PISM I – 2018

MÓDULO II

GEOMETRIA PLANA

Elementos do círculo e da circunferência Os elementos do círculo e da circunferência são raio, diâmetro, corda, arco da circunferência, setor circular e coroa circular, entre outros.

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva em Geometria0 Comentários

O compasso é um objeto usado para desenhar círculos e circunferências

Para um dado ponto C, chamado centro, uma circunferência é o conjunto de todos os

pontos que possuem uma distância fixa até C. Essa distância geralmente é representada

pela letra r. Os círculos, por sua vez, são compostos por todos os pontos de

uma circunferência e por seus pontos interiores. A imagem a seguir ilustra uma

circunferência e um círculo.

Destacamos a seguir os elementos dessas duas figuras, que possuem grande importância

para a Geometria:

1 – Raio

O raio é a distância entre um ponto de uma circunferência e seu centro. O raio do círculo é

a distância entre a borda do círculo e seu centro.

Dizemos que um ponto é interior a uma circunferência quando a sua distância até o centro

é menor que o raio; o ponto é externo quando a distância entre o centro e ele é maior

que o raio; e, por fim, dizemos que um ponto pertence a uma circunferência quando sua

distância até o centro é igual ao raio.

O raio da circunferência (e/ou do círculo) é indispensável em cálculos, como comprimento,

área etc.

O comprimento da circunferência é dado pela seguinte fórmula:

C = 2πr

E a área do círculo é obtida pela fórmula a seguir:

A = πr2

Em ambos os casos, r é o raio da circunferência (ou do círculo) e π é uma constante de

aproximadamente 3,1415.

2 – Cordas

Em uma circunferência, a corda é qualquer segmento de reta que liga dois de seus

pontos. Atenção: o centro não é ponto da circunferência!

Dessa maneira, as cordas, em um círculo, podem ser compreendidas como segmentos

de reta que ligam dois pontos distintos de sua borda.

3 – Diâmetro

O diâmetro é uma corda da circunferência que contém o centro. Dessa maneira, o

diâmetro é a maior corda possível em uma circunferência e sua medida é igual a duas vezes

o raio.

d = 2·r

O resultado da divisão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro

sempre será igual a uma constante, representada pela letra grega π, que é

aproximadamente 3,14. Isso independe do tamanho da circunferência, pois seu

comprimento e seu diâmetro são proporcionais e a razão de proporcionalidade é igual a

π.

4 – Comprimento

O comprimento de uma circunferência é a medida da própria circunferência em alguma

unidade de medida conhecida. Esse comprimento pode ser obtido pela fórmula:

C = 2πr

Nessa fórmula, π é uma constante (aproximadamente 3,14) e r é a medida do raio da

circunferência.

5 – Arco

Considere os pontos A e B sobre uma circunferência. As duas partes formadas que vão

de A até B são chamadas de arcos da circunferência, como demonstrado na figura a

seguir:

Em outras palavras, o arco é uma parte de uma circunferência limitada por dois pontos.

6 – Setor circular É o equivalente ao arco, porém para o círculo. Em dados dois raios distintos de um círculo,

o setor circular é a parte limitada por eles.

O setor circular é algo que se parece com uma fatia de pizza. A parte restante também é

chamada de setor circular.

7 – Ângulo central É um ângulo cujo vértice está no centro de um círculo e os lados são seus raios.

Um ângulo central está ligado a um arco no círculo onde foi definido. A imagem seguinte

mostra um exemplo de ângulo central.

8 – Coroa circular A coroa circular é uma figura geométrica limitada por dois círculos que possuem o mesmo

centro (concêntricos) de raios diferentes. Essa figura é a que mais se assemelha a um anel,

como mostra a imagem abaixo.

Exercícios Sobre Área Do Círculo Exercícios que abordam áreas do círculo e os conhecimentos básicos necessários para calculá-las. Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva em Exercícios de Matemática2 Comentários

Questão 1

Calcule a área de um círculo de raio 7 cm.

