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PENTAMINÓS COMO UMA FERRAMENTA DIDÁTICA

Vera Lia M. Criscuolo de ALMEIDA1 Diego Dias Machado GUIMARÃES,

Vagner de Sousa BESERRA2

Resumo: Este artigo tem como objetivo apresentar os pentaminós, um recurso didático de baixo custo, que envolve conceitos geométricos e que pode ser adotado pelo docente como uma ferramenta didático-pedagógica para o uso em suas atividades na sala de aula, despertando assim, o interesse por parte dos alunos e criando oportunidades de ensino-aprendizagem.

Palavras-chave: pentaminó; poliminó; ferramenta didática.

1. INTRODUÇÃO

Este é um artigo que visa atender à comunidade acadêmica do Curso de

Graduação de Licenciatura em Matemática e profissionais da Educação da Rede Oficial de

Ensino, disponibilizando através do mesmo informações sobre uma ferramenta didático-

pedagógica, os pentaminós.

Os pentaminós são um conjunto de figuras formadas por cinco quadrados

justapostos sem formar “buracos”; trata-se de um caso particular dos poliminós, que por sua vez

são formados por n quadrados.

As informações aqui apresentadas objetivam explorar os pentaminós, conceituar

seu uso no ensino Fundamental e Médio e propor atividades educativas nas quais seu uso possa

ser utilizado com proveito.

Assim, o profissional capacitado em manejar o material perceberá que os

pentaminós constituem uma poderosa ferramenta de ensino, adaptável às atividades propostas

para sala de aula.

2. POLIMINÓS

O termo poliminó foi apresentado pela primeira vez por Solomon W. Golomb,

matemático chefe do Laboratório de Jato Propulsão do Instituto de Tecnologia da Califórnia, em

seu artigo Tabuleiros de xadrez e poliminós (publicado no American Mathematical Monthly de

1954, quando Golomb era um estudante de 22 anos em Harvard) e o definiu como “um conjunto

de quadrados em ligação simples”.

1 Orientadora e coordenadora do projeto. 2 Autores do artigo.

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Poliminós são figuras planas formadas pela justaposição de um número n de

quadrados iguais, de maneira que toda uma aresta de um quadrado fique em contato com toda a

aresta de outro quadrado. Assim, por construção geométrica, existem somente um poliminó de

um quadrado (chamado monominó) e um poliminó de dois quadrados (dominó), dois poliminós de

três quadrados (triminós), cinco poliminós de quatro quadrados (tetraminós) e assim

sucessivamente.

Figura 1 – Todos os monominós, dominós, triminós e tetraminós.

Os pentaminós, que estudaremos adiante, são o caso particular dos poliminós

formados por cinco quadrados justapostos.

3. PENTAMINÓS

Os pentaminós, como comentado anteriormente, tratam-se do caso especifico dos

poliminós formados por cinco quadrados de lados justapostos sem a formação de “buracos”

possibilitando, assim, a formação de um total de doze peças diferentes (figura 2). Para facilitar a

utilização, cada pentaminó está devidamente nomeado de acordo com a letra com a qual possui

maior semelhança.

Figura 2 – Nomenclatura dos Pentaminós

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Não serão utilizados os poliminós de um, dois e três quadrados (respectivamente,

monominó, dominó e triminó, figura 1) pelo número reduzido de peças formadas, o que torna a

experiência menos enriquecedora.

O poliminó de quatro quadrados (tetraminó, figura 1) foi descartado, pois além de

simples é popular demais; muitos alunos já o utilizaram em jogos eletrônicos como o Tetris,

famoso jogo entre usuários de computador. Diversas atividades que serão propostas neste artigo

prevêem que os alunos não conheçam o jogo, possibilitando um autodescobrimento das

propriedades dos poliminós, o que enriquece a atividade desenvolvida.

O motivo principal para não se usa o hexaminó (o poliminó formado por seis

quadrados) é porque ele se compõe por 35 peças diferentes, um número excessivamente grande,

o que dificulta a utilização do mesmo em sala de aula. Do hexaminó em diante, seja o septaminó

(sete quadrados), o octaminó (oito quadrados) ou qualquer outro, o número de peças formadas

aumenta muito.

