Pesquisa operacional aplicada em uma academia

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Universidade Federal de Lavras (UFLA) – Novembro de 2011

APLICAÇÃO DA PESQUISA OPERACIONAL EM UMA ACADEMIA DE LAVRAS-MG:

UM ESTUDO DE CASO

Carla Josiane Evaristo, graduanda em Sistemas de Informação (UFLA); [email protected]

Pedro Henrique Nogueira, graduando em Sistemas de Informação (UFLA); [email protected]

UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS – UFLA

RESUMO

A Pesquisa Operacional (PO) é um ramo interdisciplinar da matemática aplicada que faz uso de

modelos matemáticos, estatísticos e de algoritmos na ajuda à tomada de decisões. É usada, sobretudo

para analisar sistemas complexos do mundo real, tipicamente com o objetivo de melhorar ou otimizar

a performance. Esse artigo científico tem a finalidade de aplicar a pesquisa operacional como

ferramenta para auxiliar o gestor na tomada de decisão na academia Vida Ativa, localizada na cidade

de Lavras, para otimizar com qualidade sua capacidade de alunos e consequentemente a receita direta.

Para isso, utilizaremos os conceitos e modelos matemáticos da Pesquisa Operacional para montarmos

o modelo que reflete a realidade da organização através de pesquisas e coletas de dados na empresa

por meio de entrevista para propor a melhor solução via Solver.

Palavras-chave: Pesquisa Operacional, Programação linear, Otimização, capacidade, Solver.

1. INTRODUÇÃO E OBJETIVOS DO TRABALHO

Problemas de tomada de decisão são frequentes no dia-a-dia. Escolher que trajeto seguir para

ir de um ponto a outro da cidade ou qual refeição pedir num restaurante são exemplos típicos. Nestes

casos é preciso selecionar uma alternativa dentre várias outras possíveis de maneira a satisfazer um ou

mais objetivos, como minimizar o tempo de trajeto no primeiro caso e o consumo de calorias no

segundo. Planejar as atividades de uma empresa produtora de bens (eletrodomésticos, equipamentos

eletrônicos, automóveis, etc.) ou de serviços (telefonia, transporte, energia, etc.), significa determinar

quais decisões a empresa deve tomar, eventualmente ao longo do tempo e sob condições de incerteza,

para maximizar o seu retorno.

As áreas de aplicação abrangem fábricas, escritórios, hospitais, fazendas, estradas, etc.

Sendo uma disciplina científica de características horizontais, as suas contribuições estendem-se por

praticamente todos os domínios da atividade humana e incluem abordagem dos problemas

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envolvendo os meios de produção: seres humanos, matérias-primas, equipamentos, recursos

financeiros e meio-ambiente.

A finalidade da programação linear é encontrar o lucro máximo ou o custo mínimo em

situações reais. Mas qual é a magnitude desse benefício dentro das empresas? Segundo pesquisas

efetuadas em empresas que têm utilizado essa ferramenta, a redução de custos se enquadra facilmente

na faixa entre 1% e 5%, existindo casos que chegam até a 15% (GONÇALVES; KOPROWINSKI,

1995).

Este trabalho mostrará um pouco mais sobre a Pesquisa Operacional e como objetivo, sua

aplicação prática na academia Vida Ativa, montando um modelo matemático para maximizar a receita

da empresa utilizando a ferramenta Solver do Microsoft Office Excel para encontrar a solução.

2. REFERENCIAL TEÓRICO

Desde a primeira revolução industrial, o mundo tem apresentado um notável desenvolvimento

e crescimento em tamanho e complexidade de suas organizações. Os caminhos da PO podem ser

traçados há muitas décadas atrás, quando foi aplicada a administração cientifica às organizações.

Como a tendência natural é aumentar a complexidade e a especialização das organizações, torna-se

mais e mais difícil alocar seus recursos disponíveis pelas suas várias atividades de maneira a obter a

melhor eficiência para a organização (MONTEVECHI, 2000).

A PO nasceu durante a II Guerra Mundial, quando os Aliados se viram confrontados com

problemas (de natureza logística e de tática e estratégia militar) de grande dimensão e complexidade.

