Pasquali Dados Ed Ciencias 1-2-1997

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CUANDO LA NATURALEZA

JUEGA A LOS DADOSLA ENSENANZA DE LA LEY DEL DECAIMIENTO RADIACTIVO A TRAVES DE UNA EXPERIENCIA UJDICA

R ic ar do P as qu a/i

UNIVERSIDAD CAECE

Departamento de Biologfa

Cuadro 1

Lalroccion de 6tomos de un

rodionucleido que queda despues de

coda perfodo de sermdesinteqtocion

decrece exponencialmente con el

tiempo.

Existen nucleos atornicos donde una adecuada relacion entre las canti-

dades de protones y neutrones asegura su estabilidad. La mayor parte de los

nucleos atomicos conocidos, sin embargo, son inestables y a traves del Ieno-

meno de la radiactividad buscan estabilizarse mediante distintos tipos de meca-

nismos, como la fision espontanea 0 la ernision de radiaciones alfa (nucleos de

helio), beta negativa (electrones), beta positiva (positrones), gama, neutrones,

protones y hasta nucleos atornicos de carbona 12.

Ya los primeros estudiosos de la radiactividad notaron una curiosa ca-

racterfstica en el decaimiento radiactivo, que tambien habfa side observada en

la cinetica de las reacciones qufmicas de orden 1. Despues de un cierto tiempo,

al que se denomina perfodo de sernidesinteqracion (T), la cantidad de una es-

pecie radiactiva (radionucleido) se reduce a la mitad. AI transcurrir dos perfodos

de sernideslnteqraclon queda la cuarta parte de la cantidad inicial del

radionucleido; despues de tres perfodos, la octava parte; y asf sucesivamente. Si

No es el nurnero inicial de atornos de una especie radiactiva cuyo perfodo de semi-

desinteqracion es T, la cantidad de atomos N que quedan despues de un cierto

tiempo tsera (ver cuadro 1)

donde n es el nurnero de perfodos de sernidesinteqraclon que transcurrieron

durante el tiempo t. Como este valor es igual al cociente entre el tiempo y el

perfodo de semidesinteqracion, la ley del decaimiento radiactivo se puede ex-

presar tam bien de la siguiente forma

N= No2-tI T

Si se aplica logaritmos naturales a la ley del decaimiento radiactivo se

Ilega a que

In N= In No - tI T In 2

Como In e = 1, resulta que

In N= In No - tI T In 2 -Jn e

AI hallar antilogaritmos naturales, lIamando al factor In 21 T constante de

decaimiento radiactivo A, se lIega a otra forma de expresar la ley del decaimien-

to radiactivo, que aparece con mayor frecuencia en la bibliograffa.

l.ln2

N=Noe-r-

o bien

Esta forma de la ley del decaimiento radiactivo responde a 1 0 que en



Cuadro 2

E / verda dero perfo do d e

s em id esinteq to cio n T d e u na m uesfra

rad iacfiva depende de /a canlidad de

atomos No que /0 c om po nen . C ua nd o

/a m ue slr a s e h ac e in fin ito me nte

grande, 1: y T coinciden.

estadfstica se denomina un proceso aleatorio (al azar) de Poisson. La funcion

de probabilidad de Poisson describe situaciones en las que el nurnero de eventos

a observar tiende a infinito (puede decaer un atorno en cualquier instante de

tiempo a partir de un instante inicial) y la probabilidad de un suceso(como el

decaimiento de un atorno en particular) tiende a cero. Si en un tiempo tocurren

en promedio jj sucesos (decaimientos), la probabilidad Pnde que ocurran n

sucesos en ese tiempo esta dada por

donde n! = n . (n-1). (n-2) ....3.2.1

Por 10tanto, y si se tiene en cuenta que el factorial de cero es igual a

uno, la probabilidad Po de que no se produzca ninguna desinteqraclon en el

tiempo t es

Po=e-ii

Pero el numero medio de decaimientos radiactivos es proporcional al

tiempo, siendo A la constants de proporcionalidad. Reemplazando en la ecua-

cion anterior

Po = e-A t

Como Ia cantidad de atornos presente en una muestra radiactiva es

extraordinariamente grande, se puede reemplazar la probabilidad de que no

decaiga ninqun nucleo por el cociente entre Ny No ' lleqandose de esta forma

a la misma ecuacion obtenida empfricamente, 10que demuestra que el dec ai-

miento radiactivo obedece a un proceso aleatoric del tipo Poisson.

