Polinômios - GPS.docx

01 - (UFBA/2011) Considere o polinmio com coeficientes reais P(x) = 3x5 7x4 + mx3 + nx2 + tx + 6.Sabendo que P(x) divisvel por x2 + 2 e possui trs razes reais que formam uma progresso geomtrica, determine o resto da diviso de P(x) por x + 2.

Gab: 210

02 - (FGV /2011) O polinmio P(x) = x4 5x3 + 3x2 + 5x 4 tem o nmero 1 como raiz dupla.O valor absoluto da diferena entre as outras razes igual a:

a)5b)4c)3d)2e)1

Gab: A

03 - (ESPM SP/2011) O volume e a altura de um prisma so expressos pelos polinmios V(x) = x3 3x2 + 2x + 6 e A(x) = x + 1, respectivamente, sendo x um real estritamente positivo. O menor valor que a rea da base desse prisma pode assumir igual a:

a)1b)1,5c)2d)2,5e)3

Gab: C

04 - (PUC RJ/2011) A fatorao do polinmio p(x) = x3 7x + 6 :

a)(x 1) (x 2) (x + 3)b)(x + 1) (x + 2) (x 3)c)(x 1) (x + 2) (x 3)d)(x + 1) (x 2) (x + 3)e)(x + 1) (x + 2) (x + 3)

Gab: A

05 - (UFTM/2011) Dividindo-se o polinmio p(x) = 3x4 2x3 + mx + 1 por (x 1) ou por (x + 1), os restos so iguais. Nesse caso, o valor de m igual a

a)2.b)1.c)1.d)2.e)3.

Gab: D

06 - (UEPG PR/2011) Com base nas assertivas abaixo, assinale o que for correto.

01.Se P(x) = (2p + q 1) x3 + (p + q) x um polinmio identicamente nulo ento p q = 2.

02.Os polinmios P(x) = (x + a)2 (x + a)(x b) e Q(x) = 2x 3 so idnticos. Ento a e b valem, respectivamente, e .04.Os polinmios P(x) = 4x3 + ax2 3x; Q(x) = mx2 + nx e R(x) = 2x 1 so tais que P(x) = Q(x) . R(x). Ento a + m + n = 9.08.Se f e g so polinmios de grau n ento os graus de f + g e fg so, respectivamente, 2n e n2.16.O polinmio Q(x) = (x 1) (x 2) (x c) (x d) divisvel por R(x) = x2 7x + 12. Ento c + d = 7.

Gab: 23

07 - (UFAL/2011) Ao dividirmos o polinmio x2010 + x1005 + 1 pelo polinmio x3 + x, qual o resto da diviso?

a)0b)x2 + x +1c)x2 x +1d)x2 x 1 e)x2 + x 1

Gab: B

08 - (FEPECS DF/2011) Ao efetuar-se a diviso do polinmio P(x) por d(x) = x2 + x 6, encontra-se um resto r(x) = 4x 3. Nesse caso, o valor de P(2) :

a)1;b)3;c)5;d)7;e)9.

Gab: C

09 - (UPE/2011) Para que o polinmio 6x3 4x2 + 2mx (m + 1) seja divisvel por x 3, o valor da raiz quadrada do mdulo de m deve ser igual a

a)0b)1c)2d)3e)5

Gab: E

10 - (UERJ/2011)

O grfico acima representa uma funo polinomial P de varivel real, que possui duas razes inteiras e definida por:

P(x) = x4 3x3 + 2x2 + 16x + m

Determine o valor da constante representada por m e as quatro razes desse polinmio.

Gab: m = 16S = {2; 1; 2 + 2i; 2 2i}

11 - (UFRN/2010) A respeito do polinmio P(x) = x3 4x2 + 2x 1, correto afirmar:

a) divisvel por (x 1).b)Possui uma raiz real.c)O produto de suas razes igual a 2.d)Quando dividido por (x + 2), deixa resto igual a 5.

Gab: B

12 - (UDESC SC/2010) Dividindo o polinmio p(x) por d(x) = x2 + 1, encontram-se o quociente q(x) = x + 3 e o resto r(x) = 7x 11. Ento a soma de todas as solues da equao p(x) = 0 igual a:

a)3 b)1 c)8 d)16 e)4

Gab: A

13 - (IBMEC SP/2010) Ao dividir o polinmio A(x), que possui grau 4 e coeficientes reais, pelo polinmio B(x) = x3 - 4x, obtm-se quociente Q(x) e resto R(x). Sabe-se que 2 uma raiz de R(x). Assim, sendo n o nmero total de razes reais de A(x), conclui-se que o conjunto de todos os valores que n pode assumir

a){0, 2, 4}.b){0, 2}.c){0, 4}.d){2, 4}.e){4}.

Gab: D

14 - (ESPM SP/2010) Do ano 2000 (x = 0) at o ano 2006 (x = 6), o nmero de automveis numa certa cidade variou conforme a funo V (x) = 9x + 100, enquanto a populao variou, nesse mesmo perodo, segundo o polinmio P(x) = 1,8x2 + 47x + 300, sendo V (x) e P (x) dados em milhares de unidades. Podemos afirmar que, nesse perodo, o nmero de habitantes por automvel variou segundo a funo:

a)y = 0,2x + 2,4b)y = 0,3x + 1,8c)y = 3x + 0,6d)y = 0,2x + 3e)y = 1,2x + 1,6

Gab: D

15 - (FGV /2010) Fatorando completamente o polinmio x9 x em polinmios e monmios com coeficientes inteiros, o nmero de fatores ser

a)7.b)5.c)4.d)3.e)2.

Gab: B

16 - (UFTM/2010) O resto da diviso do polinmio P(x) = x2 + ax + b por (x + 2) igual ao resto da diviso de P(x) por (x 4), em que a e b so constantes reais. O valor de a

a)4.b)2.c)0.d)3.e)5.

Gab: B

17 - (UFV MG/2010) Dividindo-se o polinmio x3 + 2x + 1 por x2 + 2x + 1, encontra-se como resto o binmio:

a)3x 2b)3x + 3c)5x 2d)5x + 3

Gab: D

18 - (PUC RJ/2010) O polinmio p(x) = x3 2x2 5x + d, divisvel por (x 2).

a)Determine d.b)Calcule as razes de p(x) = 10.

Gab: a)d = 10

b)x = 0 ou x =

19 - (UEPG PR/2010) Na diviso do polinmio P(x) pelo binmio A(x), do 1 grau, usando o dispositivo de Briot-Ruffini, obteve-se o seguinte:

ento, assinale o que for correto.

01.P(x) um polinmio do 4 grau.02.P(x) divisvel por x - 2.04.P(0) = - 6.08.P(1) = - 6.16.O quociente da diviso o polinmio Q(x) = x3 + x2 + x + 3.

Gab: 31

20 - (UEM PR/2010) Um quadrado de papelo tem 50 cm de lado. De cada um de seus cantos, retirado um quadrado cujo lado mede x cm. Aps a retirada destes quatro quadrados, o papelo restante dobrado para formar uma caixa sem tampa, na forma de um paraleleppedo retngulo. Considere V(x) o polinmio que representa o volume da caixa. Sobre o problema, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

01.V(x) um polinmio de quarto grau.02.Para que V(x) faa sentido fisicamente, ou seja, represente uma medida de volume, o domnio de V {x R / 0 < x < 25}.04.V(x) divisvel por x - 25 .08.V(x) possui trs razes distintas.16.Se a caixa tem rea de 2100 cm2, ento, x =10 cm.

Gab: 22

21 - (IBMEC RJ/2010) O polinmio p(x) = x4 + ax3 6x2 4x + 8 (a R) divisvel por x + 2. vlido dizer que a soma dos quadrados das quatro razes de p(x) = 0 igual a:

a)5b)9c)10d)13e)14

Gab: D

22 - (UESPI/2010) Qual o resto da diviso do polinmiox25 + x16 + x9 + x4 + xpelo polinmio x3 x ?

a)x2 + 3xb)2x2 + 3xc)3x2 + 2xd)x2 + 2xe)2x2 + x

Gab: B

23 - (UEL PR/2010) O resto da diviso de um polinmio P(x) por (x 2) 7 e o resto da diviso de P(x) por (x + 2) 1.Desse modo, o resto da diviso de P(x) por (x 2)(x + 2)

a)6b)8c)7x 1d)2x + 3e)3x + 2

Gab: D

24 - UNIR RO/2010) O polinmio p(x) = x4 1 pode ser fatorado como o produto p(x) = (x 1)q(x). Sobre q(x), pode-se afirmar que possui

a)quatro razes imaginrias. b)trs razes reais. c)trs razes imaginrias. d)uma raiz imaginria e duas razes reais. e)duas razes imaginrias e uma raiz real.