Foram criados grupos multidisciplinares de cientistas em que se incluíam matemáticos, físicos e

engenheiros. Aplicaram o método científico aos problemas que lhes foram sendo colocados e criaram

modelos matemáticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os problemas em

estudo e ensaiar e avaliar o resultado hipotético de estratégias ou decisões alternativas. Com o fim do

conflito e sucesso obtido, os grupos de cientistas transferiram a nova metodologia na abordagem de

problemas para as empresas, confrontadas com problemas de decisão de grande complexidade

derivados do crescimento econômico que se seguiu.

A construção de um modelo começa pela adoção de uma notação apropriada para as principais

quantidades presentes na definição do problema. É comum denotar por:

, , , ..., ;

as n quantidades manipuladas do problema. Dá-se o nome de variáveis de decisão a estas quantidades.

Os dados do problema podem ser representados por outras letras do alfabeto e são também referidos

como parâmetros do problema. O passo seguinte é redefinir matematicamente o problema por meio de

fórmulas, relações matemáticas ou proposições. Uma fórmula denominada de função objetivo é

utilizada para descrever como o objetivo do problema é influenciado pelos valores das variáveis de

decisão. Relações matemáticas envolvendo os símbolos "=", "≥", "≤" e proposições gerais são

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empregadas para descrever eventuais restrições para a escolha de valores para as variáveis de decisão

(FERREIRA, P. A. V., 2006).

Ferreira (2006) também expõe que o modelo sintético é o seguinte:

otimizar (Função objetivo)

sujeito a (restrições)

De forma matemática, segundo Silva, Carvalho e Júnior (2007), podemos representar um

problema padrão de programação linear por:

Maximizar: Z = + + ... +

Sujeito a:

a + a + ... + a ≤

a + a + ... + a ≤

. . .

. . .

a + a + ... + a ≤

, , ..., ≥ 0

Ou seja, significa que , ,... e , precisam satisfazer todas as restrições; e todos os termos

os termos de X são de expoente 1 e as restrições são inequações lineares.

Sha li e Steve s Jr ( 979) afir a que “é possível e pressar ate atica e te ta to o

objetivo como as restrições. Como o próprio nome da técnica sugere, estas relações devem ser todas

li eares”. Para eles, a progra ação li ear, é de for a resu ida, a aplicação da álge ra atricial para

resolver estas equações usando algumas regras especiais que garantem que a solução seja satisfatória à

todas as condições necessárias e ainda, trazer os melhores resultados com relação ao objetivo (SILVA,

E.M.; CARVALHO, R. R. da S.; JÚNIOR, V. U.).

Segundo Lachtermacher (2002, p.27) a programação linear é utilizada em diversas áreas

como: “Ad i istração da produção; A álise de i vesti e tos; Alocação de recursos limitados;

Planejamento regional; Logística; Custo de transporte; Localização da rede de distribuição e Alocação

de recursos de marketing em diversos eios de co u icação”.

Para se resolver um problema de programação linear podemos utilizar o método gráfico, que é

um método mais restrito, pois trabalha com duas variáveis. A figura abaixo mostra um exemplo de

solução gráfica, onde os vértices A, B, C e D demonstram as possíveis soluções de um modelo

específico:

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Figura 1 – Vértices A, B, C e D representando possíveis soluções ótimas.

Fonte: David e Carreira, 2007.

Uma vantagem do modelo de programação linear na visão de Goldbarg e Luna (2005,p.25),

[...] “está a e traordi ária eficiência dos algoritmos de solução hoje existentes, disponibilizando alta

capacidade de cálculo e podendo ser facilmente implementado até mesmo através de planilhas e com o

au ílio de icroco putadores pessoais”.

Para solucionar problemas de maneira geral, atualmente existem várias ferramentas. Pode-se

utilizar um software, e dentre os existentes tem-se o Solver do Excel, que acompanha o pacote de

aplicativos oferecido pela empresa Microsoft, que é de fácil acesso.

Conforme Dodge e Stinson (2001, p.559), [...] “O Solver pode manipular problemas que

envolvam muitas células variáveis e pode ajudar a encontrar combinações de variáveis que

maximizam ou minimizem uma célula de destino. Ele também permite especificar uma ou mais

restrições – co dições que deve ser ate didas para que a solução seja válida [...]”.

