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5/16/2018 PDF Elemag 1 - slidepdf.com

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CONCEITOS TEÓRICOS E ECCaappí í ttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORR

CONDUTOR

5.1 – CORRENTE (I) E DENS A corrente elétrica (convencion

dt

dQI = > 0 (Un

A densidade de corrente de con

volume (nuvem) de cargas com dvJ vρ= (Un

Para um condutor com densidadvelocidade de arrastamento (“dri

( ) (EvJ eede =µ−ρ=ρ=

Definindo eeµρ−=σ co

EJ σ= → densida

A tabela a seguir mostra as expr

que o sinal menos é compensado

Líq

C

Sem

µ =ρ = dh → e →

Relação entre corrente e den

A corrente dI que atravessa

dSJdI N= (de onde te

θ=θ= coscos dSJdSJdI

SdJdI •=

Daí, ∫= •s SdJI

ERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO SS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA

Capítulo V

S, DIEL TRICOS E CAPACIT

DADE DE CORRENTE ( J )

l) representa o movimento de cargas positiv

idade de corrente: C/s ou A)

vecção J (uma grandeza vetorial) represenensidade volumétrica ρv (em C/m3) numa ve

idade de densidade de corrente: A/m2)

de carga dos elétrons ρv = ρe, onde os elétt speed”) Evv ed µ−== (µe = mobilidade

) Eeeµρ

mo condutividade do condutor (em S/m), ob

de de corrente de condução (Forma pontua

ssões para cálculo da condutividade σ de

pelo valor negativo da densidade volumétric

Meio Condutividade σσσσ [S/m]ido ou gás σ = – ρ– µ– + ρ+ µ+ ndutor σ = – ρe µe icondutor σ = – ρe µe + ρh µh obilidade da carga (sempre +) [m2 /(V s)]

ensidade volumétrica de carga (±) [C/m3]lacuna ou buraco (do inglês “hole”)létron

idade de corrente (ver figura):

uma área dS é dada por (ver figura):

m-se:dS

dIJ N = )

29

CIA

s e é expressa por:

a o movimento de umlocidade v (em m/s).

rons se deslocam comdos elétrons), tem-se:

emos finalmente:

l da Lei de Ohm)

vários meios. Observe

a de carga negativa.




5.2 – CONTINUIDADE DA C A corrente através de uma supeigual a razão do decréscimo deregião – princípio da continuida

dt

dQSdJsI i−== •∫

onde +dt

dQi = razão (taxa) de acr

Aplicando o teorema da divergên

t

J v

∂

ρ∂−=∇ •

“A corrente ou carga po

de decréscimo de carga p

5.3 – CONDUTORES METÁL Definição de resistência de um c

∫ σ∫−==

•

•

s

a

babSdELdE

IVR

Para um condutor que possui se

cilíndrico da figura, com área S e

SdE

LdE

I

VR

s

0ab =

∫ σ

∫−==

•

•

Exemplo:Calcular R para o cond

⇒ρ

=ρφ

== Ek

h

I

S

IJ

dzdk

dk

Rh0 0

b

a

=

∫ ∫ φρρ

∫ ρσρ

=φ

ρρ


RRENTE

fície fechada (fluxo de cargas positivas parargas positivas (ou acréscimo de cargas nee. Matematicamente, expressamos como:

(Forma integral da equação da continuid

éscimo (incremento) de cargas no tempo den

cia à expressão acima, obtemos:

(Forma pontual da equação da continuid

segundo que sai (diverge) de um pequeno v

or unidade de volume em cada ponto.”

ICOS – RESISTÊNCIA (R)

ndutor qualquer:

[Ω] (parâmetro positivo)

ão reta uniforme (condutorcomprimento ):

SE

E ⇒

SR

σ=

utor em forma de cunha da figura, para J (o

ρσρ

=σ

= akJ

h

ln

hk

lna

bb

a

σφ

ρ

ρ

=φ

ρ

ρ

ρ

30

a fora da superfície) éativas) no interior da

de)

tro da superfície.

de)

olume é igual a razão

I) no sentido radial.




