PO2 Notas Aula - ::: Paulo Nacarattti :::paulonacaratti.eti.br/aluno/EPR/PO2_Notas_Aula.pdf · Pesquisa Operacional em Sistemas II ... 2.1.6 Dimensionando Filas. ... Pesquisa Operacional

Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula

Universidade Salgado de Oliveira – UNIVERSO BH

Engenharia de Produção

Pesquisa Operacional em Sistemas II

Os conceitos e desenvolvimentos apresentados neste arquivo baseiam-se nas referências indicadas e

não substitui os textos originais.

Notas de aula


1

Conteúdo

1 O PROBLEMA DA DESIGNAÇÃO ............................................................................................... 3 1.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................... 3

1.2 ALGORITMO DA DESIGNAÇÃO ......................................................................................... 3 1.3 CASO DA MAXIMIZAÇÃO. .................................................................................................. 3 1.4 EXERCÍCIOS. ........................................................................................................................... 4

2 FILAS ............................................................................................................................................... 9

2.1 FILAS: CONCEITOS BÁSICOS. ............................................................................................. 9 2.1.1 Elementos de uma Fila. .......................................................................................................... 9

2.1.2 Características de uma Fila. .................................................................................................. 10

2.1.3 Variáveis Randômicas. ......................................................................................................... 11

2.1.4 Dinâmica de uma Fila ........................................................................................................... 11

2.1.5 Sistemas Estáveis .................................................................................................................. 13

2.1.6 Dimensionando Filas. ........................................................................................................... 13

2.2 Variáveis Randômicas Fundamentais ...................................................................................... 13 2.2.1 Relações Básicas................................................................................................................... 14

2.2.2 Taxa de Utilização dos Atendentes ...................................................................................... 15 2.2.3 Intensidade de Tráfego ou Número Mínimo de Atendentes ................................................. 15 2.2.4 Fórmulas de Little ................................................................................................................. 15

2.2.5 Resumo das Fórmulas ........................................................................................................... 15

2.2.6 Postulados Básicos. .............................................................................................................. 16

2.3 O Modelo M/M/1 .................................................................................................................... 17

2.3.1 Definições: ............................................................................................................................ 17

2.4 O Modelo M/M/c ..................................................................................................................... 18

2.4.1 Definições: ............................................................................................................................ 18

2.4.2 População Infinita ................................................................................................................. 18

2.5 EXERCÍCIOS .......................................................................................................................... 20

3 TEORIA DOS JOGOS ................................................................................................................... 21

3.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 21

3.2 DEFINIÇÕES .......................................................................................................................... 21

3.3 DETERMINAÇÃO DAS ESTRATÉGIAS ÓTIMAS ............................................................ 29

3.4 ESTRATÉGIA DOMINANTE ............................................................................................... 32 4 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS ................................................................................ 34

4.1 FATO HISTÓRICO ................................................................................................................ 34

4.2 TEORIA DOS GRAFOS ......................................................................................................... 35 4.3 CONCEITOS BÁSICOS EM TEORIA DOS GRAFOS ........................................................ 35

4.3.1 DEFINIÇÃO DE GRAFO. ................................................................................................... 36 4.3.2 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA. ............................................................................... 36 4.3.3 DEFINIÇÃO DE GRAFO PONDERADO. ......................................................................... 36 4.3.4 Definição de Grafo Rotulado. ............................................................................................... 36

4.3.5 DEFINIÇÃO DE MULTIGRAFO ....................................................................................... 37 4.3.6 DEFINIÇÃO DE GRAFO DIRECIONADO ....................................................................... 37 4.3.7 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA ................................................................................ 37 4.3.8 DEFINIÇÃO DE GRAFO BIPARTIDO ............................................................................. 38 4.3.9 DEFINIÇÃO DE GRAFO COMPLETO ............................................................................. 38 4.3.10 DEFINIÇÃO DE GRAFO REGULAR .............................................................................. 39 4.4 REDE ....................................................................................................................................... 40


2

4.5 OUTROS CONCEITOS BÁSICOS ........................................................................................ 41 4.5.1 DEFINIÇÃO DE CADEIA DE ARESTAS ......................................................................... 41 4.5.2 DEFINIÇÃO DE CAMINHO .............................................................................................. 41 4.5.3 DEFINIÇÃO DE COMPRIMENTO DE UM CAMINHO .................................................. 42

4.5.4 DEFINIÇÃO DE CICLO ..................................................................................................... 42 4.5.5 DEFINIÇÃO DE CIRCUITO .............................................................................................. 42 4.6 CONEXIDADE ....................................................................................................................... 42

4.6.1 DEFINIÇÃO DE GRAFO CONEXO .................................................................................. 42 4.7 DEFINIÇÃO DE ÁRVORE. ................................................................................................... 43 4.8 REPRESENTAÇÃO DO MODELO USANDO MATRIZ DE ADJACÊNCIA .................... 43 4.8.1 DEFINIÇÃO DE MATRIZ DE ADJACÊNCIA.................................................................. 43

4.9 REPRESENTAÇÃO DO MODELO USANDO A MATRIZ DE INCIDÊNCIA .................. 44 4.9.1 DEFINIÇÃO DE MATRIZ DE INCIDÊNCIA ................................................................... 44 4.10 ANÁLISE DE REDES .......................................................................................................... 44 4.10.1 PROBLEMAS DE EXTENSÃO MÍNIMA ....................................................................... 44 4.10.2 PROBLEMAS DE PERCURSO MÍNIMO. ....................................................................... 45 4.11 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................ 46

5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................... 47


3

1 O PROBLEMA DA DESIGNAÇÃO Esse capítulo tem como fonte Silva (1998) e Andrade (2002) conforme referências indicadas. 1.1 INTRODUÇÃO

É um caso especial do modelo de transportes em que cada origem tem uma unidade

disponível e cada destino necessita também de uma unidade. Exemplos: escalar vendedores para

regiões de vendas e máquinas para diversos locais.

Antes de aplicar o algoritmo de solução, é preciso verificar se o modelo está equilibrado. No

problema de designação o modelo está equilibrado quando o número de origens for igual ao número

de destinos. Se o modelo não estiver equilibrado, deve - se incluir origens ou destinos auxiliares

com custo de transferência igual a zero.

1.2 ALGORITMO DA DESIGNAÇÃO

Passo 1: Subtrair de cada linha seu menor valor. Em seguida fazer o mesmo com as colunas.

Passo 2: Designar origens para destinos nas células em que aparece o elemento nulo. Cada

designação efetuada invalida os outros zeros na linha e na coluna da designação estabelecida. Dê

preferência a linhas ou colunas que tenham apenas um zero disponível. Se a designação não se

completar, vá para o passo 3.

Passo 3: Cobrir os zeros da tabela com o menor número de linhas possível, da seguinte forma:

a) Marcar as linhas sem designação;

b) Nas linhas marcadas, marque as colunas com zeros;

c) Marcar as linhas com designação nas colunas marcadas;

d) Voltar a marcar as colunas com zeros nas linhas marcadas até que não seja possível marcar

novas linhas ou colunas;

e) Riscar as linhas não marcadas e as colunas marcadas.

Passo 4: Determinar o menor valor dentre os números não cobertos de todos os elementos da tabela

e:

a) Os elementos não cobertos ficam diminuídos deste número;

b) Os elementos no cruzamento de coberturas ficam aumentados desse número;

c) Os outros elementos permanecem iguais.

Passo 5: Voltar ao passo 2.

1.3 CASO DA MAXIMIZAÇÃO.

No caso em que o objetivo é a maximização, o modelo deve ser substituído por outro de

minimização. Isto pode ser feito multiplicando a função objetivo por -1, ou transformando o quadro

num quadro de perdas (complemento em relação a um valor fixo – escolher o maior valor).