Questão 2

Calcule a área de um círculo cujo diâmetro mede 18 cm.

Questão 3

Qual a área de um círculo no qual foi inscrito um quadrado de lado 4 cm?

Questão 4

(Ufpe 96) Num círculo, inscreve-se um quadrado de lado 7 cm. Sobre cada lado do

quadrado, considera-se a semicircunferência exterior ao quadrado com centro no ponto

médio do lado e raio 3,5cm, como na figura a seguir. Calcule a área da região hachurada.

Apesar de parecer difícil, esse exercício exige apenas que você saiba calcular a área do

quadrado e do círculo. Todo o trabalho pode ser feito em três passos:

I- calcular a área limitada pelos semicírculos hachurados;

II- calcular a área do círculo e

III- diminuir o resultado da primeira área pelo resultado da segunda.

Respostas

Resposta Questão 1

Basta utilizar a fórmula para área do círculo:

A = π·r2

A = 3,14 · 72

A = 3,14 · 49

A = 153,86 cm2 Resposta Questão 2

Utilizando a fórmula da área do círculo, substitua o valor do raio e realize os cálculos: A = π·r2

A = 3,14 · 92 A = 3,14 · 81

A = 254,34 cm2 Repare que o valor utilizado para o raio foi 9 cm e não 18 cm. Isso acontece porque 18 cm é o comprimento do diâmetro e não do raio. Uma vez que o raio é metade do diâmetro, basta fazer a substituição correta na fórmula.

Resposta Questão 3

Como o quadrado está inscrito no círculo, encontrando sua diagonal encontraremos também o diâmetro do círculo:

d = l√(2) d = 4√(2)

O raio de um círculo é metade de seu diâmetro, portanto, r = 2√(2) Agora, basta calcular a área desse círculo.

A = π·r2 A = 3,14 · [2√(2)]2

A = 3,14 · 4 · 2 A = 25,15 cm2

Resposta Questão 4 I- A figura abaixo representa a área limitada pelos semicírculos. Para calculá-la é preciso calcular a área do quadrado e somar com a área dos quatro semicírculos.

O lado do quadrado mede 7 cm. Sua área, portanto, é

Aq = l2 = 72 = 49 cm2 Agora, basta calcular a área de um semicírculo e multiplicar por 4, já que temos 4 deles no exercício.

As = π · r2 2

As = 3,14 · 3,52 2

As = 38,465 2

As = 19,2325 cm2

Para descobrir a área dos quatro semicírculos, basta multiplicar a área do semicírculo por 4

4*As = 19,2325 · 4 4*As = 76,93 cm2

Portanto, a área delimitada pelos semicírculos é a área dos semicírculos somada à área do quadrado:

A = 76,93 + 49 = 125,93 cm² II- Para calcular a área do círculo é necessário saber seu raio, que é metade da diagonal do quadrado.

d = l ·√(2) = 7·√(2) = 9,9 cm O raio do círculo é metade da diagonal do quadrado:

d = 9,9 = 4,95 cm 2 2

Com o raio do círculo em mãos, calcule sua área: Ac = π·r2

Ac = 3,14 · 4,952 Ac = 3,14 · 24,5 Ac = 76,93 cm2

III- Basta finalizar o exercício diminuindo a área da região limitada pelos semicírculos pela área do círculo.

A – Ac = 125,93 – 76,96 = 49 cm²

Número pi (π) Postado por Natália Petrin

Informar erro

O número pi foi determinado pela razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro. Por se tratar de um valor constante, sempre igual, o pi passou a ser representado na matemática pelo símbolo π. Para exemplificar, iremos demonstrar em fórmula que a divisão entre o perímetro e o diâmetro de uma roda de carro e de uma moeda são exatamente o mesmo valor: π.

