PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO ... de...meu lado. Ao meu marido Reginaldo do Prado, que apostou na minha vitória, sempre com uma palavra de confiança, não permitindo

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

SONIA DE CASSIA SANTOS PRADO

O uso da calculadora e o Pensamento Matemático

Avançado: uma análise a partir das Situações de

Aprendizagem nos Cadernos do Professor de Matemática

da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

SÃO PAULO

2012

2

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

SONIA DE CASSIA SANTOS PRADO

O uso da calculadora e o Pensamento Matemático

Avançado: uma análise a partir das Situações de

Aprendizagem nos Cadernos do Professor de Matemática

da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como

exigência parcial para obtenção do título de MESTRE em

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Profª.

Drª. Barbara Lutaif Biachini.

SÃO PAULO

2012

3

Banca Examinadora

_________________________________

_________________________________

_________________________________

4

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou

parcial desta dissertação por processos de fotocopiadora ou eletrônicos.

Assinatura: __________________________________ São Paulo, ___ / ___ / _____.

5

Dedico este trabalho à minha avó Juracy (in

memorian), pelo exemplo de força e determinação,

por ser a principal responsável pela minha formação,

e por ter me proporcionado momentos

inesquecíveis.

À minha mãe Zilda, por toda entrega e paciência, à

minha filha Isadora, por toda espera e silêncio e ao

meu amado Reginaldo, por toda firmeza, confiança,

compreensão e amor.

6

AGRADECIMENTOS

A Deus, por ser meu consolo, minha fortaleza, meu

refúgio e a luz para o meu caminho, guiando-me

todos os dias de minha vida.

À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo,

pelo incentivo à pesquisa, promovendo o

desenvolvimento deste trabalho.

À Professora Doutora Barbara Lutaif Bianchini, por

toda paciência, compromisso, dedicação e carinho

para com esta pesquisa.

Às Professoras Doutoras Celina Abar e Odete

Sidericoudes, pelas contribuições valorosas para o

êxito desta pesquisa.

A todos os Professores do Programa de Pós-

-Graduação de Mestrado Acadêmico em Educação

Matemática da PUC-SP, dos quais tive a honra de

receber ensinamentos ímpares para a minha

formação.

A todos os meus colegas de curso, pelos momentos

de estudos e alegrias compartilhados, em especial

João Pereira Viana Filho e Fábio Rodrigues de

Siqueira, por termos, além de um grupo de estudo,

uma grande amizade, que transcenderá os tempos.

A todos os integrantes do Grupo de Pesquisa em

Educação Algébrica, pelas contribuições.

Às minhas amigas, Marilda Palermo, Brigitte Bedin e

Denise Alonso pelas palavras de força e incentivo,

sempre.

Aos meus eternos companheiros, Valéria, Eduardo e

Luciana Ferreira dos Santos e às famílias Ferreira e

Luna por estarem sempre presentes em todos os

7

momentos de minha vida, independentemente das

circunstâncias.

À minha mãe Zilda dos Santos por ser a mãe da

minha filha, nos momentos em que tive que me

ausentar para a realização deste trabalho, sempre

atenciosa aos menores detalhes, para fazer deste

processo o mais confortável possível.

À minha filha Isadora Santos Prado por esperar por

mim pacientemente, sem questionar, sempre com

um sorriso, lembrando-me de que ela continuava ao

meu lado.

Ao meu marido Reginaldo do Prado, que apostou na

minha vitória, sempre com uma palavra de

confiança, não permitindo que esmorecesse,

incentivando-me a chegar do outro lado da ponte e a

superar todos os obstáculos.

Às minhas primas-irmãs Grace e Tânia por

participarem de todas as etapas da minha vida.

À minha família que sempre torceu pelo meu

sucesso.

E por último e não menos importante, para a minha

avó, Juracy de Moraes Santos, responsável pela

pessoa que sou hoje, por uma identidade, por ter me

propiciado um lugar ao Sol.

Muito obrigada!

8

A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos, como também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. Descartes

9

RESUMO

O trabalho a seguir apresenta uma pesquisa qualitativa do tipo documental que tem como objetivo investigar a inserção do uso da calculadora nas Situações de Aprendizagens propostas ao Ensino Fundamental II, da rede pública do Estado de São Paulo nos Cadernos do Professor, à luz do Pensamento Matemático Avançado. Para tanto nos orientamos pelos três polos cronológicos da Análise de Conteúdo, pré-analise, exploração do material e tratamento dos resultados, inferência e interpretação, de forma a investigar as orientações dadas sobre a abordagem realizada a partir das Situações de Aprendizagem propostas no Caderno do Professor de Matemática (2009), distribuído a toda rede pública estadual. A motivação sobre a escolha deste tema se fez porque a utilização da calculadora como recurso para a aprendizagem em matemática, mesmo apresentando a característica facilitadora na investigação de situações-problema e sua utilização prevista nos documentos oficiais que orientam as práticas e o uso de tecnologias no Ensino Fundamental, ainda não é suficiente. Desta forma, buscamos elementos nas ideias do Pensamento Matemático Avançado sobre como um conceito matemático pode ser compreendido pelo aluno, segundo a interação entre os processos mentais das componentes: representação, visualização, generalização, síntese e abstração a partir da utilização da calculadora. Para embasar ainda esta pesquisa, pautamo-nos nas orientações contidas nos documentos oficiais: Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental II (1998), Proposta Curricular de Matemática (2008), Currículo de Matemática (2010), nos Cadernos do Professor de Matemática (2009) e nas pesquisas realizadas acerca da utilização deste recurso pedagógico. Subjetivamente, apresentamos a análise das Situações de Aprendizagens que, em algum momento de seu desenvolvimento sequencial, propuseram a utilização deste recurso pedagógico, observando quais das componentes do Pensamento Matemático Avançado poderiam ser desenvolvidas, nas quais encontramos dentre 64 Situações de Aprendizagem propostas as séries do Ensino Fundamental II, 8 atividades que, ao longo de seu desenvolvimento, solicitaram a utilização deste recurso em alguma seção, e se as referidas atividades promoviam o desenvolvimento das componentes do Pensamento Matemático Avançado: representação, visualização, generalização, síntese e abstração.

Palavras-Chave: Educação Algébrica; Calculadora; Pensamento Matemático

Avançado; Caderno do Professor de Matemática.

10

ABSTRACT

The aim of this documentary qualitative research is to investigate the insertion of the use of the calculator in “Learning Situations” proposed to students from Ensino Fundamental II (from 5th to 9 th grade), from the São Paulo State public school in “Teacher’s Notebooks”, using the Advanced Mathematical Thinking. In order to do so, we used the three main chronological points from Content Analysis, pre-analysis, exploring the material and treating the results, inference and interpretation, to investigate the given orientations about the approach from the “Learning Situations” from the “Mathematics Teacher’s Notebooks” (2009), distributed to all the state’s teaching public network. The motivation to choose this theme has come from the fact that the usage of calculators as a resource to learning Maths is still not enough, even though it is known that they help to investigate problem-situations. The usage of calculators is motivated in the official documents that guide the technologies in Ensino Fundamental II. Thus, we have searched elements in ideas of Advanced Mathematical Thinking on how a Mathematical concept can be understood by the student, according to the interaction of the mental processes of the components: representation, visualization, generalization, synthesis and abstraction from the use of the calculator. To reinforce the grounds for this research, we have followed the orientations from official documents: Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental II (1998), Proposta Curricular de Matemática (2008), Currículo de Matemática (2010), and “Mathematics Teacher’s Notebooks” (2009) and in researches made about the utilization of this pedagogical tool. Subjectively, we present the analysis of “Learning Situations”, by using previously established categories that, in some point of its sequential development, proposed the utilization of this pedagogical resource, seeing which of the components of Advanced Mathematical Thinking could be developed. We have found, among 64 “Learning Situations” proposed to the grades from Ensino Fundamental II, 8 activities that, along by its development, asked to use this resource in some section, and the representation is in 8 activities, the visualization is in 6 activities, the generalization is in 5 activities, the synthesis is in 8 activities and the abstraction is in 7 activities.

