Plano de aulas novo

Disciplina : Matemática Zaire, aos / / 2014

Classe: 12ª Prof: Afonso Kalufuilawoko

Assunto: Equação reduzida de uma hipérbole

Aula nº2

Meio de Ensino: giz, apagador, régua, compasso

Métodos: Explicativo, interrogativo, demonstrativo, elaboração conjunta

Objectivo: No fina desta aula os alunos serão capazes de:

Obter a equação reduzida de uma hipérbole centrada à origem partindo da sua definição como lugar geométrica;Identificar os parâmetros a, b, c e também a excentricidade e , a partir da sua equação reduzida elementos da hipérbole;Determinar as coordenadas dos focos

Referência Bibliográfica :

Lupsin G. ( +) et Graas R, Geometrie Analitique Plane, Societé Missionaire St Paul ,1983, Pg230

Maria Bwanga Mukonkole F .JEAN , J´apprends les Maths, Editora Mediaspaul RDC, 2010 Pg 376.

I. IntroduçãoRevisão sobre os elementos de uma hipérbole

II. Desenvolvimento

A equação reduzida de uma hipérbole obtém-se aplicando a definição e o cálculo

distância entre dois pontos do mesmo como um lugar geométrico, tem-se:

H ≡ d( P, F1) + d( P, F2 ) = 2a

Desenvolvendo a expressão, obtém-se:

⇒ H ≡ é chamada equação da hipérbole centrada à origem.

Com a relação :

, Podemos calcular os seus focos.

Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão:

F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:

Hipérbole com focos sobre o eixo y.

Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:

Elementos e propriedades da hipérbole: 2c → é a distância focal. c2 = a2 + b2 → relação fundamental. A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole. 2a → é a medida do eixo real. 2b → é a medida do eixo imaginário. c/a → é a excentricidade

Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10.

Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: 2a = 16 → a = 8

Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que: c2 = a2 + b2 102 = 82 + b2 b2 = 100 – 64 b2 = 36 b = 6

Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x:

III. Síntese

O papel do professor é de orientar os alunos a desenvolver as suas capacidades e

habilidades da matéria e deve pôr à disposição dos alunos pelo menos dois a três exercícios

indicando em rotativa os alunos ao quadro para que os possam resolver.

Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação:

Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c). Da equação da hipérbole obtemos que: a2 = 16 → a = 4 b2 = 9 → b = 3 Utilizando a relação fundamental, teremos: c2 = a2 + b2 c2 = 16 + 9 c2 = 25 c = 5 Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).

IV. AplicaçãoO prof seleciona alguns exercícios a respeito do tema.Obviamente , o professor espera um resultado satisfactório na parte dos alunos resolvendo eles próprios os exercícios propostos pelo professor sem a sua prévia intervenção.

Exemplo 3:Determinar na hipérbole:

a) A medida dos semi-eixosb) Os focosc) A excentricidadeV. Trabalho de casaO professor coloque à disposição dos alunos o trabalho para casa a fim de resolver em casa aplicando os requisitos dados pelo professor.Exemplo4: Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(0,-5) e F2(0,5) e eixo real de medida 6.



Assunto: Introdução ao estudo da hipérbole

Aula nº1

Meio de Ensino: giz, apagador , régua, compasso



Identificar e representar uma hipérbole a partir uma secção cónica Definir o conceito de hipérboleIdentificar os elementos da hipérbole




I. IntroduçãoRevisão sobre a equação geral da cónica :

f( x, y) Ay2 + 2B xy + Cx2 + 2D y + 2E x + F = 0 ( 1 ) ou

f( x, y) Ax2 + 2B xy + Cy2 + 2D x + 2F y + F = 0 ( 1´ ) .

Condição necessária para que uma cónica seja uma hipérbole:

Se ∆ = δ > 0 ⇔ B - AC > 0 a cónica é uma hipérbole

II. Desenvolvimento

Uma hipérbole é um lugar geométrico dos pontos P (x, y) de um plano tal que a diferença

(em módulo) de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante (2a < 2c), com .

= 2c.

Eis os elementos da hipérbole:

• Focos: são os pontos F1 e F2,

• Distância Focal: é a distância 2c entre os focos,

• Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2,

• Vértices: são os pontos A1 e A2,

• Eixo Real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a,

• Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b,

• Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1.




• Vértices: são os pontos A1 e A2,

• Eixo Real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a,

• Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b,

• Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1.

