PERCOLAÇÃO DA AGUA -MECSOLOS2

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PERCOLAÇÃO DE ÁGUA NO SOLO

FLUXOSUNI-DIMENSIONAL (1-D)BI-DIMENSIONAL (2-D)

TRI-DIMENSIONAL (3-D)

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Percolação

É o fluxo da água através de um maciço e sua interação com as partículas do solo. Em muitos casos a água não percola através do solo em apenas uma direção, nem é uniforme ao longo de toda área perpendicular ao fluxo. Essa interação é importante, principalmente, em:

• Quantidade (volume) de água que se perde através do maciço de uma barragem ou pelo solo aonde a obra se apóia

• Obras de Terra e Fundações

Os esforços exercidos nas partículas do solo em virtude da percolação da água recebem o nome de forças ou pressões de percolação.

2

3

CONDIÇÕES DE FLUXO:

Uni-Dimensional (1-D): aquele onde os vetores velocidade (v) são todos paralelos e de mesma magnitude. Ou seja, a água sempre se move paralela a algum eixo e através de uma área de seção transversal constante (Fig. 1)

Exemplo: ensaio de permeabilidade

Figura 1 – Fluxo 1-D

Trajetória das partículas de água –Fluxo em condição 1-D

4


Bi-Dimensional (2-D): aquele em que os vetores velocidade (v) são todos confinados num simples plano, porém, variam em direção e magnitude dentro daquele plano. Como exemplo, mostra-se o fluxo de água em um solo natural por baixo de um maciço com paredes de concreto (Fig. 2)

Maciço de uma extensa escavação

Figura 2 – Fluxo 2-D

Trajetória das partículas de água –Fluxo em condição 2-D

canalvz

vx

3

5


Bi-Dimensional (2-D):

Como exemplo também, é mostrado o fluxo de água em um solo natural por baixo de uma barragem de concreto (Fig. 3)

Barragem de concreto

Cortina de estacas

reservatório

solo

Barragem de concreto

vx

vz

v

Figura 3 – Situações práticas de Fluxo 2-D

6

CONDIÇÕES DE FLUXO (2-D):

Figura 4 - Cofferdam at Montgomery Point Lock, USA (Courtesy: U.S.Army Corps of Engineers 2004)

Cofferdam: estrutura de contenção temporária ou permanente, especialmente construída para separar a água do solo.

4

7

SITUAÇÃO TÍPICA DE FLUXO 2-D:

8


Bi-Dimensional (3-D): Condição mais geral do fluxo em meio poroso. Éestabelecido quando os vetores velocidade variam segundo três direções ortogonais, ou seja, os vetores velocidade terão três componentes paralelas às direções dos eixos x, y e z.

Figura 5 – Trajetórias das partículas da água em Fluxo 3-D

vz

vx

vy

5

9

CONDIÇÕES DE FLUXO

Estacionário: a taxa de fluxo se mantém constante com o tempo

Transiente: a taxa de fluxo se varia com o tempo

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RELEMBRANDO A LEI DE DARCY – Fluxo 1-D

Darcy, em 1856, estabeleceu uma fórmula empírica para prever o comportamento do fluxo em solos saturados. A quantidade de água que flui por uma seção transversal (A), sob um gradiente hidráulico (i), pode ser expressa por:

kiA=q

onde:

q = vazão (m3/s; cm3/s; l/s; etc)

k = constante, chamada condutividade hidráulica ou coeficiente de permeabilidade

v = velocidade com que a água percola no solo

i = gradiente hidráulico

kiAq

==v

6

11

PERCOLAÇÃO COM FLUXO 2-D

Em geral, a Lei de Darcy não pode ser aplicada diretamente ao caso do fluxo 2-D por causa do gradiente hidráulico (i) e da área (A) variarem durante o regime do fluxo.

Neste caso, como as análises são mais complexas que o caso 1-D, que pode ser resolvido facilmente pela Lei de Darcy, torna-se necessária a incorporação de uma função matemática que represente o fluxo, denominada “Equação de Laplace”.