Keywords: Algebraic Education; Calculator; Advanced Mathematical Thinking;

Mathematics Teacher’s Notebooks

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Conteúdos do 1º Bimestre da Proposta Curricular-Ciclo II ......................... 64

Figura 2: Conteúdos do Currículo de Matemática 6ª série/7º ano do Ensino Fundamental II ............................................................................................ 67

Figura 3: Capas dos Cadernos do Professor de Matemática .................................... 68

Figura 4: Ficha do Caderno do Professor do 6º ano ................................................. 69

Figura 5: Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental ..... 70

Figura 6: Ficha de Situação de Aprendizagem 1 do 1º bimestre do 6º ano .............. 72

Figura 7: Ficha de Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental ............................................................................................... 73

Figura 8: Ficha da Situação de Aprendizagem 1 do 2º bimestre do 6º ano .............. 77

Figura 9: Soroban ...................................................................................................... 79

Figura 10: Representação numérica com o uso do Soroban .................................... 79

Figura 11: Construindo um Soroban ......................................................................... 80

Figura 12: Leitura do Soroban – I Parte .................................................................... 81

Figura 13: Leitura do Soroban – II Parte ................................................................... 82

Figura 14: Representação de números decimais com a utilização do Soroban – I Parte ......................................................................................................... 83

Figura 15: Representação de números decimais com a utilização do Soroban – II Parte ......................................................................................................... 84

Figura 16: Representação de números decimais com transformações utilizando o Soroban .................................................................................................... 85

Figura 17: Ficha da Situação de Aprendizagem 3: Polígonos e Ladrilhamento do Plano ........................................................................................................ 88

Figura 18: Polígonos ................................................................................................. 89

Figura 19: Decomposição dos Polígonos .................................................................. 90

Figura 20: Heptágono ................................................................................................ 91

Figura 21: Tabela de polígonos ................................................................................. 91

Figura 22: Tabela dos polígonos regulares ............................................................... 92

Figura 23: Atividade 3 ............................................................................................... 92

Figura 24: Atividade Experimental ............................................................................. 93

Figura 25: Anexo da atividade experimental ............................................................. 93

Figura 26: Cálculo dos divisores de 360º .................................................................. 94

Figura 27: Tabela dos divisores de 360º ................................................................... 95

Figura 28: Ladrilhamento de hexágonos ................................................................... 95

12

Figura 29: Ficha da Situação de Aprendizagem 2 do 4º bimestre do7º ano ........... 100

Figura 30: Pesquisa Individual ................................................................................ 101

Figura 31: Fórmulas na Geometria .......................................................................... 102

Figura 32:Cálculo da Área do triângulo ................................................................... 103

Figura 33: Cálculo da Média Aritmética ................................................................... 103

Figura 34: Pesquisa individual ................................................................................. 104

Figura 35: Leitura e análise: Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda? .. 104

Figura 36: Leitura e análise ..................................................................................... 105

Figura 37: Atividade 7 da Situação de Aprendizagem 2 .......................................... 106

Figura 38: Atividade 8 ............................................................................................. 107

Figura 39: Atividade 9 – I Parte ............................................................................... 108

Figura 40: Atividade 9 – II Parte .............................................................................. 109

Figura 41: Ficha da Situação de Aprendizagem 3 ................................................... 111

Figura 42: Leitura e análise ..................................................................................... 112

Figura 43: Você aprendeu? ..................................................................................... 113

Figura 44: Pesquisa Individual ................................................................................ 114

Figura 45: Lição de casa ......................................................................................... 114

Figura 46: Notação Científica – I Parte ................................................................... 115

Figura 47: Notação Científica – II Parte .................................................................. 115

Figura 48: Leitura e Análise do texto ....................................................................... 116

Figura 49:Você aprendeu? Número googol............................................................. 116

Figura 50: Usando a Calculadora – I Parte ............................................................. 117

Figura 51: Usando a Calculadora – II Parte ............................................................ 118

Figura 52: Você Aprendeu? – I Parte ...................................................................... 119

Figura 53: Você Aprendeu? – II Parte ..................................................................... 120

Figura 54: Você Aprendeu? – III Parte .................................................................... 120

Figura 55: Pesquisa Individual – I Parte .................................................................. 121

Figura 56: Pesquisa individual – II Parte ................................................................. 121


Figura 58: Situação de Aprendizagem 4, 1º bimestre, 8º ano ................................. 125

Figura 59:Leitura e Análise do texto- I Parte ........................................................... 126

Figura 60: Leitura e Análise do texto II .................................................................... 127

Figura 61: Bits, bytes e potência de base 2 ............................................................ 128

Figura 62: Representação das informações armazenadas ..................................... 129

Figura 63: Você aprendeu? Leitura dos capacitores I ............................................. 131

13

Figura 64: você aprendeu? Leitura dos capacitores II ............................................. 132

Figura 65: Múltiplos de byte .................................................................................... 132

Figura 66: Múltiplos do byte II ................................................................................. 133

Figura 67: Quando um mebibyte é um megabyte? ................................................. 133

Figura 68: Usando potências para contagem .......................................................... 134

Figura 69:Potência de base 2 .................................................................................. 135

Figura 70: Gráfico da relação entre expoente e quantidade de algarismos da potência. ................................................................................................. 136

Figura 71: Utilização da notação E + n .................................................................... 137

Figura 72: Lição de casa item 6 .............................................................................. 138

Figura 73: Situação de Aprendizagem 1 do 9º ano ................................................. 142

Figura 74: Perspectiva Histórica I ............................................................................ 143

Figura 75: Perspectiva histórica II ........................................................................... 144

Figura 76: Perspectiva histórica III. Você aprendeu? .............................................. 145

Figura 77: Cálculo de ππππ ao longo da história – I Parte ............................................. 147

Figura 78: Cálculo de ππππ ao longo da história- II Parte ............................................. 147

Figura 79: Cálculo do número ππππ ao longo da História – III Parte ............................. 148

Figura 80: Cálculo do número ππππ ao longo da História – IV Parte ............................. 149

Figura 81: Método de Arquimedes para a descoberta do valor de ππππ ....................... 149

Figura 82: Representação do número ππππ - I Parte .................................................... 150

Figura 83: Representação do número ππππ - II Parte ................................................... 151

Figura 84: Frequências absoluta e relativa dos algarismos de ππππ ............................. 152

Figura 85: Razão π no cálculo do perímetro da área do círculo .............................. 155

Figura 86: Razão ππππ no cálculo do perímetro e da área do círculo – I Parte ............ 156

Figura 87: Razão ππππ no cálculo do perímetro e da área do círculo – II Parte ........... 156

Figura 88: Leitura e análise do texto ....................................................................... 157

Figura 89: Você aprendeu? ..................................................................................... 158


Figura 91: Situação de Aprendizagem 4 ................................................................. 161

Figura 92: Leitura e Analise de Texto: O ππππ e a agulha de Buffon – I Parte ............. 162

Figura 93: Leitura e Análise de Texto: O ππππ e a agulha de Buffon – II Parte ............ 163

Figura 94: Leitura e Análise de Texto: O ππππ e a agulha de Buffon – III Parte............ 164

Figura 95: Leitura e Análise de Texto: O ππππ e a agulha de Buffon – IV Parte ........... 164

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LISTA DE TABELAS Tabela 1: Características que diferenciam a Análise de Conteúdo da Análise

Documental. ............................................................................................. 37

Tabela 2: Componentes do P. M.A ........................................................................... 87

Tabela 3: Divisão exata de 360º por divisores exatos. .............................................. 97

Tabela 4: Componentes do P. M. A. ......................................................................... 98

Tabela 5: Componentes do P. M. A. ....................................................................... 110

Tabela 6: Componentes do P. M. A ........................................................................ 125

Tabela 7: Representação na potência de base 2 .................................................... 130

Tabela 8: Representação na potência de base 2 do número 8 ............................... 130

Tabela 9: Componentes do P. M. A. ....................................................................... 141

Tabela 10: Componentes do P. M. A. ..................................................................... 154



Tabela 13: Solicitação do uso da calculadora ......................................................... 166

Tabela 14: Componentes do P. M. A. nas Situações de Aprendizagens analisadas ................................................................................................................................ 167

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LISTA DE ANEXOS

Tabela 15: Componentes do Pensamento Matemático por seção na Situação de Aprendizagem 1: .................................................................................... 179

Tabela 16: Componentes do Pensamento Matemático por seção na Situação de Aprendizagem 3: 7º ano – volume 2 ....................................................... 180

Tabela 17: Componentes do Pensamento Matemático por seção na Situação de Aprendizagem 2 ..................................................................................... 181






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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 18

CAPÍTULO 1 ............................................................................................................. 18

OBJETIVO E QUESTÃO DE PESQUISA ................................................................. 23

CAPÍTULO 2 ............................................................................................................. 29

REFERENCIAL TEÓRICO-METODOLÓGICO ......................................................... 29

2.1 O Pensamento Matemático Avançado ................................................ 29

2.2 Metodologia ......................................................................................... 34

2.2.1 Análise de Conteúdo .................................................................... 34

2.2.2 Campo .......................................................................................... 35

2.2.3 Inferência ...................................................................................... 36

2.2.4 A análise de Conteúdo e a Análise Documental ........................... 37

2.2.5 O Método ...................................................................................... 38

2.2.5.1 A Pré-Análise ...................................................................... 38

2.2.5.2 A exploração do material ..................................................... 39

2.2.5.3 Tratamento dos resultados e interpretação ........................ 40

2.3 Procedimentos Metodológicos ............................................................ 40

CAPÍTULO 3 ............................................................................................................. 42

PRÉ-ANÁLISE DOCUMENTAL ................................................................................ 42

3.1 Levantamento Bibliográfico ................................................................. 42

3.2 Pesquisas sobre a calculadora realizadas pelo GPEA ........................ 52

3.3 Aspectos Curriculares do uso da calculadora no Ensino

Fundamental..................................................................................................55

3.3.1 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental II .... 57

3.3.2 A Proposta Curricular do Estado de São Paulo ............................ 62

3.3.3 O Currículo ................................................................................... 65

3.3.3.1 O Currículo na área de Matemática .................................... 66

3.4 O Caderno do Professor de Matemática (2009) .................................. 68

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CAPÍTULO 4 ............................................................................................................. 75

ANÁLISE DO CORPUS DA PESQUISA .................................................................. 75

4.1 As Situações de Aprendizagem, Calculadora e o Pensamento

Matemático Avançado .......................................................................... 76

4.1.1 Caderno do Professor (2009) 5ª série/6º ano- Volume 2 .............. 77

Situação de Aprendizagem 1 ....................................................... 77

4.1.2 Caderno do Professor (2009) – 6ª série/7º ano – Volume 2 ......... 87


4.1.3 Caderno do Professor (2009) – 6ª série/7º ano - volume 4 .......... 99


4.1.4 Caderno do Professor (2009) – 7ª série/8º ano – Volume 1 ....... 110

Situação de Aprendizagem 3 ..................................................... 110

4.1.5 Caderno do Professor (2009) – 7ª série/8º ano – Volume 1 ...... 125








CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 170

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 175

18

INTRODUÇÃO

Durante minha trajetória na rede pública do Estado de São Paulo, atuando

nos Ensinos Fundamental e Médio desde 1995, discussões sobre como implementar

a prática em sala de aula e quais recursos poderiam auxiliar no processo de ensino

e aprendizagem em Matemática eram assuntos que permeavam as H.T.P.C. (hora

de trabalho pedagógico coordenado).Porém quando o assunto em pauta era a

utilização da calculadora nas aulas de Matemática, as opiniões se dividiam,

visivelmente, entre professores de maneira geral.A utilização desse recurso era mais

bem aceita nas aulas de Física, devido à carga horária inferior à das aulas de

matemática e o volume de cálculos envolvidos nas situações-problema, nos quais os

alunos deviam deter a sua atenção, por conta do programa a ser cumprido.

Com a nova LDB 9394/96 (Lei de Diretrizes e Bases Nacionais) sobre a

Educação Básica, estabeleceu-se a continuidade na formação do professor em

diversos níveis. Logo, capacitações para o aperfeiçoamento do professor foram

promovidas, a partir da parceria entre a Secretaria da Educação do Estado e

algumas instituições superiores.

Formação com tal finalidade terá por fundamentos, segundo a Lei, “a associação entre teorias e práticas, inclusive mediante capacitação em serviço” e “o aproveitamento da formação e experiências anteriores”, adquiridas, estas, não só em instituições de ensino, mas também em outras atividades”, que não de ensino. (CARVALHO, 1998, p. 84)

Em 1997, pude participar do PEC (Programa de Educação Continuada),

promovido pela Secretaria da Educação, na Pontifícia Universidade Católica de São

Paulo, composto por encontros semanais com os professores de Matemática, nos

quais temas foram propostos, e discutidos assuntos sobre a prática do professor e

novas possibilidades de abordagens foram levadas e experimentadas em sala de

aula. Em um dos encontros, o assunto sobre as novas tecnologias foi abordado,

dentre elas, a utilização da calculadora e a possibilidade de sua utilização em

classe. Pautada a partir da apresentação de problemas, foi esta, provavelmente, a

primeira vez que o assunto foi discutido de maneira concreta, ou seja, com

aplicações em sala e apresentação de resultados. Contudo, isso não foi suficiente

para convencer os professores presentes nessa formação continuada das

19

possibilidades de trabalho que poderiam ser desenvolvidas a partir da sua utilização.

Infelizmente esse trabalho se perdeu por conta da mudança de capacitador, mas o

assunto me inquietou.

Continuei participando dos cursos promovidos e sempre o assunto TIC

(Tecnologia da Informação e Comunicação) era levantado, porém a atenção estava

mais voltada para a utilização do computador, possivelmente por conta das primeiras

salas de informática implantadas na rede pública estadual e falta de profissional para

a execução do projeto destinado à Sala de Informática (SAI).

A utilização da calculadora em nossa prática acontecia de maneira acanhada,

seu uso se restringia às aulas de física, ou em aulas de matemática que estavam

vinculadas à apresentação de resultados em alguma capacitação, da qual estava

participando, ou, ainda, nas aulas que envolviam matemática financeira. Mesmo

assim, o assunto me incomodava, pois presenciava alunos em tentativa da

resolução de problemas que não se enquadravam nas situações citadas, usando a

ferramenta, porém não alcançando êxito, pois desconheciam alguns recursos,

impedindo-os de avançar em seus cálculos, ou usando-as apenas em cálculos

simples.

No ano de 2006, a Secretaria da Educação juntamente com a PUC-SP

promoveu um curso de especialização PNUD (Programa das Nações Unidas para o

Desenvolvimento), para professores de Matemática, em que pude, mais uma vez,

me inteirar e desenvolver uma pesquisa, agora envolvendo de maneira mais

profunda as TIC.

Em 2008, por conta dos resultados insatisfatórios nas avaliações externas

SARESP (Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) e

SAEB (Sistema Nacional da Educação Básica) aplicadas em 2007, a Secretaria

Estadual de Educação iniciou a reestruturação curricular, disponibilizando a toda a

comunidade, a nova Proposta Curricular, que propunha uma base comum para a

Educação Básica, composta por materiais complementares: apostilas que foram

nomeadas de Cadernos nas versões para alunos, professores e gestores, que

indicavam os conteúdos mínimos a serem trabalhados ao longo do ano letivo,

divididos em quatro bimestres.

A adesão a esse material, bem como a sua utilização se apresentou de

maneira dividida: ou não era utilizada ou era usada de maneira exclusiva deixando

20

de lado outros tipos de recursos didáticos. Essa postura radical, assim como a

divergência entre o uso da calculadora, passou a inquietar-me um pouco mais.

Após a experiência do curso de especialização e incentivo de ex-professores

do curso, em relação à continuidade da nossa formação, ingressei no Programa de

Pós-Graduação no Programa de Mestrado Acadêmico da Pontifícia Universidade

Católica em 2010, integrando-me ao quadro do GPEA (Grupo de Pesquisa de

Educação Algébrica) no qual expus meu desejo de realizar uma pesquisa

envolvendo tecnologia.

Posteriormente aos relatos das pesquisas de colegas e de nos inteirarmos

sobre as pesquisas desenvolvidas pelo grupo em anos anteriores e, ainda, por

sugestão de uma investigação que envolvesse a utilização da calculadora a partir do

que abordavam os livros didáticos, uma vez que as pesquisas sobre tecnologia

estão mais focadas na utilização do computador em sala de aula, um colega de

grupo João Pereira Viana Filho, também professor da rede Estadual sugeriu que ao

invés da investigação na perspectiva do livro didático, que se trabalhasse o material

distribuído a toda a rede paulista de ensino, por se tratar de um instrumento que

causa divergência na opinião dos professores, e que necessita de um estudo mais

detalhado.

Assim, iniciei a investigação levantando os dados sobre a solicitação do uso

da calculadora nos Cadernos utilizados pelos alunos nos Ensinos Fundamental II e

Médio, pautando-me nos comentários realizados no Caderno do Professor sobre tal

assunto.

Iniciada a pesquisa, optamos como referencial metodológico pelas etapas da

Análise de Conteúdo, segundo Bardin (1991), pré-análise, exploração do material e

interpretação e tratamento dos resultados com a finalidade de realizar uma diferente

interpretação do material, buscando romper com o senso comum sobre ele, e por se

tratar de um recurso distribuído em grande escala.

Participando das disciplinas oferecidas pelo programa, pude me aprofundar

em algumas teorias da Educação Matemática, dentre elas, a do Pensamento

Matemático Avançado (PMA) segundo Dreyfus (1991), no desenvolvimento da

produção de um artigo para a disciplina de Didática II.

Interessei-me pelas ideias teóricas de Dreyfus, devido ao seu enfoque quanto

ao desenvolvimento cognitivo, que se estabelece a partir dos processos que

envolvem a compreensão, e que podem propiciar ao aluno a passagem do

21

pensamento matemático em um nível elementar, ou seja, em que o sujeito ainda não

apresenta elementos suficientes para a apreensão de um novo conceito, para o

Pensamento Matemático Avançado, quando desenvolvidas adequadamente as suas

componentes. Destacaremos, para esta pesquisa, a representação, a visualização, e

generalização, a síntese, a abstração, ideias que serão desenvolvidas com maior

profundidade no Capítulo 2.

