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Necessário para o Cálculo 1:
• Polinômios
• Operações com expressões algébricas
• Intervalos, inequações e módulo
• Funções
• Geometria
• Trigonometria
1.1 Ordem e precedência dos
cálculos • Exemplos:
1) 2 + 1 × 2 −6
2 × 5 + 3
2) 2 + 1 . 2 −6
2 . 5 + 3
3) 2 + 1 . 2 −6
2 . 5 + 3
1.2 Operações com Números
Fracionários
1.2.1 Soma e Subtração
• 1º Caso: 𝑎
𝑐±
𝑏
𝑐
• 2º Caso: 𝑎
𝑐±
𝑏
𝑑
1.3 Expressões Algébricas • Recebe o nome de expressão algébrica a
expressão matemática na qual se faz uso de letras,
números e operações aritméticas.
Exemplos:
1)2 x
3−
7
x
2) 2 x:y
x−
4 x
y
Exemplos: Utilize as técnicas de agrupamento e evidência dos fatores comuns para simplificar as expressões algébricas abaixo:
1) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦
2) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦
3) 𝑥 − 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦
4) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦
• A fatoração consiste em representar um número ou
uma expressão algébrica como produto,
respetivamente, de outros números ou de outras
expressões algébricas.
• Exemplos:
1) 6 𝑎 𝑏 − 12 𝑏
2) 9 𝑥 − 3 𝑥 𝑦
3) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 + 𝑏 𝑦
Resolva
2) Calcule a expressão 2𝑎
𝑥 − 3+
𝑎
𝑥−
2𝑎𝑥
𝑥2 − 3𝑥.
𝑥
2𝑎
3) Resolva a expressão
(𝑥 + 1𝑥 − 2 +
𝑥 − 3𝑥 + 2)
2𝑥2 − 2𝑥 + 8𝑥 − 2
PROPRIEDADES
• Considere 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos, 𝑛 e 𝑚
inteiros:
1) Potência de expoente nulo e igual a 1:
𝑎0 = 1 𝑒 𝑎1 = 𝑎
2) Potência de base igual a 1:
1𝑛 = 1
3) Potencia de expoente negativo:
𝑎;𝑛 =1
𝑎𝑛
4) Multiplicação de potências de mesma base:
𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛:𝑚
5) Divisão de potências de mesma base: 𝑎𝑛
𝑎𝑚= 𝑎𝑛;𝑚
6)Multiplicação de potências de expoentes iguais:
𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑛
7) Divisão de potências de expoentes iguais: 𝑎𝑛
𝑏𝑛=
𝑎
𝑏
𝑛
8) Potência de uma potência:
(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎 𝑛.𝑚
Nos exemplos abaixo,
determine o valor de 𝑥. Ex. 9: 3𝑥 = 9
Ex. 10: 2𝑥 + 2𝑥:1 = 24
Ex. 11: 6𝑥;2 + 5 ∙ 6𝑥;1 = 6𝑥 − 5
Resolva 4) A expressão é igual a:
2 𝑥2𝑦 . 3(𝑥2𝑦3)
𝑥²𝑦²
5) Simplifique, sendo 𝑎. 𝑏 ≠ 0
a) (𝑎4..𝑏2)³
(𝑎.𝑏2)²
b) 𝑎4.. 𝑏3 3. (𝑎2. 𝑏)²
Resolva 6)Calcule o valor das expressões:
a)2−1; ;2 2:(;2)−1
22+2−2
b) 32;3−2
32:3−2
c)
−1
2
2.
1
2
3
−1
2
2 3
1.5 Radiciação • A radiciação é uma operação matemática inversa
da potenciação, ou seja,
𝑠𝑒 𝑎𝑛 = 𝑏 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑏𝑛 = 𝑎
𝒂𝒏 = 𝒃
índice
radicando raiz
• Propriedades:
Sejam 𝑛 ≠ 0 e 𝑚 ≠ 0
1) Raiz de radicando nulo:
0𝑛
= 0
2) Raiz de índice unitário nulo:
𝑎1 = 𝑎
3) Produto de radicais de mesmo índice:
𝑎𝑛 . 𝑏𝑛
. 𝑐𝑛 = 𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛
4) Divisão de radicais com mesmo índice:
𝑎𝑛
𝑏𝑛 =
𝑎
𝑏
𝑛 Ex: (
4
5)
3=
43
53
1.5 Radiciação
5) Potência de uma raiz:
( 𝑎𝑛 )𝑚= 𝑎𝑚𝑛 Ex: 4
2 3= 432
6) Raiz elevada a expoente igual ao seu índice:
( 𝑎𝑛 )𝑛= 𝑎
7) Raiz de uma raiz:
𝑎𝑛𝑚= 𝑎𝑛.𝑚
8) Multiplicação de raiz por uma constante
𝑎 𝑏𝑛
= 𝑎𝑛𝑏𝑛
Ex: 3 42
= 4.3^22
= 362
= 6
• A raiz é apenas uma forma de representar a
potenciação com expoente fracionário. Assim,
toda raiz pode ser escrita em forma de potência
como:
𝑎𝑚 𝑛
= 𝑎 𝑚𝑛
Exemplos
• Nos exemplos abaixo calcule as raízes indicadas:
Ex. 6: −273
. 108
Ex. 7: 356 ∙
3
33
• Simplifique as expressões abaixo, considerando 𝑎 > 0
EX.. 8: 𝑎 . 𝑎
Ex. 9: 𝑎3 . 𝑎3
Resolva 1) Reduza à expressão mais simples
(𝒂 𝒃. 𝒃𝟒
)/ 𝒂. 𝒃𝟑
2) Encontre o Valor de y
𝑦 =3;2 + 2;1
1 − 7. 2;33
1.7.1. Propriedades dos
logaritmos 1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0.
𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏0 = 0
2) Logaritmo da base é 1.
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏1 = 1
3) Logaritmo de um produto
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎. 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐
4) Logaritmo de um quociente
𝑙𝑜𝑔𝑏
𝑎
𝑐= 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐
5) Logaritmo de uma potência
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎𝑛 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎
6) Mudança da base b para a base c
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
7) Igualdade de logaritmos de mesma base
𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑦
8) Potência de base b e expoente log𝑏 𝑎 é igual a a.
𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑎
1) Encontre o valor de:
𝑙 =𝑙𝑜𝑔3 9 + 𝑙𝑜𝑔2
12
𝑙𝑜𝑔 100+
𝑙𝑛 𝑒;3 + 𝑙𝑜𝑔 1000 − 𝑙𝑜𝑔4 1/16
𝑙𝑛 𝑒2 + 𝑙𝑜𝑔 10 + 𝑙𝑜𝑔 100
2) Obtenha o valor da expressão:
log3 1 : log 0,01
log21
64 × log4 8
Resolva
Questões da Apostila
12) As indicações R1 e R2, na escala Richter, de dois
terremotos estão relacionadas pela fórmula
𝑅1 − 𝑅2 = log10
𝑀1
𝑀2
Em que M1 e M2 medem a energia liberada pelos
terremotos sob a forma de ondas que se propagam
pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um
correspondente a R1=8 e outro correspondente a
R2=6. Calcule a razão 𝑀1
𝑀2
Resolva
Resolva Questões da apostila:
13) Calcule o valor de S: 𝑆 = log4 (log3 9) + log2( log81 3) + log0,8( log16 32)
Resolva Questões da Apostila
14) Determine o valor de x na equação 𝑦 = 2log3(𝑥:4)
para que y seja igual a 8.
1.8. Módulo ou Valor Absoluto A todo número real 𝑥 associa-se um valor absoluto,
também chamado de módulo, representado por 𝑥
definido por :
𝑥 = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
• Interpretação Geométrica
• Propriedades
1) 𝑥 ≥ 0
2) 𝑥 = | − 𝑥|
3) 𝑥. 𝑦 = 𝑥 . |𝑦|
4) 𝑥/𝑦 = 𝑥 /|𝑦| com 𝑦 ≠ 0
5) 𝑥 = 𝑦 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 = ± 𝑦
6) 𝑥𝑛𝑛=
𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
; 𝑥 ∈ ℛ
• Observação: 𝑥 ± 𝑦 ≠ 𝑥 ± |𝑦|
Exemplos: 1) De acordo com a definição e as propriedades do módulo, calcule:
𝑎) −3 + 5
𝑏) −3 − 5 − −3
𝑐) −2 . 3
𝑑) −3 2
𝑒) −3 33
𝑓) 2 𝑥 + 1
𝑥 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −3
Exemplos: 2) Considerando 𝑎 = 10, 𝑏 = 2 e 𝑐 = −5, calcule as expressões:
𝑎) 𝑎2. 𝑏
𝑏) 𝑎
𝑐
𝑐) 𝑐22
𝑑) 𝑐33
𝑒) 𝑎 − 𝑏
Resolva • Questões da apostila
22) Resolva as equações:
a) 5𝑥 − 3 = 12
c) 3𝑥 + 1 = |𝑥 − 3|
f) 𝑥 2 + 𝑥 − 6 = 0
1.9. Polinômios Define-se um polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛 da seguinte
forma:
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛;1𝑥𝑛;1 + 𝑎𝑛;2𝑥𝑛;2 + ⋯ +𝑎1 𝑥 + 𝑎0𝑥0
Exemplos:
𝑎 𝑥 = 4𝑥4 − 2𝑥2 + 5
𝑏 𝑥 = 3 −5
2𝑥2 + 𝑥
𝑐 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥
1.9.1. Adição e Subtração de Polinômios
Dado dois polinômios:
• 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0𝑥0
• 𝑞 𝑥 = 𝑏𝑛𝑥𝑛 + 𝑏𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ + 𝑏1𝑥 + 𝑏0𝑥0
Soma:
• 𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 = (𝑎𝑛+𝑏𝑛)𝑥𝑛 + ⋯ +(𝑎0 +𝑏0)𝑥0
Subtração:
• 𝑝 𝑥 − 𝑞 𝑥 = (𝑎𝑛−𝑏𝑛)𝑥𝑛 + ⋯ + (𝑎0−𝑏0)𝑥0
Exemplo • Calcule 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) e 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥), sendo:
𝑝 𝑥 = −3𝑥2 + 5 − 𝑥 + 2𝑥3 𝑞 𝑥 = 4𝑥 − 2 + 𝑥4 − 6𝑥2
• Calcule 𝑟 𝑥 = 2 𝑝 𝑥 − 3 𝑞(𝑥), onde:
𝑝 𝑥 = −2𝑥2 + 5𝑥 − 2
𝑞 𝑥 = −3𝑥3 + 2𝑥 − 1
1.9.2. Multiplicação de
Polinômios
𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 + 𝑓
Ex: Determine os produtos 𝑔 𝑥 𝑘(𝑥) e
𝑥 𝑚(𝑥), sendo:
• 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 1
• 𝑘 𝑥 = −𝑥2 + 3𝑥
• 𝑥 = −𝑥 + 𝑥3
• 𝑚 𝑥 = 𝑥5 − 𝑥3
1.9.3. Produtos Notáveis
• Produto da soma pela diferença de dois termos:
𝑥 + 𝑎 . 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 𝑎2
• Quadrado da soma de dois termos:
𝑥 + 𝑎 2 = 𝑥 + 𝑎 . 𝑥 + 𝑎 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2
• Quadrado da diferença de dois termos:
𝑥 − 𝑎 2 = 𝑥 − 𝑎 . 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2
• Cubo da soma de dois termos:
𝑥 + 𝑎 3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 + 𝑎3
• Cubo da diferença de dois termos:
𝑥 − 𝑎 3 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 − 𝑎3
1.9.5. Raiz de um Polinômio Raízes ou zeros de um polinômio 𝑝(𝑥) são os valores
de 𝑥 que tornam 𝑝(𝑥) = 0.