Tomemos o seguinte elemento de solo:

Numa seção vertical, considerar as seguintes hipóteses:

i) Válida a lei de Darcy

ii) O solo é saturado (S = 100%)

iii) O elemento se mantém com

as dimensões constantes

ENTRA

SAI

ENTRA

SAI

12

PERCOLAÇÃO COM FLUXO 2-D

Numa seção vertical, considerar as seguintes hipóteses:

iv) Solo homogêneo (k = cte)

v) Solo isotrópico (kx = ky ≠ kz)

vzvx

7

13

yzxx ddvq =Quantidade de água que entra na face dzdy:

Quantidade de água que sai da face dzdy:

yzxx

xx dddxvvq

∂∂

+=

onde dzdy = área da face zy

Quantidade de água que entra na face dxdy:

yxzz ddvq =

Quantidade de água que sai da face dxdy:

yxzz

zz dddzvvq

∂∂

+=onde dxdy = área da face xy

qx

(entra)

qx

(sai)

qz (sai)

qz (entra)

CASO GERAL DE PERCOLAÇÃODireção “x”:

Direção “z”:

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zxyy ddvq =

Quantidade de água que entra na face dxdz:

Quantidade de água que sai da face dzdy:

zxyy

yyy ddd

vvq

∂∂

+=

onde dxdz = área da face xz

qy (entra)

qy (sai)Direção “y”:

8

15

yxzz

zzxyy

yyzxx

xyxzzxyyzx dddzvvddd

yv

vdddxvvddvddvddv

∂∂

++

∂

∂++

∂∂

+=++

Obtenção da Equação da Continuidade:A quantidade de água que entra no elemento = a quantidade de água que sai do elemento

ENTRA = SAI

qx + qy + qz qx + qy + qz

qx

qy

qz

Logo, teremos:

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yxzz

zzxyy

yyzxx

xyxzzxyyzx dddzvvddd

yv

vdddxvvddvddvddv

∂∂

++

∂

∂++

∂∂

+=++

PORTANTO, TEREMOS QUE:

0=∂∂

+∂

∂+

∂∂

z

z

y

y

x

x vvv Condição para que haja a continuidade do fluxo no meio poroso

yxzz

yxzzxyy

yzyyzxx

yzxyxzzxyyzx dddzvddvddd

yv

ddvdddxvddvddvddvddv

∂∂

++

∂

∂++

∂∂

+=++

Eliminando-se os termos semelhantes, teremos:

0=

∂∂

+

∂

∂+

∂∂

yxzz

zxyy

yzxx ddd

zvddd

yv

dddxv

Ou ainda:

0=

∂∂

+

∂

∂+

∂∂

yxzz

zxyy

yzxx ddd

zvddd

yv

dddxv Ora, 0≠=Vddd yzx

DAÍ, TEREMOS QUE:

OU

9

17

Da Lei de Darcy, sabemos:

zhkv

yhkv

xhkv zzyyxx ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−=

Substituindo vx, vy e vz na equação anterior, teremos:

0

aindaou

0

2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

zhk

yhk

xhk

zhk

zyhk

xhk

zyx

zyy

xx

Equação Geral de (Laplace), Fluxo 3-D

0=∂∂

+∂

∂+

∂∂

z

z

y

y

x

x vvv

SE kx = ky = kz (isotropia), vem:

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zh

yh

xh

(Condição anisotrópica)

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Simplificando para o caso 2-D, teremos:

0

aindaou

0

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

=

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

zhk

xhk

zhk

zxhk

zx

zxx

SE kx = kz, vem:

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

zh

xh

0=

∂∂

−∂∂

yhk y

y

EQUAÇÃO DE LAPLACE PARA O CASO DE FLUXO 2-D: meio anisotrópico

EQUAÇÃO DE LAPLACE PARA O CASO DE FLUXO 2-D: meio isotrópico

10

19

SOLUÇÕES EXISTENTES PARA A EQUAÇÃO DE LAPLACE

MÉTODOS ANALÍTICOS: Resultam da integração da equação diferencial do fluxo. Essa solução é aplicável somente em casos simples, devido à complexidade do tratamento matemático.

SOLUÇÃO NUMÉRICA: Consiste na aplicação de métodos numéricos para a solução da Equação de Laplace através de programas de computador. Ex. MEF (Método dos Elementos Finitos).

