Planejamento de Experimentos

8. Experimentos Fatoriais Fracionarios 2k

1

Exemplo 8.5: Suponha um experimento para

o qual ha sete fatores a serem investigados.

O interesse esta na estimacao dos efeitos

principais destes 7 fatores e ter alguma in-

formacao sobre interacoes de ordem 2. As-

sume-se que todos os efeitos de interacao de

ordem 3 ou maior sao desprezıveis. Esta in-

formacao sugere um plano de resolucao IV.

Consultando a tabela 8.14 tem-se dois planos

candidatos de resolucao IV:

um 27−3 com N = 16 ou

um 27−2 com N = 32.

A seguir apresentamos as estruturas de asso-

ciacao entre efeitos correspondentes aos dois

planos acima, retiradas da tabela X do Apendi-

ce.

2

3

A estrutura de associacao entre efeitos no pla-

no 27−3 e tal que todos os efeitos principais

estao associados com efeitos de ordem 3. Os

efeitos de interacao de ordem 2 estao associ-

ados em grupos de tres. Portanto, este plano

satisfara nossos objetivos: permitira a estima-

cao dos efeitos principais, e fornecera alguma

informacao sobre efeitos de interacao de ordem

2.

Nao e necessario escolher o plano 27−2, que

requer N = 32 observacoes. Na tabela cor-

respondente a estrutura de associacao deste

plano, verifica-se que e possıvel estimar os efei-

tos principais e que 15 dos 21 efeitos de in-

teracao de ordem 2 poderiam ser estimados.

(Lembre que estamos assumindo que efeitos

de ordem 3 ou maior sao desprezıveis.) Isto

provavelmente e mais informacao sobre intera-

coes do que e necessario neste problema.

4

O plano completo 27−3IV e mostrado na figura

a seguir.

Observe que ele foi construıdo comecando com

um 24, N = 16 em A, B, C e D como plano

basico e entao adicionando-se tres colunas E =

ABC, F = BCD e G = ACD.

Os geradores sao I = ABCE, I = BCDF e

I = ACDG.

A relacao de definicao completa e

I = ABCE = BCDF = ACDG = ADEF =

BDEG = CEFG = ABFG.

5

6

8.4.2 Analise dos fatoriais Fracionarios 2k−p

A analise e feita da mesma forma que os planos

2p com pelo menos uma replicacao completa,

exceto que agora somente calculam-se os con-

trastes dos efeitos estimaveis para construir a

tabela ANOVA.

Efeitoi = ContrasteiN/2

SQi = (Contrastei)2

N

N = 2k−p

Existem 2k−p − 1 efeitos estimaveis.

Pacotes estatısticos.

7

Projecao do fatorial fracionario 2k−p.

O plano 2k−p desdobra-se tanto em um fatorial

completo, como em um fatorial fracionario em

qualquer subconjunto de r ≤ k−p fatores origi-

nais. Os subconjuntos de fatores que fornecem

fatoriais fracionarios nao formam palavras da

relacao de definicao completa do plano.

Isto pode ser util em experimentos de selecao,

quando desconfiamos que a maior parte dos

fatores originais apresentarao efeitos pequenos

sobre a resposta. O fatorial fracionario original

2k−p podera entao ser projetado em um fatorial

completo, por exemplo, na maioria dos fatores

de interesse. Conclusoes obtidas em planos

destes tipos devem ser consideradas experi-

mentais e estao sujeitas a analises adicionais.

Em geral, e possıvel encontrar explicacoes al-

ternativas dos dados envolvendo interacoes de

maior ordem.8

Como um exemplo, considere o plano 27−3IV do

exemplo 8.5. Este e um plano com N = 16

e k = 7. Ele sera projetado em um fatorial

completo em quaisquer subconjuntos de 4 dos

7 fatores originais que nao formam palavras da

relacao de definicao. Existem 35 combinacoes

possıveis, 7 das quais formam palavras da rela-

cao de definicao. Logo, temos 28 escolhas

possıveis. Uma escolha obvia e A, B, C e D.

Para ilustrar a utilidade desta propriedade de

projecao, suponha que estejamos conduzindo

um experimento para melhorar a eficiencia de

um moinho e os sete fatores de interesse sao

velocidade do motor, ganho, taxa de alimen-

tacao, tamanho da alimentacao, tipo de ma-

terial, angulo da tela e nıvel de vibracao da

tela.

