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Pequena introdução à obra de Iannis Xenakis Henrique Iwao graduação em música modalidade composição IA Unicamp

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Pequena introdução à Pequena introdução à obra de obra de

Iannis XenakisIannis XenakisHenrique IwaoHenrique Iwao

graduação em música modalidade graduação em música modalidade composição IA Unicampcomposição IA Unicamp

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1. Iannis Xenakis e a música grega 1. Iannis Xenakis e a música grega antigaantiga

““O conceito pitagórico dos números dizia que as O conceito pitagórico dos números dizia que as coisas são números, ou que as coisas continham coisas são números, ou que as coisas continham números , ou que as coisas são similares a números , ou que as coisas são similares a números. Essa tese (e isso em particular números. Essa tese (e isso em particular interessa ao músico) desenvolveu-se a partir do interessa ao músico) desenvolveu-se a partir do estudo dos intervalos musicais para obtenção da estudo dos intervalos musicais para obtenção da catarse órfica, porque, de acordo com catarse órfica, porque, de acordo com Aristoxenos, os pitagóricos usavam a música para Aristoxenos, os pitagóricos usavam a música para purificar a alma assim como a medicina para purificar a alma assim como a medicina para purificar o corpo” [1]purificar o corpo” [1]

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““(...) Nós somos todos pitagóricos.” [1](...) Nós somos todos pitagóricos.” [1]

Pitagóricos

Música grega

Música bizantina Canto gregoriano

......

Xenakis

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Gregorio Panigua - Anakrousis (contemporânea)Gregorio Panigua - Anakrousis (contemporânea)

Dhipli ZyiaDhipli Zyia (1952) (1952)

Procession aux Eaux ClairesProcession aux Eaux Claires (1953) (1953)

Concret Ph Concret Ph (1958)(1958)Premier Hymne Delphique (c.138 A.C.)Premier Hymne Delphique (c.138 A.C.)

Les EmenidesLes Emenides (1966) (1966)

JonchaiesJonchaies (1977) (1977)

TracéesTracées (1987) (1987)Aristophane - Aristophane - Aeonaoi NefelaiAeonaoi Nefelai (450-385 A.C.) (450-385 A.C.)

Gendy3 Gendy3 (1991)(1991)

A la Memoire de Witold Lutolawski (1994)A la Memoire de Witold Lutolawski (1994)

Mésomède de Crète -Mésomède de Crète - Hymne à la Muse Hymne à la Muse (c.130 D.C.) (c.130 D.C.)

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2. Análise macro-composicional de 2. Análise macro-composicional de AchorripsisAchorripsis..

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AchorripsisAchorripsis, grego para “jatos sonoros”, foi , grego para “jatos sonoros”, foi composta em 1957.composta em 1957.

Xenakis coloca o seguinte problema: supondo que Xenakis coloca o seguinte problema: supondo que M pontos possam aparecer com a única condição M pontos possam aparecer com a única condição de que eles obedeçam a uma lei aleatória sem de que eles obedeçam a uma lei aleatória sem memória (isto é, cujo resultado observado até um memória (isto é, cujo resultado observado até um instante dado não influencia os resultados instante dado não influencia os resultados futuros). futuros).

Admitindo que existem poucos pontos Admitindo que existem poucos pontos distribuídos num plano - superfície (baixa distribuídos num plano - superfície (baixa densidade), a lei (variável aleatória com densidade), a lei (variável aleatória com distribuição) de Poisson é aplicável.distribuição) de Poisson é aplicável.

Usando essa lei, diz Xenakis, é possível obter um Usando essa lei, diz Xenakis, é possível obter um máximo de assimetria com um mínimo de regras.máximo de assimetria com um mínimo de regras.

