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t
I
UNIVERSIDADE DE SAtildeO PAULO
INSTITUTO DE FIacuteSICA
PARTICULAS E CORDAS EM ESPACcedilOS COM
MEacuteTRICAS DEGENERADAS
1 SBImiddotIFUSP
Luiacutes ANTONIO CABRAL
Banca Examinadora
Prol Dr Marcelo Otaacutevio Caminha Gomes (IFUSP) Prof Dr Adilson Joseacute d Silva (IFUSP) Prof Dr Nathan Jacob Berkovits (IFTUNESp) Prof Dr Joatildeo Barcelos Neto (UFRJ)
Tese de Doutorado
submetida ao Instituto de Fiacutesica
da Universidade de Satildeo Paulo
lORIE1ADOR PnOF D1L VICTOR DE OLIVEIRA RIVELLES
sect~Ct ~
(i f
Uacutejl ~OccedilJ
~~Q~ ~v~~ 71f0~ ~ ~t
oi$ q -i
Q
0~-- SAtildeo PAILO
1999
5 3CJ -cQ C c~gtivOC 11+f I
10--1 112 ccedil 5Y flX 1
FICHA CATALOGRAacuteFICA Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo do Instituto de Fisica da Universidade de Satildeo Paulo
Cabral Luis Antonio
Partlculas e Cordas em Espaccedilos com Meacutetricas Degeneradas Satildeo Paulo 1999
Tese (Doutoramento) - Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Flsica - Departamento de Fisica Matemaacutetica
Orientador Prot Df Victor de Oliveira Rivelles Area de Concentraccedilatildeo Fiacutesica das Partiacuteculas Elementares
e Campos
Unltermos 1 Sistemas Vinculados 2 Partlculas 3 Cordas
USPIIFSBI-05299
f Resumo
Neste habalho estudamos a dinacircmica de pal-tiacuteculas e cordas num campo gravitacio~
naI com meacutetrica degenerada Utilizamos o formaliacutesmo HamiltonIacuteano para determinar 0$
viacutenculos da teoria e a dinacircmica efetiva do sistema Classificamos a estrutura dos viacutenculos
de acordo com a forma da meacutetrica e dimensatildeo do espaccedilo(-tempo) Obtemos tambeacutem a
representaccedilatildeo das simetrias em LClffiOS de isometrias geradas por auto-vct018S nulos da
meacutetrica
i I
i
bull1 bull i Abstract
In this work we study the dynamics af partides and strings in a gravitational field with
degenerate metric Ve use the Hamiacuteltonian formalism to find out the constraIacutents and the
effective dynamics of the system We classiacutefy tne constraint structure accolding to the
form af the metriacutec and the space(time) dimensiono We a150 obtain the representation of
the symmetries in terms Df the isometries generated by the nuH eigenvectors of the metriacutec
Agradecimentos
Eacute com grande satisfaccedilatildeo que chego a esta etapa da minha formaccedilatildeo para prestar a
muitas pessoas os meus sinceros agradecimentos
Agradeccedilo com muita satisfaccedilatildeo
Ao meu orientador o Prof Rivelles1 que me acompanhou em todas as fases deste
trabalho prestando toda ajuda necessaacuteria nos momentos mais importantes do projeto
Aos funcionaacuteriacuteos do departamento pelo auxiacuteliacuteo durante a minha permanecircncia 00
lFUSP
Aos colegas de vaacuterios projetos - Leocircnidas Mocircnica Otaacutevio) Marcelo Luiz Cacircndido e
outros
Agraves amigas que me deram incentiacutevo (onstante - Sandra Joana) Liacutelian Siacutelvia Andreacuteiacutea
Dolares e Stela
A todos os meus familiares que me transmitiram alegria e esperanccedila
Agrave CamUa e agrave Clara pela dedicaccedilatildeo c paciecircncia em toda a nossa existecircncia
Agrave FAPESP pelo auxiacutelio financeiro
Conteuacutedo
1 Introduccedilatildeo 3
2 A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica 8
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Graviacutetadonal Natildeo Degenerado 9
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Graviacutetadonal Degenerado 11
23 Vetores de Base Integraacuteveis 14
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis 15
241 D - r Par 15
242 D - r Iacutempr 16
25 (aso 11p O 17
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Clalse com Meacutetricas Degeneradas __ 20
3 A Partiacutecula Relativiacutestica 23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 24
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitadonal Degenerado 26
321 (aso D - r Par 29
322 Caso D - 7 Iacutempar 30
4 A Corda Bosocircnica 37
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitashy
danais l8
1
42 Formalismo Hamiltoniano 41
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 41
422 Campo de Fundo Graviacutetacional Degenerado 43
423 GaioD-rPar 48
424 Caso D - r Iacutempar 50
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeiacutera Classe 54
44 Invariacircnda Confonne em Niacutevel Quacircntico 56
5 Conclusatildeo 59
A Propriedades dos Auto~Vetores Nulos em D - r iacutempar 61
B Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada
e Viacutenculos Secundaacuterios 65
C Deduccedilatildeo da Aacutelgebra dos Viacutenculos para a Corda 72
2
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
As singulatidades tecircm um papel fundamental na relatividade geral [1] Entretanto
natildeo estaacute claro como iacutencorporaacuteAas em uma teoria quacircntka da gravitaccedilatildeo_ As singularishy
dades do espaccedilo-tempo tecircm uma caracteriacutestica importante na gravitaccedilatildeo quacircntica como
demonstrado em processos envolvendo a radiaccedilatildeo teacutermka de Hawking No entanto o
nosso conhecimento atual para descrever o processo da evaporaccedilatildeo de buracos negros ateacute
a sua extinccedilatildeo ainda estaacute incompleto Poreacutem a situaccedilatildeo eacute menos limitada no contexto da
teoda de cordas Neste caso a entropia dos buracos negros extremos e quase-ex iremos
pode ser calculada considerando a presenccedila de Dwbranas proacuteximas ao horiacutezonte de evenshy
tos [2] No acoplamento fraco estas D-branas satildeo descritas por uma teoria de gauge
supersimeacutetrica na qual eacute possiacutevel contar os estados relevantes para a entropia Jaacute que as
D-hr(1nas estatildeo localiacutezadas proacuteximas ao hotilderizonte as singuladdades no interiacuteor do buraco
negro ainda nacirco foram tratadas completamente na teoria de cordas poreacutem haacute algumas
tentativas neste contexto ~31_
As singularidades que datildeo lugar aos buracos negros manifestam-se no tensor de curvashy
tura O efeito deste tipo de singularidade na evoluccedilatildeo quacircntica de partiacuteculas foi estudado
recentemente em 14] Neste caso o argumento principal eacute que uma partiacutecula movendo-se
num espaccedilo-tempo que eacute geodesicamente incompleto possui uma evoluccedilatildeo quacircntica bem
3
j
definida desde que Q operador Hamiltoniano seja essencialmente auto-adjunto
Haacute j tambeacutem um outro tipo de singularidade em que o tensor de curvatura natildeo se torna
singular Isto acontece quando a meacutetrica eacute degenerada isto eacute quando natildeo possui inversa
leste caso) se a meacutetrica eacute degenerada em um conjunto de medida zero 1e) se ocorre em
pontos isolados do espaccedilOl entatildeo a curvatura natildeo diverge e a topologia do espaccedilo-tempo
pode mudar [5j Este tipo de singllaridade eacute tamheacutem compatiacutevel com a estrutura causal
do espaccedilo-tempo [6j
[ As meacutetricas degeneradas aparecem na relatividade geral na formulaccedilatildeo de Palatini
onde a accedilatildeo eacute definida em termos das tetradas e da conexatildeo de Lorentz ~esta formulaccedilatildeo)
a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo dependem do inverso da tetrada e assim satildeo bem
definidas mesmo quando a letrada eacute degenerada [5]
gm uma outra situaccedilatildeo as meacutetriacutecas degeneradas tambeacutem aparecem CQmo meacutetdcas
induidas em hlpersuperfiacuteciacutees nulas [7] sendo a geometria da hipersuperffcie considerada
sob o ponto de vista do espaccedilo alvo ou seja sob o ponto de vista extriacutenseco agrave hipershy
superfiacutecie Neste aspecto a meacutetrica do espaccedilo alvo que natildeo eacute degenerada) se relaciona
com a meacutetrica da hipersuperfiacutecie imersa neste espaccedilo )festa condiccedilatildeo eacute possiacutevel definir
uma meacutetrIacuteca inversa estendida para a hipersuperfiacutede nula Por outro lado) as meacutetricas
degeneradas podem ser consideradas sob o ponto de vista intriacutenseco) ou seja) consideradas
exclusivamente sob a hipersuperficie em que estatildeo definidas sem reconer a imersotildees em es~
paccedilos com dimensatildeo superior agrave hipersuperfiacutecie Definidas desta forma tornam-se meacutetricas
auxiliares para o estudo da radiaccedilatildeo gravitacional [B] sendo que em quatro dimensotildees satildeo
Ineacutetricas de posto trecircs
Em outros contextos temos a presen~a de tetradas e as generalizaccedilotildees destas para
outras dimensotildees que denominam-se v-ielbeins que tambeacutem satildeo degenerados Neste asshy
pecto) haacute a formulaccedilatildeo de Ashtekar da relatividade geral~ que utiliza um espaccedilo de fase
com Vltlttaacuteveis complexas definidas por meiacuteo de uma teoria de gauge do tipo Yang-Mills
4
com grupo 80(3) [9] O formalismo de Ashtekal permanece bem definido quando a
meacutetrica obtida na sua formulaccedilatildeo eacute degenerada Devido a esta propriedade da meacutetrica
muitas questotildees relativas a esta formulaccedilatildeo continuam sendo objeto de pesquisa recente
[lO~ Aleacutem da formuLaccedilatildeo de Ashtekal existem outras teorias da gravitaccedilatildeo em duas e
trecircs dimensotildees que podem SeI fOlmuladas como teorias de gauge topoloacutegicas do tipo BF
e de Chern-Simons [l1J Como um exemplo de uma teoria abeliana do tipo BF devemos
ter uma accedilatildeo em uma variedade lvf com dimensatildeo arbitraacuteria independente do tensor
meacutetrico e escrita em termos de campos na formulaccedilatildeo das formas diferenciais Esta accedilatildeo
iraacute fornecer uma descriccedilatildeo da cohomologia de de Rham sobre M (121 Estas teorias surshy
gem tambeacutem como uma generalizaccedilatildeo da teoria de Chern~Sjmons para dimensotildees maiores
que trecircs permitindo ohter genetalizaccedilotildees dos invariantes topoloacutegicos na teoria dos noacutes
obtidos inicialmente em [13] As teorias topoloacutegicas estatildeo envolvidas numa descriccedilatildeo de
uma fase topoloacutegica da gravitaccedilatildeo quacircntica na qual a tetrada se anula e a invariacuteacircncia por
difeomorfismo eacute quebrada l14] Adicionalmente as teorias topoloacutegicas foram recentemenmiddot
te utilizadas com um meio auxiliar de se obter soluccedilotildees degeneradas na relatividade geral
[15]
No contexto da teoria de cordas foi demonstrado que cordas podem se propagar em
campos de fundo gravitacionais degenerados Quando as coordenadas da corda satisfazem
determinadas condiccedilotildees a meacutetrica eacute degenerada de posto um [16] Sabemos tambeacutem)
que p-branas portandotildefie como instantons satildeo descritas por uma meacutetrica degenerada na
hiacutepersuperfkiacutee de evoluccedilatildeo [17] Cordas com tensatildeo nula [18] e D-branas com tensatildeo nula
[19Jj sacirco tambeacutem descritas por uma accedilatildeo que euvolve meacutetricas degeneradas Neste caso) a
accedilatildeo eacute construiacuteda na formulaccedilagraveo de primeira ordem Le Hnear com respeito agraves derivadas
das coordenadas do espaccedilo alvo sendo que a meacutetrica auxiliar eacute degenerada e natildeo o campo
de fundo gravitacionaL A forma da meacutetrica degenerada eacute do tipo gll11 = EE 11A B com
E formando matrizes natildeo quadradas e retratando uma imersatildeo que implica num espaccedilo
5
i
tangente ~om meacutetrica IJAl1 e dimensatildeo menor que a da hiacutepersuperfiacutecie de evoluccedilatildeo
Tudo o que consideramos ateacute o momento indica que as meacutetricas degeneradas podem
ter um pape) importante na gravitaccedilatildeo quacircntica Num tratamento em niacutevel claacutessico a
principal consequecircncia das meacutetricas degeneradas eacute permitir a mudanccedila de topologia do
espaccedilo-tempo 15] Poreacutem como natildeo observamos este processo diretamente deve exiacutestir
algum mecanismo que o suprime provavelmente em niacutevel quacircntico Por outro lado o
comportamento da mateacuteria num espaccedilo-tempo com meacutetrica degenerada natildeo tem sido
propriamente explorado Para o caso das teorias de campo topoloacutegicas natildeo haacute presenccedila
de meacutetricas na accedilatildeo dos modelos assim espaccedil-O-tempos com meacutetricas degeneradas podem
ser considerados nestas teorias No entanto quando consideramos campos de mateacuteria com
telmos cineacuteticos o acoplamento da gravitaccedilatildeo requer a introduccedilatildeo de campos tensoriais
contravariantes O exemplo mais simples eacute a accedilatildeo do campo escalar que depende do inverso
da meacutetrica Para tratar estes casos foi proposto um procedimento (20 que natildeo necessita de
campos tensotiais contravariantes e assim satildeo obtidas accedilotildees numa formulaccedilatildeo estendida
que admite tetradas degeneradas aleacutem de conter o limiacutete origina da teoria quando a
tetrada eacute inversiacuteveL
Uma importante classe de mateacuteria que pode ser acoplada ao tensol meacutetrico) ecirc cons~
tituiacuteda por partiacuteculas e cordas [21J A accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento das partiacuteculas e
cordas natildeo dependem do inverso da meacutetrica e satildeo bem definidas mesmo quando a meacutetrica
se torna degenerada Nesta tese iremos considerar a dinacircmica de partiacuteculas e cordas
movendo-se em espaccedil~ ou espaccedilo-tempos com uma meacutetrica degenerada Os espaccedilos em
estudo estatildeo associados a regiotildees com meacutetrica degenerada em toda extensatildeo Analisareshy
mos 3 ehtrutura dos viacutenculos impostos pela meacutetrica degenerada e encontraremos os graus
de liberdade efetiVuacutes que descrevem o movimento de partiacuteculas e cordas Desta forma
obteremos a dinacircmica efetiva para partiacuteculas e cordas em movimento num campo de funshy
do gravftacional degenerado Iremos ccedilonsiderar inicialmente a partiacutecula natildeo relativiacutestica
6
no Capiacutetulo 2 Este capiacutetulo seraacute desenvolvido em detalhes visto que a anaacutelise dos
viacutenculos contida nos capiacutetulos seguintes teratildeo alguns aspectos similares aos da partiacutecula
natildeo relativiacutestica Demonstramos tambeacutem que as isometrias da meacutetrica degenerada estatildeo
associadas agraves simetrias locais geradas pelos viacutenculos de primeira classe No Capiacutetulo 3
estudaremos a partiacutecula relativiacutestica e no Capiacutetulo 4 a corda bosocircnica Neste capiacutetulo disshy
cutimos tambeacutem alguns aspectos em aberto da quantizaccedilatildeo da corda em campos de fundo
gravitacional degenerados No Capiacutetulo 5 apresentaremos algumas observaccedilotildees finais e
conclusotildees bem como algumas questotildees que poderatildeo ser exploradas no futuro
7
Capiacutetulo 2
A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido
objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa
ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees
de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar
nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada
surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo
dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de
Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados
e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial
O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy
toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo
que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de
viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso
da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL
Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem
8
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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5 3CJ -cQ C c~gtivOC 11+f I
10--1 112 ccedil 5Y flX 1
FICHA CATALOGRAacuteFICA Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo do Instituto de Fisica da Universidade de Satildeo Paulo
Cabral Luis Antonio
Partlculas e Cordas em Espaccedilos com Meacutetricas Degeneradas Satildeo Paulo 1999
Tese (Doutoramento) - Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Flsica - Departamento de Fisica Matemaacutetica
Orientador Prot Df Victor de Oliveira Rivelles Area de Concentraccedilatildeo Fiacutesica das Partiacuteculas Elementares
e Campos
Unltermos 1 Sistemas Vinculados 2 Partlculas 3 Cordas
USPIIFSBI-05299
f Resumo
Neste habalho estudamos a dinacircmica de pal-tiacuteculas e cordas num campo gravitacio~
naI com meacutetrica degenerada Utilizamos o formaliacutesmo HamiltonIacuteano para determinar 0$
viacutenculos da teoria e a dinacircmica efetiva do sistema Classificamos a estrutura dos viacutenculos
de acordo com a forma da meacutetrica e dimensatildeo do espaccedilo(-tempo) Obtemos tambeacutem a
representaccedilatildeo das simetrias em LClffiOS de isometrias geradas por auto-vct018S nulos da
meacutetrica
i I
i
bull1 bull i Abstract
In this work we study the dynamics af partides and strings in a gravitational field with
degenerate metric Ve use the Hamiacuteltonian formalism to find out the constraIacutents and the
effective dynamics of the system We classiacutefy tne constraint structure accolding to the
form af the metriacutec and the space(time) dimensiono We a150 obtain the representation of
the symmetries in terms Df the isometries generated by the nuH eigenvectors of the metriacutec
Agradecimentos
Eacute com grande satisfaccedilatildeo que chego a esta etapa da minha formaccedilatildeo para prestar a
muitas pessoas os meus sinceros agradecimentos
Agradeccedilo com muita satisfaccedilatildeo
Ao meu orientador o Prof Rivelles1 que me acompanhou em todas as fases deste
trabalho prestando toda ajuda necessaacuteria nos momentos mais importantes do projeto
Aos funcionaacuteriacuteos do departamento pelo auxiacuteliacuteo durante a minha permanecircncia 00
lFUSP
Aos colegas de vaacuterios projetos - Leocircnidas Mocircnica Otaacutevio) Marcelo Luiz Cacircndido e
outros
Agraves amigas que me deram incentiacutevo (onstante - Sandra Joana) Liacutelian Siacutelvia Andreacuteiacutea
Dolares e Stela
A todos os meus familiares que me transmitiram alegria e esperanccedila
Agrave CamUa e agrave Clara pela dedicaccedilatildeo c paciecircncia em toda a nossa existecircncia
Agrave FAPESP pelo auxiacutelio financeiro
Conteuacutedo
1 Introduccedilatildeo 3
2 A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica 8
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Graviacutetadonal Natildeo Degenerado 9
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Graviacutetadonal Degenerado 11
23 Vetores de Base Integraacuteveis 14
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis 15
241 D - r Par 15
242 D - r Iacutempr 16
25 (aso 11p O 17
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Clalse com Meacutetricas Degeneradas __ 20
3 A Partiacutecula Relativiacutestica 23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 24
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitadonal Degenerado 26
321 (aso D - r Par 29
322 Caso D - 7 Iacutempar 30
4 A Corda Bosocircnica 37
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitashy
danais l8
1
42 Formalismo Hamiltoniano 41
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 41
422 Campo de Fundo Graviacutetacional Degenerado 43
423 GaioD-rPar 48
424 Caso D - r Iacutempar 50
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeiacutera Classe 54
44 Invariacircnda Confonne em Niacutevel Quacircntico 56
5 Conclusatildeo 59
A Propriedades dos Auto~Vetores Nulos em D - r iacutempar 61
B Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada
e Viacutenculos Secundaacuterios 65
C Deduccedilatildeo da Aacutelgebra dos Viacutenculos para a Corda 72
2
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
As singulatidades tecircm um papel fundamental na relatividade geral [1] Entretanto
natildeo estaacute claro como iacutencorporaacuteAas em uma teoria quacircntka da gravitaccedilatildeo_ As singularishy
dades do espaccedilo-tempo tecircm uma caracteriacutestica importante na gravitaccedilatildeo quacircntica como
demonstrado em processos envolvendo a radiaccedilatildeo teacutermka de Hawking No entanto o
nosso conhecimento atual para descrever o processo da evaporaccedilatildeo de buracos negros ateacute
a sua extinccedilatildeo ainda estaacute incompleto Poreacutem a situaccedilatildeo eacute menos limitada no contexto da
teoda de cordas Neste caso a entropia dos buracos negros extremos e quase-ex iremos
pode ser calculada considerando a presenccedila de Dwbranas proacuteximas ao horiacutezonte de evenshy
tos [2] No acoplamento fraco estas D-branas satildeo descritas por uma teoria de gauge
supersimeacutetrica na qual eacute possiacutevel contar os estados relevantes para a entropia Jaacute que as
D-hr(1nas estatildeo localiacutezadas proacuteximas ao hotilderizonte as singuladdades no interiacuteor do buraco
negro ainda nacirco foram tratadas completamente na teoria de cordas poreacutem haacute algumas
tentativas neste contexto ~31_
As singularidades que datildeo lugar aos buracos negros manifestam-se no tensor de curvashy
tura O efeito deste tipo de singularidade na evoluccedilatildeo quacircntica de partiacuteculas foi estudado
recentemente em 14] Neste caso o argumento principal eacute que uma partiacutecula movendo-se
num espaccedilo-tempo que eacute geodesicamente incompleto possui uma evoluccedilatildeo quacircntica bem
3
j
definida desde que Q operador Hamiltoniano seja essencialmente auto-adjunto
Haacute j tambeacutem um outro tipo de singularidade em que o tensor de curvatura natildeo se torna
singular Isto acontece quando a meacutetrica eacute degenerada isto eacute quando natildeo possui inversa
leste caso) se a meacutetrica eacute degenerada em um conjunto de medida zero 1e) se ocorre em
pontos isolados do espaccedilOl entatildeo a curvatura natildeo diverge e a topologia do espaccedilo-tempo
pode mudar [5j Este tipo de singllaridade eacute tamheacutem compatiacutevel com a estrutura causal
do espaccedilo-tempo [6j
[ As meacutetricas degeneradas aparecem na relatividade geral na formulaccedilatildeo de Palatini
onde a accedilatildeo eacute definida em termos das tetradas e da conexatildeo de Lorentz ~esta formulaccedilatildeo)
a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo dependem do inverso da tetrada e assim satildeo bem
definidas mesmo quando a letrada eacute degenerada [5]
gm uma outra situaccedilatildeo as meacutetriacutecas degeneradas tambeacutem aparecem CQmo meacutetdcas
induidas em hlpersuperfiacuteciacutees nulas [7] sendo a geometria da hipersuperffcie considerada
sob o ponto de vista do espaccedilo alvo ou seja sob o ponto de vista extriacutenseco agrave hipershy
superfiacutecie Neste aspecto a meacutetrica do espaccedilo alvo que natildeo eacute degenerada) se relaciona
com a meacutetrica da hipersuperfiacutecie imersa neste espaccedilo )festa condiccedilatildeo eacute possiacutevel definir
uma meacutetrIacuteca inversa estendida para a hipersuperfiacutede nula Por outro lado) as meacutetricas
degeneradas podem ser consideradas sob o ponto de vista intriacutenseco) ou seja) consideradas
exclusivamente sob a hipersuperficie em que estatildeo definidas sem reconer a imersotildees em es~
paccedilos com dimensatildeo superior agrave hipersuperfiacutecie Definidas desta forma tornam-se meacutetricas
auxiliares para o estudo da radiaccedilatildeo gravitacional [B] sendo que em quatro dimensotildees satildeo
Ineacutetricas de posto trecircs
Em outros contextos temos a presen~a de tetradas e as generalizaccedilotildees destas para
outras dimensotildees que denominam-se v-ielbeins que tambeacutem satildeo degenerados Neste asshy
pecto) haacute a formulaccedilatildeo de Ashtekar da relatividade geral~ que utiliza um espaccedilo de fase
com Vltlttaacuteveis complexas definidas por meiacuteo de uma teoria de gauge do tipo Yang-Mills
4
com grupo 80(3) [9] O formalismo de Ashtekal permanece bem definido quando a
meacutetrica obtida na sua formulaccedilatildeo eacute degenerada Devido a esta propriedade da meacutetrica
muitas questotildees relativas a esta formulaccedilatildeo continuam sendo objeto de pesquisa recente
[lO~ Aleacutem da formuLaccedilatildeo de Ashtekal existem outras teorias da gravitaccedilatildeo em duas e
trecircs dimensotildees que podem SeI fOlmuladas como teorias de gauge topoloacutegicas do tipo BF
e de Chern-Simons [l1J Como um exemplo de uma teoria abeliana do tipo BF devemos
ter uma accedilatildeo em uma variedade lvf com dimensatildeo arbitraacuteria independente do tensor
meacutetrico e escrita em termos de campos na formulaccedilatildeo das formas diferenciais Esta accedilatildeo
iraacute fornecer uma descriccedilatildeo da cohomologia de de Rham sobre M (121 Estas teorias surshy
gem tambeacutem como uma generalizaccedilatildeo da teoria de Chern~Sjmons para dimensotildees maiores
que trecircs permitindo ohter genetalizaccedilotildees dos invariantes topoloacutegicos na teoria dos noacutes
obtidos inicialmente em [13] As teorias topoloacutegicas estatildeo envolvidas numa descriccedilatildeo de
uma fase topoloacutegica da gravitaccedilatildeo quacircntica na qual a tetrada se anula e a invariacuteacircncia por
difeomorfismo eacute quebrada l14] Adicionalmente as teorias topoloacutegicas foram recentemenmiddot
te utilizadas com um meio auxiliar de se obter soluccedilotildees degeneradas na relatividade geral
[15]
No contexto da teoria de cordas foi demonstrado que cordas podem se propagar em
campos de fundo gravitacionais degenerados Quando as coordenadas da corda satisfazem
determinadas condiccedilotildees a meacutetrica eacute degenerada de posto um [16] Sabemos tambeacutem)
que p-branas portandotildefie como instantons satildeo descritas por uma meacutetrica degenerada na
hiacutepersuperfkiacutee de evoluccedilatildeo [17] Cordas com tensatildeo nula [18] e D-branas com tensatildeo nula
[19Jj sacirco tambeacutem descritas por uma accedilatildeo que euvolve meacutetricas degeneradas Neste caso) a
accedilatildeo eacute construiacuteda na formulaccedilagraveo de primeira ordem Le Hnear com respeito agraves derivadas
das coordenadas do espaccedilo alvo sendo que a meacutetrica auxiliar eacute degenerada e natildeo o campo
de fundo gravitacionaL A forma da meacutetrica degenerada eacute do tipo gll11 = EE 11A B com
E formando matrizes natildeo quadradas e retratando uma imersatildeo que implica num espaccedilo
5
i
tangente ~om meacutetrica IJAl1 e dimensatildeo menor que a da hiacutepersuperfiacutecie de evoluccedilatildeo
Tudo o que consideramos ateacute o momento indica que as meacutetricas degeneradas podem
ter um pape) importante na gravitaccedilatildeo quacircntica Num tratamento em niacutevel claacutessico a
principal consequecircncia das meacutetricas degeneradas eacute permitir a mudanccedila de topologia do
espaccedilo-tempo 15] Poreacutem como natildeo observamos este processo diretamente deve exiacutestir
algum mecanismo que o suprime provavelmente em niacutevel quacircntico Por outro lado o
comportamento da mateacuteria num espaccedilo-tempo com meacutetrica degenerada natildeo tem sido
propriamente explorado Para o caso das teorias de campo topoloacutegicas natildeo haacute presenccedila
de meacutetricas na accedilatildeo dos modelos assim espaccedil-O-tempos com meacutetricas degeneradas podem
ser considerados nestas teorias No entanto quando consideramos campos de mateacuteria com
telmos cineacuteticos o acoplamento da gravitaccedilatildeo requer a introduccedilatildeo de campos tensoriais
contravariantes O exemplo mais simples eacute a accedilatildeo do campo escalar que depende do inverso
da meacutetrica Para tratar estes casos foi proposto um procedimento (20 que natildeo necessita de
campos tensotiais contravariantes e assim satildeo obtidas accedilotildees numa formulaccedilatildeo estendida
que admite tetradas degeneradas aleacutem de conter o limiacutete origina da teoria quando a
tetrada eacute inversiacuteveL
Uma importante classe de mateacuteria que pode ser acoplada ao tensol meacutetrico) ecirc cons~
tituiacuteda por partiacuteculas e cordas [21J A accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento das partiacuteculas e
cordas natildeo dependem do inverso da meacutetrica e satildeo bem definidas mesmo quando a meacutetrica
se torna degenerada Nesta tese iremos considerar a dinacircmica de partiacuteculas e cordas
movendo-se em espaccedil~ ou espaccedilo-tempos com uma meacutetrica degenerada Os espaccedilos em
estudo estatildeo associados a regiotildees com meacutetrica degenerada em toda extensatildeo Analisareshy
mos 3 ehtrutura dos viacutenculos impostos pela meacutetrica degenerada e encontraremos os graus
de liberdade efetiVuacutes que descrevem o movimento de partiacuteculas e cordas Desta forma
obteremos a dinacircmica efetiva para partiacuteculas e cordas em movimento num campo de funshy
do gravftacional degenerado Iremos ccedilonsiderar inicialmente a partiacutecula natildeo relativiacutestica
6
no Capiacutetulo 2 Este capiacutetulo seraacute desenvolvido em detalhes visto que a anaacutelise dos
viacutenculos contida nos capiacutetulos seguintes teratildeo alguns aspectos similares aos da partiacutecula
natildeo relativiacutestica Demonstramos tambeacutem que as isometrias da meacutetrica degenerada estatildeo
associadas agraves simetrias locais geradas pelos viacutenculos de primeira classe No Capiacutetulo 3
estudaremos a partiacutecula relativiacutestica e no Capiacutetulo 4 a corda bosocircnica Neste capiacutetulo disshy
cutimos tambeacutem alguns aspectos em aberto da quantizaccedilatildeo da corda em campos de fundo
gravitacional degenerados No Capiacutetulo 5 apresentaremos algumas observaccedilotildees finais e
conclusotildees bem como algumas questotildees que poderatildeo ser exploradas no futuro
7
Capiacutetulo 2
A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido
objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa
ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees
de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar
nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada
surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo
dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de
Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados
e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial
O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy
toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo
que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de
viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso
da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL
Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem
8
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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D59 (1999) 044008
[11) A Achuacutecarro e p Townsend Phys Lett B 180 89 (1986) E Wiacutetten Nuel Phys
B 311 46 (1988) K 1Ier e C Trungenberger Phys Rv Lett 63 834 (1989)
A Chamseddine e D Wyler Phys Let B228 75 (1989) D Cangemi e R Jacldw
Phys Rev Lett 69 233 (1992)
12) M Blau e G Thompon Ann Phys 205 (1991) 130
113) E Wiacutetten Cnmm Malh Phys 121 (1989) 351
(14) E Witlen Comm Math Phys 117353 (1938)
115] JC Baez Commun Math Phys 193 (1998) 210
[16) O A Mattos e V O Rivelles pnys Rev LIt 70 1583 (1993)
[17) R P Zaikov Phys Letl B263 (1991) 206
118] A Karlhede bull U Liacutenclstrom Clas Quant Grav 3 (1986) L73
119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U
Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
[21J LA Cabral e VO Rivelles ParticIes and Strings in Degenerate lVletric SpaceS j
preprlllt 1999
84
[22j H Kleiacutenert Path IntegraIs in Quantum Mec1utnics Statistics and Polymer Plz~rsics
(World Scientificcedil Singapare Second Edition 1995)
[23J PAM Dirac Leccediltureson Quantum Mecnanics (Yeshiva University Press NY 1964)
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130J T Buchr Phys Lett B194 (1987) 59
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(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
f Resumo
Neste habalho estudamos a dinacircmica de pal-tiacuteculas e cordas num campo gravitacio~
naI com meacutetrica degenerada Utilizamos o formaliacutesmo HamiltonIacuteano para determinar 0$
viacutenculos da teoria e a dinacircmica efetiva do sistema Classificamos a estrutura dos viacutenculos
de acordo com a forma da meacutetrica e dimensatildeo do espaccedilo(-tempo) Obtemos tambeacutem a
representaccedilatildeo das simetrias em LClffiOS de isometrias geradas por auto-vct018S nulos da
meacutetrica
i I
i
bull1 bull i Abstract
In this work we study the dynamics af partides and strings in a gravitational field with
degenerate metric Ve use the Hamiacuteltonian formalism to find out the constraIacutents and the
effective dynamics of the system We classiacutefy tne constraint structure accolding to the
form af the metriacutec and the space(time) dimensiono We a150 obtain the representation of
the symmetries in terms Df the isometries generated by the nuH eigenvectors of the metriacutec
Agradecimentos
Eacute com grande satisfaccedilatildeo que chego a esta etapa da minha formaccedilatildeo para prestar a
muitas pessoas os meus sinceros agradecimentos
Agradeccedilo com muita satisfaccedilatildeo
Ao meu orientador o Prof Rivelles1 que me acompanhou em todas as fases deste
trabalho prestando toda ajuda necessaacuteria nos momentos mais importantes do projeto
Aos funcionaacuteriacuteos do departamento pelo auxiacuteliacuteo durante a minha permanecircncia 00
lFUSP
Aos colegas de vaacuterios projetos - Leocircnidas Mocircnica Otaacutevio) Marcelo Luiz Cacircndido e
outros
Agraves amigas que me deram incentiacutevo (onstante - Sandra Joana) Liacutelian Siacutelvia Andreacuteiacutea
Dolares e Stela
A todos os meus familiares que me transmitiram alegria e esperanccedila
Agrave CamUa e agrave Clara pela dedicaccedilatildeo c paciecircncia em toda a nossa existecircncia
Agrave FAPESP pelo auxiacutelio financeiro
Conteuacutedo
1 Introduccedilatildeo 3
2 A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica 8
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Graviacutetadonal Natildeo Degenerado 9
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Graviacutetadonal Degenerado 11
23 Vetores de Base Integraacuteveis 14
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis 15
241 D - r Par 15
242 D - r Iacutempr 16
25 (aso 11p O 17
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Clalse com Meacutetricas Degeneradas __ 20
3 A Partiacutecula Relativiacutestica 23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 24
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitadonal Degenerado 26
321 (aso D - r Par 29
322 Caso D - 7 Iacutempar 30
4 A Corda Bosocircnica 37
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitashy
danais l8
1
42 Formalismo Hamiltoniano 41
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 41
422 Campo de Fundo Graviacutetacional Degenerado 43
423 GaioD-rPar 48
424 Caso D - r Iacutempar 50
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeiacutera Classe 54
44 Invariacircnda Confonne em Niacutevel Quacircntico 56
5 Conclusatildeo 59
A Propriedades dos Auto~Vetores Nulos em D - r iacutempar 61
B Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada
e Viacutenculos Secundaacuterios 65
C Deduccedilatildeo da Aacutelgebra dos Viacutenculos para a Corda 72
2
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
As singulatidades tecircm um papel fundamental na relatividade geral [1] Entretanto
natildeo estaacute claro como iacutencorporaacuteAas em uma teoria quacircntka da gravitaccedilatildeo_ As singularishy
dades do espaccedilo-tempo tecircm uma caracteriacutestica importante na gravitaccedilatildeo quacircntica como
demonstrado em processos envolvendo a radiaccedilatildeo teacutermka de Hawking No entanto o
nosso conhecimento atual para descrever o processo da evaporaccedilatildeo de buracos negros ateacute
a sua extinccedilatildeo ainda estaacute incompleto Poreacutem a situaccedilatildeo eacute menos limitada no contexto da
teoda de cordas Neste caso a entropia dos buracos negros extremos e quase-ex iremos
pode ser calculada considerando a presenccedila de Dwbranas proacuteximas ao horiacutezonte de evenshy
tos [2] No acoplamento fraco estas D-branas satildeo descritas por uma teoria de gauge
supersimeacutetrica na qual eacute possiacutevel contar os estados relevantes para a entropia Jaacute que as
D-hr(1nas estatildeo localiacutezadas proacuteximas ao hotilderizonte as singuladdades no interiacuteor do buraco
negro ainda nacirco foram tratadas completamente na teoria de cordas poreacutem haacute algumas
tentativas neste contexto ~31_
As singularidades que datildeo lugar aos buracos negros manifestam-se no tensor de curvashy
tura O efeito deste tipo de singularidade na evoluccedilatildeo quacircntica de partiacuteculas foi estudado
recentemente em 14] Neste caso o argumento principal eacute que uma partiacutecula movendo-se
num espaccedilo-tempo que eacute geodesicamente incompleto possui uma evoluccedilatildeo quacircntica bem
3
j
definida desde que Q operador Hamiltoniano seja essencialmente auto-adjunto
Haacute j tambeacutem um outro tipo de singularidade em que o tensor de curvatura natildeo se torna
singular Isto acontece quando a meacutetrica eacute degenerada isto eacute quando natildeo possui inversa
leste caso) se a meacutetrica eacute degenerada em um conjunto de medida zero 1e) se ocorre em
pontos isolados do espaccedilOl entatildeo a curvatura natildeo diverge e a topologia do espaccedilo-tempo
pode mudar [5j Este tipo de singllaridade eacute tamheacutem compatiacutevel com a estrutura causal
do espaccedilo-tempo [6j
[ As meacutetricas degeneradas aparecem na relatividade geral na formulaccedilatildeo de Palatini
onde a accedilatildeo eacute definida em termos das tetradas e da conexatildeo de Lorentz ~esta formulaccedilatildeo)
a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo dependem do inverso da tetrada e assim satildeo bem
definidas mesmo quando a letrada eacute degenerada [5]
gm uma outra situaccedilatildeo as meacutetriacutecas degeneradas tambeacutem aparecem CQmo meacutetdcas
induidas em hlpersuperfiacuteciacutees nulas [7] sendo a geometria da hipersuperffcie considerada
sob o ponto de vista do espaccedilo alvo ou seja sob o ponto de vista extriacutenseco agrave hipershy
superfiacutecie Neste aspecto a meacutetrica do espaccedilo alvo que natildeo eacute degenerada) se relaciona
com a meacutetrica da hipersuperfiacutecie imersa neste espaccedilo )festa condiccedilatildeo eacute possiacutevel definir
uma meacutetrIacuteca inversa estendida para a hipersuperfiacutede nula Por outro lado) as meacutetricas
degeneradas podem ser consideradas sob o ponto de vista intriacutenseco) ou seja) consideradas
exclusivamente sob a hipersuperficie em que estatildeo definidas sem reconer a imersotildees em es~
paccedilos com dimensatildeo superior agrave hipersuperfiacutecie Definidas desta forma tornam-se meacutetricas
auxiliares para o estudo da radiaccedilatildeo gravitacional [B] sendo que em quatro dimensotildees satildeo
Ineacutetricas de posto trecircs
Em outros contextos temos a presen~a de tetradas e as generalizaccedilotildees destas para
outras dimensotildees que denominam-se v-ielbeins que tambeacutem satildeo degenerados Neste asshy
pecto) haacute a formulaccedilatildeo de Ashtekar da relatividade geral~ que utiliza um espaccedilo de fase
com Vltlttaacuteveis complexas definidas por meiacuteo de uma teoria de gauge do tipo Yang-Mills
4
com grupo 80(3) [9] O formalismo de Ashtekal permanece bem definido quando a
meacutetrica obtida na sua formulaccedilatildeo eacute degenerada Devido a esta propriedade da meacutetrica
muitas questotildees relativas a esta formulaccedilatildeo continuam sendo objeto de pesquisa recente
[lO~ Aleacutem da formuLaccedilatildeo de Ashtekal existem outras teorias da gravitaccedilatildeo em duas e
trecircs dimensotildees que podem SeI fOlmuladas como teorias de gauge topoloacutegicas do tipo BF
e de Chern-Simons [l1J Como um exemplo de uma teoria abeliana do tipo BF devemos
ter uma accedilatildeo em uma variedade lvf com dimensatildeo arbitraacuteria independente do tensor
meacutetrico e escrita em termos de campos na formulaccedilatildeo das formas diferenciais Esta accedilatildeo
iraacute fornecer uma descriccedilatildeo da cohomologia de de Rham sobre M (121 Estas teorias surshy
gem tambeacutem como uma generalizaccedilatildeo da teoria de Chern~Sjmons para dimensotildees maiores
que trecircs permitindo ohter genetalizaccedilotildees dos invariantes topoloacutegicos na teoria dos noacutes
obtidos inicialmente em [13] As teorias topoloacutegicas estatildeo envolvidas numa descriccedilatildeo de
uma fase topoloacutegica da gravitaccedilatildeo quacircntica na qual a tetrada se anula e a invariacuteacircncia por
difeomorfismo eacute quebrada l14] Adicionalmente as teorias topoloacutegicas foram recentemenmiddot
te utilizadas com um meio auxiliar de se obter soluccedilotildees degeneradas na relatividade geral
[15]
No contexto da teoria de cordas foi demonstrado que cordas podem se propagar em
campos de fundo gravitacionais degenerados Quando as coordenadas da corda satisfazem
determinadas condiccedilotildees a meacutetrica eacute degenerada de posto um [16] Sabemos tambeacutem)
que p-branas portandotildefie como instantons satildeo descritas por uma meacutetrica degenerada na
hiacutepersuperfkiacutee de evoluccedilatildeo [17] Cordas com tensatildeo nula [18] e D-branas com tensatildeo nula
[19Jj sacirco tambeacutem descritas por uma accedilatildeo que euvolve meacutetricas degeneradas Neste caso) a
accedilatildeo eacute construiacuteda na formulaccedilagraveo de primeira ordem Le Hnear com respeito agraves derivadas
das coordenadas do espaccedilo alvo sendo que a meacutetrica auxiliar eacute degenerada e natildeo o campo
de fundo gravitacionaL A forma da meacutetrica degenerada eacute do tipo gll11 = EE 11A B com
E formando matrizes natildeo quadradas e retratando uma imersatildeo que implica num espaccedilo
5
i
tangente ~om meacutetrica IJAl1 e dimensatildeo menor que a da hiacutepersuperfiacutecie de evoluccedilatildeo
Tudo o que consideramos ateacute o momento indica que as meacutetricas degeneradas podem
ter um pape) importante na gravitaccedilatildeo quacircntica Num tratamento em niacutevel claacutessico a
principal consequecircncia das meacutetricas degeneradas eacute permitir a mudanccedila de topologia do
espaccedilo-tempo 15] Poreacutem como natildeo observamos este processo diretamente deve exiacutestir
algum mecanismo que o suprime provavelmente em niacutevel quacircntico Por outro lado o
comportamento da mateacuteria num espaccedilo-tempo com meacutetrica degenerada natildeo tem sido
propriamente explorado Para o caso das teorias de campo topoloacutegicas natildeo haacute presenccedila
de meacutetricas na accedilatildeo dos modelos assim espaccedil-O-tempos com meacutetricas degeneradas podem
ser considerados nestas teorias No entanto quando consideramos campos de mateacuteria com
telmos cineacuteticos o acoplamento da gravitaccedilatildeo requer a introduccedilatildeo de campos tensoriais
contravariantes O exemplo mais simples eacute a accedilatildeo do campo escalar que depende do inverso
da meacutetrica Para tratar estes casos foi proposto um procedimento (20 que natildeo necessita de
campos tensotiais contravariantes e assim satildeo obtidas accedilotildees numa formulaccedilatildeo estendida
que admite tetradas degeneradas aleacutem de conter o limiacutete origina da teoria quando a
tetrada eacute inversiacuteveL
Uma importante classe de mateacuteria que pode ser acoplada ao tensol meacutetrico) ecirc cons~
tituiacuteda por partiacuteculas e cordas [21J A accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento das partiacuteculas e
cordas natildeo dependem do inverso da meacutetrica e satildeo bem definidas mesmo quando a meacutetrica
se torna degenerada Nesta tese iremos considerar a dinacircmica de partiacuteculas e cordas
movendo-se em espaccedil~ ou espaccedilo-tempos com uma meacutetrica degenerada Os espaccedilos em
estudo estatildeo associados a regiotildees com meacutetrica degenerada em toda extensatildeo Analisareshy
mos 3 ehtrutura dos viacutenculos impostos pela meacutetrica degenerada e encontraremos os graus
de liberdade efetiVuacutes que descrevem o movimento de partiacuteculas e cordas Desta forma
obteremos a dinacircmica efetiva para partiacuteculas e cordas em movimento num campo de funshy
do gravftacional degenerado Iremos ccedilonsiderar inicialmente a partiacutecula natildeo relativiacutestica
6
no Capiacutetulo 2 Este capiacutetulo seraacute desenvolvido em detalhes visto que a anaacutelise dos
viacutenculos contida nos capiacutetulos seguintes teratildeo alguns aspectos similares aos da partiacutecula
natildeo relativiacutestica Demonstramos tambeacutem que as isometrias da meacutetrica degenerada estatildeo
associadas agraves simetrias locais geradas pelos viacutenculos de primeira classe No Capiacutetulo 3
estudaremos a partiacutecula relativiacutestica e no Capiacutetulo 4 a corda bosocircnica Neste capiacutetulo disshy
cutimos tambeacutem alguns aspectos em aberto da quantizaccedilatildeo da corda em campos de fundo
gravitacional degenerados No Capiacutetulo 5 apresentaremos algumas observaccedilotildees finais e
conclusotildees bem como algumas questotildees que poderatildeo ser exploradas no futuro
7
Capiacutetulo 2
A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido
objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa
ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees
de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar
nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada
surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo
dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de
Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados
e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial
O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy
toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo
que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de
viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso
da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL
Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem
8
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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i
bull1 bull i Abstract
In this work we study the dynamics af partides and strings in a gravitational field with
degenerate metric Ve use the Hamiacuteltonian formalism to find out the constraIacutents and the
effective dynamics of the system We classiacutefy tne constraint structure accolding to the
form af the metriacutec and the space(time) dimensiono We a150 obtain the representation of
the symmetries in terms Df the isometries generated by the nuH eigenvectors of the metriacutec
Agradecimentos
Eacute com grande satisfaccedilatildeo que chego a esta etapa da minha formaccedilatildeo para prestar a
muitas pessoas os meus sinceros agradecimentos
Agradeccedilo com muita satisfaccedilatildeo
Ao meu orientador o Prof Rivelles1 que me acompanhou em todas as fases deste
trabalho prestando toda ajuda necessaacuteria nos momentos mais importantes do projeto
Aos funcionaacuteriacuteos do departamento pelo auxiacuteliacuteo durante a minha permanecircncia 00
lFUSP
Aos colegas de vaacuterios projetos - Leocircnidas Mocircnica Otaacutevio) Marcelo Luiz Cacircndido e
outros
Agraves amigas que me deram incentiacutevo (onstante - Sandra Joana) Liacutelian Siacutelvia Andreacuteiacutea
Dolares e Stela
A todos os meus familiares que me transmitiram alegria e esperanccedila
Agrave CamUa e agrave Clara pela dedicaccedilatildeo c paciecircncia em toda a nossa existecircncia
Agrave FAPESP pelo auxiacutelio financeiro
Conteuacutedo
1 Introduccedilatildeo 3
2 A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica 8
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Graviacutetadonal Natildeo Degenerado 9
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Graviacutetadonal Degenerado 11
23 Vetores de Base Integraacuteveis 14
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis 15
241 D - r Par 15
242 D - r Iacutempr 16
25 (aso 11p O 17
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Clalse com Meacutetricas Degeneradas __ 20
3 A Partiacutecula Relativiacutestica 23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 24
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitadonal Degenerado 26
321 (aso D - r Par 29
322 Caso D - 7 Iacutempar 30
4 A Corda Bosocircnica 37
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitashy
danais l8
1
42 Formalismo Hamiltoniano 41
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 41
422 Campo de Fundo Graviacutetacional Degenerado 43
423 GaioD-rPar 48
424 Caso D - r Iacutempar 50
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeiacutera Classe 54
44 Invariacircnda Confonne em Niacutevel Quacircntico 56
5 Conclusatildeo 59
A Propriedades dos Auto~Vetores Nulos em D - r iacutempar 61
B Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada
e Viacutenculos Secundaacuterios 65
C Deduccedilatildeo da Aacutelgebra dos Viacutenculos para a Corda 72
2
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
As singulatidades tecircm um papel fundamental na relatividade geral [1] Entretanto
natildeo estaacute claro como iacutencorporaacuteAas em uma teoria quacircntka da gravitaccedilatildeo_ As singularishy
dades do espaccedilo-tempo tecircm uma caracteriacutestica importante na gravitaccedilatildeo quacircntica como
demonstrado em processos envolvendo a radiaccedilatildeo teacutermka de Hawking No entanto o
nosso conhecimento atual para descrever o processo da evaporaccedilatildeo de buracos negros ateacute
a sua extinccedilatildeo ainda estaacute incompleto Poreacutem a situaccedilatildeo eacute menos limitada no contexto da
teoda de cordas Neste caso a entropia dos buracos negros extremos e quase-ex iremos
pode ser calculada considerando a presenccedila de Dwbranas proacuteximas ao horiacutezonte de evenshy
tos [2] No acoplamento fraco estas D-branas satildeo descritas por uma teoria de gauge
supersimeacutetrica na qual eacute possiacutevel contar os estados relevantes para a entropia Jaacute que as
D-hr(1nas estatildeo localiacutezadas proacuteximas ao hotilderizonte as singuladdades no interiacuteor do buraco
negro ainda nacirco foram tratadas completamente na teoria de cordas poreacutem haacute algumas
tentativas neste contexto ~31_
As singularidades que datildeo lugar aos buracos negros manifestam-se no tensor de curvashy
tura O efeito deste tipo de singularidade na evoluccedilatildeo quacircntica de partiacuteculas foi estudado
recentemente em 14] Neste caso o argumento principal eacute que uma partiacutecula movendo-se
num espaccedilo-tempo que eacute geodesicamente incompleto possui uma evoluccedilatildeo quacircntica bem
3
j
definida desde que Q operador Hamiltoniano seja essencialmente auto-adjunto
Haacute j tambeacutem um outro tipo de singularidade em que o tensor de curvatura natildeo se torna
singular Isto acontece quando a meacutetrica eacute degenerada isto eacute quando natildeo possui inversa
leste caso) se a meacutetrica eacute degenerada em um conjunto de medida zero 1e) se ocorre em
pontos isolados do espaccedilOl entatildeo a curvatura natildeo diverge e a topologia do espaccedilo-tempo
pode mudar [5j Este tipo de singllaridade eacute tamheacutem compatiacutevel com a estrutura causal
do espaccedilo-tempo [6j
[ As meacutetricas degeneradas aparecem na relatividade geral na formulaccedilatildeo de Palatini
onde a accedilatildeo eacute definida em termos das tetradas e da conexatildeo de Lorentz ~esta formulaccedilatildeo)
a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo dependem do inverso da tetrada e assim satildeo bem
definidas mesmo quando a letrada eacute degenerada [5]
gm uma outra situaccedilatildeo as meacutetriacutecas degeneradas tambeacutem aparecem CQmo meacutetdcas
induidas em hlpersuperfiacuteciacutees nulas [7] sendo a geometria da hipersuperffcie considerada
sob o ponto de vista do espaccedilo alvo ou seja sob o ponto de vista extriacutenseco agrave hipershy
superfiacutecie Neste aspecto a meacutetrica do espaccedilo alvo que natildeo eacute degenerada) se relaciona
com a meacutetrica da hipersuperfiacutecie imersa neste espaccedilo )festa condiccedilatildeo eacute possiacutevel definir
uma meacutetrIacuteca inversa estendida para a hipersuperfiacutede nula Por outro lado) as meacutetricas
degeneradas podem ser consideradas sob o ponto de vista intriacutenseco) ou seja) consideradas
exclusivamente sob a hipersuperficie em que estatildeo definidas sem reconer a imersotildees em es~
paccedilos com dimensatildeo superior agrave hipersuperfiacutecie Definidas desta forma tornam-se meacutetricas
auxiliares para o estudo da radiaccedilatildeo gravitacional [B] sendo que em quatro dimensotildees satildeo
Ineacutetricas de posto trecircs
Em outros contextos temos a presen~a de tetradas e as generalizaccedilotildees destas para
outras dimensotildees que denominam-se v-ielbeins que tambeacutem satildeo degenerados Neste asshy
pecto) haacute a formulaccedilatildeo de Ashtekar da relatividade geral~ que utiliza um espaccedilo de fase
com Vltlttaacuteveis complexas definidas por meiacuteo de uma teoria de gauge do tipo Yang-Mills
4
com grupo 80(3) [9] O formalismo de Ashtekal permanece bem definido quando a
meacutetrica obtida na sua formulaccedilatildeo eacute degenerada Devido a esta propriedade da meacutetrica
muitas questotildees relativas a esta formulaccedilatildeo continuam sendo objeto de pesquisa recente
[lO~ Aleacutem da formuLaccedilatildeo de Ashtekal existem outras teorias da gravitaccedilatildeo em duas e
trecircs dimensotildees que podem SeI fOlmuladas como teorias de gauge topoloacutegicas do tipo BF
e de Chern-Simons [l1J Como um exemplo de uma teoria abeliana do tipo BF devemos
ter uma accedilatildeo em uma variedade lvf com dimensatildeo arbitraacuteria independente do tensor
meacutetrico e escrita em termos de campos na formulaccedilatildeo das formas diferenciais Esta accedilatildeo
iraacute fornecer uma descriccedilatildeo da cohomologia de de Rham sobre M (121 Estas teorias surshy
gem tambeacutem como uma generalizaccedilatildeo da teoria de Chern~Sjmons para dimensotildees maiores
que trecircs permitindo ohter genetalizaccedilotildees dos invariantes topoloacutegicos na teoria dos noacutes
obtidos inicialmente em [13] As teorias topoloacutegicas estatildeo envolvidas numa descriccedilatildeo de
uma fase topoloacutegica da gravitaccedilatildeo quacircntica na qual a tetrada se anula e a invariacuteacircncia por
difeomorfismo eacute quebrada l14] Adicionalmente as teorias topoloacutegicas foram recentemenmiddot
te utilizadas com um meio auxiliar de se obter soluccedilotildees degeneradas na relatividade geral
[15]
No contexto da teoria de cordas foi demonstrado que cordas podem se propagar em
campos de fundo gravitacionais degenerados Quando as coordenadas da corda satisfazem
determinadas condiccedilotildees a meacutetrica eacute degenerada de posto um [16] Sabemos tambeacutem)
que p-branas portandotildefie como instantons satildeo descritas por uma meacutetrica degenerada na
hiacutepersuperfkiacutee de evoluccedilatildeo [17] Cordas com tensatildeo nula [18] e D-branas com tensatildeo nula
[19Jj sacirco tambeacutem descritas por uma accedilatildeo que euvolve meacutetricas degeneradas Neste caso) a
accedilatildeo eacute construiacuteda na formulaccedilagraveo de primeira ordem Le Hnear com respeito agraves derivadas
das coordenadas do espaccedilo alvo sendo que a meacutetrica auxiliar eacute degenerada e natildeo o campo
de fundo gravitacionaL A forma da meacutetrica degenerada eacute do tipo gll11 = EE 11A B com
E formando matrizes natildeo quadradas e retratando uma imersatildeo que implica num espaccedilo
5
i
tangente ~om meacutetrica IJAl1 e dimensatildeo menor que a da hiacutepersuperfiacutecie de evoluccedilatildeo
Tudo o que consideramos ateacute o momento indica que as meacutetricas degeneradas podem
ter um pape) importante na gravitaccedilatildeo quacircntica Num tratamento em niacutevel claacutessico a
principal consequecircncia das meacutetricas degeneradas eacute permitir a mudanccedila de topologia do
espaccedilo-tempo 15] Poreacutem como natildeo observamos este processo diretamente deve exiacutestir
algum mecanismo que o suprime provavelmente em niacutevel quacircntico Por outro lado o
comportamento da mateacuteria num espaccedilo-tempo com meacutetrica degenerada natildeo tem sido
propriamente explorado Para o caso das teorias de campo topoloacutegicas natildeo haacute presenccedila
de meacutetricas na accedilatildeo dos modelos assim espaccedil-O-tempos com meacutetricas degeneradas podem
ser considerados nestas teorias No entanto quando consideramos campos de mateacuteria com
telmos cineacuteticos o acoplamento da gravitaccedilatildeo requer a introduccedilatildeo de campos tensoriais
contravariantes O exemplo mais simples eacute a accedilatildeo do campo escalar que depende do inverso
da meacutetrica Para tratar estes casos foi proposto um procedimento (20 que natildeo necessita de
campos tensotiais contravariantes e assim satildeo obtidas accedilotildees numa formulaccedilatildeo estendida
que admite tetradas degeneradas aleacutem de conter o limiacutete origina da teoria quando a
tetrada eacute inversiacuteveL
Uma importante classe de mateacuteria que pode ser acoplada ao tensol meacutetrico) ecirc cons~
tituiacuteda por partiacuteculas e cordas [21J A accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento das partiacuteculas e
cordas natildeo dependem do inverso da meacutetrica e satildeo bem definidas mesmo quando a meacutetrica
se torna degenerada Nesta tese iremos considerar a dinacircmica de partiacuteculas e cordas
movendo-se em espaccedil~ ou espaccedilo-tempos com uma meacutetrica degenerada Os espaccedilos em
estudo estatildeo associados a regiotildees com meacutetrica degenerada em toda extensatildeo Analisareshy
mos 3 ehtrutura dos viacutenculos impostos pela meacutetrica degenerada e encontraremos os graus
de liberdade efetiVuacutes que descrevem o movimento de partiacuteculas e cordas Desta forma
obteremos a dinacircmica efetiva para partiacuteculas e cordas em movimento num campo de funshy
do gravftacional degenerado Iremos ccedilonsiderar inicialmente a partiacutecula natildeo relativiacutestica
6
no Capiacutetulo 2 Este capiacutetulo seraacute desenvolvido em detalhes visto que a anaacutelise dos
viacutenculos contida nos capiacutetulos seguintes teratildeo alguns aspectos similares aos da partiacutecula
natildeo relativiacutestica Demonstramos tambeacutem que as isometrias da meacutetrica degenerada estatildeo
associadas agraves simetrias locais geradas pelos viacutenculos de primeira classe No Capiacutetulo 3
estudaremos a partiacutecula relativiacutestica e no Capiacutetulo 4 a corda bosocircnica Neste capiacutetulo disshy
cutimos tambeacutem alguns aspectos em aberto da quantizaccedilatildeo da corda em campos de fundo
gravitacional degenerados No Capiacutetulo 5 apresentaremos algumas observaccedilotildees finais e
conclusotildees bem como algumas questotildees que poderatildeo ser exploradas no futuro
7
Capiacutetulo 2
A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido
objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa
ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees
de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar
nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada
surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo
dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de
Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados
e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial
O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy
toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo
que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de
viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso
da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL
Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem
8
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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Quant Grav 9 L 119 (1992)
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B 311 46 (1988) K 1Ier e C Trungenberger Phys Rv Lett 63 834 (1989)
A Chamseddine e D Wyler Phys Let B228 75 (1989) D Cangemi e R Jacldw
Phys Rev Lett 69 233 (1992)
12) M Blau e G Thompon Ann Phys 205 (1991) 130
113) E Wiacutetten Cnmm Malh Phys 121 (1989) 351
(14) E Witlen Comm Math Phys 117353 (1938)
115] JC Baez Commun Math Phys 193 (1998) 210
[16) O A Mattos e V O Rivelles pnys Rev LIt 70 1583 (1993)
[17) R P Zaikov Phys Letl B263 (1991) 206
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119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U
Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
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(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
Agradecimentos
Eacute com grande satisfaccedilatildeo que chego a esta etapa da minha formaccedilatildeo para prestar a
muitas pessoas os meus sinceros agradecimentos
Agradeccedilo com muita satisfaccedilatildeo
Ao meu orientador o Prof Rivelles1 que me acompanhou em todas as fases deste
trabalho prestando toda ajuda necessaacuteria nos momentos mais importantes do projeto
Aos funcionaacuteriacuteos do departamento pelo auxiacuteliacuteo durante a minha permanecircncia 00
lFUSP
Aos colegas de vaacuterios projetos - Leocircnidas Mocircnica Otaacutevio) Marcelo Luiz Cacircndido e
outros
Agraves amigas que me deram incentiacutevo (onstante - Sandra Joana) Liacutelian Siacutelvia Andreacuteiacutea
Dolares e Stela
A todos os meus familiares que me transmitiram alegria e esperanccedila
Agrave CamUa e agrave Clara pela dedicaccedilatildeo c paciecircncia em toda a nossa existecircncia
Agrave FAPESP pelo auxiacutelio financeiro
Conteuacutedo
1 Introduccedilatildeo 3
2 A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica 8
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Graviacutetadonal Natildeo Degenerado 9
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Graviacutetadonal Degenerado 11
23 Vetores de Base Integraacuteveis 14
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis 15
241 D - r Par 15
242 D - r Iacutempr 16
25 (aso 11p O 17
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Clalse com Meacutetricas Degeneradas __ 20
3 A Partiacutecula Relativiacutestica 23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 24
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitadonal Degenerado 26
321 (aso D - r Par 29
322 Caso D - 7 Iacutempar 30
4 A Corda Bosocircnica 37
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitashy
danais l8
1
42 Formalismo Hamiltoniano 41
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 41
422 Campo de Fundo Graviacutetacional Degenerado 43
423 GaioD-rPar 48
424 Caso D - r Iacutempar 50
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeiacutera Classe 54
44 Invariacircnda Confonne em Niacutevel Quacircntico 56
5 Conclusatildeo 59
A Propriedades dos Auto~Vetores Nulos em D - r iacutempar 61
B Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada
e Viacutenculos Secundaacuterios 65
C Deduccedilatildeo da Aacutelgebra dos Viacutenculos para a Corda 72
2
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
As singulatidades tecircm um papel fundamental na relatividade geral [1] Entretanto
natildeo estaacute claro como iacutencorporaacuteAas em uma teoria quacircntka da gravitaccedilatildeo_ As singularishy
dades do espaccedilo-tempo tecircm uma caracteriacutestica importante na gravitaccedilatildeo quacircntica como
demonstrado em processos envolvendo a radiaccedilatildeo teacutermka de Hawking No entanto o
nosso conhecimento atual para descrever o processo da evaporaccedilatildeo de buracos negros ateacute
a sua extinccedilatildeo ainda estaacute incompleto Poreacutem a situaccedilatildeo eacute menos limitada no contexto da
teoda de cordas Neste caso a entropia dos buracos negros extremos e quase-ex iremos
pode ser calculada considerando a presenccedila de Dwbranas proacuteximas ao horiacutezonte de evenshy
tos [2] No acoplamento fraco estas D-branas satildeo descritas por uma teoria de gauge
supersimeacutetrica na qual eacute possiacutevel contar os estados relevantes para a entropia Jaacute que as
D-hr(1nas estatildeo localiacutezadas proacuteximas ao hotilderizonte as singuladdades no interiacuteor do buraco
negro ainda nacirco foram tratadas completamente na teoria de cordas poreacutem haacute algumas
tentativas neste contexto ~31_
As singularidades que datildeo lugar aos buracos negros manifestam-se no tensor de curvashy
tura O efeito deste tipo de singularidade na evoluccedilatildeo quacircntica de partiacuteculas foi estudado
recentemente em 14] Neste caso o argumento principal eacute que uma partiacutecula movendo-se
num espaccedilo-tempo que eacute geodesicamente incompleto possui uma evoluccedilatildeo quacircntica bem
3
j
definida desde que Q operador Hamiltoniano seja essencialmente auto-adjunto
Haacute j tambeacutem um outro tipo de singularidade em que o tensor de curvatura natildeo se torna
singular Isto acontece quando a meacutetrica eacute degenerada isto eacute quando natildeo possui inversa
leste caso) se a meacutetrica eacute degenerada em um conjunto de medida zero 1e) se ocorre em
pontos isolados do espaccedilOl entatildeo a curvatura natildeo diverge e a topologia do espaccedilo-tempo
pode mudar [5j Este tipo de singllaridade eacute tamheacutem compatiacutevel com a estrutura causal
do espaccedilo-tempo [6j
[ As meacutetricas degeneradas aparecem na relatividade geral na formulaccedilatildeo de Palatini
onde a accedilatildeo eacute definida em termos das tetradas e da conexatildeo de Lorentz ~esta formulaccedilatildeo)
a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo dependem do inverso da tetrada e assim satildeo bem
definidas mesmo quando a letrada eacute degenerada [5]
gm uma outra situaccedilatildeo as meacutetriacutecas degeneradas tambeacutem aparecem CQmo meacutetdcas
induidas em hlpersuperfiacuteciacutees nulas [7] sendo a geometria da hipersuperffcie considerada
sob o ponto de vista do espaccedilo alvo ou seja sob o ponto de vista extriacutenseco agrave hipershy
superfiacutecie Neste aspecto a meacutetrica do espaccedilo alvo que natildeo eacute degenerada) se relaciona
com a meacutetrica da hipersuperfiacutecie imersa neste espaccedilo )festa condiccedilatildeo eacute possiacutevel definir
uma meacutetrIacuteca inversa estendida para a hipersuperfiacutede nula Por outro lado) as meacutetricas
degeneradas podem ser consideradas sob o ponto de vista intriacutenseco) ou seja) consideradas
exclusivamente sob a hipersuperficie em que estatildeo definidas sem reconer a imersotildees em es~
paccedilos com dimensatildeo superior agrave hipersuperfiacutecie Definidas desta forma tornam-se meacutetricas
auxiliares para o estudo da radiaccedilatildeo gravitacional [B] sendo que em quatro dimensotildees satildeo
Ineacutetricas de posto trecircs
Em outros contextos temos a presen~a de tetradas e as generalizaccedilotildees destas para
outras dimensotildees que denominam-se v-ielbeins que tambeacutem satildeo degenerados Neste asshy
pecto) haacute a formulaccedilatildeo de Ashtekar da relatividade geral~ que utiliza um espaccedilo de fase
com Vltlttaacuteveis complexas definidas por meiacuteo de uma teoria de gauge do tipo Yang-Mills
4
com grupo 80(3) [9] O formalismo de Ashtekal permanece bem definido quando a
meacutetrica obtida na sua formulaccedilatildeo eacute degenerada Devido a esta propriedade da meacutetrica
muitas questotildees relativas a esta formulaccedilatildeo continuam sendo objeto de pesquisa recente
[lO~ Aleacutem da formuLaccedilatildeo de Ashtekal existem outras teorias da gravitaccedilatildeo em duas e
trecircs dimensotildees que podem SeI fOlmuladas como teorias de gauge topoloacutegicas do tipo BF
e de Chern-Simons [l1J Como um exemplo de uma teoria abeliana do tipo BF devemos
ter uma accedilatildeo em uma variedade lvf com dimensatildeo arbitraacuteria independente do tensor
meacutetrico e escrita em termos de campos na formulaccedilatildeo das formas diferenciais Esta accedilatildeo
iraacute fornecer uma descriccedilatildeo da cohomologia de de Rham sobre M (121 Estas teorias surshy
gem tambeacutem como uma generalizaccedilatildeo da teoria de Chern~Sjmons para dimensotildees maiores
que trecircs permitindo ohter genetalizaccedilotildees dos invariantes topoloacutegicos na teoria dos noacutes
obtidos inicialmente em [13] As teorias topoloacutegicas estatildeo envolvidas numa descriccedilatildeo de
uma fase topoloacutegica da gravitaccedilatildeo quacircntica na qual a tetrada se anula e a invariacuteacircncia por
difeomorfismo eacute quebrada l14] Adicionalmente as teorias topoloacutegicas foram recentemenmiddot
te utilizadas com um meio auxiliar de se obter soluccedilotildees degeneradas na relatividade geral
[15]
No contexto da teoria de cordas foi demonstrado que cordas podem se propagar em
campos de fundo gravitacionais degenerados Quando as coordenadas da corda satisfazem
determinadas condiccedilotildees a meacutetrica eacute degenerada de posto um [16] Sabemos tambeacutem)
que p-branas portandotildefie como instantons satildeo descritas por uma meacutetrica degenerada na
hiacutepersuperfkiacutee de evoluccedilatildeo [17] Cordas com tensatildeo nula [18] e D-branas com tensatildeo nula
[19Jj sacirco tambeacutem descritas por uma accedilatildeo que euvolve meacutetricas degeneradas Neste caso) a
accedilatildeo eacute construiacuteda na formulaccedilagraveo de primeira ordem Le Hnear com respeito agraves derivadas
das coordenadas do espaccedilo alvo sendo que a meacutetrica auxiliar eacute degenerada e natildeo o campo
de fundo gravitacionaL A forma da meacutetrica degenerada eacute do tipo gll11 = EE 11A B com
E formando matrizes natildeo quadradas e retratando uma imersatildeo que implica num espaccedilo
5
i
tangente ~om meacutetrica IJAl1 e dimensatildeo menor que a da hiacutepersuperfiacutecie de evoluccedilatildeo
Tudo o que consideramos ateacute o momento indica que as meacutetricas degeneradas podem
ter um pape) importante na gravitaccedilatildeo quacircntica Num tratamento em niacutevel claacutessico a
principal consequecircncia das meacutetricas degeneradas eacute permitir a mudanccedila de topologia do
espaccedilo-tempo 15] Poreacutem como natildeo observamos este processo diretamente deve exiacutestir
algum mecanismo que o suprime provavelmente em niacutevel quacircntico Por outro lado o
comportamento da mateacuteria num espaccedilo-tempo com meacutetrica degenerada natildeo tem sido
propriamente explorado Para o caso das teorias de campo topoloacutegicas natildeo haacute presenccedila
de meacutetricas na accedilatildeo dos modelos assim espaccedil-O-tempos com meacutetricas degeneradas podem
ser considerados nestas teorias No entanto quando consideramos campos de mateacuteria com
telmos cineacuteticos o acoplamento da gravitaccedilatildeo requer a introduccedilatildeo de campos tensoriais
contravariantes O exemplo mais simples eacute a accedilatildeo do campo escalar que depende do inverso
da meacutetrica Para tratar estes casos foi proposto um procedimento (20 que natildeo necessita de
campos tensotiais contravariantes e assim satildeo obtidas accedilotildees numa formulaccedilatildeo estendida
que admite tetradas degeneradas aleacutem de conter o limiacutete origina da teoria quando a
tetrada eacute inversiacuteveL
Uma importante classe de mateacuteria que pode ser acoplada ao tensol meacutetrico) ecirc cons~
tituiacuteda por partiacuteculas e cordas [21J A accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento das partiacuteculas e
cordas natildeo dependem do inverso da meacutetrica e satildeo bem definidas mesmo quando a meacutetrica
se torna degenerada Nesta tese iremos considerar a dinacircmica de partiacuteculas e cordas
movendo-se em espaccedil~ ou espaccedilo-tempos com uma meacutetrica degenerada Os espaccedilos em
estudo estatildeo associados a regiotildees com meacutetrica degenerada em toda extensatildeo Analisareshy
mos 3 ehtrutura dos viacutenculos impostos pela meacutetrica degenerada e encontraremos os graus
de liberdade efetiVuacutes que descrevem o movimento de partiacuteculas e cordas Desta forma
obteremos a dinacircmica efetiva para partiacuteculas e cordas em movimento num campo de funshy
do gravftacional degenerado Iremos ccedilonsiderar inicialmente a partiacutecula natildeo relativiacutestica
6
no Capiacutetulo 2 Este capiacutetulo seraacute desenvolvido em detalhes visto que a anaacutelise dos
viacutenculos contida nos capiacutetulos seguintes teratildeo alguns aspectos similares aos da partiacutecula
natildeo relativiacutestica Demonstramos tambeacutem que as isometrias da meacutetrica degenerada estatildeo
associadas agraves simetrias locais geradas pelos viacutenculos de primeira classe No Capiacutetulo 3
estudaremos a partiacutecula relativiacutestica e no Capiacutetulo 4 a corda bosocircnica Neste capiacutetulo disshy
cutimos tambeacutem alguns aspectos em aberto da quantizaccedilatildeo da corda em campos de fundo
gravitacional degenerados No Capiacutetulo 5 apresentaremos algumas observaccedilotildees finais e
conclusotildees bem como algumas questotildees que poderatildeo ser exploradas no futuro
7
Capiacutetulo 2
A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido
objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa
ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees
de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar
nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada
surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo
dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de
Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados
e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial
O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy
toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo
que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de
viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso
da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL
Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem
8
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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Conteuacutedo
1 Introduccedilatildeo 3
2 A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica 8
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Graviacutetadonal Natildeo Degenerado 9
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Graviacutetadonal Degenerado 11
23 Vetores de Base Integraacuteveis 14
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis 15
241 D - r Par 15
242 D - r Iacutempr 16
25 (aso 11p O 17
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Clalse com Meacutetricas Degeneradas __ 20
3 A Partiacutecula Relativiacutestica 23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 24
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitadonal Degenerado 26
321 (aso D - r Par 29
322 Caso D - 7 Iacutempar 30
4 A Corda Bosocircnica 37
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitashy
danais l8
1
42 Formalismo Hamiltoniano 41
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 41
422 Campo de Fundo Graviacutetacional Degenerado 43
423 GaioD-rPar 48
424 Caso D - r Iacutempar 50
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeiacutera Classe 54
44 Invariacircnda Confonne em Niacutevel Quacircntico 56
5 Conclusatildeo 59
A Propriedades dos Auto~Vetores Nulos em D - r iacutempar 61
B Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada
e Viacutenculos Secundaacuterios 65
C Deduccedilatildeo da Aacutelgebra dos Viacutenculos para a Corda 72
2
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
As singulatidades tecircm um papel fundamental na relatividade geral [1] Entretanto
natildeo estaacute claro como iacutencorporaacuteAas em uma teoria quacircntka da gravitaccedilatildeo_ As singularishy
dades do espaccedilo-tempo tecircm uma caracteriacutestica importante na gravitaccedilatildeo quacircntica como
demonstrado em processos envolvendo a radiaccedilatildeo teacutermka de Hawking No entanto o
nosso conhecimento atual para descrever o processo da evaporaccedilatildeo de buracos negros ateacute
a sua extinccedilatildeo ainda estaacute incompleto Poreacutem a situaccedilatildeo eacute menos limitada no contexto da
teoda de cordas Neste caso a entropia dos buracos negros extremos e quase-ex iremos
pode ser calculada considerando a presenccedila de Dwbranas proacuteximas ao horiacutezonte de evenshy
tos [2] No acoplamento fraco estas D-branas satildeo descritas por uma teoria de gauge
supersimeacutetrica na qual eacute possiacutevel contar os estados relevantes para a entropia Jaacute que as
D-hr(1nas estatildeo localiacutezadas proacuteximas ao hotilderizonte as singuladdades no interiacuteor do buraco
negro ainda nacirco foram tratadas completamente na teoria de cordas poreacutem haacute algumas
tentativas neste contexto ~31_
As singularidades que datildeo lugar aos buracos negros manifestam-se no tensor de curvashy
tura O efeito deste tipo de singularidade na evoluccedilatildeo quacircntica de partiacuteculas foi estudado
recentemente em 14] Neste caso o argumento principal eacute que uma partiacutecula movendo-se
num espaccedilo-tempo que eacute geodesicamente incompleto possui uma evoluccedilatildeo quacircntica bem
3
j
definida desde que Q operador Hamiltoniano seja essencialmente auto-adjunto
Haacute j tambeacutem um outro tipo de singularidade em que o tensor de curvatura natildeo se torna
singular Isto acontece quando a meacutetrica eacute degenerada isto eacute quando natildeo possui inversa
leste caso) se a meacutetrica eacute degenerada em um conjunto de medida zero 1e) se ocorre em
pontos isolados do espaccedilOl entatildeo a curvatura natildeo diverge e a topologia do espaccedilo-tempo
pode mudar [5j Este tipo de singllaridade eacute tamheacutem compatiacutevel com a estrutura causal
do espaccedilo-tempo [6j
[ As meacutetricas degeneradas aparecem na relatividade geral na formulaccedilatildeo de Palatini
onde a accedilatildeo eacute definida em termos das tetradas e da conexatildeo de Lorentz ~esta formulaccedilatildeo)
a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo dependem do inverso da tetrada e assim satildeo bem
definidas mesmo quando a letrada eacute degenerada [5]
gm uma outra situaccedilatildeo as meacutetriacutecas degeneradas tambeacutem aparecem CQmo meacutetdcas
induidas em hlpersuperfiacuteciacutees nulas [7] sendo a geometria da hipersuperffcie considerada
sob o ponto de vista do espaccedilo alvo ou seja sob o ponto de vista extriacutenseco agrave hipershy
superfiacutecie Neste aspecto a meacutetrica do espaccedilo alvo que natildeo eacute degenerada) se relaciona
com a meacutetrica da hipersuperfiacutecie imersa neste espaccedilo )festa condiccedilatildeo eacute possiacutevel definir
uma meacutetrIacuteca inversa estendida para a hipersuperfiacutede nula Por outro lado) as meacutetricas
degeneradas podem ser consideradas sob o ponto de vista intriacutenseco) ou seja) consideradas
exclusivamente sob a hipersuperficie em que estatildeo definidas sem reconer a imersotildees em es~
paccedilos com dimensatildeo superior agrave hipersuperfiacutecie Definidas desta forma tornam-se meacutetricas
auxiliares para o estudo da radiaccedilatildeo gravitacional [B] sendo que em quatro dimensotildees satildeo
Ineacutetricas de posto trecircs
Em outros contextos temos a presen~a de tetradas e as generalizaccedilotildees destas para
outras dimensotildees que denominam-se v-ielbeins que tambeacutem satildeo degenerados Neste asshy
pecto) haacute a formulaccedilatildeo de Ashtekar da relatividade geral~ que utiliza um espaccedilo de fase
com Vltlttaacuteveis complexas definidas por meiacuteo de uma teoria de gauge do tipo Yang-Mills
4
com grupo 80(3) [9] O formalismo de Ashtekal permanece bem definido quando a
meacutetrica obtida na sua formulaccedilatildeo eacute degenerada Devido a esta propriedade da meacutetrica
muitas questotildees relativas a esta formulaccedilatildeo continuam sendo objeto de pesquisa recente
[lO~ Aleacutem da formuLaccedilatildeo de Ashtekal existem outras teorias da gravitaccedilatildeo em duas e
trecircs dimensotildees que podem SeI fOlmuladas como teorias de gauge topoloacutegicas do tipo BF
e de Chern-Simons [l1J Como um exemplo de uma teoria abeliana do tipo BF devemos
ter uma accedilatildeo em uma variedade lvf com dimensatildeo arbitraacuteria independente do tensor
meacutetrico e escrita em termos de campos na formulaccedilatildeo das formas diferenciais Esta accedilatildeo
iraacute fornecer uma descriccedilatildeo da cohomologia de de Rham sobre M (121 Estas teorias surshy
gem tambeacutem como uma generalizaccedilatildeo da teoria de Chern~Sjmons para dimensotildees maiores
que trecircs permitindo ohter genetalizaccedilotildees dos invariantes topoloacutegicos na teoria dos noacutes
obtidos inicialmente em [13] As teorias topoloacutegicas estatildeo envolvidas numa descriccedilatildeo de
uma fase topoloacutegica da gravitaccedilatildeo quacircntica na qual a tetrada se anula e a invariacuteacircncia por
difeomorfismo eacute quebrada l14] Adicionalmente as teorias topoloacutegicas foram recentemenmiddot
te utilizadas com um meio auxiliar de se obter soluccedilotildees degeneradas na relatividade geral
[15]
No contexto da teoria de cordas foi demonstrado que cordas podem se propagar em
campos de fundo gravitacionais degenerados Quando as coordenadas da corda satisfazem
determinadas condiccedilotildees a meacutetrica eacute degenerada de posto um [16] Sabemos tambeacutem)
que p-branas portandotildefie como instantons satildeo descritas por uma meacutetrica degenerada na
hiacutepersuperfkiacutee de evoluccedilatildeo [17] Cordas com tensatildeo nula [18] e D-branas com tensatildeo nula
[19Jj sacirco tambeacutem descritas por uma accedilatildeo que euvolve meacutetricas degeneradas Neste caso) a
accedilatildeo eacute construiacuteda na formulaccedilagraveo de primeira ordem Le Hnear com respeito agraves derivadas
das coordenadas do espaccedilo alvo sendo que a meacutetrica auxiliar eacute degenerada e natildeo o campo
de fundo gravitacionaL A forma da meacutetrica degenerada eacute do tipo gll11 = EE 11A B com
E formando matrizes natildeo quadradas e retratando uma imersatildeo que implica num espaccedilo
5
i
tangente ~om meacutetrica IJAl1 e dimensatildeo menor que a da hiacutepersuperfiacutecie de evoluccedilatildeo
Tudo o que consideramos ateacute o momento indica que as meacutetricas degeneradas podem
ter um pape) importante na gravitaccedilatildeo quacircntica Num tratamento em niacutevel claacutessico a
principal consequecircncia das meacutetricas degeneradas eacute permitir a mudanccedila de topologia do
espaccedilo-tempo 15] Poreacutem como natildeo observamos este processo diretamente deve exiacutestir
algum mecanismo que o suprime provavelmente em niacutevel quacircntico Por outro lado o
comportamento da mateacuteria num espaccedilo-tempo com meacutetrica degenerada natildeo tem sido
propriamente explorado Para o caso das teorias de campo topoloacutegicas natildeo haacute presenccedila
de meacutetricas na accedilatildeo dos modelos assim espaccedil-O-tempos com meacutetricas degeneradas podem
ser considerados nestas teorias No entanto quando consideramos campos de mateacuteria com
telmos cineacuteticos o acoplamento da gravitaccedilatildeo requer a introduccedilatildeo de campos tensoriais
contravariantes O exemplo mais simples eacute a accedilatildeo do campo escalar que depende do inverso
da meacutetrica Para tratar estes casos foi proposto um procedimento (20 que natildeo necessita de
campos tensotiais contravariantes e assim satildeo obtidas accedilotildees numa formulaccedilatildeo estendida
que admite tetradas degeneradas aleacutem de conter o limiacutete origina da teoria quando a
tetrada eacute inversiacuteveL
Uma importante classe de mateacuteria que pode ser acoplada ao tensol meacutetrico) ecirc cons~
tituiacuteda por partiacuteculas e cordas [21J A accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento das partiacuteculas e
cordas natildeo dependem do inverso da meacutetrica e satildeo bem definidas mesmo quando a meacutetrica
se torna degenerada Nesta tese iremos considerar a dinacircmica de partiacuteculas e cordas
movendo-se em espaccedil~ ou espaccedilo-tempos com uma meacutetrica degenerada Os espaccedilos em
estudo estatildeo associados a regiotildees com meacutetrica degenerada em toda extensatildeo Analisareshy
mos 3 ehtrutura dos viacutenculos impostos pela meacutetrica degenerada e encontraremos os graus
de liberdade efetiVuacutes que descrevem o movimento de partiacuteculas e cordas Desta forma
obteremos a dinacircmica efetiva para partiacuteculas e cordas em movimento num campo de funshy
do gravftacional degenerado Iremos ccedilonsiderar inicialmente a partiacutecula natildeo relativiacutestica
6
no Capiacutetulo 2 Este capiacutetulo seraacute desenvolvido em detalhes visto que a anaacutelise dos
viacutenculos contida nos capiacutetulos seguintes teratildeo alguns aspectos similares aos da partiacutecula
natildeo relativiacutestica Demonstramos tambeacutem que as isometrias da meacutetrica degenerada estatildeo
associadas agraves simetrias locais geradas pelos viacutenculos de primeira classe No Capiacutetulo 3
estudaremos a partiacutecula relativiacutestica e no Capiacutetulo 4 a corda bosocircnica Neste capiacutetulo disshy
cutimos tambeacutem alguns aspectos em aberto da quantizaccedilatildeo da corda em campos de fundo
gravitacional degenerados No Capiacutetulo 5 apresentaremos algumas observaccedilotildees finais e
conclusotildees bem como algumas questotildees que poderatildeo ser exploradas no futuro
7
Capiacutetulo 2
A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido
objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa
ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees
de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar
nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada
surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo
dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de
Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados
e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial
O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy
toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo
que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de
viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso
da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL
Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem
8
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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(14) E Witlen Comm Math Phys 117353 (1938)
115] JC Baez Commun Math Phys 193 (1998) 210
[16) O A Mattos e V O Rivelles pnys Rev LIt 70 1583 (1993)
[17) R P Zaikov Phys Letl B263 (1991) 206
118] A Karlhede bull U Liacutenclstrom Clas Quant Grav 3 (1986) L73
119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U
Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
[21J LA Cabral e VO Rivelles ParticIes and Strings in Degenerate lVletric SpaceS j
preprlllt 1999
84
[22j H Kleiacutenert Path IntegraIs in Quantum Mec1utnics Statistics and Polymer Plz~rsics
(World Scientificcedil Singapare Second Edition 1995)
[23J PAM Dirac Leccediltureson Quantum Mecnanics (Yeshiva University Press NY 1964)
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130J T Buchr Phys Lett B194 (1987) 59
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(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
42 Formalismo Hamiltoniano 41
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado 41
422 Campo de Fundo Graviacutetacional Degenerado 43
423 GaioD-rPar 48
424 Caso D - r Iacutempar 50
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeiacutera Classe 54
44 Invariacircnda Confonne em Niacutevel Quacircntico 56
5 Conclusatildeo 59
A Propriedades dos Auto~Vetores Nulos em D - r iacutempar 61
B Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada
e Viacutenculos Secundaacuterios 65
C Deduccedilatildeo da Aacutelgebra dos Viacutenculos para a Corda 72
2
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
As singulatidades tecircm um papel fundamental na relatividade geral [1] Entretanto
natildeo estaacute claro como iacutencorporaacuteAas em uma teoria quacircntka da gravitaccedilatildeo_ As singularishy
dades do espaccedilo-tempo tecircm uma caracteriacutestica importante na gravitaccedilatildeo quacircntica como
demonstrado em processos envolvendo a radiaccedilatildeo teacutermka de Hawking No entanto o
nosso conhecimento atual para descrever o processo da evaporaccedilatildeo de buracos negros ateacute
a sua extinccedilatildeo ainda estaacute incompleto Poreacutem a situaccedilatildeo eacute menos limitada no contexto da
teoda de cordas Neste caso a entropia dos buracos negros extremos e quase-ex iremos
pode ser calculada considerando a presenccedila de Dwbranas proacuteximas ao horiacutezonte de evenshy
tos [2] No acoplamento fraco estas D-branas satildeo descritas por uma teoria de gauge
supersimeacutetrica na qual eacute possiacutevel contar os estados relevantes para a entropia Jaacute que as
D-hr(1nas estatildeo localiacutezadas proacuteximas ao hotilderizonte as singuladdades no interiacuteor do buraco
negro ainda nacirco foram tratadas completamente na teoria de cordas poreacutem haacute algumas
tentativas neste contexto ~31_
As singularidades que datildeo lugar aos buracos negros manifestam-se no tensor de curvashy
