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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
Mauro José da Rocha
CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM COM FUNÇÕES ARCO SENO E
ARCO COSSENO APLICADAS NA ÁREA ELETROELETRÔNICA
Belo Horizonte
2015
Mauro José da Rocha
CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM COM FUNÇÕES ARCO SENO E
ARCO COSSENO APLICADAS NA ÁREA ELETROELETRÔNICA.
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,
como requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Coorientador: Prof. Dr. Niltom Vieira Junior
Belo Horizonte
2015
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Rocha, Mauro José da
R672c Criação de um objeto de aprendizagem com funções arco seno e arco
cosseno aplicadas na área eletroeletrônica / Mauro José da Rocha. Belo
Horizonte, 2015.
175 f.: il.
Orientador: João Bosco Laudares
Coorientador: Niltom Vieira Junior
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Trigonometria. 3. Funções (Matemática).
4. Arcos. 5. Aprendizagem por atividades. 6. Material didático. I. Laudares, João
Bosco. II. Vieira Junior, Niltom. III. Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. IV.
Título.
CDU: 51:373.5
Mauro José da Rocha
CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM COM FUNÇÕES ARCO SENO E
ARCO COSSENO APLICADAS NA ÁREA ELETROELETRÔNICA.
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,
como requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Ensino de Matemática.
___________________________________________________________________________
Prof. Dr. João Bosco Laudares - PUC Minas (Orientador)
___________________________________________________________________________
Prof. Dr. Niltom Vieira Junior - Instituto Federal de Minas Gerais – IFMG (Coorientador)
___________________________________________________________________________
Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda - PUC Minas - Banca Examinadora
___________________________________________________________________________
Prof. Dra. Adriana Maria Tonini - UFOP / CEFET MG - Banca Examinadora
Belo Horizonte, 11 de dezembro de 2015.
A Deus, fonte inesgotável de amor e sabedoria. Mestre dos
Mestres e Senhor do céu e da terra. A Ele toda honra, toda
glória e adoração. Sem Deus nada existiria. Obrigado
Senhor, por ter me conduzido até aqui.
À minha esposa Tatiane e minha filha Sophia, pela
paciência, amor, incentivo e compreensão, demonstrados
durante o longo período de minha ausência, em função da
dedicação ao curso de Mestrado.
AGRADECIMENTOS
Ao meu pai Domingos Rocha, que soube educar a nossa família de forma tão
carinhosa e correta, com dedicação, trabalho, amor e sabedoria.
A minha mãe Antônia Rocha, pelo seu enorme coração de mãe, que junto ao meu pai
sempre estiveram presentes, me ajudando nos momentos fáceis e difíceis da minha vida.
As minhas irmãs Marly Rocha e Marlene Rocha, sobrinhos, sogros Benedito
Fernandes e Neli Fernandes, cunhados, pelo carinho, força e otimismo.
Ao Prof. Dr. João Bosco Laudares, pela orientação, dedicação, competência, paciência
e comprometimento profissional.
Ao Prof. Dr. Niltom Vieira Júnior, pela colaboração espontânea e imprescindível para
a realização deste trabalho.
Ao meu amigo Mestre José Eustáquio Pinto, pelo apoio incondicional. Parceiro,
colaborador e incentivador ao longo de todo o curso.
Ao meu amigo e compadre Prof. Dr. Sílvio Alves de Souza, pelas inúmeras vezes que
me ajudou durante a elaboração do OA e da Dissertação. Deus te recompense.
Ao amigo Prof. Adriano Gabriel, pela importante leitura e revisão da parte escrita
desta Dissertação.
Aos colaboradores Belchior Elias, Bernardo Cunha, André Alves de Souza, Fabiano
Drumond Pena, Marcus Vinícios e José Giarola, pelo apoio durante o andamento do trabalho.
A todos os professores do Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática, especialmente ao Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda, e a Coordenadora Dra.
Eliane Scheid Gazire, aos colegas de turma e funcionários da casa, pela convivência,
companheirismo e auxílio.
Aos membros da banca, por terem lido o meu trabalho e pelas contribuições durante o
exame.
"A Matemática é o alfabeto pelo qual Deus escreveu o mundo."
(PITÁGORAS)
RESUMO
O objetivo principal desse trabalho de pesquisa centra-se no ensino e aprendizagem das
funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, arco seno e arco cosseno, com o
auxílio de uma sequência de atividades e de um OA aplicado aos cursos de formação
profissional técnica de nível médio na área de eletroeletrônica. Os sujeitos dessa Pesquisa
foram 21 (vinte e um) estudantes do segundo ano do curso técnico em Eletrônica, do Centro
Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais – CEFET MG. Nas atividades de
aplicações priorizamos os circuitos elétricos e o triângulo de potências. Na construção do OA
foi utilizado o software GeoGebra para criar as animações no intuito de dinamizar a execução
ou desenvolvimento das atividades. Esta Pesquisa foi desenvolvida no Mestrado em Ensino
de Ciências e Matemática, da PUC Minas e contou com apoio do Grupo de Pesquisa em
Informática e Metodologia em Educação Matemática – GRUPIMEM, sendo inserida no
Projeto de Pesquisa “Objetos de Aprendizagem para o Ensino de Matemática na Educação
Profissional Técnica de Nível Médio”, Edital 13/2012, financiado pela FAPEMIG. A
metodologia utilizada privilegiou quatro grandes pilares: Informática Educativa, Objetos de
Aprendizagem, Sequência Didática e Ensino das Funções Trigonométricas desse estudo. O
Produto derivado da Pesquisa, se constituiu de um OA composto por 4 (quatro) atividades,
nas quais comportam 24 (vinte e quatro) itens em forma de questionários de múltipla escolha
e suas diversas animações. Realizamos também um estudo desse conteúdo em 6 (seis) livros
didáticos aprovados no Programa Nacional do Livro Didático, sendo um deles utilizado na
própria instituição onde se deu a aplicação da Pesquisa.
Palavras-chave: Objetos de Aprendizagem. Funções seno e cosseno. Funções inversas arco
seno e arco cosseno. Sequência didática.
ABSTRACT
The main objective of this research work focuses on the teaching and learning of sine
trigonometric functions cosine and their inverses, arc sine and arc cosine, with the aid of a
sequence of activities and an OA applied to vocational training courses technique average
level in the field of electronics. The research subjects were 21 (twenty-one) students from the
second year from the electronic course from the Federal center of technological Education in
Minas Gerais – CEFET MG. In the application activities, it was prioritized the electrics
circuits and triangle power. In the construction of OA was used the software GeoGebra to
create the animations in the intention in order to boost the delivery or development activities.
This research was developed in the Mastering of Learning Science and Mathematics, from
PUC Minas and had as a support from the research in Informatics and Methodologist in
Mathematics Educational group – GRUPIMEM, inserted in the project of search “ Objetos
de Aprendizagem para o Ensino de Matemática na educação Profissional Técnica de nível
Médio”, edictal 13/2012, established for FAPEMIG. The methodology used privileged four
big pillars: Educative Informatics, Learning goals, Didactics sequence and the learning of
trigonometric functions from this study. The product derivate from the research is from OA
formed by 4(four) activities, in each 24(twenty – four) items in a multiple choice
questionnaire and its animations. We perform a study with this subject in 6 (six) didactic
books approved by the National Didactic Book Program, including one being used in the own
institution where the research took place.
Keywords: Learning goals. Sine and cosine functions. Inverse sine arc and cosine arc
functions. Didactic sequence.
LISTA DE DIAGRAMAS
DIAGRAMA 1 – Função sobrejetiva ....................................................................................... 58
DIAGRAMA 2 – Função injetiva ............................................................................................ 58
DIAGRAMA 3 – Função bjetiva.............................................................................................. 59
DIAGRAMA 4 – Função sobrejetiva ....................................................................................... 66
DIAGRAMA 5 – Função injetiva ............................................................................................ 67
DIAGRAMA 6 – Função bijetiva ............................................................................................ 67
DIAGRAMA 7 – Função não bijetiva ...................................................................................... 68
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – Representação gráfica da função bijetora ........................................................... 60
FIGURA 2 – Representação gráfica da função sobrejetiva ...................................................... 61
FIGURA 3 – Representação gráfica da função injetiva ........................................................... 61
FIGURA 4 – Representação gráfica das Funções Seno e sua inversa, Arco Seno................... 72
FIGURA 5 – Representação gráfica da Função Seno .............................................................. 74
FIGURA 6 – Cópia da tela inicial, Atividade 1 ....................................................................... 85
FIGURA 7 – Cópia do texto explicativo da animação 1 (Bissetriz), Atividade 1 ................... 87
FIGURA 8 – Cópia da animação 1 (Bissetriz), Atividade 1 .................................................... 87
FIGURA 9 – Cópia do quarto item, Atividade 1 ...................................................................... 88
FIGURA 10 – Cópia do texto explicativo da animação 2 (Inversa), Atividade 1 .................... 88
FIGURA 11 – Cópia da animação 2 (Inversa), Atividade 1 .................................................... 89
FIGURA 12 – Cópia da tela inicial, Atividade 2 ..................................................................... 91
FIGURA 13 – Cópia do texto explicativo da animação 1, Atividade 2 (Construindo o Seno
e Cosseno) ................................................................................................................................ 91
FIGURA 14 – Cópia da animação 1, Atividade 2 (Construindo o Seno e Cosseno) ............... 92
FIGURA 15 – Cópia da animação 4, Atividade 2 (Funções Seno e Arco Seno) ..................... 94
FIGURA 16 – Cópia do sexto item, Atividade 2 ..................................................................... 94
FIGURA 17 – Cópia da tela inicial, Atividade 3 ..................................................................... 96
FIGURA 18 – Cópia do texto explicativo da animação 1, Atividade 3 (Circuito Resistivo) . 96
FIGURA 20 – Cópia do primeiro item, Atividade 3 ................................................................ 97
FIGURA 21 – Cópia da tela inicial, Atividade 4 ..................................................................... 99
FIGURA 22 – Cópia da animação 2, Atividade 4 (Círculo Trigonométrico Adaptado) ....... 100
FIGURA 23 – Cópia do quarto item, Atividade 4 .................................................................. 101
FIGURA 24 – Início da aplicação do OA .............................................................................. 106
FIGURA 25 – Estudantes realizando as atividades (em dupla) ............................................. 107
FIGURA 26 – Momento em que a estudante relata à respeito das duas opções iguais.......... 107
FIGURA 27 – Cópia do 4° item, Atividade 1 ........................................................................ 110
FIGURA 28 – Cópia do texto explicativo da Animação1, Atividade 1 ................................. 110
FIGURA 29 – Cópia da Animação, Atividade 1 (Bissetriz) .................................................. 110
FIGURA 30 – Cópia do texto explicativo da Animação 2, 3° item, Atividade 2 .................. 114
FIGURA 31 – Cópia da Animação 2, 3° item, Atividade 2 (Escolha o Seno) ....................... 115
FIGURA 32 – Cópia do enunciado do 3° item, Atividade 2 .................................................. 115
FIGURA 33 – Cópia da Animação do 6° item, Atividade 2 (Seno e Arco Seno).................. 116
FIGURA 34 – Cópia do enunciado do 6° item, Atividade 2 .................................................. 116
FIGURA 35 – Cópia do texto explicativo da Animação do 2° item, Atividade 3 ................. 121
FIGURA 36 – Cópia da Animação do 2° item, Atividade 3 (Circuito Resistivo) ................. 121
FIGURA 37 – Cópia do enunciado do 2° item, Atividade 3 .................................................. 122
FIGURA 38 – Cópia do enunciado do 4° item, Atividade 4 .................................................. 126
FIGURA 39 – Cópia da Animação do 4° item, Atividade 4 (Círculo Trigonométrico
Adaptado) ............................................................................................................................... 127
FIGURA 40 – Cópia do enunciado do 3° item, Atividade 4 .................................................. 127
FIGURA 41 – Cópia da Animação do 3° item, Atividade 4 (Triângulo de Potências) ......... 128
FIGURA 42 - Registro do estudante I.B.F.G. sobre a resolução, Atividade 4 ....................... 134
FIGURA 43 - Registro do estudante G.C.G. sobre a resolução, Atividade 3 ........................ 136
FIGURA 44 - Registro do estudante P.P.M.Z.C. sobre a resolução, Atividade 3 .................. 137
FIGURA 45 - Registro do estudante G.C.G. sobre a resolução, Atividade 4 ........................ 138
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 1 – Tipos de dificuldades dos estudantes, Atividade 1 ........................................ 111
GRÁFICO 2 – Tipos de dificuldades dos estudantes, Atividade 2 ........................................ 117
GRÁFICO 3 – Tipos de dificuldades dos estudantes, Atividade 3 ........................................ 123
GRÁFICO 4 – Tipos de dificuldades dos estudantes, Atividade 4 ........................................ 128
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 - Livros didáticos do Ensino Médio selecionados para análise, quanto às funções
sobrejetiva, injetiva e bijetiva ................................................................................................... 56
TABELA 2 – Resultado da análise dos livros citados em relação às funções sobrejetiva,
injetiva e bijetiva ...................................................................................................................... 69
TABELA 3 - Livros didáticos do Ensino Médio selecionados para análise, quanto às funções
inversas arco seno e arco cosseno. ........................................................................................... 70
TABELA 4 – Resultado da análise dos livros em relação às funções inversas arco seno e arco
cosseno ..................................................................................................................................... 78
TABELA 5 – Frequência do número de acertos por tentativa em cada item, Atividade 1 .... 108
TABELA 6 – Frequência do número de acertos por tentativa em cada item, Atividade 2 ... 113
TABELA 7 – Frequência do número de acertos por tentativa em cada item ......................... 120
TABELA 8 – Frequência do número de acertos por tentativa em cada item, Atividade 4 ... 125
LISTA DE SIGLAS
CEB Conselho da Educação Básica
CEFEMAT Grupo de Pesquisa em Educação Matemática do Centro Federal
de Educação Tecnológica de Minas Gerais
CEFET MG Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
CD Compact Disk
Circuito RL Circuito Resistor Indutor
CNE Conselho Nacional de Educação
CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
EJA Educação de Jovens e Adultos
FAPEMIG Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais
GRUPIMEM Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologia para o Ensino
de Matemática
LDB Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
MEC Ministério da Educação e Cultura
OA Objeto de Aprendizagem
PCN´s Parâmetros Curriculares Nacionais
PUC / Minas Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
TE Tecnologia Educacional
TIC Tecnologia da Informação e Comunicação
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 31
1.1 Questão .............................................................................................................................. 34
1.2 Objetivo geral .................................................................................................................... 34
1.3 Objetivos específicos ......................................................................................................... 34
1.4 Estrutura da dissertação .................................................................................................. 35
2 SEQUÊNCIA DIDÁTICA, INFORMÁTICA EDUCATIVA E OBJETOS DE
APRENDIZAGEM COMO ALTERNATIVA PARA O ENSINO DAS FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS SENO, COSSENO E SUAS INVERSAS .................................... 37
2.1 Sequência didática ............................................................................................................ 37
2.2 Informática educativa ...................................................................................................... 40
2.2.1 Informática educativa e o ensino de matemática ............................................................ 42
2.3 Objetos de aprendizagem ................................................................................................ 43
2.4 Funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, arco seno e arco cosseno ..... 44
3 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, DIRETRIZES PARA O ENSINO
TÉCNICO E ANÁLISE DA TEMÁTICA DE ESTUDO EM LIVROS DIDÁTICOS .... 47
3.1 Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN´s) relacionados aos conhecimentos de
Matemática para o Ensino Médio ......................................................................................... 47
3.2 Diretrizes curriculares nacionais para a educação profissional de nível técnico ...... 48
3.2.1 Introdução ....................................................................................................................... 48
3.2.2 Educação profissional de nível técnico ........................................................................... 49
3.2.3 Princípios da educação profissional ............................................................................... 50
3.2.3.1 Articulação da educação profissional técnica com o ensino médio ......................... 51
3.2.4 Competências para o trabalho ........................................................................................ 51
3.2.5 Flexibilidade, interdisciplinaridade e contextualização ................................................. 52
3.3 Resolução CNE / CEB n° 04/99 ....................................................................................... 53
3.4 Área profissional: indústria ............................................................................................ 53
3.4.1 Caracterização da área ................................................................................................... 53
3.4.2 Competências profissionais gerais exigidas ao técnico da área ..................................... 54
3.5 O livro didático ................................................................................................................. 54
3.5.1 Análise de três livros didáticos, quanto às funções: injetivas, sobrejetivas e bijetivas. . 56
3.5.1.1 Conclusão a respeito dos três livros didáticos analisados, quanto às funções
sobrejetiva, injetiva e bijetiva .................................................................................................. 69
3.5.2 Análise de três livros didáticos quanto às funções inversas Arco Seno e Arco Cosseno 70
3.5.2.1 Considerações a respeito dos três livros didáticos analisados, quanto às funções
inversas arco seno e arco cosseno ........................................................................................... 78
4 CONSTRUÇÃO DO OBJETO DE APRENDIZAGEM – OA ........................................ 81
4.1 O software ExeLearning .................................................................................................. 83
4.2 O objeto de aprendizagem e o software GeoGebra ....................................................... 83
4.3 A construção das atividades ............................................................................................ 84
4.3.1 Atividade 1 ....................................................................................................................... 84
4.3.2 Atividade 2 ....................................................................................................................... 90
4.3.3 Atividade 3 ....................................................................................................................... 95
4.3.4 Atividade 4 ....................................................................................................................... 98
5 APLICAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES ........................................................... 103
5.1 Preparação para a aplicação das atividades de pesquisa ............................................ 103
5.2 Roteiro de aplicação das atividades de pesquisa ......................................................... 103
5.3 Público alvo para aplicação dessa pesquisa ................................................................. 104
5.4 Metodologia utilizada na aplicação das atividades ...................................................... 104
5.5 Descrição da aplicação das atividades .......................................................................... 106
5.6 Tabulação e análise dos resultados por atividade ....................................................... 108
5.6.1 Atividade 1 – Introdução às funções inversas ............................................................... 108
5.6.2 Atividade 2 – Funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas ........................ 113
5.6.3 Atividade 3 – Aplicação das funções trigonométricas Seno, Cosseno e suas inversas,
Arco Seno e Arco Cosseno em circuitos elétricos .................................................................. 119
5.6.4 Atividade 4 – Aplicação das funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, arco
seno e arco cosseno no triângulo de potências ....................................................................... 125
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................ 133
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 141
APÊNDICE A: Relatório de respostas e questionário avaliativo..................................... 145
APÊNDICE B: Caderno de atividades ............................................................................... 151
APÊNDICE C: Produto educacional .................................................................................. 175
31
1 INTRODUÇÃO
O motivo que nos fez direcionar atenção para o estudo das funções trigonométricas
seno, cosseno e suas inversas, arco seno e arco cosseno, em particular sobre o seu ensino e
aprendizagem, foi a dificuldade apresentada pela maioria dos estudantes durante a introdução
desse conteúdo nos ensinos médio e técnico, bem como o excesso de cálculos e a defasagem
de significado dessas funções, sobretudo as inversas, arco seno e arco cosseno, confirmado
em Pinheiro (2008) e Vazquez (2010), no capítulo 2 desta Dissertação.
