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A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido

Estática de fluidos

Paulo R. de Souza Mendes

Grupo de ReologiaDepartamento de Engenharia Mecânica

Pontifícia Universidade Católica - RJ

agosto de 2010


SumárioA equação básica da estática de fluidos

conceitos básicosbalanço de forças em um fluido estáticocasos particulares

esforços em superfícies submersas planasforçamomentoponto de aplicação

flutuação e estabilidadeflutuaçãoestabilidade

fluidos em movimento de corpo rígidobalanço de forçasexemplos


gradiente de um campo escalar p(x)vetor cuja direção é aquela de variação máxima de p(x), e cujaintensidade é proporcional a esta variação:

∇p = ı∂p∂x

+ ∂p∂y

+ k∂p∂z

• variação dp devida a um deslocamentodx = ıdx + dy + kdz:

dp = dx · ∇p

=(ıdx + dy + kdz

)·(

ı∂p∂x

+ ∂p∂y

+ k∂p∂z

)

ou dp = dx∂p∂x

+ dy∂p∂y

+ dz∂p∂z

dx

▽p


teorema da divergência∫S

pndA =

∫∀∇p d∀

• caso 1-D:∫S

pndA = Aıp(L)+A(−ı)p(0)

= Aı[p(L)− p(0)]

∫∀∇p d∀ =

∫ L

0ıdpdx

Adx

= Aı

∫ p(L)

p(0)dp = Aı[p(L)−p(0)]

n

pn

dA

dV

V

^

^

S

L

x dx

dV =Adx

p(0)nA

A

p(L)nA

p(x+dx)Ap(x)A

V=AL

n n


forças em um volume material ∀forças sobre ∀:• peso: ∫

∀gρd∀

• força de pressão:∫S−pndA

balanço de forças:∫∀

gρd∀+

∫S−pndA = 0

n

t = n.T = -pn

dA

profundidade h

g = -gkgρdV

dV

z

p = pozo

V

^ k^

^

^^

S


equação básica da estática de fluidos (ebef)

usando o teorema da divergência,∫∀

gρd∀ −∫∀∇p d∀ = 0

ou ∫∀(−∇p + ρg) d∀ = 0

como ∀ é arbitrário,

∇p = ρg

n

t = n.T = -pn

dA

profundidade h

g = -gkgρdV

dV

z

p = pozo

V

^ k^

^

^^

S


ebef escalar 1-Dem coordenadas cartesianas,

ı∂p∂x

+ ∂p∂y

+ k∂p∂z

= −ρgk

logo

∂p∂x

= 0;∂p∂y

= 0; ⇒ p = p(z)

edpdz

= −ρg;

como dh = −dz,

dpdh

= ρg;

h

z

p = pozo

dh dzgρAdh

p(h+dh)A= (p(h)+dp)A

p(h)Aárea A


fluido incompressível (ρ = constante)

dpdh

= ρg ⇒ dp = ρgdh

logo, integrando de 0 a h,∫ p(h)

p(0)dp′ = ρg

∫ h

0dh′ ⇒ p − po = ρgh

oup = po + ρgh


fluido barotrópico (ρ = ρ(p))

dpdh

= ρg ⇒ dpρ(p)

= gdh

exemplo: módulo de compressibilidade Ev constante

Ev ≡ ρdpdρ

= const. ⇒ dp =Ev dρρ

logo, integrando de 0 a h (ρo ≡ ρ(0)),

Ev

∫ ρ(h)

ρ(0)

dρ′

ρ′2= g

∫ h

0dh′ ⇒ Ev

3

[1ρ3 −

1ρ3

o

]= gh


logo,

ρ =1[

3ghEv

+ 1ρ3

o

] 13

a pressão se obtém em função de h integrando∫ p(h)

p(0)dp′ = p − po = g

∫ h

0

dh′[3gh′Ev

+ 1ρ3

o

] 13


gás perfeito (ρ = p/RT )

dpdz

= −ρg ⇒ dpp

= − gR

dzT (z)

exemplo: T varia linearmente com z

T (z) = To − k(z − zo) ⇒ dT = −kdz ⇒ dz = −1k

dT

logo,dpp

=g

kRdTT⇒

∫ p

po

dp′

p′=

gkR

∫ T

To

dT ′

T ′

ln(

ppo

)=

gkR

ln(

TTo

)⇒ p

po=

(TTo

) gkR


a razão de massas específicas fica

ρ

ρo=

pT

To

po=

ppo

To

Tou

ρ

ρo=

(TTo

) gkR−1

em função da altitude z,

ppo

=

(To − k(z − zo)