MODELOS REDUZIDOS: Consiste em construir num tanque com paredes transparentes um modelo reduzido do meio que vai sofrer percolação.

SOLUÇÃO GRÁFICA: É o mais comum dos métodos. São as Redes de Fluxo

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SOLUÇÃO COM REDE DE FLUXO

CASO 1-D:Cargas na face inferior AB:

Cargas na face superior CD:

cm 20cm 20

cm 0

=

==

t

p

e

hhh

cm 14cm 2cm 12

=

==

t

p

e

hhh

C

BA

D

RN

11

21


Vamos analisar a questão à luz da rede de fluxo:

Qualquer partícula que penetra na face inferior da areia se desloca para a face superior segundo uma linha reta. Esta linha chama-se LINHA DEFLUXO.As próprias paredes verticais do permeâmetro são linhas de fluxo. Tracemos algumas linhas de fluxo, por exemplo, a cada 2 cm de largura, formando 4 faixas limitadas por estas linhas, cujas faixas chamamos CANAIS DE FLUXO. A vazão é igual em cada canal, uma vez que todos têm a mesma largura. Com relação às cargas, em qualquer ponto das faces inferior e superior, elas têm o mesmo valor. Por isso, a linha que as representa é chamada de LINHA EQUIPOTENCIAL. No caso do permeâmetro com fluxo vertical, qualquer linha horizontal éuma equipotencial. Se traçarmos linhas equipotenciais a cada 2 cm, a distância total de percolação fica dividida em 6 faixas de mesmo potencial, sendo que a perda de potencial (ou de carga) em cada faixa éigual a 1cm (6cm/6).

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Estas linhas equipotenciais fazem um ângulo de 90° com as linhas de fluxo e formam retângulos de 2 cm x 2 cm. O conjunto constituído de linhas de fluxo e linhas de equipotenciais forma a REDE DE FLUXO.

12

23


A rede de fluxo é a representação gráfica dos caminhos percorridos pela água no maciço, e possui os seguintes elementos):

Canal de fluxo: região compreendida entre duas linhas de fluxo

Perda de carga: é a perda de carga entre duas linhas de equipotenciais = ∆h/ND

Número de canais de fluxo = Nf = 4

Número de faixas de equipotenciais = ND = 6

Largura do canal de fluxo = b = 2 cm

Distância entre equipotenciais = l = 2 cmCkq

64.6.=Vazão:

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FLUXO BIDIMENSIONAL

A areia está contida pelas telas AB e CD, ortogonais às paredes do

permeâmetro. Vamos discriminar os elementos da rede de fluxo. As

distâncias AB e CD são iguais a 10cm e os arcos AC e BD medem 12

cm e 24cm, respectivamente.

13

25

FLUXO BIDIMENSIONAL

Portanto, da figura, temos:

N° de linhas de fluxo = 7N° de canais de fluxo = 6 (linhas – 1)N° de linhas de equipotenciais = 13N° de quedas de equipotenciais = 12 (equi –1)Gradiente sobre o arco AC = 6/12 = 0,5Gradiente sobre o arco BD = 6/24 = 0,25

A vazão em cada canal será, portanto: blhkq .. ∆=

l

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Rede de Fluxo

• A rede de fluxo é a solução gráfica da equação de Laplace, composta de dois grupos de curvas perpendiculares entre si (linhas de fluxo e linhas equipotenciais), formando quadrados curvilíneos.

14

27

INTERPRETANDO A REDE DE FLUXO

PARA UMA REDE DE FIGURAS QUADRADAS, TEREMOS:

;d f

d

h Qh QN Nh hiL N L

Q k i A

∆ = ∆ =

∆= =

⋅

∆ = ⋅ ⋅

1d

fd

hQ k aN Lh aQ k N a LN L

∆ = ⋅ ⋅ ⋅⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ → =

f

d

NQ k hN

= ⋅ ⋅ f

d

NQ k h CN

= ⋅ ⋅ ⋅ou

CNNhzkxkq

D

f ⋅∆=Se o meio for anisotrópico

Se o meio for isotrópico

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FLUXO BIDIMENSIONAL

Interpretação de rede de fluxo

A vazão total (sobre todo o elemento poroso) vale:

Onde: e

C = comprimento da seção submetida ao fluxo.