π é um número irracional que, normalmente, arredondamos o valor para três casas, com o valor π=3,14. No entanto, o mistério da matemática que envolve o π, é que não sabemos qual seria a última casa desse número, que pode ser representado com várias casas após a vírgula, mas sempre terminando em reticências:

π= 3,14159265358979323846…

Por isso, usamos sempre a letra grega π, evitando possíveis erros. O π pode ser encontrado por meio da divisão do perímetro pelo diâmetro de uma circunferência, e o perímetro pela multiplicação do diâmetro por π, conforme demonstrado abaixo:

A história do número π

A relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro já era conhecida por diversos povos antigos (como os babilônios e os egípcios), que já sabiam que a razão era maior do que 3. Em placas encontradas dos povos babilônios, havia anotações de uma aproximação grosseira para o valor de π. Eles consideravam a razão como dada pelo número 3 ou por:

Para os egípcios, no entanto, o valor era outro, mais exato, ao qual chegaram por meio da comparação entre a área de um disco circular com o quadrado do seu diâmetro. Se o diâmetro for 2 e a área π, podemos ter o valor de π por meio da regra egípcia:

Os gregos foram os primeiros a mostrar por quais motivos a razão dos círculos de tamanhos distintos é a mesma. Trata-se de uma simples propriedade das figuras semelhantes. Arquimedes foi quem aproximou mais o número π do valor real, aproximando a circunferência por polígonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados, determinando uma limitação para π:

ou seja, 3,14085 < π < 3,142857.

Dessa forma, com o passar dos anos, os valores foram sendo melhorados e aproximados ao real. No entanto, foi a partir do século XX, com uso de computadores e dos algoritmos computacionais que se tornou mais precisa a definição do valor de π.

O cálculo da área de um círculo

O π aparece também na fórmula que determina a área de um círculo, que é constituída pelo fracionamento do círculo em uma infinidade de triângulos isósceles, sendo que dois dos lados do triângulo devem ter a medida do raio.

Foto: Uol

Com dois triângulos desses, formamos um paralelogramo com uma inclinação pequena, que tende ao retângulo.

Foto: Uol

Com a multiplicação da base pela altura, temos a área de um retângulo e, como cada retângulo é formado por dois triângulos, sendo que sua base é um pedaço do perímetro do círculo, a fragmentação tem que ser imaginada com um número par de triângulos, para que todos se unam em pares para formar retângulos. Une-se, em seguida, todos os retângulos em um retângulo maior cuja base é πR e a altura é R, como demonstrado na imagem abaixo.

Foto: Uol

O processo de encaixe dos triângulos dois a dois faz com que a base seja a metade do perímetro do círculo. Multiplicando a base pela altura, temos π x R x R, determinando a área desse retângulo, que pode ser representado por:

A = π R²

*Revisado por Paulo Ricardo – professor pós-graduado em matemática e suas novas tecnologias

Informar erro

1) Calcule o comprimento de uma circunferência de raio 40 cm. (Use π = 3,14 ) 2) Medindo o comprimento de uma circunferência com um barbante, obteve-se

94,2 cm. Qual a medida do raio e do diâmetro dessa circunferência?

(Use π = 3,14 ) 3) O raio da roda de uma bicicleta mede 25cm. a) Qual o comprimento da circunferência da roda?

b) Quantos centimetros a bicicleta percorrerá após a roda efetuar 30 voltas?

(Use π = 3,14 ) 4) Considerando que uma circunferência tem 25cm de raio, responda e assinale a opção correta. (Use π = 3,14 ) a) essa circunferência tem 1.570 cm de comprimento

b) essa circunferência tem 75 cm de diâmetro

c) essa circunferência tem 157 cm de comprimento

5)O raio de uma circunferência mede 10 cm. Determine o comprimento da circunferência?