O solver é um suplemento que acompanha o Microsoft Excel, que tem por finalidade ser

utilizado como ferramenta para efetuar os cálculos de programação linear. Este suplemento irá

demonstrar nos cálculos qual o mix de produtos mais rentável para a empresa produzir, com o intuito

de aumentar a rentabilidade da empresa, respeitando as restrições do sistema (NETO, A. R.;

DEIMLIN, M. F.; TOSATI, M. C., 2006).

Além disso, “o solver pode manipular problemas que possuem mais de uma variável, que

maximize ou minimize a função objetivo, levando em consideração as restrições ou condições que

serão impostas para solucionar o problema” (NETO, A. R.; DEIMLIN, M. F.; TOSATI, M. C., 2006).

Neste trabalho, será usada essa ferramenta computacional para nos auxiliar, descartando o

método gráfico aqui exposto como exemplo.

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3. METODOLOGIA

Para atingir os objetivos propostos, optou-se pela pesquisa exploratória na empresa. Além

disso, o trabalho está apoiado em pesquisas bibliográficas sobre o tema para consolidar a base

conceitual, e com a pesquisa real junto à academia Vida Ativa.

Foi utilizada uma entrevista estruturada com o proprietário da empresa para se coletar os

dados necessários para montar um modelo matemático para colocar em prática os conhecimentos

aprendidos em sala de aula. Serão trabalhados esses dados coletados para criar um modelo que trará

uma aproximação do que o será encontrado na realidade da organização.

Após isso, será utilizado a ferramenta computacional Solver para resolver o modelo composto

por inequações. As capturas de tela das respectivas planilhas serão anexadas no artigo para mostrar o

passo a passo da resolução.

No final, será feita uma conclusão dos dados obtidos nessa fase para poder apresentar ao

gestor da empresa.

4. DESCRIÇÃO DA EMPRESA E DA SITUAÇÃO

A academia Vida Ativa foi fundada em maio de 1995. A ideia surgiu porque em Lavras,

segundo o proprietário, e istia ape as duas acade ias, a acade ia “Ke per For a” e a acade ia

“Prada”. Para isso, foi feita uma pesquisa de aceitação de mercado e assim veio a tomada a decisão

para a abertura da respectiva empresa. Seu proprietário já demonstrava boa qualificação profissional

para criar e administrar uma academia, pois é formado em Educação Física pela FAGAMMON e Pós-

Graduado em Administração e Gestão Estratégica em Marketing pela FUNREI.

A academia atualmente conta com duas unidades, uma unidade no centro da cidade e outra no

bairro Monte Líbano. Ela também tem mais duas unidades em pontos diferentes na cidade onde realiza

a especialidade de Fisioterapia.

Este trabalho foi focado na academia localizada no centro da cidade, que se enquadra em uma

academia de médio porte para o contexto da cidade de Lavras.

Missão da empresa: Proporcionar atividade física com qualidade a todas as pessoas de Lavras

e Região.

O objetivo da empresa é: Garantir qualidade de vida aos usuários.

Os principais mercados da academia são as seguintes modalidades disponibilizadas para os

alunos: Avaliação Física, Musculação, Ginástica, Pilates e Spinning. Ela também já contou com outras

modalidades como Lutas, Hidroginástica e RPM.

A academia em questão está no mercado há mais de 20 anos, e possui grande experiência no

ramo. O local onde ela está instalada, segundo o proprietário, foi planejado desde o começo para

melhor atender a demanda dos usuários. No ano de 2009 o espaço interno da academia foi

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redimensionado para a construção da residência do proprietário utilizando uma parte do espaço físico

que antes era da academia. Como o espaço não pode ser aumentado, a academia em alta temporada

(geralmente em épocas de aulas na Universidade Federal de Lavras e estações quentes), ás vezes se

defronta com problema de lotação; ela que chega a ter 600 alunos matriculados nessa situação, ter

espaço o espaço reduzido pode comprometer a qualidade dos serviços prestados.