4

1.4 EXERCÍCIOS.

1. Resolva o problema de designação:

Destinos Origens 1 2 3 4

1 10 23 8 9 2 4 5 6 7 3 12 10 10 8 4 6 4 9 7



1 6 8 10 9 2 4 3 6 5 3 7 9 12 6

3. Resolva o problema de designação, onde o símbolo X indica a impossibilidade da designação da origem para o destino correspondente:

Destinos Origens 1 2 3

1 6 X 8 2 4 9 3 3 5 6 4 4 8 10 12

4. Quatro locais L1, L2, L3 e L4 necessitam de um equipamento. Existem quatro equipamentos disponíveis um em cada um dos depósitos D1, D2, D3 e D4. As quilometragens entre os locais necessitados e os depósitos estão no quadro:

Locais Depósitos L1 L2 L3 L4

D1 100 120 130 140 D2 80 70 120 90 D3 100 80 100 110 D4 90 90 120 80

Determine um programa de expedição de quilometragem mínima. 5. Resolva o problema anterior, supondo que não seja possível expedir do armazém 1 para o local 3.


5

6. Uma fábrica possui quatro locais L1, L2, L3 e L4 para receber três novos equipamentos (E1, E2 e E3). A operação desses equipamentos gera um fluxo de materiais cujo custo de manuseio depende do local da instalação, e estão no quadro a seguir:

Locais Equipamentos L1 L2 L3 L4

E1 10 4 8 6 E2 6 4 9 10 E3 5 7 8 9

Designar os equipamentos para os possíveis locais, de modo a minimizar o custo total de manuseio de materiais. 7. Suponha no problema anterior que não seja possível designar o E1 para o local L2. Qual seria a solução do problema? 8. Uma empresa deseja operar diretamente em quatro regiões. Para isso, contratou e treinou quatro vendedores. A empresa tem conhecimento dos mercados dessas regiões através de representantes. A partir dessas informações, o departamento de R. H. montou um quadro de eficiência para os vendedores baseado no perfil profissional de cada um deles. O resultado e outras informações relevantes estão nos quadros a seguir: Potencial de vendas mensais em milhares de unidades monetárias: Região Vendas

1 100 2 150 3 120 4 250

Capacidade estimada para cada vendedor em cada região %

Vendedor Região 1 2 3 4

1 60 80 70 65 2 70 60 80 60 3 80 40 60 70 4 60 90 95 85

Baseado nesta estimativa, designar os vendedores para as regiões de modo a maximizar o retorno mensal total de vendas.


6

9. Uma empresa tem disponível nos fornecedores quatro tipos de robôs que fazem uma sequência de operações padronizadas. Um estudo feito em colaboração com os fornecedores revelou os lucros anuais gerados pela instalação de um robô em cada uma das três unidades produtoras da empresa, após descontados os custos de instalação, manutenção e depreciação dos equipamentos (em 1.000 u.m.).

Unidades produtoras Robô U1 U2 U3 R1 6 10 5 R2 5 8 7 R3 8 10 8 R4 7 9 9

A empresa deseja adquirir um tipo de robô para cada instalação produtora, de modo a maximizar o lucro total no ano devido a essa operação. 10. Suponha no problema anterior que o robô R3 não sirva a U1. Qual seria então a solução do problema? 11. Resolva o problema de designação:


1 9 18 10 10 2 5 7 8 6 3 10 18 9 10 4 8 6 8 5



1 7 7 9 10 2 5 5 8 8 3 8 10 11 5

13. Resolva o problema de designação, onde o símbolo X indica a impossibilidade da designação da origem para o destino correspondente:

Destinos Origens 1 2 3

1 6 6 8 2 4 9 3 3 5 X 4 4 8 10 12


7

14. Uma empresa deseja operar diretamente em quatro regiões. Para isso, contratou e treinou quatro vendedores. A empresa tem conhecimento dos mercados dessas regiões através de representantes. A partir dessas informações, o departamento de R. H. montou um quadro de eficiência para os vendedores baseado no perfil profissional de cada um deles. O resultado e outras informações relevantes estão nos quadros a seguir:

Potencial de vendas mensais em milhares de unidades monetárias: Região 1 2 3 Vendas 180 120 150 Capacidade estimada para cada vendedor em cada região %

Vendedor Região 1 2 3

1 60 80 70 2 70 60 80 3 80 40 60

Baseado nesta estimativa, designar os vendedores para as regiões de modo a maximizar o

retorno mensal total de vendas. Respostas 1. Origem Destino Custo = 24

1 3 2 1 3 4 4 2

2. Origem Destino Custo = 15

1 1 2 2 3 4 4 3

3. Origem Destino Custo = 15

1 1 2 3 3 2 4 4

4. Origem Local km = 350

1 1 2 2 3 3 4 4


8

5. Origem Local km = 350

1 1 2 2 3 3 4 4

6. Equipamento Local Custo = 15

1 4 2 2 3 1 4 3

7. Equipamento Local Custo = 15

1 4 2 2 3 1 4 3

8. Região Vendedor Vendas = 508,50

1 2 2 3 3 1 4 4

9. Robôs Unidade

Produtiva Lucro = 27

1 2 2 X 3 1 4 3

10. Robôs Unidade

Produtiva Lucro = 25

1 1 2 X 3 2 4 3


9

2 FILAS

Esse capítulo tem como fonte Prado (2004) e Andrade (2002) conforme referências indicadas.

� Do dia-a-dia (banco, supermercado, salão de beleza, cinema, pedágio etc...).

� Ambientes de produção.

� Abstratas (pedidos de manufatura, pilha de papéis com solicitações de reparo de máquinas).

� Enfileiradas ou dispersas

� Filas não são simpáticas ( o ideal é chegar ao local de serviço e ser imediatamente atendido).

� Filas são dispendiosas (custo).

� Procurar o melhor dimensionamento (“paradoxo da sobrevivência”).

� É antieconômico superdimensionar um sistema para que nunca existam filas.

� Balanceamento adequado que permita um atendimento aceitável pelo melhor custo e melhor

benefício.

TEORIA DAS FILAS : É um método analítico que aborda o assunto por meio de fórmulas

matemáticas. Já a simulação é uma técnica que, usando o computador digital, procura montar um

modelo que melhor represente o sistema em estudo.

2.1 FILAS: CONCEITOS BÁSICOS.

2.1.1 Elementos de uma Fila.

População → clientes (transação ou entidade) que aguardam algum tipo de serviço.

Atendimento: é constituído de um ou mais servidores (atendentes ou canais de serviços).


10

2.1.2 Características de uma Fila.

a) Clientes e Tamanho da População.

Um cliente é proveniente da população. Para efeito prático, uma população muito grande é

considerada infinita. Quando a população é muito grande, a chegada de um novo cliente a uma fila

não afeta a taxa de chegada de clientes subseqüentes (as chegadas são independentes). Quando a

população é pequena o efeito existe e pode ser considerável.

b) Processo de Chegada.

Exemplo: Em uma praça de pedágio chegam 20 automóveis por minuto ou 1 automóvel a

cada 3 segundos. Trata-se de um valor médio.

λ = 20 clientes por minuto (ritmo de chegada)

IC = 3 segundos (intervalo médio)

Nesse exemplo pode-se quantificar o processo de chegada dizendo que a taxa média de

chegada é de 20 veículos por minuto ou que o intervalo médio entre as chegadas é de 3 segundos.

Mas além dos valores médios é necessário também mostrar como os valores se distribuem em

torno da média. Assim, para caracterizar corretamente um processo de chegada devemos lançar mão

de uma distribuição de freqüência, tal como a distribuição normal, a de Poisson, a exponencial, etc.

Um tipo raro de processo de chegada é o regular (não existe nenhuma variação entre os

valores para os intervalos entre chegadas). Esta situação ocorre apenas em processos altamente

automatizados.

Existem situações em que o ritmo de chegada sofre variações durante o dia.

c) Processo de Atendimento

Também descrito por valores médios. Um atendente pode atender 6 veículos por minuto ou

que gasta 10 segundos para atender um veículo. Também é preciso usar as distribuições de

probabilidades para descrever corretamente.

Processos de atendimento regulares também são raros na prática.

µ = 6 clientes por minuto (ritmo médio de atendimento)

TA = 10 segundos por cliente (tempo ou duração média do serviço ou atendimento)

d) Número de Servidores

O mais simples sistema de filas é aquele de um único servidor que pode atender um único

cliente de cada vez. Conforme o aumento do ritmo de chegada, a qualidade do serviço pode ser

mantida pelo aumento do número de servidores.

e) Disciplina da Fila

É a regra que define qual o próximo a ser atendido. O mais comum é que o primeiro da fila é

atendido primeiro, isto é, o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido (FIFO – First In First Out).


