Pds Porto Aula 2

Francisco Jos de Oliveira Restivo

Anbal Joo de Sousa Ferreira

Departamento de Engenharia Electrotcnica e de Computadores

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Processamento Digital de Sinal Aulas Prticas

Ano Lectivo 2004/05

Outubro de 2004

Processamento Digital de Sinal 2004/05

2004 F. J. Restivo / A. J. Ferreira 2 Problemas das Aulas Prticas

Este conjunto de problemas foi utilizado nas aulas prticas da disciplina de Processamento Digital de Sinal da FEUP ao longo dos ltimos anos.

Em cada ano, foram acrescentados novos problemas, de acordo com a evoluo do programa da disciplina, e mantidos a maioria dos anteriores, para facilitar aos alunos o estudo.

Esto assinalados com um * os problemas resolvidos na turma prtica de um dos autores no ano lectivo de 2004/05.

Os autores



Aula n 1

* Problema 1

Considere o sistema discreto

4)2n(x)1n(x2)n(x

)n(y-+-+

= .

a. Determine a sua resposta impulsional h(n).

b. Determine a sua resposta em frequncia H(e jw).

c. Determine a sua resposta y(n) entrada x(n) = [0.5, 1, 1, 0.5].

d. Determine a sua resposta y(n) entrada ).31n

2cos()n(x +p=

Soluo:

a. h(n) = [0.25, 0.5, 0.25]

b. H(ejw) = w-w+ je

2cos1

c. y(n) = [0.5, 1, 1, 0.5] * [0.25, 0.5, 0.25]=[0.125, 0.5, 0.875, 0.875, 0.5, 0.125]

d. 2j

2j

e21

)e(Hp

-p

=

)31)1n(

2cos(

21)

231n

2cos(

21)n(y +-p=p-+p=

* Problema 2

A resposta impulsional de um sistema discreto H

u(n) 2 h(n) -n= .

Determine e represente graficamente a sua resposta y(n) entrada

) 10n- u(n) - u(x(n) = .

Soluo:

=

-+

-=-

-- ==-=)9,nmin(

0k

kn

k0kn9k0

)kn( 222)kn(h)k(x)n(y

y(n)= 0, n < 0

2-2-n, 0 n 9

(2-2-10)2-(n-10), n > 9

Um programa Matlab muito simples

n=[0:20]; h=2.^(-n); x=[ones(1,10) zeros(1,11)]; y=conv(h,x); subplot(2,1,1); stem(n,y(1:21))

permite obter uma representao grfica deste sinal discreto



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

Problema 3

Determine a resposta impulsional do sistema discreto

y(n) = 0.3x(n) + 0.7y(n-1) .

Soluo:

h(n) = 0.3.0.7nu(n) .

Problema 4

Considere os seguintes sistemas discretos

a. y(n) = 0.1x(n) + 0.1x(n-1)+0.1x(n-2)++0.1x(n-9)

b. y(n)=0.1x(n)-0.1x(n-10)+y(n-1).

Detemine a sua resposta impulsional e classifique-os quanto recursividade e ao comprimento da resposta impulsional.

Soluo:

Ambos os sistemas tm a resposta impulsional (porqu?)

h(n) = 0.1[u(n)-u(n-10)].

Assim, so ambos do tipo FIR, sendo o primeiro um sistema no recursivo e o segundo um sistema recursivo.

* Problema 5

Uma escola ensina um nico curso com a durao de um ano.

Sejam x(n) o nmero de alunos admitidos no ano n e y(n) o nmero de alunos que frequenta o ano n, e suponha que todos os anos 20% dos alunos reprovam e que um aluno prescreve ao fim de trs inscries.

a. Escreva a equao s diferenas que regula este sistema discreto.

b. Determine e interprete a sua resposta impulsional h(n).

Soluo:

a. Frequentam o ano n os alunos admitidos, mais 20% dos alunos que frequentaram o ano anterior, menos os admitidos h trs anos e que reprovaram trs vezes

y(n) = x(n) + 0.2y(n-1) 0.23x(n-3)

ou ento os admitidos no ano n mais 20% dos admitidos no ano n-1 mais 20% de 20% dos admitidos no ano n-2

y(n) = x(n) + 0.2x(n-1) + 0.04x(n-2).

b. A resposta impulsional deste sistema

h(n) = [1 0.2 0.04].



