PISM II – MÓDULO I

TRIGONOMETRIA – 2018

ÂNGULOS E ARCOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO (GRAUS E RADIANOS).

RELACIONAR MEDIDAS DE ÂNGULOS E ARCOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO.

APLICAR AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO.

APLICAÇÃO DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO.

LÚCIA HELENA CAMPOS CORRÊA – PROFESSORA SUPERVISORA DE MATEMÁTICA

Radianos do Círculo Trigonométrico A medida de um arco no círculo trigonométrico pode ser dada em grau (°) ou radiano (rad).

1° corresponde a 1/360 da circunferência. A circunferência é dividida em 360 partes iguais ligadas ao centro,

sendo que cada uma delas apresenta um ângulo que corresponde a 1°.

1 radiano corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo comprimento é igual ao raio da

circunferência do arco que será medido.

Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos

em graus e radianos

Para auxiliar nas medidas, confira abaixo algumas relações entre graus e radianos:

π rad = 180°

2π rad = 360°

π/2 rad = 90°

π/3 rad = 60°

π/4 rad = 45°

Obs: Se quiser converter essas unidades de medidas (grau e radiano) utiliza-se a regra de três.

Exemplo: Qual a medida de um ângulo de 30° em radianos?

π rad -180°

x – 30°

x = 30° . π rad/180°

x = π/6 rad

Quadrantes do Círculo Trigonométrico Quando dividimos o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, temos os quatro quadrantes que o

constituem. Para compreender melhor, observe a figura abaixo:

1.° Quadrante: 0º < x < 90º ou 0 < x < π/2

2.° Quadrante: 90º < x < 180º ou π/2 < x < π

3.° Quadrante: 180º < x < 270º ou π < x < 3π/2

4.° Quadrante: 270º < x < 360º ou 3π/2 < x < 2π

Como Fazer o Círculo Trigonométrico? Para fazer um círculo trigonométrico, devemos construí-lo sobre o eixo de coordenadas cartesianas com

centro em O. Ele apresenta um raio unitário e os quatro quadrantes.

Medidas de Ângulos Consideramos o Grau como a unidade de medida de ângulos mais usual em nosso

cotidiano. Nos estudos relacionados ao círculo trigonométrico trabalhamos com outra

unidade de medida de ângulos, o radiano. Existe uma relação entre as medidas em grau e

as medidas em radianos. Vamos demonstrar tal relação baseando em algumas definições

do círculo trigonométrico.

Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde, em graus, a 360º e em

radianos, 2π, pois no caso de medida de ângulo, o valor de π (pi) passa a ser referente a

180º. Dessa forma, se temos um ângulo na unidade grau podemos transformá-lo para a

unidade radiano e vice-versa por meio da aplicação de uma simples regra de três.

Exemplo 1 Transformar 60º em radianos.

Exemplo 2 Transformar 110º em radianos

Exemplo 3

Transformar 3𝜋

2 em graus

Exemplo 4 : transformar

𝟏𝟏𝝅

𝟔em graus

No círculo trigonométrico existem alguns ângulos notáveis, isto é, valores que estão presentes com maior frequência em situações problemas. A tabela a seguir relaciona as unidades de medida, graus e radianos.

Revisão Razões Trigonométricas

As razões trigonométricas estão associadas às medidas dos ângulos de um triângulo retângulo.

Representação do triângulo retângulo com seus catetos e a hipotenusa

Elas são definidas pelas razões de dois lados de um triângulo retângulo e do ângulo que forma, sendo

classificadas em seis maneiras:

Seno (sen)

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.

Cosseno (cos)

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Tangente (tan)

Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.

Tabela Trigonométrica

Na tabela trigonométrica consta o valor de cada função trigonométrica para os ângulos de 1º a 90º.

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos. Por isso, eles são chamados de ângulos

notáveis.

Relações Trigonométricas 30° 45° 60°

Seno 1/2 √2/2 √3/2

Cosseno √3/2 √2/2 1/2

Tangente √3/3 1 √3

Como Calcular as Funções Trigonométricas? Para compreender melhor a aplicação das fórmulas, confira abaixo dois exemplos:

1) Encontre as medidas do seno, cosseno e tangente do ângulo A do triângulo abaixo.

sen = 2/7 sen = 0,29

cos = 6/7 cos = 0,86

tg = 2/6 tg = 0,33

2) Qual a razão trigonométrica do triângulo retângulo abaixo que possui um ângulo de 45º? Note que x é o valor do cateto oposto desse ângulo e sua hipotenusa mede 10 cm.

Observe que temos a medida da hipotenusa e x é o cateto oposto do ângulo de 45º. Logo, a função

trigonométrica que envolve essas duas razões é o seno.