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Fases fundamentais de uma obra musical segundo o Fases fundamentais de uma obra musical segundo o capítulo I do livro “Formalized music: thought and capítulo I do livro “Formalized music: thought and mathematics in composition”, de Iannis Xenakis:mathematics in composition”, de Iannis Xenakis:

1. concepções iniciais (intuição). 1. concepções iniciais (intuição). 2. definição de entidades sônicas (material 2. definição de entidades sônicas (material

sonoro).sonoro). 3. definição das transformações (macro-3. definição das transformações (macro-

composição).composição). 4. micro-composição.4. micro-composição. 5. seqüenciamento (esquema da obra como um 5. seqüenciamento (esquema da obra como um

todo).todo). 6. implementação de cálculos e correções.6. implementação de cálculos e correções. 7. resultado simbólico final (notação musical).7. resultado simbólico final (notação musical). 8. realização sônica (execução da obra).8. realização sônica (execução da obra).

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O esquema macro-composicional de Achorripsis.O esquema macro-composicional de Achorripsis.

Hipóteses iniciais:Hipóteses iniciais:

““1. Num determinado espaço existem homens e 1. Num determinado espaço existem homens e instrumentos musicais. 2. Há meios de contato instrumentos musicais. 2. Há meios de contato entre esses homens e os instrumentos que entre esses homens e os instrumentos que permitem a emissão de eventos sônicos raros*” permitem a emissão de eventos sônicos raros*”

[2][2]

*isto é: fragmentos melódicos, células musicais, *isto é: fragmentos melódicos, células musicais, aglomerações, etc, também controlados por leis aglomerações, etc, também controlados por leis aleatórias, sob a condição de que eles não ocorrem aleatórias, sob a condição de que eles não ocorrem freqüentemente (com freqüência alta) durante a freqüentemente (com freqüência alta) durante a música (eventos sonoros esparsos no tempo).música (eventos sonoros esparsos no tempo).

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As variáveis da matriz de vetores (esquema de As variáveis da matriz de vetores (esquema de macro-composição):macro-composição):

1. A Variável Aleatória de Poisson.1. A Variável Aleatória de Poisson. 2. O parâmetro (média*) λ.2. O parâmetro (média*) λ. 3. O número de células, colunas e linhas.3. O número de células, colunas e linhas.

* a média é o valor esperado da função, mas não * a média é o valor esperado da função, mas não necessariamente o que mais ocorre. Ela é necessariamente o que mais ocorre. Ela é entendida como centro de massa – gravidade; entendida como centro de massa – gravidade; isto é, ponto de equilíbrio da variável aleatória. isto é, ponto de equilíbrio da variável aleatória.

Exemplo: espera-se que, para um jogo de cara ou Exemplo: espera-se que, para um jogo de cara ou coroa, cara valendo 0 e coroa valendo 1, o coroa, cara valendo 0 e coroa valendo 1, o resultado seja 0.5, ou seja, a média desse jogo é resultado seja 0.5, ou seja, a média desse jogo é 0.5 (e no entanto 0.5 não é cara nem coroa: não 0.5 (e no entanto 0.5 não é cara nem coroa: não é nem um resultado possível de uma jogada!).é nem um resultado possível de uma jogada!).

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Colunas: intervalos de tempo (cada uma com 6.5 tempos).Colunas: intervalos de tempo (cada uma com 6.5 tempos). Linhas: tipos de eventos sonoros.Linhas: tipos de eventos sonoros. Matriz com 28 colunas e 7 linhas; 28x7 = 196 células.Matriz com 28 colunas e 7 linhas; 28x7 = 196 células.

X~Poi(λ)X~Poi(λ) P(X=k) = λP(X=k) = λkkee-k-k/k!/k! λλ = 0.6 eventos/célula.= 0.6 eventos/célula. k = 0; 1; 2; 3; 4; 5.k = 0; 1; 2; 3; 4; 5. e = 2,71828…e = 2,71828… 5! = 5x4x3x2x1. 0! = 1.5! = 5x4x3x2x1. 0! = 1.

Poisson é usada para estimar número de eventos em Poisson é usada para estimar número de eventos em determinada quantidade de tempo, especialmente quando determinada quantidade de tempo, especialmente quando a ocorrência desses eventos é rara (de freqüência baixa).a ocorrência desses eventos é rara (de freqüência baixa).