Se num determinado ano entrarem os primeiros 1000 alunos, e no entrarem mais nos anos seguintes (a entrada um impulso), frequentaro a escola nesse ano, 1000 alunos, no ano seguinte, 200, no terceiro ano, 40, e os oito que reprovam, prescrevem (e a escola encerra...).

Problema 6 (O&S, 2.3)

Classifique os sistemas seguintes no que respeita estabilidade, causalidade, linearidade e invarincia translaco:

a. y(n) = g(n)x(n) , em que g(n) conhecido

b. =

=n

nk 0

)k(x)n(y

c. +

-==

0

0

nn

nnk)k(x)n(y

d. y(n) = x(n n0)

e. y(n)=ex(n)

f. y(n) = ax(n) + b

g. y(n) = x(-n)

h. y(n) = x(n) + 3u(n+1)

Soluo:

Estabilidade Causalidade Linearidade Invarincia translaco a. sim, se |g(n)| for limitado sim sim no b. no no sim no c. sim no sim sim d. sim no sim sim e. sim sim no sim f. sim, se a e b finitos sim no no g. sim no sim no h. sim sim no no


Determine a resposta ao degrau unitrio do sistema com resposta impulsional

1 a 0 , u(-n)a h(n) -n



Aula n 2

* Problema 1

a. Determine a resposta impulsional h(n) e a resposta em frequencia H(e jw) de um filtro de mdia de comprimento 5

5)4n(x)3n(x)2n(x)1n(x)n(x)n(y -+-+-+-+=

b. Escreva um programa em Matlab que represente graficamente o mdulo e a fase de H(ejw).

Soluo:

a. h(n) = [0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2]

w-w-w-

w-w-w-w-w-w

pwpw

=w

w

=-

-=

++++= j2j2

j

j5j4j3j2jj e

2senc

25senc

e

2sen5

25sen

e1

e151

5eeee1

)e(H ,

ou, de outro modo,

w-w-w-w-w-

w w+w+=++++= j2j4j3j2j

j e5

)2cos(2)cos(215

eeee1)e(H

b. w=0:2*pi/256:2*pi-2*pi/256; H=(sinc(5*w/(2*pi))./sinc(w/(2*pi))).*exp(-2*j.*w); subplot(2,1,1); plot(w,abs(H)); axis([0 2*pi 0 1]); subplot(2,1,2); plot(w,angle(H)); axis([0 2*pi -pi pi]);

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6

-2

0

2

* Problema 2

Determine e represente graficamente a resposta impulsional h(n) de um filtro passa baixo ideal com frequencia superior de corte w = 0.5 rad .

Soluo:

-

-w

pp=

p=-

p=w

p=

5.0

5.0

n5.0jn5.0jnj n5.0senc5.0

nj2)n5.0(jsen2

)ee(jn1

21

de21

)n(h

em que



x)x(sen)x(senc

pp=

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Problema 3

a. Se a transformada de Fourier de h(n) for H(ejw), qual a transformada de Fourier de (-1)nh(n)?

b. Determine a resposta impulsional h(n) de um filtro passa alto ideal com frequncia inferior de corte 0.75p rad.

Soluo:

a. )e(He)n(he)n(hee)n(h)1( )(jn)(jn

nj

n

njnj

n

n p-wp-w-+

-=

w-+

-=

pw-+

-=

===-

h uma translaco de p rad

b. trs possibilidades:

i) a partir da definio

p

p

pp-pppw -=-p

=-p

=wp

=25.1

75.0

nnjn25.0jn25.0jn75.0jn25.1jnj

4n

senc4)1(

e)ee(jn1

21

)ee(jn1

21

de21

)n(h

ii) verificando que o filtro pedido se obtem por uma translaco de p da resposta em frequncia de um filtro passa baixo ideal com frequncia superior de corte 0.25p rad, e utilizando o resultado da alnea anterior, obtem-se directamente

4n

senc4)1(

)n(hn-

=

iii) ou ainda notando que o filtro pedido se obtem subtraindo do filtro identidade um filtro passa baixo ideal com frequncia superior de corte 0.75p rad

4n3

senc43

)n()n(h -d= .