9

Estamos quase certos de que a velocidade do

motor, taxa e tamanho de alimentacao e tipo

de material afetarao significativamente a efi-

ciencia e que estes fatores podem interagir.

Os demais fatores sao menos conhecidos, mas

sao, provavelmente desprezıveis.

Uma estrategia razoavel e designar os fatores

importantes as 4 primeiras colunas na tabela

8.15. Os demais ficariam nas colunas restantes.

Se estamos corretos, seremos levados a um

fatorial completo 24 nas variaveis chaves do

processo.

10

8.4.3 Blocagem em Fatoriais Fracionarios

Ha situacoes nas quais o plano fatorial fra-

cionario requer um numero grande de observa-

coes de tal modo que todas elas nao tem como

ser realizadas sob condicoes homogeneas. Nes-

tas situacoes, os fatoriais fracionarios podem

ser confundidos em blocos.

As tabelas X do Apendice do livro-texto contem

arranjos recomendados de blocos para a maior

parte dos fatoriais fracionarios apresentados na

tabela 8.14. O tamanho mınimo dos blocos

para estes planos e de 8 observacoes.

11

Considere o plano 26−2IV com relacao de defini-

cao dada por I = ABCE = BCDF = ADEF

mostrado na tabela 8.10.

Este plano contem 16 combinacoes de trata-

mento. Suponha que desejamos realizar o pla-

no em dois blocos de tamanho 8.

12

Na selecao de uma interacao para ser confun-

dida com blocos, observamos a partir da es-

trutura de associacao de efeitos deste plano

na tabela X(f) que existem dois conjuntos de

efeitos associados envolvendo somente efeitos

de interacao de ordem 3.

13

A tabela sugere a interacao ABD para ser con-

fundida com blocos. Os blocos resultantes sao

apresentados a seguir.

14

Observe que o bloco principal contem as com-

binacoes de tratamento que tem um numero

par de letras comuns com ABD, que tambem

sao as combinacoes de tratamento para as quais

L = x1 + x2 + x4 = 0(mod2).

Sugestao: Resolver o exemplo 8.6.

15

8.5 Estruturas de Associacao em Fatoriais Fra-cionarios e Outros Planos

Ha um metodo geral para encontrar as asso-ciacoes que funciona bem em diversas situa-coes. O metodo usa a representacao do mo-delo polinomial ou modelo de regressao, a sa-ber,

y = X1β1 + ε

em que y e o vetor de respostas n × 1, X1 euma matriz n×p1 contendo a matriz de plane-jamento expandida para formar o modelo que oexperimento esta ajustando, β1 e o vetor p1×1de parametros do modelo, e ε e o vetor n × 1de erros.

A estimativa de mınimos quadrados de β1 edada por

β1 = (XT1X1)−1XT

1 y

16

Suponha que o modelo verdadeiro seja

y = X1β1 +X2β2 + ε

com X2 uma matrix n× p2 contendo variaveis

adicionais que nao foram ajustadas no modelo

e β2 e um vetor p2×1 de parametros associados

com estas variaveis. Pode ser mostrado que

E[β1] = β1 + (XT1X1)−1XT

1X2β2 = β1 +Aβ2

A matriz A = (XT1X1)−1XT

1X2 e chamada ma-

triz de associacao (alias matrix). Os elementos

desta matriz operados sobre β2 identificam as

relacoes de associacao para os parametros do

vetor β1.

17

Suponha que conduzimos um plano 23−1 com

relacao de definicao I = ABC. O modelo que

o experimentador planeja ajustar e o modelo

contendo apenas efeitos principais, a saber,

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + ε

Na notacao usada aqui, temos β1 =

β0β1β2β3

e

X1 =

1 −1 −1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 1 1 1

.

Suponha que o modelo verdadeiro contenha

todas as interacoes de ordem 2, a saber,

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β12x1x2 + β13x1x3 + β23x2x3 + ε

.

18

Neste caso, β2 =

β12β13β23

e X2 =

1 −1 −1−1 −1 1

1 1 1

.

XT1X1 = diag{4,4,4,4, } = 4I4 e XT

1X2 =

0 0 00 0 40 4 04 0 0

.

Portanto, (XT1X1)−1 = 1

4I4 e

E[β1] = β1 +Aβ2 =

β0

β1 + β23β2 + β13β3 + β12

.

19

A interpretacao deste resultado, e que cada

efeito principal esta associado com uma in-

teracao de ordem 2 (nos outros dois fatores),

que nos ja sabemos que e o caso para este

plano.

