Pesquisa operacional aplicada em uma academia

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Utilizacao do Solver para resolucao de um problema de otimizacao.

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1 Universidade Federal de Lavras (UFLA) Novembro de 2011 APLICAO DA PESQUISA OPERACIONAL EM UMA ACADEMIA DE LAVRAS-MG: UM ESTUDO DE CASO

Carla Josiane Evaristo, graduanda em Sistemas de Informao (UFLA); carlaabsi@gmail.com Pedro Henrique Nogueira, graduando em Sistemas de Informao (UFLA); pedrohn@sistemas.ufla.br UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS UFLA

RESUMO

A Pesquisa Operacional (PO) um ramo interdisciplinar da matemtica aplicada que faz uso de modelos matemticos, estatsticos e de algoritmos na ajuda tomada de decises. usada, sobretudo para analisar sistemas complexos do mundo real, tipicamente com o objetivo de melhorar ou otimizar a performance. Esse artigo cientfico tem a finalidade de aplicar a pesquisa operacional como ferramenta para auxiliar o gestor na tomada de deciso na academia Vida Ativa, localizada na cidade de Lavras, para otimizar com qualidade sua capacidade de alunos e consequentemente a receita direta. Para isso, utilizaremos os conceitos e modelos matemticos da Pesquisa Operacional para montarmos o modelo que reflete a realidade da organizao atravs de pesquisas e coletas de dados na empresa por meio de entrevista para propor a melhor soluo via Solver.

Palavras-chave: Pesquisa Operacional, Programao linear, Otimizao, capacidade, Solver.

1. INTRODUO E OBJETIVOS DO TRABALHO

Problemas de tomada de deciso so frequentes no dia-a-dia. Escolher que trajeto seguir para ir de um ponto a outro da cidade ou qual refeio pedir num restaurante so exemplos tpicos. Nestes casos preciso selecionar uma alternativa dentre vrias outras possveis de maneira a satisfazer um ou mais objetivos, como minimizar o tempo de trajeto no primeiro caso e o consumo de calorias no segundo. Planejar as atividades de uma empresa produtora de bens (eletrodomsticos, equipamentos eletrnicos, automveis, etc.) ou de servios (telefonia, transporte, energia, etc.), significa determinar quais decises a empresa deve tomar, eventualmente ao longo do tempo e sob condies de incerteza, para maximizar o seu retorno. As reas de aplicao abrangem fbricas, escritrios, hospitais, fazendas, estradas, etc. Sendo uma disciplina cientfica de caractersticas horizontais, as suas contribuies estendem-se por praticamente todos os domnios da atividade humana e incluem abordagem dos problemas

2 Universidade Federal de Lavras (UFLA) Novembro de 2011 envolvendo os meios de produo: seres humanos, matrias-primas, equipamentos, recursos financeiros e meio-ambiente. A finalidade da programao linear encontrar o lucro mximo ou o custo mnimo em situaes reais. Mas qual a magnitude desse benefcio dentro das empresas? Segundo pesquisas efetuadas em empresas que tm utilizado essa ferramenta, a reduo de custos se enquadra facilmente na faixa entre 1% e 5%, existindo casos que chegam at a 15% (GONALVES; KOPROWINSKI, 1995). Este trabalho mostrar um pouco mais sobre a Pesquisa Operacional e como objetivo, sua aplicao prtica na academia Vida Ativa, montando um modelo matemtico para maximizar a receita da empresa utilizando a ferramenta Solver do Microsoft Office Excel para encontrar a soluo.

2. REFERENCIAL TERICO

Desde a primeira revoluo industrial, o mundo tem apresentado um notvel desenvolvimento e crescimento em tamanho e complexidade de suas organizaes. Os caminhos da PO podem ser traados h muitas dcadas atrs, quando foi aplicada a administrao cientifica s organizaes. Como a tendncia natural aumentar a complexidade e a especializao das organizaes, torna-se mais e mais difcil alocar seus recursos disponveis pelas suas vrias atividades de maneira a obter a melhor eficincia para a organizao (MONTEVECHI, 2000). A PO nasceu durante a II Guerra Mundial, quando os Aliados se viram confrontados com problemas (de natureza logstica e de ttica e estratgia militar) de grande dimenso e complexidade. Foram criados grupos multidisciplinares de cientistas em que se incluam matemticos, fsicos e engenheiros. Aplicaram o mtodo cientfico aos problemas que lhes foram sendo colocados e criaram modelos matemticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os problemas em estudo e ensaiar e avaliar o resultado hipottico de estratgias ou decises alternativas. Com o fim do conflito e sucesso obtido, os grupos de cientistas transferiram a nova metodologia na abordagem de problemas para as empresas, confrontadas com problemas de deciso de grande complexidade derivados do crescimento econmico que se seguiu. A construo de um modelo comea pela adoo de uma notao apropriada para as principais quantidades presentes na definio do problema. comum denotar por: , , , ..., ;

as n quantidades manipuladas do problema. D-se o nome de variveis de deciso a estas quantidades. Os dados do problema podem ser representados por outras letras do alfabeto e so tambm referidos como parmetros do problema. O passo seguinte redefinir matematicamente o problema por meio de frmulas, relaes matemticas ou proposies. Uma frmula denominada de funo objetivo utilizada para descrever como o objetivo do problema influenciado pelos valores das variveis de deciso. Relaes matemticas envolvendo os smbolos "=", "", "" e proposies gerais so