CNN

hkqD

f..=

DNh h=∆ lNl

hiD

h.=∆=

15

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CONDIÇÕES DO FLUXO

Diz-se que um fluxo é CONFINADO quando a região de percolação

no maciço possui as quatro condições seguintes:

i) Superfície de entrada (equipotencial de carga máxima)

ii) Superfície de saída (equipotencial de carga mínima)

iii) Linha de fluxo superior

iv) Linha de fluxo inferior

1) FLUXO CONFINADO

reservatório

soloimpermeável

i iiiii

iv

30

EXEMPLO DE REDE DE FLUXO EM MEIO CONFINADO

16

31

CONDIÇÕES DO FLUXO

Diz-se que um fluxo é NÃO confinado quando não existe uma das

condições de fluxo confinado.

2) FLUXO NÃO CONFINADO

Permeável

Linha de fluxo superior

Superfície de saída

Superfície de entrada

(não há linha de fluxo inferior)

32

Exercício – Determinar a vazão que passa no sistema

40

0

90

30

0100

k = 0,001 cm/seg

Linha equipotencial ht cte

17

33

=⋅=⋅−

= 1x30100

40)-(90 0,001 A

Lhtf)(hti

kQ

Solução 1: Tradicional

cmscm /3015,0Q =

Darcy) de Lei( ⋅⋅= AikQ

34

Exercício – Determinar a vazão que passa no sistema mostrado

40

0

90

30

0

100

k = 0,001 cm/seg

Dividir como quero mas sempre em quadrados.

90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40

ht é uma linha

18

35

Valem as duas equações!!!

nf = número de canais de fluxo;nd = número de regiões entre equipotenciais.

Solução 2: Rede de Fluxo

( ) cmscmC 3015,0103

.dnfn

hk Q =40−90 0,001 = ∆=

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Exemplo de Rede de Fluxo – Caso 2-D

Linhas equipotenciais com mesma carga

4 canais de fluxo e 12 regiões equipotenciais

Linhas de fluxo (da água)

19

37

Exemplo – Caso 2-D: Rede de fluxo na fundação da barragem de

concreto

• Vazão é determinada pela fórmula:D

nhkQ fn

=

38

Interpretação de Rede de Fluxo

• No exemplo considerado, existem 4 canais de fluxo e 12 faixas de perda de potencial. Para um k =10-4

m/s, por exemplo, Q = 10-4 x 6 x 4/12 = 2 x 10-4 m3/s (cerca de 0,72m3/hora) por metro de comprimento de barragem.

20

39

• GRADIENTES:a diferença de carga total que provoca percolação, dividida pelo número de faixas de perda de potencial, indica a perda de carga de uma equipotencial para a seguinte. No exemplo considerado, a perda de carga entre equipotenciais consecutivas é de 6/12 = 0,5 m. Esta perda de carga dividida entre as equipotenciais é o gradiente.

40

3,70m

9,00m

1,0m

K=1x10-4 m/s

Para o sistema de fluxo abaixo calcular a vazão que passa pela fundação.

ht = 12,7m

ht = 10,0m

( ) sx /3m41035,184

.107,12.410N

ht kQD

fN −=−−=∆=

Vazão:

21

41

REDE DE FLUXO SOB UMA CORTINA DE ESTACAS

42

REDE DE FLUXO

NA2

NA1

C= 50 m

Rocha Impermeável

Cortina de Estacas Prancha

9,0 m

1,5 m

a

LK = 0,5x10-6 cm/s

NA2

NA1

C= 50 m

Rocha Impermeável

Cortina de Estacas Prancha

9,0 m

1,5 m

a

LK = 0,5x10-6 cm/s

Calcular a vazão de água que atravessa o solo por baixo da cortina de estacas.

22

43

REDE DE FLUXO

( )6

3

48

900 150 7505000

40,5 10 750 50008

0,94

f

d

NNh cmC cm

Q

Q cm s

−

= =

= − ==

= × × × ×

=

Calcular a vazão de água que atravessa o solo por baixo da cortina de estacas.