5.4 – O MÉTODO DAS IMAG Aplicação: Na solução de pro

deste por uma supe

Exemplo: Calcular o campo elé

Aplicando o método das imag

21 EEE +=

onde 1E e 2E são os camposdevido, respectivamente, a c(carga original) e a carga imaAssim,

1 22o

2R2

1o

1

R4

Qa

R4

QE

πε+

πε=

onde:

11R R / Ra1

= , sendo

22R R / Ra2

= , sendo

Substituindo os valores, temo

14

1

2

aa

236

104

1010E

zy

9

9

π

−+

−

ππ

×=

−

−

( ) (zy1010

90aa

22

90E −−=

Daí: zy a35,40a97,28E −=


ENS

lemas envolvendo um plano condutor aterfície equipotencial mais as cargas imagens,

rico E no ponto P(0,1,1) m, para a configur

ns, temos:

no ponto Parga objetoem.

2R

zy1 aa −= o vetor distância orientado de

zy2 a3aR += o vetor distância orientado

:

10

a3a

1036

0

10 zy

9

9 +

π

×−

−

) ( ) ( )zyzyzy a3a85,2aa82,31a3 +−−=+

[V/m] (Nota: Conferir o sentido de E n

31

rado pela substituiçãoomo ilustra a figura.

ação mostrada abaixo.

Q1 = Q a P,

e Q2 = –Q a P.

figura)




5.5 – A NATUREZA DOS MA Polarização P é definido como

lipv

1limP

v

vn

1i i0v=∑

∆=

∆

∆

=→∆

onde n é o número de diA lei de Gauss relaciona a densid

∫ •= SdDQ

Por analogia, pode-se também resendo esta carga chamada de car

∫ •−= SdPQP

A lei Gauss em termos da carga

∫ •ε= SdEQ oT

onde:QT = Q + QP = soma da cεo = 8,854×10-12 = per

Substituindo as cargas pelas suas

relaciona os 3 campos D , E e

PED o +ε=

Para um material linear, homogê

EP oeεχ= [C/m2]

sendo χe é a suscetibilidade el

constante é relacionada com a pe

εR, (grandeza também adimensio1Re −ε=χ

Combinando estas 3 últimas equ

ED ε=

onde:

oR εε=ε

sendo ε a permissividade elétri


ERIAIS DIELÉTRICOS – POLARIZA

sendo o momento elétrico total por unidade

v

ptotal

0 ∆ (Unidade: C/m

2

– mesma

olos elétricos por unidade de volume ∆v

ade de fluxo elétrico D com a carga elétric

Nota: D sai ou diverge da carga livre positi

lacionar o campo P com uma carga, QP, quea de polarização.

Nota: P sai ou diverge da carga de polariza

otal, QT, (lei de Gauss generalizada) é expr

rga livre com a carga de polarizaçãoissividade elétrica do vácuo (unidade: F/m

expressões com integrais, obtemos a seguint

, para qualquer tipo de meio:

(Nota: No vácuo 0P = )

eo e isotrópico (mesma propriedade em tod

étrica do material (constante adimensionalrmissividade elétrica relativa (ou constantenal) através da expressão:

ções obtém-se:

a absoluta do material, dada em F/m.

32

ÃO (P)

e volume, isto é:

unidade de D )

livre, Q, isto é:

a)

produz este campo,

ção negativa)

essa por:

)

e expressão geral que

s as direções) tem-se:

, χ lê-se “csi”). Estaielétrica) do material,




Relações usando as densidadespolarização, ρP, e de carga total,

dvQ vv ρ∫=

dvQ PvP ρ∫= dvQ TvT ρ∫=

5.6 – CONDIÇÕES DE CONT

Condição de contorno para as cPara o pequeno percurso fe

0LdEretângulo

=•∫

Fazendo 0h →∆ (tendend0LELE 2t1t =∆−∆ ⇒

Condição de contorno para as cPara o pequeno cilindro da

internacilindro

QSdD =•∫

Fazendo 0h →∆ (tendend

(i) Para a fronteira com carSDSD 2n1n ρ=∆−∆

(ii) Para a fronteira sem ca

2n1n DD = (Nest

Relação de contorno se o meio 2

Componentes tangenciais:

Componentes normais:


volumétricas de carga livre, ρv (ou simplesT:

ρ=∇ • D v

PP ρ−=∇ • To E ρ=ε∇ •

RNO PARA MATERIAIS DIELÉTRIC

mponentes tangenciais:chado retangular da figura, pode-se aplicar:

(válida para o campo E conservati

o a fronteira), obtemos:

2t1t E= ⇒ 2t1t EE = (Et é contínuo)

mponentes normais:figura, pode-se aplicar:

(Lei de Gauss)

o a fronteira), obtemos:

a (ρS ≠ 0):S∆ ⇒ S2n1n DD ρ=− (Neste caso

ga (ρS = 0):

caso Dn é contínuo)

for um condutor perfeito (σ2 → ∞ ⇒ E2 = D

0E 1t = ⇒ 0D 1t = (as comp. tangenc

s1n ρ= ⇒ 1s1n / E ερ= (existem some

33

ente ρ), de carga de

S PERFEITOS

o)

n é descontínuo)

2 = 0):

iais se anulam)

te comp. normais)




5.7 – CAPACITÂNCIA

Qualquer dispositivo formado pforma um capacitor (figura) cuja

∫−

∫ ε==+− •

•

LdESdE

VQC s

o

5.8 – EXEMPLOS DE CÁLCU

Análise do capacitor de placas p

adzaE

adSaE

V

QC

zz

0

d

zzS0

o ∫−

ε∫==

•

•

Observe também as fórmulas:EdVo =

SS

QED ρ==ε=

onde os campos E e D são consid

Ex. 1: Carrega-se um capacitor

constante. Desconsideraninstantâneas sofridas por:a) O espaço livre entre asb) A fonte de tensão é re

Solução do caso 1(a) – ver figur


r 2 condutores separados por um dielétricocapacitância é definida como:

[F] (parâmetro positivo)

LO DE CAPACITÂNCIA

lanas paralelas:

( )d0E

SE

−−

ε= ⇒

d

SC

ε=

erados constantes no dielétrico do capacitor

e placas planas paralelas no espaço livre co

do os efeitos de bordas (capacitor ideal), dWE, D, E, C, Q, V, e ρs, quando:placas é substituído por um dielétrico com εovida com as placas afastadas tal que d2 = 3

abaixo:

V2 = V1 = V (mesma fonte de ten

E2 = E1 (E = V/d)

D2 = 3 D1 (D = εR ε0 E)

C2 = 3 C1 (C = εR ε0 S/d)

ρS2 = 3 ρS1 (ρS = DN = D)

Q2 = 3 Q1 (Q = ρS S)

W2 = 3 W1 (W = (1/2) C V2 ou

34

ideal.

uma fonte de tensão

terminar as variações

R = 3;d1.

são)

W = (1/2) εRε0 E2 vol)




Solução do caso 1(b) – ver figur

Ex. 2: Determinar C de um capa

Para uma Gaussiana cilíndrica de

∫ =• ernaintQSdD

2DQL2D

π=⇒+=πρ

ρπερ

=ε

= aL2

QDE

∫ =ρ περ−== a

babo L2QVV

VlnL2

QV o

a

bo ⇒

ρ

πε

−=

a / bln(

L2

V

QC

o

πε==

Ex. 3: Determinar C de um capa

Para uma gaussiana esférica de r

∫ =• ernaintQSdD

22

r4

QDQr4D

π=⇒=π

r2a

r4

QDE

πε=

ε=

∫ =πε

−==a

br 2abo ar4

QVV

=⇒

−πε

−= Vr1

4QV o

a

bo


abaixo:

Q2 = Q1 (fonte de tensão rem

ρS2

= ρS1

(ρS

= Q/S)

D2 = D1 (D = DN = ρS)

E2 = E1 (E = D/ ε0)

C2 = C1 /3 (C = εR ε0 S/d)

V2 = 3V1 (V = Q/C ou V = E

W2 = 3 W1 (W = (1/2) C V2 ou

citor coaxial de raios a e b (a < b).

raio a < ρ < b e comprimento L

Lρ

ρρ ρ• ada

a

bln

L2

Q

πε=

citor esférico de raios a e b (a < b).

io a < r < b

• rr adr

−

πε b1

a1

4Q

o

35

vida)

d)

= (1/2) εRε0 E2 vol)




b

1

a

14

V

QC

o −

πε== (Se b

Ex. 4: Determinar C de uma lin

Seja uma configuração condutorde permissividade ε, conforme m

Foi visto no capítulo 4 que a difecom carga uniformemente distrib

A

BLAB ln

2V

ρ

ρ

πε

ρ=

Para os 2 fios infinitos paralelospotencial do ponto P(x, y, 0) em

L

1

0LPO l2ln2V πε

ρ

−ρ

ρ

πε

ρ

=

onde: ρ1 e ρ10 = ρ0 são as menoρ2 e ρ20 = ρ0 são as meno

Da figura tem-se:

( ) 221 yax +−=ρ

( ) 222 yax ++=ρ

Substituindo (03) e (04) em (02)

( )

( )2

2L

yax

yaxln

2V

+−

++

πε

ρ=

Seja V = V1 = constante, uma suespaço em que V = V1 é obtido f

( )

( ) / V4

22

22

eyax

yaxL1=

+−

++ ρπε

onde k1 é uma constante arbitrári

1L

1 kln4

Vπε

ρ=


→ ∞ ⇒ a4C πε= = capacitância do capa

a de transmissão com dois fios infinitos pa

a constituída por 2 fios (infinitos) paralelos,ostrado na figura abaixo.

rença de potencial entre 2 pontos A e B deviuída é dada por:

ρA e ρB são as menores distâncias do fio aos

a figura, com cargas simétricas com densidelação a um ponto qualquer O (referência) n

1

2L

2

0

ln2 ρ

ρ

πε

ρ

=ρ

ρ

es distâncias do fio 1 (carga +) aos pontos Pes distâncias do fio 2 (carga –) aos pontos P

e fazendo VPO = V (com a referência V0 = 0

( )

( ) 22

22L

yax

yaxln

4 +−

++

πε

ρ=

erfície equipotencial. Então, o lugar geométzendo:

1k=

a dependente de V1 e expressa por:

36

itor esférico isolado)

alelos

situados em um meio

o a um fio infinito

pontos A e B) (01)

de linear uniforme, oo plano x = 0, é:

(02)

e O, respectivamente;e O, respectivamente.

(03)

(04)

implícita), obtém-se:

(05)

ico dos pontos no

(06)

(07)




Desenvolvendo a expressão (06)

( )2221 yaax2xk =++−

( ) ( )1kax21kx 112 ++−−

( ya1k

1kax2x 22

1

12 ++−

+−

22

1

1

k

2y

1k

1kax

=+

−

+−

A equação (08) representa uma c

1k

1kahx

1

1

−

+== e y =

e raio:

1k ka2br1

1−

==

De (09), pode-se isolar k1, do segakahhk 11 +=−

( ) ahahk1 +=−

ah

ahk1

−

+=

Substituindo (11) em (10):

ahah

a21ahah

b−

+=

−

−

+

ah

aha2

ah

a2b

−

+=

−

( ) ah

ah

ah

b2

2

−

+=

−

ahah

b2

+=−

222 ahb −= 22 bha −=

Substituindo agora (12) em (11)

22

22

1h

h

bhh

bhhk

−

+=

−−

−+=

ou

222

1 b

bhhk

−+=


temos:222 yaax2 +++

)( ) 01kya 122 =−+

) 0=

2

1

1

1

k

−

ircunferência centrada em:

uinte modo:

racionalizando o denominador:

( )222

22

22

22

22

22

bhh

bhh

bhh

bhh

bh

bh

−−

−+

=−+

−+×

−

−

37

(08)

(09)

(10)

(11)

(12)

2

222

b

bhh

−+

=

(13)




Substituindo (13) em (07):

b

bhhln

4V

22L

1

−+

πε

ρ=

De (14) podemos obter a capacpotencial V = V1 e um planofigura abaixo). Esta pode ser obti

0V

L

V

QC

1

L

o −

ρ== ⇒ C

Para b << h, obtém se a capacitpequeno e igual a b) e um plano

C

A expressão (15) também percilíndricos nos potenciais V1 e2h (ver figura abaixo).