tura O efeito deste tipo de singularidade na evoluccedilatildeo quacircntica de partiacuteculas foi estudado
recentemente em 14] Neste caso o argumento principal eacute que uma partiacutecula movendo-se
num espaccedilo-tempo que eacute geodesicamente incompleto possui uma evoluccedilatildeo quacircntica bem
3
j
definida desde que Q operador Hamiltoniano seja essencialmente auto-adjunto
Haacute j tambeacutem um outro tipo de singularidade em que o tensor de curvatura natildeo se torna
singular Isto acontece quando a meacutetrica eacute degenerada isto eacute quando natildeo possui inversa
leste caso) se a meacutetrica eacute degenerada em um conjunto de medida zero 1e) se ocorre em
pontos isolados do espaccedilOl entatildeo a curvatura natildeo diverge e a topologia do espaccedilo-tempo
pode mudar [5j Este tipo de singllaridade eacute tamheacutem compatiacutevel com a estrutura causal
do espaccedilo-tempo [6j
[ As meacutetricas degeneradas aparecem na relatividade geral na formulaccedilatildeo de Palatini
onde a accedilatildeo eacute definida em termos das tetradas e da conexatildeo de Lorentz ~esta formulaccedilatildeo)
a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo dependem do inverso da tetrada e assim satildeo bem
definidas mesmo quando a letrada eacute degenerada [5]
gm uma outra situaccedilatildeo as meacutetriacutecas degeneradas tambeacutem aparecem CQmo meacutetdcas
induidas em hlpersuperfiacuteciacutees nulas [7] sendo a geometria da hipersuperffcie considerada
sob o ponto de vista do espaccedilo alvo ou seja sob o ponto de vista extriacutenseco agrave hipershy
superfiacutecie Neste aspecto a meacutetrica do espaccedilo alvo que natildeo eacute degenerada) se relaciona
com a meacutetrica da hipersuperfiacutecie imersa neste espaccedilo )festa condiccedilatildeo eacute possiacutevel definir
uma meacutetrIacuteca inversa estendida para a hipersuperfiacutede nula Por outro lado) as meacutetricas
degeneradas podem ser consideradas sob o ponto de vista intriacutenseco) ou seja) consideradas
exclusivamente sob a hipersuperficie em que estatildeo definidas sem reconer a imersotildees em es~
paccedilos com dimensatildeo superior agrave hipersuperfiacutecie Definidas desta forma tornam-se meacutetricas
auxiliares para o estudo da radiaccedilatildeo gravitacional [B] sendo que em quatro dimensotildees satildeo
Ineacutetricas de posto trecircs
Em outros contextos temos a presen~a de tetradas e as generalizaccedilotildees destas para
outras dimensotildees que denominam-se v-ielbeins que tambeacutem satildeo degenerados Neste asshy
pecto) haacute a formulaccedilatildeo de Ashtekar da relatividade geral~ que utiliza um espaccedilo de fase
com Vltlttaacuteveis complexas definidas por meiacuteo de uma teoria de gauge do tipo Yang-Mills
4
com grupo 80(3) [9] O formalismo de Ashtekal permanece bem definido quando a
meacutetrica obtida na sua formulaccedilatildeo eacute degenerada Devido a esta propriedade da meacutetrica
muitas questotildees relativas a esta formulaccedilatildeo continuam sendo objeto de pesquisa recente
[lO~ Aleacutem da formuLaccedilatildeo de Ashtekal existem outras teorias da gravitaccedilatildeo em duas e
trecircs dimensotildees que podem SeI fOlmuladas como teorias de gauge topoloacutegicas do tipo BF
e de Chern-Simons [l1J Como um exemplo de uma teoria abeliana do tipo BF devemos
ter uma accedilatildeo em uma variedade lvf com dimensatildeo arbitraacuteria independente do tensor
meacutetrico e escrita em termos de campos na formulaccedilatildeo das formas diferenciais Esta accedilatildeo
iraacute fornecer uma descriccedilatildeo da cohomologia de de Rham sobre M (121 Estas teorias surshy
gem tambeacutem como uma generalizaccedilatildeo da teoria de Chern~Sjmons para dimensotildees maiores
que trecircs permitindo ohter genetalizaccedilotildees dos invariantes topoloacutegicos na teoria dos noacutes
obtidos inicialmente em [13] As teorias topoloacutegicas estatildeo envolvidas numa descriccedilatildeo de
uma fase topoloacutegica da gravitaccedilatildeo quacircntica na qual a tetrada se anula e a invariacuteacircncia por
difeomorfismo eacute quebrada l14] Adicionalmente as teorias topoloacutegicas foram recentemenmiddot
te utilizadas com um meio auxiliar de se obter soluccedilotildees degeneradas na relatividade geral
[15]
No contexto da teoria de cordas foi demonstrado que cordas podem se propagar em
campos de fundo gravitacionais degenerados Quando as coordenadas da corda satisfazem
determinadas condiccedilotildees a meacutetrica eacute degenerada de posto um [16] Sabemos tambeacutem)
que p-branas portandotildefie como instantons satildeo descritas por uma meacutetrica degenerada na
hiacutepersuperfkiacutee de evoluccedilatildeo [17] Cordas com tensatildeo nula [18] e D-branas com tensatildeo nula
[19Jj sacirco tambeacutem descritas por uma accedilatildeo que euvolve meacutetricas degeneradas Neste caso) a
accedilatildeo eacute construiacuteda na formulaccedilagraveo de primeira ordem Le Hnear com respeito agraves derivadas
das coordenadas do espaccedilo alvo sendo que a meacutetrica auxiliar eacute degenerada e natildeo o campo
de fundo gravitacionaL A forma da meacutetrica degenerada eacute do tipo gll11 = EE 11A B com
E formando matrizes natildeo quadradas e retratando uma imersatildeo que implica num espaccedilo
5
i
tangente ~om meacutetrica IJAl1 e dimensatildeo menor que a da hiacutepersuperfiacutecie de evoluccedilatildeo
Tudo o que consideramos ateacute o momento indica que as meacutetricas degeneradas podem
ter um pape) importante na gravitaccedilatildeo quacircntica Num tratamento em niacutevel claacutessico a
principal consequecircncia das meacutetricas degeneradas eacute permitir a mudanccedila de topologia do
espaccedilo-tempo 15] Poreacutem como natildeo observamos este processo diretamente deve exiacutestir
algum mecanismo que o suprime provavelmente em niacutevel quacircntico Por outro lado o
comportamento da mateacuteria num espaccedilo-tempo com meacutetrica degenerada natildeo tem sido
propriamente explorado Para o caso das teorias de campo topoloacutegicas natildeo haacute presenccedila
de meacutetricas na accedilatildeo dos modelos assim espaccedil-O-tempos com meacutetricas degeneradas podem
ser considerados nestas teorias No entanto quando consideramos campos de mateacuteria com
telmos cineacuteticos o acoplamento da gravitaccedilatildeo requer a introduccedilatildeo de campos tensoriais
contravariantes O exemplo mais simples eacute a accedilatildeo do campo escalar que depende do inverso
da meacutetrica Para tratar estes casos foi proposto um procedimento (20 que natildeo necessita de
campos tensotiais contravariantes e assim satildeo obtidas accedilotildees numa formulaccedilatildeo estendida
que admite tetradas degeneradas aleacutem de conter o limiacutete origina da teoria quando a
tetrada eacute inversiacuteveL
Uma importante classe de mateacuteria que pode ser acoplada ao tensol meacutetrico) ecirc cons~
tituiacuteda por partiacuteculas e cordas [21J A accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento das partiacuteculas e
cordas natildeo dependem do inverso da meacutetrica e satildeo bem definidas mesmo quando a meacutetrica
se torna degenerada Nesta tese iremos considerar a dinacircmica de partiacuteculas e cordas
movendo-se em espaccedil~ ou espaccedilo-tempos com uma meacutetrica degenerada Os espaccedilos em
estudo estatildeo associados a regiotildees com meacutetrica degenerada em toda extensatildeo Analisareshy
mos 3 ehtrutura dos viacutenculos impostos pela meacutetrica degenerada e encontraremos os graus
de liberdade efetiVuacutes que descrevem o movimento de partiacuteculas e cordas Desta forma
obteremos a dinacircmica efetiva para partiacuteculas e cordas em movimento num campo de funshy
do gravftacional degenerado Iremos ccedilonsiderar inicialmente a partiacutecula natildeo relativiacutestica
6
no Capiacutetulo 2 Este capiacutetulo seraacute desenvolvido em detalhes visto que a anaacutelise dos
viacutenculos contida nos capiacutetulos seguintes teratildeo alguns aspectos similares aos da partiacutecula
natildeo relativiacutestica Demonstramos tambeacutem que as isometrias da meacutetrica degenerada estatildeo
associadas agraves simetrias locais geradas pelos viacutenculos de primeira classe No Capiacutetulo 3
estudaremos a partiacutecula relativiacutestica e no Capiacutetulo 4 a corda bosocircnica Neste capiacutetulo disshy
cutimos tambeacutem alguns aspectos em aberto da quantizaccedilatildeo da corda em campos de fundo
gravitacional degenerados No Capiacutetulo 5 apresentaremos algumas observaccedilotildees finais e
conclusotildees bem como algumas questotildees que poderatildeo ser exploradas no futuro
7
Capiacutetulo 2
A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido
objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa
ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees
de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar
nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada
surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo
dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de
Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados
e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial
O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy
toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo
que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de
viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso
da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL
Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem
8
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
As singulatidades tecircm um papel fundamental na relatividade geral [1] Entretanto
natildeo estaacute claro como iacutencorporaacuteAas em uma teoria quacircntka da gravitaccedilatildeo_ As singularishy
dades do espaccedilo-tempo tecircm uma caracteriacutestica importante na gravitaccedilatildeo quacircntica como
demonstrado em processos envolvendo a radiaccedilatildeo teacutermka de Hawking No entanto o
nosso conhecimento atual para descrever o processo da evaporaccedilatildeo de buracos negros ateacute
a sua extinccedilatildeo ainda estaacute incompleto Poreacutem a situaccedilatildeo eacute menos limitada no contexto da
teoda de cordas Neste caso a entropia dos buracos negros extremos e quase-ex iremos
pode ser calculada considerando a presenccedila de Dwbranas proacuteximas ao horiacutezonte de evenshy
tos [2] No acoplamento fraco estas D-branas satildeo descritas por uma teoria de gauge
supersimeacutetrica na qual eacute possiacutevel contar os estados relevantes para a entropia Jaacute que as
D-hr(1nas estatildeo localiacutezadas proacuteximas ao hotilderizonte as singuladdades no interiacuteor do buraco
negro ainda nacirco foram tratadas completamente na teoria de cordas poreacutem haacute algumas
tentativas neste contexto ~31_
As singularidades que datildeo lugar aos buracos negros manifestam-se no tensor de curvashy
tura O efeito deste tipo de singularidade na evoluccedilatildeo quacircntica de partiacuteculas foi estudado
recentemente em 14] Neste caso o argumento principal eacute que uma partiacutecula movendo-se
num espaccedilo-tempo que eacute geodesicamente incompleto possui uma evoluccedilatildeo quacircntica bem
3
j
definida desde que Q operador Hamiltoniano seja essencialmente auto-adjunto
Haacute j tambeacutem um outro tipo de singularidade em que o tensor de curvatura natildeo se torna
singular Isto acontece quando a meacutetrica eacute degenerada isto eacute quando natildeo possui inversa
leste caso) se a meacutetrica eacute degenerada em um conjunto de medida zero 1e) se ocorre em
pontos isolados do espaccedilOl entatildeo a curvatura natildeo diverge e a topologia do espaccedilo-tempo
pode mudar [5j Este tipo de singllaridade eacute tamheacutem compatiacutevel com a estrutura causal
do espaccedilo-tempo [6j
[ As meacutetricas degeneradas aparecem na relatividade geral na formulaccedilatildeo de Palatini
onde a accedilatildeo eacute definida em termos das tetradas e da conexatildeo de Lorentz ~esta formulaccedilatildeo)
a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo dependem do inverso da tetrada e assim satildeo bem
definidas mesmo quando a letrada eacute degenerada [5]
gm uma outra situaccedilatildeo as meacutetriacutecas degeneradas tambeacutem aparecem CQmo meacutetdcas
induidas em hlpersuperfiacuteciacutees nulas [7] sendo a geometria da hipersuperffcie considerada
sob o ponto de vista do espaccedilo alvo ou seja sob o ponto de vista extriacutenseco agrave hipershy
superfiacutecie Neste aspecto a meacutetrica do espaccedilo alvo que natildeo eacute degenerada) se relaciona
com a meacutetrica da hipersuperfiacutecie imersa neste espaccedilo )festa condiccedilatildeo eacute possiacutevel definir
uma meacutetrIacuteca inversa estendida para a hipersuperfiacutede nula Por outro lado) as meacutetricas
degeneradas podem ser consideradas sob o ponto de vista intriacutenseco) ou seja) consideradas
exclusivamente sob a hipersuperficie em que estatildeo definidas sem reconer a imersotildees em es~
paccedilos com dimensatildeo superior agrave hipersuperfiacutecie Definidas desta forma tornam-se meacutetricas
auxiliares para o estudo da radiaccedilatildeo gravitacional [B] sendo que em quatro dimensotildees satildeo
Ineacutetricas de posto trecircs
Em outros contextos temos a presen~a de tetradas e as generalizaccedilotildees destas para
outras dimensotildees que denominam-se v-ielbeins que tambeacutem satildeo degenerados Neste asshy
pecto) haacute a formulaccedilatildeo de Ashtekar da relatividade geral~ que utiliza um espaccedilo de fase
com Vltlttaacuteveis complexas definidas por meiacuteo de uma teoria de gauge do tipo Yang-Mills
4
com grupo 80(3) [9] O formalismo de Ashtekal permanece bem definido quando a
meacutetrica obtida na sua formulaccedilatildeo eacute degenerada Devido a esta propriedade da meacutetrica
muitas questotildees relativas a esta formulaccedilatildeo continuam sendo objeto de pesquisa recente
[lO~ Aleacutem da formuLaccedilatildeo de Ashtekal existem outras teorias da gravitaccedilatildeo em duas e
trecircs dimensotildees que podem SeI fOlmuladas como teorias de gauge topoloacutegicas do tipo BF
e de Chern-Simons [l1J Como um exemplo de uma teoria abeliana do tipo BF devemos
ter uma accedilatildeo em uma variedade lvf com dimensatildeo arbitraacuteria independente do tensor
meacutetrico e escrita em termos de campos na formulaccedilatildeo das formas diferenciais Esta accedilatildeo
iraacute fornecer uma descriccedilatildeo da cohomologia de de Rham sobre M (121 Estas teorias surshy
gem tambeacutem como uma generalizaccedilatildeo da teoria de Chern~Sjmons para dimensotildees maiores
que trecircs permitindo ohter genetalizaccedilotildees dos invariantes topoloacutegicos na teoria dos noacutes
obtidos inicialmente em [13] As teorias topoloacutegicas estatildeo envolvidas numa descriccedilatildeo de
uma fase topoloacutegica da gravitaccedilatildeo quacircntica na qual a tetrada se anula e a invariacuteacircncia por
difeomorfismo eacute quebrada l14] Adicionalmente as teorias topoloacutegicas foram recentemenmiddot
te utilizadas com um meio auxiliar de se obter soluccedilotildees degeneradas na relatividade geral
[15]
No contexto da teoria de cordas foi demonstrado que cordas podem se propagar em
campos de fundo gravitacionais degenerados Quando as coordenadas da corda satisfazem
determinadas condiccedilotildees a meacutetrica eacute degenerada de posto um [16] Sabemos tambeacutem)
que p-branas portandotildefie como instantons satildeo descritas por uma meacutetrica degenerada na
hiacutepersuperfkiacutee de evoluccedilatildeo [17] Cordas com tensatildeo nula [18] e D-branas com tensatildeo nula
[19Jj sacirco tambeacutem descritas por uma accedilatildeo que euvolve meacutetricas degeneradas Neste caso) a
accedilatildeo eacute construiacuteda na formulaccedilagraveo de primeira ordem Le Hnear com respeito agraves derivadas
das coordenadas do espaccedilo alvo sendo que a meacutetrica auxiliar eacute degenerada e natildeo o campo
de fundo gravitacionaL A forma da meacutetrica degenerada eacute do tipo gll11 = EE 11A B com
E formando matrizes natildeo quadradas e retratando uma imersatildeo que implica num espaccedilo
5
i
tangente ~om meacutetrica IJAl1 e dimensatildeo menor que a da hiacutepersuperfiacutecie de evoluccedilatildeo
Tudo o que consideramos ateacute o momento indica que as meacutetricas degeneradas podem
ter um pape) importante na gravitaccedilatildeo quacircntica Num tratamento em niacutevel claacutessico a
principal consequecircncia das meacutetricas degeneradas eacute permitir a mudanccedila de topologia do
espaccedilo-tempo 15] Poreacutem como natildeo observamos este processo diretamente deve exiacutestir
algum mecanismo que o suprime provavelmente em niacutevel quacircntico Por outro lado o
comportamento da mateacuteria num espaccedilo-tempo com meacutetrica degenerada natildeo tem sido
propriamente explorado Para o caso das teorias de campo topoloacutegicas natildeo haacute presenccedila
de meacutetricas na accedilatildeo dos modelos assim espaccedil-O-tempos com meacutetricas degeneradas podem
ser considerados nestas teorias No entanto quando consideramos campos de mateacuteria com
telmos cineacuteticos o acoplamento da gravitaccedilatildeo requer a introduccedilatildeo de campos tensoriais
contravariantes O exemplo mais simples eacute a accedilatildeo do campo escalar que depende do inverso
da meacutetrica Para tratar estes casos foi proposto um procedimento (20 que natildeo necessita de
campos tensotiais contravariantes e assim satildeo obtidas accedilotildees numa formulaccedilatildeo estendida
que admite tetradas degeneradas aleacutem de conter o limiacutete origina da teoria quando a
tetrada eacute inversiacuteveL
Uma importante classe de mateacuteria que pode ser acoplada ao tensol meacutetrico) ecirc cons~
tituiacuteda por partiacuteculas e cordas [21J A accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento das partiacuteculas e
cordas natildeo dependem do inverso da meacutetrica e satildeo bem definidas mesmo quando a meacutetrica
se torna degenerada Nesta tese iremos considerar a dinacircmica de partiacuteculas e cordas
movendo-se em espaccedil~ ou espaccedilo-tempos com uma meacutetrica degenerada Os espaccedilos em
estudo estatildeo associados a regiotildees com meacutetrica degenerada em toda extensatildeo Analisareshy
mos 3 ehtrutura dos viacutenculos impostos pela meacutetrica degenerada e encontraremos os graus
de liberdade efetiVuacutes que descrevem o movimento de partiacuteculas e cordas Desta forma
obteremos a dinacircmica efetiva para partiacuteculas e cordas em movimento num campo de funshy
do gravftacional degenerado Iremos ccedilonsiderar inicialmente a partiacutecula natildeo relativiacutestica
6
no Capiacutetulo 2 Este capiacutetulo seraacute desenvolvido em detalhes visto que a anaacutelise dos
viacutenculos contida nos capiacutetulos seguintes teratildeo alguns aspectos similares aos da partiacutecula
natildeo relativiacutestica Demonstramos tambeacutem que as isometrias da meacutetrica degenerada estatildeo
associadas agraves simetrias locais geradas pelos viacutenculos de primeira classe No Capiacutetulo 3
estudaremos a partiacutecula relativiacutestica e no Capiacutetulo 4 a corda bosocircnica Neste capiacutetulo disshy
cutimos tambeacutem alguns aspectos em aberto da quantizaccedilatildeo da corda em campos de fundo
gravitacional degenerados No Capiacutetulo 5 apresentaremos algumas observaccedilotildees finais e
conclusotildees bem como algumas questotildees que poderatildeo ser exploradas no futuro
7
Capiacutetulo 2
A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido
objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa
ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees
de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar
nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada
surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo
dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de
Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados
e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial
O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy
toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo
que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de
viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso
da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL
Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem
8
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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j
definida desde que Q operador Hamiltoniano seja essencialmente auto-adjunto
Haacute j tambeacutem um outro tipo de singularidade em que o tensor de curvatura natildeo se torna
singular Isto acontece quando a meacutetrica eacute degenerada isto eacute quando natildeo possui inversa
leste caso) se a meacutetrica eacute degenerada em um conjunto de medida zero 1e) se ocorre em
pontos isolados do espaccedilOl entatildeo a curvatura natildeo diverge e a topologia do espaccedilo-tempo
pode mudar [5j Este tipo de singllaridade eacute tamheacutem compatiacutevel com a estrutura causal
do espaccedilo-tempo [6j
[ As meacutetricas degeneradas aparecem na relatividade geral na formulaccedilatildeo de Palatini
onde a accedilatildeo eacute definida em termos das tetradas e da conexatildeo de Lorentz ~esta formulaccedilatildeo)
a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo dependem do inverso da tetrada e assim satildeo bem
definidas mesmo quando a letrada eacute degenerada [5]
gm uma outra situaccedilatildeo as meacutetriacutecas degeneradas tambeacutem aparecem CQmo meacutetdcas
induidas em hlpersuperfiacuteciacutees nulas [7] sendo a geometria da hipersuperffcie considerada
sob o ponto de vista do espaccedilo alvo ou seja sob o ponto de vista extriacutenseco agrave hipershy
superfiacutecie Neste aspecto a meacutetrica do espaccedilo alvo que natildeo eacute degenerada) se relaciona
com a meacutetrica da hipersuperfiacutecie imersa neste espaccedilo )festa condiccedilatildeo eacute possiacutevel definir
uma meacutetrIacuteca inversa estendida para a hipersuperfiacutede nula Por outro lado) as meacutetricas
degeneradas podem ser consideradas sob o ponto de vista intriacutenseco) ou seja) consideradas
exclusivamente sob a hipersuperficie em que estatildeo definidas sem reconer a imersotildees em es~
paccedilos com dimensatildeo superior agrave hipersuperfiacutecie Definidas desta forma tornam-se meacutetricas
auxiliares para o estudo da radiaccedilatildeo gravitacional [B] sendo que em quatro dimensotildees satildeo
Ineacutetricas de posto trecircs
Em outros contextos temos a presen~a de tetradas e as generalizaccedilotildees destas para
outras dimensotildees que denominam-se v-ielbeins que tambeacutem satildeo degenerados Neste asshy
pecto) haacute a formulaccedilatildeo de Ashtekar da relatividade geral~ que utiliza um espaccedilo de fase
com Vltlttaacuteveis complexas definidas por meiacuteo de uma teoria de gauge do tipo Yang-Mills
4
com grupo 80(3) [9] O formalismo de Ashtekal permanece bem definido quando a
meacutetrica obtida na sua formulaccedilatildeo eacute degenerada Devido a esta propriedade da meacutetrica
muitas questotildees relativas a esta formulaccedilatildeo continuam sendo objeto de pesquisa recente
[lO~ Aleacutem da formuLaccedilatildeo de Ashtekal existem outras teorias da gravitaccedilatildeo em duas e
trecircs dimensotildees que podem SeI fOlmuladas como teorias de gauge topoloacutegicas do tipo BF
e de Chern-Simons [l1J Como um exemplo de uma teoria abeliana do tipo BF devemos
ter uma accedilatildeo em uma variedade lvf com dimensatildeo arbitraacuteria independente do tensor
meacutetrico e escrita em termos de campos na formulaccedilatildeo das formas diferenciais Esta accedilatildeo
iraacute fornecer uma descriccedilatildeo da cohomologia de de Rham sobre M (121 Estas teorias surshy
gem tambeacutem como uma generalizaccedilatildeo da teoria de Chern~Sjmons para dimensotildees maiores
que trecircs permitindo ohter genetalizaccedilotildees dos invariantes topoloacutegicos na teoria dos noacutes
obtidos inicialmente em [13] As teorias topoloacutegicas estatildeo envolvidas numa descriccedilatildeo de
uma fase topoloacutegica da gravitaccedilatildeo quacircntica na qual a tetrada se anula e a invariacuteacircncia por
difeomorfismo eacute quebrada l14] Adicionalmente as teorias topoloacutegicas foram recentemenmiddot
te utilizadas com um meio auxiliar de se obter soluccedilotildees degeneradas na relatividade geral
[15]
No contexto da teoria de cordas foi demonstrado que cordas podem se propagar em
campos de fundo gravitacionais degenerados Quando as coordenadas da corda satisfazem
determinadas condiccedilotildees a meacutetrica eacute degenerada de posto um [16] Sabemos tambeacutem)
que p-branas portandotildefie como instantons satildeo descritas por uma meacutetrica degenerada na
hiacutepersuperfkiacutee de evoluccedilatildeo [17] Cordas com tensatildeo nula [18] e D-branas com tensatildeo nula
[19Jj sacirco tambeacutem descritas por uma accedilatildeo que euvolve meacutetricas degeneradas Neste caso) a
accedilatildeo eacute construiacuteda na formulaccedilagraveo de primeira ordem Le Hnear com respeito agraves derivadas
das coordenadas do espaccedilo alvo sendo que a meacutetrica auxiliar eacute degenerada e natildeo o campo
de fundo gravitacionaL A forma da meacutetrica degenerada eacute do tipo gll11 = EE 11A B com
E formando matrizes natildeo quadradas e retratando uma imersatildeo que implica num espaccedilo
5
i
tangente ~om meacutetrica IJAl1 e dimensatildeo menor que a da hiacutepersuperfiacutecie de evoluccedilatildeo
Tudo o que consideramos ateacute o momento indica que as meacutetricas degeneradas podem
ter um pape) importante na gravitaccedilatildeo quacircntica Num tratamento em niacutevel claacutessico a
principal consequecircncia das meacutetricas degeneradas eacute permitir a mudanccedila de topologia do
espaccedilo-tempo 15] Poreacutem como natildeo observamos este processo diretamente deve exiacutestir
algum mecanismo que o suprime provavelmente em niacutevel quacircntico Por outro lado o
comportamento da mateacuteria num espaccedilo-tempo com meacutetrica degenerada natildeo tem sido
propriamente explorado Para o caso das teorias de campo topoloacutegicas natildeo haacute presenccedila
de meacutetricas na accedilatildeo dos modelos assim espaccedil-O-tempos com meacutetricas degeneradas podem
ser considerados nestas teorias No entanto quando consideramos campos de mateacuteria com
telmos cineacuteticos o acoplamento da gravitaccedilatildeo requer a introduccedilatildeo de campos tensoriais
contravariantes O exemplo mais simples eacute a accedilatildeo do campo escalar que depende do inverso
da meacutetrica Para tratar estes casos foi proposto um procedimento (20 que natildeo necessita de
campos tensotiais contravariantes e assim satildeo obtidas accedilotildees numa formulaccedilatildeo estendida
que admite tetradas degeneradas aleacutem de conter o limiacutete origina da teoria quando a
tetrada eacute inversiacuteveL
Uma importante classe de mateacuteria que pode ser acoplada ao tensol meacutetrico) ecirc cons~
tituiacuteda por partiacuteculas e cordas [21J A accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento das partiacuteculas e
cordas natildeo dependem do inverso da meacutetrica e satildeo bem definidas mesmo quando a meacutetrica
se torna degenerada Nesta tese iremos considerar a dinacircmica de partiacuteculas e cordas
movendo-se em espaccedil~ ou espaccedilo-tempos com uma meacutetrica degenerada Os espaccedilos em
estudo estatildeo associados a regiotildees com meacutetrica degenerada em toda extensatildeo Analisareshy
mos 3 ehtrutura dos viacutenculos impostos pela meacutetrica degenerada e encontraremos os graus
de liberdade efetiVuacutes que descrevem o movimento de partiacuteculas e cordas Desta forma
obteremos a dinacircmica efetiva para partiacuteculas e cordas em movimento num campo de funshy
do gravftacional degenerado Iremos ccedilonsiderar inicialmente a partiacutecula natildeo relativiacutestica
6
no Capiacutetulo 2 Este capiacutetulo seraacute desenvolvido em detalhes visto que a anaacutelise dos
viacutenculos contida nos capiacutetulos seguintes teratildeo alguns aspectos similares aos da partiacutecula
natildeo relativiacutestica Demonstramos tambeacutem que as isometrias da meacutetrica degenerada estatildeo
associadas agraves simetrias locais geradas pelos viacutenculos de primeira classe No Capiacutetulo 3
estudaremos a partiacutecula relativiacutestica e no Capiacutetulo 4 a corda bosocircnica Neste capiacutetulo disshy
cutimos tambeacutem alguns aspectos em aberto da quantizaccedilatildeo da corda em campos de fundo
gravitacional degenerados No Capiacutetulo 5 apresentaremos algumas observaccedilotildees finais e
conclusotildees bem como algumas questotildees que poderatildeo ser exploradas no futuro
7
Capiacutetulo 2
A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido
objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa
ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees
de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar
nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada
surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo
dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de
Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados
e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial
O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy
toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo
que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de
viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso
da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL
Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem
8