(Use π = 3,14 ) 6)Em cada item abaixo, determine o comprimento da circunferência: (Use π = 3,14 ) a) o raio mede 5 cm

b) o diametro mede 30 cm

7) O comprimento da circunferência de uma das rodas de uma bicicleta ,mede 125,6 cm. Determine o raio. (Use π = 3,14 )

Respostas: 1 - C = 251,2 cm

2 - d = 30 cm ; r = 30 : 2 = 15 cm

3 - a) C = 157 cm; b) 157 x 30 = 4710 cm

4 - c é a correta

5 - 62,8 cm

6 - a) 31,4 cm; b) 94,2 cm

7 - r = 20 cm

Resolução de algumas provas para estudar Prova Resolvida CFO PM ES 2013 – Exatus – .

Donato, patrulheiro militar, utiliza uma bicicleta no exercício da sua função, que é patrulhar uma região turística de Vitória-ES. Sabe-se que o pneu dessa bicicleta possui formato circular de diâmetro medindo 70 cm. Considerando que na última quinta-feira Donato percorreu 21,4 km com essa bicicleta em serviço de patrulhamento, é correto afirmar que o pneu dessa bicicleta deu: (Dado π= 3)

Resolução: Vamos primeiro calcular quanto o patrulheiro anda após uma volta do pneu. Pela fórmula do comprimento de uma circunferência: C = 2.π.r = 2.3.35 = 210 cm = 2,1 metros Repare que usamos r = 35 cm pois o diâmetro da roda é 70 cm. Temos que 21,4 km equivalem a 21400 metros. Como em uma volta ele anda 2,1 metros, e no total ele andou 21400 metros, basta efetuar a divisão: 21400/2,1 = 10190,4 voltas 9)Prova Resolvida PM ES 2013 – Exatus – Para realizar o teste físico em determinado concurso da PM, os candidatos devem correr ao redor de uma praça circular cujo diâmetro mede 120 m. Uma pessoa que dá 9 voltas ao redor dessa praça percorre: (Dado: π = 3). a) 1620 m b) 3240 m c) 4860 m d) 6480 m e) 8100 m Resolução: Comprimento de uma circunferência = 2π.r = 2.3.60 = 360m Como a pessoa dá 9 voltas: 9×360 = 3240m 10)Prova Resolvida PM SC 2011 – Cesiep – Se o raio de uma circunferência tiver um acréscimo de 50% então o acréscimo percentual em seu comprimento será igual a: a) 25% b) 50% c) 100% d) 150% Resolução: Relembrando a fórmula do comprimento de uma circunferência: C = 2.π.r Temos uma função afim. Claramente se o raio dobra, o comprimento também dobra, se cresce 50%, o comprimento também cresce 50%…

11)Prova Resolvida PM Pará 2012 – Uma empresa possui em sua sala de reunião uma mesa de vidro redonda que possui lugar para 10 pessoas. Sabendo-se que cada pessoa ocupa um espaço de 50 cm. O diâmetro que essa mesa possui é:

Cabem 10 pessoas na mesa, onde cada uma ocupa 50 cm, então o comprimento da mesa é de 50.10 = 500 cm. Para calcularmos o raio, precisamos utilizar a fórmula do comprimento de uma circunferência: C = 2.π.r 500 = 2π.r r = 500/2π r = 250/π Como o diâmetro é o dobro do raio: D = 2.(250/π) = 500/π

Polígonos Inscritos e Circunscritos

Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva em Geometria0 Comentários

Na geometria costumamos relacionar algumas figuras, entre elas a circunferência e

os polígonos. As duas propriedades seguintes pertencem a essa relação:

Qualquer polígono regular é inscritível em uma circunferência. Qualquer polígono regular e circunscritível a uma circunferência.

Temos que polígonos regulares são figuras em que todos os seus lados e todos os

seus ângulos são congruentes, isto é, possuem medidas iguais. Observe alguns

polígonos inscritos e circunscritos a seguir:

Polígonos regulares inscritos

No caso dos polígonos inscritos apresentados, observe que o vértice de cada

polígono é tangente à circunferência. Esse ponto de tangência divide a circunferência em

partes iguais, as quais recebem o nome de arco de circunferência. O triângulo inscrito

divide a circunferência em 3 arcos de comprimentos iguais, o pentágono em 5 arcos iguais

e o octógono em 8 arcos iguais. Cada segmento de reta que forma o lado do polígono é

considerado uma corda da circunferência.