Podemos verificar facilmente que se trata da mesma soluo. No grafico a seguir representam-se as

funes 4t

senc e 4t3

senc43

- cuja amo stragem em t=n, a menos do factor n)1(- na primeira e da

parcela )n(d na segunda, coincide

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

O programa Matlab utilizado foi



clf n=-10:10; t=-10:0.1:10; h1=((-1).^n).*sinc(n/4)/4; ha1=sinc(t/4)/4; subplot(2,1,1); stem(n,h1); hold on; subplot(2,1,1); plot(t,ha1); grid on h2=-3*sinc(3*n/4)/4 + [zeros(1,10) ones(1,1) zeros(1,10)]; ha2=-3*sinc(3*t/4)/4; subplot(2,1,1); stem(n,h2); hold on; subplot(2,1,1); plot(t,ha2); grid on

* Problema 4

a. Determine a resposta impulsional do filtro passa banda ideal com banda de passagem

pp

2,

4 rad.

b. Usando Matlab, e considerando apenas os 128 termos mais significativos de h(n), represente graficamente a magnitude da resposta em frequncia do filtro.

Soluo:

a. Usando o resultado do problema 2., e atendendo a que o filtro pedido se pode obter subtraindo a um filtro passa baixo com frequncia superior de corte p/2 um filtro passa baixo com frequncia superior de corte p/4

4n

senc41

2n

senc21

)n(h -= .

b. A representao grafica poder-se-ia fazer do seguinte modo

n=-64:1:63; h=0.5*sinc(n/2)-0.25*sinc(n/4); [H,F]=freqz(h,[1],256); subplot(2,1,1); plot(F/pi,abs(H)); % frequencia normalizada

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

Problema 5

A parte real da transformada de Fourier de um sinal discreto x(n) real e causal

XR(ejw) = 1 + cos(w) .

Determine a sua parte imaginria.

Soluo:

1 + cos(w) = 2

ee1

jj w-w ++ [0.5, 1, 0.5] parte par de x(n)

x(n) = [1, 1] [-0.5, 0, 0.5] parte mpar de x(n) XI(ejw) = -jsen(w)

Problema 6

Considere a seguinte associao de sistemas discretos



a. Determine a resposta impulsional h(n) e a resposta em frrequncia H(e jw) do sistema global.

b. Determine a equao s diferenas que relaciona y(n) com x(n).

c. Determine quantas operaes de adio e multiplicao reais so necessrias para produzir uma amostra sada.

Soluo:

a. h(n)=[d(n)+ bd(n-1)]* anu(n)= anu(n)+b an-1u(n-1)

H(ejw)= [ ]w-

w-

w-w-

a-b+=

a-b+

j

j

jj

e1e1

e11e1

b. y(n)=x(n)+bx(n-1)+ay(n-1)

c. 2 multiplicaes, 2 adies e duas posies de memria.


A resposta impulsional de um sistema discreto LI dada por u(n),h(n) na= com |a|



22

)jarctgn2

(j

2

)arctgn2

(jn

2j

2

jarctgn2

j

2

jarctg

21

)jarctgn2

cos(

1

e21

1

e21

e1

e21

e1

e21

)n(ya+

a-p

=a+

+a+

=a+

+a+

=a-

p-a-

pp

-apa-

(poderamos ter escrito este resultado imediatamente, usando a noo de resposta em frequncia)

c. (aqui, no podemos usar esta noo... porqu?)

=

p+

p-

+p

-+p-p

-

-p

a+

a--=

a-

a-

0.3

11 z3.01

1

z1

100)z(Y

-- --= , |z|>1

O teorema do valor final permitir-nos-ia concluir imediatamente que y(n) tende para 1437.0

100 @ .