De acordo com a tabela trigonométrica, o valor do seno de um ângulo de 45.º é 0,7071. Assim:

sen 45º = x/ 10

0,7071 = x/ 10

0,7071 . 10 = x

x = 7,071

Funções trigonométricas

Postado por Débora Silva

Na Matemática, as funções trigonométricas são funções angulares muito importantes no

estudo dos triângulos, podendo ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo

retângulo em função de um ângulo.

Hoje, a trigonometria (palavra resultante da junção de três palavras gregas e que significa

“medida dos triângulos”) vai além dos estudos dos triângulos e pode ser aplicada a outros

campos do conhecimento além da Matemática, como a Mecânica, a Acústica, a Música, a

Topologia, a Engenharia Civil, dentre outros.

O ciclo trigonométrico

A definição das funções trigonométricas pode ser generalizada através do ciclo

trigonométrico, que é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de

coordenadas cartesianas.

Nos círculos existem arcos que realizam mais de uma volta e estes arcos são

representados no plano cartesiano através das funções trigonométricas, como a função seno,

função cosseno e função tangente.

As funções trigonométricas elementares

Função seno

A função seno associa a cada número real x o seu seno, por isso, tem-se que f(x) = senx.

Como o seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco, temos que o sinal da função f(x) =

senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes.

O gráfico da função seno é representado pelo intervalo denominado senóide e, para construi-lo,

deve-se escrever os pontos nos quais a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.

Domínio de f(x) = sem x; D(sem x) = R; Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [-1,1].

Função cosseno

A função cosseno associa a cada número real x o seu cosseno, por isso, tem-se que f(x) =

cosx.

Como o cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco, temos que o sinal da

função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º

quadrantes.

O gráfico da função cosseno é representado pelo intervalo chamado de cossenóide e, para

construi-lo, deve-se escrever os pontos nos quais a função é nula, máxima e mínima no eixo

cartesiano.

Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R; Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [-1,1].

Função tangente

A função tangente associa a cada número real x a sua tangente, por isso, tem-se que f(x) =

tgx.

Como a tangente x é a ordenada do ponto T intersecção da reta que passa pelo centro de

uma circunferência e o ponto-extremidade do arco com o eixo das tangentes, temos que o sinal

da função f(x) = tgx é positivo no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes.

O gráfico da função tangente é denominado tangentóide.

Domínio de f(x) = todos os números reais, com exceção dos que zeram o cosseno, pois

não existe cosx = 0; Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R.

Informar erro

ÁLGEBRA – MÓDULO I

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Progressão aritmética Observe a sequência dos números naturais ímpares:

(1, 3, 5, 7, ...)

Observe que cada termo, exceto o primeiro, equivale ao anterior adicionado a um número fixo: 2.

Sequências como essa são chamadas de progressões aritméticas.

Progressão aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada um de seus termos, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante r, denominada razão da progressão aritmética.

Exemplos

(2, 5, 8, 11, 14, ...) é uma PA de razão 3;

(10, 8, 6, 4, 2, 0, ...) é uma PA de razão -2.

Uma sequência é uma PA quando:

Genericamente:

, n

Note que em uma PA, subtraindo-se de cada termo o seu antecessor, obtemos a razão r:

Genericamente:

Assim, para descobrimos qual é a razão de uma PA, basta subtrairmos um termo qualquer de seu antecessor:

Exemplo 1

Qual a razão da PA ?

Resolução

A razão da PA é a diferença entre um termo qualquer e seu antecessor. Vamos calcular a diferença entre o 3º e o 2º termos:

Portanto, a razão dessa PA é: 𝑟 −1

2

Exemplo 2

A sequência (-2, 1, 4, 8) é uma PA?

Resolução A sequência é uma PA se, subtraindo de cada termo o seu antecessor, o resultado for constante.

1 – (-2) = 3 4 – 1 = 3 8 – 4 = 4

Portanto, a sequência (-2, 1, 4, 8) não é uma PA.

Exemplo 3

Determine x na PA

Resolução

A razão da PA é a diferença entre um termo qualquer e seu antecessor. Sendo assim, fazemos:

Logo,

Classificação de uma PA

Uma PA pode ser:

Classificação Razão Exemplo Crescente r > 0 (1, 5, 9, 13, 17, ...) r = 4

Decrescente r < 0 (7, 4, 1, -2, -5, ...) r = -3 Constante r = 0 (5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) r = 0

Soma dos termos de uma PA finita É dada pela fórmula:

Aplicação

Questão 1 (CFO PM ES 2013 – Exatus). Numa cerimônia militar, os soldados de um

quartel da capital capixaba foram organizados em fileiras. Na primeira fileira havia 18

soldados, na segunda 20 soldados, na terceira 22 soldados e assim sucessivamente.

Sabe-se que no total havia 480 soldados nessa cerimônia. Qual o número de fileiras de

soldados que foram formadas nessa cerimônia?

a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

Resolução:

Nota-se que temos uma Progressão Aritmética, onde o primeiro termo é o 18, a razão é o

2 e a soma dos termos é 480.