Durante dezenove anos, dedico-me à docência do conteúdo de Matemática,
trabalhados no Ensino Fundamental II, Ensino Médio Regular, Ensino Médio EJA (Educação
de Jovens e Adultos), formação de Oficiais na Academia do Corpo de Bombeiros Militar de
Minas Gerais. Dentre eles, dois anos no Ensino Técnico de Eletrotécnica, no Centro Federal
de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET MG.
Temos percebido, contudo, a enorme necessidade que os estudantes apresentam em
visualizar e entender, na sua linguagem, as resoluções de questões que envolvem funções
trigonométricas, ora apresentadas durante as aulas de Matemática. Eles não se satisfazem com
explicações puramente teóricas e excessivas de cálculos. Se o estudante entender o processo
de ensino e aprendizagem desse conteúdo como um todo, poderá ser motivado a buscar uma
possível inovação em sua abordagem e compreensão, bem como na sua percepção e correção
de parte desse processo.
Nessa pesquisa, apresenta-se como contribuição à comunidade acadêmica uma forma
alternativa (dinâmica e atrativa) no ensino e aprendizagem das funções trigonométricas seno,
cosseno e suas inversas, arco seno e arco cosseno, aplicadas parcialmente aos cursos da área
de eletroeletrônica. Para tanto, será dado ênfase na visualização e manipulação, com várias
animações, de elementos fundamentais para a resolução de problemas práticos propostos
usando Objeto de Aprendizagem - OA, que durante todo este trabalho será designado apenas
como OA.
Cresce muito, atualmente, o número de atividades desenvolvidas por educadores
matemáticos, que visam buscar o aperfeiçoamento da prática educativa com a introdução da
utilização de TIC - Tecnologia da Informação e Comunicação na educação.
Em, Rattner (1985 apud MORAES 2000, p.10),
[...] as inovações – como a informática – fazem parte de um processo de mudança
que está levando a alterações nas condições técnicas de produção e nas relações
sociais no trabalho, alterações essas que ainda são motivos de discussão e
32
controvérsia. As novas tecnologias não são revolucionárias por si. Seu potencial
transformador só existe na medida em que for acompanhado de transformações
políticas, econômicas, sociais, e consequentemente, a Informática na Educação,
isoladamente, não será transformadora.
A orientação é que se utilize a Informática como aliada da educação, no sentido de
ajustar o plano de curso à tecnologia disponível. Ou seja, coloque a tecnologia na sala de aula
como ferramenta auxiliar ao ensino e aprendizagem dos conteúdos.
De acordo com Kenski (2007), se a tecnologia for utilizada com criatividade, ela pode
alterar a rotina existente dentro de sala de aula, aumentando assim o interesse e a colaboração
entre os alunos, tornando-os, portanto, cidadãos participativos e interativos.
A proposta inicial era trabalhar apenas com as funções seno e cosseno, mostrando o
seu significado geométrico no círculo trigonométrico. Entretanto, ao fazer o levantamento
bibliográfico a respeito desse assunto, localizamos no acervo de dissertações do Programa de
Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas, a dissertação de Pinheiro
(2008), intitulada “O ensino de trigonometria na educação básica a partir da visualização e
interpretação geométrica no ciclo trigonométrico”. Essa pesquisa apontou o excesso de
fórmulas existentes nesse conteúdo como o grande problema metodológico no seu ensino e
aprendizagem, além da necessidade de se expandir a abordagem e aplicação das funções
trigonométricas inversas, arco seno e arco cosseno. Assim, ampliamos o nosso objeto de
estudo para as funções inversas arco seno e arco cosseno.
Ressaltamos que durante a revisão bibliográfica feita para essa Pesquisa, verificamos
que há uma enorme carência de trabalhos voltados para as funções trigonométricas inversas,
sobretudo aplicadas ao ensino técnico na área de eletroeletrônica.
Propomos a criação de um OA para facilitar o ensino e aprendizagem das funções
trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, arco seno e arco cosseno. Esse estudo se
justifica pelas dificuldades na compreensão do tema, ocasionadas pela sua abstração e falta de
aplicações na sala de aula, fato esse que foi reforçado pelos resultados apresentados no
trabalho de Pinheiro (2008).
Neste trabalho, pretendemos também explorar a trigonometria de forma mais direta e
visual, utilizando o software GeoGebra, evitando o excesso de cálculos. Através de animações
feitas nele, o estudante pode perceber facilmente a mudança de comportamento dos gráficos
das funções trigonométricas seno (senóide) e cosseno (cossenóide), ao alterar os seus
parâmetros. Sem esse recurso computacional, o trabalho com esse conteúdo tende a ficar
bastante limitado no campo algébrico.
33
As funções trigonométricas inversas, assim como as funções elementares, possuem
muitas aplicações interessantes no mundo real.
Segundo Laudares et al (1988), a trigonometria tem grande aplicação nas ciências
exatas e em particular no campo da eletricidade, eletrônica, cálculo de estruturas e topografia.
Ao utilizar uma função trigonométrica inversa, por exemplo, é possível determinar a
medida de um arco, em radianos, conhecendo-se o seno ou o cosseno. Porém, esse cálculo,
embora muito útil, na maioria das vezes, esbarra em dificuldades algébricas de expansão das
funções trigonométricas, pois na ausência de uma ferramenta computacional, de uma
calculadora científica ou de uma tabela trigonométrica, a definição/precisão do resultado pode
ficar comprometida.
Boylestad (2004), diz que a forma de onda senoidal é particularmente importante, pois
facilita imensamente a análise Matemática dos circuitos elétricos.
Esta Pesquisa teve como proposta construir uma sequência de atividades e um Objeto
de Aprendizagem de funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas arco seno e arco
cosseno, aplicadas ao ensino médio e aos cursos técnicos da Área de Eletroeletrônica.
A proposta da elaboração de um OA surgiu, entre outros motivos, da necessidade de
atender as demandas do Projeto de Pesquisa “Objetos de Aprendizagem para o ensino de
Matemática na Educação Profissional Técnica de nível médio”, aprovado pelo Edital
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais - FAPEMIG 13/2012, que apoia
pesquisas relacionadas à Educação Básica, especialmente à educação profissional.
A construção do referido Projeto contou com a cooperação de dois grupos de pesquisa:
Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologia em Educação Matemática – GRUPIMEM
da PUC Minas e do Grupo de Pesquisa em Educação Matemática – CEFEMAT, do Centro
Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET MG. A linha de pesquisa comum
entre esses grupos é a tecnologia computacional no ensino de Matemática e ambos são
certificados por suas instituições e credenciados pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento
Científico e Tecnológico - CNPq.
O GRUPIMEM se reúne periodicamente e é composto pelos idealizadores do projeto,
mestres e mestrandos, advindos do Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática, da PUC Minas, bem como alguns colaboradores na área de pesquisa em ensino e
tecnologia.
Uma das ações conjuntas desses grupos foi a formulação do referido Projeto aprovado
pela FAPEMIG que contempla experiências, investigações e pesquisas dos professores e
estudantes de iniciação científica partícipes dos grupos. Dentre as linhas temáticas propostas
34
no Edital, a terceira é de interesse dos grupos, por contemplar projetos voltados para o
desenvolvimento de ações/produtos que possam ser utilizados na Educação Básica. Em
especial, a presente proposta conjunta visa ao desenvolvimento de OA`s, destacando-se,
ainda, a incorporação das Tecnologias da Informação e Comunicação - TIC’s pelos
professores de Matemática, em suas salas de aulas, atuantes no ensino médio e/ou em cursos
técnicos da área de eletroeletrônica.
De acordo com Laudares (1987), com a crescente necessidade de estreitar o diálogo
entre os professores das disciplinas de “formação geral” e das “disciplinas técnicas”, que é
uma demanda que ocorre nas escolas de Educação Profissional Técnica, o Projeto visa
disponibilizar recursos para atendê-la.
1.1 Questão
Em que medida recursos informatizados adequados, na forma de um OA auxilia o
estudante na melhoria de sua aprendizagem em relação às funções trigonométricas seno,
cosseno e suas inversas, arco seno e arco cosseno, no ensino médio e nos cursos técnicos da
área de eletroeletrônica?
1.2 Objetivo geral
Construir uma sequência didática e um Objeto de Aprendizagem com funções
trigonométricas seno e cosseno, bem como as suas inversas e aplicar estas funções no ensino
médio e em cursos técnicos da área eletroeletrônica, visando ampliar a compreensão do
estudante sobre esse conteúdo.
1.3 Objetivos específicos
a) identificar a contribuição das TIC´s na formação do técnico, a partir das Diretrizes
Curriculares Nacionais para a Educação Profissional Técnica de Nível Médio,
b) propor uma sequência de atividades com foco na parte visual e manipulativa, através
de animações construídas no software GeoGebra, que estimule a compreensão do
objeto de estudo, que seja aplicável no OA proposto.
c) desenvolver um OA para o ensino e aprendizagem das funções seno, cosseno e suas
inversas, arco seno e arco cosseno aplicado aos temas de: (1) análise das formas de
35
ondas em circuitos elétricos; (2) análise da potência elétrica instantânea e (3) análise
do triângulo de potências.
d) aplicar o OA desenvolvido aos estudantes de curso técnico e, a partir do feedback
observado, realizar melhorias.
1.4 Estrutura da dissertação
A estrutura desta dissertação é constituída de seis capítulos, incluindo a introdução, no
capítulo 1, e as considerações finais, no capítulo 6.
No capítulo 2, encontra-se a fundamentação teórica que norteou esta pesquisa. Nele,
foi desenvolvida a concepção de sequência didática, com referência em Zabala (1998), bem
como a apresentação e análise de 4 (quatro) sequências didáticas do mesmo autor. Abordamos
também, neste capítulo, a informática educativa como ferramenta relevante para o processo
educacional. Nessa abordagem foram citados vários autores, dentre eles Oliveira (2012, p. 9):
[...] a denominação Tecnologia Educacional (TE) não despontou no Brasil com
conceituação única. Os educadores depararam com diferentes conceitos, desde a sua
chegada, caracterizada pela compreensão diferenciada do papel dos instrumentais
tecnológicos no processo educativo.
Analisamos neste mesmo capítulo a informática educativa com o ensino de
Matemática, confirmando que a utilização das tecnologias no processo de ensino e
aprendizagem da Matemática pode ser considerada como uma prática alternativa, que visa
facilitar novos rumos para as relações entre professor e estudante. Foram definidos os
“Objetos de Aprendizagem”, segundo vários autores, enfatizando a referência aos recursos
digitais. Por fim, esse capítulo traz um registro histórico acerca da trigonometria, priorizando
o significado das funções trigonométricas seno e cosseno.
No capítulo 3, estudamos as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação
Profissional de Nível Técnico, da área de eletroeletrônica. Os Parâmetros Curriculares
Nacionais - PCN´s relacionados aos conhecimentos de Matemática para o Ensino Médio
foram os norteadores desse estudo.
Neste capítulo, analisamos 6 (seis) livros didáticos, sendo 3 (três) que abordam o
conteúdo objeto de estudo dessa pesquisa, funções inversas, e 3 (três) que abordam as funções
trigonométricas seno, cosseno e suas inversas arco seno e arco cosseno.
No capítulo 4, foram descritas as etapas pelas quais o produto final, denominado
“Funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas arco seno e arco cosseno”, foi
36
desenvolvido. Em sua elaboração, foi utilizado o ambiente informatizado ExeLearning, para
edição de interfaces educacionais em html, e as animações contidas nos itens das atividades
foram criadas no software GeoGebra.
No capítulo 5, fizemos o levantamento e análise dos resultados obtidos com a
aplicação das atividades, que compõem o OA, em consonância com a questão, objetivos e
referências da pesquisa. As atividades foram aplicadas, no mês de junho de 2015, para um
grupo de 21 (vinte e um) estudantes do curso de Eletrônica, do CEFET MG, campus I.
Elaboramos uma metodologia para aplicação das atividades e representamos os dados
obtidos, após a sua aplicação, em forma de tabelas e gráficos para melhor visualização e
compreensão.
Finalmente, no capítulo 6, apresentamos as considerações finais e as reflexões sobre as
contribuições que este trabalho de Pesquisa proporcionou para o ensino e aprendizagem das
funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, aplicadas aos cursos de ensino médio e
da área de eletroeletrônica. Como produto desta Pesquisa, elaboramos um OA composto por
24 (vinte e quatro) itens, em forma de questões, distribuídos em 4 (quatro) atividades. Este
produto educacional contém um CD com o software que será utilizado como apoio para a
execução das atividades e um Caderno de Atividades com todas as atividades propostas neste
OA.
O apêndice desta dissertação está dividido em três partes:
a) Apêndice A: Relatório de resposta e questionário avaliativo.
b) Apêndice B: Caderno de Atividades.
c) Apêndice C: Produto Educacional – Em anexo a esta Dissertação.
37
2 SEQUÊNCIA DIDÁTICA, INFORMÁTICA EDUCATIVA E OBJETOS DE
APRENDIZAGEM COMO ALTERNATIVA PARA O ENSINO DAS FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS SENO, COSSENO E SUAS INVERSAS
Neste capítulo, o objetivo é apresentar a sequência didática, bem como alguns
exemplos descritos e sua importância no contexto do ensino e aprendizagem. Utilizamos
Zabala (1998), pela relevância do seu trabalho e por ser uma referência nesse tema. Em
seguida, avaliamos a utilização da Informática Educativa como ferramenta de suporte ao
docente, possibilitando estender à sala de aula e estreitar a relação entre professor e aluno, no
processo de ensino. Verificamos que essa utilização otimiza o processo e melhora a
capacidade do discente em assimilar certos conteúdos. Como alternativa de suporte ao
docente, apresentamos várias definições de Objetos de Aprendizagem, segundo alguns
autores.
No processo de ensino e aprendizagem, é papel do professor estimular a criatividade
do aluno através de opções didáticas variadas, explorando os recursos disponíveis.
Segundo Cunha (2014, p.34),
cabe ao professor estimular a criatividade e prever diferentes caminhos para a
aprendizagem de conceitos e resultados importantes da Matemática. O grande
desafio é organizar situações didáticas que possam contribuir na transformação do
saber cotidiano para o saber escolar.
2.1 Sequência Didática
Entende-se como definição de sequência didática, segundo Zabala (1998, p. 18), “um
conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos
objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos, tanto pelos alunos quanto
pelos professores.”
O primeiro elemento que identifica uma sequência didática (método) é o tipo de ordem
em que se propõem as atividades. A maneira de situar uma atividade em relação à outra e não
apenas o tipo de tarefa é um critério que permite realizar algumas identificações ou
caracterizações preliminares da forma de ensinar, ou seja, a organização do conjunto de
atividades que se coloca, determina de certa forma, que tipo de ensino que se propõe.
Zabala (1998), destaca que as atitudes ou determinadas habilidades sociais identificam
as fases de uma sequência didática. Ele pontua a importância das relações interpessoais entre
professor e aluno, aluno e aluno, no processo de ensino e aprendizagem. Essas relações
38
colaboram para uma troca de experiências, de forma que todos envolvidos nesse processo são
beneficiados e a comunidade escolar cresce em termos educacionais.
A sequência do modelo tradicional, de acordo com Zabala (1998), é formada por
quatro fases: (a) Comunicação da lição; (b) Estudo individual sobre o livro didático; (c)
Repetição do conteúdo aprendido, sem discussão nem ajuda mútua; (d) Julgamento ou sanção
administrativa do professor.
As habilidades desenvolvidas nessa lição são: técnicas de estudo, tomar notas,
memorização e síntese. Essa técnica privilegia a memorização no processo de ensino
tradicional.
As atitudes que se desenvolvem nessa sequência são restritas e preveem apenas a
manutenção da ordem e do respeito dos professores. Os objetivos nesse caso são bem
definidos e consistem no trabalho cognitivo e preveem que os alunos dominem determinados
conhecimentos.
A seguir serão analisadas suscintamente três sequências didáticas citadas por Zabala
(1998). Essas sequências são muito utilizadas e conhecidas no campo didático como, por
exemplo, a aula expositiva unidirecional.
a) sequência didática:
apresentação, por parte do professor, de uma situação problema;
busca de soluções;
exposição do conceito e o algoritmo;
generalização;
aplicação;
exercitação;
prova ou exame;
avaliação.
Os tópicos dessa sequência didática são procedimentos fundamentais que se referem à
utilização de algoritmo, quanto à compreensão dos conteúdos em questão, sendo que, os
atitudinais aparecem mais claramente no momento do diálogo entre aluno e professor.
Pretende-se que os alunos saibam fazer os algoritmos de determinados conteúdos, conheçam
as definições associadas e consigam resolver os problemas nos quais sejam necessários a
utilização da fórmula correspondente.
39
b) sequência didática:
apresentação feita pelo professor de um problema relacionado a um determinado
tema;
diálogo entre professor e alunos;
comparação entre diferentes pontos de vista;
conclusões;
generalização;
exercícios de memorização;
prova ou exame;
resultado do exame.