Uma das diferentes abordagens para estimular o desenvolvimento dessa

compreensão é a utilização de problemas e das novas tecnologias para auxiliar o

processo, uma vez que os sujeitos não apresentam o mesmo tipo de estrutura

mental para esta compreensão; alguns precisam de situações concretas, outros

podem apenas utilizar-se da estrutura visual, para que se consigam incorporar o

conhecimento adquirido, até então avançado, em demais situações, quando se torna

elementar, ou seja, quando o conceito for formalizado.

Quando os alunos aprendem com compreensão eles são capazes de aplicar esses conhecimentos para aprender novos tópicos e para resolver novos problemas. Este tipo de aprendizagem torna-se fundamental uma vez que estamos a atravessar uma era em que as mudanças tecnológicas são tão rápidas que não nos é possível antecipar as habilidades que os alunos precisam para se tornarem cidadãos competentes. (DOMINGOS, 2001, p. 1)

Para Dreyfus (1991, p. 29):

Utilizando o ambiente de aprendizagem computacional, muitas relações normalmente implícitas, por exemplo, entre as representações, diferentes para o mesmo conceito podem se tornar explicitas. Esta explicitação contribui para o reconhecimento dos estudantes de tais relações e da emergência de ideias relacionadas, em síntese para a formação de conceitos.

Dessa forma, para apresentar os frutos desta investigação, apresento no

Capítulo 1, o objetivo e a questão da pesquisa, que procura enfatizar a importância

desta para a Educação Matemática.

No Capítulo 2, fundamento a pesquisa a partir das ideias teóricas do

Pensamento Matemático Avançado conforme Dreyfus (1991) e a metodologia a

partir dos polos cronológicos da Análise de Conteúdo segundo Bardin (1991).

Ainda para fundamentá-la, apresento no Capítulo 3, os elementos que

constituirão a Pré-Análise, a revisão bibliográfica, com foco na utilização da

calculadora como recurso para mediar a aprendizagem, os aspectos curriculares

22

sobre a abordagem da utilização da calculadora, a partir dos Parâmetros

Curriculares do Ensino Fundamental II (1998), a Proposta Curricular (2008), o

Currículo de Matemática e suas Tecnologias, da rede estadual pública (2010),

Caderno do Professor de Matemática (2009).

No Capítulo 4, realizo a análise do corpus da pesquisa vislumbrando as

Situações de Aprendizagens que solicitam a inserção do uso da calculadora nas

propostas ao Ensino Fundamental II nos Cadernos do Professor, à luz do

Pensamento Matemático Avançado, destacando no tratamento dos resultados, a

cada Situação de Aprendizagem, quais das suas componentes são contempladas

nos desenvolvimentos das atividades.

No Capítulo 5, estão as considerações finais a respeito desta pesquisa,

enfatizando quais as suas contribuições para o nosso crescimento profissional, e

para toda a comunidade da Educação Matemática.

23

CAPÍTULO 1

OBJETIVO E QUESTÃO DE PESQUISA

Esta pesquisa tem como objetivo investigar a inserção do uso da calculadora

nas Situações de Aprendizagem propostas ao Ensino Fundamental II, da Rede

Pública do Estado de São Paulo nos Cadernos do Professor, à luz do Pensamento

Matemático Avançado.

A utilização da calculadora como recurso pedagógico para o processo de

ensino e aprendizagem no Ensino Fundamental II é um assunto que divide a opinião

dos atores escolares (pais, alunos e professores), de forma geral. Apesar de esta

tecnologia estar tão presente na vida de todos, seu uso ainda é criticado,

possivelmente, por conta do sistema de ensino do qual advimos, em que a

expressão do saber matemático estava contida numa série de fórmulas para se

decorar e o domínio sobre as extensas listas de exercícios que requeriam

procedimentos ainda mais extensos. Assim, essa prática quanto à aquisição do

conhecimento por intermédio da sua utilização nas aulas de Matemática, ainda não

é desenvolvida de maneira suficiente, em vista da divisão de opiniões dos

envolvidos a este processo.

Os professores poderão inovar, preocupando-se em estimular a imaginação: promover o desenvolvimento de ideias, encorajar a comunicação e fornecer o apoio perspicaz e paciente de que todos precisam. Entretanto, podemos facilmente perceber, através da observação da realidade em nossas escolas, que muitos professores não concordam com essa nova ordem educacional, pois requer uma revisão em suas práticas pedagógicas. (RÚBIO, 2003, p.39)

SOUSA, A. F (2009) confirma este preconceito quanto à utilização da

calculadora:

Entretanto, ainda observa-se uma grande resistência por meio dos professores em relação ao uso da calculadora em sala de aula, surgindo assim vários argumentos contra, como: acomodação mental, pois, todo o cálculo aritmético pode ser feito na calculadora, trazendo assim dependência da máquina e inibição da aprendizagem; as calculadoras não são usadas em concursos e vestibulares e outras afirmações. (p. 4)

24

Consideramos, ainda, as ideias de Santos, André e Giritana (2004) que

corroboram este discurso sobre a resistência expressa pelos licenciandos em

Matemática quanto à sua utilização:

Durante muitos anos o uso das calculadoras no ensino médio e principalmente no ensino fundamental foi considerado por muitos professores como inadequado. Para estes, a calculadora faz com que o aluno deixe de raciocinar, tornando-se preguiçoso, deixe de desenvolver mentalmente operações simples ou ainda deixe de aprender a realizar manualmente operações que a calculadora executa rapidamente. (p. 1)

A partir da reformulação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional

(LDB) em 1996, um novo panorama foi apresentado para a Educação Básica no

Estado de São Paulo. Documentos oficiais, como os Parâmetros Curriculares

Nacionais dos Ensinos Fundamental e Médio, passaram a orientar as práticas de

maneira a priorizar o desenvolvimento global dos alunos, abarcando todas as

disciplinas componentes do Currículo.

A Matemática, abordada no Ensino Fundamental II, visa desenvolver no

indivíduo a potencialidade despertada a partir dos conhecimentos intelectual, social

e cognitivo, de maneira que possa utilizá-los, posteriormente, em situações diversas

de sua vida. Essa condição é estabelecida sobre uma perspectiva reflexiva que deve

mediar o processo de ensino de aprendizagem, contemplando vários aspectos da

disciplina. Observa-se que o desenvolvimento de seu contexto continua atrelado a

uma prática clássica e tradicional, preservando uma estrutura lógico-matemática

como elemento fundamental para a sua aquisição.

A utilização de recursos didáticos é um importante aliado para a

implementação dessa prática, na busca pelo desenvolvimento da Matemática, nos

diferentes segmentos sociais.

Um dos recursos didáticos que podem acarretar essa mudança é a

calculadora, pois possibilita a elaboração de procedimentos, execução de

estratégias, comparação de resultados e validação dos procedimentos realizados

pelo aluno. O interesse pelo uso dos recursos tecnológicos, como instrumentos que

podem auxiliar na realização de alguns trabalhos, sem anular o esforço da atividade

compreensiva. (BRASIL, 1998, p. 75)

Em sua pesquisa, Melo (2008) evidenciou a resistência na utilização desse

recurso pedagógico em sala de aula. As alegações apresentadas pelos professores

25

que se colocam contra o seu uso são baseadas em ideias distorcidas sobre sua

proposta, seus argumentos são pautados na “preguiça” que o aluno pode expressar

na realização de cálculos que dispensaria fazer com seu uso, na utilização mecânica

do recurso, na falta de raciocínio e confiabilidade nos resultados expressos pela

máquina.

Segundo a investigação de Silva (1989), sua utilização é condenada por uma

série de argumentos apresentados pelos professores quanto à execução de cálculos

– coluna cervical da matemática –, alegando que os alunos se tornam desatentos,

displicentes no momento da abordagem dos cálculos, já que creem no que a

máquina calculará, que deixarão de raciocinar, ou que resolverão os cálculos de

maneira mecânica.

Como consequência dessa postura, o tratamento dado à Matemática por

esses professores mantém enraizada a estrutura de como se determina o cálculo,

em que se valida a resposta alcançada, deixando-se em segundo plano a expressão

do raciocínio e a criatividade, quanto ao caminho seguido para a resolução, pois,

muitas vezes, esses cálculos são expressos como uma receita pronta e acabada,

sem vislumbrar as possibilidades que tal recurso apresenta, enquanto facilitador na

abordagem de outros contextos, haja vista a sua presença em vários segmentos

sociais, bem como profissionais.