Pela fórmula do termo geral: Obs: an, quer dizer: 𝑎𝑛 e a1, quer dizer: 𝑎1

an = a1 + (n – 1)r

an = 18 + (n – 1)2

an = 18 + 2n – 2

na = 16 + 2n

Vamos agora substituir na fórmula da soma dos termos de uma P.A.

Sn = (a1 + an).n/2

480 = (18 + 16 + 2n).n/2

480.2 = (34 + 2n)n

960 = 34n + 2n²

2n² + 34n – 960 = 0

n² + 17n – 480 = 0

Temos uma equação do segundo grau.

Resolvendo pelo método de soma e produto:

Soma = -b/a = -17

Produto = c/a = -480

Os dois números cuja soma é -17 e o produto é -480 são -32 e 15.

Como o n representa a quantidade de termos, os valores negativos não servem, logo, n =

15.

Resposta: A

Questão 2 (PM ES 2013 – Exatus). O comandante de um destacamento militar ordenou

que seus subordinados se organizassem em filas. A primeira fila era composta por 14

soldados, a segunda por 18 soldados, a terceira por 22 soldados, e assim

sucessivamente. Sabe-se que o número de soldados deste destacamento é igual a 1550.

Dessa forma, é correto afirmar que serão formadas:

a) 18 filas

b) 20 filas

c) 23 filas

d) 25 filas

e) 30 filas

Resolução:

Temos uma Progressão Aritmética, onde:

a1 = 14

r = 4

Sn = 1550

Precisamos descobrir o valor de n (número de termos)

Pela fórmula do termo geral:

an = a1 + (n – 1)r

an = 14 + (n – 1)4

an = 14 + 4n – 4

an = 4n + 10

Pela fórmula da soma dos termos:

Sn = (a1 + an). n/2

1550 = (14 + an). n/2

Vamos substituir an = 4n + 10 na segunda expressão:

1550 = (14 + 4n + 10)n/2

2.1550 = (4n + 24)n

3100 = 4n² + 24n

4n² + 24n – 3100 = 0

n² + 6n – 775 = 0

Δ = b² – 4ac

Δ = 6² – 4.1.(-775)

Δ = 36 +3100

Δ = 3136

Assim,

Como n representa o número de filas, vamos considerar apenas o valor positivo.

Resposta: D

Interpolando Termos em uma P.A.

O estudo sobre sequências numéricas desperta o conhecimento das Progressões

Aritméticas ou Geométricas. As relações existentes nas progressões são estudadas e

analisadas no intuito de descobrir termos, razão e soma de termos. Nosso estudo será

fundamentado nas Progressões Aritméticas, dando maior ênfase na interpolação de meios

aritméticos entre termos.

Interpolar ou inserir meios aritméticos significa estabelecer uma P.A. que possui

determinado o 1º termo (a1) e o último termo (an). Para interpolar os termos precisamos

estabelecer a razão da P.A., para que assim possamos construí-la. Observe:

Exemplo 1

Interpolar 6 meios aritméticos entre 7 e 42 de modo que a1=7 e a8=42.

Resolução

Precisamos estabelecer a razão da P.A., veja:

an = a1 + (n – 1)*r

a8 = 7 + (8 – 1)*r

42 = 7 + 7r

42 – 7 = 7r

35 = 7r

r = 35/7

r = 5

A progressão aritmética será (7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42)

Exemplo 2

Quantos múltiplos de 4 existem entre 101 e 401?

Sabemos que a sequência dos múltiplos de 4 é uma P.A. de razão 4, (4, 8, 12, 16, 20, 24,

28, ...). O que vamos analisar é essa sequência entre 101 e 401.

O primeiro múltiplo de 4 maior que 101 é o 104, então consideraremos a1 = 104.

O último múltiplo de 4 pertencente ao intervalo é o 400, portanto an = 400.

De acordo com a expressão do termo geral de uma P.A., temos:

an = 400

a1 = 104

r = 4

an = a1 + (n – 1)*r

400 = 104 + (n – 1)*4

400 = 104 + 4n – 4

400 + 4 – 104 = 4n

300 = 4n

n = 300 / 4

n = 75

Podemos concluir que entre 101 e 401, existem 75 números múltiplos de 4.

Propriedades das Progressões Aritméticas 1.a propriedade (termos eqüidistantes dos extremos)

Numa P.A. finita, de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo:

Seja a P. A. (8, 10, 12, 14, 16). Observa-se que:

Os termos a2 = 10 e a4 = 14 estão eqüidistantes dos extremos a1 e a5, respectivamente.

Note que: 10 + 14 = 8 +16 = 24 .

2.a propriedade

Numa P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é igual à média aritmética entre os

extremos.

Exemplo:

Na P. A. (2, 4, 6, 8, 10), temos:

3.a propriedade

A seqüência (a, b, c) é P.A. se, e somente se, o termo médio é igual à média aritmética entre a e

c, isto é: