PMR3401 - Mecânica Computacional para Mecatrônica Elemento ...sites.poli.usp.br/d/pmr2420/a14-3401.pdf · PMR3401 - Mecânica Computacional para Mecatrônica 3 Elemento quadrilátero

PMR3401 - Mecânica Computacional para Mecatrônica

1

Elemento Isoparamétrico de 4 nós

Consideremos inicialmente a função interpoladora

para um elemento retangular mostrado na figura:

xybybxbbT(x,y) 4321 +++=

sendo T(x,y) a variável de estado, bi,, os coeficientes e x e

y, as variáveis independentes.

Considerando os valores dessa função T nos nós

do retângulo temos:

WbbT

LWbWbLbbT

LbbT

bT

n

m

j

i

31

4321

21

1

+=

+++=

+=

=

Resolvendo para os bi e substituindo novamente em T(x,y):

[ ]

=

−

−

−

−=

n

m

j

i

nmji

n

m

j

i

T

T

T

T

NNNN

T

T

T

T

L

x

W

y

LW

xy

W

y

L

x

W

y

L

xT(x,y) 1111

Assim obtivemos a temperatura escrita em função das temperaturas nodais do elemento.


2

Coordenadas Naturais

Em geral, a função interpoladora de um elemento retangular é definida em relação a um

sistema de coordenadas com centro no centro do elemento denominado sistema de coordenadas

natural como mostrado na figura.

As coordenadas naturais ξ e η são definidas em relação às coordenadas x e y anteriores

através das relações:

;12

−=L

xξ e ;1

2−=

W

yη

e portanto as funções interpoladoras ficam:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )ηξ

ηξ

ηξ

ηξ

+−=

++=

−+=

−−=

114

1

114

1

114

1

114

1

n

m

j

i

N

N

N

N


3

Elemento quadrilátero genérico isoparamétrico

Consideremos o elemento quadrilátero genérico mostrado na figura.

Devido a sua forma genérica é interessante interpolarmos não somente os valores da grandeza

de interesse, mas também as coordenadas dos pontos do interior do elemento. Assim por exemplo, a

interpolação fica:

nnmmjjii

nnmmjjii

yNyNyNyNy

xNxNxNxNx

+++=

+++=

onde xi, xj, ... e yi, yj, ... são as coordenadas x e y dos nós. Como as mesmas funções de forma são

usadas para interpolar a grandeza de interesse (por exemplo, temperatura) como as coordenadas, o

elemento é chamado isoparamétrico. Em casos especiais podemos utilizar funções de forma de grau

maior para interpolar as coordenadas (elemento superparámetrico) o que ocorre quando a fronteira

(contorno) do elemento descreve curvas muito acentuadas. Em outros casos podemos ter funções de

forma de grau menor interpolando as coordenadas (elemento subparámetrico).

Escrever as funções de forma no sistema (x,y) é muito complicado devido a forma genérica

do elemento. Assim , o que se faz é expressar as funções de forma em função das coordenadas locais

(naturais) ξ e η, ο que resulta em equações mais simples, já apresentadas. No entanto, em muitos

casos é necessário calcular as derivadas de T(x,y) em relação à x e y, então nesse caso é necessário

utilizarmos a regra da cadeia:

ηηη

ξξξ

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

y

y

yxTx

x

yxTyxT

y

y

yxTx

x

yxTyxT

),(),(),(

),(),(),(

Na forma matricial:


4

[ ]

∂

∂∂

∂

=

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

∂

∂∂

∂

y

yxTx

yxT

y

yxTx

yxT

yx

yx

yxT

yxT

),(

),(

),(

),(

),(

),(

J

ηη

ξξ

η

ξ

onde a matriz [J] é denominada Jacobiana da transformação de coordenadas. Dessa forma, as

derivadas de T(x,y) em relação a x e y são dadas por:

[ ]

∂

∂∂

∂

=

∂

∂∂

∂

−

η

ξ),(

),(

),(

),(

1

yxT

yxT

y

yxTx

yxT

J

Para o caso do elemento isoparamétrico, a matriz Jacobiana fica:

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( )( ) ( )

[ ]

−

−=⇒

=

=

−++++−−−−++++−−−

+−++−+−−+−++−+−−=

=

∂

+++∂

∂

+++∂∂

+++∂

∂

+++∂

=

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

−

1121

12221

1121

1211

det

1

)1()1()1()1()1()1()1()1(

)1()1()1()1()1()1()1()1(

4

1

JJ

JJ

JJ

JJ

yyyyxxxx

yyyyxxxx

yNyNyNyNxNxNxNxN

yNyNyNyNxNxNxNxN

yx

yx

nmjinmji

nmjinmji

nnmmjjiinnmmjjii

nnmmjjiinnmmjjii

JJ

J

ξξξξξξξξ

ηηηηηηηη

ηη

ξξ

ηη

ξξ


5

Exemplo de aplicação em problemas de transferência de calor usando um

elemento retangular

Consideremos o mesmo problema em que foi descrito a aplicação do elemento triangular na

apostila anterior. Vamos considerar agora um elemento retangular (caso particular do quadrilátero

genérico) mostrado na figura. Nesse caso não é necessário considerar o jacobiano. As funções de

forma ficam (ver dedução acima):