A utilização da calculadora na realização de cálculos com estimativas e

arredondamentos, em percentuais, na acomodação de números com representação

numérica decimal na realização dos cálculos, nos cálculos com raízes não exatas,

assim como no que diz respeito à conversão de unidades em estatística, ocorrências

possíveis em cálculos probabilísticos e cálculos financeiros com juros simples e

compostos são alguns exemplos que ilustram como esse recurso pedagógico

acompanha a evolução do mundo.

Devemos lembrar que a calculadora apresenta versões das mais simples às

mais sofisticadas, adequando-se a diferentes necessidades, como as calculadoras

científicas, financeiras e gráficas programáveis, sendo que algumas dessas versões

podem ser encontradas em aparelhos portáteis como o celular.

Os PCNEF (BRASIL, 1998, p.27) discutem a formação básica do aluno como

cidadão, relatando a importância de se ter recursos, para uma participação efetiva e

ágil na resolução de problemas sociais diversos, cuja utilização facilitará o acesso ao

conhecimento e às posições de trabalho, de maneira que não dissocie o papel da

26

escola daquele da sociedade e, sim, que conduza e envolva o aluno de forma a

utilizar os conhecimentos adquiridos e desenvolvidos nos bancos escolares.

Uma exigência que o mundo do trabalho, frente ao desenvolvimento

tecnológico social faz, é que seus trabalhadores sejam versáteis e criativos, capazes

de compreender o processo de trabalho como um todo, e utilizar-se de diferentes

recursos tecnológicos para resolver problemas de diferentes linguagens.

O fato de a utilização da calculadora estar previsto pelos PCNEF (1998) não

conquistou a adesão de muitos profissionais, sendo ainda um obstáculo e um

assunto controverso, discutido entre os pesquisadores da Educação Matemática e

os demais envolvidos no processo de ensino e aprendizagem, ao longo do

estabelecimento dessa nova Lei de Diretrizes e Bases nacionais para a Educação

Básica.

Os aspectos sobre a utilização ou não da calculadora, nos inquietava e

interferiam diretamente sobre a nossa atuação. Quando o material era solicitado aos

alunos, o pedido precisava ser devidamente justificado e esclarecido junto aos pais,

pois alguns não permitiam que os filhos levassem calculadora às aulas de

Matemática. No geral, em nossas aulas, a utilização estava atrelada aos cursos de

formação continuada, do qual participávamos, de forma a apresentar ao final dos

módulos os resultados das atividades ali solicitadas. Mesmo com as orientações

dadas pelos PCNEF (1998) e PCNEM (1998), já com novos complementos PCN+

(2002) dos Ensinos Fundamental e Médio e as Orientações Curriculares para o

Ensino Médio (2006) a base comum de conhecimento sofria alterações, de acordo

com a região de procedência do aluno, pois cada escola se responsabilizava por

delinear o seu perfil, de acordo com o da sua comunidade, em seus Projetos

Políticos Pedagógicos, causando um desencontro de conteúdos, quando o aluno

necessitava mudar de escola.

Em 2008, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (SEESP), iniciou

o processo de reorganização curricular com o intuito de estabelecer uma base

comum de conhecimentos e habilidades, a partir dos conteúdos aos quais os alunos

deveriam ter acesso durante o Ensino Fundamental. No ano de 2010 essa

reorganização que era denominada Proposta Curricular, constituiu o Currículo oficial

das escolas Estaduais da Rede Pública. Uma das iniciativas tomadas pela SEESP

para a implantação desse Currículo foi a distribuição de material complementar no

27

formato de Cadernos para gestor, professor e aluno, bem como esclarecimentos a

toda comunidade escolar e projetos paralelos à sua implantação.

A inserção desse material nas aulas, tal qual o uso da calculadora, causou

polêmica na comunidade escolar, com a sua utilização questionada a todo tempo.

Discursos como falta da liberdade de cátedra do professor, imposição da ordem dos

conteúdos a serem ministrados, materiais com abordagem insuficiente, ou sua

utilização exclusiva, norteavam as discussões semanais, estabelecendo, mais uma

vez, a divisão entre os docentes, ainda que esclarecido o caráter complementar

desse material, aliado aos demais recursos pedagógicos de que o professor

dispunha.

Assim, mais uma vez, nossa prática sofreu indagações e inclinações sobre o

motivo pelo qual se estabelecia tanta controvérsia em torno dessa nova proposta,

que apresentava conteúdos conhecidos, porém com uma abordagem diferente sobre

os assuntos a serem estudados.

Ingressando no curso de Mestrado Acadêmico na Pontifícia Universidade

Católica, pudemos apresentar os resultados de nossa formação continuada, no

trabalho com TIC (Tecnologia da Informação e Comunicação) e o resultado de

nossas experiências ao Grupo de Pesquisa de Educação Algébrica (GPEA) para o

qual fomos encaminhadas, devido a um de seus projetos, intitulado Educação

Algébrica e o uso de Tecnologia da linha de pesquisa: Tecnologia da Informação e

Educação Matemática.

Em seu projeto o GPEA tem como questão norteadora: Qual a álgebra a ser

ensinada em cursos de formação de professores de Matemática? E o que busca

fundamentar as suas pesquisas, a partir das mudanças que vêm afetando a

Educação Matemática, entre elas o rápido desenvolvimento da tecnologia, por ter

influência sobre outras áreas do conhecimento?.

O uso recente de computadores e calculadoras no ensino levanta questões sobre as contribuições das novas tecnologias para o ensino e aprendizagem de matemática, para não mencionar a possibilidade de que essa introdução gere por si só novos problemas de compreensão e raciocínio. (COELHO, MACHADO, MARANHÃO, 2003, p.2)

Na descrição de seu projeto, o GPEA ainda aponta o que revelam as

pesquisas sobre a educação algébrica e a incorporação de tecnologias:

28

A revolução tecnológica proporciona ricos elementos para ensinar e oferece novas possibilidades para a aprendizagem. Existem hoje computadores e calculadoras, acessíveis a estudantes, que realizam cálculos simbólicos, o que devem provocar mudanças de longo alcance nos currículos de matemática – em especial o de álgebra- e no seu ensino. (COELHO, MACHADO, MARANHÃO, 2003, p.4)

Foi utilizada a Análise de Conteúdo de Bardin (1991) como referencial

metodológico por se tratar de um veículo de comunicação em massa, ou seja, para

toda Rede Estadual de Ensino.

Após os primeiros estudos sobre referências teóricas de diversos autores no

decorrer do curso, optamos pelas ideias de Dreyfus (1991) sobre o desenvolvimento

da compreensão de um contexto na mente do aluno intitulado como Pensamento

Matemático Avançado que indicaremos como PMA.

A incorporação da calculadora como recurso didático na resolução de

situações-problema torna-se relevante, devido às potencialidades cognitivas que

podem ser desenvolvidas no aluno, no processo de aprendizagem, mediante seu

uso: agilidade na realização dos cálculos, verificação de acertos ou erros, criação de

estratégias para a resolução, conjecturas, experiência e investigação, uma vez que

se explorará o contexto no qual a situação está envolvida e não somente na técnica.

Pensando ainda no desenvolvimento cognitivo a partir da resolução de

problemas, buscamos vislumbrar nas Situações de Aprendizagem propostas no

Caderno do Professor de acordo com as orientações dada a seguinte questão de

pesquisa:

Que Situações de Aprendizagem, para as quais se sugere a inserção da

calculadora no Caderno do Professor, podem promover no aluno desenvolvimento

do Pensamento Matemático Avançado?

29

CAPÍTULO 2

REFERENCIAL TEÓRICO-METODOLÓGICO

Neste capítulo apresentamos as ideias teórico-metodológicas, que

fundamentam esta investigação.

2.1 O Pensamento Matemático Avançado

Para Dreyfus (1991), a forma sob a qual pode ser concebida a compreensão

na mente do aluno, é estruturada em uma sequência de atividades, na qual

acontece a interação entre os processos mentais e suas componentes: representar,

visualizar, generalizar, classificar, induzir, analisar, sintetizar, abstrair ou formalizar

de maneira intrincada, para que se estabeleça a compreensão na aprendizagem.

A interação entre essas diferentes componentes é denominada Pensamento

Matemático Avançado e sinalizam a forma como ocorre esse processo da

compreensão na mente do aluno, reunindo os aspectos psicológicos aos

matemáticos. Entretanto, é necessária a inclusão de tópicos que permitam aos

estudantes elevarem sua compreensão a um nível mais complexo de resolução, e

que possibilitem, a partir da abstração, formalizar conceitos, associá-los a outros a

partir de imagens mentais já abstraídas incluindo as diferentes formas de

representações. Cada aluno apresenta diferentes representações mentais, quando

pensa a respeito de um mesmo objeto matemático, cuja representação, por sua vez,

gera uma imagem (símbolo, desenho, número, letra) que o aluno utiliza para agir

com o mundo externo.