Gab: E

25 - (UFT TO/2010) Considere IR como sendo o conjunto dos nmeros reais e P : IR IR tal que P(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c so nmeros reais com a 0. Se os restos das divises de P(x) por (x 2), (x + 1) e (x 1), e so 5, 3 e 3 respectivamente, ento o resto da diviso de P(x) por (x2 + 2) :

a)2x 1b)1c)3d)5e)3x + 1

Gab: E

26 - (UFPR/2010) Considere o polinmio p(x) = x3 ax2 + x a e analise as seguintes afirmativas:

1. uma raiz desse polinmio.2.Qualquer que seja o valor de a, p(x) divisvel por x a .3.Para que p(2) = 10 , o valor de a deve ser 0.

Assinale a alternativa correta.

a)Somente a afirmativa 2 verdadeira.b)Somente as afirmativas 1 e 2 so verdadeiras.c)Somente as afirmativas 1 e 3 so verdadeiras.d)Somente as afirmativas 2 e 3 so verdadeiras.e)As afirmativas 1, 2 e 3 so verdadeiras.

Gab: E

27 - (FMJ SP/2010) Se o polinmio p(x) = x3 x2 14x + 24 divisvel por (x 3), ento correto afirmar que esse polinmio p(x) tambm divisvel por

a)(x 2) (x + 4).b)(x 1) (x 5).c)(x 1) (x + 3).d)(x + 2) (x 4).e)(x + 3) (x 4).

Gab: A

28 - (UNEMAT/2010) Seja Q(x) o quociente da diviso do polinmio P(x) = x4 1 pelo polinmio D(x) = x 1, correto afirmar.

a)Q(0) = 0b)Q(0) < 0c)Q(1) = 0d)Q(1) = 0e)Q(1) = 2

Gab: D

29 - (UFJF MG/2010) O polinmio p(x) = 2x4 + x3 + 6x2 + 4x + 1 foi dividido por um polinmio d(x) e obteve-se, por quociente, o polinmio q(x) = x2 + 3 e, por resto, um polinmio r(x). Sabe-se que r(1) = 0 e r(1) = 2. a)Determine os graus dos polinmios d(x) e r(x).b) Determine os polinmios d(x) e r(x).

Gab: a)gr(d) = 2; gr(r) = 1. b)r(x) = x + 1; d(x) = 2x2 + x

30 - (UFSC/2010) Assinale a(s) proposio(es) CORRETA(S).

01.Seja S o conjunto soluo da equao em R, ento S est contido no intervalo [2, 1].

02.Um polinmio p(x), dividido por x 3, d resto 5 e, dividido por x + 1, d resto 2. Ento o resto da diviso de p(x) por (x 3)(x + 1) .04.O valor de M para que o polinmio 3x3 + x2 7x M seja divisvel por (x + 2) 8. 08.Se duas das razes da equao 2x4 + 5x3 35x2 80x + 48 = 0 equao so 3 e 4, ento o produto entre as outras duas razes 4.

16.Se a, b e c so as razes da equao x3 7x + 6 = 0, ento .

Gab: 17

31 - (FUVEST SP/2009) O polinmio p(x) = x3 + ax2 + bx , em que a e b so nmeros reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x 2 e x 1, respectivamente.Assim, o valor de a

a)6b)7c)8d)9e)10

Gab: A

32 - (UFCG PB/2009)

Sabe-se que o polinmio pode ser escrito na forma . O resto da diviso de p(x) por x :

a)-5.b)2.c)-6.d)-4.e)3.

Gab: E

33 - (UEG GO/2009)

Para um polinmio real, P(x), de grau 3, sabe-se que e . Ento o resto da diviso de P(x) pelo polinmio quadrtico :

a)2b)14c)2x + 4d)6x + 8

Gab: C

34 - (UNESP SP/2009)

Dividindo o polinmio pelo polinmio D(x), obtm-se o quociente e o resto . O valor de D (2) :

a)11.b)3.c)1.d)3.e)11.

Gab: C

35 - (UECE/2009)

Trs das razes da equao so os nmeros -1, 0, 1. Em relao s outras razes, podemos afirmar, corretamente, que

a)so razes da equao e seu produto igual a -1.

b)so razes da equao e seu produto igual a -1.

c)so razes da equao e seu produto igual a 1.

d)so razes da equao e seu produto igual a 1.

Gab: C

36 - (FATEC SP/2009)

Sejam a e b nmeros reais tais que o polinmio divisvel pelo polinmio (x 1)2. O resto da diviso de P(x) pelo monmio D(x) = x

a)2.b)1.c)1.d)3.e)4.

Gab: D

37 - (IBMEC SP/2009)

Um polinmio no nulo P(x) tal que, para todo , tem-se P(ix) = P(x), em que i2 = 1.Assim, o grau de P(x) , necessariamente, um nmero da forma

a)4n, sendo n N.

b)4n + 2, sendo n N.

c)6n, sendo n N.

d)6n + 2, sendo n N.

e)6n + 4, sendo n N.

Gab: B

38 - (UEM PR/2009)

Considerando o polinmio , em que a, b e c so nmeros reais quaisquer, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

01.Se q(x) for um polinmio de grau 2, ento q(x) . p(x) ser um polinmio de grau 6.02.Se a = b = 0 e c = 8, ento 2 a nica raiz real do polinmio p.04.Sempre existem constantes reais k, l e m tais que p(x) = (x k)(x l)(x m).08.Se p(x) divisvel por (x 1) , ento 1 + a = b c.16.Se p(x) = p(x) para qualquer nmero real x e p(1) = 0, ento p(0) = 0 e p(2) = 6.

Gab: 26

39 - (UDESC SC/2009) Seja P(x) um polinmio de terceiro grau, cujo grfico est representado na Figura 5.

Ento o resto da diviso de P(x) pelo monmio x+2 :

a)0 b)16c)-12d)-16e)12

Gab: C

40 - (UECE/2009)

Os nmeros reais u e v, para os quais o polinmio divisvel por , cumprem a condio

a)u + v = 73.b)u + v = 102.c)u + v >102.d)u + v < 73.

Gab: D

41 - (UEPG PR/2009)

Dados os polinmios e , assinale o que for correto.

01.Na diviso de P(x) por (x 2) e por (x + 2), os restos so iguais. Ento, p = 4.

02.Se p = 7, o quociente entre P(x) e R(x) e o resto igual a 1.04.Se p = 3, ento P(x) divisvel por (x 1).

08.Se , ento p um nmero mpar.

16.Se , ento p = 2.

Gab: 27

42 - (UFMS/2009)

Se o polinmio divisvel pelo polinmio , ento assinale a(s) afirmao(es) verdadeira(s):01.O polinmio P(x) tem 3 razes reais distintas.02.A soma das razes complexas de P(x) 0.

04.O valor de 1.08.O valor de P(1) 0.

16.O polinmio P(x) divisvel pelo polinmio .

Gab: 20

43 - (UESPI/2009) Se o polinmio x2 + x + 1 divide o polinmio com coeficientes reais x3 + ax2 + bx + c, qual das relaes entre os coeficientes deste polinmio, listadas a seguir, correta?

a)a > bb)b > ac)c = a + 1d)c = b 1e)a + b + c = 3a

Gab: D

44 - (UEPB/2009)

O polinmio divisvel por:

a)(x 3)(x + 1)b)(x 1)(x + 1)c)(x + 1)(x 2)d)(x 2)(x + 2)e)(x 1)(x 2)

Gab: E

45 - (UEPB/2009)

Os polinmios p(x), q(x) tm graus n + 2 e n + 3 respectivamente, . O grau do polinmio p(x).q(x) :

a)n2 + 5n + 6 b)2n + 5 c)maior que 2n + 5d)menor que 2n + 5e)n2 + 6

Gab: B

46 - (UFGD MS/2009)

Se o polinmio real P(x) se anula quando x assume os valores (leia-se raiz quadrada de dois) e para o nmero (1+i), ento pode-se afirmar que

a)o grau de P(x) 4.b)o grau de P(x) 5.c)o grau de P(x) igual ou menor do que 4.d)o grau de P(x) maior do que 5.

e)P(x) divisvel por .

Gab: E

47 - (UFJF MG/2009)

Sejam p(x) = x4 + x3 + x2 11x + 30 e q(x) = x2 + x 2 polinmios na varivel x, com coeficientes reais. Se p(x) divisvel por q(x), ento os nmeros e so ambos:

a)inteiros pares.b)negativos.c)primos.d)maiores que 2.e)positivos.

Gab: B

48 - (UPE/2009)

O polinmio , onde a, b e c so nmeros reais, admite 1, 2 e (-3) como razes. Ento:

00.a + b + c = 101.o resto da diviso de P(x) por x + 1 igual a 12

02.o quociente da diviso de P(x) por x + 1 03.P(x) > 0 se e somente se x < - 3 ou 1 < x < 2

04.o quociente da diviso de P(x) por x + 3

Gab: FVVFV

49 - (UNICAMP SP/2009)

Seja um polinmio de grau n tal que e para qualquer j entre 0 e n. Seja o polinmio de grau n1 em que os coeficientes so os mesmos empregados na definio de f(x).

a)Supondo que n=2, mostre que , para todo .

b)Supondo que n=3 e que a3=1, determine a expresso do polinmio f(x), sabendo que .

