polinômios resolvidos

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1Resoluo das atividades complementaresMatemticaM23 Polinmios p. 68 2 Seja o polinmio P(a 1 2) 5 2a2 2 3a 1 1.a) Calcule P(21) e P(4). b) Determine P(a). 3 (UnB-DF) Considere um polinmio P(x) do 3o grau com coeficientes reais. Dado que 2 raiz de P(x) e que o seu grfico contm os pontos (0, 2), (1, 1) e (3, 5), calcule P(5). 1 Considere o polinmio P(x) 3x. 5 2 21xx x211 Determine os valores de P(1) e P(22).P(21) 5 28 e P(4) 5 3 P(a) 5 2a2 2 11a 1 15P(1) 5 0; P(22) 5 22157Resoluo:P(x) 5 (x2 2 3x) ? x 1 (x 1 1) 5 x3 2 3x2 1 x 1 1P(1) 5 13 2 3 ? 12 1 1 1 1 5 0P(22) 5 (22)3 2 3 ? (22)2 1 (22) 1 1 5 28 2 12 2 2 1 1 5 221Resoluo:a) a 1 2 5 21 a 5 23 Substituindo a 5 23 no polinmio dado, temos: P(23 1 2) 5 P(21) 5 2 ? (23)2 2 3(23) 1 1 5 2 ? 9 1 9 1 1 5 28 a 1 2 5 4 a 5 2 Substituindo a 5 2 no polinmio dado, temos: P(2 1 2) 5 P(4) 5 2 ? 22 2 3 ? 2 1 1 5 3b) a 1 2 5 x a 5 x 2 2 P(x) 5 2 ? (x 2 2)2 2 3(x 2 2) 1 1 5 2x2 2 11x 1 15 Fazendo x 5 a, temos: P(a) 5 2a2 2 11a 1 15.Resoluo:P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 dP(2) 5 8a 1 4b 1 2c 1 d 5 0 (I)P(0) 5 d 5 2P(1) 5 a 1 b 1 c 5 21 (II)P(3) 5 27a 1 9b 1 3c 5 3 (III)De I, II e III, vem:8a 4b 2ca b c27a 9b 3c1 1 5 21 1 5 21 1 5213Da: a 5 1, b 5 23 e c 5 1.P(x) 5 x3 2 3x2 1 x 1 2P(5) 5 53 2 3 ? 52 1 5 1 2 5 572 4 (Uniube-MG) O grau do polinmio q(x) 5 (x 2 1)(x 2 2)2 (x 2 3)3 ... (x 2 100)100 igual a:a) 100 b) 100! c) 5 050 d) 10 100 5 Qual o polinmio que, subtrado de A(x) 5 2x3 2 x2 2 4x 1 5, resulta no polinmio B(x) 5 x2 1 3x 2 1? 6 (UERN) Se A(x) 5 x2 2 x 1 1, B(x) 5 (x 2 2)2 e C(x) 5 23x, ento A(x) 1 B(x) ? C(x) vale:a) 23x3 1 13x2 2 13x 1 1 c) 23x3 1 15x2 2 15x e) 3x3 2 15x2 1 15xb) 23x3 1 13x2 1 13x 1 1 d) 23x3 2 15x2 2 15x 7 Sabendo que P(x) 5 x3 1 (a 2 2)x2 1 (b 2 4)x 2 3 admite as razes 1 e 21, calcule os valores de a e b. 8 Dados A(x) 5 (a 1 1)x2 1 (b 2 1)x 1 c e B(x) 5 ax2 1 bx 2 3c, calcule a, b e c, para que A(x) 1 B(x) 0.a 5 5 e b 5 32x3 2 x 1 4a 5 2 5 512 ; b 12 ; c 0Resoluo:C(x) 2 A(x) 5 B(x) C(x) 5 2x3 2 x2 2 4x 1 5 1 x2 1 3x 2 1C(x) 5 A(x) 1 B(x) C(x) 5 2x3 2 x 1 4Resoluo:A(x) 1 B(x) ? C(x) 5 (x2 2 x 1 1) 1 (x 2 2)2 ? (23x) 5 x2 2 x 1 1 1 (x2 2 4x 1 4)(23x) 55 x2 2 x 1 1 2 3x3 1 12x2 2 12x 5 23x3 1 13x2 2 13x 1 1Resoluo:P(1) 5 13 1 (a 2 2)12 1 (b 2 4)1 2 3 5 0a 1 b 2 8 5 0 (I)P(21) 5 (21)3 1 (a 2 2)(21)2 1 (b 2 4)(21) 2 3 5 0a 2 b 2 2 5 0 (II)a ba ba1 52 55 5 58232a 10 5 e b Resoluo:O grau do polinmio dado pela sooma dos termos da PA (1, 2, 3, ..., 100).Snn 100)n2 S (1 )2 gr(q) 5 15 1 ?5 5(a an 1 100 1005 050 5 0 550Resoluo:a 1 a 2ab 1 b 2b1 1 5 1 5 5 22 1 5 50 1 0 120 1 abbc52 5 2 5 5120 0 c 3c 0 2c 312 (Fuvest-SP) Considere o polinmio no-nulo P(x) tal que [P(x)]3 5 x2[P(x)] 5 x[P(x2)], para todo x real.a) Qual o grau de P(x)? b) Determine P(x). 9 Ache a, b e c de modo que o polinmio P(x) 5 (a 1 1)x2 1 (3a 2 2b)x 1 c seja identicamente nulo.10 (UFPA) O polinmio P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d idntico a Q(x) 5 5x2 2 3x 1 4. Ento, podemos dizer que a 1 b 1 c 1 d igual a:a) 6 c) 4 e) 23b) 5 d) 011 (UFJF-MG) Determine as constantes reais A, B e C que satisfazem igualdade2x 25x5)(x )Bxx , para x22 22 22 1 52 1 11291 5 1 (xAxCIR e x 5.P(x) 5 x ou P(x) 5 2xA 5 24; B 5 6 e C 5 51Resoluo:a a c 1 5 5 2 2 5 5 5 2 5 1 0 1 0 32 0 3a 2b 3a 2b bResoluo:P(x) Q(x) ax bx cx d 5x 3x 03 2 2 1 1 1 2 1 5 4 a ;; 5; 3 e dLogo, a b 6.b cc d5 5 2 51 1 1 54Resoluo:Reduzindo ao mesmo denominador, teemos:2x 25x(x 5)(x 1)A(x 1) (Bx C)(2222 22 1 5 1 1 1 29 xx )(x 5)(x 1)2x 25x(x 5)(x 1)Ax A222222 12 22 1 5 1529 11 2 1 22 12 22Bx 5Bx Cx 5C(x 5)(x 1)2x 25x(x 5)(x2222922221)(A B)x 5B C)x A 5C(x 5)(x 1) 1 5 1 1 2 1 1 22 1(Igualando os coeficientes, temos:A5B1 52 1BC255 22 5 25 2552529465 A 5CABCResoluo:a) grau [P(x)] [P(x)]grau35 ? ? 3 grauxx [P(x)] grau [P(x)]grau x [P(x )] 222? 5 1? 5 121 g grau [P(x)]3 grau [P(x)] grau [P(x)]3 gr5 1 2aau [P(x)] grau [P(x)] 2Ento, grau [P(x)]2 55 11.b) Como grau [P(x)] 1, ento: P(x) b.(5 5 1 axaax (ax b)x (ax x(ax b)(ax) 32 231 5 11 5 11b xb))3 2((ax) 3axb axax ax xb2 33 32 3 22? 1 1 5 11 5 1b b bxbxa x 3a x 3axb ax bx (I)bx bx 03 3 2 2 2 3 221 1 1 5 12 5 5b bb30 Substituindo em (I), temos:a x axa x3 3 33 3522 52 52 5 5 55 axax (a 1)ax 0 e aCo33 23001 0 012a ouammo grau 1, ento: 1 e bP(x) x ou Pa 5 550.((x) 5 21xa 5 2 5 2 5 1; b e c32 0415 (UFG) Seja f uma funo definida por f(x)x(x 1). 511a) Determine os nmeros A e B de modo que f(x)x 1. 5 11AxBb) Considerando o resultado anterior, mostre que: f(1) f(2) f(100) 1001011 1 1 5 ... .13 (Faap-SP) Calcule a, b, c e d para que o polinmio P1(x) 5 a(x 1 c)3 1 b(x 1 d) seja idntico aP2(x) 5 x3 1 6x2 1 15x 1 14.14 (UFPE) Determine p e q reais tais que x(x 1 1)(x 1 2)(x 1 3) 1 1 5 (x2 1 px 1 q)2. Indique p2 1 q2. p. 69a 5 1; b 5 3; c 5 2 e d 5 210A 5 1 e B 5 21Resoluo:P1(x) P2(x) a(x 1 c)3 1 b(x 1 d) x3 1 6x2 1 15x 1 14ax3 1 3acx2 1 (3ac2 1 b)x 1 (bd 1 ac3) x3 1 6x2 1 15x 1 14Igualando os coeficientes correspondentes, ttemos:a3ac3acbd ac23551 51 5161514bResolvendo o sistema, obtemos: a 5 1, b 5 3, c 5 2 e d 5 2.Resoluo:x(x 1 1)(x 1 2)(x 1 3) 1 1 5 (x2 1 px 1 q)2x4 1 6x3 1 11x2 1 6x 1 1 5 x4 1 2px3 1 (p2 1 2q)x2 1 2pqx 1 q2Igualando os coeficientes, temos:2pp 2q2516555555116131 2pqq2 pqPortanto: p2 1 q2 5 9 1 1 5 10.Resoluo:a) 1x(x 1)Ax x 1 , ou seja, 1x(x 15 11 1B11)(A B)xx(x 1) (A B)xTemos, ento,5 1 111 1aA 1oo sistema linear: 1 e Bb)A BA A1 555 5 201 1DDo resultado anterior, temos que:f(1) 125 2 1 ;; f(2) 13 ; f(3) 14 ; ...; f(99) 15 2 5 2 5 21213199 1100 ; f(100)Logo:f(1) f(2) f(5 21 1 111001101... 1100) 5 2 1 2 1 2 1 1 2 1 12121313141991100( ) ( ) ( ) ( )... 11 211001101( )A segunda parcela de cada parn ntese, exceto a do ltimo, cancela com a prrimeira parcela do parntesesubseqente: f((1) f(2) f(100) 1 1 1 5 2 5 ... . 1 1101100101516 (UFU-MG) Dividindo-se o polinmio p(x) por x2 1 4x 1 7, obtm-se x2 1 1 como quociente e x 2 8 como resto. correto afirmar que o coeficiente do termo de grau 2 :a) 21 c) 8 e) 1b) 4 d) 517 (UFPel-RS) Para que o polinmio x3 1 2x2 2 3x 1 m d resto 3 quando dividido por (x 1 1), m deve valer:a) 1 c) 3 e) 7b) 21 d) 2718 (UFSM-RS) Dividindo-se o polinmio p(x) 5 x3 1 x2 1 x 1 1 pelo polinmio q(x) obtm-se o quocien-te s(x) 5 1 1 x e o resto r(x) 5 x 1 1. Pode-se afirmar que:a) q(2) 5 0 c) q(0) 0 e) q(1) 1b) q(1) 0 d) q(3) 5 019 (ITA-SP) A diviso de um polinmio P(x) por x2 2 x resulta no quociente 6x2 1 5x 1 3 e resto 27x. Qual o resto da diviso de P(x) por 2x 1 1? p. 765Resoluo:p(x) 5 (x2 1 4x 1 7)(x2 1 1) 1 x 2 8 p(x) 5 x4 1 x2 1 4x3 1 4x 1 7x2 1 7 1 x 2 8p(x) 5 x4 1 4x3 1 8x2 1 5x 2 