Essa sequência didática tem como objetivo desenvolver conteúdos de caráter
conceitual. O diálogo e o debate são os pontos fortes dessa técnica. São valorizados também
os conteúdos atitudinais, tais como: interesse em fazer propostas, participação nos debates e
diálogos e respeito pela opinião diversa. É importante ressaltar que esses conteúdos atitudinais
não serão avaliados, mas eles acabam influenciando diretamente no comportamento do aluno.
A intenção é a aprendizagem de conteúdos conceituais que versam sobre temas históricos,
sociais, literários, artísticos ou científicos.
A avaliação que se faz, nesse caso, é o desenvolvimento posterior dos alunos aos
debates e diálogos acerca de assuntos abordados durante o encaminhamento da sequência
didática. O que está sendo avaliado é o conhecimento sobre o tema, a capacidade de dialogar
e debater e o respeito às diferentes opiniões dos colegas.
c) sequência didática:
o professor apresenta uma situação problemática relacionada a um tema;
proposição de problemas ou questões;
proposta das fontes de informações;
busca da informação;
elaboração das conclusões;
generalização das conclusões e síntese;
exercícios de memorização;
prova ou exame;
avaliação.
40
A maioria das atividades que compõe essa sequência didática aparece com conteúdos
de modo conceitual, procedimental e atitudinal. Os alunos controlam o ritmo de execução da
mesma, atuando constantemente e utilizando uma série de habilidades e técnicas, como por
exemplo: debate, diálogo e trabalho em pequenos grupos, pesquisa bibliográfica, trabalho de
campo, entrevista e elaboração de questionários.
Pela necessidade de se trabalhar em grupo para executar determinada atividade, podem
surgir algumas divergências de ideias, posturas e conflitos. Isso requer dos alunos o
desenvolvimento de algumas atitudes, tais como: tolerância, cooperação, respeito e rigor.
As avaliações servem, nesse momento, para classificar os alunos para uma possível
comparação com as observações feitas pelo professor durante o desenvolvimento da
sequência didática. Essas avaliações são tão importantes quanto as convencionais.
Segundo Zabala (1998), o professor precisa trabalhar primeiramente os conteúdos para
depois torná-los objetos de avaliação.
Esses objetivos são: os alunos devem conhecer os termos tratados, devem saber fazer
investigações, questionários e entrevistas, ser mais organizados, tolerantes e cooperativos.
Embora nenhuma das quatro sequências didáticas apresentadas anteriormente é
perfeita ou completa, pode-se considerar que todas elas contêm instrumentos suficientes para
justificar a sua utilização e trazem em si o objetivo de auxiliar o professor e o aluno em um
ensino e aprendizagem mais eficiente.
Todos os professores, de alguma forma, já utilizaram ou utilizarão uma ou outra
sequência didática. Em todas elas, a intenção é muito clara e bem definida. São formas que o
professor dispõe para incrementar o ensino e aprendizagem, diversificando as técnicas,
criando espaços e momentos de estudo adequados a cada realidade.
2.2 Informática Educativa
No mundo de hoje, a informação se torna cada vez mais relevante. Em função das
mudanças que ocorrem em velocidade cada vez mais intensa, o seu acesso se torna cada vez
mais fácil. Essas mudanças estão no campo político, social, econômico e tecnológico,
refletindo diretamente nos costumes, culturas e educação da sociedade. Tais mudanças são
alavancadas pela revolução tecnológica e principalmente pela informática.
A educação, por sua vez, tem um papel fundamental na orientação e formação do
cidadão. Ela contribui para difundir as informações, proporcionando o avanço da revolução
41
tecnológica. Atualmente, o acesso à informação se dá de várias maneiras, entre elas estão os
livros, a internet e telefonia móvel. O indivíduo precisa se capacitar para enfrentar os desafios
trazidos pela nova concepção da informação e a escola é um lugar privilegiado para sua
preparação. Quando há um trabalho eficaz, essa informação pode se transformar em
conhecimento.
Segundo Costa e Oliveira (2004, p. 25), “conhecimento é toda alteração provocada no
estado cognitivo, isto é, no seu estoque mental de saber acumulado, proveniente de uma
interação positiva com uma estrutura de informação.”
Nesse contexto, é quase imperceptível a diferença entre informação e conhecimento,
porém há de se ressaltar que o conhecimento tem um perfil de uma informação com valor
agregado. Ou seja, o objetivo da educação não é apenas a informação, e sim a formação e o
conhecimento.
Uma das proposições da informática educativa é a possibilidade de criação de um
Objeto de Aprendizagem. Para isso utilizam-se recursos tecnológicos disponíveis.
Nesse contexto, essa Pesquisa de Mestrado propõe a criação de um OA que utiliza
dois ambientes informatizados: o software Geogebra e o software ExeLearning.
A seguir serão apresentados alguns aspectos importantes da informática educativa. O
objetivo é situar o trabalho dentro de seu propósito e, parte deste, é a criação de um OA. Nele
serão desenvolvidas as quatro atividades propostas como facilitadora do ensino e
aprendizagem das funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, arco seno e arco
cosseno, aplicadas a área de eletroeletrônica.
Segundo Oliveira (2012, p. 9),
a denominação Tecnologia Educacional - TE não despontou no Brasil com
conceituação única. Os educadores depararam com diferentes conceitos, desde a sua
chegada, caracterizada pela compreensão diferenciada do papel dos instrumentais
tecnológicos no processo educativo.
Baseado nos documentos do XI Seminário Brasileiro de Tecnologia Educacional -
TE, realizado em 1979, a TE passou por duas fases distintas: a primeira emplacada pelo
ideário de modernização, que foi pautada pela eficiência dos aparelhos e equipamentos e, a
segunda, compreende o período em que se maximiza a importância de atividades previamente
planejadas, priorizando princípios e métodos de organização da instrução e pouca atenção aos
problemas de adoção e implantação.
A seguir, trazemos alguns autores acerca da tecnologia educacional, justificando a
importância do papel da Tecnologia da Comunicação e Informação - TIC para o sistema
42
educacional brasileiro.
Segundo Kuenzer et al (1986, p. 30),
A tecnologia educacional, em seus termos mais simples, representa a racionalização
do sistema de ensino em todas as suas formas e níveis, tendo em vista sua eficiência,
medida por critérios internos da economia de recursos escassos, e sua eficácia,
medida pela adequação de seu produto às necessidades do modelo de
desenvolvimento vigente. Ou seja, significa a absorção, pela educação, da ideologia
empresarial.
Valente (1991) afirma que o papel do computador na educação vem se definindo na
medida em que se questiona a função do professor e da escola. Para ele a função da escola não
é ensinar, mas promover o aprendizado. Nesse contexto, o professor passa ser o facilitador no
processo, enquanto que no contexto anterior era o de apenas transmissor do conhecimento.
Segundo Moran (2013, p. 53), é fundamental o trabalho com diferentes linguagens: ”a
educação escolar precisa compreender e incorporar mais as novas linguagens, desvendar seus
códigos, dominar as possibilidades de expressão e as possíveis manipulações”.
Assim, a Tecnologia da Comunicação e Informação - TIC pode colaborar para o
desenvolvimento do processo de ensino e de aprendizagem, incentivando o seu usuário na
busca por meios e formas para esse processo acontecer.
De acordo com Pinto (2015), a incorporação dessas novas tecnologias, citadas por
Moran (2013), no processo de ensino e aprendizagem está diretamente associada à mudança
de paradigmas quanto à aceitação das mesmas pelos profissionais da educação. E essa
mudança não é muito simples, pois Borba e Penteado (2001) lembram que a utilização do
computador foi um fator de resistência para muitos profissionais da educação.
De acordo com Chaves et al (1988), o recurso computacional pode contribuir
positivamente para acelerar o desenvolvimento cognitivo e intelectual do estudante,
principalmente no que se refere ao raciocínio lógico e formal, desde que seja proposto um
trabalho coordenado. Eles acreditam que a máquina traz elemento motivacional, tanto para os
estudantes quanto para os educadores.
2.2.1 Informática Educativa e o Ensino de Matemática
Segundo Cunha (2014), a utilização das tecnologias no processo de ensino e
aprendizagem da Matemática pode ser considerada como uma prática alternativa, que visa
facilitar a criação de novos rumos para as relações entre professor e aluno. É fácil perceber
43
que a tecnologia está cada dia mais presente nas escolas, porém sua utilização ainda não traz
um benefício eficaz para o aluno.
Várias formas de pensamentos visuais aparecem ao se trabalhar com o computador na
sala de aula, entre elas a utilização da imagem como objeto facilitador de aprendizagem.
Mesmo que o aluno seja levado a fazer uma interpretação equivocada do que se observou, a
ação visual tem seu valor pelo simples fato de ter proporcionado o espírito investigativo.
Ressalta-se também o dinamismo e a superioridade dos vários recursos tecnológicos
frente aos modelos tradicionais, devido ao leque de possibilidades que o computador permite.
Exemplificando, ao trabalhar com funções, podemos utilizar o software Geogebra para
construir gráficos de forma mais rápida e precisa do que utilizando os recursos tradicionais
(lápis e papel), assim como temos a opção de utilizar o software Mupad como ferramenta de
construção de gráficos, solução de funções, integração, derivação, entre outras.
2.3 Objetos de aprendizagem
Verificamos, a partir de análise bibliográfica, que não existe uma única definição para
objetos de aprendizagem, mas sim várias definições são encontradas em livros especializados,
teses, dissertações e artigos.
Trabalhamos, nessa pesquisa, a concepção de OA segundo Wiley (2000), que define
objetos de aprendizagem como sendo qualquer recurso digital que possa ser utilizado para o
suporte ao ensino.
Segundo Cunha (2014), o termo Objetos de Aprendizagem surgiu no início do século
XXI e passou a ser utilizado para se referir a recursos digitais. Utilizaremos ao longo de todo
este trabalho essa concepção de OA. Destacamos a sua versatilidade, devido à possibilidade
de ser utilizado em diversos ambientes educacionais e ser capaz de renovar a prática docente
do professor por meio de interações com os ambientes informatizados, desde que a sua
proposta seja coerente com o ambiente educacional e a sua utilização seja planejada e
coordenada.
Vários outros autores definem OA, entre eles destaca-se Tavares (2007, p.124):
Um OA é um recurso (ou ferramenta cognitiva) auto-consistente no processo de
ensino e aprendizagem, ou seja, não depende dos outros objetos para fazer sentido.
Dessa forma, pode-se conceber como um Objeto de Aprendizagem um livro
didático, uma revista, a própria atividade humana, e outros.
44
Oliveira et al (2001), afirmam que a interação entre informática e educação, utilizando
os objetos de aprendizagem computacionais, favorece efetivamente o processo de
aprendizagem do estudante.
Outras definições podem ser encontradas em Reis (2010) e Macêdo et al (2007, p.20).
Confirmamos pelas definições apresentadas anteriormente a amplitude desse assunto,
uma vez que o material pedagógico tradicional, estático e rígido, está perdendo o seu espaço,
em algumas instituições de ensino, para os materiais digitais e interativos. O OA é o modelo
ideal para esse contexto.
Rodrigues (2006) cita as três fases de construção do AO, cujo título é “Transbordando
o Conhecimento”:
a) a primeira diz respeito ao planejamento da construção;
b) a segunda refere-se à implementação propriamente dita do objeto em uma linguagem
de programação;
c) a terceira refere-se à criação de orientações ao usuário final.
A utilização do OA não pode ser aleatória. O professor deve escolher o mais adequado
ao propósito a ser desenvolvido em determinada atividade. Assim, o ambiente informatizado
envolve o aluno e o professor, de tal forma que o ensino e a aprendizagem ficam melhores
compreendidos.
2.4 Funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, arco seno e arco cosseno
Ao estudar a história da trigonometria, encontra-se que os primeiros indícios de
rudimentos de trigonometria surgiram tanto no Egito quanto na Babilônia, a partir do cálculo
de razões entre números e entre lados de triângulos semelhantes.
Isto pode ser observado no Papiro Ahmes1, no Egito, conhecido como Papiro Rhind,
com data de aproximadamente 1650 a.C., contendo 84 (oitenta e quatro) problemas, dos quais
quatro fazem menção ao “seqt”, que representava a razão entre afastamento horizontal e
elevação vertical de um ângulo. Na construção das pirâmides era essencial manter uma
inclinação constante das faces, o que levou os egípcios a introduzirem o conceito de “seqt”.
1O Papiro Ahmes é o mais extenso documento egípcio em matemática que chegou aos nossos dias. Ele é uma
cópia de um antigo papiro do séc. XIX a.C. que esteve em poder do escriba Ahmes. Foi adquirido no Egito por
H. Rhind e por isso é usualmente conhecido como Papiro Rhind (CHACE, 1986).
45
Além da utilização da trigonometria nas medições das pirâmides, apareceu no Egito
(1500 a.C. aproximadamente) a ideia de associar sombras projetadas por uma vara vertical a
sequências numéricas, relacionando seus comprimentos com horas do dia (relógios de sol).
A trigonometria baseada na meia corda de uma circunferência, apresentada pelos
hindus, chegou à Europa através dos árabes.
O nome seno vem do latim “sinus” que significa: seio, volta, curva, cavidade. Muitos
acreditavam que este nome originou-se devido ao fato do gráfico da função correspondente
ser bastante sinuoso. Mas, na verdade, “sinus” é a tradução latina da palavra árabe “jaib”,
que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta, contrário ao conceito Matemático de
seno. No entanto, trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje. Quando os autores
europeus traduziram as palavras matemáticas árabes em latim, eles traduziram “jaib” na
palavra “sinus”. Fibonacci ao utilizar do termo “sinus rectusarcus” rapidamente encorajou o
uso universal de seno.
A palavra cosseno surgiu somente no século XVII, como sendo o seno do
complemento de um ângulo. Os conceitos de seno e cosseno foram originados pelos
problemas relativos à Astronomia.
Atualmente, o ensino da trigonometria encontra certas dificuldades, pois os
professores, muitas das vezes, não se sentem seguros em trabalhar com as funções
trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, arco seno e arco cosseno, por se tratar de um
assunto de difícil compreensão pelos alunos.
Segundo Vazquez (2010), é necessário refletir sobre a prática pedagógica em sala de
aula a respeito do ensino de trigonometria. Os estudantes apresentam muita dificuldade de
aprender esse conteúdo devido à exigência da simples memorização de fórmulas.
Esse pensamento corrobora com o núcleo da proposta da dissertação de mestrado de
Pinheiro (2008), apresentada na PUC Minas. Ele propõe a minimização do uso excessivo de
cálculos algébricos na trigonometria e afirma que a maioria dos livros didáticos de ensino
médio ainda apresenta o estudo de trigonometria de forma linear e descontextualizada.
Vazquez (2010), por sua vez, diz que é necessário investigar sobre a maneira como o
estudante aprende determinados conteúdos, analisar suas dificuldades, consultar quais são as
suas necessidades e identificar meios de relacionar o conteúdo com a prática.
46
Silva (2011, p.16), salienta que,
A partir de nossa prática docente, identificamos algumas dificuldades apresentadas
pelos alunos na aprendizagem da trigonometria, entre elas: perceber a utilidade das
razões trigonométricas, além das situações escolares; aplicar os conhecimentos
trigonométricos teóricos na resolução de problemas; compreender e assimilar
conhecimentos trigonométricos e aplicá-los em momentos posteriores.
Mediante análises feitas em três livros didáticos e apresentadas neste trabalho,
podemos afirmar que o conteúdo das funções trigonométricas, em especial as funções inversas
arco seno e arco cosseno, são abordadas de forma insuficiente. Isto colabora para uma grande
deficiência no ensino deste conteúdo.
Ao propor o OA, abordando o ensino das funções inversas na área de eletroeletrônica,
objetivamos uma melhor compreensão deste assunto pelos estudantes, tornando o conteúdo
mais atrativo para eles.
47
3 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, DIRETRIZES PARA O ENSINO
TÉCNICO E ANÁLISE DA TEMÁTICA DE ESTUDO EM LIVROS DIDÁTICOS
Neste capítulo, estudamos as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação
Profissional de Nível Técnico de escolaridade, da área de eletroeletrônica e analisamos livros
didáticos que abordam o conteúdo funções trigonométricas: seno, cosseno e suas inversas,
arco seno e arco cosseno.
3.1 Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN´s) relacionados aos conhecimentos
de Matemática para o Ensino Médio
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL,
1999), à medida que a sociedade se desenvolve, aumenta a importância do ensino da
Matemática, devido as suas especificidades. Pois ela trabalha o raciocínio lógico e abstrato,
colaborando, então, para o crescimento do homem em termos sociais e profissionais. A
Matemática, além de seu caráter formativo e instrumental, é também uma ciência, com suas
características estruturais específicas, “pois é uma ferramenta que serve para a vida
cotidiana”.
Segundo Pinheiro (2008, p.15),
[...] a descoberta científica consiste em processos de elaboração intelectual que
caracterizam a atividade do homem. Para Aristóteles, a lógica é um instrumento para
o conhecimento. Nela, associamos os procedimentos, regras e leis que devem ser
empregados naqueles raciocínios que se referem a todas as coisas das quais
possamos ter um conhecimento universal e necessário.
De acordo com os PCN´s, no processo de ensino e aprendizagem, o conteúdo de
Matemática requer do estudante autonomia e capacidade de pesquisa, sendo agente
responsável pela aquisição de seu conhecimento. Assim, aprender é condição básica para
prosseguir aperfeiçoando-se ao longo da vida.
A relação entre Matemática e tecnologia vai além das calculadoras e máquinas. O
aprendizado há de ser contínuo, pois o homem desenvolve capacidades e habilidades para
além de manipulação desses instrumentos. Ele também compartilha seu conhecimento e
coloca-o a serviço do seu crescimento profissional.
Num mundo globalizado, onde o computador e os recursos tecnológicos tem um papel
relevante, é cada vez mais importante o ensino e aprendizagem da Matemática, para o Ensino
48
Médio, e a capacidade de adequação das tecnologias em situações diversas.