No entender de Dreyfus (1991, p.36), quando um aluno desenvolve a

capacidade de, conscientemente, fazer abstrações de situações matemáticas,

alcança um nível mais alto do pensamento matemático. Como pré-requisito para que

esta abstração aconteça, além do processo de representar, são necessárias a

generalização e a síntese.

Como um dos elementos do Pensamento Matemático Avançado, Dreyfus

(1991) considera a reflexão sobre a prática. Esse elemento torna necessário que o

30

professor priorize, em sua atuação, ações que promovam e estimulem o

desenvolvimento e o pensamento matemático que o aluno já possui, com situações

que o encaminhem ao processo de descoberta de um conceito, e não apenas ao

seu produto final.

A maneira como os contextos algébricos são tratados no processo de ensino

e aprendizagem, desde os primeiros anos escolares até o curso superior, pode

estabelecer uma estrutura voltada a fragmentação do conhecimento matemático,

como se houvesse uma separação entre os campos pertinentes à Matemática. O

professor responsável pelo processo de transposição, de forma geral centraliza a

sua prática na execução de programas delimitados, nos quais tenta abordá-los de

maneira cronologicamente organizada. Essa abordagem é articulada a partir de

aplicações na Matemática e em outras áreas do conhecimento, embasadas em

teoremas, apresentados de maneira formal, pronta e inquestionável.

Para o professor adepto desse tipo de prática, a vantagem na utilização do

formalismo, focando-se somente no que for conveniente a uma turma dada, série ou

curso, o levaria ao final do programa previsto. No entanto, entende-se que as ideias

concebidas pela Matemática foram criadas a partir de necessidades

socioeconômicas de vários povos, utilizando-se da intuição, imprecisões e com

diferentes representações que não necessariamente por um número ou letra.

[...] sabe-se muito bem que a matemática não foi criada em sua forma polida e acabada, mas por meio de tentativas e erro, por meio de afirmações parcialmente corretas (e parcialmente incorretas), por meio de formulações intuitivas nas quais foram intencionalmente introduzidos termos soltos e imprecisões por meio de desenhos que tentam apresentar visualmente partes presentes nas estruturas matemáticas sobre as quais se está pensando, por meio de mudanças dinâmicas feitas nesses desenhos, etc. (DREYFUS, 1991, p. 27)

Para corroborar as concepções de Dreyfus, está nos PCNEF (1998, p. 19):

No ensino da Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste em

relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas,

figuras); outro consiste em relacionar essas representações com princípios e

conceitos matemáticos.

Dreyfus (1991) apresenta em Advanced Mathematical Thinking Processes

considerações sobre a aplicação de problemas para alunos considerados bem

preparados de um curso Cálculo, quanto à resolução de problemas que fugiam do

padrão estabelecido pelo formalismo em que, surpreendentemente, nenhum dos

31

alunos respondeu a situação-problema de maneira totalmente correta: Encontrar, no

mínimo, uma solução para a equação 4x3–x4 =30, ou explicar por que essas

soluções não existem.

Suas considerações indicam que a álgebra ensinada, está baseada na

realização de inúmeros procedimentos padronizados, formalizados por intermédio de

questões que envolvem repetições (rituais). Apesar de demonstrarem certo

conhecimento matemático, esse não é suficiente para a resolução de problemas

desconhecidos.

Uma das ações que podem colaborar para o desencadeamento desse

processo matemático é a resolução de problemas na construção de conceitos, pois

exige que o aluno realize atitudes organizadas em relação ao que lhe é exposto, a

partir da interpretação, estabelecendo em seu pensamento uma sequência de

operações em busca da solução.

[...] a maioria dos professores do Cálculo gostaria que seus alunos fossem capazes de responder perguntas como: Que condições são suficientes para garantir que a função f(x) = ax3 +bx2 +cx + d seja crescente em x = 0? E de começar imediatamente o procurar um erro quando veem um resultado que tem, obviamente, o sinal errado, como em 211

1

1

1

12 −=

−=

−−

∫ xd x

x .

(DREYFUS, 1991, p.28)

A resolução de um problema, no entender de Tall (1991 apud DOMINGOS,

2001, p.5), não deve basear-se numa teoria como técnica para resolução de

exercícios e sim como uma atividade criativa, que inclua a formulação de

conjecturas, proposta por uma sequência para testar atividades, modificando-as e

redefinindo-as, até o momento em que será possível estabelecer uma prova, dado

um teorema, transcendendo de um conceito geral para a demonstração formal.

Segundo Ruthven (1989 apud DREYFUS, 1991, p.29) na inserção de uma

proposta cuja abordagem pretendia ensinar métodos numéricos no laboratório de

computação, partindo da tentativa-gráfica propiciada pela máquina em paralelo a

uma construção analítica, revelou aos estudantes que a utilização da calculadora-

-gráfica como recurso para a resolução desse tipo de cálculo serviu de aporte para

que visualizassem sob o fenômeno de estudo, relações que desconheciam.

Os computadores podem servir como ferramentas heurísticas para os matemáticos e estudantes de matemática de forma muito parecida como um microscópio serve o biólogo: se a ferramenta está direcionada para fenômenos interessantes e focalizado corretamente, ela pode mostrar um

32

quadro inesperado, muitas vezes visual, do fenômeno sob estudo, e isso leva a novas ideias, para o reconhecimento de relações antes desconhecidas. (DREYFUS, 1991, p.30)

Com a utilização de recursos tecnológicos em sala, auxiliando na resolução

de problemas, é provável que se alcance a apreensão de conceito em um número

maior de alunos, pois eles facilitam a aquisição de diferentes tipos de representação

para um mesmo conceito.

Para tanto, é necessário que o professor seja conhecedor dos recursos que

vai usar, para que possa fazê-lo adequadamente, bem como as componentes do

Pensamento Matemático Avançado, para que seja possível vislumbrar o seu

desenvolvimento nas atividades que irá propor.

A generalização é a componente responsável pela transição dos casos

particulares para um caso geral, em que o aluno pode expressar a formalização de

um conceito, como na convergência de uma sucessão de números para a

convergência da ideia de função, por exemplo, identificando-se a condição para n

casos e estabelecendo o seu domínio de validação, isto é, para um grande número

de casos.

Generalizar é derivar ou induzir a partir de indicações que identificam pontos comuns, para expandir os domínios de validade. Então, a generalização ocorre quando é estabelecida a transição de casos particulares para um caso geral. (DREYFUS, 1991, p.35)

Além da generalização, a síntese é outra componente do Pensamento

Matemático Avançado responsável pela ascensão da abstração, na qual as

estruturas mentais são construídas mais a partir de estruturas matemáticas, na

busca do aluno pelas propriedades e relações, do que propriamente na definição do

objeto matemático.

É a síntese que proporciona ao aluno a combinação ou a composição das

partes de um conceito, quando trabalhados de maneira isolada. Podemos citar como

exemplo, no estudo das funções, ser necessário que os alunos saibam outros

tópicos relacionados a esse contexto, como grandezas direta e inversamente

proporcionais, estudo da imagem e domínio, por exemplo, para que, no momento em

que lhe for solicitado o novo contexto, ocorra o reconhecimento desses tópicos

anteriormente mencionados. Para tanto, é desejável que na prática em sala de aula,

o professor proponha atividades que encaminhem o aluno a realizar o processo de

33

síntese, a fundir aspectos diferentes de um conceito em um mesmo domínio

matemático ou em diferentes domínios.

A representação tem um papel importante no desenvolvimento cognitivo do

aluno, pois envolve a relação entre um símbolo e seu significado, ou seja, a imagem

mental do sujeito sob um objeto matemático e a exposição de seu significado a partir

da sua simbologia. A representação, segundo Dreyfus (1991, p.31), é a

comunicação oral ou escrita sobre um conceito, na qual ocorre a interação entre a

imagem mental (interno) e a sua utilização exterior. O modo com que cada sujeito

realiza a representação é particular e pode exibir uma variação representativa

quanto ao conceito estudado.

Podemos ilustrar como exemplo, que o cálculo do perímetro de um retângulo

cuja medida dos lados é a e b pode ser representado por um aluno nas formas

P = 2x(a+b); ou P= 2a + 2b; ou P = a + a + b + b; ou ainda poderá utilizar-se de uma

figura geométrica para expressar a sua ideia sobre este cálculo.

Associada às representações mentais, a visualização descreve a imagem

gerada dos conceitos matemáticos, ou seja, a materialização dos objetos para a

obtenção dos quais se pode lançar mão de recursos, como por exemplo, um

software para a representação de uma função, a calculadora para a representação

do cálculo de um algoritmo, fórmulas para expressar a relação entre grandezas,

assim como utilizar de todos os aparatos para representar um único conceito.

Entretanto, é importante salientar que este processo deve estar diretamente

relacionado à aquisição de conceitos.

Em casos favoráveis, várias representações mentais para o mesmo conceito podem complementar um ao outro e eventualmente podem ser integradas em uma única representação do conceito. (DREYFUS, 1991, p.32, tradução nossa)1

Para que a abordagem de conceitos matemáticos seja significativamente bem

sucedida, é importante que estejam atreladas às suas diferentes representações

mentais, para que se promova no aluno o domínio sobre os vários aspectos que a

compõem, permitindo que eles as utilizem de acordo as situações--problema

requeridas em sala ou não.

1 In more favorable cases, several mental representations for the same concepty may complement each other and eventually may be integrated into single representation of that concept. (DREYFUS, 1991, p.32)

34

2.2 Metodologia

2.2.1 Análise de Conteúdo

Para a realização desta pesquisa utilizamos uma metodologia com

características qualitativa do tipo documental, a Análise de Conteúdo definida por

Bardin (1991).

A investigação qualitativa possui expressões variadas, devido às diferentes

utilizações. Bogdan e Biklen (1994, p.16) utilizam-se da expressão investigação

qualitativa como um termo genérico que agrupa diversas estratégias de investigação

que partilham determinadas características.

As pesquisas qualitativas são caracteristicamente multimetodológicas, isto é, usam uma grande variedade de procedimentos e instrumentos de coleta de dados. Podemos dizer, entretanto, que observação (participante ou não), a entrevista em profundidade e a análise de documentos são os mais utilizados, embora possam ser contemplados por outras técnicas. (MAZZOTTI e GEWANDSNAJDER, 1999, p. 163)

De acordo com Bardin (1991, p.28), a utilização da investigação de

documentos, tem como propósito se desprender de um olhar ingênuo e de afastar-se

da compreensão espontânea, tornando-se desconfiado,lutando contra as evidências.

Tal atitude de “vigilância crítica” exige o rodeio metodológico e o emprego de

técnicas de rupturas, ou seja, estabelecendo planos de investigação com a

finalidade de dizer não à leitura simples do real.

A abordagem de investigação qualitativa exige que o mundo seja examinado com a ideia de que nada é trivial, que o mundo tem potencial para construir uma pista que nos permita estabelecer uma compreensão mais esclarecedora do nosso objeto de estudo. (BOGDAN e BIKLEN, 1994, p. 49)

Segundo Mazzotti e Gewandsnadjer:

Considera-se como documento qualquer registro escrito pode ser usado como fonte de informação. [...] podem nos dizer muita coisa sobre os princípios e normas que regem o comportamento de um grupo [...] No caso da educação, livros didáticos, registros escolares, programas de curso, planos de aula, trabalho de alunos são muito utilizados. (1999, p 169)

35

Utilizar a Análise de Conteúdo como referencial metodológico significa

afastar-se da compreensão espontânea. É preciso estar vigilante, ler além do real,

buscar mais do que significados imediatos.

Objetiva em seu método, a ultrapassagem da incerteza: Será que o que julgo ver, todos veem da mesma forma, ao ponto de ser generalizável? e o enriquecimento da leitura: a partir de uma leitura atenta pode-se evidenciar elementos suscetíveis a que não se tinha compreensão anteriormente. (BARDIN, 1991, p. 29)

Tem-se, então, como característica dessa teoria, o rigor e a descoberta que

prezam elementos que vão além do que é aparente. Segundo Bardin (1991), a

Análise de Conteúdo deveria ser aplicada a qualquer tipo de comunicação, ou seja,

como uma função heurística, instigando a descoberta, ou como uma função

administradora da prova, isto é, a sua confirmação.

Geralmente, as duas funções se complementam ao longo de uma análise,

quando a investigação trata de algo pouco explorado, em que as problemáticas e as

técnicas utilizadas estão ausentes. Quando se conhece a problemática, podem-se

construir novos instrumentos que favoreçam novas interpretações, num crescimento

progressivo, na qual as técnicas vão-se aprimorando continuamente. É um método

empírico, dependente do que se pretende interpretar no objeto de estudo.

2.2.2 Campo

A Análise de Conteúdo é um conjunto de técnicas de análise de comunicação.

Pode se apresentar uma série de instrumentos, ou um único deles, com

características diferentes e adaptáveis aos diversos tipos de investigação de acordo

com o objeto de estudo.

De acordo com que pretendemos apresentar na pesquisa, a Análise de

Conteúdo contempla o objeto quando o campo trata, segundo Bardin (1991) de

desmascarar a axiologia subjacente aos manuais escolares, ou seja, aqueles

provenientes do senso comum, os quais são utilizados como verdades

inquestionáveis.

Em última análise, qualquer comunicação, isto é, qualquer transporte de significações de um emissor para um receptor controlado ou não por este,

36

deveria poder ser escrito, decifrado pelas técnicas de análise de conteúdo. (BARDIN, 1991, p.32)

A Análise de Conteúdo sistematiza-se por dois critérios:

• O número de pessoas implicadas na comunicação (grupo restrito);

• A natureza do código e do suporte da mensagem (linguística).

Seu interesse não está na descrição do objeto e sim nas considerações que

podem ser feitas após estudarmos o assunto a ser tratado, com o objetivo de inferir

condições de produção nos textos, descobrindo, suscitando a partir da análise

documental, de acordo com os vestígios deixados, de forma que se evidenciem

quais as causas que conduziram a um determinado enunciado, e quais as

consequências podem provocar. É a partir das evidências (vestígios) deixadas, que

o analista terá condições de inferir sobre o objeto de análise.

2.2.3 Inferência

Segundo a definição de Bardin (1991), a Análise de Conteúdo é um conjunto

de técnicas da análise das comunicações que utiliza procedimentos sistemáticos e

objetivos de descrição do conteúdo das mensagens. Seu interesse não está em

descrever os conteúdos, e sim no que estes poderão ensinar após serem tratados,

como, por exemplo, a classificação de um objeto em relação a outros. Isso posto, é

necessário que, ao realizar uma análise, se coloque em evidência o documento que

se pretende analisar.

A análise de conteúdo possibilita que o leitor adquira informações

suplementares, quando este quer debruçar-se mais sobre um texto, aprofundando-

-se num foco central, apoiando-se nos elementos construtivos da comunicação,

mensagem e seu veículo e os polos de inferência (emissor e receptor)

• Emissor: é o produtor da mensagem.

• Receptor: é um grupo de indivíduos para quem se direciona a

mensagem com finalidade de ação ou adaptação desse material.

• A mensagem: é o material, o ponto de partida e o indicador que

possibilitará a análise. Canal, instrumento, objeto técnico de investigação.

Para se limitar ao seu conteúdo é necessário revelar o que a leitura

37

evidencia, quais temas estão presentes no discurso, e se os mesmos estão

ligados a outras estruturas de significações.

2.2.4 A análise de Conteúdo e a Análise Documental

O motivo da vinculação da Análise de Conteúdo à Análise Documental é por

apresentarem analogias em algumas características. Assim, é importante confrontá-

-las, para posteriormente diferenciá-las, explicitando a especificidade e o campo de

ação.

Para Bardin (1991), a Análise Documental é uma operação ou o conjunto de

operações visando representar o conteúdo de um documento sob forma diferente da

original, com a finalidade de facilitar num estado ulterior, sua conduta e

referenciação. Assim, o tratamento da informação contida nessa análise busca

transmiti-la, permitindo o fácil acesso para o observador, de maneira quantitativa,

demonstrando maior pertinência nos aspectos qualitativos.

A análise possibilita a um documento a condensação de sua forma original

em resumos, abstract, recebendo um formato adequado para bancos de dados ou

indexação por palavra-chave. Sendo assim, a realização desta análise se limita de

acordo com a temática.

Tabela 1: Características que diferenciam a Análise de Conteúdo da Análise Documental.

Análise de Conteúdo Análise Documental

Trabalha com mensagens. Trabalha com documentos.

Análise categorial: técnicas da análise

de conteúdo.

Classificação – indexação.

Manipulação de mensagens para

evidenciar indicadores que permitam

inferir sobre outra realidade que não a

da mensagem.

Representação condensada da

informação, para consulta e

armazenagem.

Fonte: A autora

38

2.2.5 O Método

O método de aplicação da Análise de Conteúdo se aplica em três polos

cronológicos segundo Bardin (1991, p.95):

• A pré-análise

• A exploração do material;

• O tratamento dos resultados, a inferência e a interpretação.

2.2.5.1 A Pré-Análise

É a fase de organização do que será analisado de modo que as ideias iniciais

se tornem sistematizadas, conduzindo ao desenvolvimento analítico. Para que isso

ocorra de maneira flexível, porém precisa, a fase de pré-análise divide-se em três

etapas que, embora articuladas dependentemente, não transcorrem sempre da

mesma forma: a escolha do documento; formulação da hipótese; e formulação dos

objetivos. Este último levanta os indicadores para a fundamentação de uma

interpretação final.