44

Consiste no traçado, à mão livre, das diversas possíveis linhas de fluxo e equipotenciais. As linhas equipotenciais cortam as linhas de fluxo segundo ângulos retos e os elementos deverão ser sempre que possíveis quadrados.

A rede de fluxo define:

Número de canais de fluxo (Nf);Número de faixas de perda de potencial (Nd).

MÉTODO GRÁFICO PARA TRAÇADO DE

REDES DE FLUXO

23

45

REDE DE FLUXO

Recomendações Gerais para o Traçado de Redes de Fluxo:

• procurar estudar redes de fluxo já construídas• usar poucos canais de fluxo (de 4 a 5) nas primeiras

tentativas• acertar a rede no seu todo, depois cuidar dos detalhes• as transições entre trechos retos e curvos das linhas

devem ser suaves. Em cada canal, o tamanho dos “quadrados” varia gradualmente.

46

Quando os coeficientes de permeabilidade são diferentes nas duas direções (kx ≠ kz), o traçado da rede de fluxo requer que seja desenhada previamente uma seção transformada, multiplicando-se a dimensão horizontal pelo resultado de

obtendo-se:

Mantendo-se a outra dimensão (z) inalterada.

Exemplo: Para kx = 4 kz, tem-se:

x

zk

k

⋅=

x

zk

kxx'

Fluxo em meio anisotrópico

xxx ⋅=

⋅= 5,04

1'

24

47

EXEMPLOS DE REDE DE FLUXO EM MEIOS ANISOTRÓPICOS

48

REDE DE FLUXO

EXEMPLO:

NA2

NA1

C

13

4

5 6 7

8 9

Rocha Impermeável

2

Barragem de Concreto

NA2

NA1

C

13

4

5 6 7

8 9

Rocha Impermeável

2

Barragem de Concreto

1 – 2: linha equipotencial6 – 7: linha equipotencial

2 – 3 – 4 – 5 – 6: linha de fluxo superior8 – 9: linha de fluxo inferior

25

49

REDE DE FLUXO

PARÁBOLA BÁSICA

50

REDE DE FLUXO

TRAÇADO DA PARÁBOLA BÁSICA

Foco

26

51

A parábola é uma curva que define o lugar geométrico dos

pontos que equidistam de um ponto, denominado foco e

de uma diretriz. No caso em questão, conhecem-se dois

pontos da parábola, D e F (foco).

Para a determinação gráfica da posição da parábola, deve-

se seguir o seguinte roteiro:

TRAÇADO DA PARÁBOLA BÁSICA

52

ROTEIRO:

• Marcar o ponto D tal que DC= (1/3 a 1/4) AC;• Centro em D e raio DF, determinar o ponto E sobre a horizontal do prolongamento do nível d'água;

• Traçar uma vertical por E e determinar o segmento EG, a diretriz da parábola;

• Dividir GF ao meio e obter o ponto N que é a origem da parábola;

• Traçar uma vertical por N e obter o segmento NM;• Dividir NM e DM em parte iguais;• Ligar os pontos de divisão de DM ao ponto N, formando retas inclinadas ou linhas auxiliares radiais;

• Traçar linhas auxiliares horizontais passando pelos pontos de divisão do segmento NM;

• A intersecção das linhas auxiliares radiais com as linhas auxiliares horizontais determina os pontos da parábola.

27

53

A PARÁBOLA

54

NAD E

GN

M12345

DETERMINAÇÃO DA PARÁBOLA BÁSICA PARA TRAÇADO DA REDE DE FLUXO

F

28

55

NA

FINALIZAÇÃO DA REDE DE FLUXO

Nf = 4 Nd = 9

56

POSIÇÕES DO FOCO, F, DE ACORDO COM A FORMA DO FILTRO DA BARRAGEM

a) Tapete b) Chaminé c) filtro de pé d) sem filtro

29

57

CONDIÇÕES DE ENTRADA DA LINHA FREÁTICA NO MACIÇO DE TERRA

58

EXEMPLO DE REDE DE FLUXO EM MEIO CONFINADO

30

59

EXEMPLOS DE REDE DE FLUXO

60

EXEMPLOS DE REDE DE FLUXO

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