Podemos evidentemente calcular y(n)

)n(u)3.01(7.0

100)n(u)

7.03.0.100

7.0100

(dz)3.0z)(1z(

z100j2

1)n(y 1n

1n1n+

++

-=-

+=--p

=

c. Agora, a equao s diferenas outra:



)3n(x3.0)1n(y3.0)n(x)n(y 3 ---+=

ou

)2n(x3.0)1n(x3.0)n(x)n(y 2 -+-+=

que tende para 100 + 30 + 9 = 139.

Problema 4

A srie de Fibonacci obtem-se calculando cada termo como a soma dos dois termos anteriores. Os dois primeiros termos da srie so f(0) = 1 e f(1) = 1. Determine uma expresso geral para o termo de ordem n, f(n), da srie de Fibonacci.

Soluo:

A srie de Fibonacci a resposta impulsional do sistema causal y(n) = x(n) + y(n-1) + y(n-2) (porqu?).

Usando a transformada z

21 zz1

1)z(H

-- --=

com polos em

251

2411

=+

e, usando a frmula integral,

)n(u))51()51((2

1

5

1)n(h 1n1n

1n++

+--+= .

A seguir, temos os 40 primeiros termos desta srie

n f(n) n f(n) n f(n) n f(n)

0 1 10 89 20 10946 30 1346269

1 1 11 144 21 17711 31 2178309

2 2 12 233 22 28657 32 3524578

3 3 13 377 23 46368 33 5702887

4 5 14 610 24 75025 34 9227465

5 8 15 987 25 121393 35 14930352

6 13 16 1597 26 196418 36 24157817

7 21 17 2584 27 317811 37 39088169

8 34 18 4181 28 514229 38 63245986

9 55 19 6765 29 832040 39 102334155

Problema 5

O parque informtico numa dada escola expresso por y(n) computadores utilizveis no final do ano n.

Ao longo de cada ano o nmero de computadores decresce devido a avarias, sendo a taxa anual de avarias de 5% e devido ao abatimento de todos os computadores que completam 3 anos de utilizao.

No incio de cada ano n so adquiridos x(n) computadores novos.

a. Obtenha, justificando, a equao s diferenas que exprime y(n), o nmero de computadores utilizveis no final do ano n, de acordo com o enunciado.



b. Suponha que o parque informtico criado a partir do ano zero com a compra de N computadores novos no incio de cada ano, obtenha a expresso que exprime y(n) em funo de N e n.

c. Qual dever ser N para que o nmero de computadores utilizveis estabilize em 1000?

Soluo:

a. y(n) = 0.95y(n-1) + x(n) 0.953x(n 3)

ou ento

y(n) = x(n) + 0.95x(n 1) + 0.952x(n 2)

(esta segunda forma evidencia a resposta impulsional finita do sistema: um computador abatido ao fim de trs anos)

b. x(n) = Nu(n)

y(n) = Nu(n) + 0.95Nu(n 1) + 0.952Nu(n 2)

c. N + 0.95N + 0.952N = 1000 N = 351

Problema 6

Um modelo simplificado de um banco poderia ser o seguinte:

- x(n) representa uma transaco mensal, de depsito ou de levantamento, [x(n) positivo se for depsito e s h uma transaco por ms],

- y(n) representa o saldo depois da operao mensal,

- mensalmente, h lugar ao pagamento de um juro Ty(n-1), com 0 < T 1.005 (o sistema instvel!)

1

1

1

1

z1

z)P100000(100000

z1Pz100000)z(X

-

-

-

-

-

++-=

-+-= , |z| > 1

)z005.11)(z1(

z)P100000(100000)z(Y11

1

--

--

++-= , |z| > 1.005

--++-

p=

+

dz)005.1z)(1z(

z)P100000(z100000j2

1)n(y

n1n



)n(u)1005.1

005.1)P100000(005.1.100000005.11

)P100000(100000()n(yn1n

-++-+

-++-=

+

)n(u)005.0

)005.11(P005.1x100000()n(yn

n -+-=

(esta expresso mostra em separado os efeitos da dvida e da sua amortizao).

Para o saldo ser nulo ao fim de 20 anos, y(240)=0, o que d P=716.43 .