Pouco adianta se modificarmos a forma ou metodologia de ensino da Matemática, se
mantivermos o conhecimento matemático restrito às informações, definições e exemplos,
assim como a exercitação. Os conceitos apresentados de forma fragmentada, mesmo que de
modo aprofundado, não garantem que o estudante estabeleça alguma significação para as
ideias isoladas e desconectadas umas das outras (PCN´s, 1999, p. 86).
As atividades que cumprem o papel de aprendizagem das técnicas não devem ser
eliminadas, mas a preocupação excessiva com a memorização de fórmulas, aplicação de
regras preestabelecidas e repetição de procedimentos algébricos são características de uma
educação tecnicista. Esse é um modelo que tende a limitar a capacidade de abstração,
generalização ou até mesmo de formalização do conteúdo.
Com relação ao estudo de funções, seu ensino isolado não proporciona ao estudante
nenhuma ideia de aplicabilidade. Portanto, ao fazer a interdisciplinaridade entre o tema
estudado e outros conteúdos, sobretudo aplicados a vida cotidiana e a resolução de problemas
práticos, proporcionará ao estudante uma melhor compreensão do assunto em questão.
Em particular, as funções trigonométricas são melhores compreendidas quando
associadas à problemas de medições, como por exemplo, no cálculo de distâncias inacessíveis
e modelagem de fenômenos periódicos. Nessa direção, o excesso de manipulação algébrica é
minimizado ao enfatizar o entendimento e significado dos conceitos trigonométricos para o
estudante.
3.2 Diretrizes curriculares nacionais para a educação profissional de nível técnico
3.2.1 Introdução
A Constituição Federativa do Brasil, em sua 4ª edição, em 1992, estabelece no
capítulo 3, seção I, Art. 214°: “A lei estabelecerá o plano nacional de educação, de duração
plurianual, visando à articulação e ao desenvolvimento do ensino em seus diversos níveis e à
integração das ações do Poder Público, que conduzam à”:
a) erradicação do analfabetismo;
b) universalização do atendimento escolar;
c) melhoria na qualidade do ensino;
49
d) formação para ao trabalho;
e) promoção humanística científica e tecnológica do país.
Em outubro de 1998, foi instalada uma comissão para organizar um plano de trabalho
específico para a definição das Diretrizes Curriculares Nacionais, por avisos ministeriais de
números 382 e 383, instituída pela Câmara de Educação Básica, do Conselho Nacional de
Educação. Foram realizadas várias reuniões, em diversos estados da federação, bem como
ampla discussão acerca da criação de uma resolução que estabelecesse a construção de um
currículo base, que atendesse a demanda da sociedade brasileira, enquanto oferta de uma
educação profissional técnica adequada.
De acordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Profissional de
Nível Técnico, fica estabelecida a liberdade das instituições de ensino técnico em construir a
sua própria matriz curricular, conforme a sua peculiaridade regional e sua demanda por mão
de obra local (BRASIL, 2012).
A resolução nº 6, de 20 de setembro de 2012, define Diretrizes Curriculares Nacionais
para a Educação Profissional Técnica de Nível Médio e preconiza, em seu Art. 5º, que “os
cursos de Educação Profissional Técnica de Nível Médio têm por finalidade proporcionar ao
estudante conhecimentos, saberes e competências profissionais necessários ao exercício
profissional e da cidadania, com base nos fundamentos científico tecnológicos, sócio histórico
e culturais” (BRASIL, 2012).
3.2.2 Educação profissional de nível técnico
Ao longo dos anos, a formação no ensino técnico tem passado por diversas
transformações, exigindo cada vez mais do técnico uma formação mais ampla, ao contrário de
épocas pretéritas, na qual a formação era restrita, ou seja, o técnico não necessitava transitar
por outra atividade ou área de formação.
A formação do técnico atualmente imprime em sua conduta uma postura mais
dinâmica, crítica e inovadora, possibilitando o mesmo a contribuir para o processo do
crescimento tecnológico, bem como acompanhar o avanço de novas tecnologias. Diante disso,
o seu crescimento profissional passa pelo seu crescimento pessoal, ampliando o seu campo de
atuação. Consequentemente, o mercado de trabalho torna-se mais competitivo e exige dos
profissionais técnicos uma maior capacitação.
50
Segundo Pinto (2015), o estreitamento entre teoria e prática é defendido no Inciso VI
do Art. 5° da Resolução nº 6, de 20 de setembro de 2012, ressaltando a necessidade da
harmonia entre teoria e prática no processo de ensino e aprendizagem. Reforçando a
importância do uso de recursos alternativos que visam facilitar a compreensão de significados,
o inciso VIII desse mesmo artigo preconiza que deve haver:
[...] contextualização, flexibilidade e interdisciplinaridade na utilização de
estratégias educacionais favoráveis à compreensão de significados e à integração
entre a teoria e a vivência da prática profissional, envolvendo as múltiplas
dimensões do eixo tecnológico do curso e das ciências e tecnologias a ele
vinculadas. (BRASIL, 2012, p. 2).
A articulação entre a educação básica e a técnica deve sinalizar quais são as
competências exigidas e necessárias ao estudante do ensino médio. Tais competências, de
acordo com o Art. 41° da LDB e do Decreto Federal 2208/97, podem ser aproveitadas no
ensino técnico caso sejam comuns aos dois ensinos. Cabem, portanto, às escolas de ensino
médio criar seus projetos pedagógicos, de modo a desenvolver as competências desejadas,
ficando a cargo das escolas técnicas o seu aproveitamento ou não (BRASIL, 1996).
3.2.3 Princípios da educação profissional
A articulação da educação profissional de nível técnico com o ensino médio é um dos
princípios fundamentais das Diretrizes Curriculares Nacionais, bem como os valores estéticos,
políticos e éticos, também são princípios mencionados nesse documento. O desenvolvimento
de competências para a educação profissional requer flexibilidade, interdisciplinaridade e
contextualização na organização curricular. Outras competências também são exigidas, tais
como: identidade dos perfis profissionais e atualização permanente dos cursos e currículos.
Esses são princípios importantes da educação profissional, citados nas Diretrizes Curriculares
Nacionais para a Educação Profissional de Nível Técnico (BRASIL, 2000).
A educação profissional não está desconexa da educação básica, pois ela é, antes de
tudo educação e, rege-se pelos princípios norteadores da Constituição Federal e pela Lei de
Diretrizes e Bases da Educação Nacional - LDB. Destaca-se o Art. 3° da LDB: “a valorização
dos profissionais da educação deve estar contemplado na formulação e no desenvolvimento
dos projetos pedagógicos das instituições de ensino profissional” (BRASIL, 1996).
51
3.2.3.1 Articulação da educação profissional técnica com o ensino médio
Há uma diferença na formação de ensino técnico e de ensino médio, não podendo
confundir as duas. Dessa forma, o ensino médio é a etapa de consolidação da educação básica
e, mais especificamente, de desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento
crítico.
A articulação do ensino integrado entre a educação profissional e o ensino médio deve
ser entendida por uma complementaridade entre os dois ensinos, mantendo-se a identidade de
cada uma delas. Propõem uma região comum, com interseção de finalidades e uma ação
combinada e planejada entre os dois tipos de ensino.
Segundo as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Profissional de Nível
Técnico (2000, p.290),
[...] quando competências básicas passam a ser cada vez mais valorizadas no âmbito
do trabalho e quando a convivência e as práticas sociais na vida cotidiana são
invadidas em escala crescente por informações e conteúdos tecnológicos, ocorre um
movimento de aproximação entre as demandas de trabalho e as da vida pessoal,
cultura e social.
Esperamos, portanto, que o ensino médio contemple em seu planejamento curricular e
desenvolvimento, ações concretas que contribuam com o estudante que cursa as duas
modalidades (ensino médio e ensino profissional) para uma formação profissional adequada e
abrangente.
3.2.4 Competências para o trabalho
De acordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Profissional de
Nível Técnico (2000),
As escolas vêm trabalhando intensamente na perspectiva do conceito de competência,
portanto ainda não conseguem definir claramente esse termo de forma a orientar a sua prática
pedagógica. Entende-se por competência profissional a capacidade de mobilizar, articular e
colocar em prática conhecimentos, valores e habilidades, necessários para o desempenho
eficaz das atividades desempenhadas no exercício da função.
Nesse sentido, o conhecimento é concebido como apenas o saber; a habilidade refere-
se ao saber fazer relacionado com a prática do trabalho, enquanto que o verdadeiro valor se
expressa no saber ser, no saber conviver e no saber construir eficazmente. Pode-se dizer
52
então, que um profissional é competente quando consegue conciliar conhecimentos
necessários ao desempenho de suas funções, habilidades para a resolução de problemas,
mobilidade de valores, articulação de recursos humanos e materiais. Esse tipo de profissional
age eficazmente diante do habitual e do inesperado, superando as expectativas da empresa.
Este conceito de competência aumenta a responsabilidade das escolas técnicas
profissionalizantes, na organização dos seus currículos, visando à formação integral do
estudante de forma a criar capacidade de resolver problemas novos, comunicar ideias, tomar
decisões, ser criativo, ter iniciativa e ter autonomia intelectual.
3.2.5 Flexibilidade, interdisciplinaridade e contextualização
De acordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Profissional de
Nível Técnico (BRASIL, 2000),
Refere-se à flexibilidade um princípio fundamental no que diz respeito à organização
do currículo, contemplando os seguintes aspectos: oferta dos cursos, organização dos
conteúdos por disciplinas, módulos ou etapas cronológicas, metodologias, projetos e gestão
dos currículos. Está ligada ao grau de autonomia das instituições de educação profissional. O
documento ressalta que a autonomia da instituição de educação profissional está ligada
diretamente ao seu projeto pedagógico elaborado, executado e avaliado amplamente por toda
a comunidade escolar, especialmente pelos docentes.
A flexibilidade permite agilidade da instituição de educação na proposição,
atualização e incorporações de inovação, possibilitando corrigir rumos, adaptar às mudanças.
Essa flexibilidade curricular atende ao estudante individualmente em suas particularidades,
pois possibilita a ele construir seu itinerário próprio, cursando as disciplinas de seu interesse
dentro de um prazo flexível.
O currículo flexível traz dentro de si a possiblidade de um trabalho interdisciplinar,
porém o Parecer CNE / CEB n° 15/98 tratou amplamente da questão, que se destaca a
seguinte frase: “interdisciplinaridade deve ir além da mera justaposição de disciplinas”,
apontando a possibilidade de relacionar as disciplinas em projetos, aulas, pesquisa e ação.
53
3.3 Resolução CNE / CEB n° 04/99
Essa Resolução institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação
Profissional de Nível Técnico e contém 19 (dezenove) artigos.
O parágrafo único do seu primeiro artigo versa sobre educação profissional integrada
às diferentes formas de educação, à ciência e à tecnologia, ao trabalho, que objetivam garantir
ao cidadão brasileiro o direito de contínuo desenvolvimento de aptidões para a vida
profissional e social (BRASIL, 2000).
No terceiro artigo, a resolução expõe os seguintes princípios norteadores da educação
profissional de nível técnico:
a) independência e articulação com o ensino médio;
b) respeito aos valores estéticos, políticos e éticos;
c) desenvolvimento de competências para a laboralidade;
d) flexibilidade, contextualização e interdisciplinaridade;
e) identidade dos perfis profissionais de conclusão de curso;
f) currículos e cursos atualizados permanentemente;
g) autonomia da instituição de ensino para construir o seu projeto pedagógico (BRASIL,
2000).
No Art. 11° dessa resolução, o MEC define que “a escola poderá aproveitar
conhecimentos e experiências anteriores, desde que diretamente relacionados com o perfil
profissional de conclusão da respectiva qualificação ou habilitação profissional, adquiridos
em diversas situações comprovadas” (BRASIL, 2000).
No Art. 15° da referida resolução, o MEC, propõe colaboração com as instituições de
ensino técnico, no sentido de promover processo nacional de avaliação da educação
profissional desse nível e divulgação dos resultados (BRASIL, 2000).
3.4 Área profissional: indústria
3.4.1 Caracterização da área
Os processos contínuos ou discretos são as formas de transformação de matérias
54
primas em bens de consumo ou de produção. Os contínuos são automatizados e podem conter
operações biofísicoquímicas durante o processo. Por outro lado, o processo discreto e não
contínuo, requer uma participação do funcionário, caracterizado por operações físicas de
controle das formas dos produtos. O documento ressalta a importância da presença humana
em ambos os processos para garantir o controle (BRASIL, 2000).
As atividades industriais de maior destaque, no ano 2000, excluída a indústria
química, são mecânica, eletroeletrônica, automotiva, gráfica, metalúrgica, siderúrgica, e
outras (BRASIL, 2000).
3.4.2 Competências profissionais gerais exigidas ao técnico da área
A seguir estão relacionadas algumas competências profissionais, de forma resumida:
a) aplicar métodos e técnicas de gestão de pessoas para coordenar e desenvolver equipes
de trabalho para a produção, manutenção e instalação;
b) aplicar normas técnicas, visando o bem estar da equipe de trabalho;
c) criar tabelas de custos de fabricação e manutenção de máquinas e equipamentos;
d) projetar produtos, ferramentas, máquinas, utilizando técnicas de desenhos aprendidas
nos cursos de formação técnica;
e) avaliar as características e propriedades dos materiais e insumos, tendo como foco o
controle de qualidade;
f) desenvolver projetos de manutenção e instalação de sistemas industriais;
g) projetar e promover melhorias no sistema de produção, incorporando novas
tecnologias ao setor de atuação;
h) sugerir atividades que visem à conservação da energia, bem como a utilização correta
e racional. Propor também o uso de energias alternativas (BRASIL, 2000).
3.5 O livro didático
O livro didático é uma das fontes de estudo e informação mais utilizada no contexto
escolar da educação brasileira. Hoje, o livro didático divide a atenção dos estudantes com os
sites educativos de pesquisa, softwares, blogs e vídeoaulas, disponíveis e/ou postados no
ambiente computacional. No entanto, um bom livro didático de Matemática deve diversificar
55
suas representações de linguagens, prezar pelos conceitos e definições e apresentar ao
professor propostas de reflexão sobre sua prática didática. O livro didático deve também
propor ao estudante atividades diversificadas, com os três níveis de dificuldade (fácil, médio e
difícil) e direcionar o trabalho para a aplicação das ferramentas matemáticas na resolução de
situações problemas no seu contexto real.
Segundo Pais (2006, p.49), cabe ao professor:
[...] fazer articulações permanentes entre o livro didático e outras formas de
expressão do saber, pois no plano educacional mais amplo, a tendência é que todos
os recursos possam ser redimensionados e multiplicados para corresponder à
multiplicidade contida no fenômeno que interliga ensino e aprendizagem.
Dante (2014) cita em sua coleção “Projeto Múltiplo – Matemática”, que a educação
brasileira passa, de maneira geral, por fase de grandes mudanças, em termos de recursos
didáticos, de adaptação curricular, de expectativas de aprendizagem, de perfil cognitivo e
cultural dos nossos jovens. Essas transformações ocasionam mudanças no trabalho do
educador, podendo até mesmo causar desconforto ou insegurança para ele. Sendo assim, um
dos objetivos do livro didático hoje é fornecer elementos que ajudem a atender às
necessidades desse novo cenário educacional, tal como: atribuir ao aluno o papel central no
processo de ensino e aprendizagem. Como agente da sua aprendizagem e em constante
interação com o livro e diversos textos, o estudante é solicitado a responder perguntas, a
confrontar soluções, a verificar regularidades, a refletir sobre a sua prática e tirar conclusões.
O ideal é que os conteúdos sejam introduzidos na forma de situação problema e
posteriormente sistematizados, de modo que o aluno crie autonomia em seus estudos e
aprenda a aprender.
Segundo Lajolo et al (1999), os livros didáticos são centrais na produção, circulação e
apropriação de conhecimentos, sobretudo dos conhecimentos que cabem a escola difundir.
Dentre os diversos livros existentes, todos podem ter - e efetivamente têm - papel importante
na escola. Talvez o livro didático seja uma das modalidades mais antigas de expressão escrita,
sendo uma das condições para o funcionamento da escola.
Didático, então, é o livro que vai ser utilizado em aulas e cursos, que provavelmente
foi escrito, editado, vendido e comprado, tendo em vista essa utilização escolar e sistemática.
Sua importância aumenta ainda mais em países como o Brasil, onde uma precária situação
educacional faz com que ele acabe determinando conteúdos e condicionando estratégias de
ensino, marcando, pois, de forma decisiva, o que se ensina e como ensinar o que se ensina
(Lajolo et al, 1999).
56
O adjetivo “didático” qualifica e define certo tipo de obra, nesse caso, o livro didático é
instrumento específico e importantíssimo de ensino e de aprendizagem formal. Embora não
seja o único material de que professores e estudantes vão valer-se no processo de ensino e
aprendizagem, ele pode ser decisivo para a qualidade do aprendizado resultante das atividades
escolares (Lajolo et al, 1999).
3.5.1 Análise de três livros didáticos, quanto às funções: injetivas, sobrejetivas e bijetivas.
Tabela 1 - Livros didáticos do Ensino Médio selecionados para análise,
quanto às funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva
Livro Título Volume Autores Editora Ano
1 Matemática Uma
Nova Abordagem 1
José Ruy
Giovanni e
José Roberto
Bonjorno
FTD
2ª edição 2011
2
Matemática
Contexto e
Aplicações
1 Luiz Roberto
Dante
Ática,
5ª edição 2011
3
Matemática
Construção e
Significado*
1
Juliane
Matsubara
Barroso
Moderna,
1ª edição 2008
Fonte: Elaborada pelo autor
* Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna. Editora Executiva: Juliana
Matsubara Barroso.
Foram elaborados alguns parâmetros norteadores para análise dos livros didáticos
escolhidos, enumerados a seguir:
P1 – O livro apresenta algum registro histórico a respeito das funções sobrejetiva,
injetiva e bijetiva?
P2 – O autor trabalha primeiramente o conteúdo para depois defini-lo ou
conceituá-lo?
P3 – A linguagem utilizada pelo autor durante a exposição do conteúdo é clara,
57
objetiva e de fácil entendimento?
