos: C5, 3 + C5, 1 . C3, 2 Assim: 10 + 5. 3 = 10 + 15 = 25. Q.45 (FUVEST) As atuais placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos. a) Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo zero na primeira posição reservada aos algarismos? b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais? Dispomos de 26 letras (L) e 10 algarismos (A). ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ L L L A A A A

a) 26. 26. 26. 9. 10. 10. 10 = 9. 263. 103 = 158 184 000

b) 26. 1. 26. 9. 10. 10. 10 = 9. 262. 103

A porcentagem é calculada, da seguinte maneira:

9. 262. 103 = 1/26 ou 3,85%

158 184 000


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Q.46 (CESGRANRIO) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 10 lugar, Brasil; 20 lugar, Nigéria; 30 lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? País 1 País 2 País 3 24 23 22 = 12 144 Q.47 (UFMG) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. O número 75391 ocupa, nessa disposição, qual lugar? Todos os números terão 05 algarismos distintos e estarão em ordem crescente 1 __ __ __ __ = 4. 3. 2. 1 = 24 números 3 __ __ __ __ = 4. 3. 2. 1 = 24 números 5 __ __ __ __ = 4. 3. 2. 1 = 24 números 7 1 __ __ __ = 3. 2. 1 = 6 números 7 3 __ __ __ = 3. 2. 1 = 6 números 7 5 1 __ __ = 2. 1 = 2 números 7 5 2 1 9 = 1 número Total que antecedem 75391 é 87 números Assim 75391 ocupa o 88º lugar Q.48 (UFC) Atualmente, as placas dos veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando estas informações, calcule o número de placas distintas que podem ser fabricadas, iniciadas pelas letras HUI, nesta ordem, e cujo último algarismo seja ímpar. HUI __ __ __ __ 10 10 10 5 = 5000 Lembre-se que as placas podem começar por zero


154

Q.49 (UFBA) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se formar x números ímpares, com três algarismos distintos cada um. Determine x. ___ ___ ___ 5 4 2 = 40 Q.50 (FGV) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico de um banco mas, na hora de digitar a senha, esquece-se do número. Ela lembra que o número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. Qual o número máximo de tentativas para acertar a senha? 6 __ 7 __ __ (dos 10 algarismos, 2 já foram utilizados) 8 7 6 = 338 (para o 7 em uma das 4 posições possíveis) Então o máximo de tentativas é 4 X 338 = 1344 Q.51 (FAAP) Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos? V V A A A 5. 5. 10. 9 . 8 = 18000 Q.52 (UNESP) Considere o conjunto A dos múltiplos inteiros de 5, entre 100 e 1000, formados de algarismos distintos. Seja B o subconjunto de A formado pelos números cuja soma dos valores de seus algarismos é 9. Calcule a soma do menor número ímpar de B com o maior número par de B. Procuramos números múltiplos de 5 compreendidos entre 101 e 999, portanto números de 3 algarismos distintos. ___ ___ 0 ou ___ ___ 5 9 8 + 9 8 = 72 + 72 = 144 Conjunto B, com a soma dos algarismos 9: 135, 315, 405 menor ímpar: 135 540, 450, 360, 630, 270, 720, 810, 180 maior par: 810 Assim, a soma é 945


155

Q.53 (FATEC) Seis pessoas, entre elas João e Pedro, vão ao cinema. Existem seis lugares vagos, alinhados e consecutivos. Qual o número de maneiras distintas como as seis podem sentar-se sem que João e Pedro fiquem juntos. Total: 6 ! = 720 João e Pedro juntos: 2. 5 ! = 240 João e Pedro separados: 720 – 240 = 480 modos Q.54 (FUVEST) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis seqüências dessas músicas serão necessários aproximadamente: a) 100 dias. b) 10 anos. c) 1 século. d) 10 séculos. e) 100 séculos. Com 10 músicas disponíveis é possível tocá-las de: 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720. 210. 24 modos distintos Portanto: 720. 210. 24 = 10080 anos ou 100 séculos 360 Q.55 (UFSC) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nesta ordem. Troque AR por um W Assim ficaremos com as letras: W, A, L, C Portanto, permutando-as encontramos 4 ! = 24 Q.56 (MACK) Com os algarismos 0, 1 e 2 posemos formar k números de 4 algarismos. Determine k. Lembre-se que esses números não podem começar por zero e, nada foi dito à respeito da repetição dos algarismos. Assim, temos: __ __ __ __ 2 3 3 3 = 54