−=

=

−=

−

−=

L

x

W

yN

LW

xyN

W

y

L

xN

W

y

L

xN

n

m

j

i

1

1

11

⇒

( )

( )

LW

y

x

N

LW

y

x

N

yWLWx

N

yWLWx

N

n

m

j

i

−=

∂

∂

=∂

∂

−=∂

∂

+−=∂

∂

1

1

⇒

( )

LW

xL

y

N

LW

x

y

N

LW

x

y

N

yLLWy

N

n

m

j

i

)(

1

−=

∂

∂

=∂

∂

−=

∂

∂

+−=∂

∂

Definindo o vetor: { }

=

n

m

j

i

N

N

N

N

N , portanto: { } { } { }

==

n

m

j

i

nmji

T

T

T

T

T

NNNNT TN~

Considerando a formulação de MEF para o problema de transferência de calor discutido no

capítulo anterior:

( ) ( ) { } { } { } { }{ }

{ }{ }

( ){ } { } { }

{ } [ ]{ }TKT

T

TN

N

NNNNN

=

−−

−−

−−

−−

+

−−

−−

−−

−−

=

=

−−+−

−

−

+−

+−−+−

−

−

+−

=

=

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂=

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂=∇⋅∇

∫∫

∫∫∫∫∫∫

2112

1221

1221

2112

6

2211

2211

1122

1122

6

~

~

~

2

W

kL

L

kW

dAxLxxxL

xL

x

x

xL

yyyWyW

y

y

yW

yW

LW

k

dA

y

x

yxkdA

y

Tx

T

yxkdATk

e

eee

A

AT

T

AA

T

Portanto considerando o caso particular de um elemento retangular ainda é possível obter

uma formulação analítica para a matriz de condutividade térmica. Os demais termos da formulação

(vetores de carregamento) são obtidos de forma análoga ao caso do elemento triangular.


6

MEF Aplicado à Problemas de Mecânica dos Sólidos

Como visto no curso de Resistência de Materiais, a relação entre tensão e deformação

mecânica é dada por (“Lei de Hooke”):

{ } [ ]{ }εCσ =

onde { }σ é o vetor de tensões mecânicas e { }ε o vetor de deformações mecânicas que no caso de

sólidos tridimensionais são dados por:

{ } { }

∂

∂+

∂

∂∂

∂+

∂

∂∂

∂+

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

=

=

=

x

w

z

u

y

w

z

v

x

v

y

uz

w

y

vx

u

xz

yz

xy

zz

yy

xx

xz

yz

xy

zz

yy

xx

γ

γ

γ

ε

ε

ε

ε

τ

τ

τ

σ

σ

σ

e σ

e:

( )( )( )

( )

( )

( )

−

−−

−−

−−−

−−

−−

−+

−=

xz

yz

xy

zz

yy

xx

xz

yz

xy

zz

yy

xx

E

γ

γ

γ

ε

ε

ε

ν

νν

νν

νν

ν

ν

νν

ν

ν

νν

ν

ν

ν

νν

ν

τ

τ

τ

σ

σ

σ

12

2100000

012

210000

0012

21000

000111

0001

11

00011

1

211

1

No entanto, grande parte dos problemas de simulação em mecânica dos sólidos podem ser

resolvidos usando um modelo bidimensional. Logicamente, todo sólido é tridimensional, sendo a sua

modelagem usando um modelo bidimensional apenas um recurso para reduzir o custo

computacional, pois resulta num problema com menor número de variáveis a ser resolvido. Existem

duas abordagens em mecânica dos sólidos para a aproximação de um sólido tridimensional por um

modelo bidimensional: estado plano de tensões e estado plano de deformações.


7

Estado Plano de Tensão

Esse modelo supõe que as tensões ocorrem num plano do sólido. O sólido é modelado como

uma “fatia” com espessura unitária. A figura abaixo ilustra alguns exemplos que podem ser

modelados dessa forma: uma placa com furo sujeita a um carregamento no seu plano e uma viga (por

exemplo, o braço de um robô) sujeita a carregamento no seu plano. Outro exemplo seria uma

membrana sujeita a carregamentos no seu plano. Vários estruturas na engenharia mecânica podem

ser modeladas usando esse modelo.