P4 – A parte ilustrativa (tabelas, diagramas e gráficos) apresentada atende
adequadamente a demanda do conteúdo proposto?
P5 – O autor apresenta algum exemplo contextualizado e/ou questão interessante para
o estudante?
P6 – Os exercícios propostos seguem a mesma linha pedagógica (linguagem)
trabalhada no desenvolvimento do conteúdo?
P7 – As atividades contemplam os diversos níveis de dificuldade (fácil, médio e
difícil) e apresentam questões-problemas de aplicação, em situações reais, referentes
as funções sobrejetivas, injetivas e bijetivas?
P8 – Durante a exposição dessas funções, o autor traz algum recurso didático
alternativo, como curiosidades, desafios ou problemas de aplicação em situações
reais?
P9 – Em algum momento o livro indica algum site e/ou software computacional, bem
como propõe a utilização de calculadora para enriquecer o ensino e aprendizagem do
conteúdo trabalhado?
A seguir foi feito um estudo/resumo de cada livro analisado e algumas colocações que
se fizeram necessárias para o conhecimento e análise do conteúdo estudado (funções
sobrejetiva, injetiva e bijetiva).
Livro 1) Matemática Uma Nova Abordagem
Autores: José Ruy Giovanni e José Roberto Bonjorno
Volume 1 - 2ª Edição - Editora FTD – Ano: 2011
FUNÇÕES: SOBREJETIVA, INJETIVA E BIJETIVA:
O livro inicia o assunto ressaltando que irá destacar as possíveis qualidades de uma
função f: A→B, utilizando diagramas de Venn.
FUNÇÃO SOBREJETIVA – A condição para que uma dada função seja sobrejetiva é
apresentada logo na introdução do assunto. Após expor que, nesse caso, o conjunto domínio
deve se igual ao conjunto imagem, os autores trazem, como exemplo, a função f(x) = x2
e a
sua representação no diagrama a seguir.
58
Diagrama 1 – Função sobrejetiva
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
No diagrama 1, temos: Domínio= { -2, -1, 0, 1 }, Contra domínio = { 0, 1, 4} e
Imagem = { 0, 1, 4 }.
Os autores concluem que a função f, ora representada é sobrejetiva.
Observa-se que nesse momento o livro conclui o estudo dessa função e não propõe a
sua representação gráfica.
FUNÇÃO INJETIVA – O livro inicia essa função de maneira formal. Diz-se que f(x) é
injetora se, e somente se, para quaisquer x1, x2 ϵ A, com x1 ≠ x2 , tivermos f(x) ≠ f(x).
Apresenta, como exemplo, a função f(x) = x + 1 e constrói o seu diagrama a seguir.
Diagrama 2 – Função injetiva
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
No diagrama 2, temos: Domínio = {0, 1, 2}, Contra domínio = {1, 2, 3,4 } e Imagem =
{1, 2, 3}
Observa-se que f associa elementos distintos de A, à elementos distintos de B. Os
autores concluem que f é injetora.
59
FUNÇÃO BIJETIVA – Diz-se que a função é bijetiva se, e somente se, ela é injetiva e
sobrejetiva simultaneamente.
Observação: Sobre essa função é dito somente isso e utiliza-se uma exposição por diagrama
e depois por gráfico.
A função f(x) = 2x + 1 representa uma função bijetiva. A confirmação é justificada
pelo diagrama seguinte:
Diagrama 3 – Função bjetiva
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
No diagrama 3, temos: Domínio = {0, 2, 3}, Contradomínio = {1, 5, 7 } e
Imagem = {1, 5, 7}.
Os autores concluem que f é sobrejetiva e injetiva simultaneamente e por consequência
bijetiva.
O livro traz as representações gráficas somente após a exposição das três funções.
A seguir temos três representações gráficas, cada uma de uma função. A pergunta
implícita é: “o gráfico representa uma função bijetiva?” Para tanto, o autor analisa se a dada
função é sobrejetiva e injetiva, simultaneamente. É indicado traçar retas paralelas ao eixo x
pelos pontos que pertencem ao contradomínio. Se cada uma dessas retas interceptar o gráfico
em um único ponto, a função daquele gráfico é bijetiva.
60
Figura 1 – Representação gráfica da função bijetora
Fonte: Elaborado pelo autor (software GeoGebra)
Na figura 1, a função representada é injetora e sobrejetiva ao mesmo tempo, portanto é
bijetiva. Cada reta traçada verticalmente sob o gráfico intercepta o mesmo em apenas um
ponto.
Observação:
Nesse livro falta mostrar qual função o gráfico representa. Não é mencionado de onde
é retirado o contradomínio.
61
Figura 2 – Representação gráfica da função sobrejetiva
Fonte: Elaborado pelo autor (software GeoGebra)
A função representada pelo gráfico da figura 2, não é bijetiva, pois é sobrejetiva, mas
não injetiva.
Observação: Os autores justificam que uma das retas paralelas ao eixo x, intercepta o gráfico
em mais de um ponto.
Figura 3 – Representação gráfica da função injetiva
Fonte: Elaborado pelo autor (software GeoGebra)
62
A função representada pelo gráfico da figura 3, não é bijetiva, pois é injetiva, mas não
é sobrejetiva.
Importante:
Os autores justificam que se uma das retas traçadas, paralelas ao eixo das abscissas,
não interceptar o gráfico, f não é sobrejetiva.
A seguir o livro traz cinco exercícios de reconhecimento de várias funções, utilizando
diagramas, gráficos e funções, para classificá-las enquanto injetiva, sobrejetiva e bijetiva. Não
propõe nenhuma questão de aplicação dessas funções em situações problemas.
Considerações relevantes:
O livro 1 – “Matemática Uma Nova Abordagem – Versão Trigonometria”, apesar de
apresentar o título “Versão Trigonometria” oferece pouco recurso didático ao estudante no
que diz respeito às funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva. É importante ressaltar que para
trabalhar com as funções trigonométricas inversas é necessário que se tenha claramente o
conceito de função bijetiva, pois para uma função admitir a sua inversa, ela precisa ser
bijetiva.
De acordo com o exposto no livro, para uma função ser bijetiva, ela precisa ser
sobrejetiva e injetiva simultaneamente. Diante das nove questões elaboradas para análise do
livro, o mesmo atende adequadamente somente a três delas. As questões atendidas são P3, P4
e P6, que indagam, respectivamente, a respeito da clareza e objetividade da linguagem
apresentada, da ilustração envolvendo tabelas, diagramas e gráficos; da coerência das
atividades propostas com relação ao conteúdo e exemplos trabalhados.
As outras questões não atendidas pelo livro também são relevantes caracterizando-o
então como incompleto para o estudo das funções sobrejetivas, injetivas e bijetivas.
Livro 2) Matemática Contexto e Aplicações
Autor: Luiz Roberto Dante
Volume 1 - Editora Ática – Ano: 2011
FUNÇÕES: INJETIVA, SOBREJETIVA E BIJETIVA
63
Os outros dois livros analisados iniciam esse estudo pela função sobrejetiva, esse,
portanto, inicia com a função injetiva. O motivo não é explicitado.
FUNÇÃO INJETIVA (ou injetora) – Inicia-se com a definição bem formal.
Exemplo do rigor na linguagem matemática: x1 ≠ x2 , em A → f(x1) ≠ f(x2), em B.
Em seguida, o autor utiliza o recurso de diagrama para facilitar o entendimento da
definição. Colocam-se três diagramas, sendo os dois primeiros para funções injetivas (no
primeiro ficando dois elementos no contradomínio sem correspondentes, e no segundo, o
contradomínio é igual ao conjunto imagem). No terceiro diagrama coloca-se uma situação que
descaracteriza essa função, pois um elemento do contradomínio possui dois correspondentes
no domínio.
Após a definição e a representação por diagramas, o livro propõe a função f(x) = x2 – 1
e substitui dois valores simétricos na variável independente e conclui que essa função não é
injetiva, por possuir apenas uma mesma imagem (zero) para os dois elementos do domínio.
Observação: Interessante que esse exemplo une as duas representações (algébrica e por
diagrama). O livro não conclui o exemplo com a representação gráfica.
Na sequência, o livro mostra o exemplo f(x) = 2x, afirmando que essa função é
injetiva, porém, apenas algebricamente.
Apenas no final da exposição desse conteúdo, o livro traz a representação gráfica no
plano cartesiano. Ele coloca em forma de observação e sugere que desenhemos retas paralelas
ao eixo x e verifiquemos o seguinte: se todas as retas traçadas interceptarem o gráfico apenas
uma vez, a função é injetiva, mas se alguma reta traçada interceptar o gráfico mais de uma
vez, a função não é.
A seguir são colocados dois exemplos referindo-se a esse tipo de função, sendo apenas
o segundo afirmativo.
São propostos dois exercícios de simples identificação. O primeiro com cinco
diagramas e o segundo com quatro gráficos (apenas para verificar se cada gráfico representa
ou não uma função injetiva).
Observação:
Falta uma situação problema que culmine em uma função injetiva.
FUNÇÃO SOBREJETIVA (ou sobrejetora) – A explicação dessa função é bem mais
resumida e não apresenta gráfico algum. Inicia-se definindo função sobrejetiva e logo a seguir
são colocados três diagramas de Venn, sendo os dois primeiros representando função
64
sobrejetiva e o terceiro uma função não sobrejetiva.
No primeiro há um elemento do contradomínio que tem dois correspondentes no
domínio e, no segundo, todo elemento do conjunto contradomínio recebe apenas uma flecha
do conjunto domínio. No terceiro, há dois elementos no contradomínio que não possuem
correspondentes no domínio, descaracterizando, portanto, a função sobrejetiva (não pode
sobrar elemento no contradomínio sem correspondência, ou seja, contra domínio = imagem).
A seguir, o livro coloca três exemplos puramente algébricos de identificação de função
sobrejetiva.
As atividades propostas continuam sendo apenas de identificação, se f é ou não
sobrejetiva. As três atividades são representadas da seguinte forma: (I) Linguagem de função;
(II) Diagrama; (III) Gráfico.
FUNÇÃO BIJETIVA (ou bijetora) – O livro inicia o assunto informando que para uma
função f ser bijetiva, ela precisa ser injetiva e sobrejetiva, simultaneamente. Ilustra-se a
questão com quatro diagramas, sendo o primeiro representando uma função bijetiva e os
outros três negando.
Observação:
A cada função negada, o autor justifica que não é injetiva, ou não é sobrejetiva, ou
ainda não é nenhuma e nem outra.
São propostos os quatro exemplos de funções a seguir: f(x) = 3x, f(x) = x + 1, f(x) = x2
e f(x) = 2x. Afirma que as duas primeiras são bijetivas e as duas últimas não são bijetivas.
O trabalho é puramente algébrico e apresenta apenas a definição.
O livro propõe apenas dois exemplos de identificação, sendo o primeiro pelo diagrama
e o segundo pelo gráfico.
Considerações relevantes:
O livro 2 – “Matemática Contexto e Aplicações”, também atende parcialmente a
demanda proposta nos 9 (nove) parâmetros utilizados para análise do livro didático, no que
diz respeito as funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva. Dos 9 (nove) parâmetros elaborados
para análise, o livro atende adequadamente somente a quatro deles, que corresponde a 44,44%
(quarenta e quatro, vírgula quarenta e quatro por cento).
65
Os parâmetros atendidos foram P3, P4, P6 e P8, que indagam, respectivamente, a
respeito da clareza e objetividade da linguagem apresentada, da ilustração envolvendo tabelas,
diagramas e gráficos, da coerência das atividades propostas com relação ao conteúdo e
exemplos trabalhados, dos recursos didáticos alternativos utilizados durante a exposição do
conteúdo. O autor trabalha 9 (nove) exemplos comparativos que ajudam no entendimento das
funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva.
Os outros parâmetros não atendidos pelo livro também são relevantes, deixando o
estudante, portanto, sem algumas informações importantes, como por exemplo: registro
histórico e opções de aprofundamento utilizando recursos informatizados (softwares,
calculadoras e computadores) para o estudo dessas funções.
Livro 3) Matemática Construção e Significado
Editora executiva: Juliane Matsubara Barroso
Volume 1 - 1ª Edição - Editora Moderna - Ano: 2008
FUNÇÕES: INJETIVA, SOBREJETIVA E BIJETIVA
Esse livro inicia esse conteúdo informando ao leitor que as funções sobrejetiva,
injetiva e bijetiva são subitens da função inversa e que os conceitos apresentados a seguir são
necessários para o entendimento do conceito da função inversa.
Observação: Dentre os três livros didáticos analisados, esse foi o único que relacionou de
maneira efetiva e direta essas funções com a função inversa.
FUNÇÃO SOBREJETIVA – Inicia-se com a definição totalmente formal e com linguagem
puramente Matemática. Ressalta-se à frente que para a função ser sobrejetiva, o conjunto
imagem deve ser igual ao conjunto contra domínio. Segue exemplo a seguir representado pelo
Diagrama de Venn.
66
Diagrama 4 – Função sobrejetiva
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
No diagrama 4, temos: Domínio = {0, 1, 2}, Contradomínio = {0, 1, 4 } e Imagem =
{0, 1, 4 }.
O livro apresenta os dois exemplos seguintes: f(x) = x2
e f(x) = 2x e justifica através de
diagramas de Venn que a primeira função é sobrejetiva, ressaltando que contra domínio =
imagem, mas para a segunda função é apresentada apenas uma justificativa textual.
Importante:
Durante as explicações das três funções não é apresentado nenhum gráfico. A
representação gráfica é utilizada apenas em um exercício resolvido, após as explicações.
FUNÇÃO INJETIVA – A exposição desse conteúdo segue a mesma linha de
explicação da função sobrejetiva, anteriormente trabalhada, porém apenas com o exemplo
f(x) = 2x + 1. Ele é representado no diagrama e é dada a seguinte explicação: “Quaisquer
dois elementos distintos de A, tem como imagem elementos distintos em B”.
Observação:
Na representação por diagrama adotada pelo autor, há sobra do elemento 7 (sete) no
conjunto contradomínio, mas nada é falado a esse respeito.
A seguir o diagrama apresentado no livro.
67
Diagrama 5 – Função injetiva
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
No diagrama 5, temos: Domínio = {0, 1, 2}, Contradomínio = {1, 3, 5, 7} e Imagem =
{1, 3, 5}.
FUNÇÃO BIJETIVA – Define-se essa função dizendo que ela deve ser sobrejetiva e injetiva.
A seguir, o livro mostra um exemplo de uma função e o representa no diagrama. A
autora analisa se a função f(x) = x – 3 é bijetiva. No diagrama abaixo é mostrado que a
função dada é bijetora, por ser injetiva e sobrejetiva.
Diagrama 6 – Função bijetiva
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
No diagrama 6, temos: Domínio = {7, 8, 9}, Contradomínio = {4, 5, 6} e Imagem =
{4, 5, 6}.
Observação:
A autora utiliza as mesmas justificativas anteriores para as funções injetiva e
sobrejetiva.
No exercício resolvido a seguir, a proposta é mostrar que a função t(x) = x2 + 1 não é
68
bijetiva. O livro prova pela negação, de modo que se a função não for injetiva ou sobrejetiva
ou as duas, ela consequentemente não será bijetiva.
O exercício anterior é resolvido pela forma de diagrama e de gráfico.
São utilizados os valores simétricos: x1 = 2 e x2 = -2.
Diagrama 7 – Função não bijetiva
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
No diagrama 7, temos: Domínio = {-2, 2}, Contradomínio = {5} e Imagem = {5}.
Importante:
A autora propõe como encerramento de conteúdo um único exercício de classificação
de função injetora, sobrejetiva e bijetiva, por diagramas.
Considerações relevantes:
O livro 3 – “Matemática Construção e Significado”, também atende parcialmente a
demanda proposta nas nove questões utilizadas para análise do livro didático, no que diz
respeito as funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva. Dos 9 (nove) parâmetros elaborados para
análise, o livro atende adequadamente somente a dois deles. Os parâmetros atendidos são P3 e
P8, que indagam, respectivamente, a respeito da clareza e objetividade da linguagem e dos
recursos didáticos alternativos utilizados durante a exposição do conteúdo.
Os outros parâmetros não atendidos pelo livro também são relevantes, deixando o
estudante, portanto, sem muitas informações importantes. Como exemplo, podemos citar:
registro histórico a respeito do conteúdo, gráficos ilustrativos para facilitar a compreensão do
conteúdo, exercícios bem elaborados, contemplando os três níveis de dificuldade (fácil, médio
69
e difícil) que levem o estudante a desenvolver as habilidades necessárias nesse conteúdo e
opções de aprofundamento utilizando recursos informatizados (softwares, calculadoras e
computadores), para o estudo das funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva.
Após o estudo: Livro 1 - “Matemática Uma Nova Abordagem – Versão
Trigonometria”, Livro 2 - “Matemática Contexto e Aplicações” e Livro 3: “Matemática
Construção e Significado“, obtivemos o seguinte resultado:
Tabela 2 – Resultado da análise dos livros citados em relação às funções sobrejetiva,
injetiva e bijetiva
Parâmetros
Livros
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9
1 Não Não Sim Sim Não Sim Não Não Não
2 Não Não Sim Sim Não Sim Não Sim Não
3 Não Não Sim Não Não Não Não Sim Não
Fonte: Dados da pesquisa
Na tabela 2, as respostas “sim” foram dadas quando foi verificado que o autor atendeu
aos parâmetros levantados em todo conteúdo sobre as funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva,
e “não” quando deixou de atender integralmente ou parcialmente o parâmetro em análise.
3.5.1.1 Conclusão a respeito dos três livros didáticos analisados, quanto às funções
sobrejetiva, injetiva e bijetiva
De acordo com a análise feita, utilizando os parâmetros preestabelecidos, verificamos
que os três livros didáticos trabalham o conteúdo na mesma linha (de maneira superficial,
dando pouca importância a esse conteúdo). Eles não apresentam registro histórico, não
propõem recurso informatizado como alternativa didática e os exercícios são apenas de
reconhecimento das funções através de suas características.
