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Planejamento e Otimização de Experimentos Planejamentos Fatoriais 2 Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira anselmo.quimica.ufg.br [email protected]

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Planejamento e Otimização de Experimentos Planejamentos Fatoriais 2

Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira

anselmo.quimica.ufg.br

[email protected]

Planejamento Fatorial Fracionário

k fatores 2k experimentos

alguns efeitos são desprezíveis

fração dos 2k experimentos

• É empregado quando existem muitas variáveis no sistema, ou

o processo tende a ser conduzido por alguns dos efeitos

principais e de interação

• Pode ser projetado em planejamentos maiores no

subconjunto dos fatores significativos

• É possível combinar os experimentos de dois, ou mais,

planejamentos fracionários para montar, sequencialmente,

um planejamento maior para estimar os efeitos dos fatores e

das combinações de interesse.

Redundância em um Planejamento

k = 7 27 = 128 experimentos

Quantos efeitos resultam?

combinações simples de n elementos tomados

k a k, sem repetição (elementos distintos)

média = 1

efeitos principais (n = 7, k = 1)

efeitos secundários (n = 7, k = 2)

efeitos terciários (n = 7, k = 3)

n = 7, k = 4

n = 7, k = 5

n = 7, k = 6

n = 7, k = 7

128 efeitos

𝑐7,1 = 7

𝑐7,2 = 21 𝑐7,3 = 35

𝑐7,4 = 35 ...

𝑐7,7 = 1

se k não é pequeno (< 3) há uma tendência à

redundância em um fatorial 2k

Redundância e o Número de Efeitos

Fatorial 23-1

23 = 8 experimentos

• três fatores; dois níveis

• possível: 4 experimentos

23-1 = 4 experimentos

experimento

1

2

3

4

5

6

7

8

A

-

+

-

+

-

+

-

+

B

-

-

+

+

-

-

+

+

C

-

-

-

-

+

+

+

+

ABC

-

+

+

-

+

-

-

+

I

+

+

+

+

+

+

+

+

experimento ABC

1 -

4 -

6 -

7 -

experimento ABC

2 +

3 +

5 +

8 +

Gerador

ABC gerador

• ABC = +

• ABC = -

• I = ABC : relação de definição

Efeitos p/ gerador I = ABC

efeitos principais

experimento

2 a

3 b

5 c

8 abc

I

+

+

+

+

A

+

-

-

+

B

-

+

-

+

C

-

-

+

+

AB

-

-

+

+

AC

-

+

-

+

BC

+

-

-

+

ABC

+

+

+

+

efeitos de interação

não se pode diferenciar entre

– A e BC

– B e AC

– C e AB

• estimativas

o A = 𝓁A + 𝓁BC

o B = 𝓁B + 𝓁AC

o C = 𝓁C + 𝓁AB

• ou

o 𝓁A A + BC

o 𝓁B B + AC

o 𝓁C C + AB

alias

Meia Fração

relação de definição I = ABC

multiplicando por A pela esquerda

A.I = A.ABC

A = A2BC A2 = I

A = BC

a meia fração I = +ABC é a fração principal

Efeitos p/ gerador I = -ABC

calcule os efeitos principais e os de interação

experimento

1 (1)

4 ab

6 ac

7 bc

I

+

+

+

+

A

+

+

-

-

B

+

-

+

-

C

-

+

+

-

AB

+

-

-

+

AC

-

+

-

+

BC

-

-

+

+

ABC

-

-

-

-

Construção das meias frações: 23-1

1. Montar o planejamento completo 2k-1

fatorial 22

experimento A B

1 - -

2 + -

3 - +

4 + +

fatorial 23-1 ; I = ABC

A B C = AB

- - +

+ - -

- + -

+ + +

fatorial 23-1 ; I = -ABC

A B C = -AB

- - -

+ - +

- + +

+ + -

2. Adicionar o k-ésimo fator de

acordo com o gerador

Resolução

I = ABC planejamento de resolução III, 2𝐼𝐼𝐼3−1

I = ABCD planejamento de resolução IV, 2𝐼𝑉4−1

I = ABCDE planejamento de resolução V, 2𝑉5−1

...