Polígonos regulares circunscritos

Todos os polígonos convexos que tenham as seguintes características são regulares:

Todos os seus lados são congruentes (têm a mesma medida); Todos os seus ângulos internos são congruentes (têm a mesma amplitude).

Todos os polígonos regulares têm as seguintes propriedades:

Se o número de lados for par, então 𝑛/2 diagonais passam pelo centro do polígono; (n designa o número de lados)

Se o número de lados for ímpar, então nenhuma das suas diagonais passa pelo centro do polígono.

O que é um polígono irregular?

Esta é fácil de responder, são todos os polígonos que não são regulares.

Soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n). É usada a seguinte expressão para o cálculo:

S = (n – 2)*180, em que n é o número de lados. A soma dos ângulos externos de qualquer polígono sempre é 360º, haja vista

que, quanto maior o número de lados do polígono, mais ele se assemelha a uma circunferência (possui giro completo igual a 360º).

Diagonais de um polígono A diagonal de um polígono é o segmento de reta que liga um vértice ao outro,

passando pelo interior da figura. O número de diagonais de um polígono depende do número de lados (n) e pode

ser calculado pela expressão: d = n (n – 3)

2

ALGEBRA

MÓDULO II

FUNÇÕES

INTRODUÇÃO Uma relação estabelecida entre dois conjuntos A e B, onde exista uma

associação entre cada elemento de A com um único de B através de uma lei de formação é considerada uma função. Observe o exemplo:

O estudo das funções se apresenta em vários segmentos, de acordo com a relação entre os conjuntos podemos obter inúmeras leis de formação. Dentre os estudos das funções temos: função do 1º grau, função do 2º grau, função exponencial, função modular, função trigonométrica, função logarítmica, função polinomial. Cada função possui uma propriedade e é definida por leis generalizadas. As funções possuem representações geométricas no plano cartesiano, as relações entre pares ordenados (x,y) são de extrema importância no estudo dos gráficos de funções, pois a análise dos gráficos demonstram de forma geral as soluções dos problemas propostos com o uso de relações de dependência, especificadamente, as funções. As funções possuem um conjunto denominado domínio e outro chamado de imagem da função, no plano cartesiano o eixo x representa o domínio da função, enquanto o eixo y representa os valores obtidos em função de x, constituindo a imagem da função.

Um exemplo de relação de função pode ser expresso por uma lei de formação que relaciona: o preço a ser pago em função da quantidade de litros de combustível abastecidos. Considerando o preço da gasolina igual a R$ 2,50, temos a seguinte lei de formação: f(x) = 2,50*x, onde f(x): preço a pagar e x: quantidade de litros. Observe a tabela abaixo:

Verifique que para cada valor de x temos uma representação em f(x), esse modelo é um típico exemplo de função do 1º grau.

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva em Função1 Comentário

Função é uma expressão matemática que relaciona dois valores pertencentes a

conjuntos diferentes, mas com relações entre si. A lei de formação que intitula uma

determinada função, possui três características básicas: domínio, contradomínio e

imagem. Essas características podem ser representadas por um diagrama de flechas, isso

facilitará o entendimento por parte do estudante. Observe:

Dada a seguinte função f(x) = x + 1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Vamos construir o diagrama de flechas:

A B

x f(X)

1 2

2 3

3 4

4 5

5 6

Nessa situação, temos que:

Domínio: representado por todos os elementos do conjunto A.

(1, 2, 3, 4, 5)

Contradomínio: representado por todos os elementos do conjunto B.

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

Imagem: representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem

correspondência com o domínio (conjunto A).

(2, 3, 4, 5, 6)

O conjunto domínio possui algumas características especiais que definem ou não uma

função.

