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5 Perdas por Atrito em Escoamento Separado
Neste capítulo dedicaremos atenção à estimativa do atrito em escoamentos separados.
Basicamente procuraremos obter o gradiente de pressão devido ao atrito viscoso em escoamentos
bifásicos (ou de dois componentes) em regime permanente em dutos com seção transversal
constante. Admite-se que esses escoamentos consistem de duas correntes que escoam
separadamente, denominadas de gás e líquido, embora possam ser igualmente tratados para
quaisquer outros dois fluidos imiscíveis.
O modelo de escoamento bifásico separado considera que as duas fases podem ter
propriedades físicas e velocidades distintas. Na versão mais complexa as equações de
conservação de massa, quantidade de movimento e energia são consideradas para cada fase,
constituindo seis equações que devem ser resolvidas simultaneamente, juntamente com equações
que relacionam o processo de interação entre as fases e com a parede do duto (usualmente
transferência de quantidade de movimento e energia). Na versão mais simples, somente um
parâmetro, como a velocidade, difere entre as fases, enquanto as equações de conservação são
escritas na forma combinada. Quando o número de incógnitas excede o número de equações
correlações ou hipóteses simplificadoras são introduzidas.
Na literatura encontramos uma vastíssima quantidade de correlações para a perda de
pressão devido ao atrito viscoso. Em geral essas expressões estão associadas a áreas específicas
de aplicação como centrais nucleares, petróleo e sistemas biológicos, para as quais dados foram
levantados para atender demandas particulares de geometria, características de fluidos, condições
de escoamento e ambiente. Aqui só faremos uma breve menção a algumas dessas correlações,
concentrando nos conceitos básicos dos diversos modelos. Uma pesquisa à literatura é
fundamental para melhor conhecer as aplicações de interesse particular.
5.1
(5.1.1)
5.1- Modelos Separados sem Transferências na Interface
5.1.1 Modelo de Lockhart-Martinelli 1
O modelo de Lockhart-Martinelli está entre os mais antigos para o atrito bifásico em dutos
horizontais. Ainda é utilizado na indústria de processo, sendo muito simples de aplicação,
embora nem sempre muito preciso. Correlações utilizam os resultados do gradiente de pressão
do escoamento monofásico de cada um dos fluidos. Por outro lado, no escoamento bifásico, a
fração volumétrica freqüentemente varia ao longo do duto, induzindo uma aceleração no
escoamento. Associado a esta aceleração está a componente do termo correspondente do
gradiente de pressão que será tratado no parágrafo seguinte na análise da correlação de
Martinelli-Nelson. As correlações admitem que as massas específicas dos fluidos permanecem
constantes e o componente do gradiente de pressão devido à gravidade não é considerado; ou
seja, o modelo é desenvolvido para escoamento em dutos horizontais.
Um balanço de forças para regime permanente em escoamento monofásico no duto, Fig.
5.1, requer que
onde P e A representam, respectivamente, o perímetro e a área da seção transversal e ôw é a
tensão cisalhante na parede do duto. Para um duto circular P/A= 4/D, onde D é o diâmetro,
enquanto para uma seção não-circular, P/A= 4/Dh, com Dh o diâmetro hidráulico.
Figura 5.1 Duto horizontal, escoamento monofásico.
Definindo o coeficiente de atrito f como
1 Lockhart, R.W., Martinelli, R.C., Proposed Correlation of Data for Isothermal Two-PhaseTwo-Component Flow in Pipes, Chem. Eng. Prog., 45, 34-48, 1949.
5.2
(5.1.2)
(5.1.3)
(5.1.4)
(5.1.5)
(5.1.6)
a Eq. (5.1.1) torna-se
Para duto liso e escoamento monofásico o coeficiente f é admitido uma função do número de
Reynolds (Re= ñDh j/ì) na forma
onde o coeficiente c depende da rugosidade do duto e do regime do escoamento, laminar ou
turbulento. O índice n varia entre 1 para o escoamento laminar e 1/4 para turbulento.
Essas relações dos escoamentos monofásicos são aplicadas para as duas correntes na
seguinte forma. Definimos inicialmente os diâmetros hidráulicos, DhL e DhG, para cada uma das
fases líquido e gás e os seguintes parâmetros, kL e kG
onde AL= áLA e AG= áGA são as duas áreas efetivas de escoamento das fases e Dh= 4A/P o
diâmetro hidráulico do duto (Dh= D para duto circular). Os parâmetros kL e kG estão associados
a um fator de forma geométrico do padrão do escoamento. Lochkart-Martinelli originalmente
utilizaram os valores unitários para os dois parâmetros. Eles são aqui introduzidos no sentido de
dar maior generalidade. Por exemplo, no escoamento anular com filme líquido uniforme na
parede, esses parâmetros assumem os valores (§11.1, Cap. 11) 2
2 Do §11.1 para escoamento anular em duto com diâmetro D e espessura de filme líquido igual
a ä obtém-se para líquido o diâmetro hidráulico e a fração volumétrica . Com essas
expressões em (5.1.5) . Para a fase gás , enquanto ,
portanto
5.3
(5.1.7)
(5.1.8)
(5.1.9)
Por outro lado, as relações geométricas produzem os resultados; cf. (5.1.5)
e
Gradientes de Pressão
Segundo Lockhart-Martinelli os gradientes de pressão devem ser os mesmos nas duas correntes
em escoamento separado. Assim o gradiente de pressão do escoamento bifásico, dpTP/dx, é (da
equação geral (5.1.3): )
onde uL e uG e DhL e DhG representam, respectivamente, as velocidades locais (in situ) do líquido
e do gás, e os diâmetros hidráulicos das fases líquido e gás, Fig. 5.2. ôim é a tensão cisalhante na
interface considerando o efeito do fluxo de massa de evaporação ÃL.
Figura 5.2 Escoamento separado gás-líquido num duto horizontal.
Uma vez que os expoentes nL e nG podem variar entre os limites 1 e 1/4, dependendo se o
escoamento é laminar ou turbulento, pode-se ter as combinações indicadas na Tabela 5.1.
5.4
(5.1.10)
(5.1.11)
(5.1.12)
(5.1.13)
Tabela 5.1 Parâmetros de Lockhart-Martinelli e Chisholm
Regime na corrente nL nG Subscrito C
(Chisholm)Líquida Gasosa (Lockhart-Martinelli)
laminar laminar 1 1 LL 5
laminar turbulento 1 1/4 LT 12
turbulento laminar 1/4 1 TL 10
turbulento turbulento 1/4 1/4 TT 20
As equações (5.1.7) e (5.1.9) constituem a base da construção do modelo de Lockhart-
Martinelli. Os autores definiram ainda os seguintes parâmetros, também denominados fatores
multiplicadores,
onde (dp/dx)TP representa o gradiente de pressão real no escoamento bifásico e (dp/dx)L e
(dp/dx)G os gradientes de pressão hipotéticos que ocorreriam no mesmo duto se somente líquido
e gás estivessem presentes com as respectivas velocidades superficiais (jL= QL/A e jG= QG/A). A
razão desses parâmetros define o que se costuma denominar de parâmetro de Martinelli X
lembrando que GN= ñN jN = ñN áN uN (N= L,G). Combinando as Eqs. (5.1.5), (5.1.7) e (5.1.9)
obtém-se de (5.1.9)
e assim, de (5.1.10),
ou
5.5
(5.1.14)
(5.1.15)
(5.1.16)
(5.1.17)
Os expoentes nL e nG representam constantes para cálculo do fator de atrito para as
respectivas fases. Portanto, estabelecidos os fluxos de massa para o líquido e o gás deve-se
esperar uma certa distribuição para o arranjo das fases e, assim, para áL (e áG), definindo valores
para Ö2L e Ö2
G . Observe-se que, sendo nG e nL menores que 1, os parâmetros Ö2L e Ö2
G são
maiores que a unidade.