• Polinômio de 1ª Grau
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Possui uma raiz 𝑥1 que pode ser calculada como:
𝑎𝑥1 + 𝑏 = 0 → 𝑥1 =−𝑏
𝑎
• Polinômio de 2º Grau
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Possui duas raízes 𝑥1 e 𝑥2 que podem ser calculadas pela fórmula de Bhaskara.
𝑥 =−𝑏 ± ∆
2 𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∆= 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐
• Se ∆> 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes reais e distintas
• Se ∆= 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes reais e iguais
• Se ∆< 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes complexas
Exemplos 2) Encontre as raízes dos polinômios abaixo:
a) 𝑝 𝑥 = 3𝑥 − 6
b) 𝑔 𝑥 = 4𝑥2 + 16𝑥 + 16
c) 𝑝 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
1.9.6. Fatoração de Polinômios Considere o polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ +𝑎1 𝑥 + 𝑎0
Se 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são raízes de 𝑝(𝑥) então, 𝑝(𝑥) pode ser
fatorado como:
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 … 𝑥 − 𝑥𝑛;1 𝑥 − 𝑥𝑛
2.1.1. Intervalos Limitados • Intervalo aberto de a até b
• Intervalo fechado de a até b
• Intervalo fechado em a e aberto em b
• Intervalo fechado em b e aberto em a
2.1.2. Intervalos Não Limitados
• Intervalo aberto de a até +∞
• Intervalo fechado de a até +∞
• Intervalo aberto de −∞ até a
• Intervalo fechado de −∞ até a
Exemplos 1) Descreva o intervalo dado na reta numérica
a) 𝐼 = −2, +∞ = 𝑥 ∈ ℜ 𝑥 ≥ −2}
b) 𝐼 = 𝑥 ∈ ℜ 𝑥 ≤ 1 𝑂𝑈 3 ≤ 𝑥 < 6}
2.2. Inequações 2.2.1 Propriedades da desigualdade
Sejam a, b, c, e d números reais
• 1) Somar ou subtrair um número qualquer em
ambos os lados da inequação não altera o sinal da
mesma.
• i) Se 𝑎 < 𝑏 então:
𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐
• ii) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 < 𝑑 então:
𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑
• 2) Multiplicar ou dividir ambos os lados da
inequação por um número POSITIVO não altera o
sinal da mesma.
• i) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 > 0 então:
𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐
• ii) Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 > 0 então:
𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐
• 3) Multiplicar ou dividir ambos os lados do
inequação por um número NEGATIVO inverte o
sinal da desigualdade.
• i) Se 𝑎 < 𝑏 𝑒 𝑐 < 0 então:
𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐
• ii) Se 𝑎 > 𝑏 𝑒 𝑐 < 0 então:
𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐
• 4) Desigualdade Triangular: 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + |𝑦|.
Obs.: 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + |𝑦| somente se 𝑥 e 𝑦 forem
simultaneamente positivos ou negativos.
• 5) 𝑥 ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
• 6) 𝑥 ≥ 𝑎 ⇔ 𝑥 ≥ 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 ≤ −𝑎
• 7) 𝑥𝑛𝑛=
𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
PCNA - Matemática Função: • Definição; • Domínio, Contradomínio e Imagem; • Tipo de função; • Gráfico de Funções.
3.1 Definição Uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função de A em B, representado por 𝑓:𝐴→𝐵, se todos
os elementos do conjunto A estão associados a um e
somente um elemento do conjunto B.
3.1 Definição • Funções definidas por fórmula
y pode ser calculado a partir de x, por meio de uma
fórmula (ou regra, ou lei).
• Lei de Correspondência
Lei que associa cada número real x ao número y,
Ex.: sendo y o dobro de x, temos:
y = 2x ou f(x) = 2x
3.2 Domínio e Contradomínio
Domínio
𝐷(𝑓) = { −3, 0, 3 }
Contradomínio
𝐶𝐷(𝑓)={ 0, 9, 18 }
Imagem
𝐼𝑚(𝑓)= { 0, 9 }
3.2 Domínio e Contradomínio
• Exemplo – Dada a função 𝑓(𝑥)=4𝑥²−2, determine:
[𝑓(0)−𝑓(2)]/𝑓(1).
Resolva – Considere a função 𝑓 (𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 1.
Calcule o valor da constante 𝑏 = {[𝑓(1)]2− 2.𝑓(1)}/4𝑓(0)
e um número real 𝑎 de modo que 𝑓 (𝑥) = 0.
3.2 Domínio e Contradomínio
• Exemplo 2 – Calcule o domínio da função 𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 4
Resolva – Calcule o domínio da função:
𝑓(𝑥) =5
𝑥 + 1
𝑓 𝑥 =𝑥 − 2
3 − 𝑥.