156

Binômio de Newton

Objetivo deste estudo: Desenvolver (x + a)n, n e x, a

Definição: Número Binomial =

Por definição: = 1

Você já sabe que: (a + b)0 = 1 (a + b)1 = 1a + 1b (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 (a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

Triângulo de Pascal

.............................................................................. .linha 0

........................................................................ linha 1

....................................................linha 2

linha 5

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

• •

........................... linha n

C C O O L L U U N N A A 0 1


157

Calculando-se os valores desses números binomiais temos: 1 1 1

1 2 1 Teorema de Stiffel: +

=

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 Números Binomiais Complementares: =

1 6 15 20 15 6 1 1 7 21... Teorema das Linhas:

+

+

+

• • • +

= 2n

Teorema das Colunas:

+

+

+ • • • +

=

• •

Teorema das Diagonais:

+

+

+ • • • +

=

• •


158

Desenvolvimento de (a + b)n

(a + b)n = an +

an-1b1 +

an-2b2 +….+

an-p bp +…+

bn

Termo Geral: Tp+1 = an -p b p

Q.57 (Sta Casa – SP) Seja a sequência (a1, a2, a3,...) onde:

an = +

+• • • +

, n *.

Qual o valor da soma dos quatro primeiros termos dessa sequência? a) 30 b) 48 c) 60 d) 75 e) 90

Para n = 1 a1 = +

= 1 + 1 = 2 = 21

Para n = 2 a2 = +

+

= 1 + 2 + 1 = 4 = 22

Analogamente:

Para n = 3 a3 = 23 = 8

Para n = 4 a4 = 24 = 16 Assim a soma será: 2 + 4 + 8 + 16 = 30 Resp: a Q.58 (FGV) Calcule a soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento

A soma dos coeficientes numéricos é dada por:

S =

= 210 = 1024

Q.59 (Sta Casa – SP) Calcule n sabendo que +

= 5(n – 2)

Usando o Teorema de Stiffel: +

=

= 5(n – 2)

Então:

= (n + 1) n (n – 1) (n – 2) = 24. 5. (n – 2)

Assim: (n + 1) n (n – 1) = 120 – 6. 5. 4 n = 5


159

Q.60 (F. C. Chagas) A sentença

= 10 é verdadeira se, e somente se, n! for

igual a: a) 1 b) 6 c) 120 d) 3 e) 6!

Temos:

= 10 (n + 2) (n + 1) = 20 ou (n + 2) (n + 1) = 5. 4

E, concluímos que: n + 1 = 4 n = 3

Q.61 (PUC – RS) No triângulo de Pascal

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

. . . . . . . . .

a soma dos elementos da linha n com os da linha n + 1 é:

a) n ( n + 1 ) b) 2n . 2n + 1 c) 3 . 2n d) 2 . 2n + 1 e) 3n . 2n + 1

A soma dos elementos da linha n é: 2n

A soma dos elementos da linha n + 1 é: 2n * 1

Assim: 2n + 2n + 1 = 2n + 2n. 2 2n (1 + 2) = 3. 2n Resp: c

Q.62 (UNESP) Determine n , tal que:

+

=

Lembrando da Relação de Stiffel:

+

=

Ou, seja: n + 1 = 3 n = 2

Q.63 (UFRS) A soma dos coeficientes do polinômio (x2 + 3x – 3)50 é

a) 0 b) 1 c) 5 d) 25 e) 50

Já sabemos que a soma dos coeficientes é:

(1 + 3 – 3)50

Ou, seja: 150 = 1 Resp: b


160

Q.64 (FEI) A soma de todos os coeficientes do desenvolvimento de (14x - 13y)237

é:

a) 0 b) 1 c) -1 d) 331.237 e) 1.973.747

Você já sabe: (14 – 13)237 = 1 Resp: b

Q.65 (FGV) Sabendo que: x e y são números positivos, tais que:

x - y = 1 e (x + y)4 = 16. Podemos concluir que:

a) x = 7/6 b) x = 6/5 c) x = 5/4 d) x = 4/3 e) x = 3/2

x – y = 1

Temos:

x + y = 2, pois (1 + 1)4 = 16

Resolvendo o sistema: x = 3/2 Resp: e

Q.66 (FGV - Adap) Se

+

= n2 – n

Então n é igual a:

a) 4 b) 6 c) 9 d) 5 e) 8

Veja que o 1º membro da igualdade é o Teor. de Stiffel

Assim:

+

=

Logo: n (n – 1) (n – 2) = 6 n (n – 1)

Ou, seja: n – 2 = 6 n = 8 Resp: e

Q.67 (UFC) Seja n um úmero inteiro e positivo. Se (n!)2 = 14400, calcule o valor de n3 + n.

Veja: se (n!)2 = 14400 n! = n! = 120 É fácil saber que 5! = 120

Logo, n = 5 53 + 5 = 125 + 5 = 130

Q.68 (UFC) Se 3/5 é a razão entre

e

, calcule .

Veja:

= 3/5

=

Simplificando-se: 5 n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2) Ou, seja: 5 = n - 2 n = 7

Então: =

=

= 7.5 = 35


161

Q.69 (FGV) Sabendo que = x e

= y, então

é igual:

a) x + y b) x – y c) y – x d) x – p e) y – p

Lembrando do Teorema de Stiffel: +

=

Assim: x +

= y

= x – y Resp: b

Q.70 (MACK) O número de raízes da equação =

é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) maior que 3

Veja o que foi dado:

=

Lembrando dos números binomiais complementares:

(I): x2 = 2x x2 – 2x = 0 x = 0 ou x = 2 (II): x2 + 2x = 12 x2 + 2x – 12 = 0

Mas, nesta equação: = 52, portanto não possui raiz natural Assim, apenas x = 2 verifica Resp: b

Q.71 (MACK) Para todo n e p *, o valor de

é sempre:

a) 2p b)

c)

d)

e)

Temos a soma S = +

+

+...+

Lembrando do Teorema das Diagonais:

Temos:

Resp: c


162

Q.72 (ITA)

a) todas são verdadeiras. b) apenas (I) e (II) são verdadeiras. c) apenas (I) é verdadeira. d) apenas (II) é verdadeira. e) apenas (II) e (III) são verdadeiras.

Repare que: (I) é o Teorema das Linhas, portanto é V (II) é a definição de Binomiais Complementares, logo é V

(III)

=

Binomiais Complementares, logo é F

Assim, a resposta correta é (b) Q.73 (FAAP) Determine os valores de x sabendo que:

1x

12

1x3

12

1ª condição: 3x – 1 = x + 1 => 2x = 2 => x = 1 2ª condição: (3x – 1) + (x + 1) = 12 => x = 3

Q.74 (UECE) Determine a soma das soluções da equação

14

18

6

18

x

Temos: 4x – 1 = 6 => x = 7/4 Ou, ainda: 4x – 1 + 6 = 18 => x = 13/4 Observe que os 2 valores encontrados tornam (4x – 1) um número natural. Então, a soma das soluções é: 7/4 + 13/4 = 20/4 = 5.


163

Q.75 (UFC) O número de combinações simples de 5b elementos tomados 11 – b a 11 – b é igual ao número de combinações dos mesmos elementos tomados 17 + 2b a 17 + 2b. Calcule b.

Então: C 5b, 11 – b = C5b, 17 + 2b =>

b217

b5

b11

b5

Logo: 17 + 2b = 11 – b => 3b = - 6 => b = - 2 Ou: 17 + 2b + 11 – b = 5b => 4b = 28 => b = 7. Q.76 (UFPA) Numa lanchonete que vende cachorro-quente são oferecidos ao freguês pimenta, cebola, mostarda e molho de tomate, como temperos adicionais. Quantos tipos de cachorro-quentes diferentes (pela adição ou não de temperos) podem ser vendidos? Existem quatro temperos diferentes, portanto: 1° tipo: sem tempero: C4, 0 = 1 2° tipo: um tempero: C4, 1 = 4 3° tipo: dois temperos: C4, 2 = 6 4° tipo: três temperos: C4, 3 = 4 5° tipo quatro temperos: C4, 4 = 1 Desta forma, poderão ser vendidos 16 tipos diferentes. Q.77 (F. C. Chagas) Uma sala tem 6 lâmpadas, com interruptores independentes. De quantos modos pode-se iluminá-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acessa?

Acender 1 lâmpada: total de escolhas

Acender2 lâmpadas: total de escolhas

. . . . . .

Acender 6 lâmpadas: total de escolhas

Portanto temos a soma dos elementos da linha 6, exceto

Então, usando o Teorema das Linhas, temos: 26 - = 64 – 1

Ou, seja: 63 modos


164

Q.78 (FUVEST) Lembrando que: =

a) Calcule

Usando a definição:

=

= 15

b) Simplifique a fração:

Temos:

.

= 5/8

c) Determine os inteiros n e p de modo que:

=

=

Temos:

=

.

= 1

Logo:

= 1 n = 3p + 2

Temos:

=

=

Logo: 2 (n – p – 1) = 3 (p + 2) 2n = 5p + 8

Então: 2(3p + 2) = 5p + 8 p = 2 ................ n = 8 Q.79 (UFC) O produto 20. 18. 16. 14. ... 6. 4. 2 é equivalente a: a) 20!/2 b) 2 . 10! c) 20!/210 d) 210 . 10! e) 20!/10! Note que o produto tem 10 fatores. Podemos reescrevê-lo: 2.10.2.9...2.8....2.1 Assim, temos: 210. 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 Ou, seja: 210. 10! Resp: d


165

Q.80 (MACK) No desenvolvimento de

a diferença entre os

coeficientes binomiais do 3º e 2º termos é 44. Calcule n.

Coeficientes binomiais: T3 = e T2 =

Portanto: -

= 44 n (n – 1) – n = 44 n2 – 3n – 88 = 0

2 Assim: n = 11 ou n = - 8

Q.81 (ITA) Sabendo que é de 1024 a soma dos coeficientes do polinômio em x e

y, obtido pelo desenvolvimento do binômio (x+y)n, temos que o número de

arranjos sem repetição de n elementos, tomados 2 a 2, é:

a) 80 b) 90 c) 70 d) 100 e) 60

Se a soma dos coeficientes de (x + y) n é 1024, então:

(1 + 1) n = 1024 2n = 1024 n = 10

Assim: A10, 2 = 10.9 = 90 Resp: b

Q.82 (PUC – RJ) A soma alternada de coeficientes binomiais vale:

a) 210 b) 252 c) 10 d) -252 e) 0

Note que a sequencia possui 11 termos, e:

(I): os termos positivos são:

10

0 +

102

+ 10

6 +

10

8 +

10

10 =

210

2 = 25 (T. Linhas)

(II) os termos negativos são:

101

+ 10

3 +

10

5 +

107

+ 10

9 = -

210

2 = - 25

Logo, a soma total é zero Resp: e


166

Q.83 (FGV - Adap) Se

+

= n2 – n

Então n é igual a:

a) 4 b) 6 c) 9 d) 5 e) 8

Veja que o 1º membro da igualdade é o Teor. de Stiffel

Assim: n 1

2 +

n 1

3 =

n3

Logo: n (n – 1) (n – 2) = 6 n (n – 1)

Ou, seja: n – 2 = 6 n = 8 Resp: e

Q.84 (FGV/2010) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando-

se pelo menos duas frutas escolhidas entre: laranja, maçã, banana, abacaxi e

melão. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos

considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades?

a) 22 b) 26 c) 30 d) 24 e) 28

Note que para fazermos uma salada de frutas necessitamos, no mínimo de 2 frutas;

podendo ter até 6 frutas.

Assim, temos a escolher:

5

2 +

53 +

53 +

5

4 +

55

Que são todos os termos da linha 6, exceto: 50 e

5

1

Então a soma será: 25 - 50 -

5

1

Logo: 32 – 1 – 5 = 26 Resp: b

Q.85. (MACK) Sabendo que a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (x + y)n é 4096, determine o valor de n. Já vimos que a soma dos coeficientes é (1 + 1)n = 4096 Então: 2n = 212 n = 12 Q86. (UFES)

Se n é o número termos do desenvolvimento de

que não

contenham radicais, determine o valor de n.

Sabemos que (a + b)55

possui 56 termos.

A parte literal desse desenvolvimento é: a55 + a54 b + a53 b2 +...+ a b54 + b55

Não terão radicais: a55

, a45

b10

, a35

b20

, a25 b

30, a

15 b40

e a5

b50

Assim, apenas 6 termos não possuem radicais


167

Q.87(UFC) Determine o coeficiente de

, após a redução de radicais

semelhantes no desenvolvimento de

Desenvolvendo (a - b)8

Temos: a8 - 8a

7b + 28a6b2 - 56a5b3 + 70a4b4 - 56a3b5 + 28a

2b

6 - 8ab7 + b8

Em apenas dois termos aparecerá

São eles: - 8.17 (

)1 + 28. 12 (

)6

Isto é: - 8

+ 28. 2.

= 48

Assim, o coeficiente procurado é 48 Q.88 (UFC) O valor da expressão: E = (1+sen x)5 – 5(1+sen x)4 + 10(1+sen x)3 +...+ 5(1+sen x) – 1 é:

a) (1+sen x)5 – 1 b) – 1 c) 0 d) (sen x)5 e) (sen x)5 + 1 A expressão é o desenvolvimento de [ (1 + sen x) – 1 ]5 Portanto, o resultado será (sen x)5 Resp: d Q.89 (UFC) No desenvolvimento de (x + 1)n o coeficiente binomial do 5º termo é igual ao do 10º termo. Calcule o valor de n.

Temos: coef. T5 = coef. T10 =

Portanto n = 4 + 9 n = 13 Q.90 (UFRN) No desenvolvimento de (3 + 2x)5, o coeficiente de x3 é:

a) 60 b) 120 c) 240 d) 720 e) 1440 Veja: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Em 10a2b3, temos: 10. 32. (2x)3 = 10. 9. 8 x3 = 720 x3 Resp: d

Q.91 (UFPE) Determine o 5º termo do desenvolvimento de

No desenvolvimento de (a + b)7, o 5º termo é: T5 = a3 b4

Assim, temos: T5 = 35

T5 = b/a


168

Q.92 (FGV) No desenvolvimento de

o coeficiente do termo em x4 é

igual a 15. Determine o valor de k.

Sabemos que: T p + 1 = a

n –p bp

Assim: T p + 1 =

x10 – p

(I)

Então:

= x4 x10 – 2p = x4 10 – 2p = 4 2p = 6 p = 3

Em (I): coef. T4 =

k6 = 15

Calculando o valor de

= 120 120 k6 = 15 k6 = 1/8 k = 1/2

Q.93 (UC SALVADOR) O 5º termo no desenvolvimento de

é 1120 x4.

O número natural n é:

a) primo b) divisível por 3 c) múltiplo de 5 d) cubo perfeito e) quadrado perfeito

Em (a + b)n, sabemos que: T5 = an – 4 b4

No exercício: T5 = (2x2)n – 4 x-4 = 1120 x4

Então: x2n – 8 – 4 = x4 x2n – 12 = x4 2n – 12 = 4 n = 8 Resp: d

Q.94 (UFPA) Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x – y)8 O desenvolvimento possui 9 termos, assim seu termo médio é T5