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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com grupo 80(3) [9] O formalismo de Ashtekal permanece bem definido quando a
meacutetrica obtida na sua formulaccedilatildeo eacute degenerada Devido a esta propriedade da meacutetrica
muitas questotildees relativas a esta formulaccedilatildeo continuam sendo objeto de pesquisa recente
[lO~ Aleacutem da formuLaccedilatildeo de Ashtekal existem outras teorias da gravitaccedilatildeo em duas e
trecircs dimensotildees que podem SeI fOlmuladas como teorias de gauge topoloacutegicas do tipo BF
e de Chern-Simons [l1J Como um exemplo de uma teoria abeliana do tipo BF devemos
ter uma accedilatildeo em uma variedade lvf com dimensatildeo arbitraacuteria independente do tensor
meacutetrico e escrita em termos de campos na formulaccedilatildeo das formas diferenciais Esta accedilatildeo
iraacute fornecer uma descriccedilatildeo da cohomologia de de Rham sobre M (121 Estas teorias surshy
gem tambeacutem como uma generalizaccedilatildeo da teoria de Chern~Sjmons para dimensotildees maiores
que trecircs permitindo ohter genetalizaccedilotildees dos invariantes topoloacutegicos na teoria dos noacutes
obtidos inicialmente em [13] As teorias topoloacutegicas estatildeo envolvidas numa descriccedilatildeo de
uma fase topoloacutegica da gravitaccedilatildeo quacircntica na qual a tetrada se anula e a invariacuteacircncia por
difeomorfismo eacute quebrada l14] Adicionalmente as teorias topoloacutegicas foram recentemenmiddot
te utilizadas com um meio auxiliar de se obter soluccedilotildees degeneradas na relatividade geral
[15]
No contexto da teoria de cordas foi demonstrado que cordas podem se propagar em
campos de fundo gravitacionais degenerados Quando as coordenadas da corda satisfazem
determinadas condiccedilotildees a meacutetrica eacute degenerada de posto um [16] Sabemos tambeacutem)
que p-branas portandotildefie como instantons satildeo descritas por uma meacutetrica degenerada na
hiacutepersuperfkiacutee de evoluccedilatildeo [17] Cordas com tensatildeo nula [18] e D-branas com tensatildeo nula
[19Jj sacirco tambeacutem descritas por uma accedilatildeo que euvolve meacutetricas degeneradas Neste caso) a
accedilatildeo eacute construiacuteda na formulaccedilagraveo de primeira ordem Le Hnear com respeito agraves derivadas
das coordenadas do espaccedilo alvo sendo que a meacutetrica auxiliar eacute degenerada e natildeo o campo
de fundo gravitacionaL A forma da meacutetrica degenerada eacute do tipo gll11 = EE 11A B com
E formando matrizes natildeo quadradas e retratando uma imersatildeo que implica num espaccedilo
5
i
tangente ~om meacutetrica IJAl1 e dimensatildeo menor que a da hiacutepersuperfiacutecie de evoluccedilatildeo
Tudo o que consideramos ateacute o momento indica que as meacutetricas degeneradas podem
ter um pape) importante na gravitaccedilatildeo quacircntica Num tratamento em niacutevel claacutessico a
principal consequecircncia das meacutetricas degeneradas eacute permitir a mudanccedila de topologia do
espaccedilo-tempo 15] Poreacutem como natildeo observamos este processo diretamente deve exiacutestir
algum mecanismo que o suprime provavelmente em niacutevel quacircntico Por outro lado o
comportamento da mateacuteria num espaccedilo-tempo com meacutetrica degenerada natildeo tem sido
propriamente explorado Para o caso das teorias de campo topoloacutegicas natildeo haacute presenccedila
de meacutetricas na accedilatildeo dos modelos assim espaccedil-O-tempos com meacutetricas degeneradas podem
ser considerados nestas teorias No entanto quando consideramos campos de mateacuteria com
telmos cineacuteticos o acoplamento da gravitaccedilatildeo requer a introduccedilatildeo de campos tensoriais
contravariantes O exemplo mais simples eacute a accedilatildeo do campo escalar que depende do inverso
da meacutetrica Para tratar estes casos foi proposto um procedimento (20 que natildeo necessita de
campos tensotiais contravariantes e assim satildeo obtidas accedilotildees numa formulaccedilatildeo estendida
que admite tetradas degeneradas aleacutem de conter o limiacutete origina da teoria quando a
tetrada eacute inversiacuteveL
Uma importante classe de mateacuteria que pode ser acoplada ao tensol meacutetrico) ecirc cons~
tituiacuteda por partiacuteculas e cordas [21J A accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento das partiacuteculas e
cordas natildeo dependem do inverso da meacutetrica e satildeo bem definidas mesmo quando a meacutetrica
se torna degenerada Nesta tese iremos considerar a dinacircmica de partiacuteculas e cordas
movendo-se em espaccedil~ ou espaccedilo-tempos com uma meacutetrica degenerada Os espaccedilos em
estudo estatildeo associados a regiotildees com meacutetrica degenerada em toda extensatildeo Analisareshy
mos 3 ehtrutura dos viacutenculos impostos pela meacutetrica degenerada e encontraremos os graus
de liberdade efetiVuacutes que descrevem o movimento de partiacuteculas e cordas Desta forma
obteremos a dinacircmica efetiva para partiacuteculas e cordas em movimento num campo de funshy
do gravftacional degenerado Iremos ccedilonsiderar inicialmente a partiacutecula natildeo relativiacutestica
6
no Capiacutetulo 2 Este capiacutetulo seraacute desenvolvido em detalhes visto que a anaacutelise dos
viacutenculos contida nos capiacutetulos seguintes teratildeo alguns aspectos similares aos da partiacutecula
natildeo relativiacutestica Demonstramos tambeacutem que as isometrias da meacutetrica degenerada estatildeo
associadas agraves simetrias locais geradas pelos viacutenculos de primeira classe No Capiacutetulo 3
estudaremos a partiacutecula relativiacutestica e no Capiacutetulo 4 a corda bosocircnica Neste capiacutetulo disshy
cutimos tambeacutem alguns aspectos em aberto da quantizaccedilatildeo da corda em campos de fundo
gravitacional degenerados No Capiacutetulo 5 apresentaremos algumas observaccedilotildees finais e
conclusotildees bem como algumas questotildees que poderatildeo ser exploradas no futuro
7
Capiacutetulo 2
A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido
objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa
ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees
de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar
nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada
surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo
dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de
Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados
e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial
O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy
toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo
que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de
viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso
da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL
Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem
8
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
i
tangente ~om meacutetrica IJAl1 e dimensatildeo menor que a da hiacutepersuperfiacutecie de evoluccedilatildeo
Tudo o que consideramos ateacute o momento indica que as meacutetricas degeneradas podem
ter um pape) importante na gravitaccedilatildeo quacircntica Num tratamento em niacutevel claacutessico a
principal consequecircncia das meacutetricas degeneradas eacute permitir a mudanccedila de topologia do
espaccedilo-tempo 15] Poreacutem como natildeo observamos este processo diretamente deve exiacutestir
algum mecanismo que o suprime provavelmente em niacutevel quacircntico Por outro lado o
comportamento da mateacuteria num espaccedilo-tempo com meacutetrica degenerada natildeo tem sido
propriamente explorado Para o caso das teorias de campo topoloacutegicas natildeo haacute presenccedila
de meacutetricas na accedilatildeo dos modelos assim espaccedil-O-tempos com meacutetricas degeneradas podem
ser considerados nestas teorias No entanto quando consideramos campos de mateacuteria com
telmos cineacuteticos o acoplamento da gravitaccedilatildeo requer a introduccedilatildeo de campos tensoriais
contravariantes O exemplo mais simples eacute a accedilatildeo do campo escalar que depende do inverso
da meacutetrica Para tratar estes casos foi proposto um procedimento (20 que natildeo necessita de
campos tensotiais contravariantes e assim satildeo obtidas accedilotildees numa formulaccedilatildeo estendida
que admite tetradas degeneradas aleacutem de conter o limiacutete origina da teoria quando a
tetrada eacute inversiacuteveL
Uma importante classe de mateacuteria que pode ser acoplada ao tensol meacutetrico) ecirc cons~
tituiacuteda por partiacuteculas e cordas [21J A accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento das partiacuteculas e
cordas natildeo dependem do inverso da meacutetrica e satildeo bem definidas mesmo quando a meacutetrica
se torna degenerada Nesta tese iremos considerar a dinacircmica de partiacuteculas e cordas
movendo-se em espaccedil~ ou espaccedilo-tempos com uma meacutetrica degenerada Os espaccedilos em
estudo estatildeo associados a regiotildees com meacutetrica degenerada em toda extensatildeo Analisareshy
mos 3 ehtrutura dos viacutenculos impostos pela meacutetrica degenerada e encontraremos os graus
de liberdade efetiVuacutes que descrevem o movimento de partiacuteculas e cordas Desta forma
obteremos a dinacircmica efetiva para partiacuteculas e cordas em movimento num campo de funshy
do gravftacional degenerado Iremos ccedilonsiderar inicialmente a partiacutecula natildeo relativiacutestica
6
no Capiacutetulo 2 Este capiacutetulo seraacute desenvolvido em detalhes visto que a anaacutelise dos
viacutenculos contida nos capiacutetulos seguintes teratildeo alguns aspectos similares aos da partiacutecula
natildeo relativiacutestica Demonstramos tambeacutem que as isometrias da meacutetrica degenerada estatildeo
associadas agraves simetrias locais geradas pelos viacutenculos de primeira classe No Capiacutetulo 3
estudaremos a partiacutecula relativiacutestica e no Capiacutetulo 4 a corda bosocircnica Neste capiacutetulo disshy
cutimos tambeacutem alguns aspectos em aberto da quantizaccedilatildeo da corda em campos de fundo
gravitacional degenerados No Capiacutetulo 5 apresentaremos algumas observaccedilotildees finais e
conclusotildees bem como algumas questotildees que poderatildeo ser exploradas no futuro
7
Capiacutetulo 2
A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido
objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa
ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees
de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar
nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada
surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo
dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de
Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados
e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial
O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy
toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo
que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de
viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso
da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL
Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem
8
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
no Capiacutetulo 2 Este capiacutetulo seraacute desenvolvido em detalhes visto que a anaacutelise dos
viacutenculos contida nos capiacutetulos seguintes teratildeo alguns aspectos similares aos da partiacutecula
natildeo relativiacutestica Demonstramos tambeacutem que as isometrias da meacutetrica degenerada estatildeo
associadas agraves simetrias locais geradas pelos viacutenculos de primeira classe No Capiacutetulo 3
estudaremos a partiacutecula relativiacutestica e no Capiacutetulo 4 a corda bosocircnica Neste capiacutetulo disshy
cutimos tambeacutem alguns aspectos em aberto da quantizaccedilatildeo da corda em campos de fundo
gravitacional degenerados No Capiacutetulo 5 apresentaremos algumas observaccedilotildees finais e
conclusotildees bem como algumas questotildees que poderatildeo ser exploradas no futuro
7
Capiacutetulo 2
A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido
objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa
ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees
de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar
nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada
surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo
dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de
Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados
e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial
O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy
toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo
que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de
viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso
da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL
Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem
8
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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Capiacutetulo 2
A Partiacutecula Natildeo Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
o modelo de urna partiacutecula natildeo relativiacutestica em campo de fundo gravitacional tem sido
objeto de bastante pesquisa na literatura [22] Quando a meacutetrica do espaccedilo admite inversa
ou seja natildeo eacute degenerada natildeo haacute viacutenculos no sistema Apesar disto a accedilatildeo e as equaccedilotildees
de movimento natildeo apresentam o inverso da meacutetrica de tal forma que possamos considerar
nestas o caso em que a meacutetrica eacute degenerada Poreacutem I quando a meacutetrica eacute degenerada
surgem viacutenculos jaacute que neste caso natildeo podemos isolar todas as velocidades em funccedilatildeo
dos momentos canonicamente conjugados Sendo assim utilizamos o procedimento de
Dirac [23) para o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano pala sistemas vinculados
e verificaremos que ainda -surgem viacutenculos adicionais com uma estrutura natildeo trivial
O caso degenerado apresenta uma estrutura rka de vinculos No formalismo Hamilshy
toniano temos situaccedilotildees que dependem do posto da meacutetrica e da dimensatildeo do espaccedilo
que influenciam na existecircncia de uma determinada classe de viacutenculos Esta estrutura de
viacutenculos seraacute bastante uacutetiacutel como modelo simplificado no tratamento dos viacutenculos do caso
da corda em campo de fundo gnwitaciacuteonaL
Como discutimos na Introduccedilatildeo geral o fato da meacutetrica poder estar definida sem
8
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
I
inversa na accedilatildeo e nas equaccedilotildees de movimento de Unl modelo abre uma linha de anaacutelise
que teraacute resultados natildeo triviais visto que para um espaccedilo com meacutetrica degenerada o
movimento de uma partiacutecula neste espaccedilo admite uma caracteriacutestica notavelmente distinta
do caso em que a meacutetrica admite uma inversa Eacute o que veremos nas seccedilotildees a seguir
21 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Natildeo Degenerado
Uma partiacutecula sujeiacuteta a um campo gravitacional eacute descrita pela accedilatildeo
l it _ 1 -ijS - -m gijx x dt (21)2 t
onde m eacute a massa da partiacutecula A partir desta accedilatildeo as equaccedilotildees de movimento obtidas
satildeo
aiii + fijlXiii = 0 (22)
onde
rijl =21 (Dj9jl +8j gil - 807ij)
Notemos que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento estatildeo bem definidas mesmo que a
meacutetrica nagraveo posssua inversa Ao considerarmos o momento canonicamente conjugado a
Xi
DL jPt acircxi mx aij (23)
se lij natildeo for degenerada temos que
xi = giJgt (24) m
9
I
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Com isto podemos construir a Hamiltoniana canocircnica associada a esta accedilatildeo a partir de
Hc = Pd i - L obtendo 1 H = _nllp_ (25)c 2m J1
Neste caso o sistema nagraveo possui viacutenculos o que possibilita estudar a evoluccedilatildeo da
partiacutecula utilizando Hc
Adicionalmente devemos notar que com o determinante de gij sendo diferente de zero
podemos escrever
gij = e j ejhab (26)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 D a = 1 )D e hab eacute a meacutetrica euclideana
ie plana natildeo degenerada com assinatura (+ + + +) e com o mesmo posto de gij-
Jaacute no caso em que 9ij possui determinante nulo ou seja sendo uma meacutetrica degeshy
nerada uma forma de definir 9ij com posto arbitraacuterio eacute considerar os vetores de base
assim como a meacutetrica hab como tendo os indiacuteces a num intervalo numericamente inferior
ao dos iacutendices i Neste caso) o posto de 9ij eacute numericamente inferior agrave dimensatildeo D do
espaccedilo Desta forma iremos considerar uma meacutetrica degenerada conforme veremos na
seccedilatildeo a segUir
10
I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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I
22 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Vamos considerar um espaccedilo geneacuteriacuteco com dimensatildeo D que possui uma meacutetrica degeshy
nerada Vamolt definir a meacutettica degenerada de dimensatildeo D e posto r por
h9ij=ei ei laquo6 (27)
onde ei satildeo vetores de base com i = 1 )D a = 11 1 (r lt D) hOb eacute uma
meacutetrica euclideana ie plana) nao degenerada e com assinatura (+ + +)) poreacutem com
posto diferente de gij Notemos tambeacutem que ef natildeo satildeo matrizes quadradas e assiacutem natildeo
possuem mversa
Desta maneira o detenninante de gij eacute zero e assim a meacutetrica possui D - r auto-valores
nulos o que implica em gjjut = O sendo (]~ os (D - 1) autcrvetores associados
Para uma partiacutecula de massa m movendo-se em um espaccedilo com meacutetrica degenerada
vamos considerar a lagrangeana como sendo
I d 1 hL = 2mmjX X = 2mx x (lOacute (28)
onde ia = eixi O momento canonicamente conjugado eacute entatildeo
fJL p = - = meiacutealaquol (29)I ()il
onde xa = hIxt Como a meacutetrica eacute degenerada natildeo podemos inverter eacutesta equaccedilatildeo para
obtermos as velocidades Xi em termos dos momentos Fi Isto indica a presenccedila de viacutenculos
no sistema Se considerarmos os D - r auto-vetores U~ aplicados em (29) temos
PV Dl J O (210)i () = mg) na = ~
implicando nos vinculos primaacuterios
4)10 = PiU1 (211)
11
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
onde escolhemos Q = l + 1 D representando D - l componentes
Podemos achar uma forma expliacutecita para U~ a partir das equaccedilotildees dos momentos (29)
Nestas equaccedilotildees podemos resolver as velocidades em funccedilatildeo dos momentos apenas para
as r componentes iniciais
P bullmelXa
Pr = middot (212)merxn
onde obtemos x(J = xlaquo(Pi ) (i l = 1 1)
As D - r equaccedilotildees restantes1
Pr+l mer +1tu
Pu ~ meDxmiddot a (213)
satildeo relaccedilotildees algeacutebricas que formam os viacutenculos conforme veremos a seguir
Antes j devemos notar que ei possui inversa em um setOl reduzido definida por eacute~ com
= I 1 e a = 1 I T Neste caso a matriz associada eacute quadrada e inversiacutevel i
Entagraveo para p mex
a bull (214)
onde podemos usar que
i -fi ocirc ta eurotl = Ui (215)
temos
-i D ellrjmXa (216)
12
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Considerando os D - l momentos restantes p~
~i ne rirn -me x -me-shy (217)n- (b- q 1n
temos os D - r vInculos
IPa = Pet ~ ere1l1 = O (218)
Os viacutenculos) na forma deduzida acima permitem obter uma forma expliacutecita para U em (211)
PiU = O= P - e~erpi (219)
ou seja l
i i J _ iU(gt = 6(gt ~ en~ 6] (220)
A HamHtoniana canocircnica do siacutestema eacute dada por
1 Hc = Pacirc1
- L = -ir PiPj (221)2m
-i Jcom li e(l el) ta) sendo a inversa da meacutetrica natildeo degenerada
- -ll-bhUi i = eje] aImiddot
Levando-se em conta os viacutenculos primaacuterios a Harniltoniana seraacute
H = Hc + AgraveUltIU) (222)
onde 0 satildeo os multipliacutecadores de Lagtange associados aos viacutenculos ltPn
ContruIacutemos tambeacutem a aacutelgebra de Poisson dos viacutenculos
ifgt ifgtp = Mop Mnf = )Vl~[JEi (223)
1 ) (a ) a if) ( )IV nO = [4 ep)uacutea - e[nCa i ctJcI (224)
A evoluccedilagraveo tampara do viacutenculosr dada por ltIacutela = fuI Hl corno condiccedilatildeo de cooshy
sistecircnciat fornece
~Q = No + MotJgtJ = OI (225)
13
bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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bull
onde
N ppNo ~ o 1 J
N ~ 2~ [-angii +e~e~akmiddotgil - 2gn8ke~ecirc)1middot (226)
Vamos a seguir considerar os casos em que os vetores de base ef satildeo integraacuteveis ou
natildeo
23 Vetores de Base Integraacuteveis
Vamos considerar a situaccedilatildeo em que ei eacute integraacuteveJ ou seja j se satisfaz a 0iejj = O em
todo o espaccedilo
Neste caso) MuacutefJ O No = O e ~(l = 0 significa entatildeo que Ccedilf)Q satildeo os uacutenicos viacutenculos o
do sistema e satildeo todos de primeira classe
A simetria local gerada pelos viacutenculos eacute dada por
ampxttaacutexi = liltpQXi = le~er = _eoacute (227)
onde ta eacute O paracircmetro infinitesimaL
A Lagrangiana do siacutestema pode tambeacutem ser esClitagrave como
1 AaAhL = 2mtJ ~ 61 = ecircjxi + exo (228)airaquo
A simetria dada por (227) implica em oacutetfI = O que faz a Lagrangiana ser invariante
Usando (227)1 todos os tfl podem ser fixados por uma escolha de gaugel pois temos
D -1 viacutenculos de primeira classepC e entatildeo restam D - (D - 1) = l graus de liberdade
Desta forma a Lagrangiana (228) passa a ser
1 0L - tmiddot= -m9ijx x
deg1
~ (229)2
14
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
[21J LA Cabral e VO Rivelles ParticIes and Strings in Degenerate lVletric SpaceS j
preprlllt 1999
84
[22j H Kleiacutenert Path IntegraIs in Quantum Mec1utnics Statistics and Polymer Plz~rsics
(World Scientificcedil Singapare Second Edition 1995)
[23J PAM Dirac Leccediltureson Quantum Mecnanics (Yeshiva University Press NY 1964)
[24] D Lovelock e H Rund Tenson Differentiacuteal Forms and VariatJollal Principies (JOH~
WILEY amp SONS New York 1975)
I [25J C W Misner K-S Thome e JA WheelerGravitation (WHFREEMAN and Comshy
panYI San Francisco 1973)
I i I
[26] K SundermeyerConstrained Dynamics (Springer-Verlag 1982)
[27] M Greeo J Schwartz e E Vitten Superstril1g Tlleuroory (Cambriacutedge U Press NY
1987)
[28J A Giveon e li Roeek Iutroduction to Duality hep-th(9406178
[29] A Giveon e M Rocek Nuel Phys B421 (1994) 173
130J T Buchr Phys Lett B194 (1987) 59
[31J iLDiakonou KFarakos GKoutsoumbas e EPapantonopoulos Phys Lelt B240
(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
que descreve urna partiacutecula em movimento num espaccedilo com uma meacutetrica natildeo degenerada
91j em r dimensotildees
24 Vetores de Base Natildeo Integraacuteveis
Neste caso qfeij 01 o que faz Mot3 middotr~ O Entatildeo a condiccedilatildeo de consistecircncia (225)
precisa ser reso)viacuteda para os multiplicadores de Lagrange )lt loque envolve a utilizaccedilatildeo
do iacutenverso de lioJ Poreacutem JVfofJ eacute uma matriz aIltislt)imeacutetrica quadrada de ordem (D - t)
e a existecircncia da sua inversa dependeraacute entatildeo do valor de (D - 1) Devido a isto existem
duas possibilidades1 Lo D - l par ou iacutempar
241 D - r Par
Neste caso MafJ possui uma inversa Mo3 de tal fOlma que
Agrave - - JaPN-iVJ J (230)
Todos os multiplicadores de Lagrange NJt satildeo resolvidos Entatildeo todos os viacutenculos
sagraveo de segunda classe Desta forma o nuumlmero dos graus de liberdade seraacute dado por
D - ~(D - r) = HD + r)
Adiacutecionalmente podem ocorrer outras lestliccedilotildees na meacutetrica que implicam em
det(lvIQJ) = O no caso D - r par Assim teremos uma variedade de situaccedilotildees entre
os casos extremos D - l par e iacutempar Poreacutem vamos ccedilOll5iderar apenas estes extremos
o que eacute suficiente para percebermos como se toma a estrutura dos viacutenculos do caso com
meacutetrica degenerada envolvendo qiacutee~ F O
15
242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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242 D - r Iacutempar
Neste caso det(M) = O e com isto natildeo podemos resolver (225) para todos os Aa O
nuacutemero de viacutenculos ltPoacute tambeacutem eacute iacutempar) significando que existem viacutenculos de primeira
classe entre os (gtuacute ou existem novos viacutenculos Da mesma forma como analisamos as
velocidades em (212) e (213) seguimos um raciociacutenio similar para estudar as equaccedilotildees
em (225) Visto que lvI possui inversa para as primeiras D - l - 1 componentes vamos
resolver as primeiras D - T - 1 componentes de (225) para obtermos as componentes
associadas a Agravea
B O~(N H D~)Agrave- = M n + lVJo D_rAtilde I (231)
com cl fJf = 1~ D r-I I onde devemos notar que reescalamos os iacutendices U para a
envolvendo umacantagem efetiva do nuacutemero de componentes utilizadas ou seja (D-1-1)
componentes
A componente restante 4gt V-r passa a Seacuter o novo viacutenculo
pX = tPD-r = NV + JlfD_rJPAgrave_ r
(ND~ - MD~f3vr~Na) (232)
onde utilizamos (231)
Devemos notar que tomo em (225) obtemos os viacutenculos atraveacutes dos auto-vetores com
auto-valores correspondentes nulos eacute de se esperar que o mesmo aconteccedila com X Podemos
entatildeo definir ( 3uto-vetor de j1 neste ccedilasot conforme estaacute descrito no apecircndice A
A aacutelgebra de Poisoon para os novos viacutenculos eacute dada por
ltl Ocirc)( ocircltla f)iJ o (233)Q) X = ampj4gt(t acirc~ - 8Pt 8j X - f)Pp vpX
A Hamiltoniana fica entatildeo da seguinte forma
H = Hr + l1iFa + IJX (234)
16
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
onde l eacute o novo multiplicador de Laglange associado ao viacutenculo X A partir da Hamiltoshy
Iliana (234) as condiccedilotildees de consistecircncia seratildeo agora dadas por
x= X Ho + AO X 4 + )0-X iflo_ = 0 (235)
J D~rlt11 = No + Agrave Mop + Agrave Mo_ +IltIIQ )( = O (236)
0_ = No_ + )1MD_B + liIgtD_ X = O (237)
A partir de (236) sabendo que M possuiacute inversa obternos entatildeo AJI
gtP = _MoP (No + D- VIo_ + I lt11 0 X) (238)
Substituindo gtiY na equaccedilatildeo (237) resulta em
ND _ - MoP NodvID_1f + II-MolPo XMD-J + ifln-ndl = O (239)
que equivale a
X +I [_MOP iflo X Mo_p + ifl D_ X] = O (240)
que na superfiacutecIe dos viacutenculos implica em p = 0 Aleacutem disto da equaccedilatildeo (235) obtemos
o valol de AgraveD-l
gtD- = X HoH- M~1fN~ X ltgtp (241)X PD Mop MoD_(X Pbullbull
Determinamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange de modo que isto faz com
que todos os viacutenculos sejam de segunda dasse Como temos (D - r + 1) viacutenculos de
segunda classe) o espaccedilo de fase tem 2D - (D -1 + 1) D + r-I dimensotildees
25 Caso NIl = O
Das equaccedilotildees da evoluccedilatildeo de ciU) sabemos que
Ni - J1_ j + 8 middotij _ 218 ( )1(t - 2m fJoy ecA~1 kg 9 k euroaS (242)
17
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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[28J A Giveon e li Roeek Iutroduction to Duality hep-th(9406178
[29] A Giveon e M Rocek Nuel Phys B421 (1994) 173
130J T Buchr Phys Lett B194 (1987) 59
[31J iLDiakonou KFarakos GKoutsoumbas e EPapantonopoulos Phys Lelt B240
(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
Entretanto) podemos escrever Ni em termos dos vetores de base ou seja
iVii __L[_o (~0J) 0 (~Iid) _Olimno(d)] (243)1 o - 2m Ua eae +euroQeurob tlll ece-d + emen Uk e(ltcb
1 [ b bullbull d k d ( bull )]= 2m -2aQ~eLoacutea +2ebecircftacirclif~oacutec +-2ccedilecirc-Joacutec ocirclececirci +eoocirclef (244)
Usando que
cri ~k ~iD -eacuteIaecirc4 = -ea Cc oCh (245)
D -i -[I -t n ~ kled = -CdeaUkeuroII (246)
obtemos
N i j - -j1 ~jIi (0 11) - ) o = ea Cc elgt V(uekl - Ct [Ieuroli] ) (247)
onde
t -I 1la = eVcc (248)
Logo
Ti - (~c ~c) ~ t41gt - shyNo PiPj = NQ = D(oellJ - fc(J[IekJ ea u PIPCl (249)
onde FI = eacute~Pi
Podemos entatildeo concluir que se os vetores de base satisfazem a
- n -lt -r(n - i) )voeI - Uke() = e)eb (eurok - -kel ) (250)
temos No = 0 Neste caso veremos a seguir como ficaraacute Mal1 Substituindo (250) nas
componentes de MolJ J temos que
~p (n ti a I)-I -jl-te)Mo3 = ea tl uoeJ3l - e[oej3Jea eurobUkei (251)
18
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Entatildeo Na = 0 com a$ condiccedilotildees (250) implicam em
M = ~pj (DLueuropl ff[a -) (252)a3 eu - Plukep
Podemos notar que mesmo com Q(ie)l - O a partir das relaccedilotildees acima) ainda podemos
ter Na = O= M ufJ caso que ocorre diretamente quando D[iei) = O
A relaccedilacirco entre Nu = O = AacutefoJ com D[ie) f O ainda poderaacute revelar propriedades
geomeacutetricas que relacionam os casos integraacutevel e natildeo integraacuteveL Isto seraacute tratado em um
futuro projeto
Vamos analisar o caso em que Na = O e lVafJ I- O Neste caso)
4 = MupgtP = O (253)
Para D - l par existe a inversa MafJ Entatildeo
gt1 lvInjJltfCP = O (254)
o que resulta )P = O
Para D - l iacutempar natildeo existe a inversa Ivluf3 Mas
lvloOgtP = )JJ lvlofJl + )D-r A1oD_r = O) (255)
ou ainda
)3 Aacutela1 + )p-rlValD_r O
)3IvD-rfJ o (256)
Segue que (J _ 0-_ Uaacute~ A _ A lEla D_riacutell ) (257)
ficando AgraveD-r indeterminado
19
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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130J T Buchr Phys Lett B194 (1987) 59
[31J iLDiakonou KFarakos GKoutsoumbas e EPapantonopoulos Phys Lelt B240
(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
Mas qCtgt IJIJ fi O o que implica num conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de
segunda classe Neste caso existiraacute uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que seraacute de primeira
classe
Se considerarmos as combinaccedilotildees
lt1gt = O r = pD-r - iv[)D rM(gttJ iPj3 = 0 (258)
verificamos que
ltIgtIlr = ltIgtp ltlgtjD_ - ltIgtIlMoD-MltIgtp = MIJV- - M~D_ = O (259)
Analogamente (pn-r r = O Entatildeo temos que iPp satildeo de segunda classe e r eacute de
primeira classe Podemos verificar ainda que t = 0=4gt1