Gab:

a). Por outro lado, e

b)

50 - (UFV MG/2008)

O quociente da diviso do polinmio por x2 :

a)

b)

c)

d)

Gab: A

51 - (UFU MG/2008)

Sabe-se que o polinmio , em que a e b so nmeros reais no nulos, divisvel por x1 e, alm disso, que o resto da diviso de p(x) por xb igual a 1.

Desse modo, a respeito de a e b, pode-se afirmar quea)pelo menos um deles um nmero inteiro.b)o produto a.b um nmero irracional.c)a diferena ab um nmero irracional.d)no existem nmeros nas condies apresentadas.

Gab: C

52 - (UDESC SC/2008)

Dividindo o polinmio pelo polinmio p(x) resulta no quociente , com resto 10; portanto, o polinmio p(x) :a)x 2.b)x.c)x + 3.d)x + 2.e)x 3.

Gab: E

53 - (UEM PR/2008)

Na diviso do polinmio , em que , por , obtm-se o quociente igual ao resto. Desse modo, correto afirmar que

01..

02.p(x) divisvel por .

04.p(x) divisvel por .

08.o resto da diviso de p(x) por zero.16.as razes de p(x) so 2, 2 e 3.

Gab: 22

54 - (UEPG PR/2008) No esquema abaixo foi aplicado o dispositivo prtico de Briot-Ruffini, para a diviso de um polinmio P(x) por um polinmio S(x). Assim, assinale o que for correto.

01.P(x) = x4 3x3 + 3x2 + x 2 02.P(x) divisvel por D(x) = x2 1 04.P(x) divisvel por S(x)

08.O quociente da diviso de P(x) por S(x)

Gab: 03

55 - (UFPel RS/2008) O polinmio P(x) est representado no grfico abaixo e o polinmio Q(x) dado pela expresso Q(x) = x + 5.

Com base nos textos, correto afirmar que o resto da diviso de P(x) por Q(x) a)136.b)197.c)144.d)72.e)100.f)I.R.

Gab: C

56 - (ESPM SP/2008)

O resto da diviso do polinmio x10 pelo polinmio :a)x 1b)1023c)1d)1022x 1023e)1023x 1022

Gab: E

57 - (UFC CE/2008)

Os nmeros a, b, c e d so reais. Determine os coeficientes do polinmio , sabendo-se que o polinmio divide P(x) e que .

Gab:

Efetuando a diviso de por conclumos que . Por hiptese, divide , logo, devemos ter . Reescrevamos os polinmios:

Da condio , chegamos igualdade , de onde segue que . Substituindo o valor de b no coeficiente de e reescrevendo esse polnmio, obtemos . Novamente, pela hiptese , obtemos o valor , e consequentemente, .

58 - (UFMS/2008)

O resto da diviso do polinmio pelo polinmio igual ao nmero 35. Ento qual o valor numrico do produto ?

Gab: 195

59 - (UFTM/2008)

Dados os polinmios e , se R(x) o polinmio do resto da diviso de P(x) por Q(x), ento, as nicas razes reais da equao R(x) = 0 so

a)b)1 e 0

c)0 e d)0 e 1

e) e 1

Gab: D

60 - (UNESP SP/2008)

Seja x um nmero real positivo. O volume de um paraleleppedo reto-retngulo dado, em funo de x, pelo polinmio . Se uma aresta do paraleleppedo mede , a rea da face perpendicular a essa aresta pode ser expressa por:a)x2 6x + 8.b)x2 + 14x + 8.c)x2 + 7x + 8.d)x2 7x + 8.e)x2 + 6x + 8.

Gab: E

61 - (UEMG/2008)

Os restos das divises do polinmio por so, respectivamente, 2 e 3. Os valores de b e c so:a)b = -2 e c = 3b)b = 1 e c = 4c)b = -2 e c = 1d)b = 0 e c = 5e)b = 3 e c = 2

Gab: A

62 - (UFPE/2008)

O polinmio tem coeficientes a e b reais e divisvel por e por . Assim, correto afirmar que:

a)

b)

c)

d)

e)

Gab: B

63 - (UFJF MG/2008)

Sejam e polinmios em x com coeficientes reais. correto afirmar que o grau do produto entre os polinmios p e q :a)7b)6 ou 7c)5 ou 7d)6e)2 ou 6

Gab: B

64 - (UFRN/2008)

Considere os seguintes polinmios: e .O resto da diviso de Q(x) por P(x) :a)4b)1c)2d)0

Gab: A

65 - (UNIMONTES MG/2008) As afirmaes abaixo so verdadeiras, EXCETOa)Se um divisor um polinmio do 1 grau, ento o resto um nmero real.b)Se, numa diviso, o divisor um polinmio do 2 grau, ento o grau do resto 0 ou 1.c)O quociente de uma diviso um polinmio do 2 grau. Ento, o grau do resto 0 ou 1.d)O quociente de uma diviso um polinmio do 2 grau e o divisor um polinmio do 1 grau. Ento, o grau do resto 0.

Gab: C

66 - (UNIMONTES MG/2008)

Os valores de m e n, para os quais o polinmio seja divisvel por , so, respectivamente,a)16 e 12.b)16 e 12.c)16 e 12.d)12 e 16.

Gab: A

67 - (UNIFEI MG/2008)

Qual deve ser o valor de para que o polinmio seja divisvel pelo polinmio ?a)

b)

c)

d)

Gab: B

68 - (UPE/2008)

Sabendo que 1 raiz do polinmio , podemos afirmar que o polinmioa)tem duas razes negativas.b)tem duas razes positivas e uma raiz negativa. c)tem uma raiz igual soma das outras duas.

d) divisvel por .e)s tem uma raiz real.

Gab: D

69 - (FFFCMPA RS/2008)

Para que o polinmio seja divisvel por x2x, os valores de a e b devem ser, respectivamente,a)1 e 2b)2 e 1c)2 e 1d)2 e 1e)2 e 1

Gab: D

70 - (FEI SP/2008)

Se , assinale a alternativa correta:a)p(0) = 3b)x = 2 raiz de p(x)c)x = 3 raiz dupla de p(x)

d)o resto da diviso de p(x) por e)p(x) no divisvel por (x 1)

Gab: C


O grfico esboado abaixo uma funo , na qual f(x) um polinmio de 3. grau. O polinmio

a)f(x) = x3 + 4x2 + 3x 18.b)f(x) = x3 + 6x2 + 21x +18.c)f(x) = x3 4x2 3x +18 .d)f(x) = x3 + 4x2 3x +18.

Gab: C


Sobre um polinmio P(x) de grau e de coeficientes reais, pode-se afirmar que,I.se n for par, P(x) tem pelo menos duas razes reais.II.se n for mpar, P(x) tem pelo menos uma raiz real.III.se n for mpar, o nmero de razes reais de P(x) tambm mpar.IV.se n for par, pode acontecer que todas as razes de P(x) sejam imaginrias.

Esto corretas APENAS as afirmativasa)I e IV.b)II, III e IV.c)II e IV.d)I, II e IV.

Gab: B

73 - (UPE/2008) Seja f(x) um polinmio de grau n e coeficientes reais.

00.Se e raiz de f(x), ento .

01.Se , ento f tem cinco razes reais.

02., ento o termo independente de f(x) igual a 9.

03.Se raiz de f(x), ento raiz de f(x).

04.Se uma equao de grau 3, ento o grfico de f corta o eixo das abscissas em trs pontos distintos.

Gab: FVVVF

74 - (UFRRJ/2008) Leonhard Euler, cujo tricentenrio de nascimento comemorado este ano, chamado nas rodas cientficas de 2007, Ano Euler, foi o primeiro matemtico a usar a notao f(x) para uma funo de x, em seu livro Introductio in analysin infinitorum, publicado em 1748.

Esta notao usada at hoje. Considere o polinmio de coeficientes reais .

Sabendo que e , calcule o quociente de P(x) pelo binmio .

Gab:

75 - (FGV /2007) O polinmio P(x) = ax5 + bx4 + 1 divisvel por D(x) = (x 1)2.a) Determine os coeficientes a e b.b) Encontre o quociente da diviso de P(x) por D(x).

Gab:a)a=4 e b=5b)Q(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1

76 - (ESPM SP/2007)

Um polinmio que deve ser somado ao polinmio para que ele se torne divisvel por :a)3x + 7.b)3x 7.c)2x + 5.d)2x 5.e)2x + 7.

Gab: B

77 - (UFC CE/2007)

Se a diviso do polinmio pelo polinmio possui resto zero, ento, o valor de m : a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

Gab: B

78 - (UFOP MG/2007)

O resto da diviso do polinmio por o termo independente d. Ento, a opo correta :

a)

b)

c)

d)

Gab: D

79 - (UEPG PR/2007) Na diviso do polinmio p(x) = x5 3x3 6 por s(x) = x 2 obtm-se quociente q(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e e resto r(x) = f. Isto posto, assinale o que for correto.01.a = c02.b = d04.a + b = 408.f = 216.b + d = e

Gab: 27

80 - (FGV /2007)

Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto da diviso de 5x3 + (m 12)x2 + (m2 2m)x 2m2 + p + 9 por x 2, respectivamente. Permutando-se os coeficientes de Q(x) obtm-se o polinmio Q(x) tal que Q(x) = R(x) para qualquer . Se m e p so constantes reais positivas, ento, m + p igual a:a)8.b)7.c)6.d)5.e)4.