A leitura flutuante é o primeiro contato com o documento, conhecendo o texto

e deixando vir à tona as primeiras expressões e orientações. Lentamente essa

leitura torna-se precisa, a partir da vinculação com outras teorias, com possíveis

aplicações.

A escolha dos documentos é determinada a priori. Seleciona-se uma série de

documentos que possam fornecer informações sobre o problema levantado, o

corpus.

O corpus é o conjunto dos documentos tidos em conta para serem

submetidos aos procedimentos analíticos. (BARDIN, 1991, p.96).

A constituição do corpus implica escolha de regras:

• Regra da exaustividade: utilizar todos os elementos que compõe este

corpus. (p. 97)

• Regra da representatividade: pode-se utilizar, tratar apenas de uma

amostra, desde que seja possível, ou seja, haja representatividade

suficiente. (p.97)

39

• Regra da homogeneidade: os documentos utilizados devem obedecer ao

mesmo critério de escolha. (p.98)

• Regra da pertinência: Os documentos que servirão como fonte de

informação devem ser adequados, correspondendo aos objetivos da

análise. (p.98)

A formulação da hipótese dos objetivos é uma afirmação provisória que se

propõe a confirmar ou não, baseada nos procedimentos da análise. Sua origem

advém de nossa intuição, que fica suspensa até o momento da prova. Já o objetivo

é o fim ao qual se propõe o quadro, em que os resultados serão utilizados.

Quando uma hipótese é levantada significa que se está em busca da sua

veracidade, querendo elucidar se a interpretação é sugerida pela análise a priori e

pelo conhecimento que se possui sobre o objeto ou se está baseada nas primeiras

leituras.

2.2.5.2 A exploração do material

Quando todas as fases da pré-análise são concluídas, administram-se

sistematicamente as decisões tomadas. A exploração do material consiste nas

operações de codificação, desconto ou enumeração.

• Codificação

Expressa a razão pela qual se e como se analisa. Por esse motivo, a hipótese

precisa se enquadrar em uma técnica de um quadro teórico. Equivale à

transformação de recorte, agregação de um dado bruto que possibilita uma

descrição do conteúdo a ser analisado.

• Enumeração

Distinção entre a unidade de registro (o que se conta) e a regra de

enumeração (como é contado).

• Categorização

É obrigatória para qualquer Análise de Conteúdo. Uma operação que

classifica de acordo com a semelhança, utilizando um critério semântico, é um

processo estruturalista composto por duas etapas:

40

• O inventário: isola os elementos;

• A classificação: divide os elementos e impõe organização as mensagens.

2.2.5.3 Tratamento dos resultados e interpretação

Quando o analista tem à sua disposição resultados significativos e fiéis,

podendo propor-se inferências e interpretações de acordo com os objetivos

previstos. Posteriormente, servindo de base para uma nova análise, em que se

buscarão novas dimensões.

2.3 Procedimentos Metodológicos

Nesta pesquisa quanto à Análise de Conteúdo, nos concentraremos nos três

polos cronológicos (pré-análise, exploração do material, tratamento dos resultados e

inferência e interpretação) definidos por Bardin (1991).

De forma a atingir o objetivo desta pesquisa, que é investigar a inserção do

uso da calculadora nas Situações de Aprendizagem propostas ao Ensino

Fundamental II da Rede Pública do Estado de São Paulo, nos cadernos do

Professor à luz do Pensamento Matemático Avançado, para a composição desta

etapa da análise recorremos à sistematização das ideias iniciais, de maneira a

organizar as fases de desenvolvimento das operações.

Assim, foram selecionados e organizados os documentos que compõem o

levantamento bibliográfico e que constituíram o corpus da pesquisa, isto é, que

apresentassem relevância ao tema e que pudessem contribuir para a sua

fundamentação, ou seja, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino

Fundamental II (1996), a Proposta Curricular de Matemática e suas Tecnologias da

Rede Pública do Estado de São Paulo (2008), o Currículo de Matemática e suas

Tecnologias da Rede Pública do Estado de São Paulo (2010), os Cadernos do

Professor de Matemática da Rede Pública do Estado de São Paulo (2009), bem

como pesquisas, cujo tema está relacionado à utilização da calculadora em sala de

aula.

41

Para Bardin (1991, p.98), os documentos selecionados devem ser

adequados, enquanto fonte de informação, de modo a corresponderem ao objetivo

que suscita a análise.

Segundo Holsti (1969 apud LÜDKE e ANDRÉ, p.41), o processo de análise

de conteúdo tem início na decisão sobre a unidade de análise, no qual o

pesquisador pode selecionar segmentos específicos para realizar a análise, como,

por exemplo, uma expressão, a frequência com que uma palavra aparece no texto,

um tópico, um tema ou um determinado item.

A seguir, apresentamos algumas considerações observadas na leitura dos

documentos oficiais, nos quais vislumbramos orientações sobre a inserção da

calculadora na resolução das Situações de Aprendizagem do Caderno do Professor

de Matemática, uma vez que, seu uso é previsto pelos Parâmetros Curriculares

Nacionais do Ensino Fundamental II.

42

CAPÍTULO 3

PRÉ-ANÁLISE DOCUMENTAL

3.1 Levantamento Bibliográfico

A implementação das aulas de Matemática, mediante a utilização das TIC –

Tecnologia da Informação e Comunicação – é um desafio para o professor, pois

exige dele não só o domínio sobre os conhecimentos relativos à técnica, ou seja, à

parte operacional, mas também o domínio sobre a forma como esse recurso será

adotado, de modo a contribuir para o desenvolvimento do processo de ensino e

aprendizagem.

[...] professores precisam desenvolver confiança no uso dessas tecnologias e uma atitude crítica em relação a elas. Precisam ser capazes de integra-las as finalidades e aos objetivos da matemática. (PONTE, OLIVEIRA e VARANDAS, 2003, p.23)

A mudança na postura do professor é inevitável, pois não se pode retroceder

a este avanço praticamente diário em todos os setores. Com o desenvolvimento

histórico-social do homem, o volume de atividades que lhe são atribuídas

aumentaram nos diversos setores, que exigiram que a educação se aproximasse

dos aspectos éticos, comportamentais, emocionais e afins, com a finalidade de

alcançar a democratização do ensino. Assim, a busca por instrumentos facilitadores

para essas atribuições e funções ocorreu de maneira concomitante com seu

desenvolvimento.

A busca pela inserção dos novos recursos nas aulas torna-se necessária para

que os alunos, bem como os professores, acompanhem a evolução e rompam com

antigos paradigmas, como aulas com o enfoque tradicional, em que o professor atua

como um transmissor de informações, centralizando em si o conhecimento.

De acordo com Imbernón (2009, p.29), o conhecimento profissional do

professor exerce uma influência sobre outros seres humanos e, portanto, não pode e

nem deve ser uma profissão meramente técnica de “especialistas infalíveis” que

transmitem unicamente seus conhecimentos acadêmicos.

43

A utilização adequada das TIC propicia ao professor a conduta de mediador,

em que a insegurança quanto à utilização dos recursos já dominados pelos alunos

não ocupem espaço. Para tanto, é necessário um investimento à formação

continuada desse profissional, em relação à utilização das tecnologias, de forma que

alie seu conhecimento técnico à prática, a fim de que a condução das aulas

aconteça de maneira dinâmica.

Para o levantamento bibliográfico, apresentamos algumas considerações

sobre as leituras realizadas, que reforçam a investigação sobre o uso das TIC,

especificamente a respeito da utilização da calculadora como um recurso

pedagógico de aprendizagem, encontradas no banco de dissertações e teses da

PUC-SP e da CAPES, além da literatura sugerida no grupo de pesquisa, como os

trabalhos de Valverde (2007) e Borba e Selva (2010). Para a busca no site da

CAPES utilizamos como palavras-chave ensino de matemática e calculadora, em

que foram selecionadas as pesquisas de Rubio (2003), Melo, A. R. F. (2008), Melo,

A. J. F., Nhoncance (2009) que tratavam dos níveis Fundamental e Médio da

Educação Básica.

Rubio (2003) descreve em seu trabalho as possibilidades e desafios da

inserção da calculadora nas aulas de matemática, destinadas ao 5º ano do Ensino

Fundamental, a partir da exploração de situações-problema envolvendo a adição e

subtração com o conjunto dos números naturais.

Considera a calculadora como recurso mobilizador na realização de tarefas

exploratórias e de investigação e um instrumento de auto-avaliação, devido à sua

capacidade de verificação de resultados

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO ... de...meu lado. Ao meu marido Reginaldo do Prado, que apostou na minha vitória, sempre com uma palavra de confiança, não permitindo