Ao definir o parâmetro X2, conclui-se de (5.1.11) e (5.1.14b) (para kL=kG= 1) que
Portanto, o parâmetro de Martinelli está intrinsicamente associado ao arranjo geométrico das
fases áG e áL. Lockhart e Martinelli postularam que os fatores multiplicadores Ö2L e Ö2
G deveriam
ser correlacionados com X2; ou seja, que Ö2L= fL(X) e Ö2
G = fG(X), ambos determinados
experimentalmente. Nas análises que seguem veremos maiores detalhes a respeito.
Da relação áG + áL= 1 as equações (5.1.14b) podem ser combinadas como
que, para escoamento turbulento, com nG= nL= 1/4, torna-se
Como a perda de carga (fator de atrito em 5.1.8) depende do arranjo do escoamento, os
autores correlacionaram esses parâmetros em função das quatro combinações para o escoamento
(laminar e turbulento) conforme descrito anteriormente, sendo o limite sugerido para a transição
laminar-turbulento ReN= 2000 (N= G,L). As curvas sugeridas por Lockhart e Martinelli são
mostradas na Fig. 5.3.
5.6
(5.1.18)
(5.1.19)
(5.1.20)
Relações simples e bastante precisas para representação gráfica das curvas de Ö2G e Ö2
L
sugerida por Chisholm 3 quase vinte anos após o artigo original de Lockhart e Martinelli têm a
forma
onde C é um parâmetro adimensional cujo valor depende da natureza do escoamento (laminar
ou turbulento), para o qual Chisholm sugere valores conforme mostrado na Tabela 5.1.1.
Note que para X= 1 (perdas de pressão iguais) e ambas as fases em regime turbulento
(C= 20), uma situação muito comum em instalações industriais com baixa viscosidade, o modelo
de Lockhart-Martinelli prevê uma perda de carga bifásica 20 vezes superior àquela do
escoamento monofásico.
As expressões de Chisholm sugerem que o esquema de Lockhart-Martinelli pode ser
resumido nas seguintes condições assintóticas — aqui mostradas com base na fração de líquido
A fração volumétrica de líquido mostrado na Fig.5.4 pode ser representada pela
expressão empírica sugerida por Martinelli
enquanto a curva tracejada representa a Eq. (5.1.15).
Em resumo: conhecidos: i- as propriedades dos fluidos; ii- os tipos de escoamento, LL,
LT, TL, TT, assim como os valores dos parâmetros nL, nG, cG e cL; iii- as expressões para os
parâmetros de geometria do padrão de escoamento, kL e kG e iv- o valor de áG, a solução dessas
equações produzem os valores de Ö2L e Ö2
G. Conseqüentemente, o parâmetro de Martinelli, X2,
é conhecido e de (5.1.11) obtemos a relação entre os fluxos de massa GL e GG. Se, por exemplo,
3 Chisholm, D., A Theoretical Basis for the Lockhart-Martinelli Correlation for the Two-PhaseFlow, Int. J. Heat Mass Transfer, 10, 1767-1778, 1967.
5.7
o fluxo de massa total G= GL+GG for conhecido (freqüentemente é), a solução fornecerá os
valores de GL, GG, o título de massa e outras propriedades do escoamento. O gradiente de pressão
é imediatamente obtido a partir dos valores Ö2L ou Ö2
G, cf. Eq.(5.1.10).
Figura 5.3 Correlações de Lockhart-Martinelli para kL = kG = 1.
Figura 5.4 Correlação de Lockhart-Martinelli para a fração volumétrica de líquido. Ref. Wallis.
5.8
(5.1.21)
5.1.2 A Análise de Turner-Wallis 4
O método proposto por Martinelli para cálculo da queda de pressão implica no conhecimento
prévio de correlações para os parâmetros ÖG , ÖL e a fração volumétrica áG . Cerca de duas
décadas após a publicação do artigo de Lockhart e Martinelli, Turner e Wallis desenvolveram um
modelo teórico que procura explicar, ainda de forma similar, o método de Martinelli. Seguiremos
neste parágrafo o desenvolvimento mostrado no livro de Wallis.
Os autores propuseram que o escoamento gás-líquido poderia ser considerado
equivalente aos escoamentos monofásicos que aconteceriam em dois dutos paralelos, cada qual
com área equivalente à respectivas áreas reais no escoamento bifásico para relações laminar-
laminar, turbulento-turbulento e regimes de escoamento com fator de atrito constante, Fig. 5.5.
Devido à essa peculiaridade, o método é também denominado de modelo de cilindros separados.
Figura 5.5 Modelo de Turner-Wallis. Escoamento separado bifásico, gás-líquido, num duto horizontal
(a) equivalente ao escoamento em dois dutos com áreas das fases iguais às áreas originais: duto (b), gás,
+ duto (c), líquido.
Admitindo gradientes de pressão iguais, e a hipótese de fator de atrito conforme (5.18), obtém-se
(índices inferiores para caracterizar condições nos cilindros transportando gás e líquido)
e, da combinação das equações (5.2.22) com (5.2.21),
(5.2.22)
4 Em Wallis, G.B., One-Dimensional Two-Phase Flow, McGraw-Hill Co., Cap.3, 1969.
5.9
(5.1.23)
(5.1.24)
(5.1.25)
(5.1.26)
(5.1.27)
após divisão pelos respectivos gradientes de pressão monofásicos
portanto
onde mg= (5-nG)/2 e ml= (5-nL)/2. Observe ser este o resultado obtido em (5.1.16) pelo método
de Martinelli. Se fizermos ng=nl=1 teremos m= mg= ml= 2, para escoamento laminar, 2,5 # m
#19/8=2,375, para escoamento turbulento, calculado com base nas expressões do coeficiente de
atrito turbulento, como Blasius, e 2,5 # m # 3,5, para escoamento totalmente turbulento,
calculado com base no comprimento de mistura, por exemplo.
Turner-Wallis sugeriram ser possível generalizar esta expressão para m= mg= ml. Tendo
em vista que obtemos
com os intervalos de aplicação para m como descrito acima.