Gab: C

81 - (UFOP MG/2007) O resto da diviso do polinmio p(x) = x99 2x + 3 pelo polinmio q(x) = x2 1 :a)x +3b)6c)8d)3x - 1

Gab: A

82 - (ITA SP/2007) Seja Q(z) um polinmio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos nmeros complexos, cujo coeficiente de z5 igual a 1. Sendo z3 + z2 + z + 1 um fator de Q(z), Q(0) = 2 e Q(1) = 8, ento, podemos afirmar que a soma dos quadrados dos mdulos das razes de Q(z) igual aa)9. b)7. c)5. d)3. e)1.

Gab: B

83 - (UFV MG/2007)

Sejam f e g funes reais tais que f(g(x)) = x2 3x + 2 e g(x) = 2x 3, para todo . A partir dessas informaes, considere as seguintes afirmativas, atribuindo V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):( )As razes de f so 1 e 1.( )O produto de f(3) e g(f(7)) igual a 60.

( )O resto da diviso de f(g(x)) por g(x) igual a .

( )Para todo tem-se que f(g(x)) .

A seqncia CORRETA :a)FFVF.b)VFVF.c)FVVF.d)VVFV.e)FVFV.

Gab: B

84 - (UFRR/2007) Um polinmio P(x) dividido por (x-2) d resto 4 e dividido por (x-4) d resto 12. Ento o resto da diviso de P(x) por (x-2) (x-4) :a)4x-4b)3x-2c)2x-1d)4xe)0

Gab: A

85 - (UFAC/2007) Um polinmio com coeficientes reais (na varivel x) p(x) divisvel por (x - ) se, e somente se, p() = 0 [J. R. dAlembert (1717-1783)]. Admitindo este resultado, se temos x4 2x3 + mx2 64x + n divisvel por x2 6x + 5, vale que: a)m = n = 5. b)m + n = 68.c)m = 70 e n = 10.d)m = 5 e n = 70.e)m = 60 e n = 5.

Gab: D

86 - (FFFCMPA RS/2007)

Dividindo o polinmio , por x 2, obtmse o resto 15 e um quociente com termo independente igual a zero.O valor de a + b a)0b)3c)5d)15e)11

Gab: B

87 - (PUC MG/2007)

Se o nmero 2 uma raiz dupla do polinmio , ento CORRETO afirmar que:a)x = 2 uma das duas razes reais desse polinmio.b)x = 22 uma das quatro razes desse polinmio.c)(x 2)2 um divisor desse polinmio.d)(x + 2)2 um divisor desse polinmio.

Gab: C

88 - (UFGD MS/2007)

Dado o polinmio , com n um nmero inteiro positivo, o resto da diviso de P(X) por

a);

b);c)0;

d);

e).

Gab: A

89 - (UFPE/2007) Um polinmio P(x), com coeficientes reais, tal que P(1) = 1 e P(2) = 1. Calcule R(-11/2), se R(x) o resto da diviso de P(x) por x2 - 3x + 2.

Gab: 14

90 - (UFJF MG/2007)

Considere o polinmio , onde, .

a)Para e , escreva o polinmio como produto de polinmios de grau 1.b)Existem valores de m e n para os quais o polinmio p possua quatro razes inteiras e positivas? Justifique sua resposta.

Gab:

a)b)Concluir assim a no existncia de valores m e n para os quais o polinmio p possua quatro razes inteiras e positivas.

91 - (UFRRJ/2007) Ao se dividir o polinmio P(x) por (x 2), obtm-se resto 5 e, por (x + 1), resto 2.Determine o resto da diviso do polinmio P(x) por (x 2)(x + 1).

Gab:

92 - (UESC BA/2007)

A soma dos valores de m e n, de modo que o polinmio seja divisvel pelo polinmio , 01.4 02.23 03.42 04.405.19

Gab: 01

93 - (UFG GO/2006)

Determine o valor de , para que o polinmio seja divisvel por .

Gab: k = 2

94 - (MACK SP/2006)

Considerando o resto r(x) e o quociente Q(x) da diviso abaixo, se , Q(1) vale

a)1b)3c)5d)4e)2

Gab: C

95 - (UEPB/2006)

O quociente da diviso de por igual a:a)2x 1b)1 2xc)2x + 1d)1 2xe)2x

Gab: A

96 - (UFC CE/2006) O polinnio P(x), ao ser dividido pelo polinmio x3 + 1, deixa o resto x2 + 1, e deixa resto x + 1 ao ser dividido pelo polinmio x2 3x + 2. Se o resto da diviso de P(x) pelo polinmio (x3 + 1)(x2 3x + 2) o polinmio ax2 + bx + c, ento, o valor da expresso 3a + b + 3c :a)3b)2c)0d)6e)7

Gab: D

97 - (UEM PR/2006) Considere o polinmio

.

correto afirmar que

a)o grau do quociente da diviso de p(x) por 3.

b)o resto da diviso de p(x) por .

c)o quociente da diviso de p(x) por .d)p(x) possui raiz real.

e)

Gab: B

98 - (ESPM SP/2006) Os termos do polinmio P (x) = x + 2x4 + 4x7 + 8x10 + ... tm seus expoentes formando uma PA e seus coeficientes numricos como uma PG. Para que o resto da diviso desse polinmio pelo binmio x + 1 seja igual a 85, o grau de P(x) dever ser:a)22b)23c)24d)25e)26

Gab: A

99 - (UEM PR/2006) Sabe-se que o resto da diviso de um polinmio p(x) por (x 2) 6 e que o resto da diviso de p(x ) por (x + 1) 3. Assinale a alternativa correta.a)O resto da diviso de p(x) por (x 2) (x + 1) x2 x 2.b)O resto da diviso de p(x) por (x 2) (x + 1) x + 4.c)O resto da diviso de p(x) por (x 2) (x + 1) x 1.d)O resto da diviso de p(x) por (x 2) (x + 1) indeterminado.e)p(x) divisvel por (x 2) (x + 1)

Gab: B

100 - (EFOA MG/2006)

Seja . Sabendo-se que divide f(x), determine:

a) em funo de .

b)os valores de e para que f(x) tenha apenas o nmero 1 como raiz, com multiplicidade 3.

c)os valores que deve assumir para que f(x) tenha trs razes reais.

Gab:

101 - (PUC RS/2006)

Se e , ento valea) 2b) 1c) 0d)1e) 2

Gab: C

102 - (UNIFOR CE/2006)

Na diviso de um polinmio f por obtm-se quociente e resto . Se f divisvel por , ento um outro divisor de f o polinmioa)2x2 x 1b)2x2 + x 1c)2x2 3x 1d)2x 3e)2x 1

Gab: A

103 - (UEPG PR/2006)

Se um polinmio P(x), do terceiro grau, divisvel pelo produto , assinale o que for correto.

01.P(x) divisvel por , mas no por .

02.P(x) pode ser escrito como .

04.O resto da diviso de P(x) por nulo.

08.O quociente da diviso de P(x) por um polinmio do 1 grau.

16.

Gab: 30

104 - (FATEC SP/2006)

Se a, x, y, z so nmeros reais tais que , ento z igual a

a)

b)

c)

d)

e)

Gab: A

105 - (UDESC SC/2006)

O resto da diviso do polinmio pelo binmio :a)4b)2

c)d)2xe)4

Gab: A

106 - (UFPA/2006)

O polinmio P(x) de menor grau, de coeficientes reais, com coeficiente da varivel de maior grau igual a 1, que tem 3 e como razes, sendo i a unidade imaginria, ter o resto de sua diviso por igual aa) 4b)2c)1d)2e)4

Gab: A

107 - (UFRN/2006)

Se A, B e C so nmeros reais e dividido por deixa resto , pode-se afirmar que igual a:a)8b)16c)12d)20

Gab: C

108 - (UFRR/2006)

Um estudante do curso superior de Bacharelado em matemtica da UFRR, fatorou a expresso como um produto de dois polinmios em que um deles era . O valor da constante a encontrado por esse estudante, foi:a)551 / 12b)551 / 12c)451 / 12d)451 / 12e)351 / 12

Gab: B

109 - (UNESP SP/2006)

Considere o polinmio , onde b, c e d so constantes reais. A derivada de p(x) , por definio, o polinmio . Se , e o resto da diviso de p(x) por 2, ento o polinmio p(x) :

a)

b)

c)

d)

e)

Gab: B

110 - (UFMT/2006)

Admita que um polinmio P(x) no nulo seja divisvel por um binmio da forma , , que Q(x) seja o quociente dessa diviso e que R(x) seja o resto. Nessas condies, pode-se afirmar que

a)

b)

c)

d)

e)

Gab: B

111 - (UNICAP PE/2006)

Considere o polinmio , sendo a um nmero real.

00.Se , ento zero uma raiz do polinmio.

01.Se , ento p(x) divisvel pelo polinmio .

02.Se , ento .03.Qualquer que seja o valor de a, o polinmio p(x) possui quatro razes no conjunto dos nmeros complexos.

04.Se um nmero inteiro e uma raiz de p(x), ento um divisor de a.

Gab: VVFFF

112 - (UNICAP PE/2006) Considere os polinmios P(x) e Q(x) com coeficientes reais. Ento,

00.se e , ento pode ser simplificada.

01.se e , pode-se pr em evidncia no numerador o fator , se .

02.se e , pode-se pr em evidncia no denominador o fator , se .

03.se o grau de P(x) for n e o de Q(x) for K, com e se Q(x) divide P(x), ento o grau do quociente .

04.se o grau de P(x) for n e o de Q(x) for K, com , existe um polinmio D(x) e um polinmio R(x), tais que .

Gab: VFVVV

113 - (FGV /2005)

Dividindo o polinmio P(x) por obtm-se quociente igual a e resto igual a . O valor de P(1) :a)12b)13c)15d)16e)14

Gab: E

114 - (FGV /2005)

a)Na figura a seguir, os ngulos e so retos; o ngulo mede 45, e as medidas dos segmentos e so, respectivamente, 2cm e 5cm.

Escreva a equao da reta t, suporte do segmento .

b)Sendo

, e

,determine os valores de , e que tornam P(x) divisvel por G(x) e tambm o polinmio Q(x), quociente da diviso de P(x) por G(x).

Gab:

a)

b) = 3, = 3 e = 1;

115 - (MACK SP/2005) Um polinmio p(x) tem resto A, quando dividido por (xA), e resto B, quando dividido por (xB), sendo A e B nmeros reais. Se o polinmio p(x) divisvel por (xA)(xB), ento:a)A = B = 0b)A = B = 1c)A = 1 e B = 1d)A = 0 e B = 1e)A = 1 e B = 0

Gab: A

116 - (UEM PR/2005)

Sabendo-se que o polinmio divisvel por , o valor de

Gab: 12

117 - (UEPG PR/2005)

Dividindo o polinmio pelo polinmio S(x), obtm-se o quociente e o resto . Ento, correto afirmar:01.P(x) = x2S(x)02.S(1) = 104.S(1) = 108.S(x) um polinmio do 2 grau16.S(x) + R(x) = P(x)

Gab: 14

118 - (MACK SP/2005)

Considere o grfico dado, da funo , sendo p(x) um polinmio do 3 grau. correto afirmar que esse polinmio tem:

a)uma raiz complexa com parte imaginria no nula.b)uma raiz real de multiplicidade dois.c)trs razes reais, sendo duas negativas.d)uma raiz real de multiplicidade trs.e)uma nica raiz real negativa.

Gab: B

119 - (UFAL/2005)

Considere os polinmios e q = 2x2 + kx 1, em que k e m so nmeros reais.

00.Se ,o polinmio p admite uma nica raiz real.01.Se k = 1, a maior raiz real do polinmio q um nmero inteiro.

02.Se m = 1 e k = 2, o resto da diviso de p por q .

03.Se o resto da diviso de p por x + 1 igual a 1, ento . 04.No existe valor de k que torne q um trinmio quadrado perfeito.

Gab: FFFVV

120 - (UFMG/2005) Sejamp ( x ) = 4 x3 + bx2 + cx + d e q ( x ) = mx2 + nx 3polinmios com coeficientes reais.Sabe-se quep( x ) = (2 x 6) q( x ) + x 10.Considerando-se essas informaes, INCORRETO afirmar que:a)se 10 raiz de q ( x ), ento 10 tambm raiz de p ( x ).b)p (3) = 7.c)d = 18.d)m = 2.

Gab: C

121 - (UEL PR/2005)

Quais devem ser os valores dos coeficientes m e n, de modo que o resto da diviso do polinmio por seja igual a ?a)m = 16 e n = 16b)m = 2 e n = 8c)m = 8 e n = 2d)m = 16 e n = 14e)m = 20 e n = 26

Gab: C

122 - (UDESC SC/2005)

O resto da diviso do polinmio pelo binmio :a) 4 b) 8 c) 7 d) 6 e) 0

Gab: A

123 - (UFJF MG/2005) O resto da diviso do polinmio p(x) = 3x2 17x + 27 por q(x) = x 4 :a)4.b)7.c)2x.d)5.e)5x 20.

Gab: B

124 - (UEPB/2005) Dado que o polinmio p(x) = 2x3 + mx2 5x + 2 divisvel por x 1, ento:a)m = 5b)m = 5c)m = 9d)m = 2e)m = 3

Gab: B

125 - (UEPB/2005) As razes do polinmio p = x3 + 7x2 4x 28 podem ser obtidas por meio de uma fatorao de p. Sobre essas razes podemos afirmar:a)o produto delas 14b)uma delas 4c)duas delas so opostasd)duas delas so positivase)a soma delas 11

Gab: C


O resto da diviso do polinmio x12 + 16 por igual a

a)

b)c)32d)16

Gab: C

127 - (UNIFESP SP/2005)

Dividindo-se os polinmios p1(x) e p2(x) por x2 obtm-se, respectivamente, r1 e r2 como restos. Sabendo-se que r1 e r2 so os zeros da funo quadrtica , conforme grfico,

o resto da diviso do polinmio produto p1(x)p2(x) por x2 :a)3. b)5. c)8. d)15. e)21.

Gab: E

128 - (UNIOESTE PR/2005)

Considere os polinmios , onde a um nmero real arbitrrio, e . Em relao a esses polinmios, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).01.Se o resto da diviso de P(x) por D(x) for 22, o valor de a ser 10.02.Se atribuirmos o valor 3 para a constante a, ento o resto da diviso de P(x) por D(x) ser igual a 5.04.O resto da diviso de P(x) por x 1 vale P(1).08.Se P(1) = 0, ento P(x) divisvel por x 1.16.Se a = 0, ento o grau do quociente da diviso de P(x) por D(x) 1.

32.Se atribuirmos o valor 3 constante a, teremos que . Notando que, neste caso, , pode-se afirmar ento que 1 uma das razes reais do polinmio P.

64.Se atribuirmos o valor -2 incgnita a, teremos que P(x) ser divisvel por , isto , o resto ser 0.

Gab: 74

129 - (IME RJ/2005)

Determine o valor das razes comuns das equaes e .

Gab:

Como os coeficientes do polinmio so inteiros, suas possveis razes racionais so:1, 2, 3, 6, 9 e 18.Por inspeo identificamos 3 como razes.E dividindo P(x) por (x+3) e (x3) temos:

Logo, P(x) = (x + 3(x 3)(x2 2x 2) e fazendo x2 2x 2 = 0

encontramos suas outras razes: .Por verificao vemos que 3 no so razes deQ(x) = x4 12x3 44x2 32x 52 e

como os coeficientes de Q(x) so racionais temos que se um dos valores for raiz de Q(x), o outro tambm ser e Q(x) ser mltiplo de x2 2x 2.Verificando:x4 12x3 42x2 32x 52 |x2 2x 2 x4 + 2x3 + 2x2 x2 10x 62 10x3 42x2 32x 52 +10x3 20x2 20x 62x2 52x 52 +62x2 124x 124 176x 176

Como o resto no nulo conclumos que no so razes de Q(x).Portanto, os polinmios no possuem razes comuns.

130 - (ITA SP/2005)

a)Mostre que o nmero real raiz da equao x3 + 3x 4 = 0b)Conclua de (a) que um nmero racional

Gab:

a)

P() = 4 + 3 + 3 4 P() = 4 3 + 3 4 P() = 0 raiz de P raiz da equao x3 + 3x 4 = 0.b)1) (x 1)(x2 + x + 4) 2) x3 + 3x 4 = 0 (x 1)(x2 + x + 4) = 0 x 1 = 0 ou x2 + x + 4 = 0

x = 1 ou 3)

R 4) A nica raiz real da equao x3 + 3x 4 = 0 1. 5) Se R e a raiz de x3 + 3x 4 = 0, ento a = 1 e, portanto, a racional.

131 - (UFBA/2005)

Sabendo que a soma dos inversos das razes do polinmio igual a e que o resto da diviso de p(x) por igual a 36, determine a e b.

Gab:

132 - (FUVEST SP/2004)

O produto de duas das razes do polinmio igual a 1. Determinara)o valor de m.b)as razes de p.

Gab: a)m = 7

b)

133 - (UFG GO/2004) Considere os polinmios p(x) = x4 13x3 + 30x2 +4x 40 e q(x) = x2 9x 10.

a)Calcule b)Resolva a inequao p(x) < 0.

Gab: a)x2 4x + 4b)S = {x R 1 < x < 10 e x 2}

134 - (FMTM MG/2004)

Sendo k um nmero real e um polinmio divisvel pelo polinmio , pode-se concluir que k2 um nmero:a)natural.b)inteiro negativo.c)racional no inteiro.d)irracional.e)imaginrio puro.

Gab: A

135 - (PUC RS/2004) Dividindo o polinmio p (x) = xn + xn1 + .... + x + 1 por (x m), (x r) ou (x s) com m, r, s todos distintos, obtemos sempre resto zero. correto afirmar que n :a)maior que 3.b)maior ou igual a 3.c)igual a 2.d)igual a 1.e)igual a zero.

Gab: B

136 - (ITA SP/2004)

Para algum nmero real , o polinmio divisvel por . Qual dos nmeros abaixo est mais prximo de ?a)1,62b)1,52c)1,42d)1,32e)1,22

Gab: B

137 - (UESPI/2004)

Qual dos polinmios a seguir divide o polinmio ?a)xb)yc)z2+w2d)xy+zwe)xz+yw

Gab: E

138 - (EFOA MG/2004) O resto da diviso do polinmio p(x) = x9 1 pelo binmio g(x) = 2x + 4 igual a:a)513b)511c)513d)512e)512

Gab: A

139 - (UEPG PR/2003) Assinale o que for correto.01.A funo polinomial f(x) = ax2 + c uma funo par.02.Se f e g so polinmios de grau n, ento os graus de f + g e f . g so, respectivamente, n e 2n .04.O resto da diviso de f(x ) = 4x3 + 5x + 10 por (2x + 3) 11.08.A condio para que P(x) = ax2 + bx + c (a 0) tenha razes reais e iguais que b2 > 4ac.

16.Dados os polinmios P(x) = x2 2x + 1 e Q(x) = . Se P(a) = 1 e Q(b) = 3, ento a + b = 0.

Gab: 05

140 - (UNIFESP SP/2003) A diviso de um polinmio p(x) por um polinmio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendose que o resto da diviso de k(x) por x 2, o resto da diviso de p(x) por x :a)10. b)12. c)17. d)25. e)70.

Gab: C

141 - (PUC PR/2003) Calcule a e b para que o polinmio P(x) = x3 + 3x2 + ax + b seja divisvel por x2 1.a)a = 1 e b = 3b)a = 1 e b = 3c)a = 1 e b = 3d)a = 1 e b = 3e)a = 1 e b = 4

Gab: A

142 - (PUC PR/2003) Dado o polinmio x4 + x3 mx2 nx + 2, determinar m e n para que o mesmo seja divisvel por x2 x 2.A soma m + n igual a:a)6b)7c)10d)9e)8

Gab: E

143 - (ITA SP/2003) Sejam a, b, c e d constantes reais. Sabendo que a diviso de P1(x) = x4 + ax2 + b por P2(x) = x2 + 2x + 4 exata, e que a diviso de P3(x) = x3 + cx2 + dx 3 por P4(x) = x2 x + 2 tem resto igual a 5, determine o valor de a + b + c + d.

Gab: 21

144 - (ITA SP/2003)

Dividindo-se o polinmio P(x) = x5 + ax4 + bx2 + cx + 1 por (x 1), obtm-se resto igual a 2. Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtm-se resto igual a 3. Sabendo que P(x) divisvel por (x 2), tem-se que o valor de igual a:a)6b)4c)4d)7e)9

Gab: E

145 - (UFPR/2003) Sobre o polinmio p(x) = x4 5x3 + 10x2 5x + d, onde d nmero real, correto afirmar:01.Se d = 16, ento p(x) o desenvolvimento de (x2)4.02.Se 4 e 32i forem razes de p(x), ento 5 tambm raiz de p(x).04.Se d = 0, ento zero uma raiz de p(x).08.Se 1 for raiz de p(x), ento d = 15.16.Se d = 21, ento p(x) divisvel por x+1.

Gab: F(VF)VFV* Ambas as respostas sero consideradas corretas(ufpr).

146 - (UFMA/2003) Trs vestibulandas deixaram as suas bolsas em uma determinada sala em que prestaram exame vestibular. No dia seguinte, o fiscal devolveu uma bolsa para cada uma delas de maneira aleatria, pois no se recordava a quem pertencia cada bolsa. Qual a probabilidade de que as bolsas tenham sido devolvidas corretamente, cada uma sua dona?a)1/4b)1/3c)1/5d)1/6e)1/8

Gab: B

147 - (UFAM/2003)

As trs razes de so e . O valor de :

a)

b)

c)

d)

e)

Gab: C

148 - (UFPE/2003) Sabendo-se que o resto da diviso de P(x) = 4x3 + A por Q(x) = x2 x + 1 nulo, indique o valor de de A.

Gab: 4

149 - (UFU MG/2002) Considere o polinmio p(x) = 3x3 x2 + ax + 9, em que a uma constante real. Se p(x) divisvel por x + 3, ento ele tambm divisvel pora)x2 + 9b)x2 9c)3x2 + 10x 3d)3x2 + 10x + 3

Gab: B

150 - (UEPG PR/2002) Assinale o que for correto.01.O polinmio P(x) = (x 1).(x 2)2.(x 3)3.........(x 8)6 tem grau 1202.A equao (x3 4x).(x2 + 2x + 1) = 0 tem cinco razes distintas e reais.04.Se o resto da diviso do polinmio P(x) = xn 5x 2 por Q(x) = (x 2) R(x) = 4, ento o polinmio P(x) do 4o grau.08.Se o polinmio P(x) = x3 4x2 + mx + n divisvel por Q(x) = (x + 1)(x 2), ento m.n = 316.Sabendo-se que i uma das razes da equao x42x3+mx22x+5 = 0, ento m mltiplo de 3

Gab: 20

151 - (ITA SP/2002) A diviso de um polinmio f(x) por (x 1) (x 2) tem resto x + 1. Se os restos das divises de f(x) por x 1 e x 2 so, respectivamente, os nmeros a e b, ento a + b vale:a)13 b)5 c)2 d)1 e)0

Gab: A

152 - (UFAM/2002)

Dividindo-se o polinmio pelo polinmio , obtm-se quociente e resto, respectivamente, iguais a:

a) e

b) e

c) e

d) e

e) e

Gab: B

153 - (UFMT/2002)

Seja O(x) um polinmio de coeficientes reais e A(0,0), , C(1,0) e D(2,0) pontos do plano cartesiano.A partir dessas informaes, julgue os itens.

00.Admitindo P(x) = bx2 + bx + c e que seu grfico passa pelos pontos A e B, ento .01.Considerando que P(x) um polinmio do 4o grau cujo grfico passa pelos pontos A, C e D, ento P(x) possui razes complexas.02.Supondo que P(x) um polinmio de grau n 1 e que seu grfico passa pelo ponto A, o termo de P(x), independente de x, diferente de zero.

Gab: CEE

154 - (MACK SP/2001) Se R(x) o resto da diviso de x25 + x23 + x2 x 1 por x2 1, ento R(2) vale:a) 1 b)1c)0d)2e) 2

Gab: D

155 - (UNIFOR CE/2001) Sobre os polinmios p = x + x 2 e q = x - 3x + 2, correto afirmar que seua)mnimo mltiplo comum (x 2).(x - 1) b)mximo divisor comum (x + 1)c)mnimo mltiplo comum (x 1) . (x 4) d)mximo divisor cumum (x 2)e)mnimo mltiplo comum (x - 4).(x 1)

Gab: E

156 - (UEL PR/2001) O resto da diviso de p(x) = x5 + 4x4 + 2x3 + x2 + x 1 por q(x) = x + 2 :a)17b)15c)0d) 15 e) 17

Gab: A

157 - (FURG RS/2001) Se o polinmio p(x) = x4 + 2x + ax + bx + c divisvel por q(x) = x2 x 2, ento a + b vale:a) 11 b) 1 c)0d)1e)11

Gab: A

158 - (UEL PR/2001) Considere os polinmios p(x) = -x + 1 e q(x) = x3 x. correto afirmar:a)Os polinmios p(x) e q(x) no possuem raiz em comum.b)O grfico p(x) intercepta o grfico de q(x).c)O polinmio p(x) possui ima raiz dupla.d)O resto da diviso de q(x) por p(x) diferente de zero.e)O polinmio q(x) possui uma raiz dupla.

Gab: B

159 - (UFPR/2001) Considere o polinmio p(x) = x3 4x2 + 5x + d, onde d nmero real. Assim, correto afirmar:01.Para que p(x) seja divisvel por (x 1), necessrio que d seja igual a 2.02.Se d = 0, ento o nmero complexo 2 + i raiz da equao p(x) = 0.03.Se as razes da equao p(x) = 0 forem as dimenses, em centmetros, de um paraleleppedo reto retngulo, ento a rea total desse paraleleppedo ser 10 cm2.04.Se d = 1, ento p(1) = 1.

05.Na expresso , o termo independente de a .

Gab: FVVVF

160 - (FUVEST SP/2000) O polinmio p(x) = x4 + x - x - 2x 2 divisvel por x + a, para um certo nmero real a. Pode-se, pois afirmar que o polinmio p:a)no tem raiz reais.b)tem uma raiz realc)tem exatamente duas razes reais distintasd)tem exatamente trs razes reais distintase)tem quatro razes reais distintas

Gab: C

161 - (UNIFOR CE/2000) Se o polinmio f = x - 2x + ax + b divisvel pelo polinmio g = 2x - x + 1, ento os nmeros reais a e b so tais que a)a + b = 2

b)

c)

d)e)a = -2b

Gab: D

162 - (UFF RJ/2000)

Considere o polinmio p(x) = x3 3x + 2 e a funo real de varivel real f definida por . Sabe-se que uma das razes de p(x) 1. Escreva o domnio de f sob a forma de intervalo.

Gab: Dom f = ( 2, 1) (1, + )

163 - (UEPG PR/2000)

Sobre a funo polinomial , do 3o grau, cujo grfico est esboado abaixo, assinale o que for correto.

01.

02. divisvel por 04.Tem uma raiz 1, uma raiz 2 e uma raiz imaginria.08.Tem raiz simples 2 e raiz dupla 116.Seu termo independente igual a 2

Gab: 25

164 - (CEFET RJ/2000) Os valores de a e b que tornam o polinmio P(x) = x4 ax - 8x + 8x + b divisvel por x - 1 so tais que:a)seu produto 12b)sua soma 12c)seu produto 50d)sua soma 15e)seu produto 15

Gab: D

165 - (FUVEST SP/1999) Dividindo-se o polinmio p(x) por 2x - 3x + 1, obtm-se o quociente 3x + 1 e resto x + 2. Nessas condies, o resto da diviso de p(x) por x 1 :a)2b)1c)0d) 1 e) 2

Gab: B

166 - (UFBA/1999) Sobre os polinmios p(x) = x3 5x2 + 6x e q(x) = x3 4x2 + 5x, verdade:01.q(x) tem duas razes reais inversas.02.p(x) e q(x) tm uma raiz comum. 04.p(x) tem duas razes imaginrias. 08.p(x) divisvel por x 2 ou q(x) divisvel por x + 1.16.O quociente da diviso de p(x) por x 3 x2 2x e o resto p(2).32.O grau do polinmio p(x) + q(x) igual a 3.

Gab: 26

167 - (UNIFOR CE/1999)

Sabe-se que o polinmio , no qual k um coeficiente real, divisvel por (x 1) (2x 1). A forma fatorada de f a)(x 1) (2x 1) (x 2) (2x 1)b)(x 1) (2x 1) (x 1) (2x 1)c)(x 1) (2x 1) (x 2) (2x 1)d)(x 1) (2x 1) (x 3) (2x 1)e)(x 1) (2x 1) (x 3) (2x 1)

Gab: C

168 - (UFF RJ/1999) Determine as constantes reais r, s e t de modo que o polinmio p(x) = rx2 + s x + t satisfaa s seguintes condies:a)p (0) = 1;b)a diviso de p(x) por x2+1 tem como resto o polinmio 3x + 5.

Gab: s = 3 e 5 r = 4 t = 1

169 - (UFU MG/1998) Considere o polinmio p(x) = x4 + 5x3 x2 + (3a + b 1)x + (a-2b). Sabendo-se que zero raiz de multiplicidade dois deste polinmio, ento

a) e

b)a= -1 e c)C = 0 e E = 0

d) e e)C = 1 e E = 0

Gab: A

170 - (UNIFOR CE/1998) Dividindo-se o polinmio f = x4 2x3 8x 2 por g = x2 x 1 obtm-se quociente q e resto r. O resto da diviso de q por r a)14b)12c)10d) 8e) 6

Gab: A

171 - (UNIFOR CE/1998)

Na diviso do polinmio pelo binmioa)x, o resto 1b)x 1, o resto 2

c), o resto 1

d), o resto 9

e), o resto 8

Gab: C

172 - (UFPB/1998) Sejam f e g polinmios no nulos. Se f divisvel por g e g divisvel por f, ento, correto afirmar que:a)f igual a gb)f tem mais razes que gc)f tem menos razes que gd)f e g tm graus diferentese)f e g tm as mesmas razes

Gab: E

173 - (PUC RJ/1997) Se x2 + 2x + 5 divide x4 + px2 + q exatamente (isto , o resto da diviso do segundo polinmio pelo primeiro zero), ento:a)p = - 2 e q = 5;b)p = 5 e q = 25;c)p = 10 e q = 20;d)p = 6 e q = 25;e)p = 14 e q = 25;

Gab: D

174 - (UFOP MG/1997)

O valor de c, para que o polinmio p(x) = 2x6 x3 + c seja divisvel por , :a)0b)-6c)6d)-10e)10

Gab: D

175 - (UFF RJ/1997) Ao se dividir o polinmio P (x) por D (x) = x 2 obteve-se quociente Q (x) = x4 + 2x2 + x + 1 e resto 8. Determine P (x).

Gab:

p(x) = (x 2) (x4 + 2x2 + x + 1) + 8p(x) = x5 2x4 + 2x3 3x2 x 2 + 8p(x) = x5 2x4 + 2x3 3x2 x + 6

176 - (UFJF MG/1997) Um polinmio p(x) dividido por x 1 deixa resto 2. o quociente desta diviso ento dividido por x 4, obtendo resto 1. O resto da diviso de p(x) por (x 1) (x 4) :a)1;b)2;c)x + 1;d)x 1;e)3.

Gab: C

177 - (UNICAMP SP/1997) Seja p(x) = x3 12x + 16.a)Verifique que x = 2 raiz de p(x).b)Use fatorao para mostrar que se x > 0 e x 2, ento p(x) > 0.c)Mostre que, entre todos os prismas retos de bases quadradas que tm volume igual a 8m3, o cubo o que tem menor rea total.

Gab.:a)p(2) = 2 - 12. 2 + 16 = 0, logo 2 raiz b)p(x) = (x 2) (x + 2x 8) = (x 2) (x 2) (x + 4), logo se x > 0 e x 2, ento (x 2) > 0 e x + 4 > 0. Portanto p(x) > 0

c)8 = ah e h = (1) St = 4ah + 2a (2)

Substituindo 1 em 2 temos:

Somando e subtraindo 12a da expresso dos colchetes, temos:

Logo: , como a > 0, S mnimo se, e somente se, (a 2) (a + 4) = 0, da temos que a = 2, ento de (1) h = 2, e, portanto, o prisma reto o cubo

178 - (UFOP MG/1996) Sejam os polinmios P(x) = x4 + ax2 + bx 1 e Q(x) = x3 + x2 + x + 1. Se P(x) divisvel por Q(x), ento a afirmativa correta :a)a = 0 e b = -1b)a = 0 e b = 0c)a = 0 e b = 1d)a = 1 e b = 0e)a = 1 e b = 1

Gab: B

179 - (UnB DF/1996) Julgue os itens abaixo.

00.Se p(x) um polinmio tal que , ento (2x + 5) divide p(x).01.Se p(x) = (x2 + 1) (-x2 + x 1), ento a equao p(x) = 2 no tem soluo.02.Sejam a, b, c nmeros reais com a 0 e p: R R a funo dadda pelo polinmio p(x) = ax3 + bx + c. Ento a equao p(x) = K tem soluo para qualquer nmero real K.

Gab: CEC

180 - (UFF RJ/1996) Um aluno dividiu o polinmio p(x) = ax2 + bx + c, sucessivamente, por (x-1), (x-2) e (x-3) e encontrou, respectivamente, restos 0, 0 e 1. Determine o polinmio p(x).

Gab: P(x) = x2/2 3x/2 + 1

181 - (UFG GO/1995) Dado o polinmio: P (x) = ax4 + bx3 + 2x2 + 1. Pode-se afirmar que:01.x = 0 raiz do polinmio P (x);02.Se a = 1 e b = 0 ento P (x) = (x2 + 1)2;04.Existem valores distintos para a e b tais que x = 1 sejam razes de P (x);08.Se a = 0 e b = 3, o resto da diviso de P(x) por 3x2 +2x + 1 zero;16.Colocando P (x) na forma P (x) = x2f(x) + 1 temos que f (0) = 2;

32.Se a = b = 0 temos que x = i uma raiz de P (x), onde i2 = -1

Gab: FVVVVF

182 - (UFOP MG/1995)

Mostre que o resto da diviso de um polinmio P(x) de grau maior ou igual a 2 por (x a)(x b), com a b, .

Gab: No fornecido pela Universidade

183 - (UFOP MG/1995) a)Sejam p(x) = x2 6x 6 e q(x) = [p(x)]2 + 4p(x) 140 duas funes polinominais. Encontre todas as razes reais de q(x).

b)Se , ento determine quanto vale .

Gab:a)8, - 2, 2, 4b)zero

184 - (Gama Filho RJ/1995) O resto da diviso do polinmio P(x) = x100por x + 1 vale:a)-100b)-1c)0d)1e)100

Gab: D

185 - (UERJ/1995) A figura abaixo representa o grfico de um polinmio P e uma reta r que lhe secante nos pontos A (2, -3) e B (4, 15).

a)Determine o resto da diviso de P(x) por x - 4.b)Mostre que a reta r representa graficamente o resto da diviso de P(x) por (x - 2) (x - 4).