Entatildeo concluiacutemos que para o caso em que No = O e ivfaJ f O temos1 para D - r
iacutempar1 D - l - 1 vinculos de segunda classe e um viacutenculo de primeira classe de ta forma
que o sistema teraacute D + l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de fase Para D ~ l par haacute
D -1 viacutenculos de segunda classe implicando em um sistema com D+1 graus de liberdade
no espaccedilo de fase
26 Isometrias e Viacutenculos de Primeira Classe com Meacutetricas Degeneradas
Uma isometria eacute definida como um automorfismo de uma variedade sendo assim eacute
uma transformaccedilatildeo que preserva a meacutetrica da variedade A deriacutevada de Lle da meacutetrica 91)
com respeito ao vetor de IGlling Ko eacute que representa a isometria [24J Em componentes
isto significa
(LKg)ij = KocircmgJ + (i)K)qrnj + (ojK)Om = 0 (260)
onde l = 1 r eacute o iacutendice associado ao nuacutemero de vetores de Killing existentes para uma
determinada isometria m eacute o Iacutendice das componentes de um vetor Ju
20
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Para a Lagrangiana da partiacutecula nacirco relativiacutestica nutri fundo graviacutetadonal escrita em
(28) conideretrlos a seguinte transformaccedilatildeo
dri = -eu1(i (261)
onde f0 eacute um paracircmetro infinitesimal constante
Com (261) vejamos como a Lagrangiacuteana em (28) se transforma ou seja
1 JL = m(2D9ijXX + OixIiacute) (262)
onde temos
OcirciJij oacutext 89ij = ax
-f)tDijfdeg[( (263)
Mi = _(O Ilt~)
-fuaj[(~ij _ da ( (264)
Substituindo (263) e (264) em (262) temos
(I f) middotimiddotmiddot [) (i) (ijIiacuteL -meacute 2Io tgijX x + Oi [1X l - nu c flijX
-~meo(K~Ocirctgijxjmiddotxj + alK~gijixt + ()jJ(gijxjjl) - mecircu K~gijj
1 (f n a f( a )i (i j- -me o09lJ + 9Ju1 + 9 nn X1- - me l 1)1llmiddotXJ (265)2 U t]
Entatildeo) para a transformaccedilatildeo (261) a Lagrangiana eacute invariante desde que a meacutetrica
satisfaccedila agrave condiccedilagraveo de isometria (260) e o paracircmetro f0 seja constante
Devemos notar que tanto para a definiccedilatildeo de isometria em (260) como para a transshy
formaccedilatildeo infinitesimal efetuada na Lag1angiana natildeo foi necessaacuterio o inverso de 91j Com
isto podemos analisar tais operaccedilotildees no caso em que a meacutetrka eacute degenerada
21
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
I
Neste caso l vamos considerar a meacutetrica definida em (27) sabendo que esta possuiacute D-r
auto~vetores nulos U~ que implicaratildeo em D -1 viacutenculos ltPo = O Conforme demonstrado
na Seccedilatildeo 22 do Capiacutetulo 2 sabemos que quando os vetores de base satisfazem a alie]) = Oj
os viacutenculos lJa = Osatildeo de primeira classe Os viacutenculos sendo de primeira clasic gCiam as
transformaccedilotildees (227) que deixam a Lagrangiana na forma (228) invariante Entretanto
ao considerarmos as transfOlm(LCcedilOtildees (227) reescritas como
15x1 = -l~(t)lJ~ (266)
temos que a Lagrangiana na forma (28) se transforma proporcionalmente a
UOcircmgiacutei + (f)U)gmj + (fJjU)Uiml (267)
que ao compararmos com (260) corresponde a (IUO)I) Com isto temos que a Laglanshy
giana eacute invariante se ocorrer uma isometria para a meacutetrica degenerada Nesta iacutesometriacutea
os auto-vetores nulos coLTespoudem aos vetores de Kiacutelling
Devemos notar que para a accedilatildeo com meacutetrica degenerada) existe uma caracteriacutestica egshy
pecial)ie a transformaccedilatildeo infinitesimal (266) jaacute eacute local ou seja o paracircmetro (o depende
do tempo ao contraacuterio de uma meacutetrica que natildeo eacute degenerada Esta localidade eacute devido
a transformaccedilatildeo (266) ser gerada por viacutenculos de primeira classe Para o caso em que
a meacutetrica natildeo eacute degenerada natildeo existem viacutenculos primaacuterios e nem os de primeira classe
porque natildeo haacute autltrvetores nulos para esta meacutetrica Assiacutem para haver uma isometria
no caso de uma meacutetrica natildeo degenerada que permita a invariacircncia da Laglangiana) eacute
necessaacuterio que o paracircmetro CO seja constante e a derivada de Lie seja considerada com
vetores de Killing especiacuteficos de acordo com a geometria do espaccedilo Neste caso a condiccedilatildeo
de jsometria ecirc a usual ou seja eacute considerada como o anulamento da derivada covariante
simetrizada do vetor de KiIling [25]
22
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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A Chamseddine e D Wyler Phys Let B228 75 (1989) D Cangemi e R Jacldw
Phys Rev Lett 69 233 (1992)
12) M Blau e G Thompon Ann Phys 205 (1991) 130
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(14) E Witlen Comm Math Phys 117353 (1938)
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[17) R P Zaikov Phys Letl B263 (1991) 206
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119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U
Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
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84
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[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
Capiacutetulo 3
A Partiacutecula Relativiacutestica
Introduccedilatildeo
Uma partiacutecula relativiacutestica massiva movendo-se num espaccedilo-tempo de Minkowski com
D dimensotildees eacute descriacuteta por uma accedilatildeo proporcional ao comprimento da trajetoacuteria da
partiacutecula ao longo da linha de universo [26] Ao considerarmos o movimento em um
espaccedilontempo curvo de D dimensotildees com meacutetrica gpv e determinante diferente de zero
apresCntaremos) na Seccedilatildeo 31 a formulaccedilatildeo Hamiltoniana cuja aacutelgebra dos viacutenculos eacute de
primeira classe
Considerando que a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento na Seccedilatildeo 31 estatildeo bem definidas
mesmo no caso em que o determinante de glIgt eacute nulo ou seja sem admitir a existecircncia
do inverso da meacutetrica~ construiacutemos na Seccedilatildeo 32 o formaliacutesmo Hamiltoniano Neste caso
encontramos viacutenculos adicionaiacutes que seratildeo de pt-imeira ou segunda classe dependendo
explkitamente da meacutetrka Apresentamos para cada forma da meacutetrica a classificaccedilatildeo dos
viacutenculos e fi dinacircmica efetiva que descreve o movimento da partiacutecula
23
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
31 A Partiacutecula num Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
A accedilatildeo de uma partiacutecula relativiacutestica de massa m movendo-se em um espaccedilo-tempo
curvo descrito por uma meacutetrica 9JJln eacute dada por
(1 eS JTJ dr 2efJlillxl-jl - 2m2) ) (31)
onde T eacute o paracircmetro de evoluccedilatildeo e e eacute uma variaacutevel auxiliar que eacute conhecida como einbein
As equaccedilotildees de movimento obtidas a partir de (31) satildeo dadas por
ISS 1 8e = 2c2 fpvxl-iP + ~ = deg1 (32)
sectS r PII e fl o (33)-li flppX + tttpx x - -gppc = 1 xP e
onde r pup = 4(apgpv + Ocircp9vp - OcircpUtw) eacute o siacutembolo de Cnristoffel de primeira espeacutecie Deshy
vemos notar que a partir de (32) podemos obter a forma usual da accedilatildeo que eacute proporciacuteonal
agraveo comprimento da trajetoacuteria da partiacutecula Com isto substitulmos e ohtido de (32) em
(31) e obtemos
i1J 12S = m ixv911) I di (34)
~
A formulaccedilatildeo em 34 eacute importante como uma motivaccedilatildeo baacutesica para definirmos conforshy
me veremos no capiacutetulo seguinte a accedilatildeo de uma corda uma vez que uma corda movendoshy
se no espaccedilo-tempo gera uma superfiacutecie Entretanto a formulaccedilatildeo da accedilatildeo em (31) em
termos da variaacutevel auxiliar e permite considerar o limite de massa zero
Outro aspecto importante eacute que (31) (32) e (33) estatildeo bem definidas mesmo se a
meacutetrica nagraveo possuiacuter inversa
24
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Vamos considerar os momentos canonicamente conjugados a e e xP respectivamente
dados por )L P _ agraveLp_~=e-lg xmiddotV (35)lI = )e = 0 pv uxP
Considerando que 9JlV admite invers~ construiacutemos a Hamiltoniana canocircnica que eacute dada
por
H = (ppPgPv + m) (36)
Como o momento associado a e natildeo eacute proporcional agrave velocidade temos a existecircncia
de um viacutenculo IIe = O no sistema Considerando a evoluccedilatildeo deste viacutenculo obtemos
e( )[I = 2 P + m = 0 (37)
onde p2 = PpPv9PIJ 1 que implica na existecircncia do viacutenculo
rp = p2 + m2 = Q (38)
Como P~ TIe = OI entatildeo os viacutenculos tp = e TIe = O satildeo de primeira classe e a Hamiltoniashy
na canocircnica ecirc diretamente plOpolc1onal a tp Esta proporcionalidade eacute uma caracteriacutestica
das teorias invariantes por reparametriacutezaccedilatildeo sendo o viacutenculo de priacutemeira classe o gerador
da simetria
ConsidereInos a seguir quais as propriedades que iratildeo surgir no caso em que JPIJ natildeo
admite inversa
25
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
32 A Partiacutecula em Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Na seccedilatildeo anterior observamos que para obtermos M velocidades associadas a xP neshy
cessitamos do inverso de 911 Assim como no caso da partiacutecula nagraveo relativiacutestica o fato
de hw ser degenerada implicaraacute numa condiccedilatildeo adicional que representa a existecircncia de
um 000 viacutencuLo primaacuterio
Utilizando a mesma accedilatildeo equaccedilotildees de movimento e momentos considerados na seccedilatildeo
anterior vamos construir a Hamiltoniana canocircnica para o caso em que g~1V eacute degenerada
Vamos considerar novamente a meacutetrica na seguinte forma
a b Jpu = ep eu ffah 1 1aY =diag(-I+I+I ___ +I) (39)
tal que f1 = 01 bull D-l d = 0 1 I r-l Verificamos facilmente que o determinante
da meacutetrica se anula
Analogamente ao que ocorreu no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica pelo fato de natildeo
podermos obter todos os xl a partir de PIl em (35) temos um viacutenculo primaacuterio adicional
~t de tal forma que os viacutenculos pruumlnixios satildeo
TIe = 0 (310)
~vp OPH - e eu 1 (3_11)ltli
onde li O) 1) 11 - 1 r ~ D ~ L
Considerando (31l) e utilizando a seguinte relaccedilatildeo entre OS vetores de base
~ I ~ si pecircep = 84 trat e = 6 (3_12)
a Hamiltoniana canocircnica Hc = PpxJJ ~ L) eacute dada por
e ( 2)Ht=2 P + m ) (3_13)
26
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
-i
i
onde
~2 ~pJIp PP == 9 I 11 (314)
~II I UI (I ~v9 1] e-aefl (315)
Devemos notar em (314) e (315) que aparece apenas ecirc~ que eacute o setor de gllV que possui
inversa Neste setor os iacutendices estatildeo definidos por Ji = 01 r-I e a = O 1 ___ j - 1
de taJ forma que ecirc~ se torna uma matriz quadrada que admite inversa
Considerando os viacutenculos primaacuterios obtidos em (310) e (311) temos a HamiltonIacuteana
primaacuteria
Hp = ~ (p2 -- m2) + gtIIe + )1lPe (316)
onde) e )i satildeo os multiacuteplicadores de Laglallge associados respectivamente aos viacutenculos
lle e ~e Vamos efetuar a evoluccedilatildeo temporal dos viacutenculos utilizando Hp Como
eI=l xmiddotp=J~
obtemos que
uacute = -4 (p2 + m) = O = o (317)
ltlgte = elt1gt- ~ (P + m) + Agrave 4gt- rI + Agrave ilgt1f ltlgtd = o (318)
Devemos observar que a evoluccedilatildeo de Ile resulta em um viacutenculo P = (p2 + m 2) = O
que se assemelha ao viacutenculo rp em (38) do caso natildeo degenerado Entretanto no caso
degenerado fl eacute construiacutedo em apenas um setor de 9J1v conforme podemos notar em
(314)
Calculemos a seguir os parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos Em (318) temos
1 ~~-i(p2+m2) -[-f)pygt PjlPAacute 2 shy
(eIeuf)vuApri)P + Pv 11(I (aef eu) Pgt)U-A)l - (319)
27
- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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- -
Vamos reescrever (319) considerando (312) e
-ti ~ ~Vf) - I o 6 ~piacute)pea = ~elaquo eu europ 8pe = -ejeJlDpe-a) (320)
onde (320) eacute obtida a partir de (312) Com isto passamos a ter
-fi al -)ltpi ~ (P + m) - 2PjPgt i)tleall el +
2 - ( -I) U -Agravep Pel etl uvee 1 ed I )- shy
P ( i) 01 ai) -v) -pgt (321)2P l ia lep + Cp jleci 9
P P -v-)-P cd~ a t-J dd-rla -v) (322)= 1 )1 (eaeuroifec1j ulRep +euroedl ela pite]
W - -X ccedil(i ( ar gt lt1 )= PaPltfec f) qtexl- hj 0veJ
onde
h ) a -) - -) ~ = e ea Pa = eaPgt
Consideremos agora
I ( -Agrave) (-J) 1-n (4 -Agrave) -p n
ltlgtl) iIJt =- Pgt181 c1 eb - lt1 cf eo
eteuroVVp eteQ - ctteqIVI
p )PAacute a1ehd - hre amphiJ
(323)
(324)
( -N)JeLel (325)
(
Entatildeo podemos escrever (318) como
iIacuteot = N + )-Al11 = Dl (326)
onde
28
j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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j
- - -x eacuted ( 0 )1 a ) N = ePPdec 1] (lee~j - ht qveacutexl (327)
gttI) (328)Pvf1 = (gt~Il_1 = Pgt (acirc~hJ - hlt 8p hJi
A partir destas uacuteltimas equaccedilotildees observamos que acircmiddote~ = O implica em 7vlpu = O e shylVp = O e analogamente ao caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica) natildeo haacute novos viacutenculos o
que torna todos os viacutenculos presentes como sendo de primeira classe Neste caso) existem
l - 1 graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Poreacutem considerando que M f O e NJ O temos os seguintes casos a ccedilonsiderar
321 Caso D - r Par
Para D - par sabemos que existe a inversa de lvlL que replesentaremos por (~i1)e~
Entatildeo d (326) obtemos
Agrave = - N (M) (329)
Mas
l d = M O ~O =Nl O (330)
Entatildeo existem JJ - 1 1 viacutenculos de segunda classe ou seja) um nuacutemero iacutempar destes
viacutenculos Pala termos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe seraacute necessaacuterio
extrair uma combinaccedilagraveo linear dos viacutenculos que seja de primeira classe Vamos escrever
essa combinaccedilatildeo linear como
1gt = JO + f 14fgt (331)
Assumindo que tJ eacute de primeira classe obtemos
29
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
~
~ I = I~ qJ~ I = ~I~N~ = O (332)
qJ iPe 1 I iPe + I~ iP~ iPe -2-INp+ I~Mpp = o (333)e - shy
Uma soluccedilatildeo para (332) eacute dada por
f = Nelv1et (334)
uma vez que AtIPPNeN = O devido agrave antissimetria de lvIPP
Substituindo (334) em (333) temos
f~Ne = NA1YLMpp = Neacute~ (335)
que resulta em f = ~ Logo o viacutenculo de primeira classe que envolve a combinaccedilatildeo dos
viacutenculos iniciais eacute dado por e
qJ = 21 + MPPNHiP~ (336)
Desta forma existem (D -1) viacutenculos de segunda classe IJgt e dois viacutenculos de primeira
classe cP e rIe Entatildeo existem D + l - 2 graus de liberdade no espaccedilo de fase
322 Caso D - r Iacutempar
Para D - 1 iacutempar natildeo existe inversa de v Entatildeo seja l = 1 D - 1middot - 1 de tal
forma que = ( D - 1) Neste caso a partir de (326) obtemos
v D-r N + vJtAgrave- + lHpI D_rAgrave-- = O= I (337)
30
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
-- -
NO_r + JYfo_rflgtl = O= ~Qr (338)
Entatildeo
)I = _tI (NE + MfD_r)D-r) (339)
Substituindo (339) em (338) temos
4- 0 _1 = ND - + 1IID - r3 [-bJt~ (Ni + 211rD_rAD-r)Jr
- IIIv_r[[MlrN = 0 (340)N O _ r a
Verificamos que a expressatildeo de ltlgtD-r) atraveacutes da substituiccedilatildeo de )e encontlado~ envolve
uma combinaccedilatildeo de NeM De fato encontramos um novo viacutenculo dado por
PX N D - - iVID_rd1VfIJ- NIi = O (341)r
Vejamos como fica a evoluccedilatildeo dos novos viacutenculos
X XI+~ XltPE H D- x ltPo_
Xltp IVleJtNe x IPI
+ = ( x ltP= - te MeD- x ltp~) = 0 (342)
DP = Agraveioacuteltpltp = Agrave~ ltpltpd H - ltPltPD_
- [vo N + gtQND_ r ]
~~ [-11ft (Nt + Mil2JAfJ-r) NJt + )0-1No-r]
2 0( lNM N N )--)-=- M-- lD-r - O-r e -- - shy
-~)-x = O (343) e
31
- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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- --
Da evoluccedilatildeo de rp natildeo obtemos novos viacutenculos Da evoluccedilatildeo de X obtemos
Hxp + MtiNe x ltlgtEAV-r = (344)(x ltlgto_ - Mfi Me= A ltlgti)
desde que Xl 1Jtv_r -lvIe iacuteV1fD-r x Pe f 0 De acordo com o apecircndice A o autoshy
vetor nulo de Mec eacute dado por
VI = 6~_r - ~tJv~rflA1f Jtsect~ (345)
Poreacutem j
Vex ltlgte = 5~bullbull)( ltlgte _~fo_ ecircMiacutemiddot6x ltlgte
X ltlgtD_ - Mn_ pMiacutemiddot X ltlgtd (346)
que emresponde ao denominador da expressatildeo de )o-r em (344) Entatildeo
x= ~xp -M Na X ltlgtd + ID-VeX ltlgte = O (347)
Devemos observar que -2
Vp ltIgt~ = -VlNe = 0 (348) e
veltIgt= ltIgt~ = V~MfJ-E = O (349)
Poreacutem sabemos que X = ~ Wl2=l que comparando com (349) nos permite concluir
que veX ltIgt~ p O Entatildeo (347) permite determinar
ID- = MNX ltIgt - Hx ltp (350)
V~XltIgt
onde o denominador natildeo se anula Logo determinamos Aacutei e D-r Isto impUca que os
viacutentulos t 1 satildeo de segunda classe
32
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
- -
- - -
Vamos agora determinar se X eacute de segunda classe lsto seraacute determinado de fonna
anaacuteloga agravequela apresentada no caso natildeo relativiacutestico com a diferenccedila que no presente
caso existe um vinculo adicional p A Hamiltoniana ecirc dada por
e H = 1 + APR + IX- (3_51)
Vamos verificar se a evoluccedilatildeo dos viacutenculos pellnite determinar o multiplicador de Lagrange
p associado ao viacutenculo x
ltigt AIOJ + Iltpxl -2 2 0- --)Np - -Agrave-ND_ r li PX = O (3_52) e - e shy
x= x P + AacuteX p = 0 (3_53)
ltie = Ne + Agrave~ pJ + I Peacute X = Q (3_54)
Considerando (354) com = lI D ~ r temos
ltfel[ NI[ + gtlMI[ li + )0-Me +Ix =0 (355)
tIacutei12 ND _ +)iMo_ +L D--I = O (356)
De (355) obtemos
Aacute = -M (NI[ + )o-MI[D_ + I l xl) (357)
Substituindo (357) em (356) obtemos
No_ - M i (N + ADMe D- + liI xl) MD_ + liIo-d = O (358)
33
que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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que eacute equivalente a
ND- - leIo e Mo_ NI + )I ( D- x - Mo I 1gt[0_ (li x) = 0 (359)
Isto resulta em
X-I(V~xllId) =0 (360)
De (360) conduiacutemos7 entatildeo que fJ = D
Entatildeo em (352) temos
-2 (tV- iVjt ~ A011D-r)-0- 1 (361)e - -- shy
que equivale a
~2 [~Altflll (Na + AgraveD-r1vfn D-) Ne + )O-rN D_I] = Uuml (362)
resultando em
-2 ( ) -2 D_)o-r NO_r - lv Q ][a D_rNjj = -Agrave-=X = o (363)e - - - e
Com esta uacuteltima equaccedilatildeoconduiacutemos que ltp = O natildeo gera novos viacutenculos Em (353) temos
0 (364)~x ltp + Agrave x +1- AgraveD- X ltIgt o =
que equivale a
~X ltp - M I (NI + gt2MI QJ X 1lI + AgraveD- (X 0-) = 0 (365)
Esta uacuteltima hnpliacuteca no valor de Agrave D-r jaacute encontrado anteriormente em (344) ou na forma
equivalente em (350)
Determiacutenamos entatildeo todos os multiplicadores de Lagrange associados aos viacutenculos
X e ltPll o que implica que estes satildeo viacutenculos de segunda dasse Poreacutem) sabemos que
y ordf = -~Nl ~ O Entatildeo ip tambeacutem eacute de segunda classe
34
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Para (D-r) iacutempar obtivemos um conjunto de viacutenculos formado por um nuacutemero iacutempar
de viacutenculos de segunda classe Com isto a matriz formada pelos parecircnteses de Poiacutesson dos
viacutenculos de segunda classe natildeo eacute inversLveL Desta maneiacutera deve existi uma combinaccedilatildeo
dos viacutenculos que seraacute de primeira classe
Seja degconjunto dos viacutenculos de segunda dasse
fl~l = (ltpX9J = (rIA)fIBlf1e1) (366)
Considerando a representaccedilatildeo matricial
11lt) 11 fWfl) (367)
sabemos que detlb(ccedil) (1)11 = 0 jaacute que a ordem de f eacute iacutempar mas por ser uma matriz
antissimeacutetlica seu posto seraacute uma unidade infedor agrave sua ordem conforme discutimos no
Apecircndice A Sendo assim existe um uacutenico auto-vetor u-() com auto-valor nulo tal que
WIJtW I) = 0 (368)
onde
I() - 1lt) - ~(D ) (_1~1)(()61lt) (369)r - D~f) I _r I i laquo
Consideremos a seguinte combinaccedilatildeo
3 = WWfllt) (370)
Entatildeo
3fIO = wllrljf l) +WIIflJrll
WI) 111 1lt1 = O (371)
Logo
35
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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1987)
[28J A Giveon e li Roeek Iutroduction to Duality hep-th(9406178
[29] A Giveon e M Rocek Nuel Phys B421 (1994) 173
130J T Buchr Phys Lett B194 (1987) 59
[31J iLDiakonou KFarakos GKoutsoumbas e EPapantonopoulos Phys Lelt B240
(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
3 = lt1= - ltIv_r(II (1 lltlrlaquoI (372)
eacute a combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe
Temos r(ccedilj = (11) XI ~e) como o conjunto com viacutenculos de segunda classe e os viacutenculos
de primeira classe e I1e Assim existem D + r - 5 graus de liberdade no espaccedilo de fase
36
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
I
i
Capiacutetulo 4
A Corda Bosocircnica
Introduccedilatildeo
Quando consideramos a partiacutecula relatiyiacutestica movcndo-se no espaccedilo-tempo esta realishy
za uma trajetoacuteria que define uma linha de evoluccedilatildeo No caso de urna corda movendo-se no
espaccedilo-tempo existe uma superfiacutecie de evoluccedilatildeo associada ao trajeto da corda ~este caso
a accedilatildeo do modelo de uma corda seraacute proporcional agrave aacuterea da superfiacutecie de evoluccedilatildeo Esta
superfiacutecie por estar iacutemersa no espaccedilo-tempo possui uma meacutetrica induzida pela imersatildeo
A accedilatildeo) por ser proporcional a uma aacuterea e esta ltirea estar reladonada ao determinante
da meacutetrica induzida define a formulaccedilatildeo do modelo de corda atraveacutes da accedilatildeo de Nambushy
Goto [26] )Juma outra forrl1ulaccedilatildeo 1 que eacute equivalente a de Nambu~GotoJ temos a accedilatildeo
de Polyakov que por ser de primeira ordem nas derivadas dos campos ecirc muito uacutetil no
desenvolvimento da Teoria de Cordas em vaacuterios aspectos
~este trabalho um aspecto importante eacute a definiccedilatildeo da accedilatildeo com o campo de fundo
graviacutetadonaJ sendo este campo representado pela meacutetrica do espaccedilo-tempo no qual a
superfiacutecie de evoluccedilatildeo estaacute imersa Neste caso a accedilatildeo e as equaccedilotildees de movimento natildeo
envolvem o inverso da meacutetrica do espaccedila-tempo sendo possiacutevel considerarmos o que ocorre
quando a meacutetrica passa a ser degenerada) conforme veremos ao longo das seccedilotildees seguintes
37
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Vamos construiacuter o formalismo HamiJtoniano e considerar uma contagem efetiva dos graus
de liberdade para a corda imersa num espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
Em analogia aos modelos das partiacuteculas) os viacutenculos presentes iratildeo depender de algumas
propriedades dos vetores de base que constituem a meacutetrica degenerada Entretanto l Jlor
ser um objeto estendido comparada a uma partiacutecula) surgem propriedades no formaliacutesmo
Hamiltoniacuteano que tomam o modelo bastante diferente do eacuteaSO em que a meacutetiiacuteca do
espaccedilo-tsrupo natildeo eacute degenerada
Apresentaremos na Seccedilatildeo 41 o caso em que li corda estaacute imersa num campo de fundo
glavitaccedilional arbitraacuterio Obtemos soluccedilotildees claacutessicas que satildeo independentes da meacutetrica
do espaccedilo-tempo quando as invariacircncias da accedilatildeo natildeo satildeo totalmente fixas Ao fixarmos
as invariacircncias restantes notamos que a meacutetrica deve satisfazer algumas condiccedilotildees tesuIshy
tando em campos de fundo gnwitacionais especiacuteficos sendo que alguns destes podem ser
degenerados
Na Seccedilatildeo 42 apresentamos o desenvolvimento do formalismo Hamiltoniacuteano no caso
em que a corda estaacute imersa num campo de fundo gTavitacional natildeo degenerado e degeneshy
rado) tratados separadamente No caso degenerado obtemos viacutenculos com uma estrutura
algeacutebrica natildeo trivial ccedilomparada ao caso natildeo degenerado A evoluccedilatildeo destes viacutenculos iraacute
gelar detalhes importantes na forma como a corda inteiage com a estrutura geomeacutetrica
do espaccedilo-tempo que admite meacutetricas degeneradas
41 Algumas Soluccedilotildees Claacutessicas para a Corda em Campos de Fundo Gravitacionais
A accedilatildeo de uma corda em um fundo gravitadona1 GJltI(X)j definido em um espaccedilo-tempo
de dimensatildeo Donde (iv ~ O D -1) eacute dada por
s = 4-1 dltrdn-hhIC)(j(OT)Gpu(X(OT))OcirclaquojXPOcirc(jXU (41)
38
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
onde h(a(bl (a) = O) 1) eacute a meacutetrica da superfiacutecie de evoluccedilacirco da corda As equaccedilotildees de
movimento para Xli e hab sagraveo respectivamente
V~h Ocirc(a) (V-hMa)(bIOcirc(raquoXP)GAP + r ph(a)(bIOcirc(lXP)(bI X = 0 (42)
~ - G (O vpa X ~h h(aI(bI vPi) V) - oJ(a)(b) JJII (a) (b) - 2 (a)b) U(a) W)I - (43)o_o
Observemos que as expressotildees de (401) a (43) natildeo dependern do inverso de GlfJ
portanto estatildeo bem definidas mesmo quando GIJV for degenerada
No gauge ortonormal lc hab = 1ab (42) e (43) se reduzem a
GprhtLXP + r wgtacirc+X1I EcircLXv = 01 (44)
Tiplusmn = Gpv8plusmnxp fhXV = 0 (45)
onde acircplusmn = (Ir plusmn De) Ir =8 e a = 8
Como podlJUOS ver existem soluccedilotildees para as equaccedilotildees de movimento (4A) e (45)
da forma 8+XP = O ou acirc_xl = O que satildeo independentes da meacutetrica Gpv 116] No csshy
paccedilo~tempo de Minkowski em duas dimensotildees campos que satisfazem soluccedilotildees da forma
DplusmnXiacute = 0 sacirco chamados de boacutesons quirais Nesta telminologia denotaremos a COOldeshy
nada da corda envolvida em tais soluccedilotildees como sendo quiraI
Poreacutem sabemos que a escolha do gauge conforme relacionado agrave invariacircncia de repashy
rametrizaccedilatildeo e de Wey1t ainda deixa uma invariacircncia residual [27J que pode ser fixada
conl a esrolha de gauge X+ = = ~(XQ+ X D- 1) = (X + Pt) sendo P uma constante
Neste gauge a coordenada X+ natildeo eacute mais quiral ou seja acirc+x+ O Desta maneira
as soluccedilotildees 8+X i = O = acirc+x- nas equaccedilotildees (44) e (45) jaacute nacirco satildeo mais exatas visto
que existem termos contendo acirc+x+ que natildeo iratildeo se anular Com isto se qulsennos obtel
39
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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[31J iLDiakonou KFarakos GKoutsoumbas e EPapantonopoulos Phys Lelt B240
(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
a soluccedilatildeo quiral acirc+xJJ = O (para fL = - i) devemos impor que o conjunto dos termos
contendo acirc+x+ se anule
As componentes das equaccedilotildees (44) contendo os termos acirc+x+ = P e acirc+xJJ = O para
fL = - i podem ser escritas como
P(2o+G+ - oG++) + (o+G_ + o_G+ - oG+_)EcircJ_X- +
+(o+Gj + oP+])EcircJ_xj = 0
o+G++ + o_G++EcircJ_X- + op++EcircJ_xj = 0 (46)
P(2o+G+_ - o_G++) + o+G__ EcircJ_C +
+(o+Gj _ + OjG_+ - o_G+j)EcircJ_xj = O
Analogamente para (45) resulta em
(47)G++(P) = deg 2G+_PEcircJ_X- + 2GH PEcircJ_X +
+2G_EcircJ_X-EcircJ_X + G__EcircJ_X-EcircJ_X- + GjEcircJ_XEcircJ_xj = O (48)
As equaccedilotildees de (46) agrave (48) possuem soluccedilotildees que iratildeo depender da forma de Gv
Com isto uma soluccedilatildeo destas equaccedilotildees (independente de X+) eacute dada por
G__ 9-shy C_i = fi-i G+ j = fiij (49)
G+i oh G+_ = o_h G++ = 0 (410)
onde fi e hsatildeo funccedilotildees apenas de X- e Xi
40
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Temos~ entatildeo) uma forma para Gpv que permite a soluccedilatildeo quiraI para as componentes
x- e Xl com todas as inlaquotrlacircnciacuteas da accedilatildeo (41) completamente fixas
Aleacutem dos possIacuteveIacutes GJ natildeo-degenerados existe tambeacutem umaacute forma de Gjgtv que tambeacutem
satisfaz (46) agrave (48) POleacutem com determinante nulo As componentes de Gpv satildeo
G+_ = iLh G++ = O G_i = [aiX+ + gi(Xi)[G+_
(411)
G = G+(jG_j ) G__ = OG+i aih -+ f)i h ij G+_
onde ltli satildeo constantes e h = h(X~) Xi) Vemos entatildeo) a presenccedila direta de uma meacutetrica
degenerada na soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento da corda em campo de fundo gtavftashy
donal desde que as coordenadas da corda sejam do tipo quilaL
Consideremos a seguir o formalismo HamiacuteltonIacuteano em que seraacute considerada a presenccedila
de campos de fundo com meacutetriccedilas natildeo degeneradas e degeneradas
42 Formalismo Hamiltoniano
421 Campo de Fundo Gravitacional natildeo Degenerado
Para a construccedilatildeo da Hamiltoniana associada a accedilatildeo (41) consideremos as densidades
de momento
OL = 0 (412)1(a)(J = Oh(a)(b)
DL rT O(b) bull1p = - = -Tv -hh iiX G(X) (413)IX(P
Ionde T = 21lt bull
41
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
No caso em que detGpu I- O) temos o seguinte conjunto de viacutenculos primaacuterios
ltIgt(A)lb) = 1()(0) = O (414)
Vamos introduuacuter os seguintes parecircnteses de Poisson
l la)l)( ) () 11i()() 1i1)1i(41)ti( )l O 1 r(ccedilJd O r = 2 (c) U(d) ( (c) dJ (T - (J
(415)
X(lt1) P(cr) = Iitli(lt1 - cr)
Vamos calcular a dependecircncia temporal dos viacutenculos em (414) atraveacute-s da Hamiltoshy
niana primaacuteria H
rH = lo dcrCtI + (4)()lt1gt10)11) (416)
onde (a)(bj sagraveo multiplicadores de Lagrange e
= -1 [(_h)-12 GP + 2hOl X middottmiddot T(middot~h)~ll Xmiddot XG 1 nc 2hOO T rprv rw I PVl (417)
onde XI = qXJJ Da evoluccedilatildeo tlmporal de ([gtabl cujos detalhes dos caacutelculos se enconham
no apecircndice B) obtemos os seguintes viacutencu10s secundaacuterios
1 IPI = TPJlX p OI (418)
ltp = ~ (PPG + XmiddotXO) = O (419)
A evoluccedilatildeo temporal de (418) e (419) niio gera novos viacutenculos e todos os viacutenculos da
teoria satildeo de primeira classe como podemos constatar atraveacutes da aacutelgebra
42
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
ltP1()ltP1() = r-1ltp1() + ltPl(o)Dqoacute( shy O) (420)
ltp(q) ltp(O) = Y-ltP(O) + ltp2(cr)]Doacute(q shy O) (421)
(ltP2(ltt)ltP(o-) = r-~ltPl(cr) + ltp1(a)JDoacute(cr- cr) (422)
I
I 1
422 Campo de Fundo Gravitacional Degenerado