To

) gkR

eρ

ρo=

(To − k(z − zo)

To

) gkR−1


gás perfeito (ρ = p/RT ): exemploSabendo-se que no Rio (zo = 0 m) To = 26oC, epo = 1 atm = 101325 Pa, calcular a pressão p e a temperaturaT em Teresópolis, onde a altitude é z = 910 m. Considere quea temperatura cai com a altitude a uma razão dek = 0.0055oC/m, e que Rar = 287 J/kg.KSolução:

T = 273.15 + 26− 0.0055× (910) = 294.15K ou T = 21oC

p101325

=

(294.15

273.15 + 26

) 9.810.0055×287

entãop = 91238 Pa ou p = 0.9 atm


nomenclatura de pressão segundo o nível dereferência utilizado

• pressão absoluta: medida apartir do vácuo

• pressão atmosférica oubarométrica: é a pressãoabsoluta do ambiente

• pressão manométrica: medidaa partir da pressãoatmosférica vácuo

pressão barométrica ou atmosférica (local)

pressão absoluta

pressão manométrica


manômetro e barômetromanômetro: o desnível h fornece a pressãomanométrica

pmanométrica = pabsoluta − patmosférica = ρgh

barômetro: o desnível h fornece a pressão absolutado ambiente

pbarométrica = pv + ρgh

onde pv é a pressão de vapor do líquido. Maspv << ρgh. Logo,

pbarométrica ' ρgh

pv é conhecido (tabelado), não precisa desprezar

pabsoluta

patmosférica

patmosférica

pmanométrica

p≈0

≈patmosférica

manômetro

barômetro

h

h


força resultante sobre uma comporta plana

• pressão local:

p = po + ρg(D + y sin θ)

• força elementar em dA:

dF = −n(p − po)dA

ou

dF = −k(p − po)dxdy

p = po

h = D + y sinϴD

L

A

ϴx

y

z

y

dx

dy

dy

n = k^

dA

W

(x',y')

r

^


força resultante:

F =

∫dF

= −kρg∫ L

0

∫ W

0(D + y sin θ) dxdy

= −kρg∫ W

0dx∫ L

0(D + y sin θ) dy

ou

F = −kρgWL(

D +L sin θ

2

)≡ −kF

p = po

h = D + y sinϴD

L

A

ϴx

y

z

y

dx

dy

dy

n = k^

dA

W

(x',y')

r

^


momento resultante das forças sobre a comporta

• vetor posição:

r = x ı + y

• momento da força dF :

dM = r × dF

= −[(x ı+y )× k ](p−po)dxdy

ou dM = [x −y ı](p−po)dxdy

p = po

h = D + y sinϴD

L

A

ϴx

y

z

y

dx

dy

dy

n = k^

dA

W

(x',y')

r

^

j

i^

k^j

i^

k^


momento resultante:

M =

∫dM = ρg

∫ L

0

∫ W

0[x − y ı] (D + y sin θ) dxdy

M = ρg∫ L

0

∫ W

0x (D + y sin θ) dxdy

−ıρg∫ L

0

∫ W

0y (D + y sin θ) dxdy

M = ρg

(∫ W

0xdx

)︸︷︷︸

=W 2/2

(∫ L

0(D + y sin θ) dy

)︸︷︷︸

F/ρgW

−ıρg

(∫ W

0dx

)︸︷︷︸

W

(∫ L

0y (D + y sin θ) dy

)


M = ρgW 2

2F

ρgW− ıρgW

(L2

2D +

L3

3sin θ

)ou

M = W2

F − ıρgWL2(

D2

+L3

sin θ)


ponto de aplicação da força resultante• ponto de aplicação: r ′ = x ′ı + y ′ tal que:

r ′ × F = M

(x ′ı + y ′

)×(−kF

)= M

(x ′− y ′ı

)F =

W2

F − ıρgWL2(

D2

+L3

sin θ)

logo,

x ′ =W2

e y ′ =

(D2 + L

3 sin θ)(

D + L2 sin θ

)L

observação: se D = 0, então

y ′ =23

L


forças em um objeto submerso de volume ∀forças sobre o objeto:• peso P• força de pressão (empuxo):