Apesar deste exemplo ser muito simples, o me-

todo e bem geral e pode ser aplicado para

planos bem mais complexos.

20

8.6 Planos de Resolucao III

Planos de resolucao III sao muito uteis em

situacoes de selecao de fatores: existem muitos

fatores, mas somente poucos deles exercerao

efeitos significativos sobre a resposta.

E possıvel construir planos de resolucao III para

investigar ate k = N − 1 fatores com somente

N observacoes, em que N e um multiplo de 4.

Estes planos sao frequentemente uteis em ex-

perimentacao industrial. Planos para os quais

N e uma potencia de 2 podem ser construıdos

por metodos ja apresentados neste capıtulo.

De importancia particular sao os planos que re-

querem 4 observacoes para explicar 3 fatores,

8 observacoes para explicar 7 fatores, 16 ob-

servacoes para explicar 15 fatores. Se k =

N − 1, o plano fatorial fracionario e dito ser

saturado.

21

Um plano para analisar tres fatores em 4 ob-

servacoes e o plano 23−1III apresentado na secao

8.2.

Outro fatorial fracionario saturado e um plano

para estudar 7 fatores com 8 observacoes, a

saber, o plano 27−4III . Este plano e uma fracao

de um dezesseis-avos do plano 27. Ele pode

ser construıdo primeiro escrevendo-se o plano

basico com 3 fatores A, B e C e, entao asso-

ciando os nıveis de 4 fatores adicionais com as

interacoes dos tres fatores do plano basico, a

saber, D = AB, E = AC, F = BC e G = ABC.

Assim, os geradores para este plano sao I =

ABD, I = ACE, I = BCF e I = ABCG. O

plano e apresentado na tabela a seguir.

22

23

A relacao de definicao completa para este plano

e obtida multiplicando-se os quatro geradores

2 a 2, 3 a 3 e os 4, o que produzira:

I = ABD = ACE = BCF = ABCG = BCDE =

ACDF = CDG =

= ABEF = BEG = AFG = DEF = ADEG =

CEFG = BDFG = ABCDEFG

Para encontrar os associados de qualquer efeito,

simplesmente multiplique o efeito por cada pala-

vra na relacao de definicao.

Por exemplo, os associados de B sao

B = AD = ABCE = CF = ACG = CDE =

ABCDF = BCDG =

= AEF = EG = ABFG = BDEF = ABDEG =

BCEFG = DFG = ACDEFG

24

Este plano e uma fracao de um dezesseis-avos,

e dado que os sinais escolhidos dos geradores

sao positivos ele e a fracao principal. Ele tam-

bem e de resolucao III, pois a quantidade de le-

tras da menor palavra na relacao de definicao e

tres. Qualquer uma das 16 fracoes dos planos

27−4III nesta famılia poderia ser construıda usan-

do-se os geradores com um dos 16 arranjos

possıveis de sinais em I = ±ABD, I = ±ACE,

I = ±BCF e I = ±ABCG.

Os sete graus de liberdade neste plano podem

ser usados para estimar os sete efeitos princi-

pais. Cada um destes efeitos tem 15 associ-

ados; porem, se assumimos que interacoes de

ordem 3 ou maior sao desprezıveis, entao tere-

mos consideravel simplificacao na estrutura de

associacao deste plano.

25

Fazendo esta suposicao, teremos

[A]→ A+BD + CE + FG,

[B]→ B +AD + CF + EG,

[C]→ C +AE +BF +DG,

[D]→ D +AB + CG+ EF ,

[E]→ E +AC +BG+DF ,

[F ]→ F +BC +AG+DE,

[G]→ G+ CD +BE +AF .

26

O plano saturado 27−4III que acabamos de des-

crever, pode ser usado para obter planos de

resolucao III para estudar menos do que 7 fa-

tores em oito observacoes. Por exemplo, para

gerar um plano para seis fatores em 8 ob-

servacoes, simplesmente descarte uma coluna

da tabela 8.19, a coluna G por exemplo. Isto

produz a tabela a seguir, a partir da qual e facil

verificar que o plano tambem e de resolucao

III; de fato, ele e um 26−3III , ou uma fracao um

oitavo do plano 26.