3.3 Tipos de Função • Função Constante
Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑘, com 𝑘 ∈ ℜ é
denominada função constante. 𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑘
3.3 Tipos de Função • Função Par
Uma função 𝑓 é dita ser uma função par se:
𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)
Gráfico?
• Função ímpar
Uma função 𝑓 é dita ser uma função impar se:
𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)
Gráfico?
3.3 Tipos de Função
Exemplo – Dada a função 𝑓, determine se ela é
uma função par ou uma função impar.
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1;
b) 𝑓 𝑥 = 2 𝑥
3.4 Gráfico de Funções • O gráfico de uma função 𝑓 é o conjunto de todos
os pares ordenados (𝑥,𝑦) no plano 𝑥𝑦 tal que 𝑥
pertence ao 𝐷(𝑓) e 𝑦 pertence a 𝐼(𝑓).
Pares ordenados (𝑥,𝑓(𝑥)), pois 𝑦=𝑓(𝑥).
Exemplo – Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥)= 9 − 𝑥
Referências Bibliográficas
Material Didático do PCNA
FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.
“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-
logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015
“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015
“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.
Acesso: Jun. 2015
3.5 Função polinomial do 1° grau
• Definição
A função 𝑓 é dada por um polinômio de 𝟏º Grau:
𝑓(𝑥)=𝑎.𝑥+𝑏, com 𝑎 e 𝑏 reais e 𝑎 ≠ 0. 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=ℜ.
Exemplos:
f(x) = 5x – 3, em que a = 5 e b = -3
f(x) = - 2x – 7, a = -2 e b = -7
f(x) = 11x, a = 11 e b = 0
Função
Afim Linear
3.5 Função polinomial do 1° grau
• Coeficientes da função Afim
y = ax + b a = coeficiente angular
b = coeficiente linear
• Zero da função
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1°grau f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x tal que f(x) = 0.
Assim, a raiz de f(x) é x = ;𝑏
𝑎.
3.5 Função polinomial do 1° grau
Resolva – Plote o gráfico das funções dadas pelas
equações.
a) 𝑦 = −2 𝑥 − 2
b) 𝑦 = 3𝑥 − 9
c) 𝑦 = − 𝑥
2
d) 𝑦 = 3𝑥
3.6 Função do 2° Grau • Definição
Uma função 𝑓 é denominada de função de 2º grau
quando ela for dada por uma lei da forma:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 reais e 𝑎 ≠ 0 .
Exemplos
f(x) = 2x² + 3x +5, sendo a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = x² - 1, sendo a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = -x² + 2x, sendo a = -1, b = 2 e c = 0
3.6 Função do 2° Grau • Zero da função
Chamam-se zeros ou raízes da função do 2° grau f(x) = ax² +bx + c, a ≠ 0, os números reais x tal que f(x) = 0.
As raízes são solução da equação do 2° grau ax² + bx + c = 0. Logo, pela fórmula de Bláskara:
𝑥1 𝑒 𝑥2 = −𝑏 ± 𝑏² + 4𝑎𝑐
2𝑎
A quantidade de raízes depende do valor de ∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐
3.6 Função do 2° Grau • Zero da função
Soma e produto das raízes
Função genérica do 2° grau com raízes 𝑟1 𝑒 𝑟2.
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2) 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 − 𝑟2𝑥 − 𝑟1𝑥 + 𝑟1𝑟2
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 − 𝑥(𝑟2 + 𝑟1) + 𝑟1𝑟2
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥² − 𝑎𝑥(𝑟2 + 𝑟1) + 𝑎𝑟1𝑟2
Logo:
𝑏 = −𝑎𝑥(𝑟2 + 𝑟1) → 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠. −𝑎
𝑐 = 𝑎𝑟1𝑟2 → 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠. 𝑎
3.6 Função do 2° Grau • Exemplo – Obter os zeros da função f(x) = x² - 5x + 6
Caminho 1 – Fórmula de Bháskara
Caminho 2 – Soma e Produto de raízes
∗ 𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
Resolva – Obter os zeros da função f(x) = x² + 9x + 14
3.6 Função do 2° Grau • Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2° grau,
𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0, é uma curva chamada
parábola.
• Coordenadas do vértice do gráfico
𝑉 = −𝑏
2𝑎, −
∆
4𝑎
3.6 Função do 2° Grau • Gráfico
Concavidade da parábola e vértice
Domínio e imagem da função de 2º grau S𝑒 𝑎>0 , 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[𝑦𝑣 ,+∞)
S𝑒 𝑎<0 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=(−∞ ,𝑦𝑣 ]
3.6 Função do 2° Grau • Construção da Parábola
1° O valor do coeficiente “a” define a concavidade
2° Os zeros definem os pontos em que a parábola
intercepta o eixo x
3° O vértice V indica o ponto de mínimo (se a>0) ou
de máximo (se a<0)
4° A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é
o eixo de simetria da parábola
5° Para x = 0, temos 𝑦 = 𝑎. 0² + 𝑏. 0 + 𝑐; então, (0,c) é o
ponto em que a parábola toca o eixo y
3.6 Função do 2° Grau • Exemplo – Esboçar o gráfico 𝑓(𝑥)=3𝑥²−9𝑥+6.
Resolva – Esboçar o gráfico𝑓 𝑥 = 2𝑥² − 5𝑥 + 2
3.6 Função do 2° Grau Resolva – Uma empresa de armamentos bélicos
realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está
sendo fabricado. A empresa pretende determinar a
altura máxima que o míssil atinge após o lançamento
e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória
descrita pelo míssil é uma parábola representada
pela função y = – x2 + 3x, onde y é a altura atingida
pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também
em quilômetros). Quais serão os valores encontrados
pela empresa?