Por estes motivos, os pentaminós constituem o caso mais interessante dos

poliminós para a aplicação em sala de aula.

A utilização dos pentaminós no ensino é rica, pois podem ser confeccionados com

materiais baratos, facilitando a aquisição pelos professores ou até mesmo a sua fabricação por

parte dos alunos. Além disso, a própria dinâmica do pentaminó, de justapor peças para formar

figuras e imagens, é normal a alunos do Ensino Fundamental, o que torna as atividades muito

interessantes e divertidas para eles. Já no Ensino Médio, os alunos não se divertem tanto – mas o

interesse permanece o mesmo.

O principal motivo para a utilização dos pentaminós como atividade de ensino é a

diversidade de questões que ele abrange – com o mesmo material, pode-se estudar questões

relacionadas à Geometria e Aritmética para as classes do Ensino Fundamental e Médio, e à

Álgebra e Análise Combinatória para o Ensino Médio.

E, quando aplicado diretamente a essas questões, pode-se ele desenvolver a

percepção espacial e raciocínio lógico ao mover manualmente as peças, a generalização quando

se descobre semelhanças fundamentais entre peças e o senso estético e a criatividade ao

explorar as formas e cores.

Desta forma, os pentaminós são utilizados eficientemente na compreensão e

exploração de semelhanças, simetrias, perímetros e áreas. Em certas atividades iniciais, são

estimulados processos de classificação, ordenação e descoberta de padrões.

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4. ATIVIDADES

4.1 Primeiro Contato

O participante da tarefa receberá do(a) aplicador(a) o material para proceder ao

exame do mesmo sobre o tampo plano de uma mesa. O aplicador não deve intervir para orientá-

lo.

O que se observa é que eles montam, inicialmente, figuras diretamente sobre o

plano da mesa como, por exemplo: barquinhos, flores, palhaços, automóveis, trenzinhos e

caminhões.

Cabe alertar o aplicador sobre o seguinte: ele não deve em momento algum

manifestar ansiedade ou impaciência. A exploração do material deve ser feita sem interferência

do aplicador, a não ser para aprovar o que está sendo feito, e assim mesmo quando

extremamente necessário.

Neste contato inicial muita coisa pode vir a ser descoberta pelos alunos como, por

exemplo, os encaixes entre as peças, ou que não existe uma peça igual à outra, isto é, que as 12

peças são exatamente diferentes entre si, ou outras várias observações pertinentes.

4.2 Construção dos Pentaminós

Após conhecer os pentaminós, as crianças deverão confeccionar seu próprio

conjunto de pentaminós. Além de evitar o desgaste dos pentaminós do educador, isso permite

que pratiquem as atividades fora do âmbito escolar.

Cada aluno deverá ter em mãos os materiais necessários para a construção do seu

pentaminó. Neste material estarão inclusos: papel cartão, régua, tesoura e lápis. O uso de

compasso não é recomendado em classes iniciais, pois a maioria das crianças não teria nem a

coordenação motora, nem a paciência de utilizá-lo. Caso opte-se por não usar o compasso, pode-

se usar papel quadriculado e pintá-los depois. Em classes avançadas, a utilização do compasso

deve ser encorajada pelo educador, servindo como uma aplicação prática dos conceitos de

Desenho Geométrico.

Para um melhor desempenho na execução desta atividade, propõe-se que o

educador construa passo a passo apenas o pentaminó “L” na lousa como exemplo. O objetivo

disso é guiar os alunos no modo de desenhar, já que alguns pentaminós podem ser difíceis de se

fazer com régua e compasso. A atividade, para os alunos, é a construção das demais peças.

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Uma proposta paralela e interessante é organizar os alunos em grupos e pedir que

cada grupo traga papel cartão de uma cor diferente dos demais grupos e que, na confecção,

utilizem medidas padrões. Assim, com os pentaminós prontos, cada integrante de um grupo troca

uma de suas peças pela equivalente de outro grupo (por exemplo, um pentaminó “X” por outro

pentaminó “X”). Ao final da atividade, cada aluno terá uma coleção de pentaminós bem coloridos,

o que facilita a sua utilização.