3 Universidade Federal de Lavras (UFLA) Novembro de 2011 empregadas para descrever eventuais restries para a escolha de valores para as variveis de deciso (FERREIRA, P. A. V., 2006). Ferreira (2006) tambm expe que o modelo sinttico o seguinte: otimizar (Funo objetivo) sujeito a (restries)

De forma matemtica, segundo Silva, Carvalho e Jnior (2007), podemos representar um problema padro de programao linear por:

Maximizar: Z =

+

+ ... +

Sujeito a: a a . . a , +a , ..., +a +a . . + ... + a 0 , ,... e , precisam satisfazer todas as restries; e todos os termos que possvel e pressar ate atica e te ta to o atricial para + ... + a + ... + a . .

Ou seja, significa que Sha

os termos de X so de expoente 1 e as restries so inequaes lineares. li e Steve s Jr ( 979) afir a

objetivo como as restries. Como o prprio nome da tcnica sugere, estas relaes devem ser todas li eares. Para eles, a progra ao li ear, de for a resu ida, a aplicao da lge ra

resolver estas equaes usando algumas regras especiais que garantem que a soluo seja satisfatria todas as condies necessrias e ainda, trazer os melhores resultados com relao ao objetivo (SILVA, E.M.; CARVALHO, R. R. da S.; JNIOR, V. U.). Segundo Lachtermacher (2002, p.27) a programao linear utilizada em diversas reas como: Ad i istrao da produo; A lise de i vesti e tos; Alocao de recursos limitados; Planejamento regional; Logstica; Custo de transporte; Localizao da rede de distribuio e Alocao de recursos de marketing em diversos eios de co u icao.

Para se resolver um problema de programao linear podemos utilizar o mtodo grfico, que um mtodo mais restrito, pois trabalha com duas variveis. A figura abaixo mostra um exemplo de soluo grfica, onde os vrtices A, B, C e D demonstram as possveis solues de um modelo especfico:

4 Universidade Federal de Lavras (UFLA) Novembro de 2011

Figura 1 Vrtices A, B, C e D representando possveis solues timas. Fonte: David e Carreira, 2007.

Uma vantagem do modelo de programao linear na viso de Goldbarg e Luna (2005,p.25), [...] est a e traordi ria eficincia dos algoritmos de soluo hoje existentes, disponibilizando alta capacidade de clculo e podendo ser facilmente implementado at mesmo atravs de planilhas e com o au lio de icroco putadores pessoais.

Para solucionar problemas de maneira geral, atualmente existem vrias ferramentas. Pode-se utilizar um software, e dentre os existentes tem-se o Solver do Excel, que acompanha o pacote de aplicativos oferecido pela empresa Microsoft, que de fcil acesso. Conforme Dodge e Stinson (2001, p.559), [...] O Solver pode manipular problemas que envolvam muitas clulas variveis e pode ajudar a encontrar combinaes de variveis que maximizam ou minimizem uma clula de destino. Ele tambm permite especificar uma ou mais restries co dies que deve ser ate didas para que a soluo seja vlida [...].

O solver um suplemento que acompanha o Microsoft Excel, que tem por finalidade ser utilizado como ferramenta para efetuar os clculos de programao linear. Este suplemento ir demonstrar nos clculos qual o mix de produtos mais rentvel para a empresa produzir, com o intuito de aumentar a rentabilidade da empresa, respeitando as restries do sistema (NETO, A. R.; DEIMLIN, M. F.; TOSATI, M. C., 2006). Alm disso, o solver pode manipular problemas que possuem mais de uma varivel, que maximize ou minimize a funo objetivo, levando em considerao as restries ou condies que sero impostas para solucionar o problema (NETO, A. R.; DEIMLIN, M. F.; TOSATI, M. C., 2006). Neste trabalho, ser usada essa ferramenta computacional para nos auxiliar, descartando o mtodo grfico aqui exposto como exemplo.

5 Universidade Federal de Lavras (UFLA) Novembro de 2011 3. METODOLOGIA

Para atingir os objetivos propostos, optou-se pela pesquisa exploratria na empresa. Alm disso, o trabalho est apoiado em pesquisas bibliogrficas sobre o tema para consolidar a base conceitual, e com a pesquisa real junto academia Vida Ativa. Foi utilizada uma entrevista estruturada com o proprietrio da empresa para se coletar os dados necessrios para montar um modelo matemtico para colocar em prtica os conhecimentos aprendidos em sala de aula. Sero trabalhados esses dados coletados para criar um modelo que trar uma aproximao do que o ser encontrado na realidade da organizao. Aps isso, ser utilizado a ferramenta computacional Solver para resolver o modelo composto por inequaes. As capturas de tela das respectivas planilhas sero anexadas no artigo para mostrar o passo a passo da resoluo. No final, ser feita uma concluso dos dados obtidos nessa fase para poder apresentar ao gestor da empresa.

4. DESCRIO DA EMPRESA E DA