No caso de dois regimes do tipo laminar-turbulento e turbulento-laminar, o método leva
às seguintes expressões implícitas, respectivamente,
Utilizando os dados de Lockhart-Martinelli, Turner-Wallis encontraram o melhor ajuste
experimental para m= 2,75 para escoamento laminar-laminar e m= 4 para turbulento-turbulento.
5.10
Figura 5.6 Comparação da queda de pressão pelos resultados empíricos de Martinelli (escoamento
líquido turbulento-gás turbulento) e pela Eq. (5.1.24) com mG= 4. Ref. Wallis, op. cit.
Figura 5.7 Comparação da queda de pressão pelos resultados empíricos de Martinelli (escoamento
líquido laminar-gás turbulento) e pela Eq. (5.1.24) com mG= 3,5. Ref. Wallis, op. cit.
5.11
Figura 5.8 Comparação da queda de pressão pelos resultados empíricos de Martinelli (escoamento
líquido laminar-gás laminar) e pela Eq. (5.1.24) com mG= 2,75 e mG= 3,5. Ref. Wallis, op. cit.
A equação (5.1.25), ou (5.1.26), fornece famílias de curvas uniparamétricas que pode
ser ajustada com dados experimentais. Resultados de Lockhart-Martinelli e ajustes de (5.1.16)
para diversos valores de n são mostrados nas Figuras (5.6) a (5.8).
A correlação de Martinelli foi originalmente obtida para dutos horizontais sem mudança
de fase e aceleração. Apesar disso, foi muito utilizada para calcular tanto o gradiente de pressão
(ou o fator de atrito f), quanto a fração volumétrica, para serem introduzidos na equação de
quantidade de movimento do modelo homogêneo (4.3.3). O procedimento leva progressivamente
a erros sérios na medida em que a dependência do componente de atrito do gradiente de pressão
aumenta com relação a outros fatores não considerados no modelo. Um outro ponto que deve ser
destacado com relação ao modelo de Lockhart-Martinlli é que ele não contém a tensão superficial
como parâmetro; portanto, tendo sido baseado para a mistura água-ar (ou vapor-ar), parece que
o mesmo não deve ser estendido para outros fluidos. Nesses casos, outros métodos mais
complexos devem ser considerados.
Exemplo 5.1.1. Um duto de 8” de diâmetro transporta gás e óleo nas seguintes condições: QG= 0,16
m3/s, QL= 0,02 m3/s; pm= 10 bar (abs), Tm= 20 ºC, ñG= 8,5 kg/m3, ñL= 825 kg/m3, ìG= 0,02 cp, ìL= 1,4
cp, Di= 205 mm, å= 0,1 mm. Calcular o gradiente de pressão devido ao atrito viscoso pelo método de
Lockhart-Martinelli.
Solução: Calculemos os números de Reynolds para líquido e gás. Para tanto, necessitamos das
velocidades superficiais: jG= usG= QG/A= 0,16/0,033= 4,85 m/s, jL= usL= QL/A= 0,02/0,033= 0,61 m/s,
5.12
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Com esses valores calculamos os coeficientes de atrito para as duas fases pela equação de
Haaland (4.3.19)
e com isso os gradientes de pressão monofásicos
e assim o parâmetro de L-M
Para escoamento totalmente turbulento, das equações de Chisholm (C= 20) obtém-se
então
e, da equação (5.1.16), obtemos para a fração de gás, áG = 0,73. Note que se admitirmos
escoamento sem deslizamento teríamos, áG= QG/(QG+QL)= 0,88. O resultado de L-M sugere
haver considerável deslizamento (uG > uL).
5.13
(5.1.27)
(5.1.28)
5.1.3 Correlação de Friedel 5
A literatura apresenta um grande número de modelos analíticos e empíricos para
modificar ou extender o modelo de Martinelli. Dentre esses destacam-se modelos analíticos para
a troca de quantidade de movimento e/ou de energia entre as fases, e correlações empíricas que
procuram cobrir determinados fluidos e expressões para ö2L e áG desenvolvidas para condições
de interesse de um problema específico. De um modo geral esta opção deve ter preferência sobre
modelos analíticos ou correlações genéricas.
Friedel (1979) desenvolveu uma correlação para o parâmetro ö2L, aplicável a qualquer
ângulo de escoamento e fluido desde que . Hewitt a considera, cp. Hetsroni6, uma
das mais precisas para cálculo da perda de carga em escoamento separado gás-líquido, sendo
recomendada sua aplicação (em 1982), preferencialmente, sobre a de Lockhart-Martinelli, sempre
que possível.
A análise considerou um banco de dados com cerca de 25000 pontos, obtendo uma
correlação para o multiplicador de líquido (5.1.10) na seguinte forma, cp. Hetsroni op cit,
onde
5 Friedel, L., Improved Friction Pressure Drop Correlations for Horizontal and Vertical Two-Phase Flow, Europeam Two-Phase Flow Group Meeting, Ispra, Itália, 1979. Também em Handbook ofMultiphase Systems, Ed. Gad Hetsroni, Hemisphere Publishing Corp., Cap. 2, 1982.
6 Handbook of Multiphase Systems, Ed. Gad Hetsroni, Hemisphere Publishing Corp., Cap. 2,
1982.
5.14
(5.1.29)
(5.1.30)
(5.1.31)
e fG* a fL* representam os fatores de atrito para o fluxo de massa total G de gás e líquido. xG e xL,
BG e sl e ó os títulos (Eq. 1.1.15) e viscosidades de gás e líquido e tensão superficial gás-líquido,
respectivamente. O subescrito * indica que a tensão superficial na interface gás-líquido deve ser
calculada incluindo o efeito do fluxo de quantidade de movimento entre as fases quando ocorrer
evaporação ou condensação. Para fluxo transversal não muito elevado Hewitt mostra que
onde
ÃL (kg/m2-s) é o fluxo de massa por unidade de área entre o líquido e o gás — positivo na
evaporação, negativo na condensação. Observe que na evaporação a tensão cisalhante na
interface é reduzida pelo fluxo transversal e, vice-versa, aumentada na condensação. Pi é o
perímetro na interface. Não havendo transferência de massa transversal, a tensão cisalhante, ou
o fator de atrito, tem a forma clássica obtido em função do número de Reynolds e da rugosidade
relativa interfacial, fi= f(ReG,å/D).
Uma vez calculado Ö2L* a perda de carga pode ser avaliada por
A comparação dos resultados obtidos pela correlação de Friedel e os dados
experimentais indicam um desvio padrão de 30% para escoamento uni-componente (água e
vapor, por exemplo) e de 40-50% para escoamento com dois componentes (óleo e gás, por
exemplo). Portanto, a despeito da complexidade da correlação proposta, os desvios padrão são
ainda bastante elevados, indicando um espalhamento considerável dos dados e, assim, um grau
de incerteza elevado para a previsão da queda de pressão do modelo 7.