Os livros não exigem praticamente nenhuma habilidade de raciocínio/construção e sim
de comparação/operacionalização, a partir de um modelo preestabelecido nos exemplos
fornecidos durante o desenvolvimento do conteúdo. Esses livros não atendem adequadamente
ao estudante no que diz respeito à construção do conceito de funções injetiva, sobrejetiva e
70
bijetiva, de forma a ser utilizado na concepção da função inversa.
3.5.2 Análise de três livros didáticos quanto às funções inversas Arco Seno e Arco Cosseno
Tabela 3 - Livros didáticos do Ensino Médio selecionados para análise, quanto às
funções inversas arco seno e arco cosseno.
Livro Título Volume Autores Editora Ano
1
Matemática
Construção e
significado
2
Editora
executiva:
Juliane
Matsubara
Barroso
Moderna,
1ª edição 2008
2
Matemática
Ciência e
aplicações
2
Gelson Iezzi,
Osvaldo Dolce,
David
Degenszajn,
Roberto Périgo
e Nilze de
Almeida
Atual,
4ª edição 2006
3
Matemática
Contexto e
aplicações
2 Luiz Roberto
Dante
Ática,
4ª edição 2011
Fonte: Elaborada pelo autor
Foram elaborados nove parâmetros norteadores para análise dos livros didáticos
escolhidos, enumerados a seguir:
P1 – O livro apresenta algum registro histórico a respeito das funções inversas arco
seno e arco cosseno?
P2 – O autor trabalha primeiramente o conteúdo para depois defini-lo ou conceituá-lo?
P3 – O autor se refere à função bijetiva, como pré-requisito, para abordar as funções
inversas arco seno e arco cosseno?
P4 – A linguagem utilizada pelo autor durante a exposição do conteúdo é clara,
objetiva e de fácil entendimento?
P4 – A parte ilustrativa (tabelas, diagramas e gráficos) apresentada atende
71
adequadamente a demanda do conteúdo proposto?
P6 – Os exemplos propostos são contextualizados e apresentam questões interessantes
para o aluno?
P7 – Os exercícios propostos seguem a mesma linha pedagógica (linguagem)
trabalhada no desenvolvimento do conteúdo e apresentam questões-problemas de aplicação
em situações reais?
P8 – Durante a exposição das funções inversas arco seno e arco cosseno, o autor traz
algum recurso didático alternativo, como curiosidades, desafios ou problemas de aplicação em
situações reais?
P9 – Em algum momento o livro indica algum site e/ou software computacional, bem
como propõe a utilização de calculadora para enriquecer o ensino e aprendizagem do
conteúdo trabalhado?
A seguir foi feito um estudo/resumo de cada livro analisado e algumas colocações que
se fizeram necessárias para o conhecimento e análise do conteúdo estudado (funções inversas
arco seno e arco cosseno).
Livro 1) Matemática – Construção e Significado
Editora Executiva: Juliane Matsubara Barroso
Volume 2 – Ensino Médio - Editora Moderna - 1ª Edição - 2008
FUNÇÕES ARCO SENO E ARCO COSSENO - O livro inicia justificando a ideia de função
inversa e prepara o estudante para a compreensão das funções seno, cosseno e tangente,
limitando os seus domínios para torná-las bijetivas e invertíveis.
O autor apresenta dois quadros, denominados “Recorde”. O primeiro informa que para
uma função ser bijetiva é necessário que ela seja injetiva e sobrejetiva, simultaneamente. O
segundo cita a inversão da imagem e do domínio entre as funções originais e suas inversas.
FUNÇÃO ARCO SENO – Inicia-se esse estudo limitando o gráfico da função g(x) = sen(x),
no intervalo [-π/2, π/2] para o eixo das ordenadas e [-1, 1] para o eixo das abscissas. Nesse
intervalo a função seno é bijetiva. A seguir o livro define a função arco seno apenas como
função f(x), como inversa da função anteriormente definida f(x), invertendo-se os intervalos
[-1, 1] e [-π/2, π/2]. No final o livro deixa claro que essa função é um arco cujo seno é x.
A seguir os gráficos de f e g são esboçados em um único plano cartesiano, cada um
com uma cor diferente. Ao seu lado é informado que esses gráficos são simétricos em relação
72
à reta bissetriz do 1° e 3° quadrantes.
Figura 4 – Representação gráfica das Funções Seno e sua inversa, Arco Seno
Fonte: Elaborado pelo autor (software GeoGebra)
Figura 4 - Na sequência, parte-se para o recurso gráfico, colocando o que representa a função
f(x) = sen(x), (na cor preta) cujo domínio = [-π/2 , π/2] e imagem = [-1, 1]. Desenha-se uma
reta bissetriz do 1° e 3° quadrantes e rebate o gráfico de f em torno dessa bissetriz gerando
então o gráfico da função f-1
, chamada de função f(x) = arco seno, (na cor azul) inversa da
função seno.
Observações:
a) Os gráficos ficaram muito bem feitos e de fácil entendimento.
b) Inicialmente, ao limitar os intervalos para a função g(x) = sem (x) se tornar bijetiva, o
livro não deixa claro para o leitor qual é o eixo que se está limitando o gráfico. Dessa
forma, é necessária a interpretação, a partir do gráfico, para se entender.
c) O livro não informa inicialmente que os gráficos estão esboçados abaixo. É preciso ler
todo o conteúdo para perceber essa informação.
d) Não é apresentado nenhum exemplo ao final da exposição dessa função. Ao terminar
as três funções arco seno e arco cosseno, o livro traz um único exercício resolvido
abordando as duas funções, simultaneamente. É um exemplo que não tem foco em
73
aplicação de função, e sim na manipulação algébrica.
FUNÇÃO ARCO COSSENO – Segue-se a mesma metodologia de explicação da função arco
seno.
O livro apresenta uma observação em um quadrinho ao lado do conteúdo, dizendo que
as sentenças abaixo são equivalentes:
. y = arcsen(x),com -1 ≤ x ≤ 1 e sen(y) = x, com -π/2 ≤ y ≤ π/2.
. y = arccos(x),com -1 ≤ x ≤ 1 e cos(y) = x, com 0 ≤ y ≤ π.
O exercício resolvido apresentado foi o seguinte:
Determinar o valor de: tg[arcsen(-1/2) + arccos1].
Após o exercício anterior, o autor coloca a sua resolução e são propostos outros quatro
exercícios exigindo apenas resoluções diretas de cálculos. Não há nenhuma explicação no
livro que dê suporte ao estudante para resolvê-los.
Considerações relevantes:
O Livro 1 – “Matemática Construção e Significado”, segundo a análise feita a partir
dos parâmetros preestabelecidos, oferece ao estudante recurso didático insuficiente no que diz
respeito às funções inversas arco seno e arco cosseno, atingindo um percentual positivo de
55% (cinquenta e cinco por cento), em relação aos itens analisados.
A seguir serão citados os parâmetros que esse livro, segundo a análise, não atendeu
adequadamente: o livro não apresenta nenhum registro histórico - P1, perdendo a
oportunidade de tornar o conteúdo mais atrativo e interessante para o aluno; o autor apresenta
inicialmente as definições e conceitos - P2, o que seria mais indicado, trabalhar inicialmente o
conteúdo, de forma geométrica, algébrica e aritmética, para depois conceituá-lo, o livro
também não apresenta exemplos contextualizados - P6, tornando, portanto, o conteúdo
desinteressante para o estudante e, por fim, não são citados no livro sites de pesquisa - P9,
e/ou aprofundamento, bem como os recursos computacionais e as calculadoras.
74
Livro 2) Matemática – Ciência e Aplicações
Autores: Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo
e Nilze de Almeida.
Volume 2– Ensino Médio - Editora Atual - 4ª edição - 2006
FUNÇÕES ARCO SENO E ARCO COSSENO - O livro inicia o conteúdo informando ao
leitor que é necessário fazer adaptações nos domínios das funções a serem invertidas, devido
as mesmas serem periódicas (injetivas).
FUNÇÃO ARCO SENO – Inicia-se esse assunto expondo o valor do seno, com o exemplo
sen(x) = ½ , com a seguinte questão: Qual é o conjunto de arcos cujo seno seja ½ ? Existem
infinitos arcos côngruos nessas condições.
Para tornar a função inversível (bijetiva) é necessário que se faça uma restrição no
domínio da função para [-π/2 , π/2].
Como representação, o livro propõe uma ilustração gráfica, colocada a seguir,
destacando apenas um dos eixos (vertical – contradomínio).
Figura 5 – Representação gráfica da Função Seno
Fonte: Elaborado pelo autor (software GeoGebra)
Na figura 5 foi feita a restrição sobre o domínio da função f(x) = sen(x), e pode-se
notar que cada elemento do intervalo [-1, 1] passa ser imagem exclusivamente de um arco(x)
de [-π/2 , π/2].
75
Com isso, a função f(x) = sen(x) torna-se bijetora e, portanto, inversível.
O livro apresenta três exemplos ilustrativos, sendo que o primeiro de interpretação
gráfica, o segundo de resolução imediata, exigindo apenas o entendimento da relação inversa
f(x) e f-1
(x) e no terceiro exemplo, coloca-se a função arcsen(x) dentro da função cosseno,
exigindo primeiro a resolução da função arcsen(x).
Foram propostos oito exercícios com vários níveis de dificuldade algébrica, porém
nenhum deles tem aplicação em situação problema.
FUNÇÃO ARCO COSSENO – Esse estudo começa restringindo o domínio da função
f(x) = arccos(x), considerando D = [0 , π]. Nesse intervalo, o conjunto contradomínio da
f(x) = arccos(x) varia de [-1 , 1].
Logo a seguir, é apresentado o gráfico apenas em um eixo (x), variando conforme dito
anteriormente no intervalo [0 , π].
Observação: O autor deixa claro que para cada valor de x corresponde a um único valor de y.
O livro apresenta o gráfico das duas funções g(x) e g-1
(x), invertendo os intervalos
domínio e imagem, entre os dois gráficos. É utilizado novamente o rebatimento da função
cos(x) em torno da reta bissetriz do 1° e 3° quadrantes.
Para concluir o autor mostra dois exemplos ilustrativos, sendo o primeiro bem mais
fácil que o segundo.
Importante:
São propostos dez exercícios com diferentes níveis de dificuldades, porém, exigindo
apenas manipulações algébricas para resolvê-los.
Considerações relevantes:
O Livro 2 – “Matemática Ciência e Aplicações”, segundo a análise feita a partir dos
parâmetros preestabelecidos, oferece ao estudante recurso didático suficiente no que diz
respeito às funções inversas arco seno e arco cosseno, atingindo um percentual positivo de
78% (setenta e oito por cento) em relação aos itens analisados. A seguir serão citados os dois
parâmetros que esse livro, segundo a análise, não atendeu adequadamente: o livro não
apresenta exemplos contextualizados - P6, tornando, portanto, o conteúdo desinteressante para
o estudante e não são citados sites de pesquisa - P9, e/ou aprofundamento, bem como os
recursos computacionais e as calculadoras. Os outros sete parâmetros são contemplados de
76
forma adequada e satisfatória pelo livro, prezando por uma boa qualidade e facilitando o
ensino e aprendizagem para o estudante das funções inversas arco seno e arco cosseno.
Livro 3) Matemática Contexto e Aplicações
Autor: Luiz Roberto Dante
Volume 2 – Ensino Médio – Editora Ática - 4ª Edição – 2011
FUNÇÕES ARCO SENO E ARCO COSSENO – O livro começa informando que por estudo
anterior de trigonometria, a função f(x) = sen(x) não admite inversa, por não ser injetiva e
sobrejetiva. O mesmo acontece com a função f(x) = cos(x).
Observação: O autor fala em escolher certos domínios e contradomínios para tornar essas
funções bijetivas e consequentemente invertíveis.
FUNÇÃO ARCO SENO – Na função f(x) = sen(x), deve-se limitar o domínio no intervalo[-
π/2 , π/2], gerando nesse intervalo um contradomínio [-1, 1]. Sendo assim essa função admite
inversa.
Observações:
a) A linguagem utilizada é muito formal
b) Os gráficos ficaram muito bem feitos e de fácil entendimento
c) Falta informar qual função cada gráfico representa
d) Abaixo do gráfico é informado que a inversa de f(x) = sen(x) é f(x) = arcsen(x)
Em seguida, o livro apresenta o gráfico dessa função, destacando-se a curva, em outra
cor, limitada por esses intervalos.
Importante:
O estudante provavelmente terá dificuldade de interpretar o texto: “lê-se: y é o arco de
-π/2 a π/2, cujo seno é x”, colocado no livro como conclusão dessa função, por se tratar de
uma linguagem estritamente técnica e formal.
FUNÇÃO ARCO COSSENO – É adotada a mesma linha de exposição daquela
utilizada na função anterior. Inicialmente, definem-se os intervalos para que a função
77
f(x) = cos(s) admita sua inversa. Nesse caso, o domínio deve estar no intervalo [0 , π] e o
contradomínio continua o mesmo da função seno. Esboça-se o gráfico e destaca-o de uma cor
diferente, nos intervalos acima citados. Logo abaixo do gráfico, o livro coloca em linguagem
puramente Matemática que a inversa da função f(x) = cos(x) é a f(x) = arccos(x).
Em nenhum momento o livro apresenta o gráfico da função inversa. Ele mostra três
exercícios resolvidos que utilizam apenas manipulações algébricas e depois propõe outros três
para resolução, porém na mesma linha dos anteriores.
No tópico “Funções inversas usando calculadora”, o livro ensina, utilizando a
calculadora, como obter um ângulo a partir do valor do seu seno ou cosseno. Finaliza esse
tópico mostrando três exercícios resolvidos utilizando a calculadora e propõe vários outros
exercícios para o leitor resolvê-los.
Observação:
O autor encerra o conteúdo colocando a função na forma y = arccos(x) e entre
parênteses conclui com a seguinte explicação: “y é o arco de 0 a π, cujo cosseno é x”.
Considerações relevantes:
O Livro 3 – “Matemática Contexto e Aplicações”, segundo a análise feita a partir dos
parâmetros preestabelecidos, oferece ao estudante recurso didático razoável no que diz
respeito às funções inversas arco seno e arco cosseno, atingindo um percentual positivo de
resposta.
A seguir serão citados os três critérios que esse livro, segundo a análise, não atendeu
adequadamente: o livro não apresenta nenhum registro histórico P1, perdendo a oportunidade
de tornar o conteúdo mais atrativo e interessante para o estudante; também não apresenta
exemplos contextualizados - P6, perdendo a oportunidade de tornar o conteúdo mais atrativo e
interessante para o estudante e, por fim, o autor não apresenta no livro nenhum recurso
didático alternativo – P8, como desafios, curiosidades e chamadas de atenção para o conteúdo
em questão, perdendo a oportunidade de chamar a atenção do estudante e tornar o conteúdo
mais prazeroso de se estudar.
Os outros seis critérios são contemplados de forma adequada e satisfatória pelo livro,
prezando por uma boa qualidade e facilitando o ensino e aprendizagem para o estudante das
funções inversas, arco seno e arco cosseno.
78
Após o estudo dos livros - Livro 1: “Matemática Construção e Significado”, Livro 2:
“Matemática Ciência e Aplicações” e Livro 3: “Matemática Contexto e Aplicações”, obteve
os seguintes resultados.
Tabela 4 – Resultado da análise dos livros em relação às funções inversas arco seno e
arco cosseno
Parâmetros
Livros
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9
1 Não Não Sim Sim Sim Não Sim Sim Não
2 Sim Sim Sim Sim Sim Não Sim Sim Não
3 Não Sim Sim Sim Sim Não Sim Não Sim
Fonte: Elaborada pelo autor
Na tabela 4, as respostas “sim” foram dadas quando foi verificado que o livro atendeu
às questões levantadas em todo conteúdo sobre as funções inversas arco seno e arco cosseno,
e “não” quando deixou de atender integralmente ou parcialmente o parâmetro em análise.
3.5.2.1 Considerações a respeito dos três livros didáticos analisados, quanto às funções
inversas arco seno e arco cosseno
De acordo com a análise feita a partir dos parâmetros preestabelecidos, os três livros
didáticos trabalham o conteúdo funções inversas arco seno e arco cosseno de forma
satisfatória. Dos critérios relacionados ao registro histórico P1, apenas o livro 2 aborda;
também a proposta de indicação de sites e/ou recursos computacionais, bem como
calculadoras - P9, apenas o livro 3 contempla e o mais grave é o critério “exemplos
contextualizados - P6”, que nenhum dos três livros analisados atende, ou seja, nenhum deles
trabalha com exemplos de aplicação em situações reais.
Por outro lado, esses três livros analisados apresentam a função bijetiva - P3 como
pré-requisito para o estudo de funções inversas; utilizam uma linguagem clara e objetiva - P4,
facilitando, portanto, o ensino e aprendizagem do conteúdo abordado. É importante ressaltar
também a boa qualidade das ilustrações - P5 nos três livros. Por fim, os exercícios propostos –
79
P7 são elaborados de acordo com a linha didática trabalhada durante a exposição do conteúdo
do livro, criando assim um material de consulta para o estudante caso tenha dúvidas durante a
execução das atividades.
81
4 CONSTRUÇÃO DO OBJETO DE APRENDIZAGEM – OA
Neste capítulo, serão descritas as etapas pelas quais o produto final, fruto desse
trabalho, denominado “Criação de um Objeto de Aprendizagem com funções arco seno e arco
cosseno, aplicadas na área eletroeletrônica”, foi elaborado. Para tanto, nos orientamos pelas 3
(três) fases de construção do OA, citadas em Rodrigues et al (2007), anteriormente.
O objetivo geral da construção deste OA é a oportunidade de oferecer ao educador
matemático e ao estudante, do Ensino Médio e do Ensino Técnico, da Área de
Eletroeletrônica, uma ferramenta complementar de estudo, que lhes proporcione um ambiente
interativo, interessante e agradável, de se aprender o conteúdo em questão.
Após a delimitação do tema de pesquisa, começamos várias leituras, como suporte
teórico, para orientar na construção de um OA que atendesse o público alvo da pesquisa, no
que diz respeito a qualidade e interatividade, tanto do ambiente informatizado a ser utilizado
na hospedagem do OA, quanto na importância das atividades propostas.