Xenakis calcula então a probabilidade de que exista, em Xenakis calcula então a probabilidade de que exista, em uma determinada célula, um evento sonoro com densidade uma determinada célula, um evento sonoro com densidade 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Ele despreza a possibilidade de valores 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Ele despreza a possibilidade de valores acima de 5 porque tem probabilidade muito baixa.acima de 5 porque tem probabilidade muito baixa.

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Resultados:Resultados: k=0 k=0 P(X=0) = 0.5488P(X=0) = 0.5488 k=1k=1 pp11 = 0.3293 = 0.3293 k=2k=2 pp22 = 0.0988 = 0.0988 k=3k=3 pp33 = 0.0198 = 0.0198 k=4k=4 pp44 = 0.0030 = 0.0030 k=5k=5 pp55 = 0.0004 = 0.0004

Problema:Problema: Na década de 90 a simulação de variáveis aleatórias é Na década de 90 a simulação de variáveis aleatórias é

bastante utilizada, isto é, hoje em dia podemos simular bastante utilizada, isto é, hoje em dia podemos simular para as 196 células quais seriam suas densidades sonoras; para as 196 células quais seriam suas densidades sonoras; o resultado da simulação seria aproximadamente o resultado da simulação seria aproximadamente proporcional aos valores das probabilidades obtidos acima.proporcional aos valores das probabilidades obtidos acima.

Mas Xenakis escreveu a peça em 1957! Assim foi obrigado Mas Xenakis escreveu a peça em 1957! Assim foi obrigado a utilizar os valores das probabilidades como se fossem a utilizar os valores das probabilidades como se fossem proporções fixas, isto é, teve de multiplicar cada valor de proporções fixas, isto é, teve de multiplicar cada valor de probabilidade por 196.probabilidade por 196.

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Distribuição de Poisson λ = 0,6

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

p0 p1 p2 p3 p4 p5

Evento com densidade sonora n

Pro

ba

bil

ida

de

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Número de células com densidade k:Número de células com densidade k: nn00 = 0.5488x196 = 107 células com densidade 0 = 0.5488x196 = 107 células com densidade 0 nn11 = 0.3293x196 = 65 = 0.3293x196 = 65 nn22 = 0.0988x196 = 19 = 0.0988x196 = 19 nn33 = 0.0198x196 = 4 = 0.0198x196 = 4 nn44 = 0.0030x196 = 1 = 0.0030x196 = 1 nn55 = 0.0004x196 = 0 = 0.0004x196 = 0

Para que sua peça fosse assimétrica, Xenakis deveria Para que sua peça fosse assimétrica, Xenakis deveria arrumar um jeito de tornar a disposição dos eventos sonoros arrumar um jeito de tornar a disposição dos eventos sonoros (cada um com uma densidades específica) na matriz (cada um com uma densidades específica) na matriz parecida com o que hoje seria o resultado de uma simulação parecida com o que hoje seria o resultado de uma simulação computacional. computacional.

Ou seja, a distribuição de Poisson não deveria ser usada Ou seja, a distribuição de Poisson não deveria ser usada meramente como geradora de proporções de eventos e meramente como geradora de proporções de eventos e densidades relacionadas.densidades relacionadas.

Xenakis resolve então reaplicar a distribuição de Poisson Xenakis resolve então reaplicar a distribuição de Poisson para as colunas e as linhas.para as colunas e as linhas.

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Se existem 28 colunas e m células com densidade k, então Se existem 28 colunas e m células com densidade k, então a média de células com densidade k por coluna é igual a a média de células com densidade k por coluna é igual a λλkk = m/28. = m/28.

É necessário reaplicar a distribuição de Poisson para cada É necessário reaplicar a distribuição de Poisson para cada uma das 5 densidades possíveis de eventos sonoros.uma das 5 densidades possíveis de eventos sonoros.