1O coeficiente de x2 igual a 8.Resoluo:p(x) 5 x3 1 22 2 3x 1 mPelo teorema do resto, P(21) 5 3; ento: (21)3 1 2(21)2 2 3(21) 1 m 5 3 m 5 21.Resoluo:p(x) 5 x3 1 x2 1 x 1 1; s(x) 5 1 1 x; r(x) 5 x 1 1p(x) 5 q(x) ? s(x) 1 r(x) e q(x) 5 ax2 1 bx 1 cx3 1 x2 1 x 1 1 5 (ax2 1 bx 1 c)(1 1 x) 1 (x 1 1)x3 1 x2 1 x 1 1 5 ax2 1 ax3 1 bx 1 bx2 1 c 1 cx 1 x 1 1x3 1 x2 1 x 1 1 5 ax3 1 (a 1 b)x2 1 (b 1 c 1 1)x 1 c 1 1a 5 1a 1 b 5 1 b 5 0b 1 c 1 1 5 1 c 5 0Logo, q(x) 5 x2 q(1) 5 1.Resoluo:P(x) (6x 5x 3)(x x)P(x) 6x2 245 1 1 2 25 27xxx 2x 10x2x3 22 21 5 5 25 2 5 2 2 21 0 1212 6 124xr p r( ) ( ) 112 2 12 10 126 1161812 5 53 2( ) ( ) ( )2 2 2 25 ? 1 2 1 5 r620 (UFOP-MG) Sejam os polinmios P(x) 5 x 2 3 e Q(x) 5 4(A 1 B)x2 1 2(B 1 C 2 A)x 1 (A 1 C).a) Determine A, B, C IR, de modo que P(x 3) 2 5 Q x2( ).b) Determine o quociente e o resto da diviso de Q(x) por P(x).21 (UFPE) Considere o polinmio p(x) 5 3x3 2 mx2 1 nx 1 1, em que m e n so constantes reais. Sabe-se que p(x) divisvel por g(x) 5 x 2 2 e que deixa resto igual a (212) quando dividido por h(x) 5 x 1 2.Nessas condies, tem-se:a) 9 e n c) e n e)b) e nm m m nm5 2 5 5 5 5 55 5 274 9 5 674 99 7474d) e n m 5 2 5 p. 77A B C 5 2 5 5 27373113; e2 e 0Resoluo:a) P(x 3)4(A B) 2(B2 5 25 1 1xQ x x62 22( ) ( ) 11 2 1 15 1 1 1 2 1 1C ) (A C)(A B)x (B C A)x2A xQ xA CA22( )( )11 5 5 21 2 5 1 51 5 2 2 5B A BB C A CA C C01 16 62B (I)B (II)De (I) e (II), vem: B e C 113Ent5 5 273 .o: A 73b) A 73 B 735 21 5 2 5 1 2 5 2 1 5 5.B C A73 0 1137333 1173113183 6 A CA1 5 2 2 5 2 5 25 1 1 1 2 Q(x) 4(A B)x 2(B C )2xx Q(x) 6)Q(x) 2x 2(x 3)Q(1 1 5 ? 1 25 2 5 2( ) ( A C x 2 16xx)P(x)2(x 3)xQ(x) divisvel por P(x5 22 53 2)); portanto, o resto zero.Resoluo:p(2) 4m 2np( 2)5 2 1 1 52 5 2 2 20 24 1 012 24 44m 2nDa: 4m4mm2 1 5 22 1 5 22 2 551 122 252 117nn 449 n 5 2722 (Unimep-SP) O resto da diviso do polinmio (x2 1 x 2 1)60 1 (x 2 2)30 por x 2 1 :a) 21 c) 1 e) nenhuma das alternativasb) 0 d) 2 anteriores23 (UFPI) Seja R(x) o resto da diviso do polinmio P(x) 5 x5 2 10x3 1 6x2 1 x 2 7 porD(x) 5 x(x 2 1)(x 1 1). Ento, pode-se afirmar que: a) R(1) 5 29 c) R(21) 5 8 e) R(x) 5 x2 2 8x 1 7b) R(0) 5 7 d) R(2) 5 224 (Uneb-BA) Se o polinmio ax3 1 3x2 2 8x 1 b divisvel por x2 2 4, ento ab i