Após esses cuidados terem sidos contemplados, iniciamos os trabalhos de produção do
OA, definindo-se primeiramente o ambiente computacional no qual ele seria criado.
Conforme informações contidas nos tópicos 4.2 e 4.3 desta Dissertação, o ExeLearning foi o
ambiente escolhido para a construção do OA.
O OA foi construído a partir de pesquisas realizadas a respeito de Objetos de
Aprendizagens e da definição do conteúdo do trabalho de pesquisa realizado, entre o
Mestrando e o Orientador.
Todos os 24 (vinte e quatro) itens e animações das 4 (quatro) atividades constantes
nesse OA foram pensados de modo a contribuir para o ensino e aprendizagem do conteúdo
“funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas arco seno e arco cosseno”, de forma
mais significativa e interativa. Foram observadas e contempladas as orientações de Zabala
(1998), no que diz respeito aos modelos apresentados em seus trabalhos sobre as sequências
didáticas.
As atividades compostas nesse OA foram elaboradas com o objetivo de propor um
ensino e aprendizagem a partir dos conceitos matemáticos aplicados em outros contextos
externos, prioritariamente, nos cursos técnicos da área de eletroeletrônica. Espera-se que os
estudantes desenvolvam suas capacidades cognitivas no conteúdo “Funções trigonométricas
seno, cosseno e suas inversas arco seno e arco cosseno” de forma eficaz.
Segundo os PCN´s - Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, o
estudante concebe a Matemática como um conjunto de técnicas e estratégias a serem
82
aplicadas em outras áreas do conhecimento. Diante disso, o conteúdo matemático citado foi
desenvolvido considerando-se definições, conceitos, propriedades, bem como as
representações, geométrica, algébrica e aritmética.
Como ferramenta computacional auxiliar ao ensino e aprendizagem do conteúdo em
questão, várias animações foram utilizadas na construção dos itens das atividades.
O OA foi desenvolvido de modo que não é necessário o conhecimento do
funcionamento do software GeoGebra para o manuseio das animações. Para explorar as
animações basta que o estudante utilize o mouse do computador e as suas instruções.
Foram excluídas do OA todas as funções do software GeoGebra que não são
necessárias às atividades, evitando então que o estudante perca o foco do trabalho no qual está
se submetendo ou a desorganização do ambiente informatizado.
Dentre as 4 (quatro) atividades propostas no OA, as duas primeiras tem como
objetivos revisar o conteúdo “funções inversas” e introduzir o conceito de “funções
trigonométricas inversas arco seno e arco cosseno”. Didaticamente, essa revisão proporciona
ao estudante uma familiaridade com esse conteúdo, para que, posteriormente, possa aplicar
nas atividades direcionadas ao ensino técnico da área de Eletroeletrônica.
As duas últimas atividades contem itens cujo propósito é aplicar as funções
trigonométricas inversas na análise de circuitos elétricos e nos triângulos de potências. Dessa
forma, objetivou-se criar um OA que pudesse ser utilizado tanto no Ensino Médio regular,
referente às duas primeiras atividades, quanto no Ensino Técnico Profissional, na área de
eletroeletrônica, se tratando das duas últimas atividades.
Segundo Pinto (2014), na elaboração das atividades, procura-se contemplar alguns
parâmetros que Zabala (1998) destaca como necessários para reconhecer a validade de uma
sequência didática programada para desenvolver determinado conteúdo, tais como:
a) itens das atividades adequados ao nível de desenvolvimento intelectual dos estudantes;
b) permitir verificar os conhecimentos prévios que cada estudante tem em relação aos
novos conteúdos de aprendizagem;
c) propor conteúdos de forma funcional;
d) itens que promovam a atividade mental do estudante;
e) estimular a autoestima e o autoconceito em relação às aprendizagens que se propõem;
f) ajudar o estudante a adquirir habilidades relacionadas com o aprender a aprender,
contribuindo para que o aluno seja cada vez mais autônomo em suas aprendizagens.
83
A seguir, são feitas descrições sobre o ambiente computacional ExeLearning, Objeto
de Aprendizagem e software GeoGebra, utilizados na construção do OA.
4.1 O software ExeLearning
Nos registros históricos do ExeLearning, constam que ele se desenvolveu graças à
colaboração do fundo da Comissão do Governo da Nova Zelândia para o Ensino Superior e
foi dirigido pela Universidade de Auckland, a Universidade de Tecnologia de Auckland e
Politécnica de Tairawhiti. Mais tarde, foi apoiada pela CORE Education, uma organização
filantrópica educativa na Nova Zelândia para a investigação e o desenvolvimento
educacional2.
Optamos por utilizar o ExeLearning como ambiente para a construção deste OA pelo
fato de ser um editor de código aberto, que permite ao pesquisador publicar conteúdos
didáticos em suportes digitais sem a necessidade de ser ou tornar-se especialista em HTML ou
em XML. Os meios criados no ExeLearning podem ser exportados em formato de pacotes de
conteúdo IMS, SCORM 1.23 ou IMS Common Cartridge, ou como páginas HTML simples e
independentes. No caso deste OA, o arquivo final foi exportado como página HTML, de
modo que a sua utilização fique disponível para acesso na rede mundial de computadores
(internet) ou no modo off-line.
Conforme citado anteriormente, as animações foram construídas com a utilização do
software GeoGebra, transformadas em aplicativos e exportadas para o software ExeLearning.
Dessa forma, se o equipamento utilizado estiver on-line, o OA funciona totalmente e caso o
equipamento estiver off-line, o OA funciona parcialmente (as animações não abrem).
4.2 O objeto de aprendizagem e o software GeoGebra
A proposta de ensino e aprendizagem das funções trigonométricas inversas está
inserida nas atividades de um OA informatizado, necessitando, portanto de um software que
nos possibilitasse a representação algébrica e geométrica, de forma dinâmica, do conteúdo em
questão.
2 Desenvolvedores do ExeLearning: http://exelearning.org/ (acesso em 16/10/2014)
3SCORM - Sharable Content Object Reference Model é uma coleção de padrões e especificações para e-
learning baseado na web.
84
O software GeoGebra, versão 4.2, foi escolhido pelo fato de atender às necessidades
exigidas na construção das animações propostas neste OA, e de fácil aquisição. Sua interface
amigável facilita a sua manipulação.
O GeoGebra é um aplicativo dinâmico para o estudo de Matemática e aborda
conceitos de geometria e álgebra. A sua distribuição é livre, nos termos da General Public
License - GNU, e é escrito em linguagem Java, o que lhe permite estar disponível em várias
plataformas. Ele foi desenvolvido por Markus Hohenwarter, da Universidade de Salzburg,
para a educação matemática nas escolas.
O software GeoGebra permite ao usuário realizar construções geométricas e criar
funções que podem se modificar posteriormente de forma dinâmica.
4.3 A construção das atividades
Este OA contém 4 (quatro) atividades elaboradas a partir de itens de múltipla escolha,
com 4 (quatro) opções de respostas. Em cada opção de resposta, o estudante obtém um
retorno. Esse retorno só é apresentado ao estudante após a marcação das opções dos itens. O
objetivo desse retorno é oferecer dicas para tomada de decisão para a próxima tentativa de
opção de resposta, caso ele erre a opção anterior. As animações contidas nos itens das
atividades foram construídas utilizando o software GeoGebra 4.2, tornando possível a
representação geométrica e dinâmica das situações existentes nelas. Desse modo, o estudante
pode fazer experimentos, testar conjecturas, fazer inferências e tomar decisões para responder
os itens propostos.
A seguir serão descritos título, conteúdo, objetivos e desenvolvimento de cada uma
das atividades propostas nesse OA.
4.3.1 Atividade 1
TÍTULO: Criando o conceito de função inversa
CONTEÚDO: Função Afim
OBJETIVOS: Relembrar alguns conceitos importantes, tais como: relação entre duas
grandezas para o conteúdo de função; conjuntos domínio e contra domínio de uma função;
construção do gráfico de uma função; análise gráfica e reta identidade. Com esses conceitos e
definições essa atividade pretende proporcionar ao estudante a compreensão do conceito de
85
função inversa.
DESENVOLVIMENTO: Essa atividade foi construída a partir de uma situação problema
denominada “máquina de transformação numérica” e utiliza do preenchimento de uma tabela
numérica referente ao problema em questão e a construção automática do seu respectivo
gráfico. São propostas também duas animações para dinamizar os itens constantes nela.
Possui 6 (seis) itens, sendo os 3 (três) primeiros relacionados e correlacionados diretamente
ao problema inicial e os 3 (três) últimos abordando o conceito de função inversa, a partir de
duas animações distintas.
Foi elaborado e disponibilizado dentro da atividade, a partir de um ícone específico, o
“suporte teórico”. É um apoio ao estudante no que diz respeito ao conteúdo, abordado e
exigido dentro dos itens da atividade. O estudante pode consultá-lo, caso necessário. Os
conteúdos desse suporte teórico são necessários para a execução dessa atividade e os
conceitos das funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva são desenvolvidos de forma objetiva e
didática. A definição de função inversa, a partir de explicações claras e construção dos
gráficos de uma função original e de sua inversa também é citada.
A figura 6 apresenta cópia da tela inicial da atividade 1, com suas opções de acesso:
suporte teórico e desenvolvimento (itens). Nesta tela encontram-se também o título, o
conteúdo, o objetivo e o método.
Figura 6 – Cópia da tela inicial da atividade 1
Fonte: Elaborada pelo autor (software ExeLearning)
O primeiro item da Atividade 1 tem o objetivo de verificar se o estudante consegue
relacionar as grandezas do problema proposto inicialmente: número de entrada e número
transformado, aos conjuntos domínio e contra domínio. Antes, porém, o estudante é
86
convidado a preencher a tabela com os dados de entrada do problema e observar a construção
automática do seu gráfico, simultaneamente.
A opção correta (alternativa C) desse item exige que o estudante compreenda que a
reta é construída a partir da tabela preenchida e representa todos os pares ordenados possíveis
referente ao problema. A limitação do intervalo [-5; 5] para inserção dos números de entradas
na tabela, foi proposta apenas para orientar o estudante.
O segundo item da Atividade 1 propõe a construção da função, devendo relacionar a
grandeza número transformado “t”, em função do número de entrada “n”, obtida através do
entendimento do problema apresentado para essa atividade.
Alterações de ordem foram feitas nas variáveis das opções de respostas. O objetivo é
verificar se o estudante compreende corretamente as variáveis dependente e independente no
tratamento de função. O modo como as opções de respostas são apresentadas exige que o
estudante esteja atento à operação básica que norteia a resolução do problema.
É importante que ele tenha o cuidado de analisar a intenção dos parênteses das opções
de respostas “C e D”. Os retornos das respostas erradas nesse item atentam para a propriedade
distributiva, exigida pela colocação dos parênteses.
Observemos a similaridade dos itens B: t = 2n + 1 e C: t = 2(n + 1), mas a diferença
significativa dos seus resultados.
O terceiro item da Atividade 1 aborda a função inversa e propõe ao estudante a
construção da função que represente o raciocínio inverso do problema inicial. Procuramos
manter o mesmo padrão de construção do item anterior. É importante ressaltar que as
variáveis “t” e “n” são mantidas como no item anterior e que o estudante perceba, nesse
momento, que a pergunta feita implicitamente leva ao procedimento inverso. Ou seja, se ele
será capaz de construir a função que responda a seguinte pergunta: qual é o número de entrada
que gera um determinado número transformado? Para tanto, explicita-se a variável “n”, nas
opções de respostas. Nesse item são explorados, como no item anterior, os parênteses e as
operações inversas, com o objetivo de verificar o entendimento do estudante quanto a esses
conceitos.
Para resolver esse item, subtrai-se primeiramente uma unidade, para então dividir por
dois. Espera-se que o estudante perceba que esses procedimentos são inversos aos citados no
problema do início da atividade “máquina de transformação numérica”. No problema são
colocados os termos: “dobra esse número e adiciona uma unidade”. A resposta correta desse
item é a função n = (1 – t)/2, representada pela letra C.
O quarto item da Atividade 1 utiliza uma representação gráfica da situação problema
87
do início dessa atividade e a partir da compreensão do gráfico, propõe uma questão que elenca
quatro opções de resposta a partir da análise da animação 1.
Para uma melhor visualização da relação entre as retas “original e sua inversa”,
construímos uma reta bissetriz entre o 1° e 3° quadrantes. Essa animação auxilia o estudante a
conceber a ideia de função inversa, com valores gerados pela manipulação do seu botão de
arraste. No item 4, é necessário o estudante perceber que a abscissa de um par ordenado,
representado pela letra B, equivale ao valor da ordenada do outro par ordenado, representado
pela letra C, tornando assim esses pares ordenados equidistantes da reta bissetriz. A partir
dessa compreensão, esperamos que o estudante consiga construir o conceito de função
inversa.
Nas figuras 7, 8 e 9 são apresentadas as cópias do texto explicativo da animação 1
(Bissetriz), da própria animação 1 e do quarto item, atividade 1.
Figura 7 – Cópia do texto explicativo da animação 1 (Bissetriz), Atividade 1
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
Figura 8 – Cópia da animação 1 (Bissetriz), Atividade 1
Fonte: Elaborada pelo autor (software GeoGebra)
88
Figura 9 – Cópia do quarto item, Atividade 1
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
O quinto e o sexto itens da Atividade 1 objetivam consolidar o estudo de função
inversa desenvolvido na atividade 1. Para resolver esses itens, o estudante necessita do apoio
da animação 2, denominada “inversa”, ora apresentada em cópia nas figuras 10 e 11.
Figura 10 – Cópia do texto explicativo da animação 2 (Inversa), Atividade 1
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
89
Figura 11 – Cópia da animação 2 (Inversa), Atividade 1
Fonte: Elaborada pelo autor (software GeoGebra)
O quinto item da Atividade 1 pretende verificar se o estudante manipula
adequadamente a animação 2 (inversa), interpreta os valores gerados através dos pares
ordenados B e C e consegue relacionar as distâncias D1 e D2, obtidas entre os pontos B e A, C
e A, com as coordenadas desses pares ordenados. Para resolver esse item, ele precisa saber
também o significado dos termos “equidistantes” e “simétricos”. Ao perceber as distâncias
iguais, esperamos que o estudante verifique o que ocorre com as coordenadas dos pares que
geram essas distâncias iguais. Se ele perceber que os pares invertidos (abscissa e ordenada)
geram distâncias iguais entre as retas representadas pelas funções: “original e identidade” e
“inversa e identidade”, provavelmente acertará esse item.
A opção correta para esse item é a letra C, que relaciona distâncias D1 e D2 iguais entre
os pontos B e A, C e A, e as coordenadas dos pontos B e C.
O sexto item da Atividade 1 propõe uma análise nos elementos distâncias D1 e D2 e
coordenadas dos pontos B e C. A partir da manipulação do botão de rolagem e observação dos
elementos citados anteriormente, o estudante analisará as quatro afirmações apresentadas nas
opções de respostas desse item e julgará qual é a correta. O sexto item encerra a Atividade 1,
relacionando a animação 2 (inversa) com as opções de resposta desse item e volta a citar os
termos do problema inicial “máquina de transformação numérica”, como número de entrada e
número de saída. Porém, pretendemos nesse momento que o estudante consiga relacionar as
coordenadas dos pares ordenados B e C, com os valores de entrada e de saída da máquina do
problema inicial dessa atividade.
90
A opção correta é a letra D, que afirma que o ponto B está relacionado ao número de
entrada da “máquina de transformação numérica”. Nesse instante, o estudante pode perceber
que esse ponto possui a ordenada igual ao dobro da abscissa, adicionada uma unidade. Essa é
justamente a operação que essa máquina executa.
4.3.2 Atividade 2
TÍTULO: As funções seno, cosseno e suas inversas.
CONTEÚDO: Estudo das funções seno, cosseno e suas inversas, com representações e
restrições do domínio.
OBJETIVOS: Levar o estudante a construir o conceito de funções seno, cosseno e suas
inversas pelos métodos algébrico (equações), numérico (tabelas) e geométrico (gráficos). A
atividade está construída com hierarquia de dificuldades, de forma que ao superar uma
questão anterior, o estudante esteja preparado para executar a etapa imediatamente posterior.
DESENVOLVIMENTO: Nessa atividade desenvolvemos os conceitos das funções inversas
às funções trigonométricas seno e cosseno. Utilizamos 5 (cinco) animações que irão auxiliar o
estudante na compreensão e execução de cada item da atividade 2.
Foi elaborado e disponibilizado na atividade 2, a partir de um ícone específico, o
“suporte teórico”. É um apoio ao estudante em relação ao conteúdo abordado nos itens dessa
atividade. Ao executar essa atividade, o estudante deverá consultá-lo, caso necessário. Os
conceitos e definições das funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, são
desenvolvidos por construções.
As figuras 12, 13 e 14 trazem as cópias das telas iniciais da Atividade 2, com suas
opções de acesso: suporte teórico e desenvolvimento (itens). Nesta tela, encontram-se também
o título, o conteúdo, o objetivo e o método.
91
Figura 12 – Cópia da tela inicial, Atividade 2
Fonte: Elaborada pelo autor (software ExeLearning)
A Atividade 2 é iniciada com a animação 1, conforme figura 13, cujo objetivo é
desenvolver a percepção das funções seno e cosseno, em relação a um determinado ângulo.
Figura 13 – Cópia do texto explicativo da animação 1, Atividade 2
(Construindo o Seno e Cosseno)
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
92
Figura 14 – Cópia da animação 1, Atividade 2 (Construindo o Seno e Cosseno)
Fonte: Elaborada pelo autor (software GeoGebra)
No primeiro item, o objetivo é verificar se o estudante compreende o comportamento
das funções trigonométricas seno e cosseno, ao variar o ângulo com o botão de arraste da
animação 1. O estudante deverá ser capaz de comparar os valores das duas funções e perceber
que o ângulo de 45° é o único das opções de respostas, cujo seno e cosseno são iguais.