Referências Bibliográficas
Material Didático do PCNA
FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.
“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-
logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015
“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015
“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.
Acesso: Jun. 2015
3.7 Função Exponencial • Definição
Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , em que a é um número real dado, sendo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é denominada de função exponencial.
Ex.: 𝑓(𝑥) = 0.5𝑥
𝑓 𝑥 = 0.8𝑥 Para 0 < 𝑎 < 1
𝑓(𝑥) = 10𝑥
Para 𝑎 > 1 𝑓(𝑥) = 4𝑥
3.7 Função Exponencial • Gráfico
Intercepta o eixo Y no ponto (0,1)
Nunca intercepta o eixo X
𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ+ ∗ = (0, +∞)
3.7 Função Exponencial Exemplo – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 = 2𝑥
Utilizando o método de localizar alguns pontos do
gráfico e ligá-los.
𝑓 𝑥 = 2𝑥
X Y
-3
-2
-1
0
1
2
3
3.7 Função Exponencial Resolva – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥e depois compare
com o gráfico de 𝑓(𝑥) = 2𝑥.
*Utilizando o método de localizar alguns pontos do
gráfico e ligá-los.
𝑓 𝑥 =1
2
𝑥
3.7 Função Exponencial • Função 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 com base sendo a Constante de
Euler 𝒆 𝒆 ≈ 𝟐, 𝟕𝟏𝟖
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥𝑒 𝑓 𝑥 = 𝑒;𝑥
3.7 Função Exponencial • Função 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 com base sendo a Constante de
Euler 𝒆 𝒆 ≈ 𝟐, 𝟕𝟏𝟖
𝑓 𝑥 = 𝑒;𝑥𝑒 𝑓 𝑥 = −𝑒;𝑥
3.7 Função Exponencial Exemplo – Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Resolva – Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
3.8 Função Logarítmica • Definição
Dado um número real 𝑎 (com 0 < 𝑎 ≠ 1 ), chama-se
função logarítmica de base 𝒂 a função de ℜ∗: em ℜ
dada pela lei 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥.
Exemplos
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔10𝑥
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥
𝐷(𝑓)= ℜ∗: =(0,+∞) 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=ℜ
3.8 Função Logarítmica Exemplo – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥
Utilizando o método de localizar alguns pontos do
gráfico e ligá-los.
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥
𝑋 𝑌 = 𝑙𝑜𝑔1/𝟐𝑥
-2
-1
0
1
2
3.8 Função Logarítmica Resolva – Plote o gráfico de 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥 e compare
com o gráfico de 𝑓 𝑥 = 2𝑥.
Utilizando o método de localizar alguns pontos do
gráfico e ligá-los.
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2𝑥
X 𝑌 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙
-3
-2
-1
0
1
2
3
3.8 Função Logarítmica • Gráfico da função logarítmica
Intercepta o eixo X
no ponto (1,0)
Nunca intercepta
o eixo Y
3.8 Função Logarítmica • Gráfico
Estudo comparativo entre a função exponencial e a
função logarítmica
3.9 Função Inversa • Se 𝑓:𝐴→𝐵 for uma função bijetora então, ela
admite uma função inversa 𝑓−1:𝐵→𝐴.
• Exemplo
Dada a função 𝑓 calcule sua inversa 𝑓;1
𝑓 𝑥 = 3 𝑥 + 6
𝑓 𝑥 = 2𝑥
3.9 Função Inversa • Resolva (a definir)
Seja f: IR ë IR uma função definida por f(x) = ax + b. Se
o gráfico da função f passa pelos pontos cartesianos
A (1, 2) e B (2, 3), a função f -1(inversa de f ) é:
Referências Bibliográficas
Material Didático do PCNA
FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.
“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-
logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015
“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015
“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.
Acesso: Jun. 2015
“Função Exponencial – Alunos Online – Site oficial” Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/grafico-da-funcao-exponencial.html> Acesso: Jul. 2015
PCNA - Matemática • Função Composta;
*Função Modular.
* Tópico em anexo ao material didático do PCNA
3.10 Função Composta Sejam três conjuntos distintos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 que entre eles
existam as seguintes funções: 𝑓:𝐴→𝐵 𝑒 𝑔:𝐵→𝐶
Assim, irá existir outra função ∶𝐴→𝐶 tal que (𝑥)=𝑔(𝑓(𝑥)) que é chamada de função composta de 𝑔 e 𝑓
denotada por (𝑔∘𝑓)(𝑥).
3.10 Função Composta Exemplo/Resolva (a definir)– Considere as funções
𝑔 𝑥 = 2𝑥2
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1
Determine
• 𝑔 𝑜 𝑓
• 𝑓 𝑜 𝑔
• 𝑓 𝑜 𝑓
• 𝑔 𝑜 𝑔
* Função Modular • Função definida por mais de uma sentença
Sendo f uma função definida pelas sentenças:
Se x < 0, então f(x) = 1
Se x ≥ 0, então f(x) = x +1
Calcular f(-3), f(-√2), f(0), f(2) e construir o gráfico de f.
Y é uma função de x definida por 2 sentenças. Assim,
usa-se uma sentença ou outra, dependendo do
intervalo em que o valor de x se enquadra.
* Função Modular Chama-se função modular a função f de IR em IR
dada pela lei f(x) = I x I.
Utilizando o conceito de módulo de um número real,
a função modular pode ser caracterizada:
F(x) = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0− 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
* Função Modular • Exemplo 1.
Se f(x) = x – 1 e g(x) =|x|, construa o gráfico da função
h(x), que é a composta de g com f.
De modo geral, para esboçar o gráfico de h(x) = |f(x)|:
1° quando f(x) ≥ 0, o gráfico de h(x) é o próprio gráfico
de f(x).
2° quando f(x) < 0, o gráfico de h(x) é o gráfico de -f(x).
* Função Modular • Exemplo 2.
Se f(x) = x² - 4 e g(x) =|x|, então a composta de g
com f é dada pela lei:
h(x) = g(f(x)) = g(x² - 4) =|x² - 4|
Construa o gráfico da função h(x) =|x² - 4|.
* Função Modular • Resolva
Construa o gráfico das seguintes funções definidas
em IR:
a) h(x) = |x|-1
b) f(x) = |3x|
c) r(x) = |x² + 4x|
d) g(x) = ||2x + 3|-2|
Referências Bibliográficas
Material Didático do PCNA
FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.
“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-
logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015
“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015
“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.
Acesso: Jun. 2015
4.4. Espaço 4.4.1 Posições Relativas de duas Retas no Espaço
• Retas Coplanares: Duas retas são ditas coplanares
quando existe um plano que as contêm.
• Retas Reversas: Duas retas são ditas reversas
quando não existe um plano que as contêm.
Exemplo 1) De acordo com a figura abaixo, dê a
classificação em relação à posição relativa dos pares
de retas indicadas:
4.5.1. Razão entre Segmentos de Reta • A razão os entre os segmentos (AB ̅) e (CD ̅ ),
respectivamente, de comprimentos 6 cm e 3 cm é
determinada por:
AB/CD=6/3=3
4.5.2. Segmentos Proporcionais • Exemplos:
1) Verifique se os segmentos 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, 𝑀𝑁 e 𝑃𝑄, nesta
ordem, são proporcionais, sabendo que 𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚, 𝐶𝐷 = 18 𝑐𝑚, 𝑀𝑁 = 4 𝑐𝑚 e 𝑃𝑄 = 12 𝑐𝑚.
2) Considere os segmentos 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, 𝑀𝑁 e 𝑃𝑄,
proporcionais nesta ordem. Calcule as medidas dos
segmentos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 sabendo que 𝐴𝐵 = 𝑥 + 3 𝑐𝑚 , 𝐶𝐷 = (𝑥 − 2) 𝑐𝑚, 𝑀𝑁 = 40 𝑐𝑚 e 𝑃𝑄 = 30 𝑐𝑚
4.5.3. Teorema de Talles “Um feixe de retas paralelas determina, em duas
retas transversais, segmentos que são proporcionais”.
𝑠𝑒 𝑟//𝑠//𝑡 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝐵
𝐵𝐶=
𝑀𝑁
𝑁𝑃
Exemplos: • 2) A figura abaixo mostra dois terrenos cujas laterais
horizontais são paralelas. Determine as medidas 𝑥 e
𝑦.
Exemplos: 1) Determine o valor de 𝛼 = 45° em radianos.
2) Determine o valor de 𝛼 = 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 em graus.
4.8.1. Semelhança de Polígonos • Ângulos correspondentes iguais:
𝐴 = 𝐴’; 𝐵 = 𝐵’; 𝐶 = 𝐶’; …
• Lados correspondentes proporcionais 𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′= ⋯ = 𝑘
onde 𝑘 é a razão de semelhança
Exemplos: 1) Determine o comprimentos x, y e z dos polígonos
da figura, sabendo que eles são semelhantes.
4.8.2. Semelhança de Triângulos a) Quanto aos lados c) Quanto a dois lados e um
ângulo
b) Quanto aos ângulos
4.9. Perímetro e Área • Perímetro: é a medida do contorno de um objeto
bidimensional.
• Área: é uma função que associa a cada figura um
número positivo que representa a medida de sua
superfície.
Exemplo • Considere uma sala cuja planta baixa está
indicada:
• a) Quantos metros de rodapé serão necessários
para contornar a sala?
• b) Deseja-se revestir o piso da sala com lajotas
quadradas de 1 𝑚2.Quantas lajotas serão
necessárias?
Resolva 5) A soma das áreas dos três quadrados abaixo é
igual a 83 𝑐𝑚2. Determine a área o quadrado maior.
Exemplo: 2) Calcule a área da coroa circular de raio 𝑅 = 20 𝑐𝑚
e largura 𝑡 = 5 𝑐𝑚, indicada na figura 4.53, isto é,
calcule a área da superfície colorida na figura.
4.10. Volume • Definição: é o espaço ocupado por um corpo e
também a capacidade do corpo de comportar
alguma substância.
• Unidades:
Resolva • 6) Na figura 4.68, 𝐴𝐵𝐶 é um quadrante de um
círculo de raio igual a 3 𝑐𝑚 e 𝐴𝐷𝐸𝐹 é um quadrado
de lado igual a 1 𝑐𝑚. Considere o sólido gerado
pela rotação de 360° da região hachurada da
figura em torno da reta 𝐴𝐵. Determine o volume
deste sólido de revolução.
5.2. Sistema de Coordenadas
Cartesianas Retangulares ou Plano
Cartesiano
Onde: 𝑃𝑥 = projeção ortogonal do ponto 𝑃 no eixo x 𝑃𝑦 = projeção ortogonal do ponto 𝑃 no eixo y O = origem (interseção entre os eixos)
5.3. Distância Entre Dois
Pontos No Plano Cartesiano
y
x
.