7 Hetsroni, G., op cit.
5.15
(5.2.1)
(5.2.2)
(5.2.3)
(5.2.4)
(5.2.5)
5.2- Modelos Com Deslizamento (Drift Flux)
Drift flux é outro modelo de escoamento separado que tem por base relações para o fluxo
volumétrico – ou velocidade superficial – de cada fase (cp. § 1.1.2), e não a velocidade real. O
conceito foi originalmente proposto por Wallis 8 e posteriormente consolidado por Zuber e
Findlay 9.
Iniciemos a análise com a definição de média na área da seção transversal do duto. Para
uma variável genérica n, a média na seção A do duto é definida como
enquanto a média por um peso genérico å pode também ser definida como
Relembrando que uG e uL são velocidades locais das fases, do Cap. 1 definimos os fluxos
volumétricos, ou velocidades superficiais
e
Então, podemos definir as velocidades de deslizamento (drift velocities), ou velocidades relativas
a j (fluxo volumétrico global, ou médio),
8 Wallis, G.B., One-Dimensional Two-Phase Flow, McGraw-Hill Co., Cap. 4, 1969.
9 Zuber, N., Findlay, J.A., Average Volumetric Concentration in Two-Phase Flow Systems,J. Heat Transfer, 87, 453, 1965.
5.16
(5.2.6)
(5.2.7)
(5.2.8)
(5.2.9)
(5.2.10)
(5.2.11)
(5.2.12)
(5.2.13)
e a velocidade relativa entre as fases
Combinando as quatro últimas equações obtém-se
Observe que se a velocidade relativa uGL for nula, então uGj= uLj= 0 e uG= uL= j. Em termos de
velocidades médias na seção transversal do duto, de (5.2.3) temos
levando as expressões para uG e uL indicadas em (5.2.5) nesta equação
e definindo a velocidade de mistura média Vm
Define-se as frações volumétricas médias
e a velocidade média para a fase G
Dividindo (5.2.9a) por
Observe que, se o perfil de concentração for uniforme, o primeiro termo da direita desta equação
é igual a Vm.
5.17
(5.2.14)
(5.2.15)
(5.2.16)
(5.2.17)
(5.2.18)
Parâmetro de Distribuição e Velocidade de Deslizamento
Neste ponto é interessante introduzir o parâmetro de distribuição de Zuber e Findlay Co e a
velocidade de deslizamento uG j* (aqui uma média baseada na fração volumétrica áG),
Levando (5.2.14) em (5.2.13)
Portanto, a velocidade média da fase gás pode ser expressa como a soma de um termo
proporcional à velocidade de mistura e uma velocidade de deslizamento.
Note que VG não é igual a , pois esta está relacionada ao fluxo e à distribuição de
concentração pela equação
A velocidade média VG é normalmente mais conveniente de utilizar do que uma
vez que está diretamente relacionada à vazão QG e à fração volumétrica média, cf. (5.2.12). Por
outro lado, é uma média volumétrica muito apropriada pois pode ser obtida por um
experimento simples em que uma seção do duto é isolada e a proporção do volume ocupado pela
fase gás é medida.
Em termos de vazões volumétricas globais, QG e QL,
Portanto, a equação (5.2.15) pode ser escrita na forma
que pode levar à relação entre as vazões de gás e líquido
5.18
(5.2.19)
(5.2.20)
ou, ainda, para a fração volumétrica média de gás
Dados experimentais mostram que escoamentos de mistura de gás e líquido confirmam
a relação linear sugerida por Zuber e Findlay, sendo possível obter expressões para Co e u* para
diversos padrões de escoamento, inclusive o anular. Deve-se destacar que a dedução desta
equação baseia-se na equação de continuidade para escoamento disperso, não havendo base
teórica para sua aplicação para outras situações que não para sistemas dispersos. Contudo, a
forma linear da equação tem sido confirmada para diversas outras situações, sendo aplicada num
contexto bem mais amplo em escoamentos bifásicos gás-líquido.
Como primeira aproximação, a Tabela 5.2 mostra alguns valores para Co e u* conforme
sugerido por alguns autores para escoamento em golfada, caótico-turbulento, bolha e anular.
O modelo de deslizamento relaciona a velocidade da fase gás com a velocidade de
mistura. Uma manipulação da equação permite calcular a fração volumétrica em função das
velocidades ou, relacionar as vazões de gás e de líquido, (5.2.19). Neste caso, temos uma relação
algébrica entre as duas vazões, o que permite eliminar uma delas nas equações de conservação.
O modelo tem várias vantagens sobre outros métodos de escoamento separado, dentre
eles:
• Baseia-se na diferença local de velocidades das fases, calculada como média na seção
transversal da diferença da velocidade +uG - j,, no lugar da diferença das médias das velocidades
locais +uG, - +j,. Físicamente o modelo é mais correto;
• Reconhece a distribuição de concentração na seção transversal pelo parâmetro Co.
Além disso, incorpora alguma informação sobre o padrão de escoamento. As expressões para Co
e u* são tão mais complexas quanto maior o grau de detalhamento (informação) do padrão de
escoamento;
• Pode tratar adequadamente tanto escoamentos co-concorrente (mesmo sentido),
quanto contra-corrente;
• Tem sido utilizado com razoável sucesso em códigos computacionais transientes nas
áreas nuclear e de petróleo.
5.19
Tabela 5.2 Parâmetros Co e u* para diversos autores 10
Autors Escoamento Parâmetros
Zuber-
Findley 9
Golfada Co = 1,2
Bolha Co = 1,2
Ishii 11
Anular
Caótico-
Turbulento
Liao et al.12Caótico-
Turbulento
Pearson
et al.13
Caótico-
Turbulento
10 Artigos 12 e 13 na Tabela obtidos de: Choi,J.; Pereyra, E.; Sarica, C.; Park, C.; Kang, J.M.An Efficient Drift-Flux Closure Relationship to Estimate Liquid Holdups of Gas-Liquid Two-Phase Flowin Pipes, Energies, p.5294-5306, 5(12), 2012.
11 Ishii, M. One Dimensional Drift-Flux Model and Constitutive Equations for RelativeMotion Between Phases in Various Two-Phase Flow Regimes; T. Report- Argonne NationalLaboratory:Lemont, IL, USA, 1977.
12 Liao, L.; Parlos, A.; Griffith, P.Heat Transfer, Carryover and Fall Back in PWR SteamGenerators During Transients; T. Report NUREG/CR-4376 EPRI-NP-4298; Dept. Nuclear Engineering,MIT, Cambridge, USA, 1985.
13 Pearson, K.; Cooper, C.; Jowitt, D.The THETIS 80% Blocked Cluster Experiment, Part5: Level Swell Experiments; T. Report AEEW-R, AEEE Winfrith Safety and Engineering ScienceDivision, London, UK, 1984.
5.20
(5.3.1)
Para finalizar, note-se que o modelo de deslizamento requer leis para as transferências
de quantidade de movimento (atrito viscoso) e de calor nos contornos do escoamento.
