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Processamento de Sinais2015-1

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Processamento de Sinais

Engenharia Elétrica - 7o período

Hélio Marques [email protected]

http://linuxtech.com.br/downloads


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Horários das aulas● Quarta

– 19:00 às 20:40

● Sexta– 19:00 às 20:40


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Bibliografia● Referências

Sinais e Sistemas

● Simon Haykin e Barry Van Veen

Sinais e Sistemas Lineares

● Bhagawandas P. Lathi

Sinais e Sistemas

● Alan V. Oppenheim & Adam S. Willsky

Introdução ao Processamento Digital de Sinais

● José Alexandre Nalon

● A Internet !

E muito mais !

Vejam: http://bookboon.com


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Programa● Introdução

● Sinais e sistemas de tempo discreto

● Representação em em frequência

● Transformada de Fourier

– Resposta em frequência e Aplicações de DFT

– Sistemas FIR e IIR● Analise espectral de sinais

● Transformada Z

● Filtros digitais

– Projetos de filtros digitais FIR e IIR


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Introdução e revisão● Definições

● Sistema– Entidade que manipula um ou

mais sinais consequentemente gerando novos sinais.

● Sinal– Uma função de uma ou mais

variáveis veiculando informações sobre a natureza de um fenômeno físico.

Sinal de entradaSistema

Sinal de saída


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Exemplos● Sistemas ?

● Sinais ?


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Aplicações de processamento de sinais


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Aplicações de processamento de sinais● Controle

– Controle e automação industrial● Comunicações

– Transmissão de informações● Analógica e Digital

● Processameno de sinais

– Extração e alteração de sinais● Modulação, Filtros, Melhoramento

– Transmissão, Armazenamento, Exibição● Eficiencia e Confiabilidade !


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Análise de sinais biológicos● Sinais cerebrais : EEG : Eletroencefalografia● Sinais cardiacos : ECG : Eletrocargiografia● Imagens médicas: Raio X, PET, MRI)

– PET : Positron EmitionTomography

– MRI : Magnetic Ressonance Imaging

● Detecção de atividades anormais● Auxílio aos diagnósticos


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PET SCAN


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Ondas cerebraiscom ruidos difícieis de interpretar


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Exemplo: Imagem jpeg

43K 13K 3.5K

– Jpeg usa transfomada de cosseno discreta

(Similar à Transformada de Fourier)

JPEG: Joint Photografic Experts


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Biometria• Identificação de uma pessoa usando

caracteristicas fisiológicas

– Exemplos ● Identificação digital● Reconhecimento facial● Reconhecimento de voz


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Processamento de sinal de áudio● Cancelamento de ruidos

– Filtro adaptativo de ruídos

● Fones utilizados em cockpits● Efeitos em áudio digital● Adiçao de efeitos musicais

– Atraso, eco e reverberação

● Separação de sinal de áudio– Separar falas de interferência

– Separar som do vento da música em carros


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Sistema de Comunicação

Transmissor Canal Receptor

Sinal da mensagen

Sinal transmitido

Sinal recebido

Estimativa do sinal da mensagem recebido

Atenuação de sinal


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Sinal e Ruído

SNR = Signal Noise Ratio SNR=P signal

P noise


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Algumas distorções de sinais


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Revisão matemática - 1

Números e QuantidadesRepresentação Numérica : Bases numéricas

Conjuntos

Discretos ( ) ℕ : 0 .. + ∞ ℤ : ∞ .. + ∞

Contínuos( ) ℝ : ∞ .. + ∞ ℂ : x + j y

x e y ∈ ℝ

Δ=+/-1

Δ→0


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Trigonometria● Seno, Cosseno, Tangente, ...


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Círculo e Senoide


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Gráficos trigonométricos


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Relações Trigonométricas - 1

sin2 x + cos2 x=1

cotg (x)=1

tan (x)

sin (−x)=−sin (x)

cos(−x) = cos(x)

cosec(x)=1

sen(x)

tan (x) =sin( x)cos( x)

tan (−x) =−tan ( x)

tan (x+ y) =tan (x)+ tan ( y)

1−tan ( x) tan ( y)

tan (x− y) =tan (x)−tan ( y)

1+ tan ( x) tan ( y)

sec(x)=1

cos(x)


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Relações Trigonométricas - 2

sin (x± y)=sin (x)cos( y)±cos(x)sin ( y)

cos(x± y)=cos(x)cos( y)∓sin (x)sin ( y)

sin (x)cos(x) =12

sin (2x)

tan (x2) =

1−cos(x)sin (x)

=sin(x)

1+cos( x)

E muito mais !


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Viagem de uma onda senoidal


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Comprimento de onda


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Dependência de x e ty = sin (kx − ωt)


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Revisão matemática - 2Vetores Fasores


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Tangente


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Revisão : Números Complexos∣Z∣=√x2

+ y2 ∣Z∣<θZ=x+ j y

AB=cos(θ)

BC=sin (θ)

Z1=a+ j b Z2=c+ j d

Z1+Z2=(a+c)+ j(b+d)

Z1∗Z2=(ac−bd)+ j(ad+bc)

Z=x− j yConjugado:

Z1+Z1=2a

Z1∗Z1=a2+b2

1Z=

Z∣Z2∣


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Revisão - FasoresSenoide :

Z=∣Z∣<ϕ

Z=∣Z∣cos(ϕ)+ j sin(ϕ)

ϕ=tan−1[(X L−XC)

R]


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Matrizes

Soma de matrizes


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Matrizes

Multiplicação de matrizesPor constante

Por matriz

Multiplicação de matrizes


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Limites● Seja S uma sequência de números reais

– x1, x2, x3, x4, …

● lim(xi) = L quanto maior for o valor de I

● Para uma função f(x) real


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Cálculo Integral● Seja

y = f (x)

● a integral

● representa a área delimitada pela curva do ponto a até b e a reta real.