NINo = e-At

Cuando los atomos no son tantos

En realidad, la ley del decaimiento radiactivo es valida para una muestra

formada por un numero infinitamente grande de atornos de radionucleido. Cuan-

do la cantidad de atornos es pequefia, el proceso de decaimiento esta mejor

descripto por el esquema de Bernoulli, por el cual la probabilidad de que decal-

gan n atornos (Pn ) en un cierto tiempo t, en una muestra formada por No ato-

mos iniciales, esta dada por la siguiente ecuacion

Si se tiene en cuenta que la probabilidad p que decaiga un atorno en

particular en el tiempo testa dada por el cociente entre At y No, y que la

constante de decaimiento es igual al cociente entre el logaritmo natural de 2 y

el perfodo de sernideslnteqracion T del radionucleido, se Ilega a que la probabi-

lidad de que en ese tiempo no decaiga ninqun atorno sera

P o = [ 1 - In2.tJNOT· No

Por 10tanto, el decaimiento radiactivo, cuando el nurnero de atornos de

radionucleido no se puede considerar infinitamente grande, obedece a la ecua-

cion siguiente

N = No [ 1 0 In 2· t J N oT·No



o bien

N=No [1 - ~·ot r o

Si se tiene en cuenta que ellfmite de [ 1 + ; rpara

cuando .x tiende a infinito es e', se Ilega a que cuando la

cantidad inicial de atornos de radionucleido es infinitamen-

tegrande es valida la ley del decaimiento radiactivo

i,Que valor tendra el cociente entre Ny No en una

muestra finita cuando el tiempo de decaimiento es igual al

perfodo de semidesintegraci6n? A partir de la ecuaci6n ob-

ten ida para el esquema de Bernoulli, haciendo t = T, se

lIega a que dicho cociente es dependiente de la cantidad

de atornos iniciales del radionucleido.

3,85 ,--------'--.,-----------,

e'0

" uIII. . . .g' 3,8 .

-c" i i iG)

"'C" EG)

e nG)

"'Co"'C

,2. . . .G)

c ..

3,75

3,7

3,65 +----+--+---+---+---+----+---I--_+_~10 20 40 50 90 10000 70 80

Numero de dados iniciales (No)

EI "petiodo de semidesinteqtacion"

de 1 0 simulacion del decaimiento radiactivo con dodos (y con

atomos iambien] tiende a 3,801784 unidades arbitrariosde

tiempo cuando el ruimeto de dodos (0 atotnos] iniciales

tiende a infinito.

Este cociente tiende a 0,5 cuando No tiende a

infinite. Cuando el nurnero de atornos iniciales toma los valores 10, 100, 1.000

Y 10.000, el cociente toma los valores 0,48756, 0,49879, 0,49988 Y 0,49999

respectivamente.

Haciendo el cociente entre Ny No igual a 0,5 se obtiene el verdadero

perfodo de semidesintegraci6n 't de una muestra fin ita de atomos radiactivos,

que es funci6n del nurnero de atomos iniciales, No' Luego

J . . . = [1 - I n 2 · 't J N O

2 T·No

Los valores de 't se pueden hallar nurnericarnente fijando No. EI cuadro 2

da los valores del cociente entre 't y T para una cantidad de atornos iniciales

comprendida entre 10 Y 100.

Parte experimental

Se puede simular el decaimiento radiactivo tirando una cantidad No de

dados. Cada tirada equivale a una unidad de tiempo y los dados que caen con

un cierto nurnero hacia arriba, por ejemplo el1 , 0 una marca de pintura, equiva-len a atomos que sufrieron decaimiento radiactivo. Despues de cada tirada se

separan los dados que representan a atornos que decayeron y se anota el nume-

ro de dados restantes (N), que representan a los atornos que no decayeron.