Em geral, é o tamanho da menor palavra na

relação de definição

Projeção de frações em fatoriais

Qualquer planejamento fatorial fracionário de resolução

R, contém planejamentos fatoriais completos em

qualquer subconjunto R-1 de fatores

existem vários fatores de interesse

potencial, mas acredita-se que apenas

R-1 desses fatores têm efeitos

importantes

fatorial fracionário de resolução R

Exemplo: velocidade de filtração

A = temperatura

B = pressão

C = concentração de formaldeído

D = taxa de agitação

resposta: velocidade de filtração (gal/h)

fatorial completo 24 = 16 experimentos

experimento 𝒚

(1) 45

a 71

b 48

ab 65

c 68

ac 60

bc 80

abc 65

d 43

ad 100

bd 45

abd 104

cd 75

acd 86

bcd 70

abcd 96

A = 21,625

C = 9,875

D = 14,625

AC = -18,125

AD = 16,625

Planejamento Fatorial Completo 24

experimento A B C

1 - - -

2 + - -

3 - + -

4 + + -

5 - - +

6 + - +

7 - + +

8 + + +

D = ABC y

- 45 (1)

+ 100 ad

+ 45 bd

- 65 ab

+ 75 cd

- 60 ac

- 80 bc

+ 96 abcd

• efeitos principais

A.I = A.ABCD

A = A2BCD

A = BCD

B.I = B.ABCD

B = AB2CD

B = ACD

C.I = C.ABCD

C = ABC2D

C = ABD

D.I = D.ABCD

D = ABCD2

D = ABC

24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏

24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏

interações de dois fatores

AB.I = AB.ABCD

AB = A2B2CD

AB = CD

AC.I = AC.ABCD

AC = A2BC2D

AC = BD

AD.I = AD.ABCD

AD = A2BCD2

AD = BC

fatorial 23 = 7 efeitos

o 3 principais

o 3 de 2ª ordem

o 1 de 3ª ordem

fatorial 24-1 = 7 efeitos

o 4 principais

o 3 de 2ª ordem

24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏

estimativa do efeito principal A

estimativa do efeito de interação AB

𝑦

45 (1)

100 ad

45 bd

65 ab

75 cd

60 ac

80 bc

96 abcd

𝓁A = 19

𝓁B = 1,5

𝓁C = 14

𝓁D = 16,5

𝓁AB = -1

𝓁AC = -18,5

𝓁AD = 19

como o efeito de B é pequeno (𝓁B), espera-se pouca

interação entre B e A, C e D. Logo 𝓁AC AC e 𝓁AD AD

Fatorial 24

• A = 21,625

• C = 9,875

• D = 14,625

• AC = -18,125

• AD = 16,625

24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏

24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏

desse modo, tem-se um fatorial 24-1 projetado em

um fatorial 23, com os fatores A, C e D

(-) (+)

A

(+)

(-)

D (-)

(+)

C

45

80

75 96

60

100

65

45

AC: A(-) A(+)

• C(-) 45 65

• C(+) 80 60

AD: A(-) A(+)

• D(-) 45 65

• D(+) 45 100

com base na tabela do

planejamento, como fica

o cubo de respostas?

𝑦

45 (1)

100 ad

45 bd

65 ab

75 cd

60 ac

80 bc

96 abcd

Modelo

Velocidade de filtração

(gal/h)

Fatorial Fracionário 2k-p

2k-p experimentos = 1

2𝑝 fração do planejamento 2k

2k-2 experimentos = 1

22=

1

4 fração de 2k

• p geradores independentes

• a relação de definição completa consiste de todas as

colunas que são iguais à coluna identidade, I

ex: k = 6, p = 2 26-2

geradores: I = ABCE (E = ABC)

I = BCDF (F = BCD)

I = ADEF

𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐

geradores: I = ABCE (E = ABC)

I = BCDF (F = BCD)

I = ADEF • para A

A.I = A.ABCE = A.BCDF = A.ADEF

A = A2BCE = ABCDF = A2DEF

A = BCE = ABCDF = DEF

• para AB

AB.I = AB.ABCE = AB.BCDF = AB.ADEF

AB = A2B2CE = AB2CDF = A2BDEF

AB = CE = ACDF = BDEF

Fatorial Fracionário 𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐

experimento A B C D

1 - - - -

2 + - - -

3 - + - -

4 + + - -

E = ABC F = BCD

- -

+ -

+ +

- +

Fatorial Fracionário 𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐

Summary tables of useful fractional factorial designs

Geradores