Então: T5 = (2x)4 (-y)4 T5 = 70. 16 x4y4 T5 =1120 x4y4

Q.98 (UFRS) Qual o termo independente de do desenvolvimento de


n –p bp

Assim: T p + 1 =

Considerando-se apenas a parte literal, temos:

= x0

Logo: x18 – 3p = x0 18 – 3p = 0 p = 6 Então, o termo independente de x é o 7º termo


169

Q.99 (FAAP) O termo independente de x no desenvolvimento de [x + (1/x)]6 é: a) 10 b) 30 c) 40 d) 16 e) 20


n –p bp

Assim: T p + 1 = x6 – p x- p

Então: x6 – 2p = x0 6 – 2p = 0 p = 3

Logo o termo independente de x será: T4 = T4 =20 Resp: e

Q.100 (FGV) Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de

Observe que:

= x2 -

Assim, procuramos o termo independente de (x2 -

)6

Assim: T p + 1 = x12 – 2p x -2 p

Então: x12 – 4p = x0 12 – 4p = 0 p = 3

Assim: T4 = (-1)3 T4 = - 20


170

Probabilidades Considere o espaço amostral e os eventos A e B.

Definimos:

P(A) =

, sendo 0 P(A) 1

Se A = P(A) = 1

Se A = P(A) = 0

P( ) é probabilidade de não ocorrer o evento A.

P( ) = 1 – P(A)

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

No caso de A e B serem disjuntos, isto é, A B = :

P(A B) = P(A) + P(B)

No caso de A e B forem eventos independentes, temos:

P(A B) = P(A). P(B)

Probabilidade Condicional

A probabilidade de ocorrer o evento B, tendo ocorrido o evento A, é dada por:

P(B/A) =

Q.101 Retirando-se uma bola de uma urna que contém 10 bolas numeradas de 1

a 10, qual a probabilidade de se obter um número par ou primo? De se obter um

número primo e ímpar?

• n ( ) = 10

• A = {2, 4, 6, 8, 10, 3, 5, 7} n(A) = 8

Portanto: P(A) = 8/10 P(A) = 4/5 ou 80%

Q.102 Numa urna existem 10 bolas brancas e 20 bolas pretas. Sorteando-se uma

bola, qual a probabilidade dela ser branca?

• n ( ) = 30

• n(A) = 10

Portanto: P(A) = 10/30 P(A) = 1/3


171

Q.103 Uma urna contém 6 bolas brancas, 5pretas e 8 vermelhas. Uma bola é

escolhida ao acaso na urna. Qual a probabilidade de:

a) a bola não ser branca?

b) a bola ser branca ou vermelha?

c) a bola não ser branca, nem preta?

a) n ( ) = 19 e n(A) = 13 P(A) = 13/19

b) n ( ) = 19 e n(B) = 14 P(B) = 14/19 c) bola ser vermelha n ( ) = 19 e n(C) = 8 P(C) = 8/19 Q.104 No lançamento simultâneo de dois dados, qual a probabilidade de ocorrerem números iguais? No lançamento de dois dados: n ( ) = 36

A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} n(A) = 6

Portanto: P(A) = 6/36 P(A) = 1/6

Q.105 No lançamento simultâneo de dois dados, qual a probabilidade de se obter

soma 7?

No lançamento de dois dados: n ( ) = 36

A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} n(A) = 6

Portanto: P(A) = 6/36 P(A) = 1/6

Q.106 No lançamento simultâneo de dois dados, qual a probabilidade de se obter

soma maior ou igual a 9?


A = {(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} n(A) =10

Portanto: P(A) = 10/36 P(A) = 5/18

Q.107 Dois dados usuais e não viciados são lançados. Sabe-se que os números

observados são distintos. Qual a probabilidade de que a soma seja 8?