Si se parte de una cantidad relativamente grande de dados, para un

tiempo (representado por las tiradas) igual al perfodo de semidesintegraci6n, el

cociente entre Ny N o no difiere mucho de 0,5, el valor correspondiente a una

rnuestra infinitamente grande. Asf, para 40 dados este cociente es igual a 0,497.

Por 1 0 tanto no se comete un error muy grande si se emplea la ley del decal-

miento radiactivo deducida para una muestra infinita de atom os radiactivos.

La probabilidad de que en la primera tirada no salga ninguna cara

marcada es 5/6, quedando te6ricamente 5/6 No dados para la pr6xima tirada.

Despues de la segunda tirada, el valor te6rico de dados que quedan es (5/6)2

No y despues de la tirada t quedan te6ricamente



Si t = T, N = 0,5 No. Por 1 0 tanto el "periodo de sernidesinteqracion" de los

dados es

T = In1/2 = 3 801784In5/6 '

y la "constante dedecaimiento", /.., es igualln 6/5 = 0,18232.

En la experiencia con dados se puede verificar que los valores de N

experimentales son bastante proxirnos a los calculados con la ley del decai-

miento radiactivo. Grcificamente se puede determinar el valor de T para los da-

dos, que sera cercano a 3,80.

N = No e -0,18232t

ra 40"C

ra\j.. .

35-a"C i,a

30(I)

~C

III 25

' t \(I)

:Ja.III 20

.~,~,I)

"C

!::15a

"C(I) . ~J

10 " " "-

t J " " " " " -I)

• ••I'........J0-

5 T= 3,80 : iIII i0 < 1 1 iiCra

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Tiradas

M ed iante la tirada de dados se puede s im ula r un deca im iento rad iac tivo de un

hipo tetico ra dio nu cleid o c uyo petio do d e sem id es tnteq ta cio n es igu al a 3,80

u nid ad es a rbitra ria s d e tiem po . C ad a u nid ad a rbitra ria d e tiem po est6

representa da po r u na tira da d e d ad os .

Bibliograffa

Ricardo Pasquali, "La ley del decaimiento rad iact ivo" , Educaci6n en fa Qu(mica, Vol. I, n° I, Set.

1990 , p . 41 - 45 .

2 0



Tapa :

"Los Medidores", una vision flamenca de los

maternaticos en el siglo XVI (museo de

Historia de la Ciencia, Oxford, Gran Bretafia).

Las medici ones y sus errores asociadas son

tema de uno de los articulos de este numero.

Vol. I - N ° 2 - 1997

Sumorio

Editorial

Carmen Peme- Aranega, EI cctoctet epistemol6gico

i n te r d is c ip l ina r io d e 1 0 d id oc tico d e lo s ciencia s

Anibal Gattone, E rr or es e n m ed ic io nes : u n ejem plo s en cillo

Ricardo Pasquali, Cuando 1 0 na turo lezo juega a los do dos

C Micheli - L. Foligno, M ec onism os d e rea cci6n

e n q ufm ic a otqonico en e/ p olim od a/

I nfo rm a cio ne s s ob re r eu nio ne s y congresos

Jorge I. Delgado, Sonia E. Blanco y Ferdinando H. Ferretti,

L a e cu ac i6 n c ii bic c:

O /im p fa do I nfo rm a ti ca A rg en tin o

Salvador Gil, N uevas T ecno logfas en /0 enseiia nza d e / 0 hstca.

Oportunidades y desalios

Ricardo Mira, T re s p ro ble ma s d e m ate mo tic o

Fernando Yanni - Hector Fasoli - LuisBudnik, La his tor ie to

co mo tecnica a uxilio r en / 0 enseiia nza d e 1 0 ciencio

Diego Hurtado de Mend?za - Miguel de Asuc,

M ode/os m ecanicos de E ter en e/ sig/o X IX

Re sei ia s b ib l iog ra fi c os

Claudia Marsico, P r eg u nt as p o r 1 0 tecnico

Hugo R.Tricarico, Forciencias

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