11

Existem outras disciplinas como, por exemplo, o último a chegar é o primeiro a ser atendido (LIFO

– Last In First Out), serviço por ordem de prioridade, serviço randômico, etc.

f) Tamanho Médio da Fila

g) Tamanho Máximo da Fila

Os sistemas são dimensionados para uma certa quantidade máxima de clientes em espera, este

dimensionamento geralmente é feito baseando-se em experiência real. Quando a demanda cresce,

amplia-se o sistema também baseando-se em experiência real.

h) Tempo Médio de Espera na Fila

O ideal é que não exista tempo de espera, mas nem sempre é a melhor situação do ponto de

vista econômico.

2.1.3 Variáveis Randômicas.

Quando nos referimos a filas usamos variáveis randômicas. Assim, para as principais

variáveis existe um valor médio e uma distribuição de probabilidades, que mostra as chances de

ocorrências dos valores.

2.1.4 Dinâmica de uma Fila

a) Chegada de clientes

No período de meia hora chegaram 12 pessoas. Os intervalos entre chegadas, a partir do

instante zero estão registrados no quadro seguinte (com valores em minutos):

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2

Momento 3 6 9 12 17 18 19 23 24 28 29 31

A linha Cliente identifica a ordem de chegada dos clientes. A linha Intervalo identifica o

intervalo de tempo entre as chegadas. A linha Momento indica o instante da chegada do novo

cliente, obtido a partir de acumulações da linha intervalo acrescido de 1, para significar o início do

próximo intervalo de tempo.

O valor médio dos intervalos acima é de 2,5 minutos, o ritmo médio de chegada é de 24

clientes por hora.

IC = 30/12 = 2,5 minutos

λ = 60/2,5 = 24 clientes por hora


12

b) Atendimento

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3

O tempo médio de atendimento é de 2,0 minutos e o servidor tem uma capacidade de atender

30 clientes por hora.

TA = 24/12 = 2 minutos por atendimento

µ = 60/2 = 30 clientes por hora

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tempo na Fila 0 0 0 0 0 3 4 0 3 1 3 2

A figura seguinte ilustra a dinâmica da fila.

O último cliente saiu do atendimento no final do 35º minuto.

Conclusões:

Total de clientes atendidos: 12

Tempo total da fila: 16 minutos

Tempo Médio na Fila = 16/12 = 1,33 minutos

Número Médio na Fila = 16/35 = 0,46 cliente

Observe que a capacidade de atendimento (µ) é superior ao ritmo de chegada (λ) e mesmo

assim formam-se filas. Se a abordagem fosse feita apenas pelas médias não teríamos a formação de

fila. Caso o processo fosse regular, o tempo total de atendimento dos clientes seria de 32 minutos,

mas como ele é aleatório o tempo total foi de 35 minutos.


13

O dimensionamento dos sistemas tenta minimizar esses efeitos pela modificação de fluxos,

pela colocação de mais atendentes, pela utilização de melhores atendentes, etc. Também deve se

observar o custo do atendimento.

2.1.5 Sistemas Estáveis

A abordagem matemática de filas da Teoria das Filas exige que exista estabilidade no fluxo de

chegada e no processo de atendimento, ou seja, os valores de λ e µ devem manter-se constantes no

tempo. Se isso não ocorrer deve-se usar simulação por computador. Em um banco o fluxo de

chegada de clientes varia durante o dia e não possível analisar pela Teoria das Filas. Em fábricas

que funcionam 24 horas ininterruptamente temos geralmente uma situação estável.

Sistemas estáveis:

� Fluxo médio de entrada (λ) constante;

� Ritmo médio de atendimento (µ) constante e

� µ > λ

Se µ não for maior que λ, então o tamanho da fila aumentará infinitamente.

2.1.6 Dimensionando Filas.

Dimensionar sistemas com o objetivo de prestar melhor atendimento aos clientes ou para

obter uma redução de custos do funcionamento do sistema.

2.2 Variáveis Randômicas Fundamentais

λ = Ritmo médio de chegada.

µ = Ritmo médio de atendimento.

c = Capacidade de Atendimento ou Quantidade de Atendentes.

� Variáveis Referentes ao Sistema

TS = Tempo médio de permanência no sistema

NS = Número médio de clientes no sistema

� Variáveis Referentes ao Processo de Chegada

λ = Ritmo médio de chegada.

IC = Intervalo médio entre chegadas.

Por definição: IC = 1/ λ

� Variáveis Referentes à Fila.

TF = Tempo médio de permanência na fila.

NF = Número médio de clientes na fila.


14

� Variáveis Referentes ao Processo de Atendimento.

TA = Tempo médio de atendimento ou de serviço.

c = Capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes.

NA = Número médio de clientes que estão sendo atendidos.

µ = Ritmo médio de atendimento.

Por definição: TA = 1/ µ

A figura seguinte mostra a localização das variáveis.

2.2.1 Relações Básicas

NS = NF + NA

TS = TF + TA

É possível demonstrar que NA = λ/µ = TA/IC. E assim:

NS = NF + NA = NF + (λ/µ) = NF + TA/IC


15

2.2.2 Taxa de Utilização dos Atendentes

Para o caso de “uma fila/um atendente”, chamamos de taxa de utilização do atendente a

expressão ρ = λ/µ.

No caso de uma fila/vários atendentes, a expressão fica ρ = λ/cµ.

A taxa de utilização (ρ) representa a fração média do tempo em que cada servidor está

ocupado.

Como estudaremos apenas sistemas estáveis (os atendentes sempre serão capazes de atender

ao fluxo de chegada, ou seja λ<µ) teremos sempre que ρ < 1.

2.2.3 Intensidade de Tráfego ou Número Mínimo de Atendentes

ICTAi == µλ

O valor de i é o valor inteiro que se obtém e é medido em “erlangs”. Na prática representa o

número mínimo de atendes necessários para atender um dado fluxo de tráfego.

2.2.4 Fórmulas de Little

J. D. C. Little demonstrou que em um sistema estável de filas temos:

NF = λTF e NS = λTS

2.2.5 Resumo das Fórmulas

Intervalo entre chegadas: IC = 1/λ

Tempo de atendimento: TA = 1/ µ

Taxa de utilização dos atendentes: ρ = λ/cµ

Intensidade de Tráfego (número mínimo de atendentes): ICTAi == µλ

Relações entre Fila, Sistema e Atendimento:

NS = NF + NA

NA = λ/µ

NS = NF + NA = NF + (λ/µ) = NF + TA/IC

TS = TF + TA

NA = ρ = λ/µ


16

Fórmulas de Little:

NF = λTF

NS = λTS

2.2.6 Postulados Básicos.

A figura seguinte apresenta alguns postulados básicos que se aplicam a quaisquer sistemas de filas

nos quais existe estabilidade ou seja λ<µ.


17

2.3 O Modelo M/M/1

� Segue a Distribuição de Poisson ou a Exponencial Negativa.

� Tem um único atendente.

2.3.1 Definições:

λ = Ritmo Médio de Chegada.

IC = Intervalo Médio entre Chegadas = 1/ λ.

TA = Tempo Médio de Atendimento ou de Serviço. TA = 1/ µ.

µ = Ritmo Médio de Atendimento de cada atendente.

População Infinita (quando a população é muito grande).

Principais variáveis randômicas:

Nome Descrição Fórmula

NF Número Médio de clientes na Fila

)(

2

λµµλ

−=NF

NS Número Médio de clientes no Sistema λµ

λ−

=NS

TF Tempo Médio que o Cliente fica na fila. )( λµµ

λ−

=TF

TS Tempo Médio que o cliente fica no sistema λµ −

= 1TS

Pn Probabilidade de existirem n clientes no Sistema n

nP

−=

µλ

µλ

1

Taxa de Utilização: Relação entre o ritmo de chegada e o ritmo médio de atendimento:

µλρ =


18

Observação: Sistemas estáveis exigem λ < µ ou ρ < 1. Quando ρ tende para 1 a fila tende a

aumentar infinitamente pois

ρρ

λµµλ

−=

−=

1)(

22

NF

2.4 O Modelo M/M/c

� Tem uma única fila e diversos servidores.