A = {(2,6), (3,5), (5,3), (6,2)} n(A) = 4

Portanto: P(A) = 4/36 P(A) = 1/9


172

Q.108 (CESGRANRIO) Numa urna existem bolas de plástico, todas do mesmo

tamanho e peso, numeradas de 2 a 21, inclusive e sem repetição. A

probabilidade de se sortear um número primo ao pegarmos uma única bola,

aleatoriamente, é de:

a) 45% b) 40% c) 35% d) 30% e) 25%

Lembre-se que de 2 a 21 existem (21 – 2) + 1 = 20 bolas

• n ( ) = 20 • A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} n(A) = 8

Portanto: P(A) = 8/10 P(A) = 4/10 ou 40% Resp: b

Q.109 (UFPI) Uma urna contém 10 cartões numerados de 1 até 10. Retirados

simultaneamente dois desses cartões e somados entre si, a probabilidade de

que o resultado dessa soma seja par é:

a) 1/3 b) 4/9 c) 5/9 d) 2/3 e) 7/9

• n ( ) = 10. 10 = 100 • Evento A é a retirada dois cartões a soma ser par Para que a soma seja par, necessariamente devemos ter:

Par e Par ou Ímpar e Ímpar + 5/10. 4/9 + 5/10 . 4/9 = 20/90 + 20/90 = 40/90 Portanto: P(A) = 40/90 P(A) =4/9 Resp: b

Q.110 (FUVEST-SP) Uma urna contém três bolas pretas e cinco bolas brancas.

Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa urna de modo que, retirando-se

uma bola ao acaso, a probabilidade de ela ser azul seja igual a 2/3?

Urna: 3 pretas, 5 brancas e N azuis

P(azul) = N = 2 3N = 2N + 16 N = 16 bolas azuis

N+8 3

Q.112 (Mackenzie) Uma caixa contém duas bolas brancas, três vermelhas e

quatro pretas. Retiradas, simultaneamente, três bolas, a probabilidade de pelo

menos uma ser branca é:

a) 1/3 b) 7/12 c) 4/9 d) 2/7 e) 5/12

• n ( ) = C9, 3 = 84

• Evento A é a retirada de nenhuma bola branca: C7, 3 = 35

Portanto: P(A) = 35/84 P(A) =5/12

Assim, P(A ) = 1 – 5/12 P( ) = 7/12 Resp: b


173

Q.111 (Unicamp-SP) Uma urna contém 50 bolas que se distinguem apenas pelas

seguintes características:

x delas são brancas e numeradas seqüencialmente com os números naturais

de 1 a x.

x + 1 delas são azuis e numeradas seqüencialmente com os números naturais

de 1 a x + 1.

x + 2 delas são amarelas e numeradas seqüencialmente com os números

naturais de 1 a x + 2.

x + 3 delas são verdes e numeradas seqüencialmente com os números naturais

de 1 a x + 3.

a) Qual o valor numérico de x? b) Qual a probabilidade de ser retirada, ao acaso, uma bola azul ou uma bola

com o número 12?

a) x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 50 4x = 44 x = 11 b) Temos: 11 Brancas, 12 Azuis, 13 Amarelas e 14 Verdes Evento A: bola azul (12) ou nº 12 (2) sendo (1 Amarela, 1 Verde) Assim: n(A) = 14 Portanto: P(A) = 14/50 P(A) = 7/25 Q. 112 (FUVEST-SP) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o

experimento: retirada de uma bola. Consideremos os eventos:

A = {a bola retirada possui um múltiplo de 2};

B = {a bola retirada possui um múltiplo de 5}.

Então, a probabilidade do evento A B é:

a) 13/20 b) 4/5 c) 7/10 d) 3/5 e) 11/20

• n ( ) = 20 Evento A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} P(A) = 10/20

Evento B = {5, 10, 15, 20} P(B) = 4/20

Mas, A B = {10, 20} n(A B) = 2 P(A B) = 2/20 Como P(A = P(A) + P(B) – P(A B) temos: P(A = 10/20 + 4/20 – 2/20 P(A = 12/20 ou 3/5 Resp: d


174

Q.113 Das 200 pessoas que trabalham em uma empresa sabe-se que 40% têm

nível universitário, 70% são do sexo masculino e 25% das mulheres tem nível

universitário. Um funcionário dessa empresa é selecionado ao acaso. Qual a

probabilidade de esse funcionário:

a) Ser do sexo masculino e não ter nível universitário? b) Não ter nível universitário e ser mulher? c) Ter nível universitário sabendo que é do sexo masculino?

• 40% de 200 = 80 universitários 25% (Univ.) = 25%. 60 = 15 • 70% de 200 = 140 homens 60 mulheres 75% (Não Univ.) = 45 Observe o quadro Homens Mulheres Universitário Não Univ. 75 45

a) 75 alunos prob. =75/200 = 3/8

b) 45 alunos prob. = 45/200 = 9/40

c) 65 de 140 prob. = 65/140 = 13/28 Q.114 (UFC) Uma caixa (I) contém bolas numeradas de 1 a 10. Outra caixa (II)

contém 8 bolas numeradas de 11 a 18. Escolhendo-se ao acaso uma caixa e

sorteando-se uma bola, qual a probabilidade de se obter um número primo?

Cx 1: 1, 2, 3,..., 10 e são primos: 2, 3, 5, 7 Cx 2: 11, 2, 13,..., 18 e são primos: 11, 13, 17 Queremos: Cx 1 e primo ou Cx 2 e primo + 1/2 . 4/10 + 1/2 . 3/8 Total: 1/5 + 3/16 = 31/80 Q.115 (PUC) De uma lista de 25 problemas, Júlia sabe resolver 20. O professor

sorteia dois desses problemas para que Júlia os resolva. Qual a probabilidade

de que ela saiba resolver os dois?

1º sorteio 2º sorteio 20/25 . 19/24 = 19/30

65 15


175

Q.116 (FGV) A probabilidade de uma chamada telefônica ser completada é de

0,8. Efetuando-se no máximo três tentativas sucessivas, até que a ligação se

complete, qual a probabilidade de que uma pessoa consiga efetivar sua ligação?

A: não conseguir: 0,2. 0,2. 0,2 = 0,008 Ch telefônica

: conseguir a ligação: 1 – 0,008 = 0,992 Então, a probabilidade de que a pessoa consiga efetivar a ligação é de 99,2%

Q.117 (FGV) Numa cidade, a probabilidade de que um carro de certo modelo seja

roubado, no período de um ano, é 1/20. Se considerarmos uma amostra aleatória

de 10 desses carros:

a) Qual a probabilidade de que nenhum seja roubado no período de 1 ano? b) Qual a probabilidade de que exatamente um carro seja roubado no

período de 1 ano? Nota: admitir independência entre os eventos associados ao roubo de cada carro Ser roubado: A = 1/20

Não ser roubado: = B = 19/20 Lembrando que (A + B)10 = A10 + 10 A9 B +...+ B10

a) nenhum carro ser roubado: B10 =

b) um carro ser roubado: 10. A. B9 = 10

Q. 118 (FGV) Uma equipe E deve disputar 5 partidas e ela tem 2/3 de

probabilidade de ganhar em cada jogo. Então, qual a probabilidade de E vencer 4

partidas?

a) 50/243 b) 70/243 c) 60/243 d) 90/243 e) 80/243

Vencer: P(V) = 2/3 Perder: P(P) = 1/3 Então: (V + P)5 = V5 + 5V4 P + 10V3 P2 +... Logo: 5 (2/3)4(1/3) = 5. 16. 1 = 80/243 81 3 Resp: e


176

Q.119. (FUVEST - SP) Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu

que a face 6 saía com o dobro de freqüência da face 1, e que as outras faces

saíam com a freqüência esperada em um dado não viciado. Qual a freqüência da

face 1?

a) 1/3 b) 2/3 c) 1/9 d) 2/9 e) 1/12

Face 1 x 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 2x

Então: x + 4/6 + 2x = 1 3x = 1 – 2/3 x = 1/9 Resp: c Q.120 (FGV) Um lote contém 50 peças boas e 10 peças defeituosas. Uma peça é

escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso.

Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?

49/59 B

B

50/60 10/59 D

60 peças

50/59 B

10/60

D

9/59 D

Duas peças defeituosas: 10/60. 9/59 = 3/118

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Parte 5 Anal Comb - Bin. Newton - Prob