Esta capacitância, obtida pelametade do valor encontrado em (

2)V(VL

VQ'C

11

L

o

ρ=−−

ρ==

Para b << h, obtém se a capacmuito pequenos e iguais a b),transmissão:

C


b

bhhln

2

22L

2−+

πε

ρ=

itância de um capacitor formado por umondutor no potencial V = 0, separados porda pela definição de capacitância por:

−+

πε=

bbhhln

L2

22

ncia de um capacitor formado por um fio condutor, separados por uma distância h:

( )bh2lnL2πε

=

ite obter a capacitância do capacitor formV1 (cargas simétricas), separados um do o

efinição e da aplicação do método das i15), isto é:

2C

VL1

L = ⇒

−+

πε=

bbhhln

L'C22

itância de um capacitor formado por 2 fioeparados por uma distância 2h – configur

( )bh2ln

L'

πε=

38

(14)

ondutor cilíndrico nouma distância h (ver

(15)

ndutor (de raio muito

(16)

ado por 2 condutorestro por uma distância

agens, corresponde a

(17)

condutores (de raiosção de uma linha de

(18)




5.9 – EXERCÍCIOS PROPOS 5.1) Uma carga está distribuíd

segmento que se estende dplano z = 0 existe um plan

a) Determinar a densidadeb) Se esta carga linearmen

no eixo z que ela deveri

Respostas: a)2S

9

2

a

−=ρ

5.2) Suponha que o plano z

permeabilidades relativas[ηC] situada na origem.dielétricos perfeitos (Dn1 =

a) O campo elétrico na regb) O campo elétrico na regc) O ângulos formados pel

Respostas: a) (5

59E1

⋅=

c) θ1 = 63,44o e

5.3) A região 1, definida por 0relativa εR1 = 2, enquantmaterial dielétrico de per

elétrico na região 1 é dadaa) 2nD

;

Respostas: a) φ= a4D 2n

;

d) 2 a5,4P

+= ρ

5.4) A superfície de separação

1z4y

3x

=++ . O dielétric

dielétrico 2 possui pemissielétrico uniforme expressocondições de contorno, qua

a) 2na (versor normal ao pl

Respostas: a) 4(131

2na ⋅=

c) (t213

1E ⋅=

e) (t1 131E ⋅=


OS

. com densidade linear de carga ρL = π /zponto (0,0,a) ao ponto (0,0,3a), sendo a >condutor bastante grande, pede-se:

superficial de carga na origem;e distribuída fosse concentrada em um pontser colocada para obter a mesma solução de

ηC/m2]; b) aln32

3z = = 1,5722a [m].

= 1 m separa o espaço em duas regiõeR1 = 2 e εR2 = 4. A região 1 contém uma cDeterminar, a partir das condições de coDn2 e Et1 = Et2), o seguinte:

ião 1, aplicado ao ponto (0, 2, 1);ião 2, aplicado ao ponto (0, 2, 1);s dois campos com a direção normal ao pla

)aa zy

+ [V/m]; b) )aa4(

10

59E zy2

+⋅=

θ2 = 75,96o.