Ex: Ex: λλ11 = 65/28 = 2,32. = 65/28 = 2,32. A probabilidade de que existam k eventos de densidade A probabilidade de que existam k eventos de densidade

sonora 1 numa coluna é então calculada. Multiplicando o sonora 1 numa coluna é então calculada. Multiplicando o resultado por 28 temos que 3 colunas não tem evento com resultado por 28 temos que 3 colunas não tem evento com densidade 1, 6 colunas tem um evento com densidade 1, 7 densidade 1, 6 colunas tem um evento com densidade 1, 7 colunas tem dois eventos de densidade 1 cada, etc...colunas tem dois eventos de densidade 1 cada, etc...

E assim temos mais cálculos!E assim temos mais cálculos!

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Se existem 7 linhas e m células com densidade k, então a Se existem 7 linhas e m células com densidade k, então a média de células com densidade k por coluna é igual a média de células com densidade k por coluna é igual a λλkk = = m/7. m/7.

É necessário reaplicar a distribuição de Poisson para cada É necessário reaplicar a distribuição de Poisson para cada uma das 5 densidades possíveis de eventos sonoros.uma das 5 densidades possíveis de eventos sonoros.

Ex: Ex: λλ11 = 65/7 = 9,3. = 65/7 = 9,3. A probabilidade de que existam k eventos de densidade A probabilidade de que existam k eventos de densidade

sonora 1 numa linha é então calculada. Multiplicando o sonora 1 numa linha é então calculada. Multiplicando o resultado por 7 temos que 0,57 linhas tem 0 eventos de resultado por 7 temos que 0,57 linhas tem 0 eventos de densidade 1, 0,76 linhas tem 1 evento de densidade 1, 0,89 densidade 1, 0,76 linhas tem 1 evento de densidade 1, 0,89 linhas tem dois eventos de densidade 1, etc... linhas tem dois eventos de densidade 1, etc...

Aqui é interessante notar que os arredondamentos desses Aqui é interessante notar que os arredondamentos desses valores são feitos de maneira totalmente arbitrária por valores são feitos de maneira totalmente arbitrária por Xenakis.Xenakis.

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O jogo.O jogo. Agora Xenakis deve seguir sua rede de Agora Xenakis deve seguir sua rede de

proporções...proporções... Ex: para eventos com densidade 3; 4 linhas não Ex: para eventos com densidade 3; 4 linhas não

os têm, 2 linhas têm um evento, 1 linha tem dois os têm, 2 linhas têm um evento, 1 linha tem dois eventos. 24 colunas não os têm, 3 colunas têm 1 eventos. 24 colunas não os têm, 3 colunas têm 1 evento. evento.

Mas o quanto isso é distante dos resultados Mas o quanto isso é distante dos resultados obtidos através de uma simulação obtidos através de uma simulação computacional?computacional?

E quando é melhor usar um cálculo proporcional E quando é melhor usar um cálculo proporcional ao invés de uma simulação?ao invés de uma simulação?

(temos sempre que considerar a quantidade de (temos sempre que considerar a quantidade de eventos sonoros...)eventos sonoros...)

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Xenakis não segue rigorosamente os valores por Xenakis não segue rigorosamente os valores por ele obtidos através dos cálculos... (além de ele obtidos através dos cálculos... (além de interferir nos arredondamentos)interferir nos arredondamentos)

1. “Os valores colocados na matriz não são 1. “Os valores colocados na matriz não são sempre rigorosamente definidos. Dada uma sempre rigorosamente definidos. Dada uma média média λλ, eles dependem do número de linhas e , eles dependem do número de linhas e colunas da matriz.Quanto maior o número de colunas da matriz.Quanto maior o número de linhas e colunas, mais rigorosa será a definição. linhas e colunas, mais rigorosa será a definição. Essa é a Lei dos Grandes Números*”.Essa é a Lei dos Grandes Números*”.

2. Certas indeterminações permitem maior 2. Certas indeterminações permitem maior liberdade artística, uma das portas que se abrem liberdade artística, uma das portas que se abrem ao subjetivismo do compositor.ao subjetivismo do compositor.