Obter-se-ia exactamente este valor usando a funo do Excel PMT(0.5%,240,100000).

* Problema 7

Um banco remunera os seus depsitos taxa de juro de 3% ao ano.

Determine o pagamento mensal que lhe garante que ao fim de 20 anos (240 pagamentos) ter um saldo acumulado de 100 000 .

Soluo:

A equao s diferenas ser )1n(y1203.0

1)n(x)n(y -

++= , em que n um ndice que representa o ms.

A resposta entrada P.u(n), em que P a prestao mensal, pode calcular-se atravs de

1111 z0025.11

P401

z1

P400

z0025.11

1.

z1

P)z(Y

---- -+

-

-=

--=

)n(u)P400P401.0025.1()n(y n -=

Para ao fim de 20 anos o saldo acumulado ser 100 000

92.302P)P400P401.0025.1(100000 240 =-= .

Por curiosidade, podemos ver como evolui o dinheiro entregue e o saldo acumulado ao longo dos 240 meses

0 50 100 150 2000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10x 10

4



Aula n 6

* Problema 1

Crie um ficheiro .m de comandos Matlab que execute as seguintes operaes:

- usando o comando wavread(), l o ficheiro de udio vega.wav, do tipo .wav (amostrado frequncia de 44100 Hz),

- desnormaliza as amostra do sinal multiplicando-as pela constante 5000,

- l os valores dos ndices inicial e final da parte do sinal que ir ser processada,

- toca o sinal retido,

- soma ao sinal uma sinusoide pura com a frequncia de 3125 Hz e amplitude 20000,

- mostra e toca o sinal obtido,

- define os coeficientes de um filtro notch de 2 ordem, com polos a 0.95 da origem do plano z e zeros coincidentes com os polos da sinusoide acrescentada,

- usa o comando zplane para representar os polos e zeros do sistema, e o comando freqz para representar a resposta em frequncia do sistema,

- aplica o filtro ao sinal corrompido programando explicitamente a equao s diferenas,

- toca o sinal obtido.

Agora esclarea: Os comandos

x = sin(2*pi*[0:999]/100); e for i=0:999, x(i+1) = sin(2*pi*i/100);end

produzem o mesmo resultado. Qual deles deve ser utilizado? Porqu ?

Soluo:

% % Processamento Digital de Sinal % EEC4162 2004/2005 % Problema 5.3 % filtro digital simples para melhorar a qualidade % de uma sinal de audio corrompido por uma sinusoide % {ajf,fjr}@fe.up.pt % close all; clear all; % le o ficheiro audio e mostra o seu comprimento inpfile='vega.wav'; [data, Fs, nbits]=wavread(inpfile); data = data*5000; length(data) % mostra para seleccionar segmento a processar plot(data) end1=input('end1? ') end2=input('end2? ') % mostra e toca o segmento seleccionado datar=data(end1:end2); dsize=length(datar); plot(datar) disp('Prima uma tecla para ouvir o sinal'); pause



sound(datar/(1.2*max(abs(datar))),Fs) % adiciona ruido e mostra e toca sinal corrompido omega0=2*pi*3125/Fs; nc=1:dsize; x=datar+20000*cos(omega0*nc)'; plot(x) disp('Prima uma tecla para ouvir o sinal com ruido'); pause sound(x/(2.0*max(abs(x))),Fs) % define coeficientes do filtro notch de segunda ordem % e mostra resposta em frequencia r=0.95; c0=2*cos(omega0); rs=r^2; c0r=r*c0; zplane([1 -c0 1], [1 -c0r rs]) freqz([1 -c0 1], [1 -c0r rs]) disp('Prima uma tecla para aplicar o filtro notch'); pause y(1)=0; y(2)=0; for n=3:end2-end1, y(n)=x(n)-c0*x(n-1)+x(n-2)+c0r*y(n-1)-rs*y(n-2); end plot(y) disp('Concluido. Prima uma tecla para ouvir o sinal filtrado'); pause sound(y/(1.2*max(abs(y))),Fs)

Problema 2

Um sistema discreto tem um polo em a e um zero em 1/a*.

a. Represente graficamente, no plano z, o polo e o zero do sistema.

b. Mostre que o mdulo da resposta em frequncia deste sistema independente de w (sistema do tipo passa tudo).

c. Tente obter uma expresso para a fase da resposta em frequncia.

Soluo:

a. -1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imaginary Part

(este o caso geral; h alguns casos particulares)

b. a-

a-

=z

1z

)z(H*



*j

j*

*

j

j

*j

j 1

e

ee

e

1e)e(H

a=

a-

-a

a=

a-a

-=

w

w-w

w

w

w

(h uma soluo grfica, que consiste em mostrar que 1|)z(H| * =a para w= jez )

c. Em termos de fase, e para Ra

)jsenarg(cos)1senjcosarg(

))e(Harg( ja-w+w+wa-wa-

=w

e como jq+j-q

=j-qtgtg1tgtg

)(tg

[ ]a-w

w+wa-+wa-

a-ww

wa-+wa-

-=w

cossen

sen1cos

)cos

sen)(

sen1cos

(1))e(Harg(tg j

wa+-a

wa-=wcos)1(2

sen)1(arctg))e(Harg(2

2j

representado a seguir para a = 0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

Problema 3

Considere um sistema do tipo FIR com zeros em 3j

e8.0p

e 3

j1.25e

p

.

a. Determine a sua funo de transferncia H(z).

b. Determine dois outros sistemas do mesmo tipo e com a mesma amplitude da resposta em frequncia (diferindo apenas na fase).

Soluo:

a. )e25.1z)(e25.1z)(e8.0z)(e8.0z(z)z(H 3j

3j

3j

3j4

p-

pp-

p- ----=

4-3-2-1-224 z2.05z-3.2025z2.05z1)5625.1z3

cos5.2z)(64.0z3

cos6.1z(z)z(H ++-=+p-+p-= -



(sistema com fase linear)

b. Colocando em srie sistemas do tipo passa tudo e ganho unitrio

1. com zeros em 4j

e8.0p

e polos em 4

j1.25e

p

432123j23

j4 z64.0z6.1z6z5.25625.1)e8.0z()e8.0z(z5625.1)z(H ----p

-p

- +-+-=--=

(sistema com fase mnima)

2. com zeros em 4j

1.25ep

e polos em 4

je8.0

p

432123j23

j4 z5625.1z5.2z6z6.164.0)e25.1z()e25.1z(z64.0)z(H ----p

-p

- +-+-=--=

(sistema com fase mxima)

* Problema 4

Considere um sistema discreto do tipo FIR, de fase linear, com um zero em 0.3 + j0.4.


b. Determine a resposta implsional dos sistemas de fase mnima e fase mxima com magnitude da resposta em frequncia igual do sistema dado.

Problema 5

Considere o sistema discreto do tipo FIR com zeros em

0.3+j0.4, 0.3-j0.4, (0.3+j0.4)-1, (0.3-j0.4)-1, 0.6+j0.8, 0.6-j0.8, -1.


b. Mostre que o sistema de fase linear.

c. Decomponha o sistema numa associao em srie de dois sistemas, cada um deles ainda de fase linear.

Soluo:

a. H(z) = z-7(z - 0.3-j0.4)(z - 0.3+j0.4)(z - (0.3+j0.4)-1)(z - (0.3-j0.4)-1)(z - 0.6-j0.8)(z - 0.6+j0.8)(z + 1)

H(z) = z-7(z2 - 0.6z + 0.25)(z2 2.4z + 4)(z2 1.2z + 1)(z + 1)

H(z) = z-7(z4 - 3z3 + 5.69z2 - 3z + 1)(z3 0.2z2 0.2z + 1)

H(z) = z-7(z7 3.2z6 + 6.09z5 2.538z4 2.538z3 + 6.09z2 3.2z + 1)

h(n) = [1 3.2 6.09 2.538 2.538 6.09 3.2 1]

b. A resposta impulsional simtrica.

c. (ver 3 linha de a))



-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Part

Imaginary Part

7

H(z) = z-4(z4 - 3z3 + 5.69z2 - 3z + 1) z-3 (z3 0.2z2 0.2z + 1)



Aula n 7

* Problema 1

Considere um sistema causal do tipo FIR com zeros em )3/jexp(8.0 p=a , *a , a/1 e *a/1 .

a. Interprete a seguinte sequncia de comandos Matlab, que dever escrever num ficheiro do tipo.m .

close all; clear all; alfa=0.8*exp(j*pi/3); raizes=[alfa alfa' 1/alfa 1/(alfa')]; num=poly(raizes); raizes=[0 0 0 0]; den=poly(raizes); figure(1); zplane(num, den); pause; figure(2); [H, W]=freqz(num, den); plot(W/pi, 20*log10(abs(H))); xlabel('Frequencia Normalizada'); ylabel('Amplitude (dB)'); pause;

b. Adicione neste ficheiro .m outros comandos Matlab que executem as seguintes operaes:

- representa numa figura 3 a resposta impulsional do sistema,

- constri os vectores filptnum e filptden correspondentes respectivamente ao polinmio numerador e denominador da funo de transferncia de um filtro passa-tudo de segunda ordem do tipo

1

1

1

1

11)(H

-*

-

-

*-

Zb-b-Z

Zb-b-Z=Z

(a multiplicao polinomial conseguida em Matlab atravs do comando conv, efectuando a convoluo entre as sequncias discretas constitudas pelos coeficientes de cada polinmio).

- obtm o filtro de fase mnima que resulta do filtro FIR indicado, colocando em srie com este um filtro passa-tudo de segunda ordem e ganho unitrio; isto conseguido programando um valor de b adequado na equao acima e efectuando a multiplicao polinomial:

faseminnum=conv(num, filptnum);

faseminden=conv(den, filptden);

- representa na figura 1 o diagrama zero-polar deste sistema,

- representa na figura 3, os primeiros 5 coeficientes da resposta impulsional do filtro de fase mnima,

- sobrepe na representao da figura 2 a resposta em frequncia do filtro de fase mnima (o que conclui ?).

- usando um procedimento idntico ao anteriormente seguido, constri um filtro de fase mxima,

- representa na figura 1 o diagrama zero-polar deste sistema,

- representa na figura 3, os primeiros 5 coeficientes da resposta impulsional do filtro de fase mxima,

- sobrepe na representao da figura 2 a resposta em frequncia do filtro de fase mxima (o que conclui ?).



c. Que comando(s) Matlab que usaria para obter o filtro de fase mxima, atravs de, em alternativa ao procedimento anterior, )z(Hz)z(H 1minFASE

LmaxFASE

--= ?

Problema 2

Considere o sistema discreto causal com a equao s diferenas

)2n(y64.0)1n(y8.0)1n(x4.0)n(x)n(y ---+--= .

Escreva num ficheiro do tipo.m comandos Matlab que executem as seguintes funes:

- define nos vectores num e den os polinmios numerador e denominador do sistema dis creto,

- representa o diagrama zero-polar do sistema,

- usa o comando roots()para determinar os polos e zeros (compare com o clculo manual),

- usa o comando;

[resid, polos, dire]=residuez(num, den);

que fornece os vectores resid, polos e dire, cujo contedo dever interpretar e comparar com o resultado da expanso manual em fraces parciais da funo de transferncia do sistema,

- usa o comando impz() para representar as primeiras 40 amostras da resposta impulsional do sistema, que dever comparar com o clculo manual da resposta impulsional (vector h) e a representao das suas primeiras 40 amostras, atravs do comando plot(n,h,'pr') (usando para ndice o vector n=[0:39];).

* Problema 3

Projecte um filtro digital do tipo passa baixo, com frequncia de corte 1 kHz frequncia de amostragem 10 kHz, a partir de um filtro RC passa baixo elementar

a. Pelo mtodo da invarincia da resposta imulsional.

b. Pelo mtodo da invarincia da resposta ao degrau.

c. Pelo mtodo da transformao bilinear.

d. Represente graficamente as magnitudes das respostas em frequncia dos trs filtros digitais obtidos.

Soluo:

a. A funo de transferncia do filtro analgico prottipo

RC1

s

RC1

)s(H a+

=

em que a frequncia angular de corte RC1

c =W , ou seja, RC110.2 3 =p , e

p+p=

2000s2000)s(H a .

O polo em -2000p mapeia-se no plano z em 510.2000 ee4

p-p- =

- e obtem-se

533.0|z|,z533.01

628.0

ze1

5

ze1

200010)z(H1

1515

4 >-

=

-

p

=

-

p=-

-p

--p

-

-



y(n) = 0.628x(n) + 0.533y(n-1) .

b. A resposta ao degrau do filtro analgico prottipo

)t(u)e1()t(d t2000ap--=

e a resposta ao degrau do filtro digital resultante da transformao

)n(u)e1()n(u)e1()n(dn

5n10.20004

p-p- -=-=

cuja transformada z

151

ze1

1z11)z(D

-p

--

-

--

=

pelo que

533.0|z|,z533.01

z467.0

ze1

z)e1(

z11

ze1

1z11

)z(H1

1

15

15

1

151

>-

=

-

-=

-

-

--

=-

-

-p-

-p

-

-

-p

--

y(n) = 0.467x(n-1) + 0.533y(n-1) .

c. Aplicando a transformao bilinear funo de transferncia do filtro analgico prottipo

1

1

1

1

1

1

4

z)10(10)z1(

z1

z1102000

z1

z1

10

22000)z(H

-

-

-

-

-

-

-

p--p++p=

p++

-p=

p++

-p=

522.0|z|,z522.01

)z1(239.0)z(H

1

1>

-

+=

-

-

y(n) = 0.239x(n) + 0.239x(n-1) + 0.522y(n-1) .

(note como neste caso surge um zero de H(z) em z=-1)

d. bvio qual qual:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2



Aula n 8

Problema 1

Considere o filtro analgico passa baixo

s

sH a 08.011)(

+= .

a. Determine a frequncia de corte Wc (atenuao igual a 3 dB) deste filtro.

b. Determine o filtro digital que se obtem de Ha(s) pelo mtodo da invarincia da resposta impulsional, para uma frequncia de amostragem de 10 Hz.

c. Represente graficamente a amplitude da resposta em frequncia deste filtro digital e a do filtro analgico original, e explique as eventuais diferenas entre ambas.

Soluo:

Hzss

sH ca 984.1Frad/s 5.125.125.12

08.011)( c =\=W+

=+

=

125.1 ze1

25.1)z(H

---=

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

nota-se um acentuado efeito de aliasing.

* Problema 2

Pretende-se projectar um filtro digital passa-baixo, usando o mtodo da transformao bilinear, a partir de um filtro de Butterworth, e de tal modo que, frequncia de amostragem de 16 kHz,

- o limite superior da sua banda de passagem seja 2kHz, e a atenuao verificada no exceda 3 db,

- o limite inferior da sua banda de bloqueio seja 4 kHz, e a atenuao verificada seja no mnimo de 40 dB.

Determine a ordem mnima do filtro.

Problema 3

Pretende-se projectar um filtro digital passa-baixo, usando o mtodo da transformao bilinear, a partir de um filtro de Butterworth de 3 ordem, de tal modo que frequncia de amostragem de 10 kHz a sua frequncia superior de corte seja de 1 kHz.

a. Determine a frequncia superior de corte do filtro analgico prottipo.



b. Localize, no plano z, os polos do filtro digital.

c. Determine a partir de que frequncia a atenuao do filtro digital melhor que 60 dB.

Soluo:

a. De acordo com o enunciado

rad/s 4.649810

200002

2===W

pwtgtg

Tc

c

b. Os polos deste filtro esto colocados, no plano s, em

4.6498s1 -= e 32

j3,2 e4.6498s

p

= .

No plano z, teremos ento

501.064984.0264984.02

sT2sT2z1 =+

-=-+=

0639.0j736.056278.0j32492.0256278.0j32492.02

e64984.02

e64984.02z3

2

32

3,2 =+-

=

-

+=p

p

c. 64984999999)6498.4

(60)

6498.4(+1

110log 66

=W>W-

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