< φ < π /4 rad, contém um material dielétrque a região 2, definida por π /4 < φ <

issividade relativa εR2 = 4. Sabendo-se que

or z1 a5a4a3D

++= φρ [ηC/m2

], determinb) 2tD

; c) 2D

; d

b) z2t a10a6D

+= ρ ; c) 2 1a4a6D

++= φρ

za5,7a3

+φ .

entre dois dielétricos é expressa pela equaç

1 contém a origem e possui permissivida

vidade relativa εR2 = 4. Na região do dielétripor yx2 3aaE += . Determinar os seguintesndo necessário):

ano do lado da região 2); b) n2E ; c) t2E ; d)

)123 zyx aa ++ ; b) 134(131

yxn2 aaE ++⋅=

)zyx 12369 aaa −+ ; d) ( xn1 413

2aE ⋅=

)zyx 1236 aaa −+ .

39

[ηC/m], ao longo do. Sabendo que sobre o

, determinar a posição(a).

s com dielétricos derga pontual de 10ntorno para materiais

o z = 1.

V/m];

ico de permissividade /2 rad, contém outroa densidade de fluxo

r, na região 2:) 2P

;

za

;

ão do plano dada por:

e relativa εR1 = 2 e o

co 2 existe um campoparâmetros (usando as

n1E ; e) t1E .

)2 za ;

)zy 123 aa ++ ;




5.5) Seja um condutor plano n

cilíndrico, de raio b, no pot

o módulo da densidade de

cargas (supondo uniforme)a) A capacitância (a partirb) A capacitância entre d

simétricos ±V1, com sec) Repetir os itens (a) e (b)

Respostas: a)

=

h1

lnC

c)( h2ln

L2C1

πε=

5.6) a) Determinar a expressã

no espaço livre devidob) Uma linha infinita de

no ponto P eqüidistant[C/m].

c) Para a mesma configresultante E neste mes

Respostas: a)πε

ρ=

o

LAB

2

V

5.7) Uma configuração de car

situadas em (0, a, 0) e (2a,= 0. Determinar (em funçãa) O potencial elétrico nob) O vetor campo elétricoc) O vetor força resultante

Respostas: a) VP = 0; b)

5.8) Um condutor de cobre (c

truncada, de dimensões 2 <

Se ρ ρ

aE 410−

= [V/m],

a) A corrente total que atrab) A resistência do condutc) O valor do potencial noRespostas: a) I = 121,47 [

c) Pb 540V = ,


potencial zero situado uma distância h d

encial V1, expresso por:b

hhL1 ln

2V

+

πε

ρ=

carga (em C/m) no cilindro, no plano, ou n

e ε a permissividade elétrica do meio. Detea definição) entre o condutor plano e o conis condutores cilíndricos paralelos, mesmos eixos separados por uma distância 2h;supondo b << h.

−

πε

bbh 22

L2; b)

−+

πε=

bhh 222

ln

LC

)e

( )bh2ln

LC2

πε= .

o que fornece a diferença de potencial VAB a uma linha infinita de carga com densidadearga está paralela a um plano condutor. Dee entre o plano condutor (com V = 0) e a li

uração do item (b) determinar a magnituo ponto P.

ρ

ρ

A

Bln ; b) VP = 50 ln3 = 54,93 [V]; c) E

(Nota: h = distância da linha i

a é constituída por duas cargas pontuaisa, 0), respectivamente, e um plano condutorde Q, a e εo):

onto P(a, a, 0);o ponto P(a, a, 0);sobre a carga Q2.

x2o

P 50

525Q

aaπε

)( −⋅

= ; c)

(

o

2

2 64

2Q

F

⋅

=πε

ndutividade σ = 71085 ⋅, [S/m]) tem a

ρ < 12 [cm], 0 < φ < 30o, 0 < z < 4 [cm].

o interior do condutor, determinar:

essa o condutor;r,entro do condutor em relação a uma de suas]; b) R = 1,475 [µΩ];

410−⋅ [V] ou 4Pa 10251V −⋅−= , [V].

40

eixo de um condutor

b2−[V], sendo ρL

a linha equivalente de

rminar:utor cilíndrico acima;raio b e potenciais

b

;

entre 2 pontos A e Blinear constante ρL.erminar o potencial Vha com ρ πεL o= 100

e do campo elétrico

h3

400= [V/m].

nfinita ao plano condutor.)