Gab:a)O resto P(4) = 15.b)Se o resto dessa diviso da forma: R(s) = ax + b; e o quociente Q(x), ento:P(x) = (x - 2) (x - 4) . Q(x) + ax + bP(4) = 4a + b = 15P(2) = 2a + b = -3Resolvendo o sistema, obtemos a = 9 e b = -21; Assim, R(x) = 9x -21 polinmio do 1 grau cujo grfico uma reta. Essa reta contm os pontos A e B, pois R(2) = -3 e R(4) = 15, logo a reta r.

186 - (UFSC/1994) O resto da diviso do polinmio p(x) = 6x - 2x + x + 1 por q(x) = 3x 6 :

Gab: 43

187 - (UFOP MG/1994) O polinmio p(x) = x3 + mx2 + nx + p anula-se para x = 2, x = 1 e x = -1. Sabendo-se que o polinmio q(x) = x2 ax + 1 divisvel por x 1, pede-se determinar o resto da diviso de p(x) por q(x).

Gab: 2

188 - (UFF RJ/1994) Sobre os polinmios P(x) e Q(x) temos as seguintes informaes:

I. II. P(0) = P(1) = Q(3) = 0 , Q(0) 0 e Q(1) 0III. Q(x) do 2 grau.

Determine:a) P(x)b) Q(x)

Gab:

Como Q(x) do 2 grau e Q(3)=0, tem-se:Q(x) = Ax + Bx + CQ(0) = -3 C = -3 , Q(x) = Ax + 6x - 3Q(3) = 9A + 3B - 3 = 0 3 A + B = 1Q(1) = A + B - 3 = -4

Logo, P(x) = (x - x + 4x + 2) (x - 2x + 3) + 18x + 6

ou P(x) = x5 - 3x4 + 3x - 3x + 2x

ou P(x) = x (x - 1) (x - 2x + x - 2)

ou P(x) = x (x - 1) (x - 2) (x + 1)

189 - (UnB DF/1994) Seja p(x) = x3 + 4x2 + kx + (k 51). Determine o valor de k, sabendo que p(x) divisvel por x 1.

Gab: 23

190 - (UNIFICADO RJ/1994) O resto da diviso do polinmio P(x) = (x2 + 1)2 pelo polinmio D(x) = (x-1)2 igual a:a)2b)4c)2x - 1d)4x - 2e)8x - 4

Gab: E

191 - (INTEGRADO RJ/1994) Sabendo-se que o nmero 3 raiz dupla de equao ax3 + bx + 18 = 0, os valores de a e b so, respectivamente:

a) e 9

b) e 9

c) e 9

d) e 9e)1 e 3

Gab: A

192 - (UFSC/1993) Determine o valor de m, para que o resto da diviso do polinmio P(x) = x + mx - 2x + 1 por x + 3 seja 43.

Gab: 07

193 - (UnB DF/1993) Na diviso do polinmio 5x6 + ... + 8x + 13 por x 2 encontrou-se o quociente 5x5 + ... + 3. Determine o resto dessa diviso.

Gab: 19

194 - (UnB DF/1993) Julgue os itens abaixo00.Um polinmio, p(x) idvisvel por (x a) se e somente se p(a) = 0.01.p(x) = (x 1)2p + 2(2p-q)(x + 1)q-4p divisvel por x2 1, pra todo p e q so inteiros positivos.02.O resto da diviso de um polinmio p(x) por (x a) p(a).03.Se as nicas razes distintas do polinmio p(x) so x1, x2, x3, ento p(x) = (x x1)n1(x x2)n2(x x3)n3, onde n1, n2, n3, so nmeros naturais.

Gab: CCCE

195 - (INTEGRADO RJ/1993) O resto da diviso de um polinmio P( x ) por x - 3 ...a)1 b)3 c)-3 d)P(3) e)P(-3)

Gab: D

196 - (UFF RJ/1992) Na decomposio de um polinmio P(x), um aluno utilizou o algoritmo conhecido como de Briot-Ruffini, conforme indicado abaixo:

Com base nos dados acima, determine o polinmio P(x) e todas as suas razes.

Gab:

197 - (UnB DF/1992) Julgue os itens abaixo:00.Se o polinmio Ax4 (2A 2)x3 = 1 divisvel por (x 1)n ento o maior valor possvel de n 2.01.O polinmio x4 5x3 + ax2 + bx 6 = 0 tem duas razes iguais a 1 e 1. Ento a soma dos quadrados das outras duas razes 12.02.Os restos da diviso dos polinmio P(x) pelos monmios x, x 1, x + 1 so respectivamente 2, -1, -1. Ento o resto da diviso de P(x) por x(x2 1) 3x2 + x + 2.03.Seja P(x) um polinmio satisfazendo P(x + 1) P(x) = 2x para todo x. Ento P tem grau 2.

Gab: CEEC

198 - (ITA SP/1991) Na diviso de P(x) = a5x5 + 2x4 + a4x3 + 8x2 323x + a3 por x 1, obteve-se o quociente Q(x) = b4x4 + b3x3 + b2x2 + b1x + b0 e o resto 6. Sabe-se que (b4, b3, b2, b1) uma progresso geomtrica de razo q > 0 e q 1. Podemos afirmar:a)b3 + a3 = 10b)b4 + a4 = 6c)b3 + b0 = 12d)b4 + b1 = 16 e)n.d.a.

Gab: B

199 - (ITA SP/1991) Seja S o conjunto de todas as razes da equao 12x3 16x2 3x + 4 = 0. Podemos afirmar que:a)S ]-1, 0[ ]0, 1[ ]1, 2[b)S ]-2, -1[ ]0, 1[ ]3, 4[c)S [0, 4]d)S ]-2, -1[ ]1, 2[ ]3, 4[e)n.d.a.

Gab: A

200 - (ITA SP/1990) Sabendo-se que 3x 1 fator de 12x3 19x2 + 8x 1 ento as solues reais da equao 12(33x) 19(33x) + 8(3x) 1 = 0 somam:a) log312b)1

c)d)-1e)log37

Gab: A

201 - (MACK SP) O polinmio x7 2x6 + x5 x4 + 2x3 x2 = 0 tem:a)2 razes duplasb)1 raiz triplac)4 razes no reaisd)6 razes no reaise)3 razes duplas

Gab: B

202 - (UnB DF)

P(x) um polinmio que possui unicamente as razes (com multiplicidade 2) e (com multiplicidade 3).Ento P(x) poder ser:a)5x6 8x4 + 7x2 + 4b)x6 + x4 7x3 + 8x2 + 9x + 2c)(9x2 12x + 4) (8x3 12x2 + 6x 1)d)(3x 2)3 (2x 1)2

Gab: C

203 - (PUC SP) A multiplicidade da raiz x0 = 1 da equao x4 x3 3x2 + 5x 2 = 0 :a)2b)3c)4d)5e)6

Gab: B

204 - (SANTA CASA SP)

O polinmio p(x) = ax5 bx4 + cx3 + dx2 + ex + f divisvel por g1(x) = 2x2 + x e por g2(x) = x2 x 2.Ento p(x) tem:a)cinco razes reais.b)trs razes reais e uma complexa.c)quatro razes reais e uma complexa.d)duas razes reais e duas complexas.e)uma raiz real e 4 complexas.

Gab: A

205 - (OSEC SP) Se a equao x3 2x2 + x + m 1 = 0 tem uma raiz dupla, ento m pode ser:a)zerob)1c)2d)3e)4

Gab: B

206 - (UFRN) Um polinmio de coeficientes inteiros na varivel x tem grau par, seu termo independente mpar e o coeficiente do termo de maior grau igual a 1. Assinale a FALSA:a)o valor do polinmio para x = 0 um nmero mparb)o zero no raiz desse polinmioc)o polinmio derivado tem grau mpard)o coeficiente do termo de maior grau do polinmio derivado um nmero mpar.e)nenhum nmero par pode ser raiz desse polinmio.

Gab: D

207 - (Mau SP) Dada a equao x3 2x2 + 2x 1 = 0, determine todas as razes, sabendo-se que x0 = 1 uma raiz.

Gab:

208 - (FEI SP) Determine as razes da equao x3 16x2 + 85x 150 = 0, sabendo que uma das razes tem multiplicidade 2.

Gab: V = {5; 6}

209 - (FEI SP) Se, na equao x3 75x + 250 = 0, m raiz dupla e n = 2m e a outra raiz, achar m e n.

Gab: m = 5; n = 10

210 - (Mau SP) Dada a equao x3 3x 2 = 0 determine suas razes sabendo que uma delas dupla.

Gab: V = {1;2}

211) A raiz x = 1 da equao x4 x3 3x2 + 5x 2 = 0 :a)simplesb)duplac)triplad)quadruplae)quintupla

Gab: C

TEXTO: 1 - Comum questo: 212 A figura a seguir representa o grfico de um polinmio P(x), de grau 3 e coeficientes reais, cujas razes tm multiplicidade 1.

212 - (IBMEC SP/2010) O resto R(x) da diviso do polinmio P(x) pelo polinmio d(x) = x2 4 x + 3 tal que

a)R(x) = 2x + 1.b)R(x) = 3x + 2.c)R(x) = x + 2.d)R(x) = 1.e)R(x) = 3.

Gab: A

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Polinômios - GPS.docx