Freqüentemente essas leis são obtidas de outros modelos separados mais antigos, sem que se
considere consistências com o modelo de deslizamento.
5.3- Modelos de Dois Fluidos
O modelo de dois-fluidos, ou Euleriano, trata a fase dispersa como uma segunda fase contínua,
interagindo com a fase contínua. As equações de conservação de massa, quantidade de
movimento e energia são escritas para os fluidos em movimento, incluindo a modelagem dos
termos de transferência de massa, quantidade de movimento e de energia. Portanto, o modelo não
considera efeitos devidos à natureza discreta da fase dispersa. Inerente à este procedimento estão
a obtenção de médias espaciais para propriedades e parâmetros para a fase dispersa num
procedimento semelhante ao utilizado no modelo de deslizamento.
Modelos de dois fluidos com trocas nas interfaces são muito utilizados hoje em dia em
códigos de computador uma vez que admitem não só as velocidades, mas as temperaturas
também, distintas entre as fases gás e líquido. Os modelos baseiam-se na formulação
unidimensional e na tomada de médias temporais e espaciais. Assim sendo, não admitem
variações de propriedades, como velocidades e temperaturas e seus gradientes radiais, nas
interfaces ou fronteiras na parede. Portanto, esses modelos requerem leis de fechamento para
tratar as condições nas interfaces e na parede. Uma vez que essas leis dependem do padrão do
escoamento, mapas para os padrões de escoamento devem ser igualmente especificados.
5.3.1 Leis de Conservação para Modelos de Dois Fluidos
As seguintes leis de conservação são propostas por Yadigaroglu e Lahey 14. As equações de
continuidade são
14 Yadigaroglu, G., Lahey, R.T., On the Various Forms of the Conservation Equations in Two-Phase Flow., Int. J. Multiphase flow, 2, pp. 477-494, 1976. Também na Ref. 10 no final deste livro.
5.21
(5.3.2)
Nessas equações, assim como nas que se seguem, a barra sobre as variáveis representam
valores médios na seção transversal. Como visto nos Capítulos anteriores, o termo à representa
a transferência de massa por unidade de volume entre as fases, sendo positivo no processo de
evaporação da fase líquida (sinal compatível com o adotado nos Capítulos anteriores, quando
tratamos de evaporação da fase dispersa, i.e., gasosa no caso presente). Algumas das
transferências ocorrem na interface e outras na parede. No caso de um único componente,
existindo equilíbrio termodinâmico entre as fases não ocorre transferência nas interfaces,
somente na parede. Note que a soma das duas equações reproduz a equação (4.1.1).
As equações correspondentes para a quantidade de movimento são mostradas a seguir.
Os termos da direita são forças atuantes nas respectivas fases. O primeiro termo representa a
força resultante devido ao gradiente de pressão e o segundo a força devido à gravidade. Os
terceiros e quartos termos as forças nas paredes e interfaces devidos às tensões cisalhantes ôw e
ôi , atuantes nos perímetros Pw e Pi, respectivamente. O último termo representa a força devido
ao fluxo de quantidade de movimento entre as fases onde ui refere-se a velocidade na interface.
No artigo original de Yadigaroglu e Lahey, é incluído um termo adicional nas equações de
quantidade de movimento devido à massa virtual, identificado como a força adicional requerida
para acelerar a massa virtual quando a velocidade entre as fases varia com o tempo. Não
trataremos este termo neste texto, por isso não está indicado.
Mais uma vez, a soma dessas equações reproduz a equação (4.1.5). Observe que os termos
interfaciais desaparecem neste processo. Além disso, as equações pressupõem que as pressões
nas duas fases sejam iguais.
Os autores escreveram as equações de energia na forma
5.22
(5.3.3)
(5.3.4)
onde a entalpia total ht é definida como
O primeiro termo no lado direito das equações (5.3.3) representa o trabalho realizado
pela expansão ou contração da fase, enquanto o segundo considera a soma de energia à fase
devido à transferência de massa. O terceiro termo reflete a troca de calor na parede e na interface
pelos perímetros de contato Pw e Pi, respectivamente. O quarto termo representa a energia
absorvida pela fase devido à geração de calor por fonte volumétrica. Finalmente, o termo î
representa a fração de energia que é transferida para a respectiva fase como conseqüência de
dissipação na interface. Note que o perímetro Pi é o mesmo utilizado nas equações de quantidade
de movimento e que a soma das equações reproduz a equação (4.1.15), exceto pelo termo de
geração de calor, não considerado naquela equação. Note que, na nossa nomenclatura, o calor
trocado com o exterior, QN (N= L,G), é positivo quando entrando no sistema, ou seja do exterior
para a interior do duto. Nas equações de Yadigaroglu e Lahey esses termos são positivos do
interior para fora.
Nessas abordagens é admitido que as pressões das fases sejam iguais, uma hipótese
razoável e geralmente adotada na maioria dos códigos. Todavia, ressalte-se que no caso de
escoamento estratificado deve-se considerar pressões distintas nas fases para determinar a
condição de instabilidade na interface e na transição para o escoamento em golfada.
A observação das equações anteriores mostra que o modelo de dois-fluidos requer o
conhecimento de vários termos, dentre eles: i- o fluxo de massa entre fases; ii- a tensão cisalhante
atuante sobre cada fase na parede e na interface; iii- a transferência de calor através da parede
para cada fase; iv- a transferência de energia dissipativa entre as fases. Ao todo necessitamos de
treze expressões para: Ã, PwL, PwG, PhL, PhG, Pi, QwL, QwG, QiL, QiG, ôwL, ôwG e ôi. Algumas dessas
são imediatas como
5.23
(5.3.5)
(5.3.6)
e a relação para o balanço de transferência de calor na interface
Ou seja, temos ainda um total de dez leis de fechamento a serem especificadas. Essas leis
dependem do padrão de escoamento. Portanto, temos que fornecer um volume considerável de
leis complementares às equações de conservação.
Em geral, as seis equações de conservação do modelo de dois-fluidos podem ser
simplificadas. Se desconsiderarmos os termos de transferência interfacial as equações são
reduzidas a três ou quatro, dependendo das hipóteses simplificadoras. Se equilíbrio térmico
existir no escoamento de um componente, as duas equações de energia podem ser combinadas.
De forma similar, adotando o modelo de deslizamento para as velocidades, a equação (5.2.18)
permite eliminar uma das velocidades (ou vazões) e, assim, eliminamos uma das equações de
quantidade de movimento, ou combinamos as duas.
No modelo mais geral de seis equações as incógnitas são áG, áL, uG, uL, pG, pL, TG e TL.
É usual admitir um valor único para a pressão na seção transversal. Se equilíbrio térmico existir,
então o mesmo pode ser admitido para a temperatura. Por outro lado, para um sistema bifásico
com dois componentes temos a relação áG + áL= 1. Portanto, as incógnitas ficam reduzidas a
cinco: áG, uG, uL, p e T, para um sistema de cinco equações: duas de continuidade, duas de
conservação de quantidade de movimento e uma de energia. Uma eventual combinação das
equações de quantidade de movimento e a utilização do modelo de deslizamento, reduzirá este
sistema a quatro equações com quatro incógnitas e um conjunto de equações de fechamento.
As equações básicas utilizadas em sistemas computacionais variam de código para
código. Embora as diferenças não sejam em geral significativas, a avaliação dessas diferenças
não é tarefa simples, especialmente nos simuladores transientes. Há de fato aqui um amplo
espaço para análise, implementação e avaliação.
5.4 Correlações na Indústria de Petróleo
Na indústria de petróleo o processamento e a produção de óleo e gás quase que invariavelmente
envolve o escoamento de misturas multifásicas. No caso de poços de produção, por exemplo,
5.24
além dos hidrocarbonetos provenientes do reservatório nas formas líquida e gasosa, água também
é produzida, e o escoamento pode conter uma, duas ou três fases. Na maioria dos poços
produtores óleo, água e gás estão presentes em alguma seção do poço. Neste caso de aplicação
particular, fluido escoa pela coluna produtora, assim como no anular que a envolve. O
escoamento pode ser ascendente, do reservatório para a superfície, ou descendente, como no
processo de injeção de gás ou líquido. Ou seja, o duto pode fazer qualquer ângulo com a
horizontal, desde -90º (escoamento descendente), até +90º (escoamento ascendente). Além disso,
na maioria das situações, dada a natureza do escoamento multifásico, este é intrinsicamente não-
permanente. Dificuldade adicional na tentativa de construir modelos para o escoamento
multifásico na indústria de petróleo está associado ao comportamento termodinâmico dos fluidos.
Os óleos e gases produzidos são composições químicas de diversos hidrocarbonetos cujas
propriedades termodinâmicas como massa específica, viscosidade, tensão superficial e entalpia,
são fortemente dependentes da pressão, temperatura e composição molar. Desta forma,
expressões analíticas e empíricas tendem a ser extremamente complexas quando se procura
modelar esses escoamentos. Apesar da enorme capacidade de processamento dos computadores
atuais, um significativo número de hipóteses simplificadoras são normalmente introduzidas nesse
processo.
Ainda na área, como na indústria de processo químico, equipamentos de geração de
vapor e nas plantas nucleares, o escoamento multifásico inclui transferência de massa entre as
fases, em processos de condensação e de evaporação. Aqui o problema torna-se especialmente
complicado pela contínua variação das frações volumétricas ao longo do duto.
A literatura que trata de modelagem e correlações para o escoamento separado na
indústria de petróleo é extensa, cobrindo situações específicas de geometria, fluidos e
simplificações. Não sendo possível tratar em detalhe todas essas situações nesta Introdução, o
leitor interessado deve procurar as referências na área particular de interesse. Diversas situações
podem ser encontradas nos livros de Govier e Aziz 15 ou Hazan e Kabir 16, por exemplo. Os
tópicos a seguir cobrem de forma muito rápida algumas correlações clássicas na área.
Como acabamos de ver, a complexidade do escoamento multifásico requer o
desenvolvimento de técnicas especiais de solução para os fenômenos que eles representam,
obtido em geral por dois procedimentos: experimental, através de modelos em escala de
laboratório ou teórico, utilizando equações e modelos numéricos para o escoamento.
15 Govier, G.W. e Aziz, K., The Flow of Complex Mixtures in Pipes, Robert E. GriegerPublishing Co., 1982.
16 Hasan, A.R. e Kabir, C.S., Fluid Flow and Heat Transfer in Wellbores, Soc. of PetroleumEngineers, 2002.
5.25
A longa experiência da indústria de petróleo na área levou inicialmente ao
desenvolvimento de soluções empíricas que tinham por base a medida e a observação de
escoamentos em sistemas de produção, particularmente poços e linhas de transporte, nas
configurações vertical e horizontal. Embora em muitas situações medidas foram realizadas no
próprio campo, e modelos de laboratório em escala real seja possível, isto nem sempre é
verdadeiro, tornando difícil sua aplicação nos protótipos. Por outro lado, o enorme
desenvolvimento de computadores nas últimas décadas estimulou a generalização e a sofisticação
da modelagem matemática, incluindo de escoamentos variáveis com o tempo, como aqueles
envolvendo a operação de válvulas, partida e parada de bombas, alimentação com fluxo
alternativo, corte e retomada de energia, rompimento de duto etc. Essas técnicas são assim
denominadas neste capítulo de modelos empíricos e matemáticos, respectivamente.
Condição de Não-Deslizamento
Com freqüência frações volumétricas para a condição de não-deslizamento são utilizadas em
correlações na área de petróleo, sendo assim definidas
Propriedades de Mistura
Propriedades de mistura para a velocidade e massa específica para condições de deslizamento
e não-deslizamento são
e
representando propriedades de deslizamento e não-deslizamento para a massa específica, ñm e
ñn, respectivamente.
5.4.1 Modelos Empíricos
Correlações para escoamento em regime permanente de gás, óleo e água existem para dutos nas
configurações vertical, horizontal e inclinados. Elas cobrem sistemas de fluidos com
propriedades variadas, diferentes faixas de vazões e diferentes diâmetros de dutos. Devido à
complexidade do escoamento e às variações que mudanças nos parâmetros envolvidos
(5.4.1)
(5.4.2)
(5.4.3)
5.26
(propriedades físicas, geometria e condições de fluxo), nenhuma correlação é totalmente
satisfatória para todas as configurações. Todavia, quando análises com base em uma descrição
mais fundamental não estão disponíveis, correlações são utilizadas para muitas situações
práticas. Uma breve descrição é apresentada a seguir para alguns modelos mais comuns. O leitor
interessado encontrará maiores detalhes na bibliografia sugerida no início do livro e final deste
capítulo.
5.4.1.1 Escoamento Vertical - Ascendente
Brill e Mukherjee17, sugerem que correlações para escoamento vertical podem ser classificados
em três categorias, aqui reproduzidas. Na categoria (A) as duas fases (gás e líquido) não
apresentam escorregamento e não considera o regime de fluxo. Ou seja, gás e líquido escoam na
mesma velocidade, não havendo dependência para o regime de escoamento. A massa específica
é calculada com base na condição de mistura de entrada e a única correlação exigida é para o
fator de atrito. Na categoria (B) admite-se escorregamento mas não há consideração para o
regime de fluxo. É necessário utilizar correlações para o fator de atrito e a fração volumétrica,
aplicadas para qualquer regime de fluxo. Existindo escorregamento, requer-se uma metodologia
para estimar a velocidade de líquido, ou gás, ao longo do duto. Para a categoria (C) admite-se
escorregamento e regime de escoamento variável ao longo do duto. Portanto, obtido o arranjo
por uma metodologia apropriada, correlações são utilizadas para calcular o fator de atrito e a
fração volumétrica. O gradiente de pressão é assim dependente do regime de escoamento.
Incluem-se nessas categorias os seguintes modelos:
Categoria-A A equação básica para calcular o gradiente de pressão é
onde os subscritos m e n referem-se às condições de mistura e de não-deslizamento,
respectivamente, Eqs. (5.4.2) e (5.4.3).
Nesta categoria enquadram-se as correlações de Poettman e Carpenter (1952)18,
Baxdendel e Thomas (1961) e Fancher e Brown (1963). As três publicações utilizam correlações
particulares para o fator de atrito em função do parâmetro (dimensional) ö= ñmVmD; ou seja, o
numerador do número de Reynolds Re= ñmVmD/ìm.
(5.4.4)
17 Multiphase Flow in Wells, James P. Brill, Hernanta Mukherjee, 1st Printing, Soc. Petroleum
Engineers, 1999.18 Detalhes das referências com datas encontram-se nas “Referências” no final do capítulo.
5.27
Categoria-B Nesta categoria destaca-se a correlação de Hagedorn e Brown (1965), aplicada para
escoamento vertical ou quase vertical (em torno de 5º com a vertical), que tem por base uma
extensão da equação de energia para escoamento monofásico, considerando uma estimativa da
massa específica de mistura in situ e efeitos de energia cinética. O gradiente de pressão faz uso
de correlações para o fator de atrito e holdup líquido. Os autores sugeriram a seguinte equação
para o gradiente de pressão
Para o cálculo do fator de atrito bifásico utiliza-se o número de Reynolds para escoamento
monofásico para massa específica de não-deslizamento e velocidade e viscosidade de mistura
O holdup líquido, áL, é calculado por correlação em função de alguns parâmetros adimensionais,
cf. Govier e Aziz, op. cit
Categoria-C Um número importante de autores destaca-se nesta categoria. A metodologia geral
difere de outros modelos na forma com que o arranjo de fase é obtido e como, para cada arranjo,
o holdup líquido e o fator de atrito é determinado. Cada um dos métodos requer um considerável
número de operações envolvendo parâmetros adimensionais e acesso a gráficos, tabelas e
equações particulares para identificação do regime de escoamento, assim como do fator de atrito
e da fração volumétrica. Uma breve apresentação de três correlações é feito a seguir, sem entrar
nos detalhes dos cálculos.
O método de Duns e Ros (1963) é considerado como a melhor correlação empírica para
o gradiente de pressão no escoamento vertical gás-líquido. Os autores realizaram a primeira
análise adimensional em escoamento bifásico em dutos. Após um processo de eliminação, quatro
grupos adimensionais mais relevantes são utilizados para determinar o gradiente de pressão, num
procedimento razoavelmente complexo. Melhores resultados são obtidos quando o método é
aplicado em dutos (verticais) relativamente curtos. Para linhas longas, recomenda-se aplicar a
metodologia sobre segmentos discretos e somar os gradientes de pressão locais.
O método de Beggs e Brill (1973) foi o primeiro a prever o comportamento de
escoamento em dutos inclinados, da horizontal à vertical. Com base no regime observado para
escoamento horizontal, um mapa empírico indica o arranjo correspondente para qualquer ângulo.
Correlações foram desenvolvidas para o holdup líquido para escoamento horizontal e corrigidos
(5.4.5)
(5.4.6)
5.28
para o ângulo real do duto. O fator de atrito para escoamento bifásico é calculado a partir de uma
expressão envolvendo um fator de normalização, f/fn, obtido da curva de duto liso no diagrama
de Moody, ou da equação de Darcy-Weisbach baseada no número de Reynolds similar àquele
mostrado em (5.4.6). O gradiente de pressão é calculado pela equação
com
onde p é a pressão absoluta local.
A metodologia proposta por Mukherjee e Brill (1985) representou um avanço para
compensar algumas deficiências do método de Beggs e Brill, cobrindo toda faixa de inclinação
do duto, inclusive escoamento descendente; ou seja, para a configuração -90º#è#90º. Mapas de
arranjo de fase foram construídos com coordenadas baseadas em parâmetros adimensionais
envolvendo as velocidades superficiais e propriedades do fluido, com curvas de transição entre
os arranjos, cada uma das quais definidas por equações empíricas. Uma equação (complexa)
correlaciona o holdup líquido com parâmetros do escoamento. O fator de atrito é calculado de
forma similar à equação sugerida por Beggs e Brill, assim como o gradiente de pressão, Eq.
(5.4.8).
5.4.1.2 Escoamento Horizontal
Como no caso vertical, nenhuma correlação é suficientemente precisa e geral para o escoamento
gás-líquido em dutos horizontais devido à complexidade do problema. As primeiras tentativas
de análise na área tiveram início no final da década de 40 com trabalhos ainda sendo realizados
em anos recentes. Apresentamos neste parágrafo apenas algumas das correlações mais relevantes
para esta configuração.
O holdup líquido tem menor importância no cálculo do gradiente de pressão no
escoamento horizontal do que no vertical ou inclinado, embora a maioria das correlações
requeiram o holdup na avaliação da massa específica para cálculo do fator de atrito e do termo
aceleração. Em muitas aplicações este último é pequeno e ignorado. Não havendo o termo devido
à gravidade, o gradiente de pressão é obtido por uma equação geral na forma
(5.4.7)
(5.4.8)
(5.4.9)
5.29
onde ñf e ñac representam massas específicas particulares sugeridas por cada correlação para os
termos de atrito e aceleração, respectivamente.
Como vimos, o modelo de Lockhart e Martinelli (1949), cf. §5.1.1, foi pioneiro na
apresentação de uma correlação geral para o gradiente de pressão em dutos horizontais. A técnica
foi bastante utilizada pela indústria nas décadas de 50 e 60, contendo conceitos na sua
formulação importantes para diversas análises teóricas ainda hoje.
O método de Dukler, Wicks e Cleveland (1964), normalmente conhecido como método
de Dukler, aplica-se especialmente para escoamento óleo-gás. A metodologia tem origem numa
análise de similaridade onde correlações para o fator de atrito e o holdup líquido foram
calculados a partir de dados de campo. O fator de atrito é calculado a partir de uma expressão
envolvendo um fator de normalização, f/fn, função de um número de Reynolds baseado na
velocidade de mistura, da viscosidade de mistura com peso nas frações volumétricas de não-
deslizamento e de uma massa específica de mistura, Eq. (5.4.11). O holdup líquido é calculado
a partir de tabelas e gráficos com coordenadas áL e ëL (frações volumétricas de líquido com e sem
deslizamento). O gradiente de pressão contém termos devidos ao atrito e à aceleração na forma
onde
A correlação de Beggs e Brill (1973) descrita no parágrafo anterior para escoamento
vertical aplica-se para escoamento horizontal. Conforme alí descrito, correlações foram
desenvolvidas para o holdup líquido para o escoamento horizontal. O fator de atrito para
escoamento bifásico é calculado a partir de uma expressão envolvendo um fator de normalização,
f/fn, obtido da curva de duto liso no diagrama de Moody, ou da equação de Darcy-Weisbach
baseada no número de Reynolds similar àquele mostrado em (5.4.6). O gradiente de pressão é
calculado pela equação (5.4.7-8).
Oliemans (1976) apresentou uma metodologia de cálculo para o gradiente de pressão
em escoamento bifásico em gasodutos. O autor postula que o deslizamento do gás sobre a fase
líquida resulta num acúmulo de líquido na linha que reduz a área efetiva de escoamento das fases.
Assim, a fração volumétrica de gás, áG, e a fração volumétrica de não-deslizamento para o
líquido, ëL, são conhecidas. Desta forma, a diferença öL= áL-ëL é ocupada pelo líquido
acumulado. Uma vez que tanto áL como ëL podem variar ao longo do duto, o mesmo ocorre com
a área efetiva. Como conseqüência do deslizamento, Oliemans propos que o fluxo de massa
(5.4.10)
(5.4.11)
5.30
bifásico, a massa especifica e o diâmetro efetivo sejam redefinidos em função de parâmetros do
escoamento.
5.4.1.3 Escoamento Inclinado
Escoamento inclinado refere-se ao escoamento em dutos formando ângulo distinto do horizontal
ou vertical. Exemplos de escoamento inclinado na indústria de petróleo incluem dutos
atravessando regiões montanhosas e poços direcionais, esses muito freqüentes hoje na produção
offshore. Em muitas instalações offshore o óleo e o gás produzido nas plataformas é transferido
onshore antes da separação. Sendo o fundo do mar raramente horizontal, ocorre escoamento
inclinado entre a plataforma e o separador, localizado em terra.
O cálculo do gradiente de pressão no escoamento bifásico inclinado é realizado em
larga escala hoje em dia por métodos baseados em modelos matemáticos que consideram a
dinâmica das fases e sua interação enquanto escoam pelo duto. Todavia, algumas poucas
correlações estão disponíveis para esta configuração, notadamente a de Beggs e Brill, op. cit.
Neste caso, o gradiente de pressão é estimado pela equação (5.4.7-8), onde è é o ângulo com a
horizontal. Naturalmente, tanto a fração volumétrica quanto o fator de atrito devem ser
calculados pelo procedimento interno da proposta. Tendo sido desenvolvido com base de dados
de linhas reais (e não em laboratório), o método de Beggs e Brill tem se mostrado razoavelmente
preciso em muitas aplicações de escoamento inclinado gás-óleo.
Para completar essas informações apresentamos a seguir o nome dos autores
responsáveis pelos desenvolvimentos de algumas correlações utilizadas pelo segmento de
produção da indústria.
Para escoamento vertical são bem estabelecidos os trabalhos de Duns e Ros (1963),
Hagedorn e Brown (1965) e Hasan e Kabir (1988). Escoamentos horizontais incluem extensa
literatura, incluindo Dukler (1960), Beggs e Brill (1973), Taitel, Barnea e Dukler (1978),
Mukherjee e Brill (1983) e Hasan e Kabir (1988). Enquanto nos escoamentos desviados
(inclinados) os trabalhos de Beggs e Brill (1973) e Hasan e Kabir (1988) estão entre os muitos
consolidados na área.
5.5 Referências para §5.4
Embora apliquem-se à área de escoamento multifásico em geral, as referências a seguir são
particularmente importantes para o segmento de petróleo coberto em §5.4.
5.31
# Baxendell, P.B., Thomas, R.: “The Calculation of Pressure Gradients in High-Rate Flowing Wells”,
J. Pet. Tech., pp. 1023-1028, 1961.
# Beggs, H.D., Brill, J.P.: "A Study of Two-Phase Flow in Inclined Pipes", J. Pet. Tech., pp. 607-617,
1973.
# Dukler, A.E., Wicks, M., Cleveland, R.G.: "Frictional Pressure Drop in Two-Phase Flow: B. Approach
Through Similarity Analysis", AIChE J., 10, pp. 44-51, 1964.
# Duns, H., Ros, N.C.J.: "Vertical Flow of Gas and Liquid Mixtures in Wells", Proc. 6th World
Pet. Congr., pp. 451-465, Frankfurt, 1963.
# Fancher, G.H., Brown, K.E.: “Prediction of Pressure Gradients for Multiphase Flow in Tubing”, Soc.
Pet. Eng. J., pp. 59-69, 1963.
# Friedel, L.: “Improved Friction Pressure Drop Correlations for Horizontal and Vertical Two-Phase
Pipe Flow”, European Two Phase Flow Group Meet., Ispra, Italy, paper E2, 1979.
# Govier, G.W., Aziz, K., “The Flow of Complex Mixtures in Pipes”, Robert Krieger Publishing Co.,
1982.
# Hagedorn, A.R., Brown, K.E.: “Experimental Study of Pressure Gradients Occurring During
Continuous Two-Phase Flow in Small-Diameter Vertical Conduits”, J. Pet. Tech., pp. 475-484, 1965.
# Hewitt, G.F, Roberts, D.N.: “Invetigation of Interfacial Phenomena in Annular Two-Phase
Flow by Means of the Axial View Technique”, Rept. AERE-R6070, UKAEA, Harwell, 1969.
# Lokhart R.W., Martinelli, R.C.: “Proposed Correlation of Data for Isothermal Two-Phase, Two-
Component Flow in Pipes”, Chem. Eng. Prog, 45:39-48, 1949.
# Mandhane, J.M., Gregory, G.A, Aziz, K.A.: “A Flow Pattern Map for Gas-Liquid Flow in Horizontal
Pipes”, Int. J. Multiphase Flow, 1:537-553, 1974.
# Mukherjee, H., Brill J.P.: “Pressure Drop Correlations for Inclined Two-Phase Flow”, ASME J.
Energy Res. Tech.107, no. 4, pp. 549-, 1985.
# Muzychka, Y.S., Awad, M.M.: “Asymptotic Generalizations of the Lockhart-Martinelli Method for
Two Phase Flow”, ASME, J. Fluids Eng. vol. 132, pp. 031302-1/12, 2010.
# Oliemans, R.V.A.: “Two-Phase Flow in Gas Transmission Pipelines”, ASME paper 76-Pet-25, Pet.
Div. Conference, Mexico City, 1976.
# Poetmann, F.H., Carpenter, P.G.: "The Multiphase Flow of Gas, Oil and Water Through Vertical Flow
Strings", Drill and Prod., API, Dallas, 257, 1952.
# Taitel, Y., Dukler, A.E.: "A Model for Predicting Flow Regime Transitions in Horizontal and Near-
Horizontal Gas-Liquid Flow", AIChE J., 26, pp. 47-55, 1976.
# Züber, N., Findley,: “Average Volumetric Concentration in Two-Phase Flow Systems”, J. Heat
Transfer, ser C, vol 87, pp. 453-, 1965.
5.32
Exercícios
1- Obtenha as equações do Texto: 5.1.12, 5.2.14 e 5.1.18.
2- Resolver o problema sugerido no Ex. 5.1.1 pela correlação de Friedel
5.33