Q1 = +Q e Q2 = −Q,aterrado (V = 0) em y

)(

)

yx2

4

aa +

−

.

forma de uma cunha

extremidades.




5.9) A região entre as placascamadas diferentes de diedielétrico, S = área, a = coa) As capacitâncias indivi

total resultante (CT);

b) As diferenças de potencc) As magnitudes dos camd) As magnitudes das dens

Respostas: a) CC 21 ==

b) VV 21 ==

d) DD 21 ==

5.10) Um arco, carregado com c

um círculo de raio a. Sab

apoiadas sobre um planoobtido no centro do círculo

Resposta: yo

L aEaπε

ρ −= .

5.11) A capacitância de um cap

raios a e b, respectivament

πε=

a

bln

L2C , onde ε represe

Seja agora a configuraçãodesprezível, comprimentodielétrico de permissividadielétrico de permissividad


planas de um capacitor de placas paralelalétricos, dispostas como na figura abaixo (

primento). Determinar:uais dos três capacitores formados (C1, C2

ial existentes nos dielétricos 1 e 2, isto é V1 eos elétricos nos três dielétricos, isto é E1, E2

idades de fluxo nos três dielétricos, isto é D1

a

S2 oε ,

a

SC o

3ε

= ea

S2C o

Tε

= ;

2

V; c)

a2

VE1 = ,

a4

VE 2 = e

a3

VE3 = ;

a2

Voε e

a

VD o

3ε

= .

rga distribuída com densidade constante ρL ndo-se que este arco está em pé, com ape

ondutor, porém isoladas deste, determinarformado pelo arco.

(Nota: Adotou-se o plano condutor situa

citor coaxial de comprimento L e condutore, é dada pela expressão:

nta a permissividade elétrica do meio entre o

obtida com três cilindros condutores coaxie raios a, 2a e 4a. Entre os condutores inte

de ε1 = εo, e entre os condutores centralε2 = 2εo.

41

s é constituída por 3= permissividade do

e C3) e a capacitância

V2;e E3;, D2 e D3.

epresenta a metade deas suas extremidades

o campo elétrico ( E )

o sobre y = 0)

s interno e externo de

s condutores.

is, todos de espessurano e central existe ume externo existe um




a) Determinar os valores db) Se uma tensão V é apli

que surgirão entre osexterno (V2), ambas to

Respostas: a) 2ln

L2C o1

πε=

b) V1 = 66,67%

5.12) A figura mostra uma conc(condutividade σ = 4 S/mficando a metade mergulhaa) Determinar a resistênciab) Se uma voltagem V0 = 1

condutores, calcular:• a corrente resultante,

• a densidade de correconcha, supondo fun

• campo elétrico na reg

Respostas: a)

πσ=

a

1

2

1R

b) I = 2,79 A,

5.13) A figura mostra dois bloco

livre, onde na região 3,Determinar:a) εR3 b) εR2 c) 1E

d) a diferença de potencial3.

Respostas: a) εR3 = 1,339;c) 1 a004,8E =

d) V = V 2 + V 3

5.14) Uma esfera de raio a é feiεR constante. A esfera estinterior e exterior da esfera

2

cosEr3V

R

oint

+ε

θ−= e

a) Mostrar que intE é uni

b) Mostrar que oext EE =

c) Mostrar que estes camem r = a.Atenção: Cuidado para não


s três capacitâncias obtidas com esta configcada entre os condutores interno e externo,ondutores interno e central (V1) e entre oadas em porcentagem de V.

, 2ln

L4C o2

πε= , 2ln3

L4C o3

πε= ;

de V e V2 = 33,33% de V.

ha de metal semi-esférica de raio b = 1 m. Uma bola de metal de raio a = 0,1 m flutuda na água. Pede-se:total entre a bola e a concha.volt for aplicada entre os dois

nte na região entre a bola e aão somente de r,ião entre a bola e a concha.