O período analisado será das 17h às 21h30min, pois é o horário que a academia recebe mais

pessoas pelo fato de muitas trabalharem durante o dia. Deve ser frisado esse período, pois os dados

coletados abaixo e o trabalho em si, estão ligados à esse período, e não a um determinado instante da

academia, como no dia ou no mês.

O primeiro problema a ser analisado é a capacidade total de alunos por modalidade, e se

houver, a capacidade mínima para a modalidade existir. A capacidade mínima explica que deve haver

um número mínimo de alunos por modalidade para que ela não traga prejuízos. A partir dos dados

fornecidos pelo proprietário, a tabela abaixo foi construída:

Tabela com as modalidades no período de 17h às 21h30min

MODALIDADE VALOR

CAPACIDADE

MÁXIMA DE

ALUNOS

CAPACIDADE

MÍNIMA DE

ALUNOS

NÚMERO DE

PROFESSORES

Avaliação Física R$ 0,00 Não tem Não tem 1

Musculação R$ 55,00 300 50 3

Ginástica R$ 55,00 100 20 3

Pilates R$ 55,00 100 20 2

Spinning R$ 60,00 10 5 2

Tabela 1 – Valor da mensalidade por modalidade e capacidade máxima e mínima de alunos.

A modalidade de Avaliação Física não é cobrada, ela é gratuita para os atuais alunos e para os

novos. É um serviço que não ocorre com muita frequência em comparação com as outras modalidades,

podendo variar a cada dia o número de pessoas que procuram esse serviço, e, portanto, não será

incluída no modelo de programação linear por não trazer resultados finais na receita. O professor

responsável é o próprio proprietário, que realiza as avaliações físicas dos alunos.

A capacidade total que a academia suporta no período é de até 350 pessoas segundo o

proprietário.

O outro problema é que as modalidades Pilates, Spinning e Ginástica são realizadas no

segundo andar da academia, e, segundo o proprietário, o fluxo de pessoas se torna complicado, e a

pedido, ele informou que desejaria que o número de pessoas no segundo andar da academia não

ultrapassasse o número de 120 pessoas.

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Também disse que, para cobrir custos da modalidade de musculação que é a mais onerosa,

deseja ter pelo menos 2 alunos de Pilates - que é a menos onerosa - por aluno de musculação. Mas ele

informou que queria apenas saber se seria possível adicionar essa restrição por curiosidade, apenas

para descobrir a receita gerada, e se a receita com essa restrição for menor do que sem ela, ele

escolherá o outro modelo padrão para análise. Consideramos ela como sendo uma restrição opcional.

O objetivo é maximizar a receita da empresa através da programação linear para definir o

número de alunos por modalidade de acordo com as informações prestadas pelo proprietário sem

comprometer a qualidade do serviço prestado aos alunos pelos professores, pois é a qualidade que

melhor traduz o negócio da academia. Poderá ele também realizar a melhor adequação do número de

professores com base no resultado gerado, e a partir de sua experiência, poderá criar turmas de alunos

da modalidade específica de forma mais eficiente.

5. DESCRIÇÃO E APRESENTAÇÃO DO MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

Com os dados coletados, o modelo matemático de programação linear pode ser construído. As

variáveis de decisão da academia Vida Ativa são as seguintes:

X1 = número de alunos de MUSCULAÇÃO

X2 = número de alunos de GINÁSTICA

X3 = número de alunos de PILATES

X4 = número de alunos de SPINNING

A função objetivo visa maximizar a receita da empresa. Neste caso, conforme a alocação de

alunos por modalidade que está presente na tabela 1, a função objetivo montada está abaixo:

MAX Z = 55X1 + 55X2 + 55X3 + 60X4

As restrições encontradas são as seguintes:

A primeira restrição é a quantidade total de alunos que a academia suporta:

o X1 + X2 + X3 + X4 ≤ 350

A segunda restrição é a quantidade de alunos na modalidade de musculação:

o X1≤ 300 e X1 ≥ 50

A terceira restrição é a quantidade de alunos na modalidade de ginástica:

o X2 ≤ 100 e X2 ≥ 20

A quarta restrição é a quantidade de alunos na modalidade de Pilates:

o X3 ≤ 100 e X3 ≥ 20

A quinta restrição é a quantidade de alunos na modalidade de Spinning:

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o X4 ≤ 10 e X4 ≥ 5

A sexta restrição é a quantidade de pessoas no segundo andar da academia:

o X2 + X3 + X4 ≤ 120

A sétima restrição (opcional) é de ter pelo menos 2 alunos de Pilates para cada 1 aluno

de musculação:

o X ≤ X4

A oitava restrição é a restrição de NÃO-NEGATIVIDADE:

o X , X , X3, X4, X5 ≥ 0

Com as restrições definidas, temos o seguinte modelo padrão:

MAX Z = 55X1 + 55X2 + 55X3 + 60X4

Sujeito a:

X1 + X2 + X3 + X4 ≤ 350

X1 ≤ 300

X1 ≥ 50

X2 ≤ 100

X2 ≥ 20

X3 ≤ 100

X3 ≥ 20

X4 ≤ 10

X4 ≥ 5

X + X3 + X4 ≤ 0

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

O segundo modelo abaixo foi construído adicionando a restrição opcional (X1 ≤ X4) para

analisar o resultado gerado.

MAX Z = 55X1 + 55X2 + 55X3 + 60X4

Sujeito a:

X1 + X2 + X3 + X4 ≤ 350

X ≤ 300

X ≥ 50

X ≤ 00

X ≥ 0

X3 ≤ 00

X3 ≥ 0

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X4 ≤ 0

X4 ≥ 5

X + X3 + X4 ≤ 0

X1 ≤ X4

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

Com o modelo montado, podemos utilizar o Solver para encontrar a solução. Após isso,

demonstrar os resultados, discutir e anexar as planilhas usadas.

6. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Para se chegar ao resultado pretendido pelo artigo, foi utilizado o software Excel com a

ferramenta Solver para chegar ao número ótimo de alunos por modalidade. A solução encontrada no

primeiro modelo proposto foi:

Musculação: 230 alunos

Ginástica: 55 alunos

Pilates: 55 alunos

Spinning: 10 alunos

Essas quantidades de alunos no período analisado do modelo 1 - se atingidas - geram uma

receita ótima de R$ 19.300 ao proprietário no mês.

A solução encontrada no segundo modelo proposto foi:

Musculação: 190 alunos

Ginástica: 20 alunos

Pilates: 95 alunos

Spinning: 5 alunos

Essas quantidades de alunos no período analisado do modelo 2 - se atingidas - geram uma

receita ótima de R$ 17.075 ao proprietário no mês.

O objetivo do proprietário era optar pelo modelo que gerasse a maior receita, portanto o

modelo 1 atende esse requisito. Em conversa com o mesmo, ele analisou o relatório e não quis revelar

a situação atual em detalhes, ou seja, os números atuais que a academia possui de alunos em cada

especialidade. Mas revelou que a quantidade ótima encontrada para os alunos de Spinning é mesma da

quantidade atual e que o número de alunos de Pilates, Ginástica e Musculação estão abaixo da solução

ideal. Revelou também que a diferença da situação atual com a solução ótima é bem maior na

modalidade de musculação. Segundo ele, no verão até fevereiro, mas principalmente em Dezembro e

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Janeiro, os números dessas modalidades que ficaram abaixo dos números ótimos de alunos sempre

aumentam, e assim disse que espera que aproxime da solução proposta pelo modelo para aumentar sua

receita sem comprometer a qualidade dos serviços prestados.

Na época em questão, durante o início do trabalho, ela não contava com a modalidade de luta,

o que agora ela já conta. O proprietário pediu os modelos em Excel feitos pelo grupo e uma breve

explicação para poder tomar futuras decisões sobre o quantitativo de pessoal alocar em cada

modalidade para criação de turmas específicas.

O relatório de sensibilidade gerado pelo Solver está na Figura 2 abaixo:

Figura 2 – Relatório de sensibilidade do modelo 1.

A partir deste relatório gerado pelo Solver do modelo 1 que contém o valor do preço sombra, é

possível concluir:

A restrição de quantidade máxima de alunos de Spinning se aumentada em 1 unidade,

ou seja, em 1 aluno, o valor da receita do modelo aumentará em R$ 5,00.