B(x2, y2)
A(x1, y1)
∆x
∆y
y2
y1
x1 x2
B
A
∆x
∆y
Exemplos
1 5
3
x
y
A(1, 3) B(5, 3)y
x
.
B(3, 6)
A(6, 2)
3
4
6
2
3 6
Determine a distância entre A e B nas duas figuras:
Resolva Para estimar a distância entre os pontos P1 e P2, um
engenheiro caminhou, sempre em linha reta, de P1 até A,
de A até B e de B até P2, medindo adequadamente essas
distâncias. Os valores medidos estão indicados na figura:
Após efetuar os cálculos necessários a partir das distâncias
medidas, o engenheiro estimou que a distância entre P1 e
P2 é de, aproximadamente:
5.4. Coeficiente Angular e
Equação da Reta
• 5.4.1 - Coeficiente angular de uma reta
𝒎 = 𝒕𝒂𝒏 𝜶
y
x
.
B(x2, y2)
A(x1, y1)
∆x
∆y
y2
y1
x1 x2
r
• 4º) Se 𝛂 = 90°, a tan 𝛂 não é definida. Então dizemos
que quando 𝛂 = 90°, ou seja, quando uma reta é
vertical, ela não tem declividade.
x
y
0
r
. α
5.4.2- Equação da reta quando
conhecidos um ponto 𝐏(𝐱𝟎, 𝐲𝟎) e o
coeficiente angular da reta
y
x
.
P
P0
y
y0
x0 x
r
.
.
α
α
C
RESOLVA: • Determine a equação da reta que passa pelo
ponto 𝐴 1, −2 e que tem coeficiente angular igual
a 1.
• As retas 𝑟 e 𝑠 são perpendiculares e se interceptam
no ponto 2,4 . A reta 𝑠 contém o ponto 0,5 .
Determine a equação da reta 𝑟.
RESOLVA
• Um ponto móvel 𝑃 −2 + 𝑡,4𝑡
3+ 2 desloca-se no
plano cartesiano e suas coordenadas variam em
função do tempo 𝑡(com 𝑡 ≥ 0). Qual a distância
percorrida pelo ponto entre os tempos 𝑡 = 0 e 𝑡 =6?
RESOLVA
EXEMPLOS • Se as retas de equações (a+3)x + 4y – 5 = 0 e
x + ay + 1 = 0 são paralelas. Calcule o valor de a.
RESOLVA • 1) Trace o gráfico das retas 𝑟 e s e determine a
interseção entre elas. Sabendo que:
• →A reta 𝑟 é a reta de equação 𝑦 = −0,5𝑥 + 8.
• → A reta 𝑠 é perpendicular à reta 𝑟 e um de seus
pontos é o ponto 𝑃 2,2 .
Ex 1: Um arco AB de uma circunferência tem
comprimento L. Se o raio da circunferência mede 4
cm, qual a medida em radianos do arco AB se L=22
cm?
Exemplo:
6.1.4. Triângulo Retângulo
1. Possui um ângulo reto.
2. O maior lado, chamado
de hipotenusa, é oposto
ao ângulo reto,
3. Os outros lados são
chamados catetos.
• Teorema de Pitágoras
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
Para todo triângulo
retângulo tem-se que “o
quadrado da hipotenusa é
igual à soma dos
quadrados dos catetos”
Exemplo: Ex 2: Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas.
• Lei dos Cossenos
Para um triângulo qualquer:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. cos (∝)
Onde ∝ é o ângulo oposto ao
lado 𝑎.
Exemplo 3) Um triângulo tem lados a = 10m, b = 13m e c= 15m.
Calcule o ângulo o menor, Â , do triângulo.
• Lei dos Senos Para um triângulo qualquer:
𝑎
𝑠𝑒𝑛(Â)=
𝑏
𝑠𝑒𝑛(𝐵 )=
𝑐
𝑠𝑒𝑛(𝐶 )
Sendo o lado 𝑎
oposto ao ângulo Â.
6.2. Círculo Trigonométrico
• 6.2.1 – Definição • Divisões em
Quadrantes
• Sentido positivo =
sentido anti-horário
•Sentido negativo =
sentido horário.
• Seno
6.2.2 - Relações Trigonométricas no Círculo Trigonométrico
2. Redução ao
primeiro quadrante
1. Análise de
Sinal
• Ângulos correspondentes
• No II Quadrante: 180º − 𝛼;
• No III Quadrante: 180º + 𝛼;
• No IV Quadrante: 360º − 𝛼.
Resolva: • Calcule o valor da expressão:
𝑦 = sen 105° − cos 75°
• Calcule o valor numérico da expressão:
𝑦 = sen13𝜋
12. cos(
11𝜋
12)
6.3 – Relações Trigonométricas Inversas
• sec ∝ = 1
cos (∝)
• 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 ∝ = 1
sin (∝)
• 𝑐𝑜𝑡𝑔 ∝ = cos (∝)
sin (∝)
Exemplos: Ex 1: Se 𝑠𝑒𝑛 ∝ =
1
2, com 0 < ∝ <
𝜋
2. Determine o valor
de 𝑠𝑒𝑐 ∝ .
Ex 2: Se 𝑠𝑒𝑛 ∝ = ;2
3, com
3𝜋
2< ∝ < 2𝜋. Determine o
valor de 𝑐𝑜𝑡𝑔(∝).
6.4 - Identidades Trigonométricas
• Obtida por simples aplicação de Pitágoras no
círculo trigonométrico.