Ω=

− 358,0

b

1;

r2a

r

444,0J = [A/m2], r2

ar

111,0E = [V/m]

infinitos de dielétricos perfeitos e paralelos

z3 a6E

= V/m e z3 a18P

= pC/m2. S

através das regiões 2 e

b) εR2 = 1,512;[V/m];

0,106 + 0,300 = 0,406 [V]

a de um dielétrico homogêneo com permicentrada na origem no espaço livre. Os c

são expressos, respectivamente, por:

θ+ε

−ε+θ−= cos

2

1

r

EcosErV

R

R2

o3

oexta

forme (isto é, possui módulo constante).

za para r >> a.

pos obedecem a todas as condições de f

esquecer o sinal negativo das expressões aci

42

ração;determinar as tensõescondutores central e

cheia de água do marno centro da concha,

, rodeados pelo espaço

z2 a24P

= pC/m2.

ssividade elétricampos de potencial no

(Eo = constante)

onteira do dielétrico

ma.




Respostas: a)+ε

=E3

ER

oint

b) (oext cEE =

c) De extE −=

De intE −=

Logo, de D

5.15) Um capacitor coaxial de ra

contém duas camadas dieléoutra na região 2 definidaa) Determinar a capacitâ

b) Determinar Dρ e Eρ = c+ (na região 2 próx

(referência) e V = 100

Respostas: a)CC

CCC

21

21

+=

b) D1 = 107,46

5.16) Dado a ( φρ−= 210J 4 sen

(a) a região do plano x = 0

(b) a região do plano y = 0Atenção: O problema é

Fazer uma figu

Respostas: a) I = 20 mA;

5.17) Sabendo as equações D

isotrópico)a) Demonstrar as seguin

perfeitos: P

P

1R

2R

1t

2t

ε

ε

=

partindo das condições

b) Determinar a constantqual a densidade de flu

Atenção: Empregar soment

Respostas: a) Demonstraç


( )θθ−θ asenacos2 r , portanto

E3E

R

oint

+ε=

) zor aEasenas =θ−θ θ , pois =• cosaa rz

extV∇ e r=a, ( rRR

oext senacos

2

E3E −θε

+ε

=

intV e r=a, ( rR

oint asenacos

2

E3E θ−θ

+ε= θ

2N1 D= ⇒ NN intRext EE ε= e de 1T EE =

io interno a = 2 cm, raio externo b = 4 cm etricas, sendo uma na região 1 definida por a or c < ρ < b com εR2 = 4. Sendo c = 3 cm,cia do capacitor coaxial.

m ρ = c

–

(na região 1 próximo a fronteira cimo a fronteira com a região 1), sabendo-sevolts em ρ = a.

pF55,202pF51,77341,274

51,77341,274=

+

×=

nC/m2, E1 = 6,068 kV/m, D2 = 107,46 nC/

)φρ φ+ a2cos [A/m2], determinar a corrent

, limitada por 0 < y < 2 cm e 0 < z < 1 cm, n

, limitada por 0 < x < 2 cm e 0 < z < 1 cm, nais fácil de resolver em coordenadas cilíndria ilustrativa para facilitar a visualização.

) I = 20 mA.

PEo +ε e ED ε= (para um dielétrico

tes relações para a polarização na frontei

1

1

−

−

e

( )

( )1

1

P

P

1R2R

2R1R

1n

2n

−εε

−εε

= ,de contorno normal 2n1n DD = e tangenci

dielétrica (ou permissividade elétrica relatixo elétrico é quatro vezes a polarização.e as fórmulas dadas acima para resolver os d

o; b) εR = 4/3

43

constante= ;

θ e θ−=• θ senaaz ;

)TN

extext EEa +=θ θ

TN intint EE +=

2 ⇒ TT intext EE =

omprimento L = 1 m,ρ < c com εR1 = 2, e

ede-se:

m a região 2) e em ρ que V = 0 em ρ = b

2, E2 = 3,034 kV/m

que cruza:

a direção xa− ;

a direção ya− .cas.

linear, homogêneo e

ra entre 2 dielétricos

al 2t1t EE = .

va) εR do material no

is itens.





Anotações do Capítulo V

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