* na verdade, esse não é o enunciado da Lei dos * na verdade, esse não é o enunciado da Lei dos Grandes Números; ocorre que, para uma matriz Grandes Números; ocorre que, para uma matriz com mais células, são necessários menos com mais células, são necessários menos arredondamentos nos cálculos, o que torna os arredondamentos nos cálculos, o que torna os resultados mais rigorosos e livres de intervenção resultados mais rigorosos e livres de intervenção humana. humana.

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No infinito...No infinito... Mais importante que explicar a Lei dos Grandes Números é Mais importante que explicar a Lei dos Grandes Números é

perceber como Xenakis utiliza os valores de probabilidade perceber como Xenakis utiliza os valores de probabilidade que ele recebeu e os transforma em proporções. De fato, que ele recebeu e os transforma em proporções. De fato, no infinito os valores de probabilidade se estabilizam em no infinito os valores de probabilidade se estabilizam em valores fixos; por exemplo, se fosse possível jogar uma valores fixos; por exemplo, se fosse possível jogar uma moeda balanceada infinitas vezes teríamos a certeza de moeda balanceada infinitas vezes teríamos a certeza de que metade dos resultados seria cara e metade seria que metade dos resultados seria cara e metade seria coroa...coroa...

Em todo experimento real só podemos observar finitos Em todo experimento real só podemos observar finitos valores assumidos por nossa variável aleatória. Quanto valores assumidos por nossa variável aleatória. Quanto maior o número de observações, mais podemos dizer sobre maior o número de observações, mais podemos dizer sobre sua natureza, e menos desvios (valores estranhos) ao sua natureza, e menos desvios (valores estranhos) ao nosso modelo probabilístico (uma distribuição, por nosso modelo probabilístico (uma distribuição, por exemplo) teremos.exemplo) teremos.

Quanto nós críamos sons podemos querer que esses Quanto nós críamos sons podemos querer que esses desvios se manifestem mais ou menos!desvios se manifestem mais ou menos!

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A Matriz – Esquema Macro-composicional.A Matriz – Esquema Macro-composicional.

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3. Bibliografia.3. Bibliografia.

[1] XENAKIS, I. Formalized Music: thought and mathematics [1] XENAKIS, I. Formalized Music: thought and mathematics in composition. New York, Pendragon Press, 1992 (pag. in composition. New York, Pendragon Press, 1992 (pag. 202)202)

[2] XENAKIS, I. Formalized Music: thought and mathematics [2] XENAKIS, I. Formalized Music: thought and mathematics in composition. New York, Pendragon Press, 1992 (pag. 24)in composition. New York, Pendragon Press, 1992 (pag. 24)

[3] PANIAGUA, G. "[3] PANIAGUA, G. "Ancient Greek Music - notas de programa Ancient Greek Music - notas de programa do CD Musique de la GRÈCE ANTIQUEdo CD Musique de la GRÈCE ANTIQUE“. Harmonia Mundi, “. Harmonia Mundi, 2000.2000.

[4] ARSENAULT, L. "[4] ARSENAULT, L. "Iannis Xenakis’s Achorripsis: the Matrix Iannis Xenakis’s Achorripsis: the Matrix Game” Game” Computer Music Journal, M.I.T. Press, Cambridge, Computer Music Journal, M.I.T. Press, Cambridge, 26:1, (58,72), 2002.26:1, (58,72), 2002.

[5] CHILDS, E. “[5] CHILDS, E. “Achorripsis: a sonification of probability Achorripsis: a sonification of probability distributions”distributions” Proceedings of the 2002 International Proceedings of the 2002 International Conference on Auditory Display, Kyoto, Japan, July 2-5, Conference on Auditory Display, Kyoto, Japan, July 2-5, 2002.2002.

[6] MOOD, A.; GRAYBILL,F.; BOES, D. Introduction to the [6] MOOD, A.; GRAYBILL,F.; BOES, D. Introduction to the theory os statistics. New York. McGraw-Hill inc. 1974.theory os statistics. New York. McGraw-Hill inc. 1974.