F(x) = = F(b) - F(a)

F(x) =


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Integral indefinida

Integral imprópria

∫ f (x)dx

∫−∞

∞

f (x)dx


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Derivativo ou derivada

Notação de Leibinitz :

Notação de Lagrange : f'(x)

f ' ( x) oudfdx( x)


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Derivativa geométrica


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Algumas regras de derivadas


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Regras de derivadas (1/4)(cf )'=cf '

( f +g)'= f '+g '

( fg )'= f ' g+ fg '

(fg)'=

f ' g− fg '

g2

( f ο g) '=( f ' ο g)g '

d (c)dx

=0

d (x)dx

=1

d (cx)dx

=c

d (xc)

dxc =cxc−1

onde ( f ο g)= f (g (x))


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Regras de derivada (2/4)

d (1x)

dx=d

( x−1)

dx=−x−2

=−1

x2

d (1

xc)

dx=d

( x−c)

dx=−c

xc+1

d (√ x)dx

=d x

12

dx=

12x−

12=

12x−

12=

12√ x


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Regras de derivada (3/4)d (sen(x))

dx=cos(x)

d (cos(x))dx

=−sen( x)

d ( tan (x))dx

=sec2(x)=

1

cos2 x

d (sec(x))dx

=tg (x) sec(x)

d (cotg (x))dx

=−cosec2(x)=

−1

sen2 x

d (cosec(x))dx

=−cosec( x)cotg (x)

d (arcsen (x))dx

=1

√1−x2

d (arccos( x))dx

=−1

√1−x2


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Regras de derivada (4/4)d (arctg (x))

dx=

1

1+ x2

d (arcsec (x))dx

=1

∣x∣√(x2−1)

d (arccotg ( x))dx

=−1

1+x2

d (arccosec (x))dx

=−1

∣x∣√(x2−1)

d (senh( x))dx

=cosh (x)=(e x

+e−x)

2

d (cosh (x))dx

=senh(x)=(e x

+e−x)

2

d ( tanh( x))dx

=sech2(x)

d (sech(x))dx

=−tanh (x)sech( x)


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Sinais

● Frequências● Amplitudes● Fases


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Frequências e Harmônicas


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Harmônicas acumuladas


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Modulação de sinais


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Modulações básicas


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Modulação PSK – Phase Shift Keying


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Modulação FSK – Frequency Shift Keying


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Fator de qualidade de sinal


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Superposição positiva


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Reflexão fixa e livre


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Incidência, Superposição e Reflexão

μ = massa/comprimento da linha = densidade da linha


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μ crescente


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μ decrescente


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Potência

P (t)=dWdt

=F.dsdt

=F.v

P (t)=vμω2 A2 cos2(kx−ω t)

Paverage=12vμω2 A2


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Intensidade

I=P

4π r2


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Radiação de somVídeo: radiation.mpeg


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Radiação de luz


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Dispersão da luz


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Ressonância


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Soma, subtração de sinais

y1 = sin (k1x1 − ω1t)

y2 = sin (k2x2 − ω2t)

y = y1 +/- y2


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Exemplo


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Multiplicação de de sinais

y1 = sin (k1x1 − ω1t)

y2 = sin (k2x2 − ω2t)

y = y1 * y2


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Algumas ferramentas● Matlab

$3000 a $4000 http://www.mathworks.com/

● Scilab

opensource

http://scilab.org

● Sage

opensource

http://www.sagemath.org/


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Senoidal pura

Y = sin(x) -->x=[0:0.1:6*%pi]; -->plot(sin(x));


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Senoidal e harmônicas pares

Y = sin(x)+sin(2*x) Y = sin(x)+sin(2*x)+sin(4*x)


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Senoidal e harmônicas paresY = sin(x)+sin(2*x)+sin(4*x)+sin(6*x)+sin(8*x)+sin(10*x)+sin(12*x)+sin(14*x)


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Senoidais e harmônicas pares subtrativas

Y = sin(x)-sin(2*x)-sin(4*x)-sin(6*x)-sin(8*x)-sin(10*x)-sin(12*x)-sin(14*x)


71 / 281

Senoidal pura

Y = sin(x) -->x=[0:0.1:6*%pi]'; -->plot(sin(x));


72 / 281

Senoidal e harmônicas ímpares

Y = sin(x)+sin(3*x) Y = sin(x)+sin(3*x)+sin(5*x)


73 / 281

Y = sin(x)+sin(3*x)+sin(5*x) + … + sin(13*x)

Senoidal e harmônicas ímpares


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Onda quadrada

Real :


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Aproximações da onda quadrada

1

2

3

4

1Senoide pura

Quarta aproximação


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Série de Fourier● Seja a onda quadrada f(x) de comprimento 2L

f (x)=4π ∑

n=1,3,5,. ..

∞ 1n

sin(nπ xL

)


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Séries de Fourier básicas


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Série simplesOnda dente de serra


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Onda dente de serra


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Onda triangular


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Domínio no tempo x frequência


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Exemplo com 3 frequências


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Transformada de Fourier● Definição:

Seja a Função integrável f : ℝ→ ℂ

Relaciona as funçõesno domínio do tempocom as funções no

domínio da frequência


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Domínios em frequência e tempo


85 / 281

Análise de FFT no Scilab 1/2-->// FFT Transform-->N = 100; // número de elementos do sinal-->n = 0:N - 1; -->w1 = %pi/5; // 1a frequência-->w2 = %pi/10; // 2a frequência-->s1 = cos(w1*n); // 1o componente do sinal-->s2 = cos(w2*n); // 2o componente do sinal-->f = s1 + s2; // signal-->plot(n, f);


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// A Transformada de Fourier do sinal

F = fft(f); // Calcula a Transformada de Fourier

F_abs = abs(F); // F_abs é o valor absoluto de cada elemento de F

-->plot(n, F_abs(F);

Análise de FFT no Scilab 2/2


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FFT com ruídos


88 / 281

DFT: Transformada de Fourier DiscretaLista finita de amostragens igualmente espaçadas

↓Lista de coeficientes de uma combinação finita de senoides


89 / 281

DFT do sinal f-->// FFT Transform-->N = 100; // número de elementos do sinal-->n = 0:N - 1; -->w1 = %pi/5; // 1a frequência-->w2 = %pi/10; // 2a frequência-->s1 = cos(w1*n); // 1o componente do sinal-->s2 = cos(w2*n); // 2o componente do sinal-->f = s1 + s2; // signal-->plot(n, f); -->plot(dft(f, 1));


90 / 281

Ondas estacionárias


91 / 281

Sinais, corrente e campo magnético


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Energia e Potência de um sinal

P (t)=v (t)i (t)=1Rv2(t)

No intervalo de tempo t1 a t2 :

∫ p(t)dt=∫t1

t21Rv2(t)dt

Potência média no intervalo de t1 a t2 :

1(t2−t1)∫t1

t2

p(t)dt=1

(t2−t1)∫t1

t21Rv2(t)dt


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Energia total● Tempo contínuo

● Tempo discreto

E∞≃lim T→∞∫−τ

τ

∣x(t )∣2dt=∫

−∞

+∞

∣x (t)2∣dt

E∞≃lim N→∞ ∑n=−N

+N

∣x [n]2∣= ∑N=−∞

+∞

∣x [n]∣2


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Potência média● Tempo contínuo

● Tempo discreto

P∞≃lim T→∞1

2T∫−τ

τ

∣x(t)∣2dt

P∞≃lim N→∞1

2N+1 ∑n=−N

+N

∣x [n]∣2


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Transformações● Variável independente

– Ajuste de controles

– Melhoria dos sinais

– Eliminação de ruídos

– Equalização

– ...