4.3 Composições Planas Direcionada

A criança, manipulando os pentaminós, poderá construir composições planas

representando: flores, árvores, trenzinhos, automóveis, homenzinhos, animais, entre outros, de

acordo com sugestões dadas na lousa pelo(a) educador(a). Devem ser estimuladas construções

criadas pelas próprias crianças e o(a) educador(a) deve reproduzir na lousa os desenhos que

achar mais interessante.

Em um segundo momento torna-se interessante estabelecer a correspondência

entre os pentaminós e o desenho. Isso consiste em fornecer às crianças desenhos já prontos,

monocromáticos, mimeografados ou xerocopiados (vide anexo A), para que elas cubram cada

parte do desenho com combinações de pentaminós e em seguida, retirando os pentaminós,

pintem o desenho de acordo com as cores correspondentes.

Uma atividade um pouco mais complexa para alguns dos alunos, trata-se de utilizar

as composições elaboradas pelos mesmos, onde os pentaminós servirão como moldes para

serem contornados com o lápis preto e que em seguida serão coloridas ou pintadas, de acordo

com as cores dos pentaminós escolhidos.

4.4 Completar o Tabuleiro Retangular

Após as atividades anteriores, onde a criança explora os pentaminós em suas

formas e cores, é momento de propor a primeira atividade lógica e espacial com os pentaminós.

Esta atividade consiste em pedir aos alunos que montem um retângulo com os pentaminós sem

deixar buracos.

Analisando-se os pentaminós, observa-se que são doze peças formadas por cinco

quadrados cada uma; logo, no total, são sessenta quadrados. Assim, apenas os retângulos de

sessenta unidades podem ser montados (por exemplo, 5x12, 4x15 e 6x10). Cabe ao educador

decidir se informa esse fato de início ou se espera que os alunos descubram por si mesmos; para

que isso ocorra, a turma deve estar em um estágio mais avançado de aprendizagem.

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4.5 Buraco com Formato de um Pentaminó

Paul J. Slate, de West Orange, New Jersey, propôs usar as doze peças para formar

um retângulo de 5x13 com um buraco em forma de uma dessas peças. Uma dessas soluções é

apresentada na Figura 3.

Utilizando o mesmo raciocínio da atividade 4.4, percebe-se que o retângulo 5x13 é

formado por sessenta e cinco quadrados, ou seja, cinco quadrados a mais que os sessenta

quadrados formados pelos doze pentaminós diferentes. Estes cinco quadrados, se agrupados

lado a lado, formarão um pentaminó (Figura 3).

Figura 3 – Exemplo do retângulo 5x13 utilizando o pentaminó Z

4.6 Problemas de Aumento

4.6.1 Triplicação

Raphael M. Robinson, professor de Matemática da Universidade da Califórnia,

sugeriu o que ele chama de problema da triplicação. Escolhe-se um pentaminó e depois procura-

se construir, com nove dos restantes, um modelo em maior escala do tipo escolhido. Este terá o

triplo do tamanho do primeiro. Joseph B. Tucker, teve a mesma idéia após a leitura da discussão

sobre poliminós apresentada por seus alunos. A seguir apresentam-se três soluções possíveis

para o problema da triplicação (Figura 4).

Figura 4 – Exemplos de triplicação - primeiro caso.

Pode-se ainda pular um pentaminó, e reproduzir o pentaminó pulado em um

semelhante, mas com o triplo do tamanho, sobram ainda quatro pentaminós, ao invés de três

como no exemplo anterior (Figura 5).

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Figura 5 – Exemplo de triplicação - segundo caso.

4.6.2 Duplo Duplo

Harry Brueggemann, de San Marino, Califórnia, sugeriu o que ele chamou de

problema do Duplo Duplo. O primeiro passo é formar uma figura qualquer utilizando dois

pentaminós quaisquer. A seguir, reproduz o mesmo com outras duas peças quaisquer.

Finalizando o processo com as oito peças que restarão formando um modelo semelhante, mas

com o dobro do tamanho. A Figura 6 mostra uma das possíveis soluções.