No estado plano de tensões a “Lei de Hooke” acima é simplificada. Essa simplificação

decorre da hipótese que as tensões normais são nulas na direção normal ao plano, bem como as

tensões de cisalhamento correspondentes, ou seja:

0=== yzxzzz ττσ

Substituindo na equação da Lei de Hooke acima, obtemos:

−−=

xy

yy

xx

xy

yy

xxE

γ

ε

ε

νν

ν

ντ

τ

σ

2

100

01

01

1 2


8

Estado Plano de Deformação

Esse modelo supõe que as deformações ocorrem num mesmo plano do sólido. O modelo

bidimensional representa a seção de um sólido prismático de comprimento infinito. A figura abaixo

ilustra alguns exemplos: o comportamento mecânico da represa pode ser modelado a princípio

considerando apenas um modelo bidimensional de sua seção. Nesse caso supõe-se que o

comprimento da represa é muito maior do que as dimensões de sua seção e portanto a hipótese de

deformações nulas no plano normal à seção é válida.

No estado plano de deformação a “Lei de Hooke” acima também é simplificada. Essa

simplificação decorre da hipótese que as deformações normais são nulas na direção normal ao plano,

bem como as deformações de cisalhamento correspondentes, ou seja:

0=== yzxzzz γγε

Substituindo na equação da Lei de Hooke acima, obtemos:

( )( )

−

−

−

−+=

xy

yy

xx

xy

yy

xxE

γ

ε

ε

ν

νν

νν

νντ

τ

σ

2

100

01

01

211

Utilizando-se as expressões da Lei de Hooke modificada apresentadas acima, de acordo com

o modelo escolhido (estado plano de tensão ou de deformação), podemos obter a formulação das

matrizes dos elementos em MEF que são aplicados na solução de problemas de mecânica dos

sólidos. Vamos considerar o elemento isoparamétrico de 4 nós apresentado no capítulo anterior, por

se tratar de um elemento muito usado nas simulações de mecânica dos sólidos.

Para obter a matriz do elemento de uma forma mais direta e simples (porém menos formal)

do que a apresentada até então, vamos utilizar o conceito de energia. A energia do elemento é dada

por:


9

{ } [ ]{ } ( ) { } [ ]{ } { } [ ]{ })()()()(

2

1

2

1

2

1 eeTe

A

T

eV

TedAtdV UKUεCεεCε ∫∫ ===Λ

onde {U(e)

} e [K(e)

] são os deslocamentos nodais e a matriz de rigidez (matriz do elemento)

respectivamente. Assim, calculando a energia do elemento e considerando a igualdade das

expressões acima, podemos obter a matriz de rigidez do elemento. Assim temos:

∂

∂∂

∂

−

−=

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂

−

−=

∂

∂∂

∂

η

ξ

η

ξv

v

JJ

JJ

y

vx

v

u

u

JJ

JJ

y

ux

u

1121

1222

1121

1222

det

1 e

det

1

JJ

e portanto:

{ } [ ]

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

=

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

−−

−

−

=

∂

∂+

∂

∂∂

∂∂

∂

=

η

ξ

η

ξ

η

ξ

η

ξ

ε

v

v

u

u

v

v

u

u

JJJJ

JJ

JJ

x

v

y

u

y

vx

u

AJ

12221121

1121

1222

00

00

det

1

Mas considerando o elemento isoparamétrico temos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

[ ]{ } { } [ ][ ]{ } [ ]{ }UBUDAεUD ==⇒=

=

−++−−−

+−+−−−

−++−−−

+−+−−−

=

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

ny

nx

my

mx

jy

jx

iy

ix

U

U

U

U

U

U

U

U

v

v

u

u

ξξξξ

ηηηη

ξξξξ

ηηηη

η

ξ

η

ξ

10101010

10101010

01010101

01010101

4

1

O próximo passo é fazer uma mudança de coordenadas de maneira a integrar a energia do

elemento nas coordenadas locais do elemento (-1,1;-1,1), ou seja:

( ) { } [ ]{ } ( ) { } [ ]{ } ηξddtdAtT

eA

T

e

e JεCεεCε det2

1

2

1 1

1

1

1

)(

∫ ∫∫ − −==Λ

onde: ηξdddxdydA Jdet==

Substituindo {ε} na equação acima, obtém-se:


10

( ) { } [ ] [ ][ ]{ } { } ( ) [ ] [ ][ ] { }

{ } [ ]{ })()()(

)(1

1

1

1

)()(1

1

1

1

)()(

2

1

det2

1det

2

1

eeTe

eT

e

TeeTTe

e

eddtddt

UKU

UJBCBUJUBCBU

=

===Λ ∫ ∫∫ ∫ − −− −ηξηξ

Dessa forma, temos que a matriz [K(e)

] é dada por:

[ ] [ ] [ ][ ] ηξddtT

e

e JBCBK det1

1

1

1

)(

∫ ∫− −=

Note que não é possível resolver a integral acima analiticamente para o caso do elemento

quadrilátero genérico pois a matriz Jacobiana e a matriz [B] são função das coordenadas ξ e η. Essa

integral é resolvida numericamente usando o método de Gauss-Legendre, já apresentado

anteriormente.

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