� Chegada e atendimento seguem a distribuição de Poisson ou a Distribuição Exponencial

Negativa.

� Supõe-se que a capacidade de atendimento de cada um dos servidores é a mesma (µ).

2.4.1 Definições:

λ = Ritmo Médio de Chegada.

IC = Intervalo Médio entre Chegadas = 1/ λ.

TA = Tempo Médio de Atendimento ou de Serviço em cada atendente. Por definição TA = 1/ µ.

µ = Ritmo Médio de Atendimento de cada atendente.

c = capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes.

Taxa de Utilização: Relação entre o ritmo de chegada e o ritmo médio de atendimento: µλρc

=

2.4.2 População Infinita

O uso de gráficos facilita o estudo do modelo M/M/c. O gráfico seguinte permite obter o

número médio de clientes na fila (NF) em função do fator de utilização e tendo como parâmetro a

quantidade de servidores c.


19

O próximo gráfico permite obter o número médio de clientes no sistema (NS)

Para ambos os gráficos a taxa de utilização é µλρc

=

Após usar os gráficos, as outras variáveis randômicas fundamentais podem ser obtidas pelas

fórmulas de Little:

TF = NF/λ

TS = NS/λ


20

2.5 EXERCÍCIOS

1) Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vão receber as ferramentas especiais para a realização de uma determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ) é de uma chegada por minuto e o ritmo de atendimento (µ) é de 1,2 atendimentos por minuto (seguem o modelo marcoviano M/M/1). A fábrica paga $9,00 por hora ao atendente e $18,00 por hora ao operário. Determine: a) O custo horário do sistema. (Resposta: $99,00 por hora) b) A fração do dia em que o atendente não trabalha. (Resposta: 16%) 2) Contratação de um reparador. Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas, que estragam a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal, tem duas opções: um reparador lento, que é capaz de consertar a um ritmo médio de 4 falhas por hora ou um reparador rápido , que é capaz de consertar a um ritmo médio de 6 falhas por hora. O salário/hora do reparador lento é $3,00 e o do rápido é de $5,00. Qual contratação deve ser efetuada para que o custo total (reparador mais máquinas paradas) seja mínimo? Sabe-se que uma máquina parada implica um custo horário de $5,00. (Resposta: contratar o operador rápido) 3) Filas sequenciais em uma fábrica. Calcular as filas que ser formam em cada servidor.

(Resposta: 1,33; 0,17 e 0,01 ) 4) Uma cooperativa agrícola prevê um crescimento na chegada de caminhões a seu terminal de descarga. O pátio de estacionamento, onde os caminhões permanecem, comporta seis caminhões. A cooperativa acha aceitável que um caminhão aguarde na fila sua vez de descarregar no máximo 0,75h. Como a equipe de descarga tem condições de descarregar quatro caminhões por hora em média, deseja-se saber: a) Qual a taxa média de chegada que faz com que o tempo médio de espera seja igual ao máximo admissível? (Resposta: 3 caminhões por hora) b) Para essa taxa de chegadas, qual a probabilidade de que o pátio não seja suficiente? (Resposta:0,10) 5) Em um sistema de uma fila e um canal, foram medidos a taxa de ocupação (0,8) e o tempo médio gasto na fila (15 min). Determine as seguintes probabilidades: a) De ocorrer 10 chegadas por hora; (0,0898) b) De que ocorram 12 atendimentos por hora e (0,066) c) De formar uma fila com 10 clientes. (0,0215)


21

3 TEORIA DOS JOGOS Esse capítulo tem como fonte Tavares (2012), Kolman & Hill (2006) e Bronson (1985)

conforme referências indicadas.

3.1 INTRODUÇÃO

Segundo Tavares (2012) o termo jogo é mais conhecido por sua relação com os esportes e

suas competições, entretanto, esse termo também está relacionado a outras situações e assume

importância fundamental como instrumento de análise estratégica nas empresas.

A Teoria dos jogos é uma área relativamente nova da matemática aplicada que tenta analisar

situações de conflito e fornece uma base para a tomada racional de decisão. É um novo campo de

estudos de interações estratégicas entre diversos agentes (empresas, por exemplo).

As empresas interagem em um ambiente de interdependência estratégica e devem estar atentas

ao ambiente interno e às estratégias dos concorrentes. O comportamento estratégico é decisivo para

o sucesso de uma empresa.

Um jogo é uma situação de competição em que cada um dos jogadores tenta alcançar seu

objetivo em um conflito direto com outros jogadores. Cada jogador faz tudo o que é possível para

ganhar o máximo para si mesmo.

Jogos de azar – são jogos em que os resultados e vitórias são determinados somente pelas leis

das probabilidades e não podem ser afetadas por quaisquer ações dos jogadores. Exemplo: roleta

(não exige qualquer habilidade do jogador).

Uma aplicação prática da teoria dos jogos pode ser a solução para os casos em que uma

empresa se encontra diante de alternativas estratégicas.

Uma empresa que não reconhece o cenário de interdependência estratégica em que se encontra

inserida adota uma visão equivocada da realidade que pode provocar problemas irreparáveis.

Os jogos de estratégias podem ser considerados ferramentas de análise econômica para

analisar as estratégias das empresas em situações do seu cotidiano. É uma ferramenta considerada

eficiente e recebem um tratamento formal pela teoria dos jogos.

3.2 DEFINIÇÕES

Conceito de jogo: Conforme Tavares (2012) pode-se definir jogo como a “representação

formal de uma situação em que alguns indivíduos interagem em um cenário de interdependência

estratégica”.

Interdependência estratégica: o resultado de cada ação dependerá das ações dos demais

jogadores envolvidos.

Teoria dos jogos: “É a análise quantitativa de qualquer situação que envolva pelo menos duas

partes em conflito, com o objetivo de indicar as estratégias ótimas para cada uma delas e alcançar os

melhores resultados possíveis” (Tavares, 2012).


22

Informações fundamentais de um jogo:

a) Os competidores;

b) As normas (tudo que pode ser feito pelos competidores, as informações que eles detêm);

c) As consequências (a cada ação dos competidores o que acontece?)

d) Os payoffs (também denominadas matrizes de ganhos, ou de pagamentos, refletem as

consequências das ações dos competidores).

Jogos com apenas um jogador são chamados de jogos contra a natureza (que não têm interesse

em maximizar lucros ou competir). Exemplo: na agricultura, o sucesso na colheita de um produto

agrícola pode depender da ocorrência ou não de chuva que é determinada pelo acaso. Um jogador é

o agricultor e o outro é a Natureza.

As regras: Demarcam as ações que podem ser empreendidas pelos jogadores. O conjunto de

regras é caracterizado pelas seguintes informações:

• A relação dos jogadores (competidores);

• A hipótese de que cada jogador procura maximizar seus interesses de maneira

racional;

• Todas as ações possíveis de cada jogador;

• Os ganhos de cada jogador para todas as estratégias que podem ser implementadas.

Consequências ou resultado das ações dos jogadores: O conjunto de estratégia dos

jogadores utilizado durante o jogo, gera consequências para cada um deles. As consequências são

resultados que podem ser expressos ou representados pelos ganhos (payoffs).

Os payoffs: São estabelecidos em decorrência dos resultados alcançados pelas ações dos

jogadores.

Na vida real a determinação de payoffs confiáveis pode ser feita por meio de pesquisas de

mercado.

O conhecimento disponível para os jogadores desempenha um papel muito importante na

teoria dos jogos.

Jogos de informação perfeita: o jogador tem conhecimento das jogadas que foram utilizadas

pelos seus oponentes e conhece toda a história pregressa daquele jogo.

Jogos de informação imperfeita: o jogador conhece as estratégias disponíveis para seus

oponentes mas não tem pleno conhecimento das estratégias que foram utilizadas por eles.

Jogos de informação completa: os jogadores envolvidos na disputa conhecem os payoffs a

serem obtidos por todos os outros jogadores.


23

Segundo Tavares (2010), pode parecer pouco realista que uma empresa conheça o que seu

concorrente vai alcançar em termos de payoff, mas observa que o fluxo e a troca de informações na

atualidade ocorrem instantaneamente. O autor observa também que a obtenção dessas informações

tem um custo associado. Mas, por questões estratégicas, nem sempre os payoffs são de

conhecimento comum, pois existem situações em que omitir uma informação pode trazer resultados

positivos para uma determinada empresa. Entretanto, se os jogadores são racionais e cada um sabe

que o outro é racional, eles terão plena noção de quando o seu oponente diz a verdade ou apenas

blefando.