III. Síntese

O papel do professor é de orientar os alunos a desenvolver as suas capacidades e habilidade da matéria e deve pôr à disposição dos alunos pelo menos dois a três exercícios indicando em rotativa os alunos ao quadro para que os possam resolver.Exercício: Cite os elementos de uma hipérbole

IV. AplicaçãoO prof seleciona alguns exercícios a respeito do tema.Obviamente , o professor espera um resultado satisfactório na parte dos alunos resolvendo eles próprios os exercícios propostos pelo professor sem a sua prévia intervenção.Exercício : Define :

a) a excentricidadeb) a distância focalc) hipérbole

V. Trabalho de casaO professor coloque à disposição dos alunos o trabalho para casa a fim de resolver em casa aplicando os requisitos dados pelo professor.Exercício : cite os parâmetros que compõem uma hipérbole



Assunto: Introdução ao estudo da hipérbole

Aula nº3

Meio de Ensino: giz, apagador , régua, compasso

Métodos: Explicativo, interrogativo, expositivo dialogado, elaboração conjunta


Identificar e representar uma elipse a partir uma secção cónica Definir o conceito de elipseIdentificar os elementos da elipse




I. Introdução

Revisão sobre a equação geral da cónica :

f( x, y) Ay2 + 2B xy + Cx2 + 2D y + 2E x + F = 0 ( 1 ) ou

f( x, y) Ax2 + 2B xy + Cy2 + 2D x + 2F y + F = 0 ( 1´ ) .

Condição necessária para que uma cónica seja uma hipérbole:

Se ∆ = δ < 0 ⇔ B - AC < 0 a cónica é uma elipse

II. Desenvolvimento

Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2c um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2

seja sempre igual a 2c.

Dados dois pontos F1 e F2 chamamos elipse o conjunto dos pontos P do plano

tais que d(P,F1)+d(P,F2)=2a.

Eis os elementos principal da hipérbole:




• Vértices: são os pontos A1, A2, B1 e B2,

• Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimento 2a ( o segmento A1A2 contém os

focos e os seus extremos pertencem a elipse),

• Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b (B1B2 ḻ A1A2 no seu ponto

médio).

• Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c<a, temos 0<e<1.

III. SínteseO papel do professor é de orientar os alunos a desenvolver as suas capacidades e habilidade da matéria e deve pôr à disposição dos alunos pelo menos dois a três exercícios indicando em rotativa os alunos ao quadro para que os possam resolver.Exercício: Cite os elementos de uma elipse

IV. AplicaçãoO prof seleciona alguns exercícios a respeito do tema.

Obviamente , o professor espera um resultado satisfactório na parte dos alunos resolvendo eles próprios os exercícios propostos pelo professor sem a sua prévia intervenção.Exercício : Define :

a) a excentricidadeb) a distância focalc) a elipse

V. Trabalho de casaO professor coloque à disposição dos alunos o trabalho para casa a fim de resolver em casa aplicando os requisitos dados pelo professor.Exercício : cite os parâmetros que compõem uma elipse



Assunto: Equação reduzida de uma elipse

Aula nº4

Meio de Ensino: giz, apagador, régua, compasso



Obter a equação reduzida de uma elipse no sistema de coordenadas centrada à origem ;Identificar os parâmetros a, b, c e também a excentricidade e , a partir da sua equação reduzida elementos da elipse;Determinar as coordenadas dos focos e dos vértices ,a partir da equação reduzida.




I. IntroduçãoRevisão sobre os elementos de uma elipse.

II. Desenvolvimento A equação reduzida de uma elipse obtém-se aplicando a definição e o cálculo distância

entre dois pontos do mesmo como um lugar geométrico, tem-se:

E ≡ d( P, F1) + d( P, F2 ) = 2a

Desenvolvendo a expressão , obtém-se:

⇒ E ≡ é chamada equação da elipse centrada à origem.

Com a relação : a2 = b2 + c2, podemos calcular os seus focos.

Como os focos da elipse estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c,

0) e F1(– c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:

Hipérbole com focos sobre o eixo y.

Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a equação da elipse será do tipo:

Elementos e propriedades da elipse: 2c → é a distância focal. c2 = a2 - b2 → relação fundamental. A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da elipse. 2a → é a medida do eixo real. 2b → é a medida do eixo imaginário. c/a → é a excentricidade

Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10. Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: 2a = 16 → a = 8 Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que: c2 = a2 + b2 102 = 82 + b2 b2 = 100 – 64

b2 = 36 b = 6

Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x:

III. Síntese

O papel do professor é de orientar os alunos a desenvolver as suas capacidades e

habilidades da matéria e deve pôr à disposição dos alunos pelo menos dois a três exercícios

indicando em rotativa os alunos ao quadro para que os possam resolver.

Exemplo 2. Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo maior medindo 12 e eixo menor 8.

Solução:

Temos que2a=12 →a = 62b = 8 → b = 4Assim,

IV. Aplicação

O prof seleciona alguns exercícios a respeito do tema.Obviamente , o professor espera um resultado satisfactório na parte dos alunos resolvendo eles próprios os exercícios propostos pelo professor sem a sua prévia intervenção.

Exemplo 3:Determinar na elipse:

d) A medida dos semi-eixose) Os focosf) A excentricidade

VI. Trabalho de casaO professor coloque à disposição dos alunos o trabalho para casa a fim de resolver em casa aplicando os requisitos dados pelo professor.

Exemplo4: Determinar a medida dos semi-eixos, os focos e a excentricidade das seguintes elipses:a)

b)

Exemplo 5: A equação da elipse de focos F1 = (-2, 0), F2 = (2, 0) e eixo maior igual a 6 é dada por:

a) b) c)

d) e)

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