A restrição de quantidade máxima de alunos na academia se aumentada em 1 unidade,

ou seja, em 1 aluno, o valor da receita do modelo aumentará em R$ 55,00.

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Para tanto, aumentar 1 unidade de aluno, é necessário aumentar também o espaço físico que a

academia dispõe. Mas como a academia está localizada no primeiro e segundo andar, isso não é

possível, logo, o proprietário tem que se conformar com as restrições atuais da academia.

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES

Cabe ressaltar que uma academia não depende apenas de estações climáticas para ganhar

alunos e muito menos – no caso da Vida Ativa – de alunos da UFLA. Ela pode atrair mais pessoas

através de políticas de marketing e qualidade dos serviços prestados, pois se ela cumpre o que devia

fazer e da melhor forma possível, ela tem um diferencial, diferencial este que pode deixar ela com um

melhor nome na cidade, e consequentemente, mais clientes.

O que colocamos neste trabalho é uma aproximação da realidade, apenas trabalhando com

quatro variáveis de decisão. Análises mais satisfatórias e mais próximas da realidade só serão

possíveis usando o máximo de variáveis possíveis do ambiente para que o suporte a decisão seja mais

confiável e preciso.

Por fim, o grupo considerou satisfatório o presente trabalho, pois a experiência vivenciada

demonstrou a aplicabilidade de conteúdos aprendidos em sala de aula, contrapondo a rotina das

atividades teóricas.

8. ANEXOS: PLANILHAS DO SOLVER

Figura 3 – Planilha do Excel com os dados do primeiro modelo matemático.

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Figura 4 – Janela com as células definidas nas restrições, na função objetivo e nas variáveis.

Figura 5 – Janela informando que o Solver encontrou a solução ótima.

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Figura 6 – Planilha com os resultados obtidos no primeiro modelo matemático.

Figura 7 – Planilha do Excel com os dados do segundo modelo matemático.

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Figura 8 – Janela com as células definidas nas restrições, na função objetivo e nas variáveis.

Figura 9 – Planilha com os resultados obtidos no segundo modelo matemático.

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9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DAVID, A.; CARREIRA, S., 2007. Trabalho de adsa. Disponível em:

<http://trabalhodeadsa.no.sapo.pt/tpc3.html> Acesso em 12/10/2011, às 21h06min.

FERREIRA, P. A. V. Introdução à Pesquisa Operacional. Disponível em:

<http://www.dt.fee.unicamp.br/~valente/capt1_044.pdf> Acesso em 08/10/2011, às 20h23min.

NETO, A. R.; DEIMLIN, M. F.; TOSATI, M. C. Aplicação da programação linear no

planejamento e controle de produção: definição do mix de produção de uma indústria de

bebidas. Bauru, São Paulo, p.3-4, nov./2006.

SILVA, E.M.; CARVALHO, R. R. da S.; JÚNIOR, V. U. Pesquisa operacional aplicada na

maximização de receita em uma academia de ginástica. Simpósio de Excelência em Gestão e

Tecnologia – FACESM, Minas Gerais, p.1-15.

SIPPERT, T. A. S. O que é pesquisa Operacional. Disponível em:

<http://sippert.com.br/artigos/o-que-e-pesquisa-operacional/> Acesso em 12/10/2011, às 19h00min.

UFPR. Pesquisa Operacional (Programação Linear). Disponível em:

<http://www.inf.ufpr.br/tms06/grad/4_periodo/cm224/textos/apostilaepr05.pdf.pdf> Acesso em

08/10/2011, às 20h23min.

UFLA. Normas para Publicação de Artigos Científicos. Disponível em:

< http://www.editora.ufla.br/revista/normas/NormasPortugues.pdf > Acesso em 12/10/2011, às

18h50min.

WIKIBOOKS. A história da Programação linear. Disponível em:

<http://pt.wikibooks.org/wiki/Pesquisa_operacional/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_Program

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12/11/2011, às 20h31min.

WIKIPEDIA. Investigação operacional. Disponível em:

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Investiga%C3%A7%C3%A3o_operacional> Acesso em 08/10/2011, às

18h39min.

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