A relacao de definicao e igual a relacao de

definicao original em que deletam-se quaisquer

palavras contendo a letra G. Assim, I = ABD =

ACE = BCF = BCDE = ACDF = ABEF =

DEF

27

28

Em geral, quando d fatores sao descartados

para produzir um novo plano, a nova relacao

de definicao e obtida a partir das palavras na

relacao de definicao original que nao contem

letras correspondentes aos fatores descartados.

Quando construımos planos por este metodo,

cuidado deve ser tomado para obter o melhor

arranjo possıvel.

Se descartamos as colunas B, D, F e G da

tabela 8.19, obtemos um plano a tres fatores

em oito observacoes e as combinacoes de trata-

mento correspondem a duas replicacoes de um

23−1. O experimentador poderia preferir rodar

um fatorial 23 completo em A, C e E.

29

Tambem e possıvel obter um plano de resolucao

III para estudar ate 15 fatores com N = 16.

Este plano saturado, 215−11III pode ser gerado

escrevendo-se primeiro o plano basico com 4

fatores e, depois, equacionando-se 11 novos

fatores em funcao dos 4 primeiros com in-

teracoes de ordem 2, 3 e 4.

Neste plano cada um dos 15 efeitos principais

esta associado com sete interacoes de ordem

2.

Um procedimento similar pode ser construıdo

para investigar 31 fatores com N = 32.

30

8.6.2 Duplicacao de Planos de Resolucao III

para Separar Efeitos Associados

Combinando-se planos fatoriais fracionarios nos

quais certos sinais estao trocados, pode-se iso-

lar simbolicamente efeitos de interesse poten-

cial.

Este tipo de experimento sequencial e chamado

“duplicacao” do plano original (fold over).

A estrutura de associacao para qualquer fracao

com os sinais para um ou mais fatores e obtida

trocando-se apropriadamente os sinais dos fa-

tores na estrutura de associacao da fracao ori-

ginal.

Considere o plano 27−4III da tabela 8.19.

31

32

Suponha que junto com esta fracao principal,

um segundo fatorial fracionario com os sinais

trocados na coluna do fator D seja tambem

realizado.

A coluna D para a segunda fracao e −+ + −−+ +−.

Os efeitos que podem ser estimados desta fracao

sao mostrados a seguir, assumindo que interacoes

de ordem 3 ou maior sao desprezıveis.

33

[A]′ → A−BD − CE + FG,

[B]′ → B −AD + CF + EG,

[C]′ → C +AE +BF −DG,

[D]′ → D −AB − CG− EF ,

[E]′ → E +AC +BG−DF ,

[F ]′ → F +BC +AG−DE,

[G]′ → G− CD +BE +AF .

34

Combinando-se as duas fracoes teremos

36

8.7.1 Planos de Resolucao IV

Um plano fatorial fracionario 2k−p e de re-

solucao IV , se os efeitos principais estao

livres de efeitos de interacao de ordem 2 e

alguns efeitos de ordem 2 estao associados

entre si. Assim, se interacoes de ordem 3 ou

maior podem ser suprimidas, os efeitos princi-

pais podem ser diretamente estimados em um

plano 2k−pIV .

Qualquer plano 2k−pIV deve conter pelo menos

N = 2k. Planos de resolucao IV que contem

exatamente 2k observacoes sao chamados pla-

nos mınimos.

Planos de resolucao IV podem ser obtidos a

partir de planos de resolucao III usando o pro-

cesso de duplicacao

37

8.7.2 Planos de Resolucao V

Planos fatoriais fracionarios de resolucao V sao

planos nos quais os efeitos principais e as in-

teracoes de ordem 2 nao tem como efeitos

associados outros efeitos principais ou in-

teracoes de ordem 2. Consequentemente,

eles permitem uma estimacao unica de todos

os efeitos principais e de interacao de ordem

2, se as interacoes de ordem 3 ou maior sao

desprezıveis.

A menor palavra na relacao de definicao num

plano de resolucao V tem 5 letras. O plano

25−1 com I = ABCDE e, talvez, o plano de

resolucao V mais utilizado, permitindo num

problema a 5 fatores estimar os 5 efeitos prin-

cipais e as 10 interacoes de ordem 2 com N =

16.

38

8.8 Planos Supersaturados

Um plano saturado e um fatorial fracionario

com k = N − 1.

Em anos recentes, esforco consideravel tem

sido dado a planos com k > N − 1, chamados

planos supersaturados.

Satterthwaite (1959), Lin (1993,2000), Li e

Wu (1997), Holcomb e Carlyle (2002).

Exercıcios do Capıtulo 8.

39