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Exemplos de transformações


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Deslocamento no tempo● Sinais

– x(n) e x(n – t0)● Idênticos na forma● Deslocados um em relação ao outro● x(n – t0)

– Atrasado se t0 é positivo

– Adiantado se t0 é negativo

● Exemplos– Radar, sonar, sinais sísmicos, ...


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Reflexão no tempo● Sinais

– x(n) e x(-n)● Espelhado em relação a n=0


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Escala do tempo

x (t)

x (n t )

x (t /n)


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Escala do tempo e deslocamento

x (t) x (α t+β)


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Sinais não periódicos


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Simetria● Simetria par

Contínuo Discreto

– x(-t) = x(t) x[-n] = x[n]

● Simetria ímpar

Contínuo Discreto

– x(-t) = -x(t) x[-n] = -x[n]

Deve ser 0 em t = 0 ou n = 0 !


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Sinais senoidais e exponenciais● Sinal exponencial complexo

x(t) = Ceat

C e a são complexos

Sinal exponencial Real

Se C e a são reais

x(t) é exponencial real

A > 0 A < 0


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Sinais senoidais e exponenciaiscomplexas periódicas

● Periódica com período T– x(t) = x(t + T)

● Senoidal

– x(t) = A cos(ω0-t + φ)

e jw 0 t=e jw0 ( t + T)


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A cos(ω0-t + φ) =

ω1 > ω2 > ω3

T1 < T2 < T3

Frequência fundamental e Período


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Potência Média

E período=∫0

t0

∣e jω0 t∣2dt=∫

0

t0

1.dt=T 0

P período=1T 0

E período=1


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Soma de 2 sinais

x (t)=e j2t+e j3t

Soma de 2 sinais exponenciais complexos, por exemplo:

Colocando a exponecial em evidência:

x (t)=e j2.5t(e− j0.5

+e j0.5t)

Reescrevendo, utilizando a equação de Euler:

x (t)=2e j2.5t cos(0.5t)

∣x (t )∣=2∣cos(0.5t)∣

Obtendo o módulo de x(t) :

eix=cos(x)+i sin (x)


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Soma de 2 sinais

∣x (t )∣=2∣cos(0.5t)∣Forma de onda do sinal


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Soma de 2 sinais

∣x (t )∣=2∣cos(0.5t)∣Forma de onda do sinal


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Senoide pura e sua FFT


111 / 281

-->x=[0:0.2:8*%pi]

-->f1=sin(x)

-->f2=sin(x + %pi/3)

-->plot(f1, “blue”)

-->plot(f2, “green”)

-->plot(f1+f2, “red”)

Análise senoides deslocadas π/3


112 / 281

-->plot(fft(f1+f2), “magenta” )

Transformada de Fourier


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Transformada de Laplace● Seja uma função f(t)

– F(s) é a transformada de Laplace de f(t)

● S é um número complexo :

Outra notação:

s=σ+iω


114 / 281

-->x=[0:0.2:8*%pi]

-->f1=sin(x)

-->f2=sin(x + %pi/5)




-->plot(fft(f1+f2), “magenta” )

Análise senoides deslocadas π/5


115 / 281

-->x=[0:0.2:8*%pi]

-->f1=sin(x)

-->f2=cos(x)




-->plot(fft(f1+f2), “magenta )

Análise de seno e cosseno


116 / 281

Sinais exponeciais complexos gerais● Considerando exponencial complexa Ceat

– C expresso na forma polar

– a expresso na forma retangular

– Expandindo usando Euler:

C=∣C∣e j θ

a=r+ jw0

Ceat=∣C∣e j θe(r+ jω0)t=∣C∣ert e j (ω0t+θ)

Ceat=∣C∣ert cos(ω0 t+θ)+ j∣C∣ert sin (ω0t+θ)


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Formas de onda

Para r > 0

Para r < 0


118 / 281

Sinais discretos


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Sinais senoidais discretos


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Sinais crescentes ou decrescentes


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Função impulso unitário- discreto

0,n≠0

1,n=0δ={u [n]=∑

k=∞

0

δ[n−k ] u [n]=∑k=0

∞

δ[n−k ]ou

Intervalo do somatório Intervalo do somatório


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Degrau unitário – tempo discreto

0, n<0

1, n≥0u [n]={δ[n]=u [n]−u [n−1]

Soma cumulativa: u [n]= ∑m=−∞

n

δ[m]

u [n]=∑k=0

∞

δ[n−k ]equivalente a u [n]=∑k=∞

0

δ[n−k ]


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Degrau unitário – tempo contínuo

1, t>0

0, t<0u(t)= { Discontínua se t = 0 !

u(t)=∫−∞

t

δ(τ)d τ Integral cumulativa do impulso unitário !

δ(t)=du(t)dt

Primeira derivada do degrau unitário !

1

0

u( t )


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Aproximação do degrau unitário

Aproximação contínua do degrau unitário, u∆(t )

1

0 Δ

uΔ(t)

Pulso curto de duração Δ com área unitária independente de Δ


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Impulso unitário – tempo contínuoQuandoδ→0,δΔ (t) torna−se mais estreito emais altomantento sua área unitária .

δ(t)

1

0 t

δ(t)=limΔ→0

δΔ(t) Em geral, um Impulso k δ(t) é:

∫−∞

t

k δ(τ)d τ=ku(t)

k δ(t)

k

0 t


126 / 281

Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto

Sistema de tempo contínuo

x(t) y(t)

Sistema de tempo discreto

x[t]y[t]


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Exemplo de sistema contínuo

+- Vc

Vs

R

iC

i(t)=(V s(t )−V c(t))

Ri(t)=C

dvc(t )

dt


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Exemplo de sistema contínuo

f

pv

dv (t)dt

=1m

f (t)− pv (t)

dv (t)dt

+pmv (t)=

1m

f (t )


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Interconexões de sistemas

Sistema 1 Sistema 2

Entrada Saída

Entrada

Sistema 1

Sistema 2

+ Saída


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Interconexões de sistemas

Entrada

Sistema 1

Sistema 3

+

'

Saída

Sistema 2

Sistema 4


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Aplicações● Comunicações

– Codificadores● Transmissão de dados codificados● Privacidade

– Transmissão de códigos de verificação● Integridade● Confiabilidade


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Segurança da Informação● "Esta é uma informação importante.”

– Codificação

ASCII, Binário,EBCDIC, etc.– ASCII : American Standard Code for Information Interchange

– Adição de código de verificação

Exemplos:

– Check sum, Message Digest, Secure Hash Algorithim● MD5

e6db7ca7a76cbd5d94773b82f506439d● SHA1

9a079ca77b8f4aad0cef878a26555b9fa600b03a● SHA256

14f980026610d39a54072ca1527cb704ad7d805ea3bdeede9b01ce32a764449d


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Codificação de símbolos/caracteres


134 / 281

Tabela ASCII


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Critérios de Segurança

Integridade

Disponibilidade

Confiabilidade

Privacidade} Significados


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Criptografia● Acesso a informação ou serviço

– Usuário: Jose

– Senha: MinhaSenha

● O que é armazenado$6$ydVIN1KPliKJ$QMka05LO./284rCRTNlpxl1znyspZ93ZjbBDYWIZBUbEr1JaT0pXfdERuc9ubWuxI2WioWszZ93MS/Zpoa/c51

● Se recadastrar a senha (mesmo que idêntica)$6$wyv1VOBZvvm4$STo.9s0FMWHv88TtWtcfNmkDxpxVrOZDpC/U2GakMcDU/GPaqSoqhsX5E4EjrmIvMMtHBtO2WrKLJzT8jBSOj

Enigma


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Compressão● Algorítmo que reduz o tamanho de um arquivo

● Arquivo : conjunto de símbolos

Exemplosbzip2cabgzipzip7-zipcompressarkrarlha/lhz...


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Técnicas simples● Símbolos repetidos

– “aaaaaaaaaaaaaaa” => “δ15a”

– “ “ => “δ12 ”● δ indica que o texto original foi comprimido

● Textos repetidos– “qualquer texto” => “δτ1”

● τ indica que o texto original foi substituído


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Codficação Huffman“this is an example of a huffman tree“ Char Freq Code

space 7 111 a 4 010 e 4 000 f 3 1101 h 2 1010 i 2 1000 m 2 0111 n 2 0010 s 2 1011 t 2 0110 l 1 11001 o 1 00110 p 1 10011 r 1 11000 u 1 00111 x 1 10010


140 / 281

ExemploO Processamento de Sinais consiste na análise e/ou modificação de sinais de forma a extrair informações dos mesmos e/ou torná-los mais apropriados para alguma aplicação específica. O processamento de sinais pode ser feito de forma analógica ou digital. Os objeto de interesse do processamento de sinais podem incluir sons, imagens, séries temporais, sinais de telecomunicações, como sinais de rádio e muitos outros.

Tamanho dos arquivos para alguns aplicativos:

Arquivo original: 431 bytes

Lz4 : 370 bytes

bzip2 : 287 bytes

gzip : 278 bytes


141 / 281

Transmissão e Recepção de Rádio


142 / 281

Sinal de TV


143 / 281

Crominâcia


144 / 281

Luminância


145 / 281

Equivalência das equações nos vários sistemas


146 / 281

Propriedades de sistemas● Sem memória

–

● Com memória–

–

–

y (t)=x (t )

y (n)=∑k=−∞

n

x (k )

y (n)=x (n−1)

y (n)=1C∫ x (t )dt


147 / 281

Sistema inverso

x(n) SistemaSistema inverso

y(n)w(n) = x(n)

Sistema inversível => Existe sistema inverso


148 / 281

Exemplos

x(t) SistemaSistema inverso

y(t)w(t) = x(t)

2)

1) y (t)=2x (t ) w (t)=12y (t)

y [n]=∑ x (k ) w [n]= y [n]−y [n−1]


149 / 281

Sistemas não inversíveis

1)

2)

y [n]=0

y (t)=x2(t )


150 / 281

Causalidade● A saída em qualquer tempo depende dos

valores de entrada somente nos instantes presentes e passado.– Sistema não anticipativo

● Exemplo

+- Vc

Vs

R

iC


151 / 281

Sistemas causais

1)

2)

3)

y (n)=∑ x (k )

y (n)=∑ x (n−1)

y (t)=1C∫ i (t)dt


152 / 281

Estabilidade

Sistemas estáveis:Pequenas entradas produzem respostas que não são divergentes.

x(t)y(t)y(t)

y(t)

x(t)

Pêndulo estável Pêndulo invertido instável


153 / 281

Estabilidade

Se a entrada para um sistema estável é limitada a saída também deve ser limitada.

f

ρvLimite da velocidade: aumento da força de atrito !

ρvm=Fm

V=Fρ


154 / 281

LinearidadeSistema com a importante propriedade de superposição

Entrada é soma ponderada de sinaisSaída também é uma soma ponderada de sinais

-2 2

x1(t) y

1(t)

-1 1

0 4

x2(t) = x1(t-2)

y2(t)

0 2

1 1 Linear

Não linear


155 / 281

Invariância no tempo

O comportamento e as características do sistema são fixos ao longo do tempo.

Exemplo: Circuito RC com R e C constantes

Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento no tempo do sinal de entrada resulta um deslocamento idêntico no sinal de saída.

x[n] → y[n]

então

x[n - t] → y[n - t]

Exemplo: sin(x(t))


156 / 281

Verificação de linearidadeSeja y(t) = x2(t)

E x1(t), x

2(t) e x

3(t)

Então x

1(t)-> y

1(t) = x2

1(t)

x2(t)-> y

2(t) = x2

2(t)

x3(t)-> y

3(t) = x2

3(t)

= (ax1(t) + bx

2(t))2

= a2x1

2(t)+b2x2

2(t) + 2abx1(t)x

2(t)

= a2y1(t)+b2y

2(t) + 2abx

1(t)x

2(t)

Especificando x1(t), x

2(t), a e b de tal forma que

y3(t) ≠ ay

1(t)+by

2(t)

Exemplo: x1(t) = 1 , x

2(t) = 0, a = 2 e b = 0

y3(t) = [2x

1(t)]2 = 4

Mas 2y1(t) = 2[x

1(t)]2 = 2 logo o sistema não é linear


157 / 281

Transformações - 1(a) x(t)

1

0 1 2 -1

(b) x(t+1)1

0 1 2

(c) x(-t+1)1

0 -1 1

t t

t


158 / 281

Transformações - 2

(d)1

0 2/3 4/3

(e)

1

-2/3

t

x (32t)

2/30

x (32t+1)

t


159 / 281

Exercício

Seja o sinal x(t) de tempo contínuo abaixo:

Esboce os sinais:

a) x(t – 1)

b) X(2 – t)

c) x(2t + 1)

d) x(4 - t/2)

Problema 1.21 do livro Sistemas e Sinais - Oppenheim


160 / 281

Sistemas lineares discretosinvariante no tempo

Seja o sinal x[n] representado em (a)

E uma sequência de 5 impulsos unitários de (b) a (f).O fator de escala do impulso é igual o valor de x[n] no instante da amostra.


161 / 281

Impulsos


162 / 281

Impulsos

A soma das 5 sequências é igual a x[n] para -2 <= n <= 2

Siplificando:

Combinação linear de dos impulsos unitários deslocados δ[n - k]

Combinação linear de dois impulsos unitários deslocados δ[n - k]

x [n ]=∑k=−∞

+∞

x [k ]σ [n− j ]


163 / 281

Degrau unitário

x[n] = u[n]u[k] = 0 para k < 0 u[k] = 1 para k >= 0

Propriedade seletiva do impulso unitário de tempo discreto.

u [n]=∑0

∞

δ[n−k ]


164 / 281

Representação por soma de convoluçõesEntrada arbitrária:

Resposta:

Saída:

Sistema Linear Invariante no Tempo ( L I T ) Deslocado no tempo h

k[n] = h

0[n-k]

Soma de convolução ouSoma de superposição

y [n]=∑k=−∞

+∞

x [k ]hk [n]

x [n ]

hk [n]

y [n]=∑k=−∞

+∞

x [k ]h [n−k ]

y [n]=∑k=−∞

+∞

x [k ]hk [n]


165 / 281

Calcule a convolução y[n] = x[n]*h[n] para os seguintes pares de sinais

Problema 2.21 do livro Sistemas e Sinais - Oppenheim

Exercício

x [n ]=αnu [n]h [n ]=βnu [n ]

x [n ]=αnu [n]h [n ]=αn u [n]

a)

b)

c) x [n ]=−12

n

u [n−4]

h [n ]=4nu [2−n]


166 / 281

Integral de convoluçãoSistema de tempo discreto => Sistema que responde a uma sequência de inpulsos

Aproximação em degraus Para um sinal de tempo contínuo

Se ∆ se aproxima de 0 :

e o somatório se aproxima da integral

x̂ (t)=∑ x (k Δ)σδ(t−k Δ)Δ

x (t)=lim∑ x (k Δ)σΔ(t−k Δ)Δ

Δ→0

x (t)=∫ x (τ)σ (t−τ)dt


167 / 281

Representação gráfica


168 / 281

Propriedades de sistemas LIT● Comutativa

Ou seja, em tempo discreto:

x [n ]∗h [n]=h [n]∗x [n ]=∑k=−∞

+∞

h [k ] x [n−k ]

E em tempo contínuo:

x (t)∗h(t )=h (t)∗x (t)=∫−∞

+∞

h (τ) x (t−τ)d τ


169 / 281

Propriedades de sistemas LIT● Distributiva

x [n ]∗(h1[n]+h2[n])

= x [n ]∗h1[n]+ x [n ]∗h2[n]


170 / 281

Propriedades de sistemas LIT● Inversíveis


171 / 281

Propriedades de sistemas LIT● Causalidade

y[n] não deve depender de x[k] para k > n

h[n] = 0 para n < 0


172 / 281

Propriedades de sistemas LIT● Estabilidade

∑|h [k ]|<∞

|x [n ]| <B , para todo n


173 / 281

Sistemas LIT descrita em equações diferenciais

Com entrada x(t) = Ke3tu(t)

Solução particular, equação diferencial homogênea

Determinando Y

dy (t)dt

+2y (t )=x (t)

y (t)= y p(t )+ yh(t )

dy (t)dt

+2y(t)=0 y p(t )=Ye3t

3Y+2Y=K Y=K5 y p(t )=

Ke3t

5


174 / 281

Diagrama de blocosA equação

y[n] = -ay[n-1] + bx[n]

Pode ser representada pelo diagrama:

-a

+x[n]b

y[n]

D

y[n-1]

Sistema discretocom memória!


175 / 281

Diagrama de blocos

Sistema contínuo

dy (t)dt

+ay (t)=bx (t)

y (t)=−1ady (t)dt

+ba+x (t)Reescrita :


176 / 281

Diagrama de blocosRepresentação dos elementos básicos

+

x2(t)

x1(t)

a)

b)

c)

x(t)

x(t) D

dx (t )dt

x1(t)+ x2(t)

a ax (t)


177 / 281

Resoluçãody (t)dt

+ay (t)=bx (t)dy (t)dt

=bx (t)−ay (t)

Integrando

y (t)=∫−∞

t

[bx (τ)−ay (τ)]d τ

-1/a

+x(t) y(t)

D

b/a

dy(t)dt


178 / 281

Representação como integrador

∫ ∫−∞

t

x (τ)d τ

∫+

-a

bx(t) y(t)

y (t)= y (t0)+∫t0

t

[bx (τ)−ay (τ)]d τ

y(t0) é o valor inicial: memória do integrador.


179 / 281

ExercícioRepresente o diagrama de blocos para os seguintes sistemas

a)


180 / 281

Exercício

b)

Represente o diagrama de blocos para os seguintes sistemas


181 / 281

ExercícioRepresente o diagrama de blocos para os seguintes sistemas

c)


182 / 281

Funções de singularidade● Impulso unitario de tempo contínuo

● δ(t) e a resposta ao impulso identidade

x (t)=x (t)∗δ(t)

δ(t)=δ(t)∗δ(t)

Para qualquer sinal δ(t)

Então:

Pulso retangular:

rΔ(t)=δΔ(t)∗δΔ(t)

Quandoδ→0⇒ impulso unitario.


183 / 281

Interpretações


184 / 281

Interpretações


185 / 281

Interpretações


186 / 281

Impulso unitário e convoluçãoPara Δ suficientemente pequeno, os sinais

δΔ (t) , rΔ (t) , rΔ (t)∗δΔ (t) , e rΔ (t )∗rΔ (t)

agem todos como impulsos quando aplicados a um sistema LIT.

δ(t) pode ser definido como o sinal para o qual :

x (t)=x (t )∗δ(t) (comoΔ→0)


187 / 281

ExemploSe x(t) = 1, para todo t

1=x (t)=x (t)∗δ(t )δ(t)∗x (t)

∫−∞

+∞

δ(τ) x (t−τ)d τ=

= ∫−∞

+∞

δ(τ)d τ → área unitária


188 / 281

Outra definiçãoSinal arbitrário

g (t)

Espelhado

g (−t)

g (−t)=g (−t )∗δ(t)=∫−∞

+∞

g (τ−t)δ(τ)d τ

Convolução com δ(t)

Para t = 0

g (0)=∫−∞

+∞

g (τ)δ(τ)d τ


189 / 281

Outro exemploConsidere um sistema LIT onde a saída é a derivada da entrada

y (t)=dx (t )dt

A resposta é a derivada do impulso unitário

dx (t)dt

=x (t )∗u1(t) para qualquer sinal x (t )

Segunda derivada de δ(t)

d 2x(t )

dt2 =x (t)∗u2(t)→u2(t)=u1(t)∗u1(t)

A k-ésima derivadauk=u1(t)∗...∗u1(t )


190 / 281

ExemploSinal constante

x (t)=1Temos

0=dx(t)dt=x (t)∗u1(t) ∫

−∞

+∞

u1(τ) x (t−τ)d τ=

∫−∞

+∞

u1(τ)d τ=

Convolução de g (−t)comu1(t)

∫−∞

+∞

g (τ−t )u1(τ)d τ=g (−t)∗u1(t )=

dg (−t)dt

=−g ' (−t)= Cont.


191 / 281

Exemplo (continuação)Para t = 0

−g ' (0)=∫−∞

+∞

g (τ)u1(τ)d τ =


192 / 281

Exercício

Sendo:x(t) a força aplicada a massay(t) o deslocamento da massa

Determine a equação diferencial que relaciona x(t) com y(t)


193 / 281

Exercício

K = Coeficiente de elasticidade = 2 N/mM = Massa = 1 kgB = Constante de amortecimento = 2 N – s/m

Sendo:x(t) a força aplicada a massay(t) o deslocamento da massa

Determine a equação diferencial que relaciona x(t) com y(t)

resolvido


194 / 281

Solução

Md2 x (t)dt2 +B

dx (t)dt

+K x (t)=F (t)


195 / 281

Circuitos e diagrama de blocosCircuito


196 / 281

Diagrama de blocos


197 / 281

Outro sistema

Ri (t)+v0=vi (t) 1C∫ i(t)dt=v0(t)

RCdv0(t)

dt+v0(t )=vi (t)

Condiçao inicial: Vc = 0 resolvido


198 / 281

Como resolver ?


199 / 281

Resolvendo a equação diferencialvo(t)=A(1−e−t /RC

)

Valor de regime considerando t→∞

v0(∞)=lim t→∞ v0(t)=A

Aplicando a transformada de Laplace

R.I (s)+v0(s)=vi (s)I (s)sC

=v0(s)

v0(s)

v i (s)=

1RCs+1

=

1(RC )

s+(1RC

)


200 / 281

Diagrama de blocos


201 / 281

Revisão : Energia

Ex=∫−∞

+∞

x (t )2dt

Energia para um sinal convencional

Energia para um sinal complexo

Ex=∫−∞

+∞

|x (t )|2dt


202 / 281

Exemplos

0

2

1 0 1

1

a)b)


203 / 281

Revisão : Potência

Potência para um sinal convencional

Potência para um sinal complexo

Px=limT

∞ 1T ∫−T

2

T2

(x2(t ))dt

Px=limT

∞ 1T ∫−T

2

T2

|(x2(t ))|dt


204 / 281

Sinal periódico

Px=limT

∞ 1T ∫−T

2

T2

(x2(t ))dt

T = 1


205 / 281

Valores RMS


206 / 281

Serie de Fourier● Soma de um conjunto de senos e cosenos

– Exponenciais complexas

Ver fourier.mpeg


207 / 281

Resposta dos sistemas LIT as exponenciais complexas

est

Tempo contÍnuo

Tempo discreto

zn

H (s)est

H ( z) zn

Apenas mudança de amplitude.


208 / 281

Exemplo● Sistema LIT de tempo contínuo com resposta

ao impulso h(t)

y (t)=∫−∞

+∞

h(τ) x (t−τ)d τ ∫−∞

+∞

h(τ)es (t−τ)d τ=

Fazendo e s(t−τ) e st e−s τcomo

y (t)=est∫−∞

+∞

h(τ)e−s τ d τTemos

y (t)=H (s)est

Convergindo, resulta

H (s)=∫−∞

+∞

h(τ)e−s τd τonde


209 / 281

Filtros de tempo contínuo em equações diferenciais

RCdv c(t )

dt+vc(t)=v s(t )

Resposta em frequência:

H ( jω)

Entrada

Saída

v s(t )=e jω t

vc(t)=H ( jw)e jω t

Filtro passa baixas


210 / 281

Substituindo vs e v

t ...

RCdv c(t )

dt+vc(t)=v s(t )

RCddt[H ( jω)e jω t

]+H ( jω)e jω t=e jω t

RC jωH ( jω)e jω t+H ( jω)e jω t

=e jω t

H ( jω)e jω t=

11+RCjω

e jω t

ou H ( jω)=1

1+RCjω


211 / 281

Filtro passa alta simples

RCdv r(t)

dt=V r(t)=RC

dvs(t)

dtSendo a entrada: v s(t )=e jω t

E a saída: v r(t)=G ( jω)e jω t

Então: G( jω)=jω RC

1+ jω RC


212 / 281


213 / 281

Gráfico de magnitude


214 / 281

Fase da resposta em frequência


215 / 281

Outros filtros


216 / 281

Outros filtros - 1∣He jω∣ He jω<


217 / 281

Outros filtros - 2

∣He jω∣ He jω<


218 / 281

Filtro passa alta


219 / 281

Filtro passa banda


220 / 281

Características de filtros● Frequência de corte

● Potência de saída é metade da potência de entrada

● Constante de carga em regime transitório

● Frequência angular de ressonância

● Fator de qualdade de um par de polos ou zeros


221 / 281

Filtro T(s) – frequência angular ω


222 / 281

Função de transferência

Circuito do FiltroT(s)v i(s)

vo(s)

T (S )=V 0

V 1

(S )=A(S−z1) .(S−z2)...(S−zm)

(S− p1) .(S− p2)...(S− pn)


223 / 281

Polos e Zeros

T (S )=V 0

V 1

(S )=A(S−z1) .(S−z2)...(S−zm)

(S− p1) .(S− p2)...(S− pn)

Os zeros de um filtro correspondem aos valores de S que anulam o numerador da função de transferência

Os pólos do filtro correspondem aos os valores de S que anulam o denominador de T(S)


224 / 281

Transformada Z● Generalização da DTFT

– Sinais para as quais não existem a DTFT● Estabilidade e Causalidade

– Contraparte discreta da transformada de Laplace


225 / 281

Transformada Z

x( z)=∑ x [n ] z−n

z ⊂ ℂ

x(e jω)=x( z)∣ z= jω

e jω

|(z)|=1

Notação: λ [n]⇔ x (z)


226 / 281

Transformada Z - Definições

x (z) é definido no plano z

x (e jw) é definido somente nocírculo unitário

|z|=1

z=e jw

−π < ω < πPeriodicidade de 2π


227 / 281

Exemplos


228 / 281

Filtro rejeita banda


229 / 281

Circuitos básicos


230 / 281

Equaçõesç


231 / 281

Equação resumida

TS=1

S τ+1onde τ=RC=

LR

Um único polo para S=−t−1

Plano de Argand


232 / 281

Análise do circuito

ic(t)=C∂ vc(t )

∂ t=v i(t )−vc(t )

R→v0(t )+RC

∂ v0(t )

∂ t=v i(t)

Solução : v0(t)=A.l−

tRC

Solução particular para degrau unitário : v0(t)=u(t )