E =

∫S−pndA

nota-se que E só depende daforma do objeto, e é igual àforça que atuaria no volume ∀se este estivesse ocupadopelo fluido:

n

t = n.T = -pn

dA

g = -gkpeso P

^

^

^^

S

Vobjeto

E =

∫S−pndA = −g

∫∀ρfluidod∀ ou E = k g

∫∀ρfluidod∀


observações:• o empuxo E atua na vertical

de baixo para cima (dir. −g), eé igual em módulo ao peso dofluido deslocado pelo objeto

• portanto E não tem qualquerrelação com o peso P

• P < E ⇒ o objeto bóia• P = E ⇒ o objeto não se

move• P > E ⇒ o objeto afunda

n

t = n.T = -pn

dA

g = -gkpeso P

^

^

^^

S

Vobjeto


estabilidadeo centro de massa deve ser suficientemente baixo para omomento de P e E ser sempre restaurador da posição neutra

centro de massa

pesoempuxo

centro de massa

peso empuxo

estável instável


altura crítica do centro de massa

altura máxima do centro de massa

pesoempuxo


balanço de forças em ∀

∫∀

gρd∀+∫

S−pndA =

ddt

∫∀

Vρ(r)d∀

∫∀

gρd∀ −∫∀∇pd∀ =

∫∀

dVdt︸︷︷︸=a

ρd∀

∫∀[∇p − ρ (g − a)] d∀ = 0

como ∀ é arbitrário,∇p = ρ (g − a)

n

t = n.T = -pn

dA

g

gρdV

dV

V

^

^^

S

a V

é como se o fluido estivesse estático em um campo“gravitacional” igual a (g − a)


aceleração linear constante∇p = ρ (g − a)

ı∂p∂x

+ ∂p∂y

+ k∂p∂z

= ρ(−g− ax ı)

logo

a = ax i-a

gg-a

x

y

po

AB

∂p∂x

= −ρax ;∂p∂y

= −ρg;∂p∂z

= 0

em superfícies de pressão constante, dp = 0

dp =∂p∂x

dx +∂p∂y

dy +∂p∂z

dz = 0

−ρaxdx − ρgdy = 0 ⇒ dydx

= −ax

g


logo, as superfícies de pressãoconstantes são dadas por

y = −ax

gx + C

cada valor de C define uma superfície.

a = ax i-a

gg-a

x

y

po

AB

Cálculo de pA − pB:

pA − pB =

∫ pA

pB

dp = −ρax

∫ xA

xB

dx − ρg∫ yA

yB

dy

oupA − pB = −ρ [ax(xA − xB) + g(yA − yB)]


recipiente cilíndrico em rotação


dx dz

drrdθ

dθ

em coordenadas cilíndricas,

dx = er dr + eθrdθ + ezdz

∇p = er∂p∂r

+ eθ1r∂p∂θ

+ ez∂p∂z

∇p = ρ (g − a) ; a = −rω2er

er∂p∂r

+eθ1r∂p∂θ

+ez∂p∂z

= ρ(−gez +rω2er )

⇒ ∂p∂r

= ρrω2;∂p∂θ

= 0;∂p∂z

= −ρg

r

zA

B

po-a

gg-a

ω


em superfícies de pressão constante, dp = 0

dp = dx · ∇p =∂p∂r

dr +∂p∂θ

dθ +∂p∂z

dz = 0

ρrω2dr − ρgdz = 0 ⇒ dzdr

=rω2

g

logo, as superfícies de pressão constantes sãodadas por

z =ω2

2gr2 + C r

zA

B

po-a

gg-a

ω

cada valor de C define uma superfície de pressão constante.


Cálculo de pA − pB:

pA − pB =

∫ pA

pB

dp = ρω2∫ rA

rB

rdr − ρg∫ zA

zB

dz

ou

pA − pB = ρ

[ω2

2(r2

A − r2B)− g(zA − zB)

]r

zA

B

po-a

gg-a

ω

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