Observe:

Todos os elementos do conjunto domínio devem possuir representação no conjunto do

contradomínio. Caso isso não ocorra, a lei de formação não pode ser uma função.

Função

Não é uma função

Um único elemento do domínio não deve possuir duas imagens.

Não é função

Um elemento do domínio não pode possuir duas imagens distintas.

Não é Função

Restam elementos no conjunto domínio, que não foram associados ao conjunto imagem.

Exercícios resolvidos

1) Considere a função f: A B representada pelo diagrama a seguir:

Determine:

a) o domínio (D) de f; b) f(1), f(-3), f(3) e f(2);

c) o conjunto imagem (Im) de f; d) a lei de associação

Resolução:

a) O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A. b) f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4. c) O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto: Im = {1,4,9}. d) Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 22=4, temos y=x2.

2) Dada a função f: IR IR (ou seja, o domínio e a contradomínio são os números reais) definida por f(x)=x2-5x+6, calcule:

a) f(2), f(3) e f(0); b) o valor de x cuja imagem vale 2.

Resolução:

a) f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0 f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0 f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6

b) Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x)=2, ou seja, x2-5x+6=2. Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os valores de x que têm imagem 2 são 1 e 4.

Exercícios para estudar

1. Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={1,2,3,4}, podemos construir a relação R em

A×B que está apresentada no gráfico.

Qual resposta mostra a relação R de forma explicita? R: d

a. R={(a,1),(b,3),(c,4),(a,3)} b. R={(1,a),(4,a),(3,b),(c,2)}

c. R={(a,1),(b,3),(c,2)} d. R={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}

2. Para a mesma relação R do exercício anterior, qual alternativa é a relação inversa

R–1?

a. R–1={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)} b. R–1={(1,a),(4,a),(3,b),(2,c)}

c. R–1={(4,a),(2,c),(3,b)} d. R–1={(1,a),(2,c)} R:b

3. Sejam os conjuntos A={a,b,c,d,e} e B={2,4,6,8,10} e a relação R, mostrada no

gráfico.

Quais são as formas explícitas da relação R e da relação inversa R–1?

4. Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={1,3,4,5} de números reais e a relação definida

por R={(x,y) A×B: y=2x–1}. Qual dos gráficos cartesianos abaixo, representa a

relação R?

R: a

5. Sejam os conjuntos A={1,3,4,5} e B={0,6,12,20} e a relação R={(x,y) em A×B:

y=x(x–1)} definida sobre A×B. Escrever R de uma forma explicita e construir o

gráfico cartesiano desta relação.

Forma explícita: R={(1,0),(3,6),(4,12),(5,20)} Gráfico da relação:

6. Seja A={1,2,3,5,7}. Analisar o gráfico cartesiano da relação R em A×A e responder

às questões pertinentes a esta relação.

Qual das alternativas abaixo é verdadeira?

a. (2,3) R, (5,1) R, (7,7) R

b. (1,1) R, (3,5) R, (5,1) R

c. (1,1) R, (5,5) R, (3,5) R

d. (2,3) R, (3,5) R, (7,7) R R: c

Domínio, contradomínio, imagem, relações direta e inversa

7. Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} definida sobre o conjunto

A={1,2,3,5,7}, responda qual das alternativas abaixo representa o

contradomínio da relação R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

a. CoDom(R)={1,2,3,5,7} b. CoDom(R)={1,3,5,7} R: a

c. CoDom(R)=R d. CoDom(R)={3,5,7}

8. Seja a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} definida sobre A={1,2,3,5,7}.

Qual alternativa representa o domínio de R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

a. Dom(R)=R b. Dom(R)={2,5,7} R:

c. Dom(R)={1,2,7} d. Dom(R)={1,2,3,5,7}

9. Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,7),(5,1),(7,7)} definida sobre A={1,2,3,5,7}, qual

das alternativas representa a imagem de R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

a. Im(R)={1,2,3,5,7} b. Im(R)={1,3,5,7}

c. Im(R)={1,3,5} d. Im(R)=R

10. Sejam A={2,4,6,8}, B={1,3,5,7} e a relação R em A×B apresentada pelo seu

gráfico cartesiano.