• 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 (relação fundamental)
• 1 + 𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥
• 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
• sin 𝑎 + 𝑏 = sin 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑏 cos 𝑎
• sin 𝑎 − 𝑏 = sin 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑏 cos 𝑎
• cos 𝑎 + 𝑏 = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏
• cos 𝑎 − 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin (𝑏)
• sen 2𝑥 = 2. sen 𝑥 . cos(𝑥)
• cos 2𝑥 = cos² 𝑥 − sen²(𝑥)
• sen 𝑥
2= 1−cos (x)
2
• cos 𝑥
2= 1+cos x
2
Transformação de SOMA em PRODUTO
• 𝑠𝑖𝑛 𝑝 + 𝑠𝑖𝑛 𝑞 = 2 sin𝑝:𝑞
2cos (
𝑝;𝑞
2)
• sin 𝑝 − sin 𝑞 = 2 sin𝑝;𝑞
2cos (
𝑝:𝑞
2)
• 𝑐𝑜𝑠 𝑝 + 𝑐𝑜𝑠 𝑞 = 2 cos𝑝:𝑞
2cos
𝑝;𝑞
2
• 𝑐𝑜𝑠 𝑝 − 𝑐𝑜𝑠 𝑞 = −2 sin𝑝:𝑞
2sin
𝑝;𝑞
2
6.5.1 Função Seno:
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
Domínio: ℝ
Imagem: −1 ≤ 𝑦 ≤ 1
Obs.: Quando tem-se uma volta completa no círculo
trigonométrico, a repetição dos valores de y confirma o seu
caráter oscilatório.
Período: 2𝜋
Modificações no gráfico da função
• Para uma função do tipo 𝑓 𝑥 = 𝐴 + 𝐵. sen 𝑐𝑥 + 𝑑 ,
as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos:
• A = deslocamentos verticais;
• B = alongamento vertical ou horizontal;
• C = encurtamento horizontal;
• D = deslocamentos horizontais.
• Se 𝑓 𝑥 = B. sen(𝑥):
• B>1, ocorre um alongamento vertical;
• B<1, ocorre um alongamento horizontal.
Ex 2: 𝑓 𝑥 = 0,5. sen(𝑥):
6.5.2 Função Cosseno:
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
Domínio: ℝ
Imagem: −1 ≤ 𝑦 ≤ 1
Obs.: Quando tem-se uma volta completa no círculo
trigonométrico, a repetição dos valores de y confirma o seu
caráter oscilatório.
Período: 2𝜋
Modificações no gráfico da função
• Processo semelhante ao da função seno.
• Para uma função do tipo 𝑓 𝑥 = 𝐴 + 𝐵. cos 𝑐𝑥 + 𝑑 ,
as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos:
• A = deslocamentos verticais;
• B = alongamento vertical ou horizontal;
• C = encurtamento horizontal;
• D = deslocamentos horizontais.
6.5.4 Função Tangente:
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 (𝑥) Domínio:
ℝ − (𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑜𝑠 à 𝜋
2 𝑜𝑢
3𝜋
2)
Imagem: −∞ ≤ 𝑦 ≤ ∞
Obs.: quando 𝑥 =𝜋
2,3𝜋
2, ou seus correspondentes depois de N
voltas, a função não existe.
Período: 𝜋
Modificações no gráfico da função
• Processo semelhante aos das funções seno e
cosseno.
• Para uma função do tipo 𝑓 𝑥 = 𝐴 + 𝐵. t𝑔 𝑐𝑥 + 𝑑 ,
as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos:
• A = deslocamentos verticais;
• B = alongamento vertical ou horizontal;
• C = encurtamento horizontal;
• D = deslocamentos horizontais.
6.5.4. Função Arco-Seno • O arco-seno (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥)) é um ângulo definido pela
variável ∝ dependente de um valor x tal que
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) = ∝ isto é, 𝑠𝑒𝑛 ∝ = 𝑥.
∝ = arcsin (𝑥)
Exemplo: Ex 7: Para um triângulo retângulo de hipotenusa
2 cm e cujo ângulo 𝛼 é oposto a um cateto de
1cm, determine o valor de 𝛼.
6.5.5 Função Arco-Cosseno
• O arco-cosseno (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑥)) é um ângulo ∝ cujo
valor de seu cosseno vale x, isto é, ∝ depende de x
tal que 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑥) = ∝, cos ∝ = 𝑥.
∝ = arccos (𝑥)
Exemplo: 8) Sabe-se que um triângulo retângulo possui um
ângulo ∝ tal que o cateto adjacente a este
ângulo vale 2 cm e a hipotenusa do respectivo
triângulo possui valor de 4 cm. Determine o
ângulo ∝.
6.5.6 Função Arco-Tangente
• O arco-tangente (arctan (𝑥)) de um valor x, de
modo que seu resultado que é o ângulo 𝜃 é o
ângulo cuja a tangente é igual ao valor x. Ou seja,
se tan 𝜃 = 𝑥, tem-se que 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥).
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)
Exemplo: 9) Um triângulo retângulo possui um ângulo ∝ o
qual tem como cateto oposto b = 2.√2,e o cateto
adjacente valendo c =2.√2. Determine o ângulo ∝.
6.6. Sistema de Coordenadas Polares
• 𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎: 𝑥, 𝑦
• 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟: 𝑟, 𝜃
• 𝑥, 𝑦 → (𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 )
• 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
• 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦
𝑥)
Exemplos: Ex 1: Converta as coordenadas polares dadas para
coordenadas cartesianas:
𝑎) 𝑟, 𝜃 = 2 ,3𝜋
2
𝑏) 𝑟, 𝜃 = −4 ,−𝜋
3