233 / 281

Representação

A. l−

tRC+1

v0(t)={ para t≥0

0 para t<0

Resposta ao degrau unitário de um filtro passa baixas


234 / 281

Filtro passa altas


235 / 281

RepresentaçãoResposta ao degrau unitário de um filtro passa altas


236 / 281

Filtro passivo de 2a ordem

V 0

V 1

(s)=

1SC

R+SL+1C

=1

S 2 LC+SRC+1=

1LC

S 2+S

RL+

1LC


237 / 281

Forma geral

T (S )=A.ω0

2

S 2+S

ω0

Q+ω0

2

onde ω0=1

√(LC ) e Q=1R √ L

CResolvendo o denominador

S 2+S

ω0

Q+ω0

2=0

S=−ω0

Q±√ω0

2

Q2−4ω02

2

dependente de Q


238 / 281

Calculando o fator de qualidade

S=−ω0

Q±√ω0

2

Q2−4ω02

2ω0

2

Q2−4ω02=0 ω0

2

Q2=4ω02 Q2=

14 Q=

12=0.5


239 / 281

No plano de Argand


240 / 281

Singularidades do filtro


241 / 281

Resposta do filtro


242 / 281

Filtros e Transformada de Fourier - 1

Filtro passa-baixas


243 / 281

Filtro passa-altas

Filtros e Transformada de Fourier - 2


244 / 281

Filtros ativos● Filtragem e Amplificação

● Ganhos > 1 ( maiores que 0 dB)● Componentes usados:

– Amplificadores operacionais– Transistores– FETs, – Válvulas– …


245 / 281

Filtro ativo passa baixas de primeira ordem

V i−V −

R1

= V −−V o

R2//

1SC

⇒ V i

R1

=

−Vo⋅(R 2

+1SC )

R2⋅

1SC

⇒ V o

V i

=−R2

R1

⋅1

SR 2C+1

Plando de Argand


246 / 281

Análise do filtro ativo de 1a ordemvi( t )

R1

= −C⋅∂ vo( t )

∂ t−v o( t )R2

= ⇒ vo( t ) + R2C⋅∂ vo( t )

∂ t= −

R2

R1

vi( t )

v o( t )=−v c( t )Dado que

Solução vo( t )=A⋅ℓ−

tR

2C vo( t )=−

R2

R1

⋅u ( t )e

Resposta ao degrau vo( t )={A⋅ℓ−

tR

2C−

R2R1

⇐ t≥0

0 ⇐ t<0

Condição inicial v c(0)=−vo(0 )= 0 ⇒ 0=A⋅ℓ0−R2

R1

⇒ A=R2

R1

vo( t )=( ℓ−

tR

2C−1)⋅R2

R1A⋅u ( t )Tensão de saída


247 / 281

Representação


248 / 281

Filtro ativo passa altas de primeira ordem - 1

V i−V−

R1+1SC

= V−−V o

R2

⇒ V i

R1+1SC

= −V o

R2

⇒ V o

V i

=−R2

R1

A⋅SR1C

SR1C+1

Função de transferência T (S ) = A⋅S τ

S τ+1onde τ=R1C A=−

R2

R1

e

No plano de Argand


249 / 281

Ganho estático quando S → ∞T (S=0) = −

R2

R1

⋅S τ

S τ+1 = 0 T (S→∞) = −

R2

R1

A⋅S τ

S τ+1 = −

R2

R1

Diagrama de Bode

Filtro ativo passa altas de primeira ordem - 2


250 / 281

Resposta ao degrau unitário

vi( t )−v c( t )

R1

= C⋅∂ vc( t )

∂ t ⇒ v c( t ) + R1C⋅

∂ vc ( t )

∂ t= vi( t )

vo( t )= −R2C⋅∂v c( t )

∂ tv c( t )=A⋅ℓ

−t

R1C

v c( t )=u ( t )e

v c( t )={A⋅ℓ−

tR

1C+1 ⇐ t≥0

0 ⇐ t<0Tensão nos terminais do capacitor :

v c(0 )= 0 ⇒ 0=A⋅ℓ0+1 ⇒ A=−1Condição inicial

v c( t )=(1−ℓ−

tR

1C )⋅u ( t )Evolução da tensão no capacitor :


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Resposta ao degrau unitário


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Filtro passa faixa ativo de 2a ordem● Exemplo : configuração Sallen-Key

Frequência de ressonãncia

fr= 12π √ R f +R1

C1C 2 R1 R2 R f

Ganho na frequência de ressonãncia

G (dB)=20 log (1+R2

R1

)

C1=C 2 e R2=2R1

Parâmetros aconselhados


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Filtro Chebyshev● Filtro com atenuação mais íngreme e maior ripple

Gn(ω)=∣H n( jω)∣=1

√1+ϵ2T 2( ωω0

)


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Filtro Butterworth● Filtro com resposta mais plana possivel


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Uma implementaçãopassa baixa de 2a ordem

Para a ordem n :

Gn (ω)=∣H n( jω)∣=1

√(1+ ωωc)

2n

Gn(ω)=∣H n( jω)∣=1

√(1+ω2n)

Frequencia de corte: -3dB de ganho

Normalizando (fazendo ωc= 1) :


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Filtro elíptico

Gn(ω)=∣H n( jω)∣=1

√1+ϵ2Rn

2(ω)


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Comparação com outros filtros


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Usando o Matlab

http://www.mathworks.com/help/dsp/examples/designing-low-pass-fir-filters.html


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Projeto de filtro em MatlabFiltro chebychev simples passa baixas

Fc = 0.4;N = 100; % FIR filter orderHf = fdesign.lowpass('N,Fc',N,Fc);

Hd1 = design(Hf,'window','window',@hamming, 'SystemObject',true);Hd2 = design(Hf,'window','window', {@chebwin,50},'SystemObject',true);hfvt = fvtool(Hd1,Hd2,'Color','White');legend(hfvt,'Hamming window design', 'Dolph-Chebyshev window design')


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Aumentando a ordem do filtroHf.FilterOrder = 200;Hd3 = design(Hf,'window','window', {@chebwin,50},'SystemObject',true);hfvt = fvtool(Hd2,Hd3,'Color','White');legend(hfvt,'Dolph-Chebyshev window design.Order = 100', ...'Dolph-Chebyshev window design. Order = 200')


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Controlando a ordem do filtroripple e atenuação

N = 100; % Order = 100 -> 101 coefficientssetspecs(Hf,'N,Fc,Ap,Ast',N,Fc,Ap,Ast);Hd6 = design(Hf,'equiripple','SystemObject',true);measure(Hd6)hfvt = fvtool(Hd5,Hd6,'Color','White');legend(hfvt,... 'Equiripple design, 146 coefficients',... 'Equiripple design, 101 coefficients')


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Controlando a região de transiçãosetspecs(Hf,'N,Fp,Fst',N,Fp,Fst);Hd7 = design(Hf,'equiripple','SystemObject',true);measure(Hd7)hfvt = fvtool(Hd5,Hd7,'Color','White');legend(hfvt,... 'Equiripple design, 146 coefficients',... 'Equiripple design, 101 coefficients')


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Filtro passa baixas de fase mínimasetspecs(Hf,'Fp,Fst,Ap,Ast',Fp,Fst,Ap,Ast);Hd13 = design(Hf,'equiripple','minphase',true,'SystemObject',true);hfvt = fvtool(Hd5,Hd13,'Color','White');legend(hfvt,... 'Linear-phase equiripple design',... 'Minimum-phase equiripple design')


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Filtro de KalmanRudolf E. Kálmán

● Filtro LQE (Linear Quadratic Estimation)– Algoritimo usando estimativas baseada em amostras.