Identifique se cada afirmação é V (verdadeira) ou F (falsa).

a. (2,1) pertence à relação R. b. (3,2) pertence à relação R.

c. (4,3) pertence à relação R. d. (5,6) pertence à relação R.

e. (8,7) pertence à relação R. R: falsas b e d

11. Usando as informações do exercício anterior, apresente o contradomínio da

relação R e a inversa da relação R, denotada por R–1.

Aqui, denotamos o conjunto dos números naturais por N={1,2,3,4,5,6,7,...}.

12. Qual dos ítens abaixo representa o domínio da relação R={(x,y) N×N:

2x+y=8}?

a. {8} b. N c. {1,2,3} d. {2,4,6} R: b

13. Qual das respostas representa o contradomínio da relação R={(x,y) em N×N:

2x+y=8}?

a. {1,3,5,7} b. {0,1,2,3,4,5,6,7} c. {0,2,4,6} d. N R:d

14. Qual das alternativas abaixo representa a imagem da relação R={(x,y) em

N×N: 2x+y=8}.?

a. {1,3,5,7} b. {2,4,6} c. Ø d. N R: b

15. Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. A relação inversa denotada por

R–1 está indicada em qual das alternativas?

a. {(6,1),(4,2),(2,3)} b. Ø c. {(1,6),(2,4),(3,2)} d. N R: a

Definição de função

21. Quais dos diagramas melhor se encaixa na definição de uma função de A

em B, onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.

R: b 22. Quais dos diagramas abaixo não representa uma função de A em B,

onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.

R: b

23. Dada a função real f(x)=2x+3 definida sobre o conjunto A={1,2,3,4},

apresente o conjunto de todos os pares ordenados pertencentes à função f.

24. Dada a função f:R R definida por f(x)=2x-7 se x<2 e f(x)=3 se x>2,

determinar os valores de: f(0), f(–4), f(2) e f(10).

25. Qual conjunto é formado pelos valores f(0), f(–3), f(2) e f(10), se a função de

R×R está definida por f(x)=x²– 4x+7? R: c

a. {67,3,4,7} b. {0,–3,2,10} c. {7,28,3,67} d. {10,2,–3,0}

26. Calcular os valores: f(3), f(1), f(0) e f(–10), para a função real f=f(x) definida

por:

Como 3>2, então f(x)=x+3, logo: f(3)=3+3=6. Como x=1 está entre -2 e 2, segue que f(x)=x²+x-4, assim f(1)=1²+1-4=-2 Como 0 está entre -2 e 2, temos que f(x)= x²+x-4, logo f(0)=0²+0-4=-4 Como -10<-2, f(x)=2x-4 e segue que f(-10)=2.(-10)-4=-24

Respostas

23 - Na função f(x)=2x+3, substituir cada um dos elementos de A no lugar de x, para obter: f(1)=2×1+3=5 f(2)=2×2+3=7 f(3)=2×3+3=9 f(4)=2×4+3=11 e depois montar o conjunto dos pares ordenados para os elementos da função: f={(1,5),(2,7),(3,9),(4,11)}

24 - Como 0<2, então f(0)=2×0-7=-7. Como -4<2, então f(-4)=2×(-4)-7=-15. Como 2>2, então f(2)=3. Como 10>2, então f(10)=3.

Função crescente e decrescente A função crescente é aquela em que y aumenta toda vez que x é aumentado. A função decrescente é aquela em que y diminui toda vez que x é aumentado.