Uma ação de um jogador é a manifestação de suas vontades em termos reais, isto é, uma

atitude de cooperação ou de competição.

Jogos cooperativos: jogos em que os acordos são permitidos.

Jogos não-cooperativos: os acordos não são possíveis.

Como os jogos podem ser compostos por várias ações, o conceito de estratégia tem grande

importância na teoria dos jogos e pode assumir algumas versões:

� Estratégia é um plano contingente completo ou uma regra de decisão que especifica

como o jogador agirá em todas as circunstâncias possíveis com as quais ele pode se

defrontar.

� Estratégia é o conjunto de ações a ser executado ao longo do jogo em resposta às

ações dos seus oponentes.

� Estratégia é um “programa de jogo” predeterminado, o qual diz quais ações devem

ser tomadas em resposta a toda possível estratégia que os outros vierem a utilizar.

Jogos de estratégia: são disputas nas quais os jogadores, interagindo em um ambiente de

interdependência, devem atuar tendo em mente uma estratégia a ser colocada em prática para cada

resposta dada pelos demais jogadores.

Exemplo: Dilema dos Prisioneiros (http://www.teoriadosjogos.net/teoriadosjogos/list-

trechos.asp?id=29

É um jogo muito famoso que representa bem o dilema entre cooperar e trair. A polícia prende

dois suspeitos de um crime A e B, mas como não tem provas suficientes para a condenação, separa

os prisioneiros em salas diferentes e oferece aos prisioneiros o seguinte acordo:

a) Se apenas um dos prisioneiros confessar (trair o outro prisioneiro) ele ficará livre e o

que não confessar cumprirá 10 anos.

b) Se ambos não confessarem (cooperação entre os prisioneiros), eles ficarão presos

apenas por 1 ano.

c) Se ambos confessarem (trair o outro), cada um ficará preso 5 anos.


24

Como eles não podem conversar, cada prisioneiro faz a escolha sem saber da escolha do outro.

Que decisão tomar? Qual a melhor opção colaborar ou trair?

Representação matricial:

Prisioneiro A

Colaborar (não confessar) Trair (confessar)

Prisioneiro B Colaborar (não confessar) 1;1 10;0

Trair (confessar) 0;10 5;5

Fonte: Tavares, 2012.


25

Nossa abordagem enfatizará os jogos com dois competidores usualmente chamados de R e C.

Se R tem m movimentos possíveis (ou curso de ação) e que C tem n movimentos, pode-se formar

uma matriz mxn nomeando suas linhas de cima para baixo com as jogadas de R e nomeando as

colunas, da esquerda para a direita, com as jogadas de C. O elemento aij, na linha i e na coluna j,

indica a quantidade (dinheiro ou algum outro item de valor) recebida por R se R realiza sua i-ésima

jogada e C sua j-ésima jogada. O elemento aij é chamado de pagamento e a matriz A = [aij] é

chamada matriz de pagamentos (para R). Estes jogos são chamados de jogos de duas pessoas.

Também o chamaremos de jogos matriciais.

Também é possível construir uma matriz que represente os pagamentos efetuados para C, mas

para uma classe de jogos chamados de jogos de soma constante, a soma dos pagamentos para R e

para C é constante para todos os pares mn de jogadas de RC. Quanto mais R ganha, menos C ganha

(ou mais C perde), e vice versa.

Jogo de soma zero – é um jogo de soma constante em a quantidade ganha por um jogador e

igual a quantidade perdida pelo outro jogador. Para esses é suficiente estudar apenas a matriz de

pagamentos para R.

No estudo dos jogos matriciais, considera-se que os dois jogadores são igualmente hábeis, que

cada um deles joga tão bem quanto seja possível jogar e que cada jogador realiza sua jogada sem

saber qual será a jogada de seu oponente.

Exemplo 1: Considere um jogo de cara ou coroa entre dois jogadores R e C, cada um deles

tem uma moeda na mão. Cada jogador escolhe um lado da moeda sem saber a escolha do seu

oponente. Se ambos os jogadores mostrarem o mesmo lado da moeda, então R ganha $1 de C; em

caso contrário, C ganha $1 de R. Construir a matriz de pagamentos.

Exemplo 2: Há dois fornecedores, as empresas R e C, de um novo tipo especializado de pneu

que tem 100.000 clientes. Cada empresa pode anunciar seu produto na TV ou em jornais. Uma

empresa de propaganda determina que, se ambas as empresas anunciarem na TV, então a empresa R

obterá 40.000 clientes (e a empresa C obterá 60.000 clientes). Se ambas anunciarem em jornais,

então cada uma obterá 50.000 clientes. Se R anunciar em jornais e C na TV, então R obterá 60.000

clientes (e C obterá 40.000 clientes). Se R anunciar na TV e C anunciar em jornais, então cada um

deles obterá 50.000 clientes.

Este é um jogo de soma constante, para o qual a soma dos clientes de R e C é sempre igual a

população total dos 100.000 compradores deste tipo de pneu. Construir a matriz de pagamentos.


26

Observe a seguinte matriz de pagamentos:

C

C1 C2 C3 C4

L1 8 2 9 5

R L2 6 5 7 8

L3 7 3 − 4 7

Em que, L1, L2 e L3 são as jogadas do jogador R e C1, C2, C3 e C4 as jogadas do jogador C.

Se o jogador R escolher a jogada L2, ele garante a vitória em pelo menos 5 pontos que é o menor

elemento da segunda linha da matriz, independente da jogada do jogador C. Se o jogador C escolher

a jogada C2, ele garante que perderá não mais que 5 pontos que é o maior elemento da segunda

coluna, independente da jogada do jogador R.

Assim, o melhor curso de ação do jogador R é escolher a jogada que maximizará seus

pagamentos certos, independente do que o jogador C faça. O melhor curso de ação do jogador C é

escolher a jogada que minimizará suas perdas certas, independente da escolha do jogador R.

A tabela seguinte apresenta essa análise de modo mais detalhado.

C

C1 C2 C3 C4 Mínimios

L1 8 2 9 5 2

R L2 6 5 7 8 5

L3 7 3 − 4 7 − 4

Máximos 8 5 9 8

R escolhe a jogada L2 – maximin - maximiza o mínimo ganho de cada opção - valor maximin.

C escolhe a jogada C2 – minimax - minimiza a máxima perda de cada opção - valor minimax.

Definição: Se a matriz de pagamentos de um jogo matricial contém um elemento ars, que é ao

mesmo tempo o mínimo da linha r e o máximo da coluna s, então ars é chamado de ponto de sela.

Além disso, ars é chamado de valor do jogo. Se o valor de um jogo de soma zero é zero, o jogo é

chamado imparcial .

Definição: Um jogo matricial é dito estritamente determinado se sua matriz de pagamentos

tem um ponto de sela.

Observação: Um jogo pode ter mais do que um ponto de sela.

Exemplo 3: Considere o jogo com matriz de pagamentos


27

C

0 −3 −1 3

R 3 2 2 4

1 4 0 6

O jogo tem ponto de sela?

C Mínimios das linhas

0 −3 −1 3 −3

R 3 2 2 4 2

1 4 0 6 0

Máximos das colunas 3 4 2 6

O elemento a23 é o ponto de sela para o jogo e o jogo é estritamente determinado.

O que acontece se R escolher a segunda jogada?

O que acontece se C escolher a terceira jogada?

Exemplo 4: Faça a mesma análise para o jogo do exemplo 2.

Exemplo 5: Considere o jogo com a matriz de pagamentos.

−−

−

354

423

161

Verifique se há ponto de sela. (Resposta: não.)

Exemplo 6: Verifique se o jogo com a matriz de pagamentos A tem ponto de sela.

−=4646

2316

4545

A

Resposta: vários pontos de sela com valor 4.

Exercício: Verifique se o jogo do exemplo 1 é um jogo estritamente determinado.

Nos jogos que não são estritamente determinados cada jogador tenta determinar seu melhor

curso de ação. O jogador R tenta maximizar seus ganhos e o jogador C tenta minimizar suas perdas.