Consideremos uma meacutetrica degenerada num espaccedilo-tempo de D dimensotildees dada por
Gf1f = eer1l4v Desta forma dei(GplI ) = 0 jaacute que o posto de G que eacute igual a r I eacute menor
que D
Quaudo det(G1w ) = O temos o mesmo viacutenculo 4(1)(11) = 0 mas da definiccedilatildeo de 1l em
(413) vemos que para eliminarmos -Y necessitamos da inversa de Gpv Como esta natildeo
existe iremos mostrar que surge um novo vinculo
Vamos escrever PII como
PI
na =
=
LlQep l
AfO(b)a(b)XIIet lJo1 (423)
Considerando uma divisatildeo do iacutendice Jj da forma Jt = (pJ ft) onde J = O 1 T -1
r D shy 1 temos
f =
F
Pll
=
=
oacute cep
Llae~
(424)
(425)
43
1
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
Poreacutem no setor (ar u) podemos definir uma inversa dada por ecirc~ entatildeo
a - oacute~ (426)eielj
0 ~y ( (427)eell shy De (424) temos que
-p60 = eaPp (428)
Logo a ~I-nPe =e1e(lrv (429)
Temos entagraveo1 o seguinte viacutenculo primaacuterio
~ ~ o-v~Tt = rJ - cearv = 0 (430)
Devemos notar ainda que
ltPI - U~P) (431)
U 6Atilde fi-v1 (432)- - eeo 1I
onde (432 corlesponde a uma representaccedilatildeo dos auto-vetores nulos de Gw bull ou seja
UiGv = 0 ( 433)
Seodo assimj
OMI possui D - r auto-vetores com auto-valor zero) 1e D - auto-vetores
nulos
Para a meacutetrica degenerada em estudo obtemos a densidade de hamiltonIacuteana canocircnica
1iacutec cujos caacutelculos estatildeo efetuados no apecircndice B t
li = -1 r(-h)-12 P+2hol~ P--T(-h)lXPXG 1 (434) 2hOO T r pJ IJU
44
onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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onde
-2 -si arf--vP = G PP = fi eee PPif
(435)
xtl = XllX fV GJW = XfJeX)tJe~fJi1f
Como jaacute obtivemos todos os viacutenculos primaacuterios) vamos evoluir estes viacutenculos com a Hashy
miltoniana primaacuteria Hp
Hp = (n + Agrave(0)1)p(41() + AgraveltI1J dll (436)
Inicialmente vamos evoluir o viacutenculo P(a)b = O Poreacutem devemos antes notar que
Plo)() ltIgt = o (437)
Como 1lc apresenta a mesma forma do caso natildeo degenerado a partir de
1(11) = 0 (438)
obtemos os seguintes viacutenculos secundaacuterios
1 IPt = rPpXP =0 (439)
1 P 2( )=0) (440)P2=iiacute T +X
conforme demonstrado no apecircndice B
A partir destes uacuteltimos viacutenculos podemos reescrever 14 como
n = - h~ [(_)- 1 + lo] (441)
45
Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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Evoluindo ipt
(442)4gt = f (lt1() 1i(cr) + ) (a) (O)) dl7
temos
ltI(a) flc(u) = c (u) lO (a) + co ltP(u) 1O(a) (443)
onde
hOl
Cf = -Tshy (444)hOO
c = _ TL-hL)-_l_I (445)2 h
Os parecircnteses de Poisson restantesl cujos caacutelculos se encontram no Apecircndice C satildeo
dados por
(l7) 101 (l7) = -(a)05(0 0) (446)
- - ) d bullltI(a)IO(lt) 2PPif e4 Dlee~Joacute( - lt)
a 7 d Y o( +2rftrde~ eQecgt fi V1le] (J - (f
-U~(a)DGp(a)X XP(a)J(IT - 0)
+2U~(a)G()XP(0)Oasect(a - ) (4gt17)
(u) (u) = M(a)oacute(O - ) (448)
o ~( Vo pM~t = PCIIUil(Ji o) + Ppeacute[eue)Cty(u)
46
(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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(449)
Para o uacuteltimo termo de (447) vamos utilizar que
Ocirc(Ui(ltI)GM(a)X(a)(u - raquo) = O
ocircrr(Ui(U)GM(U)X(u)(a- a))
- ocircrrU(iTlG()X(iT)oacute(umiddot ltI)
+ U(iT)G(cr)X(a)adsect(u - cr) (450)
Entatildeo
Com iacutesto podemos reescrever (4A7) como
iI~() p(u) - n(u)oacute(u - a) (452)
bullbull eacuted() [a (l e ( l]11(0) - 2Paliff ee cr [eeXj a - el crpeg] (J
fJ Atilde I v -Ui)~GX X (a) - 2fiUGX (a)
Desta formal segue que
~ l ilgt(u) i() - c (-ilgt()ocircJ( Cf)) + cn()6(lt7 - 17)
- Nlaquo)oacute(a - ) (453)
(454)
47
Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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Considerando todas as contribuiccedilotildees de (442) ficamos com
4gt(lt1) = f (Ne(I7) + MeR(uraquo) i( - a)dltT
N(ltT) + AeMe(u) = 0 (455)
Observamos que (455) possui urna forma correspondente aos casos das partiacuteculas
relativiacutestiacutecas e natildeo relativiacutesticas Sendo assim analisaremos os casos em que a dimensatildeo
de M eacute par ou iacutempar
423 Caso D - r Par
Existe a inversa de MJ portanto a partir de (455) determinamos os multiplicadores
de Laglange)t = -MJLJVt
Vejamos como ficam as evoluccedilotildees dos viacutenculos secundaacutetios CP1 e 1J2
h (u) = f (lI (0) H(I7) + -IR lI (er) wR(u) ) dltT (456)
0(0) = f (I(a) H(a) + AgraveR I(O) 41(I7)) dO (457)
lI (0) H(u) = Cl OI (a) 101 (er) + c101 (a) (a) (458)
( (a) H( 17) = Cl I (l 11 (er)) + c ltp() lO (u) (459)
No apecircndice C apresentamos as caacutefculos envolvidos para a obtenccedilatildeo da seguinte aacutelgebra
dos viacutenculos
I (t7111 (a)) = [11 (O) + 1 ()[IV(O - ) (460)
48
I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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I (Cf) (a) = [(a) + (u) j amp6(u - u) (461)
(u) 1 (o) ~ [I (a) + 11 (o)J OJ( - 0) (462)
Entatildeo podemos concluir que
Oacute O (463)
natildeo gera novos viacutenculos
Poreacutem de
(1(0-) 4l~(cr) -ne(cr)oacute(a - u) _Ne(o-)oacute(ltT_ lt7) (464) C2
segue que
Iacute2 = _j)ILNL(o)oacute(a - u)d c
-~WlaquoT) (465) c shy
Como Ai = -MItNE verificamos que
1lO = --M~N N O (466)
C2 tlL
natildeo gera novos viacutenculos
Temos entatildeo um conjunto com um nuacutemero iacutempar de viacutenculos de segunda classe Iacutep
e P2 Desta fonna vamos considerar urna comhinaccedilagraveo dos vinculos que seja de priacutemeira
classe
ifgt (12 + fecircifl (467)
49
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
~
e determinar os coeficientes ~ e fI a partir de
ltIgt ltp jifgtE ltp ~ fENeacute = O
ifgte Ccedilltp2 ifgt + fMEeacute = o (468)
Temos que a soluccedilatildeo para (468) eacute dada por
j = NeMe ccedil = c (469)
Entatildeo
ltIgt = C212 +N -MeltIgt (470)
eacute a combinaccedilatildeo procurada
Ficamos com um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe definidos por 4)1 e com os
viacutenculos de pximeira classe dados por q IPl e P(a)(amp) Entatildeo existem D + r - 4 gxaus de
liberdade no espaccedilo de fase
424 Caso D - r Impar
Neste caso como o determinante de Me eacute nulo sabemos que existe um auto-vetor nulo
v~ de M tal que VeMee = O Entatildeo) em 41 = O na equaccedilatildeo (455) de modo anaacutelogo
ao que fOI realizado na partiacutecula relatiacuteviacutestica1 surgiraacute o viacutenculo
x = VI1 = O (471)
onde ao utilizarmos a representaccedilatildeo de WI obtida no apecircndice A) obtemos
x = _ -M D _ r JMl1oacuteNL=O (472)N D r
50
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Utilizando novamente a analogia da partiacutecula relativiacutestica t poreacutem desta vez compashy
rando com a equaccedilatildeo (339) do Capiacutetulo 3 o valor de )t dado por
)l = - MP ti (Npbull + M p ~)1J-r) (473)
Vamos~ agora determinar a evoluccedilatildeo temporal de X 1 IPI e 12middot
Analogamente ao que foi realizado no caso D - r par a evoluccedilatildeo temporal de IPi natildeo
gera nOvOS viacutenculos Para I)z temos
IacuteJ = - Agrave~N() = c ()(N + )v-ND bullbull) bull (474)Cz - Cz - shy
Substituindo )11 temos
D-r OrJ2=A-X= bull (475)
ou seja j nenhum viacutenculo eacute gerado
Vejamos a evoluccedilatildeo de X
x= x Hp = f ((X() 1tlaquoa) +v (x(a) 1II(u)) du (476)
x 1t(u) = CI (x(cr) 11 (ltr) + cx(a) ltp(tI) (477)
Para ficar com uma forma conveniente anaacuteloga agrave partiacutecula relativiacutestica consideremos
1-1laquolt7) = ~ltp (478)
onde q = Ctf11 +C2Pamiddot iVbs 1t((Tt) = Ct1pl + C2)02middot Logo CI(2) = ~ecircl(2) Entatildeo
c(x1-IlaquotI) = x Zlmiddot (479)
Ainda temos
51
- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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- - -Atildeex Igt = Atilde x 1gt + AtildeD-x lt1gt0- (480)
logo
Xlaquo7) = j (X() ~ltP() +) Xlaquo7) 1gt () + Agrave= X() P o_(er) ) d (481)
Nesta uacuteltima expressatildeo vamos substiacutetuir )V de modo anaacutelogo ao que foi realizado na
partiacutecula relativiacutestica lesultando em
x(O) = j(x() ~ltp() - MUN~ x ltgte
+D [ X lgto_ - ME D_MfLii x pd] )d (482)
Devemos notar que
VixltIgtJJ = xIgto- -MrlD-MP XltgtL (483)
natildeo se anula Entatildeo
D- = - xC) ~ltp() + MUacute~N~ X PL (484)
Vi x ltgtt Determinamos entatildeo Agrave~ e )O-r Desta forma l)e eacute um viacutemulo de segunda classe
Como a Hamiltoniana estendida apresenta a mesma forma da partiacutecula relativiacutestica
concluiacutemos que o multiplicador de Lagrange J eacute nulo o que permite detenninar X COluO
viacutenculo de segunda classe Como ltP2(Il) lgtIJlt7) O concluiacutemos que Pz eacute de segunda
classe
Resta analisar )Oh X Temos que
52
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
PIX = pXpVeN
~ p VRXPNR+ X VPN~
+PpNRXPVR+ XPN~PpV (485)
Natildeo eacute possiacutevel determinar se (485) anula-se ou natildeo pois O caacutelculo envolvido depende
explicitamente da meacutetrica
Entatildeot Se iacute1 X O teremos um nuacutemero par de viacutenculos de segunda classe Neste
caso existem D + 1 - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Por outro lado se 1P1 X = O~ teremos um nuacutemero fmpaJ de viacutenculos de segunda
classe e neste caso existe uma combinaccedilatildeo dos viacutenculos que eacute de primeira classe Como
a estrutura dos viacutenculos e evoluccedilocirces deste satildeo similares ao da paltiacutecula relativiacutestic3t a
combinaccedilatildeo dos viacutenculos denominada 3 seraacute da mesma forma Assim temos os viacutenculos
de segunda classe iP~p2 e X e os viacutenculos de primeira classe ~11 P(a)(b) e 2 Neste caso
existem lJ + l - 3 graus de liberdade no espaccedilo de fase
Podemos concluir que a contagem dos graus de liberdade que eacute definida localmente
para cada ponto ao longo de (J eacute independente do valor de cp) (O) X(c)
Adicionalmente condulmos que o estudo inicial das partiacuteculas em espaccedilos com
meacutetricas degeneradas1 foi bastante uacutetil para auxiliar () deuroSenvolvimento da aacutelgebra dos
viacutenculos no caso da cuacutetda sendo que esta apresenta uma estrutura de viacutenculos mais
complexa A estrutura dos viacutenculos das partiacuteculas se assemelhando com a estrutura do
caso da corda serviu de comparaccedilatildeo para tambeacutem determinar a combinaccedilatildeo correta dos
viacutenculos que deveriam ser de primeira classe como tambeacutem para determinar corretamente
as evoluccedilotildees dos viacutenculos primaacuterios e secundaacuterios Estas evoluccedilotildees por serem constituiacutedas
de equaccedilotildees natildeo triviais soacute foram simplificadas atraveacutes de uma analogia com respeito ao
tratamento dos viacutenculos de um modelo simplificado em relaccedilatildeo ao da corda ou sEja o
das partiacuteculas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas
53
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
--
Com o uso da partiacutecula natildeo relativiacutestica em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que
possui uma estrutura de viacuteuculos simllar ao da corda coDseguimos resolver de forma conshy
sistente a relaccedilatildeo entre a ordem da matriz MD e a condiccedilatildeo de consistecircncia para o viacutenculo
~R Entretanto) por natildeo apresentar analogia aos viacutenculos secundaacuterios da corda Le 111
e Pl uma generalizaccedilatildeo do modelo para o caso relativiacutestico trouxe condiccedilotildees e motishy
vaccedilotildees adidonaiacutes ~o caso relativiacutestico desenvolvido no Capiacutetulo 3 o viacutenculo secundaacuterio
para a partiacutecula ou seja o vinculo IJ serve como analogia para simplificar os viacutenculos
secundaacuterios da corda Esta simplificaccedilatildeo eacute uacutetil principalmente com respeito a consistecircncia
dos viacutenculos para o caso em que os vetores de base nagraveo satildeo integraacuteveis e quando A1il natildeo
possui inversa
43 Isometrias na Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos de Primeira Classe
Conforme vimos nos modelos das partiacuteculas descritos nos Capiacutetulos 2 e 3 a condiccedilatildeo
ocircpe~ = O
tornava os vinculos de pthneira classe Se considerarmos Ocircpe~~ = Opara a corda j obtemos
a partir de (4A9) (452) e (454) que
M() = 0 (486)
NJ(u) = c( -UiJGApXAXP(lt7)
au Atilde2-iJGpX (er)) (487)
Esta forma de Nl nagraveo permiacutete que todos os viacutenculos da teoria sejam de primeira classe
Poreacutem devemos notar que os termos restantes em N podem ser reescritos de uma forma
especial se considerarmos que a meacutetrica degenerada implica em uma isometria no modelo
54
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Vamos considerar a condiccedilatildeo de isometria na forma
U8jltG)gt + GgtJocircpU + GjjpacircgtU = 0 (488)
onde Ue representa um auto-vetor nulo de Ggtw
Partindo de (488) temos que
UI G_ = -GI 11 - G i)U (489)i P A1 PJ IP ~
onde podemos utilizar
a G gt p p gtxp (490)Ul x x -2GAgravepi)~lx
Mas
OpU xp = auJ (491) Q
logo
fi ) p aufl )Uf)GX x = -2GAX (492)
- ult1
Substituindo (492) em (487) temos N~laquoI) = 0
Assim temos ~ = 01 que natildeo gera novos viacutenculos e ficamos com um conjunto de
viacutenculos de primeiradasse dado por W-e 1ft e P2 Entatildeo a teoria teraacute D-[D-r+2] = 1-2
graus de liberdade no espaccedilo de configuraccedilatildeo
Coro este resultado podemos concluIacuter que a anaacuteliacutese da isometria para a meacutetrica deshy
generada no caso da partiacutecula natildeo relativiacutestica foi bastante uacutetil para o caso da corda
servindo como motivaccedilatildeo na obtenccedilatildeo dos viacutenculos de primeira classe
55
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
I
I
Apesar da condiccedilatildeo de integrabilidade dos vetores- de base permitir uma obtematildeo imeshy
diata dos viacutenculos de primeira classe para as partIacuteCulas telativiacutesticas e natildeo relativiacutesticas
o mesmo natildeo ocorreu para o caso das cordas visto que a condiccedilagraveo de integrabilidade natildeo
tornou todos os viacutenculos de primeira classe Neste ponto um recurso importante j que eacute a
isometria associada agrave meacutetrica degenerada permitiu a obtenccedilagraveo completa dos viacutenculos de
primeira classe da corda com meacutetrica degenerada
Aleacutem disto no caso da corda com meacutetrica degenerada j os viacutenculos de primeira classe
soacute estatildeo presentes para o caso em que ocorre a isometria em termos do vetores de Killing j
sendo estes identificados com os auto-vetolCS nulos da meacutettica degenerada
Adicionalmente) a existecircncia de isometrias no modelo da corda em campo de fundo
graviacutetacional eacute de importacircncia fundamental para a fotmulaccedilatildeo de accedilotildees duais [28 29 30]
Nesta formulaccedilatildeo a accedilatildeo obtida a partir de transformaccedilotildees especiacuteficas nas componentes
da meacutetrica inicial eacute classicamente equivalentente agrave accedilatildeo inicial sendo chamada de accedilatildeo
duaL Poreacutem o procedimento utilizado natildeo utiliza o inverso da meacutetrica Sendo assim)
eacute de se esperar que uma accedilatildeo dual agrave accedilatildeo com meacutetrica degenerada possa dar outras
interplCtaccedilotildees neste contexto de dualidade l agraves meacutetricas degeneradas na teoria de cordas
44 Invariacircncia Conforme em Niacutevel Quacircntico
Uma vez encontrado um sistema de viacutenculos de plimeila classe na teoria de cordas
podemos verificar se a simetria gerada pOI estes eacute preservada em niacutevel quacircntico e se natildeo
foI que condiccedilotildees devem ser impostas para que seja
No caso usual em que a meacutetrica do espaccedilo-tempo possuiacute inversa a aacutelgebra dos viacutenculos
em nivel quacircntico eacute estudada em [31 32] onde satildeo obtidas condiccedilotildees sobre os campos de
fundo de modo que a aacutelgebra continue de primeira classe implicando nas condiccedilotildees de
invariacircncia conforme em niacutevel quacircntieo encontradas em (331
56
Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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Entretanto eacute possivel tratar a aacutelgebra dos viacutenculos para a corda com meacutetrica degeneshy
rada utiliacutezando meacutetodo descrito em [32 em que eacute usado como ponto de partida a relaccedilatildeo
de comutaccedilatildeo canocircnica das coordenadas e seus momentos canonicarnente conjugados que
soacute eacute vaacutelida se os viacutenculos forem de primeiacutera classe em niacutevel claacutessico
Para encontrarmos a aacutelgebra em niacutevel quacircntico necessitamos de um ordenamento que
permita tratar conenientemente funccedilotildees do opeJadoJ posiccedilatildeo X de tal forma que
F(X) ~ F(X) (493)
Este ordenamento eacute justificado com uma escolha conveniente do vaacutecuo da teoria escreshy
vendo
X = T f dcre-2imu X ~ -~Tjdcm-1X() = r X2 lo 4 1m
(494)
2iu p m -l p ccedil = e - pm
onde os modos positiacutevos e o modo zerO de pm satildeo colocados agrave direita os modos negativos
e o modo zero de X m satildeo colocados agrave esquerda das expressotildees escritas em funccedilatildeo de X e
P Os produtos ordenadas natildeo triviais satildeo produtos de X e P 1egol
Pp(O)X(uuml) P(cr)XV(uuml + Pp(O)XV(uuml) (495)
tom
p(I7)X(uuml) = - ~oacute( ~ ccedil lccedil lt II (496)
Urna relaccedilatildeo geral e importante eacute
Ir A r BJ=_TjdEjd(cm- 1-n-1tl(I)B(Uuml (497)im ij 16
57
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Aplicando (496) e (497) altJS viacutenculos usuais da corda com o campo de fundo natildeo
degencrMo j encontramos a aacutelgebra em niacutevel quintko cujos termos adicionais Le aqueles
natildeo proporcionais aos viacutenculos tambecircm chamados de termos de Schwinger se anulam se
o campo de fundo satisfaz as equaccedilotildees de 8instein Temos entatildeo que as equaccedilotildees de
Eiacutenstein satildeo as condiccedilotildees para a invariacircncia conforme em nivel quacircntico
Com o estudo do meacutetodo desenvolvido em [32L podemos fazer o tratamento quacircntico
da aacutelgebra dos viacutenculos de primeira classe da corda num campo de fundo degenerado
Com isto encontraremos os termos de Schwingel conespondentes agrave quebra da invariacircncia
conforme e demais simetrias tratadas quanticamente e estendidas para o caso degenerado
Eacute importante notarmos que esta extensatildeo envolvendo meacutetricas degeneradas natildeo eacute
possiacutevel se o ponto de partida for a aacutelgebra usual do caso natildeo degenerado Isto porque o
uacuteltimo caso ao admitir uma meacutetrica inversa permite a inclusatildeo de contra-termos no trashy
tamento em niacutevel quacircntico proporcionais ao tensor de Riemann [31j e com isto inviabiacuteliza
uma extensatildeo diacutereta para o caso degenerado Vemos entatildeo que tal extensatildeo deve partir
do caacutelculo envolvendo a aacutelgebla dos viacutenculos de primehmiddota claise descrita exclusivamente
com a meacutetrica degenerada
O caacutelculo em niacutevel quacircntico ainda estaacute em aberto poreacutem quando concluiacutedo futuramenshy
te poderaacute indicar mn comportamento quacircntico para lt1$ meacutetrlccedillt1$ degeneradas consideradas
no cuacutentexto da teoria de cordas
58
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
1
Capiacutetulo 5
Conclusatildeo
Os resultados obtidos nesta tese revelam aspectos importantes da dinacircmiacuteca de
partiacuteculas e cordas em espaccedilos com meacutetricas degeneradas que ainda natildeo foram comshy
pletamente tratados na literatura Neste trabalho conseguimos desenvolver o formalismo
Hamiltoniano de forma a obter os viacutenculos e calcularmos a aacutelgebra dos mesmos
Ao desenvolvermos o formalismo Hamiltoniano de forma a obter o conjunto completo
dos viacutenculos conseguimos determinar a dinamica efetiva para as partiacuteculas relativiacutesticas e
natildeo relatiacutevfstkas e cOldas em movimento num campo de fundo gTavitadonal degenerado
Verificamos que quando a meacutetrica eacute degenerada haacute o surgimento de vinculos adicionais
no espaccedilo de fase os quais natildeo possuem correspondecircncia no caso em que a meacutetrica nacirco
eacute degenerada Estes viacutenculos satildeo caracteriacutesticas importantes para os movimentos em
espaccedilos com meacutetricas degeneradas A estrutura dos viacutenculos eacute semelhante para todos os
modelos que tratamos Poreacutem os viacutenculos apresentam maior complexidade quando haacute
invariancia por repalametrizaccedilatildeo que caracteriza as partiacuteculas relatiacutevlsticas e as cordas
Um aspecto bastante motivador foi considelar a isometria no caso da partiacutecula natildeo
relativiacutestica Este modelo por ser o caso mais simples envolvendo meacutetrica degenerada
possibilitou uma anaacutelise simplificada da pre-senccedil-a de isometrias a1sociada agrave meacutetrica degeshy
nerada No caso usual em que a meacutetrica nagraveo eacute degenerada uma isometria estaacute associada
59
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
a uma simetria intriacutenseca da meacutetrica Poreacutem no caso da corda com meacutettiacuteca degenerashy
da concluiacutemos que a isometria estaacute fortemente associada agrave simetria local gerada pelos
viacutenculos de primeira classe Isto mostra como o formalismo Hamiltoniano para a corda
em campo de fundo degenerado revela aspectos geomeacutetricos que natildeo estavam expHcitos na
construccedilatildeo algeacutebrica dos viacutenculos de primeira classe Convem Iessaltar que estes aspectos
satildeo exclusivos da corda com meacutetrica degenerada que desenvolvemos nesta tese
Ainda podemos notar que o uso da isometria para a meacutetrica degenerada permite
algumas motivaccedilotildees adicionais para o desenvolvimento de projetos futuros oriundos desta
tese Estas motivaccedilotildees estatildeo associadas agrave obtenccedilatildeo de accedilotildees duais discutidas em 281 20]
Estas accedilotildees satildeo assim de6nidas por serem classicamente equIacutevalentes agrave accedilatildeo original de
uma corda em campo de fundo graviacutetacional poreacutem com meacutetricas diferentes (30) Um
aspecto marcante nestas accedilotildees duais eacute que para a sua construccedilatildeo natildeo ecirc necessaacuterio o
inverso da meacutetrica Entatildeo) podemos analisar futmamente como as meacutetricas degeneradas
podem se relacionar com as meacutetricas obtidas nas accedilotildees duais
Um trabalho importante para seI desenvolviacutedo euroi o estudo de aspectos quacircnticos enshy
volvendo meacutetricas degenerada) Conforme discutimos no nnal do Capiacutetulo 4) o desenshy
volvimento da aacutelgebra em niacutevel quacircntiacuteco poderaacute fornecer outras apliacutecaccedilotildees para a teoria
de cordas em campo de fundo gravjtacional degenelado Este resultado poderaacute dar uma
descriccedilatildeo alternativa para o estudo das dualidades em niacutevel quacircntico para as accedilotildees duais
Isto se deve ao fato de que as isometrias que satildeo a base para esta simetria de dualidashy
de tambeacutem estatildeo presentes na meacutetrica degenerada Assim podemos esperar que exista
uma relaccedilatildeo especiacutefica entre as meacutetricas degeneradas e as natildeo degeneradas no contexto
da teoda de cordas
60
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
- ---
lt I I
Apecircndice A
Propriedades dos Auto-Vetores Nulos em D - r Impar
Sabemos de (326) que
4gtl = Np + )tMpt = O (A1)
Poreacutem plua D - l iacutempar Mp iJ natildeo possuI inversa) 1e) detM = 0 Sendo assim
vamos considerar o iacutendice I com a seguinte representaccedilatildeo jJ = (iI D - 1) Entatildeo temos
que Ap t possui inversa jaacute que l representa um nuacutemero par de iacutendices Assim A1e1l
eacute de ordem par aleacutem de possuIacute componentes independentes o que toma det(lIJ1tJ - O
Desta forma podemos concluir que Mlk tem posto D - r - 1 possuindo apenas um
auto-vetor nulo
Seja ve o auto-vetor nulo entatildeo
VlMjlt = 0 (A2)
Multiplicando (Al) por V1 temos
VNI + )1VJArJ1e 01 (A3)
que implica em
x =V1Ne = 0 (AA)
61
- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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- -- -
-- --
Entretanto) sabemos que
p vX N D _ r -lVfD _ rPlvI- - Nv = O (A5)
De (A5) e (A4)) podemos fazer a seguinte identificaccedilatildeo
V - oacute M MP ti I (A6)-- D-r- D-r(i --~l
A partir de (A6) podemos checar diretamente que
p aVIMl MD-rl - MD_rflvI- -VI l (A)
pVID_r v - VID_rp~~ = o
Entatildeo podemos concluir que VI eacute uma representaccedilatildeo do auto-vetor com auto-valor nulo
para qualquer que seja a ordem iacutempar de vIl Assim podemos escrever o viacutenculo X de
uma forma compacta) ou seja) X = VN
Uma observaccedilatildeo importante eacute que VI pode tambeacutem ser construiacutedo diretamente a
partir da equaccedilatildeo de auto-valores Consideremos o caso particular (D - 1) = 3 com a
matriz associada a MIl e um vetor em trecircs dimensotildees
O M 12 M13]-M12 M23 -vII3 -lvI23 O
M= [
O
V=(~) Consideremos as equaccedilotildees para o auto-valor nulo de M
v2 M 12 + V 3 vI13 O - V 1 vI12 + V 3 M23 O (AS)MmiddotV=O=- - V 1 vI13 + V 2 M23 O
62
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
A partir de (A8) obtemos o auto-vetol de 111 cujo auto-valor eacute nulo
V = V3 (_A-iBJ -) (A9)M
1
Vamos considerar simplesmente que
y= Ir ~~Y2- ) (AIO)jh~
1
Desta forma
-M13+M13 ) (O)MmiddotY= -Vf3+M = O (AH)
( _ 11$1-I3 + Mp-fta Omiddot Ma M
que garante (A lO) como uma representaccedilatildeo conveniente do auto-vetor nulo de M
Vamos entatildeo identifica as componentes de V em (A lO) com V~ = oacuter-v[Jjqiacute r ~
considerando que (D -1) =l e li = (12)
Neste caso usaremos
ll
M = ( -if12 MI ) M- (O Ma
-~) I (A12)O== _1_ Otilde
onde devemos notar que M eacute constituiacuteda apenas das componentes Ma 11 e que estas
componentes satildeo independentes e natildeo nulas conforme vemos diretamente na matriz bishy
dimensional anteriacuteOr
Ficamos entatildeo com
V I 1 (J _ = -lv[CcedilaacutefwI- e) (A13)
cujas Componentes sacirco detalhadas a seguir
Temos
V I li ~t (A14)-=-~r~ -~r~-
63
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
Mas A12 = -lvf23 = M 32 bull Logo
1 M23 (A15)V = - M 32 bull lv12 = lvft2
eacute o primeiro termo de V em (AIO) Considerando
I 2 2 2 vt -M1M- - - MJ1lv-- (A16)
( -1) M13 -lv31middot M = - lvI
l2 12
vemos que eacute o segundo termo de V em (A lO) E
V D - - V - el - 1 (A17)-- -oi-
eacute o terceiro termo de V em (A lO)
Devemos observar que os resultados obtidos satildeo vaacutelidos para as partiacuteculas e para a
corda bastando considerar os iacutendices apropriados
64
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Apecircndice B
Deduccedilatildeo da Hamiltoniana Canocircnica da Corda com Meacutetrica Degenerada e Viacutenculos Secundaacuterios
Hamiltoniana Canocircnica
Vamos considerar a Lagrangeana na formulaccedilatildeo de Polyakov
L=fCd(T
C = - ~ -hMa)(ifJ(Q)XPfJ(iXG (Rl)
ltI onde (a) = O) L A densidade de momento eacute dada por
_ ac T hh(IO VG 1(bi1 VGP - -lt- = - V -n (b)l1 JW = JIo VlbJt1 JI1I) (Blt2)aX onde
Do X JI = yJJ alx = xelt (Blt3)
Para Gpv = e e~llafI sabemos que detGW) O jaacute que o posto de G eacute T
65
- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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- -
Vamos escrever P como
Pp = 6oep ~
Ao = 1V[Ob)a(b)Xve~ lJaY (B4)
Vamos considerar que Jl = li J onde tt = O)1 T-1 ~ = ID-l Entatildeo
escrevemos (BA) como
p = lJnmiddot euroIl (B5)
Pp = 60 e (B6)
Mas
c ~p - sect (B7)eley
laquo -v sectv (B8)e1- eo
De (B5) temos que
l10 = ecirc~Pp (B9)
Usando esta uacuteltima euroffi (B6) temos
rl-vp (BIO)Pe = el elaquo vi
que corresponde ao viacutenculo primaacuterio
O (BH)eeor = ltP~ Pl
Vamos considerar que
A 00 V OlXv li (B12)gta = lvlt l ep TjI)V lV ev laV
66
Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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Entatildeo
xv g t rIaeJl fIofI = -- - -- vv t (B13)
lv[OO Moo A e v l1aPshy
A partir desta uacuteltima temos
kpe~ Xve~ 1]011 = (1tb Oacutec - lvOI X~e~) (~a - 1deg1Xv e~ 1J01 b) (tI OO )-2
[1ac ~a6c - 2iVI01 X~eAo + (ivJOly~ X~e~ Xve~1l(l1(f]
x (Mr (1l14)
Sabendo que
ocirc~ = lvfoo feGplJ + MOI XvGlv (B15)ax
obtemos
ac X _ C MOOj(Pe~1 XVe~1]olfIX 2
1 Il __ lvI ll X Pe X v ev 1(aVlt (B16)2
Ao considelarmos (B9)) obtemos as seguintes propriedades
ae A ae -li -v P G-~JlIJp P1 tlqtlc = 1] eurooecPl vi = p 1
~Jl a XWP (B17)X eJ tl a p
Substituindo (B17) em (B14) e (B16) temos
ti = PX - C P MOgt [MOI 11] (X) (RI8)2M - MaPpX+ M -M ~
67
onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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onde
i Cfltbull vPpPgt
(X)2 X VG - i fW
Adicionalmente sabemos que
det(h(O)() = ~ = ht _ (hOI ) (B19)h
onde h = det(ho)() e h lt O Considerando que Ma)() = -TV-hha)) temos a partir
de (319)
T(lfol ) _ M = - V_hhoo
(B20)M
Substituindo estas propriedades em (Bo1S) ficamos com a densidade de Hamiltoniana
canocircnica dada por
1 [ p2 I1tc=-- OI T (B21)2hOO TN + 2h PX + r==(X)] f-h
Devemos notar que quando a meacutetrica natildeo for degenerada basta substituirmos p por
I p2 = GfoWPPv paIdega obtermos a forma padratildeo de tlc do caso natilde-o degenerado
Viacutenculos Secundaacuterios
Na evoluccedilatildeo dos viacutenculos primaacuterios Pll)(b) == O atraveacutes da Hamiltoniana primaacuteria Hp
temos que considerar as contribuiccedilotildees vindas de cada componente ou seja precisamos
calcular Poo 1gt01 e 1gt1 t Assim temos
68
1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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1gt()(41 (IT) = 1laquo)(dl (0) Hp = f (1(1(41 (IT) Ii() ) dO (B22)
onde ir etaacute definida em (B21) e tambeacutem usamos que
1laquo)(d) (0) 1(a)(1 (a) 0 (B23)
1()(d) laquoT) g1(a) o (B24)
A contribuiccedilatildeo em (B22) eacute dada por
1Il(dl(O) Ii(u) =
() l[ 1gt T l](-OlPI)(dl () - 2hOO (a) Ty-h + 2h PX + yCii(X Q)
1 p () [ 1gt OI T ] ( ) (B25)- 2h() ()(dl a TyCii + 2h PX +-h (X ) a
Em (B25) Val110S considerar o termo
1()(dJ(U) [T~ + 2hI1X - y~h (Xl] (a) =
1I)dl(a) ~h (a) (~ (u) +T(Xf(u))
+ 1()(dl() heI (0) 21pXP(u) (B26)