– Operação recursiva em um fluxo ruidoso de dados .


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Algoritmo


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Diagrama de blocos


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Exemplos de Aplicação


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Processamento de imagensFiltro de Kalman


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Processamento de imagensFiltro de Kalman


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Usando MATLAB

kalman

Kalman filter design, Kalman estimator

Syntax

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn)

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn,sensors,known)

[kest,L,P,M,Z] = kalman(sys,Qn,Rn,...,type)

Description

kalman designs a Kalman filter or Kalman state estimator given a state-space model of the plant and the process and measurement noise covariance data. The Kalman estimator provides the optimal solution to the following continuous or discrete estimation problems.


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Implementação em C/*

* KFilter.c

*

* Created: 16-03-2012 19:18:41

* Author: Anyone :) :P

*/

#include <avr/io.h>

typedef struct {

float x[2]; // initial state (location and velocity)

float P[2][2]; // initial uncertainty

float u[2]; // external motion // For Prediction

float F[2][2]; // next state function // For Prediction

float H[2]; // measurement function

float R[1]; // measurement uncertainty

float I[2][2]; // identity matrix

} kalman_state;


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kalman_state kalman_init(){ kalman_state result; // First is position and another is velocity // Consider [0.0f // 0.0f]; result.x[0] = 0.0f; result.x[1] = 0.0f; // Consider [[1000.0f 0.0f] // [ 0.0f 1000.0f]]; result.P[0][0] = 1000.0f; result.P[0][1] = 0.0f; result.P[1][0] = 0.0f; result.P[1][1] = 1000.0f; // Consider [0.0f // 0.0f]; result.u[0] = 0.0f; result.u[1] = 0.0f; // Consider [[1.0f, 1.0f] // [0.0f, 1.0f]]; result.F[0][0] = 1.0f; result.F[0][1] = 1.0f; result.F[1][0] = 0.0f; result.F[1][1] = 1.0f; // Consider [1.0f, 0.0f]; result.H[0] = 1.0f; result.H[1] = 0.0f; result.R[0] = 1.0f; //The RAW value is always flickering by? // Consider [1.0f]; // Consider [[1.0f, 0.0f] // [0.0f, 1.0f]]; result.I[0][0] = 1.0f; result.I[0][1] = 0.0f; result.I[1][0] = 0.0f; result.I[1][1] = 1.0f; return result;}


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void kalman_update(kalman_state* state, float measurement){ // y = Z - ( H * x ); // Z - (H0*x0 + H1*x1) float y = (float)measurement - ( state->H[0]*state->x[0] + state->H[1]*state->x[1] ) ; //S = H * P * ( H' ) + R; // ( [H0 H1] * [P00 P01 * [H0 ) + R // P10 P11] H1] float S = state->H[0]*state->H[0]*state->P[0][0] + state->H[0]*state->H[1]*(state->P[0][1]+state->P[1][0]) + state->P[1][1] * state->H[1]*state->H[1] + state->R[0]; //K = P * ( H' ) / S; // or P* H'*inv(S) float K[2]; //Consider [K0 K1] // ([P00 P01 * [H0 ) / S // P10 P11] H1] K[0] = state->P[0][0]*state->H[0]/S+state->P[0][1]*state->H[1]/S; K[1] = state->P[1][0]*state->H[1]/S+state->P[1][1]*state->H[1]/S; //x = x + ( K * y ); // ([x0 + [K0 ) * y x1] K1] state->x[0] = state->x[0] + K[0] * y; state->x[1] = state->x[1] + K[1] * y; //P = ( I - ( K * H ) ) * P; // [I00 I01 - [K0 * [H0 H1] * [P00 P01 // I10 I11] K1] P10 P11] state->P[0][0]=((state->I[0][0]-K[0]*state->H[0])*state->P[0][0])+((state->I[0][1]-K[0] * state->H[1]) * state->P[1][0]); state->P[0][1]=((state->I[0][0]-K[0]*state->H[0])*state->P[0][1])+((state->I[0][1]-K[0] * state->H[1]) * state->P[1][1]); state->P[1][0]=((state->I[1][0]-K[1]*state->H[0])*state->P[0][0])+((state->I[1][1]-K[1] * state->H[1]) * state->P[1][0]); state->P[1][1]=((state->I[1][1]-K[1]*state->H[1])*state->P[0][1])+((state->I[1][1]-K[1] * state->H[1]) * state->P[1][1] );}


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void kalman_predict(kalman_state* state){ //state->x = state->F*state->x + state->u ; // [F00 F01 * [x0 + [u0 // F10 F11] x1] u1] state->x[0] = state->F[0][0]*state->x[0] + state->F[0][1]*state->x[1] + state->u[0]; state->x[1] = state->F[1][0]*state->x[0] + state->F[1][1]*state->x[1] + state->u[1]; //state->P = state->F*state->P*state->F' // [F00 F01 * [P00 P01 * [F00 F10 F10 F11] P10 P11] F01 F11] state->P[0][0]=state->F[0][0]*(state->F[0][0]*state->P[0][0]+ state->F[0][1]*state->P[1][0])+state->F[0][1] * (state->F[0][0]*state->P[0][1]+state->F[0][1]*state->P[1][1]);

state->P[0][1]=state->F[1][0]*(state->F[0][0]*state->P[0][0]+ state->F[0][1]*state->P[1][0])+state->F[1][1]*(state->F[0][0]* state->P[0][1]+state->F[0][1]*state->P[1][1]);

state->P[1][0]=state->F[0][0]*(state->F[1][0]*state->P[0][0]+state->F[1][1]* state->P[1][0])+state->F[0][1]*(state->F[1][0]* state->P[0][1]+state->F[1][1]*state->P[1][1]);

state->P[1][1]=state->F[1][0]*(state->F[1][0]*state->P[0][0]+ state->F[1][1]*state->P[1][0])+state->F[1][1]* (state->F[1][0]*state->P[0][1]+state->F[1][1]*state->P[1][1]);}


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int main(void){ unsigned int SensorRAWValue = 0; kalman_state Kalman = kalman_init(); while(1) { // sensor value retrieval kalman_update(&Kalman,SensorRAWValue); kalman_predict(&Kalman); //TODO:: Please write your application code to use Kalman.x[0] and/or Kalman.x[1] }}

Documents

PDS apostila.pdf