Uma estratégia para um jogador é uma decisão para a escolha da jogada.

Como o jogo é jogado repetidamente, cada jogador fará cada jogada com uma determinada

frequência relativa.

Definição: Suponha um jogo matricial com uma matriz de pagamentos mxn. Seja pi, 1 ≤ i ≤ m,

a probabilidade de um jogador escolher a i-ésima linha da matriz de pagamentos. Seja qj, 1 ≤ j ≤ n, a


28

probabilidade do outro jogador escolher a j-ésima coluna da matriz de pagamentos. O vetor

[ ]mpppp ...21= é chamado de uma estratégia para o jogador R; o vetor

=

nq

q

q

q...

2

1

é chamado

de uma estratégia para o jogador C

Obs.: ∑∑ == 1 e 1 ji qp

Se um jogo um jogo matricial é estritamente determinado, então as estratégias ótimas dos

jogadores são estratégias que têm uma componente igual a 1 e todas as outras iguais a zero. Essas

estratégias são chamadas de estratégias puras. Uma estratégia que não é pura é chamada de

estratégia mista. No exemplo 3, a estratégia pura para R é [ ]010=p e a estratégia pura para C é

=

0

1

0

0

q .

Definição: Ganho esperado. E(p,q) = pAq, onde A é a matriz de pagamentos.

Exemplo 7: Considere um jogo matricial com matriz de pagamentos

−−

=304

322A .

Se

=4

3

4

1p e

=

3

13

13

1

q são as estratégias para R e C, respectivamente, então qual o ganho

esperado para R ? (Resposta: ½). Qual o significado desse valor?

E se

=4

1

4

3p e

=03

23

1

q são as estratégias para R e C, respectivamente, então qual o ganho

esperado para R ? (Resposta: -1/6). Qual o significado desse valor?

Definição: Uma estratégia para um jogador R é dita ótima se ela garante maior ganho possível

para R, independente do que seu oponente possa fazer. Da mesma maneira, uma estratégia para o

jogador C é dita ótima se ela garante o menor ganho possível para R, independente do que R faça.


29

Definição: Se p e q são estratégias ótimas para R e C, respectivamente, então o ganho

esperado para R, v = E(p,q), é chamado de valor do jogo. Se o valor de um jogo de soma zero é

zero, o jogo é dito imparcial .

3.3 DETERMINAÇÃO DAS ESTRATÉGIAS ÓTIMAS

O principal objetivo da teoria dos jogos é determinar as estratégias ótimas para cada jogador.

Desta forma, ao serem definidas as probabilidades de cada alternativa, o jogador deve selecioná-las

seguindo esta probabilidade, de modo aleatório, para que sua estratégia não seja detectada pelo

outro jogador.

Considere um jogo matricial com matriz de pagamentos 2x2

=

2221

1211

aa

aaA

Com estratégia [ ]21 ppp = para o jogador R e

=

2

1

q

qq para o jogador C e que o jogo não

seja estritamente determinado.

Agora vamos determinar uma estratégia ótima para R:

� Se C joga sua primeira coluna, o ganho esperado de R é a11p1 + a21p2.

� Se C joga sua segunda coluna, o ganho esperado de R é a12p1 + a22p2.

� Se v é o menor dos ganhos esperados:

vpapa

vpapa

≥+≥+

222121

221111

O jogador R procura tornar v o maior possível, isto é, R procura encontrar p1, p2 e v tais que v

seja máximo e

0,0,0

1

0

0

21

21

222121

221111

≥≥≥=+

≥−+≥−+

vpp

pp

vpapa

vpapa

A adição de uma constante k a todos os elementos de A, não modifica as estratégias ótimas

para R e C e o valor do jogo é k mais o valor do jogo anterior. Assim, é possível supor que,

adicionando uma constante apropriada a todos os elementos da matriz de pagamentos, todo

elemento de A é positivo e v também é positivo. Dividindo-se cada uma das restrições por v e

fazendo v

py i

i = , conclui-se que


30

2121

2121

1111

yyv

vyy

vv

p

v

ppp

+=⇒=+⇒=+⇒=+

Logo, v é máximo se e somente se y1+y2 é mínimo. O problema de R agora pode ser

enunciado da seguinte maneira:

a sujeito

Minimizar 21 yy +

0,0

1

1

21

222112

221111

≥≥≥+≥+

yy

yaya

yaya

Que é um problema de programação linear.

O problema de C, encontrar q1, q2 e u, tais que u seja mínimo e

0,0,0

1

21

21

222121

212111

≥≥≥=+

≤+≤+

uqq

qq

uqaqa

uqaqa

Fazendo u

qx i

i = , conclui-se que

2121

2121

1111

xxu

uxx

uu

q

u

qqq

+=⇒=+⇒=+⇒=+

Logo u é mínimo se e somente se x1+x2 é máximo, e o problema de C será:

a sujeito

Maximizar 21 x x +

0,0

1

1

21

222121

212111

≥≥≤+≤+

xx

xaxa

xaxa

Generalizando:

Seja A = [aij]mxn a matriz de pagamentos, p1, p2, ..., pm estratégias de R e q1, q2, ...,qn

estratégias de C.

Problema de R

a sujeito

...Minimizar 21 myyy +++


31

0

1...

....................................................

1...

1...

2211

2222112

1221111

≥≥+++

≥+++≥+++

i

mmnnn

mm

mm

y

yayaya

yayaya

yayaya

Problema de C

a sujeito

...Maximizar 21 nxxx +++

0

1...

....................................................

1...

1...

2211

2222121

1212111

≥≤+++

≤+++≤+++

i

nmnmm

nn

nn

x

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Teorema Fundamental dos Jogos Matriciais: Todo jogo matricial tem uma solução. Isto é, há

estratégias ótimas para R e C. Além disso, v = u.

Observe que os problemas de R e C são problemas de programação linear na forma padrão e

são problemas duais. Resolvendo-se pelo método simplex, o quadro final apresentará as estratégias

ótimas de R e C.

Exercício 1: Determinar as estratégias ótimas para R e C do jogo de soma zero do exemplo 1.

Qual o significado dos resultados? O jogo é imparcial?

(Resposta: estratégias

2

12

1

e 2

1

2

1).

Exercício 2: Determinar as estratégias ótimas para R e C de um jogo matricial com matriz de

pagamentos

−31

52

(Resposta: estratégias

9

19

8

e 9

7

9

2).

Exercício 3: Determinar estratégias ótimas para R e C de um jogo com matriz de pagamentos

−−

213

032

Verifique se o jogo é imparcial. Caso não seja, para quem o jogo é vantajoso?


32

(Resposta: valor do jogo = 3, o jogo não é imparcial; estratégias [ ]2/12/1;

3/2

3/1

0

).

3.4 ESTRATÉGIA DOMINANTE

Algumas vezes é possível resolver um jogo matricial reduzindo-se o tamanho da matriz de

pagamentos A. Se cada elemento da linha r de A é menor ou igual ao elemento correspondente da

linha s, então a linha r é dita recessiva e a linha s domina a linha r. Se cada elemento da coluna r de

A é maior ou igual ao elemento correspondente na coluna s, então a coluna r é recessiva e a coluna

s domina a coluna r.

Exemplo 8: Na matriz de pagamentos

−

423

430

312

a primeira linha é recessiva; a terceira linha domina a primeira linha.

Exercício 4: Verifique a existência de linhas ou colunas dominantes na matriz de pagamentos

−−−

125

333

342

Exercício 5: Analise a seguinte afirmativa:

Em uma matriz com linha ou coluna recessiva é possível retirar essa linha ou coluna recessiva

de modo a diminuir a matriz de pagamentos.

Exercício 6: Determine as estratégias ótimas para o jogo com a seguinte matriz de pagamentos

−−

=403

422

312

A

Resposta:

=7

4

7

30p e

=0

7/5

7/2

q

Considere um jogo matricial com matriz de pagamentos

−=

304

322A

Se [ ]4/34/1=p e

=3/1

3/1

3/1

q , calcular o ganho esperado de X. Resposta: ½.


33

Se [ ]4/14/3=p e

=0

3/2

3/1

q , calcular o ganho esperado de X. Resposta: −1/6.