Figura 6 – Exemplo 1 de Duplo Duplo

Alguns pentaminós ainda podem ser duplicados utilizando uma técnica semelhante,

onde um único pentaminó é escolhido e, combinando outros quatro duplica-se o mesmo. Assim,

sobram oito pentaminós (Figura 7).

Figura 7 – Exemplo 2 de Duplo Duplo

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4.7 Cercando o Terreno

Uma atividade um tanto quanto criativa é a montagem de anéis com os

pentaminós, formando “pontes” ou “cercando” tantos quadrados quanto possíveis. O interessante

é que essa atividade constantemente é interpretada pelas crianças como cercar um terreno, um

parque, uma chácara ou até suas casas.

Visa à utilização de todo os doze pentaminós, a fim de cercar a maior área

possível, interpretado com o terreno pelas crianças (Figura 8).

Figura 8 – Exemplo de Cercando o Terreno fechado ou não.

4.8 “PentaGame”

Trata-se de um game para dois jogadores, onde se utilizando um tabuleiro 8x8

(Figura 9 e Anexo B) e os doze pentaminós, os jogadores disputam partidas que duram de cinco a

quinze minutos onde cada jogador, na sua vez, deve colocar o pentaminó escolhido no tabuleiro

de forma que seus cinco módulos encaixem em “casas livres” do tabuleiro. Perde aquele que mais

cedo não conseguir colocar uma nova peça no tabuleiro.

Figura 9 – Tabuleiro utilizado para o Penta-Game

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Uma das regras complementares é que o primeiro pentaminó a ser colocado no

tabuleiro deve cobrir pelo menos uma das quatro casas do centro do tabuleiro (Figura 10).

Figura 10 – Possível posição da primeira peça do Penta-Game.

Os demais pentaminós devem ser colocados sobre o tabuleiro de forma a tocar

pelo menos um dos lados ou ângulos de um pentaminó já colocado anteriormente (Figura 11).

Figura 11 – Tabuleiro de Penta-Game após algumas rodadas de jogo.

5. CONCLUSÃO

Os pentaminós fazem parte de um seleto grupo de atividades, as quais estimulam

os alunos de diversas maneiras, ao mesmo tempo em que os educam e os divertem.

As propostas didático-pedagógicas aqui desenvolvidas e apresentadas procuram

estimular o aluno em diversas frentes – como geometria, raciocínio lógico e espacial – contudo,

sem perder o seu apelo recreativo.

Cabe ao professor apenas providenciar papel, tesoura e régua, mobilizar os alunos

em sala de aula e, com um pouco de boa vontade, construir os pentaminós e contribuir para a

desmistificação da Matemática.

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6. ANEXO A

Solução

787

Solução

788

Solução

789

7. ANEXO B

790

791

8. BIBLIOGRAFIA

[1] Martin Gardner: Mathematical Puzzles & Diversions, New York 1959 bild der wissenschaft 7/1976

[2] Pieter van Delft, Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München 1980

[3] Martin Gardner: Bacons Geheimnis, Frankfurt a.M. 1986 (Polywürfel)

[4] R.Thiele, K.Haase: Der verzauberte Raum, Leipzig, 1991

[5] Jens Carstensen: Legespiele, MU26:2 1980 (Seite 5 bis 36)

[6] Solomon W. Golomb: Polyominoes, Princeton, New Jersey 1994 (ISBN0-691-08573-0)

[7] LudoMania - http://www.ludomania.com.br/clube/pentaminos.html

[8] Jogos Antigos - http://www.jogos.antigos.nom.br/qcabeca.asp

[9] Nova Escola - Abril - http://novaescola.abril.com.br/ed/112_mai98/html/cc_matematica.htm

[10] Art & Fatos Poéticos - www.artefatospoeticos.com

[11] Mathematische Basteleien -http://www.mathematische-basteleien.de/pentominos.htm

[12] SILVA, A. F.; KODAMA, H. Y. Poliminós. In: Núcleos de Ensino, p. 349-370. Universidade Estadual Paulista – Publicações, São Paulo, 2003.