No termo (326) precisamos calcular p(C)(d)(O) v~h (Ui) Poreacutem vamos considerar
() f( l oacute(II1 H) I1f(d)r()(dl Cf =-()ldloacute(O-u _ (B27)
Mas para f(u) = (_h)-12(a) temos
69
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
ai(a) 1 ( h)-l( )h ()aacute( ) (B28)ah(a)I) (aU) = -2 - a (a)I) I) 0 Entatildeo substituindo (328) em (B27) ficamos com
PIlt)(d)(q) v~h (a) = _~(_h)-I2()hllt)(d)()aacute( 0 (329))
Um outro parecircnteses de Poisson em (B25) eacute dado por
() I 1middotla)()D( -1)P()(d) 2hOO(ltT) = -2OacuteO)Id) ah(H)
_ ~Oacuter~Id)(hOO)-2(u)amp( - a) (B30)
11)1) 1 (oacute(aH) lI) Iaraquoonde (c)(d) = 2 (c u(d) -r eju(d) bull
Entatildeo usando (B30) e (B29) ficamos cotn (325) dada por
PIltHd) (u)1t(a)) = ~oacutel)(d)(hOO)-() [~ + TX+PX] (0)5(a-c)
1 1 ( )-1( )h () [$2 TV] ( )+ 2hOO(a) -h ()(d) Y + A Q - (J
+ oacute~~l(d)(hOO)-I(a)PX()ciacute( - a) (B31)
A partir de (B31) temo em (B22)
Ih [$ ]POl () PIO() = 2hOO (_h)-I2(a) y + T X 2 (a)
2 1 P ()_ (B32)+ 2hOOlaquo7) X (7 -O
Poo() = ~ (hOO~2(a) [~ + T X2 + pXp1(0-)
1 -12 h03 [P-- 2]+ 2(-h) (a)hOO y+TX (a) =0 (B33)
70
1(lt7) ~ c hll (_h)-l(q) [1gt2 + TX] (0)2 hmiddot T
~hll (_h)-12(0) [1gt2 X] (0) = 2hOO T2 I
Como h1l 6 0 hoa 6 O e h 6 O (B34) eacute equivalente a
O (B34)
jfJ ( )T(a)+TX a =0
Usando (B35) vemos que (B32) e (B33) se reduzem apenas a
(B35)
I 1 2hoo 1xP(cr) = O (836)
Entatildeo multiplicando (B35) e (836) por T- I e sabendo que hoa 6 Oem (836) temos
os viacutenculos secundaacuterios
11 1=T1pXP = 0 (B37)
I
- _ 1shy 12= T +X =0 (B38)
71
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
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A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
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Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
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Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
Bibliografia
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A Chamseddine e D Wyler Phys Let B228 75 (1989) D Cangemi e R Jacldw
Phys Rev Lett 69 233 (1992)
12) M Blau e G Thompon Ann Phys 205 (1991) 130
113) E Wiacutetten Cnmm Malh Phys 121 (1989) 351
(14) E Witlen Comm Math Phys 117353 (1938)
115] JC Baez Commun Math Phys 193 (1998) 210
[16) O A Mattos e V O Rivelles pnys Rev LIt 70 1583 (1993)
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119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U
Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
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(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
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[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
Apecircndice C
Deduccedilatildeo da AIgebra dos Viacutenculos para a Corda
Neste apecircndice vamos calcular alguns parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos da
corda com meacutetrica degenerada e utilizados no Capiacutetulo 4
A seguir temos os parecircnteses de Poisson envolvendo os viacutenculos P(a)(b) com os demais
viacutenculos IDe)Igtj e IP2 que natildeo dependem de Ma)(ij encontrados no Capiacutetulo 4
P(ollI9J = 0 (Cl)
P(oHbjPl = O= P(a)(bjPZmiddot (C2)
Para os viacutenculos IPI e 01 temos
lI (a) w(u) = 1(a) X(a) Pera)
- p()X(IT) Pl (Cf) eacute~ laquo(Tle~ (lt7)
+ X(u)Pl(u)p(u) ii~e~ (u) (C3)
Na equaccedilatildeo (C3)j podemos considerar o seguinte termo
P(aj e~e~ (u) = P(j ecirc~ (a)e~ + PAu) e~ (an (u) (C)
72
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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85
Ma)
X
(f(X(a))1(lt7)rrr = 8~dl j(X(u))J(o- - a) (C5)
V () P(lt7)rrr = OOacute( 0) (C6)-r
Logo
Pp(cr) e~er (u) = [-acirc~)~ (u)er (u) - ocirc~rler (lt7)e-)] (0- - Cf) (C7)
Tambeacutem temos a partir de (C5)
XP() Pe(o-)) = oacute~Daoacute(cr - u) (C8)
Entatildeo (C3) equivale a
OI () ltIgt() = Pe(a)Daoacute(o- - Cf) - PfJ(u)~ (o)e~0( - 0-)
+XPa)Pp(a) (O ecirc~ (araquo) e~ (0-)0(0- a)
+X(o-)1p (O e~ (a)) e (0-)6(0- - (1) (CO)
Poreacutem) o segundo termo de (C9) pode ser escrito como
ti e~ (iJ)ocirco(o- - ) = ocirc (~ e~ ()) 6(iJ - 0-) + ~e~ (o-)ocirco(o- - 0-) (CIO)
Logo
OI (o) ltlgtv(o) =
1do)ocircoacute(cr - q)- Pp(q) [~(a)e~Doacute(u ) + D (~e~ (uraquo) 0(0 - 0)]
+XP(O)118a (~e~ (araquo) eacute(u - a) (CH)
73
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
Bibliografia
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1
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113) E Wiacutetten Cnmm Malh Phys 121 (1989) 351
(14) E Witlen Comm Math Phys 117353 (1938)
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[16) O A Mattos e V O Rivelles pnys Rev LIt 70 1583 (1993)
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118] A Karlhede bull U Liacutenclstrom Clas Quant Grav 3 (1986) L73
119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U
Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
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(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
I Ao usarmos em (Cl1) a seguinte propriedade
bull j
X(u)iJ (eZe~ (araquo) Ii(a shy ) = XP(u)a (ccedile~(raquo) 1i(O - a)
- Ju (ee~ (uraquo) (CI2)
ficcedilalnos finalmente com
I(O-) ltJI(uJ) = [1(er) -1p()eZe~l J1i(0 - 0)
~ ltJI()Ja(a - ) (C13)
Consideremos agora o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos q e 102
ltJI(l02(l = 1(alagrave(o)1()1p() (I)
+ 1(u) X(ci)XP()Op(u) (lI)
- 1p ()e~ (u)e~ (u) agravegtP ()11 (u) (Ill)
- p()ecirc~ ()e~ () XA XP(o)Ogtp(cr) (IV) (C14)
Vamos analisar cada termO O termO (I) de (C14) eacute dado por
1(o) agrave N (0)1 ()1(u) = (1~laquo(f) ecirci (O) p1p (0)
_-o agraveJtf (X(uraquopp1(u)8(O - 17) (C15)
o termo (lI) de (C14) eacute dadO por
P(I7) XP(a)XP( 17)Op() = 2 p~(O) Xmiddot (u) XP(u)Op(u)
+ p(u) Op(u) XP(ci)XP(OJ
2XP(u)G(u)Ja(u 0)
-oOpp(X ())XP X(0)6( - 0) (C16)
74
o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
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[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
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o termo (1lI) de (C14l eacute dado por
P (Oli (O )e~Cer) Gp (u)PAacute P (a) = p (o) Gp (o) e (u)e~ (U)PAacute lp
i + 1() ecirc(u)e~(u)PxFp(q)
xGp (0) (Cl7)
onde
ecirc(a)e~ (u) FPp(u) G (a) 2 e (O)e~ (u) P(o) P p(u)Gp (0)
~ 2 (ecirc()ocirce~ (u) + e~ (O)ocircNecirc~ (0))
xFp()GAP0)6u - ) (C1S)
Entatildeo) o lado direito da equaccedilatildeo (C17) vale
-IY (i p Cu)e (a)e~ (a)pAFp(u)sect(O - 0)
+2 (e (JiJe~ () + e~ (a)iJvecirc (araquo) 1Pfi (a)G ri (0)8( - a) (C 19)
o termo (N) de (CH) eacute dado por
i I F(aJe (a)e~ (a) x XP(o)G(0) = e (O)e~ (a) p (a) X XP(o)Gp(o) i
~ e (a)e~ (17)(2 p (l X(o) xP(u)O() + PAu) Gpc) XA()XP(0))
2ecirc~ (O)e~ (o-)X (ula piluli(c - 0)
- ecirc~ (O)e~ (a)otildeJGAP(u)X (a)XP(O)6( - 0) (C20)
Vamos reagrupax os termoS anteriormente descritos de modo que possamos simplificar
iJlj tpa Com isto ficamos com
75
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
Bibliografia
[I] S W Hawking e R Pemose Proc Roy Soe Lond A314 529 (1970) S W Hawking
and G F R EIli Tile Large Soai Structure of Space-time (Cambriacutedg 1973) GT
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1
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A Chamseddine e D Wyler Phys Let B228 75 (1989) D Cangemi e R Jacldw
Phys Rev Lett 69 233 (1992)
12) M Blau e G Thompon Ann Phys 205 (1991) 130
113) E Wiacutetten Cnmm Malh Phys 121 (1989) 351
(14) E Witlen Comm Math Phys 117353 (1938)
115] JC Baez Commun Math Phys 193 (1998) 210
[16) O A Mattos e V O Rivelles pnys Rev LIt 70 1583 (1993)
[17) R P Zaikov Phys Letl B263 (1991) 206
118] A Karlhede bull U Liacutenclstrom Clas Quant Grav 3 (1986) L73
119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U
Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
[21J LA Cabral e VO Rivelles ParticIes and Strings in Degenerate lVletric SpaceS j
preprlllt 1999
84
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[28J A Giveon e li Roeek Iutroduction to Duality hep-th(9406178
[29] A Giveon e M Rocek Nuel Phys B421 (1994) 173
130J T Buchr Phys Lett B194 (1987) 59
[31J iLDiakonou KFarakos GKoutsoumbas e EPapantonopoulos Phys Lelt B240
(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
~k(a)i() =
PPp(a) [1J~~)atildep (o-)ecirc~ (a)e~ (a) - allatilde(0))6(0 - 0) (a)
2Pp (alOcirc1 (o)Pp(a) [i (a)ihe~ (a) + ihe e~ (0)) oacute(a - a) (aacute)
+ [ecirce~(a)lJIGgtp(O) - arIGp(Cf)] X(a)XP(a)6(o- - o) (c)
+ 2 [G(o) - ecirc~e~ (a)GI(O)) XP(aj[)qoacute(i7 - Oj (d) (C2i)
Considerando o termo (a) ternos que
PAacutePp (17) [a i~ ()il~ (o-)rya + ecirc~ ()11( (cr)~ltagrave] ecirc e~ (a)oacute( u - a)
- PPp () [~ecirc~ (Cf)e (Cf)rydd + e (U)iJ e() ryltf] oacute(a - 0) (C22)
que eacute equiacutevalente a
2PAgrave (Cf )Pp (Cf la ecirc~ efd e e~ (0)0 (O - 0)
- 21()Pp(a)I e~i1)doer - lo (a) (C23)
Vamos considerar nos termos (a) e (b) que
-~ _ri -)8 (C24)D~e~ = -~el per
Entatildeo a soma dos termos (a) e (b) eacute dada por
(al + (aacute) = 2PPp(0) (- ecirc~ 8pe~) ery ee~ ()i( )
2~ () ( )(~pvf) b)~ (l lti( )+ rp Cf ej (iacute eveu gte rfl (J e(edq (f-a
(_6) 1) ti cd I+2PPp(U) deyfeep el 0(0-0)
n ~ p~ -I Agrave U o( )- 28ve~ ypeajleacutedeeTJ cr - fI (C25)
76
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
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Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
[21J LA Cabral e VO Rivelles ParticIes and Strings in Degenerate lVletric SpaceS j
preprlllt 1999
84
[22j H Kleiacutenert Path IntegraIs in Quantum Mec1utnics Statistics and Polymer Plz~rsics
(World Scientificcedil Singapare Second Edition 1995)
[23J PAM Dirac Leccediltureson Quantum Mecnanics (Yeshiva University Press NY 1964)
[24] D Lovelock e H Rund Tenson Differentiacuteal Forms and VariatJollal Principies (JOH~
WILEY amp SONS New York 1975)
I [25J C W Misner K-S Thome e JA WheelerGravitation (WHFREEMAN and Comshy
panYI San Francisco 1973)
I i I
[26] K SundermeyerConstrained Dynamics (Springer-Verlag 1982)
[27] M Greeo J Schwartz e E Vitten Superstril1g Tlleuroory (Cambriacutedge U Press NY
1987)
[28J A Giveon e li Roeek Iutroduction to Duality hep-th(9406178
[29] A Giveon e M Rocek Nuel Phys B421 (1994) 173
130J T Buchr Phys Lett B194 (1987) 59
[31J iLDiakonou KFarakos GKoutsoumbas e EPapantonopoulos Phys Lelt B240
(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
que reagrupando os termos acima resulta em
(a) + (b) 2 (iacuteJe)a - iacuteJ a) PIJe-Pp a -p -x U oacute(a - ))eJ pedec 1] a
shyb iacuteJ b ) -a p -p -Agrave -p - d ( )+ 2 (iacuteJve) - )e PpeJ pedeaell ec1] dega - a
- - -x eacuted a 2PaPdery iacuteJIacute-eJoacute(lt7 - (7)
- - _8 rf ) +2PtPded 1]c e~ e 8[ael]o(a - a) (C26)a
Ao considerarmos o termo (c) devemos notar que
(c) ( a-p( )iacuteJ(u)Gp )p ()a - J (a )) -1-1VVP( )Oacute(a - ae ea a iacuteJ(a)G )p a ) (C27)
-U(lt7)iacuteJta)Gp(lt7)X XP(lt7)Oacute(lt7 - lt7) (C28)
onde
Up - oacuteP a -xoacuteP (C29)J - J - eJ ea x e U~GJlV = O
Da mesma forma para o termo (d)
(d) = 2 [G(lt7) - e~ (lt7)e~ (lt7)Gpp(lt7)1XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7)
2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaOacute(lt7 - lt7) (C30)
Entatildeo
- - -x cd a I2PaPdery iacuteJieOacute(lt7 - (7)c
- - _8 cd a -) t )
~(lt7) IM) _
+2PtPdec TI eJ ea8[ae)]o(a - a
-U(lt7)iacuteJtu)Gp(lt7)X XP(lt7)oacute(lt7 - lt7)
+2U(lt7)Gpp(lt7)XP(lt7)iacuteJaoacute(lt7 - lt7) (C31)
77
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
Bibliografia
[I] S W Hawking e R Pemose Proc Roy Soe Lond A314 529 (1970) S W Hawking
and G F R EIli Tile Large Soai Structure of Space-time (Cambriacutedg 1973) GT
Horowiacutetz and R Myers Gen ReL Grav 27 (1995) 915 R H Brandenberger grshy
qc95030m (natildeo publicado)
I [2] A Strominger e E Martiacutenec Phys Lett B379 (1996) 99 CG CnIlan Jr e J MI Ylaldacena) Nud Phys B412 (1996) 591 G T Horowitz e A Strominger) Phys
I Rev Lett 77 (1996) 2368
3] G T Horowitz e S F Ross Possible Resolution of Black Holes Singu)arities fram
Large N Gauge Theory hep-th9803085 e lHEP 9804 (l99S) 015 A Lawrence e
E Martinec Class Quant Grav 13 (1996) 63
[4] G T Horowiacutet and D larolf Phys Rev D52 (1995) 5670
[5] G 1 Horowitz Clas Quant Grav 8 587 (D91) J Louko e R D Sorkiacuten Clasa
Quant Grav 14 (1997) 179
[6] A Chambliacuten Topologyand Causal Structure gr-qc9509046 (natildeo publicado)
[7J J Smallwood J Math Phys 20 (1979) 459
[8] L M Sokolowskiacute Acta Phys Pol B6 (1975) 529 iacutebid 657
83
I
1
I
[O] L Bengtsson Class Quant Grav 8 1847 (1991) T Jacobon e J D Romano Class
Quant Grav 9 L 119 (1992)
[10) Y Ma C Liacuteang e Z Kuang Clas Quant Grav 16(1999) 605 ibiacuted Phy Rev
D59 (1999) 044008
[11) A Achuacutecarro e p Townsend Phys Lett B 180 89 (1986) E Wiacutetten Nuel Phys
B 311 46 (1988) K 1Ier e C Trungenberger Phys Rv Lett 63 834 (1989)
A Chamseddine e D Wyler Phys Let B228 75 (1989) D Cangemi e R Jacldw
Phys Rev Lett 69 233 (1992)
12) M Blau e G Thompon Ann Phys 205 (1991) 130
113) E Wiacutetten Cnmm Malh Phys 121 (1989) 351
(14) E Witlen Comm Math Phys 117353 (1938)
115] JC Baez Commun Math Phys 193 (1998) 210
[16) O A Mattos e V O Rivelles pnys Rev LIt 70 1583 (1993)
[17) R P Zaikov Phys Letl B263 (1991) 206
118] A Karlhede bull U Liacutenclstrom Clas Quant Grav 3 (1986) L73
119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U
Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
[21J LA Cabral e VO Rivelles ParticIes and Strings in Degenerate lVletric SpaceS j
preprlllt 1999
84
[22j H Kleiacutenert Path IntegraIs in Quantum Mec1utnics Statistics and Polymer Plz~rsics
(World Scientificcedil Singapare Second Edition 1995)
[23J PAM Dirac Leccediltureson Quantum Mecnanics (Yeshiva University Press NY 1964)
[24] D Lovelock e H Rund Tenson Differentiacuteal Forms and VariatJollal Principies (JOH~
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I [25J C W Misner K-S Thome e JA WheelerGravitation (WHFREEMAN and Comshy
panYI San Francisco 1973)
I i I
[26] K SundermeyerConstrained Dynamics (Springer-Verlag 1982)
[27] M Greeo J Schwartz e E Vitten Superstril1g Tlleuroory (Cambriacutedge U Press NY
1987)
[28J A Giveon e li Roeek Iutroduction to Duality hep-th(9406178
[29] A Giveon e M Rocek Nuel Phys B421 (1994) 173
130J T Buchr Phys Lett B194 (1987) 59
[31J iLDiakonou KFarakos GKoutsoumbas e EPapantonopoulos Phys Lelt B240
(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
I
o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos 1Pe1 considerados em pontos diferentes eacute
dado por
(qj (lt1) P (l1) ~ 1 (lt1)ecirc e~ (lt1) Pela) ~ Pp(r)ecirc~e~ (a) e
~ ~P(l(o) P(o) e~e~ (a) ~ PAacute() e~ (crje~ (0) PJ)
+ p(gt7je (O je~ (j Pp (a)e~er (Oj
~ ~Pti (a) ( ~ar)ecirc~ (raquo) e~ (0)6(u ~ a)
+Pp(I1)a~middot)e~laquoJ)e~ (0)0( ~ a)
~Px(je ()a~e~ (O)O(IT- 0) ~ pe~ (a)a~er)oacute(cr ~ a)
+ [at l (ecirc (u)e~ (0)) e~ () ~ a (lt(0)e~ (araquo) e~ (0)J
xPx(u)etoacute(u - ) (C32)
Reagrupando os termos de (C32) finalmente temos
(u) Au) ~ Pp(u)e~aecirc~ (0)8(0 u)
+Pp(a)iee~ecirc( (u)6(0 - 0)
+ap (ecirc ()e~()) e~PAacute ()e~ ()5(0 ~ ) (C33)
que apresenta uma fanua similar agrave da partiacutecula relativiacutestica
Considerando o parecircnteses de Poisson entre os viacutenculos ~l temos
OI (17) 01 (u) P(lt1) Xcr) Pv(o) XV(a)
+X(a)p(Oj pp (lt1j XV(o)
_ Pp(q)XP(q)IJo(q - ci)
- pp(ujXP(cgt lOoacute( - u) (C34)
78
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
Logo
(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
Bibliografia
[I] S W Hawking e R Pemose Proc Roy Soe Lond A314 529 (1970) S W Hawking
and G F R EIli Tile Large Soai Structure of Space-time (Cambriacutedg 1973) GT
Horowiacutetz and R Myers Gen ReL Grav 27 (1995) 915 R H Brandenberger grshy
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I [2] A Strominger e E Martiacutenec Phys Lett B379 (1996) 99 CG CnIlan Jr e J MI Ylaldacena) Nud Phys B412 (1996) 591 G T Horowitz e A Strominger) Phys
I Rev Lett 77 (1996) 2368
3] G T Horowitz e S F Ross Possible Resolution of Black Holes Singu)arities fram
Large N Gauge Theory hep-th9803085 e lHEP 9804 (l99S) 015 A Lawrence e
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[4] G T Horowiacutet and D larolf Phys Rev D52 (1995) 5670
[5] G 1 Horowitz Clas Quant Grav 8 587 (D91) J Louko e R D Sorkiacuten Clasa
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[6] A Chambliacuten Topologyand Causal Structure gr-qc9509046 (natildeo publicado)
[7J J Smallwood J Math Phys 20 (1979) 459
[8] L M Sokolowskiacute Acta Phys Pol B6 (1975) 529 iacutebid 657
83
I
1
I
[O] L Bengtsson Class Quant Grav 8 1847 (1991) T Jacobon e J D Romano Class
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[10) Y Ma C Liacuteang e Z Kuang Clas Quant Grav 16(1999) 605 ibiacuted Phy Rev
D59 (1999) 044008
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A Chamseddine e D Wyler Phys Let B228 75 (1989) D Cangemi e R Jacldw
Phys Rev Lett 69 233 (1992)
12) M Blau e G Thompon Ann Phys 205 (1991) 130
113) E Wiacutetten Cnmm Malh Phys 121 (1989) 351
(14) E Witlen Comm Math Phys 117353 (1938)
115] JC Baez Commun Math Phys 193 (1998) 210
[16) O A Mattos e V O Rivelles pnys Rev LIt 70 1583 (1993)
[17) R P Zaikov Phys Letl B263 (1991) 206
118] A Karlhede bull U Liacutenclstrom Clas Quant Grav 3 (1986) L73
119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U
Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
[21J LA Cabral e VO Rivelles ParticIes and Strings in Degenerate lVletric SpaceS j
preprlllt 1999
84
[22j H Kleiacutenert Path IntegraIs in Quantum Mec1utnics Statistics and Polymer Plz~rsics
(World Scientificcedil Singapare Second Edition 1995)
[23J PAM Dirac Leccediltureson Quantum Mecnanics (Yeshiva University Press NY 1964)
[24] D Lovelock e H Rund Tenson Differentiacuteal Forms and VariatJollal Principies (JOH~
WILEY amp SONS New York 1975)
I [25J C W Misner K-S Thome e JA WheelerGravitation (WHFREEMAN and Comshy
panYI San Francisco 1973)
I i I
[26] K SundermeyerConstrained Dynamics (Springer-Verlag 1982)
[27] M Greeo J Schwartz e E Vitten Superstril1g Tlleuroory (Cambriacutedge U Press NY
1987)
[28J A Giveon e li Roeek Iutroduction to Duality hep-th(9406178
[29] A Giveon e M Rocek Nuel Phys B421 (1994) 173
130J T Buchr Phys Lett B194 (1987) 59
[31J iLDiakonou KFarakos GKoutsoumbas e EPapantonopoulos Phys Lelt B240
(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
Ponhn vamos reescrever (C34) utilizando as seguintes propriedades
o (XP()(u - uJ) ~ X(d)ocircIi(q - a)
~ 8 (XP(a)o( - uraquo) ~ X(0)6(O - 0) + X(O)oo(cr - cr) (C35)
X(cr)85(0- - 0) ~ X(u) + X()06(u - ) (C36)
06(0 - 0) = -Ouoacute( - d) (C37)
I I Usandn (C35) agrave (C37) em (C34) ficamos com
Pp(O) [XP(0)5( - eurof) - XP(uJiJii(q - 0)]
- Pp(q) [XP(u)oacute(O - a) - Xp(0)a6(0 - d)]
= Pp(lt7)XP(0)D6(0 - 0) + Pp(O)X(d)Doacute(O - 0) (C38)
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(P()Pl() = (1(01 + 1(0raquo) aoacute(u - 0) (C39)
Agora vamos consiacutederar o parecircnteses de Poisson entre ~l e P2
(P (0) P() = p(O) Otildemiddot~ (e) xPP(O)Pp (0)
+Pp(cr) XP(crJ PPp(O) Otildemiddot (cr)
+ pp(cr) Xaacute XPGaP(d) X(O (C40)
Vamos reescrever cada termo de (CAO)
79
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
Bibliografia
[I] S W Hawking e R Pemose Proc Roy Soe Lond A314 529 (1970) S W Hawking
and G F R EIli Tile Large Soai Structure of Space-time (Cambriacutedg 1973) GT
Horowiacutetz and R Myers Gen ReL Grav 27 (1995) 915 R H Brandenberger grshy
qc95030m (natildeo publicado)
I [2] A Strominger e E Martiacutenec Phys Lett B379 (1996) 99 CG CnIlan Jr e J MI Ylaldacena) Nud Phys B412 (1996) 591 G T Horowitz e A Strominger) Phys
I Rev Lett 77 (1996) 2368
3] G T Horowitz e S F Ross Possible Resolution of Black Holes Singu)arities fram
Large N Gauge Theory hep-th9803085 e lHEP 9804 (l99S) 015 A Lawrence e
E Martinec Class Quant Grav 13 (1996) 63
[4] G T Horowiacutet and D larolf Phys Rev D52 (1995) 5670
[5] G 1 Horowitz Clas Quant Grav 8 587 (D91) J Louko e R D Sorkiacuten Clasa
Quant Grav 14 (1997) 179
[6] A Chambliacuten Topologyand Causal Structure gr-qc9509046 (natildeo publicado)
[7J J Smallwood J Math Phys 20 (1979) 459
[8] L M Sokolowskiacute Acta Phys Pol B6 (1975) 529 iacutebid 657
83
I
1
I
[O] L Bengtsson Class Quant Grav 8 1847 (1991) T Jacobon e J D Romano Class
Quant Grav 9 L 119 (1992)
[10) Y Ma C Liacuteang e Z Kuang Clas Quant Grav 16(1999) 605 ibiacuted Phy Rev
D59 (1999) 044008
[11) A Achuacutecarro e p Townsend Phys Lett B 180 89 (1986) E Wiacutetten Nuel Phys
B 311 46 (1988) K 1Ier e C Trungenberger Phys Rv Lett 63 834 (1989)
A Chamseddine e D Wyler Phys Let B228 75 (1989) D Cangemi e R Jacldw
Phys Rev Lett 69 233 (1992)
12) M Blau e G Thompon Ann Phys 205 (1991) 130
113) E Wiacutetten Cnmm Malh Phys 121 (1989) 351
(14) E Witlen Comm Math Phys 117353 (1938)
115] JC Baez Commun Math Phys 193 (1998) 210
[16) O A Mattos e V O Rivelles pnys Rev LIt 70 1583 (1993)
[17) R P Zaikov Phys Letl B263 (1991) 206
118] A Karlhede bull U Liacutenclstrom Clas Quant Grav 3 (1986) L73
119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U
Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
[21J LA Cabral e VO Rivelles ParticIes and Strings in Degenerate lVletric SpaceS j
preprlllt 1999
84
[22j H Kleiacutenert Path IntegraIs in Quantum Mec1utnics Statistics and Polymer Plz~rsics
(World Scientificcedil Singapare Second Edition 1995)
[23J PAM Dirac Leccediltureson Quantum Mecnanics (Yeshiva University Press NY 1964)
[24] D Lovelock e H Rund Tenson Differentiacuteal Forms and VariatJollal Principies (JOH~
WILEY amp SONS New York 1975)
I [25J C W Misner K-S Thome e JA WheelerGravitation (WHFREEMAN and Comshy
panYI San Francisco 1973)
I i I
[26] K SundermeyerConstrained Dynamics (Springer-Verlag 1982)
[27] M Greeo J Schwartz e E Vitten Superstril1g Tlleuroory (Cambriacutedge U Press NY
1987)
[28J A Giveon e li Roeek Iutroduction to Duality hep-th(9406178
[29] A Giveon e M Rocek Nuel Phys B421 (1994) 173
130J T Buchr Phys Lett B194 (1987) 59
[31J iLDiakonou KFarakos GKoutsoumbas e EPapantonopoulos Phys Lelt B240
(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
os
(911) to -n)gCI] ICn)1 -()11 +
Cn -n)gfiXOx90oe+ -(I -n)g(n)dX(D)x(n)flOOPI]shy
(n -n)geICn) -(0)] -(1) -n)g(o)I]shy
Cn -n)ge(n)f + C -o)9(Jraquo1] -(0 -O)g(](D)1
Cc -Jraquog(JraquodXCo)uX(C)(JdegOGshy
= (0 -0)9(n)rlx(n)iIX(o)uXCjraquodOO(IG~
(~V1) (0 -0)9fiXX(n)9degO(IIGshy
(n -p)gI](n)9Xen)rim -(D)dOOOXoX (o)rid
I I
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
Bibliografia
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and G F R EIli Tile Large Soai Structure of Space-time (Cambriacutedg 1973) GT
Horowiacutetz and R Myers Gen ReL Grav 27 (1995) 915 R H Brandenberger grshy
qc95030m (natildeo publicado)
I [2] A Strominger e E Martiacutenec Phys Lett B379 (1996) 99 CG CnIlan Jr e J MI Ylaldacena) Nud Phys B412 (1996) 591 G T Horowitz e A Strominger) Phys
I Rev Lett 77 (1996) 2368
3] G T Horowitz e S F Ross Possible Resolution of Black Holes Singu)arities fram
Large N Gauge Theory hep-th9803085 e lHEP 9804 (l99S) 015 A Lawrence e
E Martinec Class Quant Grav 13 (1996) 63
[4] G T Horowiacutet and D larolf Phys Rev D52 (1995) 5670
[5] G 1 Horowitz Clas Quant Grav 8 587 (D91) J Louko e R D Sorkiacuten Clasa
Quant Grav 14 (1997) 179
[6] A Chambliacuten Topologyand Causal Structure gr-qc9509046 (natildeo publicado)
[7J J Smallwood J Math Phys 20 (1979) 459
[8] L M Sokolowskiacute Acta Phys Pol B6 (1975) 529 iacutebid 657
83
I
1
I
[O] L Bengtsson Class Quant Grav 8 1847 (1991) T Jacobon e J D Romano Class
Quant Grav 9 L 119 (1992)
[10) Y Ma C Liacuteang e Z Kuang Clas Quant Grav 16(1999) 605 ibiacuted Phy Rev
D59 (1999) 044008
[11) A Achuacutecarro e p Townsend Phys Lett B 180 89 (1986) E Wiacutetten Nuel Phys
B 311 46 (1988) K 1Ier e C Trungenberger Phys Rv Lett 63 834 (1989)
A Chamseddine e D Wyler Phys Let B228 75 (1989) D Cangemi e R Jacldw
Phys Rev Lett 69 233 (1992)
12) M Blau e G Thompon Ann Phys 205 (1991) 130
113) E Wiacutetten Cnmm Malh Phys 121 (1989) 351
(14) E Witlen Comm Math Phys 117353 (1938)
115] JC Baez Commun Math Phys 193 (1998) 210
[16) O A Mattos e V O Rivelles pnys Rev LIt 70 1583 (1993)
[17) R P Zaikov Phys Letl B263 (1991) 206
118] A Karlhede bull U Liacutenclstrom Clas Quant Grav 3 (1986) L73
119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U
Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
[21J LA Cabral e VO Rivelles ParticIes and Strings in Degenerate lVletric SpaceS j
preprlllt 1999
84
[22j H Kleiacutenert Path IntegraIs in Quantum Mec1utnics Statistics and Polymer Plz~rsics
(World Scientificcedil Singapare Second Edition 1995)
[23J PAM Dirac Leccediltureson Quantum Mecnanics (Yeshiva University Press NY 1964)
[24] D Lovelock e H Rund Tenson Differentiacuteal Forms and VariatJollal Principies (JOH~
WILEY amp SONS New York 1975)
I [25J C W Misner K-S Thome e JA WheelerGravitation (WHFREEMAN and Comshy
panYI San Francisco 1973)
I i I
[26] K SundermeyerConstrained Dynamics (Springer-Verlag 1982)
[27] M Greeo J Schwartz e E Vitten Superstril1g Tlleuroory (Cambriacutedge U Press NY
1987)
[28J A Giveon e li Roeek Iutroduction to Duality hep-th(9406178
[29] A Giveon e M Rocek Nuel Phys B421 (1994) 173
130J T Buchr Phys Lett B194 (1987) 59
[31J iLDiakonou KFarakos GKoutsoumbas e EPapantonopoulos Phys Lelt B240
(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
I Jbull
_iJjGp(I7)X(17)XP(IT)X(u)ii(u -17) =
2Gu)XOXP(u)oacute(u - Cf) + [(0-)- (0-)1 Dv5(17 -17) (047)
Para aJlalisarmos 2Gp(0)X~(I7)X(I7)iJv6(u - 0) devemos antes notar que
X(o-)Dvoacute(u - 0) = -XP(0-)5(0 - 0) + XP(I7)iJO(cr - ) (048)
onde usamos (C45)
Entatildeo
2Gp17(u)X~(0-)X(lt7)lJv5( - ) =
2Gpp(u)XP(O)Xp(0-)aoacute(u - u) - 2G17(u)X17()XP(lt7)aacute(u - u) (C49)
Somando (Co49) e (C47) obtemos
[ap(a)XP(O)X(lt7) + a(O)X17(u)XP(lt1)] a(17 - lt7) (C50)
Uma outra contribuiccedilatildeo em (CAO) eacute dada por
_a)(ltriJ XP(l7)Pa(0)Pp(u)5(u a) =
-aGop (u)P (u)P8(u)5(17 - u) (C51)
Considerando que g(er) = 6deg8 (o-)P(cr)P17 (lt7) temos a partir d (C45)
-iJotrP (17)P PJ(joacute((J - 0-) = 2(8 (u)iJP (q)P17 (crjoacute(u - a)
+ [i(a) - 9(er)J aS(u - 17) (C52)
81
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
Bibliografia
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and G F R EIli Tile Large Soai Structure of Space-time (Cambriacutedg 1973) GT
Horowiacutetz and R Myers Gen ReL Grav 27 (1995) 915 R H Brandenberger grshy
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I [2] A Strominger e E Martiacutenec Phys Lett B379 (1996) 99 CG CnIlan Jr e J MI Ylaldacena) Nud Phys B412 (1996) 591 G T Horowitz e A Strominger) Phys
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[5] G 1 Horowitz Clas Quant Grav 8 587 (D91) J Louko e R D Sorkiacuten Clasa
Quant Grav 14 (1997) 179
[6] A Chambliacuten Topologyand Causal Structure gr-qc9509046 (natildeo publicado)
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[O] L Bengtsson Class Quant Grav 8 1847 (1991) T Jacobon e J D Romano Class
Quant Grav 9 L 119 (1992)
[10) Y Ma C Liacuteang e Z Kuang Clas Quant Grav 16(1999) 605 ibiacuted Phy Rev
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[11) A Achuacutecarro e p Townsend Phys Lett B 180 89 (1986) E Wiacutetten Nuel Phys
B 311 46 (1988) K 1Ier e C Trungenberger Phys Rv Lett 63 834 (1989)
A Chamseddine e D Wyler Phys Let B228 75 (1989) D Cangemi e R Jacldw
Phys Rev Lett 69 233 (1992)
12) M Blau e G Thompon Ann Phys 205 (1991) 130
113) E Wiacutetten Cnmm Malh Phys 121 (1989) 351
(14) E Witlen Comm Math Phys 117353 (1938)
115] JC Baez Commun Math Phys 193 (1998) 210
[16) O A Mattos e V O Rivelles pnys Rev LIt 70 1583 (1993)
[17) R P Zaikov Phys Letl B263 (1991) 206
118] A Karlhede bull U Liacutenclstrom Clas Quant Grav 3 (1986) L73
119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U
Lindstrom gtluc Phys B540 (1909) 520
1201 D M Marolf Class Quant Grav 11 (1994) 239
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1987)
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[29] A Giveon e M Rocek Nuel Phys B421 (1994) 173
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[31J iLDiakonou KFarakos GKoutsoumbas e EPapantonopoulos Phys Lelt B240
(1990) 351 ibiacuted B241 (1990) 273
[32J JWess Nucl Phys B15(Proc SuppL) (1990) 35
[33] CGCallan DFliedan EJ vlaltiacutenee e MJ Perry NueL Phys B262 (1985) 593
85
A partir de (C52) e (C51) obtemos
_ocirc~middot)CollX(O)Po(O)Pw (O)oacute( O - ) = 2OtildeoP (O)8P (o)P (O)oacute( - 0)
+ la() - 9(0)]86(0 - 0) (C53)
Analogamente agrave (CAB temos
P()85(0- - 0) = -Pooacute(q - 0) + P(u)ocircii(cr - ) (C54)
Somando (C54) e (C 52) obtemos
[CmiddotP ()PAo)P~ (er) + Cor (u)P(cr )Pp(crl] Ooacute(a - a) (C 55)
Entatildeo considerando todas as contribuiccedilotildees ficamos com
f
(IO()P() = 110(0) + IO(O)J 85( - 0) (C56)
82
Bibliografia
[I] S W Hawking e R Pemose Proc Roy Soe Lond A314 529 (1970) S W Hawking
and G F R EIli Tile Large Soai Structure of Space-time (Cambriacutedg 1973) GT
Horowiacutetz and R Myers Gen ReL Grav 27 (1995) 915 R H Brandenberger grshy
qc95030m (natildeo publicado)
I [2] A Strominger e E Martiacutenec Phys Lett B379 (1996) 99 CG CnIlan Jr e J MI Ylaldacena) Nud Phys B412 (1996) 591 G T Horowitz e A Strominger) Phys
I Rev Lett 77 (1996) 2368
3] G T Horowitz e S F Ross Possible Resolution of Black Holes Singu)arities fram
Large N Gauge Theory hep-th9803085 e lHEP 9804 (l99S) 015 A Lawrence e
E Martinec Class Quant Grav 13 (1996) 63
[4] G T Horowiacutet and D larolf Phys Rev D52 (1995) 5670
[5] G 1 Horowitz Clas Quant Grav 8 587 (D91) J Louko e R D Sorkiacuten Clasa
Quant Grav 14 (1997) 179
[6] A Chambliacuten Topologyand Causal Structure gr-qc9509046 (natildeo publicado)
[7J J Smallwood J Math Phys 20 (1979) 459
[8] L M Sokolowskiacute Acta Phys Pol B6 (1975) 529 iacutebid 657
83
I
1
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Quant Grav 9 L 119 (1992)
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[17) R P Zaikov Phys Letl B263 (1991) 206
118] A Karlhede bull U Liacutenclstrom Clas Quant Grav 3 (1986) L73
119) D Lindstrom e R von Unge Phys Letl B403 (1997) 233 H Gustafsson e U
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