7) Considere um jogo com matriz de pagamentos

−−

=213

032A

Determinar as estratégias p e q.

Obs.: Adicionar um número a todos os elementos da matriz de modo que todos os números fiquem

positivos.

Resposta: [ ]2/12/1=p

=3/2

3/1

0

q


34

4 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS Esse capítulo tem como fonte Goldbarg e Luna (2000) e Bronson (1985) conforme referências indicadas.

4.1 FATO HISTÓRICO

Um funcionário encarregado de verificar o estado das estradas, deseja planejar a sua rota de inspeção. Idealmente, esta rota deveria iniciar na capital e percorrer cada estrada exatamente uma vez, retornando ao ponto de partida. Existe tal rota?

Este problema foi estudado pela primeira vez no século XVIII (1736) por Leonhard

Euler(1707-1783). A situação estudada por Euler ficou imortalizada como o Problema das Pontes de Königsberg.

Situação real – o problema

O objetivo é percorrer exatamente uma vez todas as sete pontes da cidade que conectam as

duas ilhas entre si e as margens do rio, voltando ao ponto de partida.

A

C D

B


35

O modelo

Um multigrafo, com 4 vértices e sete arestas. Sair de um vértice, percorrer todas as arestas do grafo, uma única vez cada.

NESTE CASO, É IMPOSSÍVEL!

4.2 TEORIA DOS GRAFOS

É um dos ramos de maior aplicação na ciência da computação. Trata-se de uma área cada vez mais ativa entre matemáticos e profissionais da computação

Grafo ≠ gráfico representativo de funções

Grafo = Estrutura composta de vértices e arestas

4.3 CONCEITOS BÁSICOS EM TEORIA DOS GRAFOS

Diversos problemas de programação linear, inclusive os problemas de transporte, podem ser

modelados como problemas de fluxo de redes. Algoritmos específicos para determinados tipos de problemas podem ser mais convenientes para a sua solução do que algoritmos mais genéricos.

Antes de continuar, serão apresentadas algumas definições da teoria dos grafos.

A o

C o o D

o B

ArestaVértice

Grafo não orientado

1

2

4 5

3

1

2 3

4Grafo Orientado

Dígrafo


36

4.3.1 DEFINIÇÃO DE GRAFO.

Um grafo é uma estrutura de abstração que representa um conjunto de elementos denominados vértices (ou nós) e suas relações de interdependência ou arestas.

4.3.2 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA.

Denominado por N o conjunto de vértices da estrutura, e por M o conjunto das arestas ou ligações entre os vértices, um grafo pode ser representado por: G = (N,M).

Exemplo: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e M = {a, b, c, d, e, f}

4.3.3 DEFINIÇÃO DE GRAFO PONDERADO.

Um grafo G = (N,M) é ponderado se existem valores numéricos associados a suas arestas ou nós.

4.3.4 Definição de Grafo Rotulado.

Um grafo G = (N,M) é rotulado se existem atribuições associadas a seus nós (tanto numéricas como alfabéticas).


37

4.3.5 DEFINIÇÃO DE MULTIGRAFO

Um grafo G = (N, M) é um multígrafo se existem mais de uma aresta ligando o mesmo par de vértices.

4.3.6 DEFINIÇÃO DE GRAFO DIRECIONADO

Um grafo é dito direcionado quando o sentido das ligações entre os vértices é importante. Nesse caso normalmente as arestas são chamadas por arcos.

4.3.7 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA

Denominando por N o conjunto de vértices da estrutura, e por M o conjunto dos pares ordenados do produto cartesiano n x n das ligações existentes em G, um grafo Orientado é também representado por G = (N, M).

Os grafos direcionados também são chamados de orientados. Convenção: G = (N, A) – representará os grafos não direcionados. G = (V, E) – representará os grafos direcionados.

Outra significativa classe é denominada grafos bipartidos. Esse tipo de estrutura pode representa situações como as geradas por alocação de pessoas a tarefas, ferramentas a máquinas etc.


38

4.3.8 DEFINIÇÃO DE GRAFO BIPARTIDO

Um grafo G é dito bipartido quando seu conjunto de Nós, N, pode ser dividido em dois conjuntos N1 e N2 tais que N1 ∩ N2 = ∅ e N1 ∪ N2 = N e somente existem arestas em G ligando algum nó de N1 com algum nó de N2 e vice-versa.

4.3.9 DEFINIÇÃO DE GRAFO COMPLETO

Um grafo G é dito completo se existir ao menos uma ligação associada a cada par de vér-tices. No caso não orientado isso significa exatamente uma ligação.

Os grafos completos não orientados são também denominados cliques e denotados como Kn onde n representa o número de nós do grafo completo.

Por analogia os grafos completos bipartidos são denotados por Kpq, sendo p e q as cardina-lidades das duas partições do grafo.


39

4.3.10 DEFINIÇÃO DE GRAFO REGULAR

O grau de um vértice de um grafo é o número de arestas incidentes no vértice. Um grafo G é dito regular de grau r se cada vértice em G possuir o grau r. (*) O maior grau de G é denominado ∆(G).

Alguns autores fazem distinção entre o conceito de grau para grafos orientados e não orientados. No caso dos grafos orientados o grau pode ser decomposto em duas parcelas: o grau interno ou o número de arcos chegando ao nó, e o grau externo, ou o número de arcos partindo do nó. Essas parcelas do grau do nó são denominadas semigrau. No caso dos grafos direcionados a soma do semigrau interior d(i)+ e exterior d(i)-, conduz ao valor final do grau do nó. A expressão para a obtenção do grau em grafos orientados é:

d(i) = d(i)- + d(i)+

No caso da figura podemos calcular o grau do vértice 4 da seguinte forma:

d(4) = d(4)- + d(4)+ = -2+ +2 = 4


40

4.4 REDE

Definimos uma rede R = (E, V, F) como um grafo direcionado G = (E, V) atravessado por um Fluxo F = {f1,f2, ...,fm} que circula em suas m arestas. Em uma rede normalmente dois nós são destacados: o nó fonte e o nó sumidouro. Qualquer tipo de rede pode ser reduzida a uma rede com apenas um nó fonte e um nó sumidouro, mesmo que artificialmente configurados. Os arcos da rede podem ser limitados em capacidade em relação ao fluxo. Esses mesmos arcos podem impor custos à circulação do fluxo. De uma forma geral, uma rede poderia ser representada como na figura seguinte. Os nós são representados pelos círculos e os arcos pelas setas. O sentido convencional do fluxo está indicado pelas setas (o grafo de substrato é direcionado).

onde:

lij = limite inferior (ou mínimo) para o fluxo no arco i-j. Lij = limite superior (ou máximo) para o fluxo no arco i-j. Cij = custo de circulação da unidade de fluxo no arco i-j.

A figura seguinte representa uma rede valorada.


41

4.5 OUTROS CONCEITOS BÁSICOS

Um dos pontos mais fundamentalmente associados à noção de grafos é o conceito de ligação entre vértices. De fato, o modelo é, basicamente, uma estrutura adequada a representar topologicamente formas de conexão. É, portanto, indispensável esclarecer como os vértices podem estabelecer vínculos ou ligações através das denominadas arestas ou arcos. Nesse sentido, existem duas formas específicas de entender vizinhança entre nós e arestas, uma para o caso dos grafos direcionados e outra para os não direcionados.

4.5.1 DEFINIÇÃO DE CADEIA DE ARESTAS

Dizemos que uma cadeia de arestas é uma seqüência de arestas em que todas são distintas (não repetidas).

4.5.2 DEFINIÇÃO DE CAMINHO

Um caminho é urna seqüência de arestas em que todos os nós visitados são distintos.


42

4.5.3 DEFINIÇÃO DE COMPRIMENTO DE UM CAMINHO

Em um grafo G não ponderado, o comprimento de um caminho é o número de arestas desse caminho.

Em um grafo G ponderado, o comprimento de um caminho é a soma dos pesos das arestas desse caminho.

4.5.4 DEFINIÇÃO DE CICLO

Em um grafo G, um ciclo é uma cadeia fechada, ou seja, que inicia e termina em um mesmo nó.

4.5.5 DEFINIÇÃO DE CIRCUITO

Quando o grafo G é orientado, alguns autores denominam por circuito a seqüência distinta de arcos que repete o último nó visitado.