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva em Função0 Comentários

O gráfico da função crescente está inclinado para cima, e o da função descrente está inclinado para baixo

Funções são regras que ligam cada elemento de um conjunto a um único elemento de

outro conjunto. Quando se trata de conjuntos numéricos, essas funções assemelham-se

a equações que relacionam os elementos de um conjunto a outro por meio de suas

variáveis. Uma função é crescente quando, aumentando-se os valores atribuídos ao

domínio, os valores do contradomínio ficam cada vez maiores; caso contrário, a função

é decrescente.

Para melhor compreender essas definições, veja alguns exemplos. Observe:

Funções crescentes

Um exemplo de função crescente é a função y = 4x + 5. Para perceber isso, observe a

tabela a seguir:

Observe que o valor de x, a cada linha, é aumentado em uma unidade. Consequentemente,

realizando-se os cálculos de y a partir da função dada, percebemos que, a cada linha, o

valor dessa variável aumenta em quatro unidades.

Assim, quando o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta. Por essa razão,

a função é crescente. Além disso, apenas observando o gráfico dessa função, é possível

perceber que ela é crescente, pois, quanto mais à direita, mais alta a reta fica.

Também é possível dizer que uma função é crescente quando, diminuindo-se os valores

de x, os valores de y diminuem também.

Exemplo:

Mostre que a função y = 7x + 1 é crescente.

Se x = 0

y = 7x + 1 = 7·0 + 1 = 1

Se x = 1

y = 7x + 1 = 7·1 + 1 = 8

Como o valor de y aumenta quando aumentamos o valor de x, a função é crescente.

Observe que essa é uma função do primeiro grau, portanto, o seu gráfico é uma reta. Em

uma mesma reta, é impossível haver intervalos crescentes e decrescentes. Se em um

intervalo a reta for crescente, então, ela será em toda a sua extensão.

Dessa maneira, basta observar em dois valores de x que y aumenta para garantir que toda

a reta seja crescente.

Função decrescente

Uma função decrescente é aquela em que o valor da variável y diminui sempre que a

variável x aumenta. Um exemplo de função decrescente é a seguinte: y = – x + 3. Para

perceber isso, observe a tabela a seguir:

Observe que, cada vez que o valor de x aumenta uma unidade, o valor de y diminui três

unidades. Dessa maneira, essa função é decrescente.

Além de observar os valores na tabela, também é possível definir se uma função do

primeiro grau é crescente ou decrescente a partir da análise do seu gráfico. Observe o

gráfico decrescente da função acima:

Exemplo:

Mostre que a função y = – x é decrescente.

Para tanto, basta mostrar que, aumentando-se o valor de x, o valor de y diminui.

Escolheremos, para isso, os valores x = 0 e x = 1. Observe:

Se x = 0,

y = – x = – 0 = 0

Se x = 1,

y = – x = – 1

Observe que, aumentando-se uma unidade no valor de x, o valor de y cai uma unidade;

logo, a função é decrescente.

Como identificar funções crescentes e decrescentes sem cálculos

Existe uma maneira de dizer se uma função do primeiro grau

é crescente ou decrescente sem fazer qualquer cálculo. Para isso, basta observar o valor

do coeficiente “a” da função. Esse coeficiente é proveniente da forma geral da função do

primeiro grau:

y = ax + b

“a” é o número que multiplica a variável, e b é uma constante. A regra para identificar se

funções do primeiro grau são crescentes ou não é a seguinte:

Se a > 0, a função é crescente;

Se a < 0, a função é decrescente.

Vamos determinar se as funções a seguir são crescentes ou decrescentes.

a) y = 2x

Crescente, pois a = 2 > 0.

b) y = – x

Decrescente, pois a = – 1 < 0.

c) y = – 4x + 7

Decrescente, pois a = – 4 < 0.

d) y = 4x – 7

Crescente, pois a = 4 > 0.

Quando uma função não é crescente nem decrescente, ou seja, quando a = 0, ela é

uma função constante. Sempre que aumentamos ou diminuímos o valor de x, y

permanece constante. O gráfico de um exemplo de função constante é o seguinte:

y = 2