4.6 CONEXIDADE

4.6.1 DEFINIÇÃO DE GRAFO CONEXO

G é conexo se para todo par de vértices existe pelo menos uma cadeia entre eles.


43

4.7 DEFINIÇÃO DE ÁRVORE.

Um grafo é denominado por árvore se for conexo e não possuir ciclos.

4.8 REPRESENTAÇÃO DO MODELO USANDO MATRIZ DE ADJACÊNCIA

Trata-se de Uma representação bastante simples. O grafo é expresso em uma matriz A = [aij] através dos nós e de suas relações de vizinhança. As linhas e as colunas da matriz estão associadas aos nós do grafo. A matriz é, normalmente, boleana, ou seja, seus elementos são 0 e 1. Quando existem arestas paralelas, o valor de aij pode passar a representar o número de arcos paralelos.

4.8.1 DEFINIÇÃO DE MATRIZ DE ADJACÊNCIA

Uma matriz n x m A = [aij] é denominada como de adjacência do grafo G = (N,M) se: aij = 1 ↔ existe a ligação (i,j) aij = 0 ↔ não existe a ligação (i,j)

011000

101000

110111

001010

001100

001000

6

5

4

3

2

1

654321

Grafo G e sua Matriz de adjacência


44

4.9 REPRESENTAÇÃO DO MODELO USANDO A MATRIZ DE INCIDÊNCIA

Nesse caso as colunas da matriz correspondem às arestas do grafo e as linhas aos nós.

4.9.1 DEFINIÇÃO DE MATRIZ DE INCIDÊNCIA

Uma matriz n x m A = [aij] é denominada como de incidência do grafo G = (N, M) se, para todo arco j que liga o nó k ao nó l temos:

aij = +1↔ i = k aij = -1↔ i = l (para grafo direcionado, senão aij = 1) aij = 0 nos outros casos

−−

−−

1000

0100

1111

0010

0001

5

4

3

2

14321 uuuu

Grafo direcionado e sua matriz de incidência.

1000

0100

1111

0010

0001

5

4

3

2

14321 uuuu

Grafo não direcionado e sua matriz de incidência.

4.10 ANÁLISE DE REDES

4.10.1 PROBLEMAS DE EXTENSÃO MÍNIMA

Um problema de extensão mínima envolve um conjunto de nós e um conjunto de ramos

propostos, nenhum deles orientado. Cada ramo proposto possui um custo não negativo associado. O objetivo é construir uma rede conexa contendo todos os nós e tal que a soma dos custos associados aos ramos realmente utilizados seja mínima.

O problema de extensão mínima é sempre resolvido por meio de uma árvore. Uma árvore de

extensão mínima pode ser obtida selecionando-se inicialmente qualquer nó e determinando-se ramo incidente no nó selecionado que possui o menor custo (os empates são decididos arbitrariamente). Este ramo é aceito como parte da rede final. A rede é então completada de forma iterativa. A cada estágio do processo iterativo a atenção é focalizada sobre os nós já interligados.

Se os custos forem todos distintos a árvore de mínima extensão é única e é produzida pelo

algoritmo acima com qualquer escolha de nó inicial.


45

4.10.2 PROBLEMAS DE PERCURSO MÍNIMO.

Um problema de percurso mínimo envolve uma rede conexa dotada de custos não negativos associados a cada um dos ramos. Um nó é designado como fonte e outro como sumidouro. O objetivo é determinar um percurso interligando a fonte e o sumidouro, tal que a soma dos custos associados aos ramos do percurso seja mínima. Os problemas de percurso mais barato são resolvidos por meio do seguinte algoritmo no qual todos os empates são decididos arbitrariamente.

Algoritmo para problemas do percurso mínimo

Passo 1: Construir uma lista principal registrando os nós em ordem crescente de custo e sob cada nó os ramos incidentes. Cada ramo sob um determinado nó é escrito com este nó como sendo o primeiro. Omite-se da lista qualquer ramo que tenha a fonte como segundo nó ou o sumidouro como seu primeiro nó. Passo 2: Assinalar com asterisco (*) o nó fonte e atribuir o valor 0. Localizar o ramo de menor custo e assinalar com um círculo. Assinalar com um asterisco (*) o segundo nó desse ramo e alocar a este nó um valor igual ao custo do ramo. Eliminar da lista principal todos os outros ramos que possuem o nó recém assinalado com asterisco como segundo nó. Passo 3: Se o nó recém assinalado com asterisco for o sumidouro, ir para o passo 5. Caso contrário, ir para o passo 4. Passo 4: Considerar, na lista principal corrente, todos os nós assinalados com asterisco (*) sob os quais haja ramos não marcados por círculos. Para cada um destes nós, adicionar ao valor que lhe é alocado o custo do ramo de menor custo não marcado por círculo sob o nó em pauta. Designar a menor destas somas por M e circunda-se o ramo cujo custo contribuiu para M. Assinalar com asterisco (*) o segundo nó deste ramo e alocar a ele o valor M. Excluir da lista principal todos os outros ramos que possuam o nó recém assinalado por asterisco como segundo nó. Ir para o passo 3. Passo 5: Z é o valor alocado ao sumidouro. Um percurso de custo mínimo é obtido recursivamente começando com o sumidouro, pela inclusão no percurso de cada um dos ramos circundados, cujo segundo nó pertença ao percurso.


46

4.11 EXERCÍCIOS

1) Uma companhia transportadora deve movimentar 50 unidades de um produto de Los Angeles para New York. A tabela 1 fornece os custos de transporte (em dólares por unidade) entre vários depósitos da companhia. Os elementos em branco na tabela significam os transportes que não podem ser realizados entre os depósitos correspondentes. Determinar o esquema de transporte de menor custo. Resolver o problema como um problema de percurso mínimo. Tabela 1 – Custo de transporte em dólares por unidade Los Angeles São Francisco Phoenix Laramie St. Louis Chicago New York Los Angeles 7 8 39 95 São Francisco 7 22 17 36 85 Phoenix 8 22 14 25 27 Laramie 17 14 31 19 St. Louis 39 25 31 14 20 Chicago 36 27 19 14 13 New York 95 85 20 13 Resposta: Los Angeles → Phoenix → Chicago → New York, custo = 48 2) Use a tabela 1 para determinar o esquema de transporte de menor custo entre Phoenix e New York. Resolver o problema como um problema de percurso mínimo. Resposta: Phoenix → Chicago → New York, custo = 40 3) Use a tabela 1 para determinar o esquema de transporte de menor custo entre São Francisco e New York. Resolver o problema como um problema de percurso mínimo. Resposta: São Francisco → Chicago → New York, custo = 49 4) Determinar a matriz de adjacência e de incidência dos seguintes grafos. a)

b)

5) Representar o grafo que tem a seguinte matriz de adjacência a) 1 2 3 4 b) 1 2 3 4 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 2 1 0 1 1 2 1 0 1 0 3 0 1 0 0 3 1 1 0 1 4 1 1 0 0 4 0 0 1 0


47

5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANDRADE, E. L., Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos para Análise de

Decisões. 3ª. Edição. LTC Editora. Rio de Janeiro, 2002.

BRONSON, R. .Pesquisa Operacional, McGraw-Hill ,1985

GOLDBARG, M. C. & LUNA, H. P. L. Otimização Combinatória e Programação Linear, Campus,

2000.

KOLMAN, B. & HILL, R. Introdução à álgebra linear: com aplicações. LTC Editora. Rio de

Janeiro, 2006.

PRADO, Darci Santos do. Teoria das Filas e Simulação. Editora de Desenvolvimento Gerencial.

Série Pesquisa Operacional. Vol.2. 2ª. Edição. Belo Horizonte - MG. 2004

SILVA, Ermes Medeiros et al.. Pesquisa Operacional. Atlas, 1998.

TAVARES, Jean Max. Teoria dos jogos: aplicada à estratégia empresarial. Rio de Janeiro: LTC,

2012.

Documents

PO2 Notas Aula - ::: Paulo Nacarattti :::paulonacaratti.eti.br/aluno/EPR/PO2_Notas_Aula.pdf · Pesquisa Operacional em Sistemas II ... 2.1.6 Dimensionando Filas. ... Pesquisa Operacional