Ressaltamos que ele é o menor ângulo positivo, com essa possibilidade.
No segundo item da Atividade 2, esperamos que o estudante manipule o botão da
animação 1 (escolhendo o seno e o cosseno), até obter um ângulo que gere o valor do seno
igual a 0 (zero) e do cosseno igual a -1 (menos um). Esse item objetiva introduzir a ideia de
função trigonométrica inversa, através de uma questão dinâmica. Ou seja, ele tem a
oportunidade de testar diversos valores para o seno e cosseno e verificar os ângulos
relacionados a esses valores. Observamos que ele terá que fazer o caminho inverso do qual
está acostumado nas funções seno e cosseno.
Antes, porém, a pergunta que se fazia era a seguinte: qual é o valor do seno ou do
cosseno de um determinado ângulo? Nesse item, a pergunta pode ser feita e interpretada da
seguinte maneira: qual é o ângulo, cujo seno ou cosseno vale x? Ainda não é apresentado o
termo arco seno e arco cosseno ao estudante. Colocamos apenas a ideia geradora desse
entendimento. Procuramos colocar nos itens de resposta os valores dos ângulos (90°, 180°,
270° e 360°) formados a partir do encontro do círculo trigonométrico com os eixos
cartesianos, pois todos esses ângulos geram valores diferentes para o seno e o cosseno.
O objetivo do terceiro item da Atividade 2 é introduzir o conceito e o entendimento de
arco seno. O estudante pode perceber que esse item é muito similar ao segundo item dessa
atividade, porém a proposta da animação 2 (escolha o seno) é inversa da animação 1, utilizada
93
no segundo item. Na animação 2, o estudante pode variar os valores dos segmentos de reta do
eixo seno manipulando o botão A e observando o que ocorre com os ângulos formados a
partir dessa variação. Tivemos o cuidado de facilitar o significado da função arco seno, dentro
do próprio item, aliado a uma animação que reforça essa compreensão. Pretendemos que ao
responder esse item, o estudante tenha o seguinte entendimento: “então, o ângulo cujo seno
vale 0,5, é 30°”.
O quarto e o quinto itens da Atividade 2, têm objetivo similar ao do item anterior,
apenas diferindo no tipo da função. A animação 3 (escolha o cosseno) será utilizada para o
estudante obter o ângulo desejado a partir da sua manipulação e o conceito de arco cosseno
deverá ser compreendido, a partir do mesmo raciocínio desenvolvido no terceiro item dessa
atividade.
No quinto item, oportunizamos ao estudante a verificação dos seus conhecimentos
prévios sobre máximo e mínimo de uma função. Esperamos que ele consiga responder esse
item conciliando os conhecimentos adquiridos nos itens anteriores dessa atividade, a fim de
consolidar a definição e o conceito de função trigonométrica inversa arco cosseno. É
importante o estudante observar que, ao variar o valor do cosseno, são formados dois ângulos
cuja soma é igual a 360°. Nesse caso, existem dois ângulos que possuem o mesmo cosseno.
Esse é o ponto crucial para responder corretamente o quinto item da Atividade 2.
No sexto e sétimo itens, utilizamos duas animações denominadas (seno e arco seno,
cosseno e arco cosseno) e pressupomos que para o estudante responder esses itens
corretamente tenha assimilado adequadamente o significado de arco seno e arco cosseno,
desenvolvidos anteriormente. As figuras 15 e 16 são cópias da animação (seno e arco seno) e
do sexto item.
94
Figura 15 – Cópia da animação 4, Atividade 2 (Funções Seno e Arco Seno)
Fonte: Elaborada pelo autor (software GeoGebra)
Figura 16 – Cópia do sexto item, Atividade 2
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
As animações apresentadas nesse item são mais complexas, exigindo do estudante o
conceito das funções trigonométricas inversas arco seno e arco cosseno bem assimilado.
Quanto às opções de respostas, expressas por intervalos em radianos, o estudante precisa
relacionar o número pi (π) ao arco de 180°.
O objetivo da animação do sexto item da Atividade 2 é proporcionar uma visualização
do comportamento das funções f(x) = sen(x) e da sua inversa g(x) = arcsen(x). Nesse item, o
estudante deverá manusear o botão de arraste (vermelho) da sua animação, de modo a
encontrar um intervalo no qual tanto a função “f” quanto a função “g” decrescem
95
simultaneamente.
Para obter um resultado correto, o estudante deverá ser capaz de relacionar o eixo
vertical dessa animação ao valor do seno do ângulo, e o eixo horizontal ao valor do arco
(ângulo).
Nessa atividade, o sétimo item e o sexto item são similares, alterando o tipo de função:
f(x) = cos(x) e g(x) = arccos(x). Nesse item, acrescentamos ideia de máximo e mínimo que as
funções f e g atingem, ao variar o ângulo pela manipulação do botão de arraste.
4.3.3 Atividade 3
TÍTULO: As funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, arco seno e arco
cosseno, em circuitos elétricos.
CONTEÚDO: Estudo das funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, arco seno e
arco cosseno, aplicadas à análise de circuitos elétricos.
OBJETIVOS: Contextualizar o uso das funções seno, cosseno e suas inversas, arco seno e
arco cosseno em problemas reais relacionados à área de eletroeletrônica. A atividade foi
elaborada com hierarquia de dificuldades, de modo a fixar conceitos com o uso de
ferramentas matemáticas na análise de circuitos.
DESENVOLVIMENTO: Essa atividade é composta de 6 (seis) itens e foram utilizadas 4
(quatro) animações, sendo 3 (três) circuitos elétricos: um resistivo (R), um indutivo (L), um
resistivo e indutivo (RL) e 1 (um) diagrama fasorial. As animações auxiliarão o estudante na
compreensão dos itens e na sua resolução. Os itens foram elaborados de acordo com o
conteúdo abordado nos cursos técnicos na área de eletroeletrônica, atendendo, portanto, ao
objetivo principal do OA.
A figura 17 apresenta cópia da tela inicial da Atividade 3, com suas opções de acesso:
suporte teórico e desenvolvimento (itens). Nesta tela, encontram-se também: título, conteúdo,
objetivo e método.
96
Figura 17 – Cópia da tela inicial, Atividade 3
Fonte: Elaborada pelo autor (software ExeLearning)
O primeiro item da Atividade 3 se refere ao circuito resistivo, apresentado na
animação 1, e objetiva verificar se o estudante consegue relacionar as grandezas elétricas:
tensão, corrente e potência. Ao movimentar os botões de arraste dessa animação, o circuito
elétrico é modificado em função dessas alterações. No texto explicativo da animação, o
estudante é orientado a fixar o mesmo instante de tempo e interpretar o comportamento desse
circuito. As ondas do circuito foram coloridas para facilitar a sua visualização.
Esse item torna-se mais simples de ser resolvido se o estudante ler as suas opções de
resposta, movimentar as grandezas elétricas através dos botões de arraste e analisar o que está
acontecendo com os elementos do circuito.
As figuras 18, 19 e 20 são cópias do texto explicativo referente a animação 1, da
própria animação 1 e do primeiro item da Atividade 3, respectivamente.
Figura 18 – Cópia do texto explicativo da animação 1, Atividade 3
(Circuito Resistivo)
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
97
Figura 19 – Cópia da animação 1, Atividade 3 (Circuito resistivo)
Fonte: Elaborada pelo autor (software GeoGebra)
Figura 20 – Cópia do primeiro item, Atividade 3
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
O segundo item também é referente a animação 1 (circuito resistivo), porém inverte-se
a pergunta feita no primeiro item. Nesse item, objetiva-se verificar se o estudante é capaz de
obter o menor tempo para uma determinada frequência. Essa questão apresenta uma expressão
que o possibilita calcular o tempo em função da tensão e da frequência. O estudante precisa
manipular a expressão algébrica para encontrar o resultado pretendido. Caso seja necessário,
pode consultar o suporte teórico da Atividade 3, e esclarecer os termos da expressão desse
item, bem como a relação existente entre eles.
O terceiro e quarto itens da Atividade 3 possuem, como apoio, a animação 2,
denominada “circuito indutivo” e o suporte teórico. O estudante também pode contar com
uma “pista” para cada um desses itens, acessado pelo ícone localizado no canto superior
acima das opções de resposta, cujo objetivo é atentar o estudante para algum detalhe que faça
a diferença na resolução do item. O nosso objetivo ao propor o terceiro item dessa atividade
98
foi verificar se o estudante consegue relacionar corrente e frequência, nesse tipo de circuito.
Pretendemos que ele, a partir da manipulação da animação desse item, chegue a
seguinte conclusão: ao variar a frequência, em um circuito indutivo, a sua corrente também
será alterada.
No quarto item, o estudante é orientado a fixar o mesmo instante de tempo e variar as
grandezas elétricas, para verificar o comportamento do circuito e interpretar os itens de
resposta apresentados. De acordo com o conteúdo desenvolvido neste OA até o presente
momento e o aprendizado adquirido pelo estudante, ele está apto a relacionar potência, tensão
e corrente adequadamente, para assinalar corretamente a opção P = VI.
No quinto item da Atividade 3, o estudante é orientado, inicialmente, a manusear a
animação circuito Resistor Indutor (RL) e relacionar as grandezas elétricas: resistência,
corrente e tensão. O objetivo é interpretar o comportamento desse circuito em função dessas
variações. O estudante será capaz de perceber que a corrente elétrica e a resistência são
inversamente proporcionais. Caso ele tenha alguma dúvida conceitual a respeito desse item,
poderá consultar o suporte teórico dessa atividade, pois o mesmo possui as informações
necessárias para sua resolução.
Para responder ao sexto item da Atividade 3, sugerimos que o estudante fixe os
valores de L ou R no diagrama fasorial da animação 4. O objetivo desse item consiste em
verificar se o estudante é capaz de analisar o comportamento das grandezas envolvidas nesse
diagrama, bem como o ângulo ø formado entre elas. Ele possui o ícone na parte superior das
opções de respostas denominado “pista”, dispondo de informações relevantes para auxílio na
sua resolução. Para responder a esse item corretamente, o estudante deverá recorrer aos seus
conhecimentos sobre as funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas arco seno e
arco cosseno, estudadas ao longo das Atividades 2 e 3. Ele poderá consultar o suporte teórico
disponível nessa atividade, caso seja necessário.
4.3.4 Atividade 4
TÍTULO: O estudo do triângulo de potências com a utilização das funções trigonométricas
seno, cosseno e suas inversas.
CONTEÚDO: Funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, arco seno e arco seno
aplicadas ao estudo de triângulo de potências e fator de potência.
OBJETIVO: Estudar o triângulo de potências e contextualizar o uso das funções seno,
99
cosseno e suas inversas em problemas relacionados à área de eletroeletrônica. A atividade está
construída com níveis diferentes de dificuldades, de modo a fixar conceitos perante o uso de
ferramentas matemáticas na análise de triângulo de potências.
DESENVOLVIMENTO: Essa atividade é composta de 5 (cinco) itens e foram utilizadas 2
(duas) animações denominadas: triângulo de potências e círculo trigonométrico adaptado. A
segunda animação concilia os conteúdos de trigonometria e triângulo de potências e nela os
eixos seno e cosseno foram substituídos pelos elementos do triângulo de potências: potência
reativa e potência ativa, respectivamente.
As animações são de fácil manuseio e auxiliam o estudante na compreensão dos itens
e na sua resolução. Os itens foram elaborados de acordo com o conteúdo abordado nos cursos
técnicos na área de eletroeletrônica, atendendo, portanto, ao objetivo principal do OA.
A figura 21 apresenta cópia da tela inicial da Atividade 4 com suas opções de acesso:
suporte teórico e desenvolvimento (itens). Nesta tela, encontram-se também a estrutura: título,
conteúdo, objetivo e método.
Figura 21 – Cópia da tela inicial, Atividade 4
Fonte: Elaborada pelo autor (software ExeLearning)
O primeiro item da Atividade 4 proporciona ao estudante utilizar os conhecimentos
prévios sobre o triângulo de potências e/ou consultar o suporte teórico disponível no menu da
atividade. Nosso objetivo ao propor esse item é verificar se o estudante identifica os
elementos do triângulo de potências e consegue correlacioná-los de forma adequada. Podemos
observar que todas as opções de respostas citam os elementos do triângulo de potências e
fazem relações entre eles.
100
No segundo item da Atividade 4, o estudante é orientado a utilizar a animação 1
(triângulo de potências), fixar os valores fornecidos para a potência reativa e aparente e
observar o que ocorre com o ângulo formado entre elas. Esse item apresenta a função arco
seno cujo objetivo é verificar se ele consegue identificar o ângulo solicitado na questão. A
pergunta nesse item é a seguinte: qual é o ângulo formado entre as potências reativa e
aparente quando se fixa determinados valores para essas potências?
O terceiro item da Atividade 4 tem por objetivo relacionar as potências ativa e reativa,
o fator de potências e a corrente elétrica, bem como o ângulo formado entre as potências ativa
e reativa. O estudante é orientado a utilizar novamente a animação 1, fixando apenas a
potência reativa em 500 W e manipulando o botão de arraste até obter o valor da potência
ativa equivalente a 650 W. Assim, o valor da potência aparente fica determinado, bem como o
ângulo formado entre as representações das potências ativa e aparente.
Em outro momento, o estudante é induzido a variar o valor da potência ativa e
verificar o que ocorre com os outros elementos do triângulo de potências. Para responder a
esse item, ele deverá avaliar cada opção de resposta, saber o significado e o comportamento
do fator de potência e de corrente. Caso o estudante apresente dificuldade no conceito ou no
entendimento do fator de potência e de corrente elétrica, poderá consultar o suporte teórico
dessa atividade.
As figuras 22 e 23 trazem as cópias da animação 2 (círculo trigonométrico adaptado)
e do quarto item da Atividade 4.
Figura 22 – Cópia da animação 2, Atividade 4 (Círculo Trigonométrico Adaptado)
Fonte: Elaborada pelo autor (software GeoGebra)
101
Figura 23 – Cópia do quarto item, Atividade 4
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
O quarto item da Atividade 4 utiliza a animação 2. Nela, o seno corresponde à parcela
reativa e o cosseno corresponde à parcela ativa do triângulo de potências. O objetivo desse
item é mostrar ao estudante que as representações das parcelas, reativa e ativa estão em
função do ângulo formado entre elas. Na animação 2, o estudante é orientado a variar esse
ângulo, através do botão de arraste e verificar o comportamento das parcelas ativa e reativa no
triângulo de potências. É um item de fácil entendimento que exigirá do estudante habilidade
na manipulação dessa animação e na interpretação dos resultados obtidos ao variar o ângulo.
O estudante será levado a concluir que quando a parcela reativa aumenta, o ângulo também
aumenta e quando a parcela reativa diminui o ângulo também diminui (ou seja, a parcela
reativa e o ângulo são grandezas diretamente proporcionais). A parcela ativa apresenta
proporção inversa a do ângulo, em termos de crescimento ou decrescimento.
No quinto item da Atividade 4, o objetivo é verificar se o estudante consegue
relacionar as grandezas de potência, tensão, corrente e o ângulo formado entre a corrente e a
tensão, envolvidas no problema e utilizar a função arco cosseno para calcular o ângulo
solicitado. O estudante aplicará os conhecimentos assimilados no curso da área de
eletroeletrônica, sobre grandezas elétricas mencionadas nas atividades anteriores, tais como:
corrente, tensão, fator de potência, potência reativa. Para tanto, ele pode contar, se necessário,
com o auxílio do suporte teórico disponível nessa atividade, contendo informações sobre as
grandezas envolvidas nesse item. Ao final dos cálculos, a pergunta que o estudante é levado a
elaborar é a seguinte: Qual é o ângulo cujo cosseno seja √ /2? Essa pergunta está relacionada
à função trigonométrica inversa arco cosseno, a qual foi objeto de pesquisa desse trabalho e
abordada anteriormente nas atividades 2, 3 e 4.
103
5 APLICAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES
Neste capítulo são feitos o levantamento e a análise dos resultados obtidos na
aplicação do Objeto de Aprendizagem, composto pelas atividades propostas na pesquisa, para
parte de uma turma do curso de Eletrônica, do Centro Federal de Educação Tecnológica de
Minas Gerais - CEFET / MG, campus I.
5.1 Preparação para a aplicação das atividades de pesquisa
Na etapa seguinte foram definidos alguns passos fundamentais para direcionar os
trabalhos da etapa de aplicação do OA.
a) definir com o orientador do trabalho de pesquisa, o roteiro de aplicação das atividades
do OA, bem como os procedimentos a serem adotados após a sua aplicação.
b) elaborar um material impresso, denominado “relatório de respostas”, que servirá como
suporte para a transcrição das respostas obtidas na resolução das atividades. Neste
material o estudante também poderá colocar suas sugestões e dificuldades
apresentadas em cada item das atividades. No Apêndice A encontra-se o modelo desse
relatório.
c) elaborar um “questionário avaliativo”, composto por 4 (quatro) perguntas, no intuito
de obter dos estudantes uma avaliação do OA quanto a sua eficácia. No Anexo II
encontra-se o modelo desse questionário.
d) definir com o professor dos estudantes que realizarão as atividades: o dia para a sua
aplicação, o tempo disponível, o laboratório a ser utilizado para a realização dos
trabalhos, o curso (turma) e a quantidade de estudantes que irá participar das
atividades de pesquisa.
e) salvar, no dia anterior à aplicação, os arquivos que compõe o OA nos computadores
do laboratório a serem utilizados.
5.2 Roteiro de aplicação das atividades de pesquisa
A seguir serão descritos os passos que foram seguidos para a aplicação das atividades
do OA.
104
a) explicar os objetivos do trabalho de pesquisa e sua importância para o ensino e
aprendizagem das funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, arco seno e arco
cosseno, aplicadas no ensino médio regular e nos cursos da área de eletroeletrônica. Nesse
caso, o OA foi aplicado somente para o curso de eletrônica;
b) fazer uma breve revisão do conteúdo “Funções trigonométricas inversas, arco seno e arco
cosseno”, a pedido do professor de Matemática regente da turma;
c) orientar os estudantes participantes da pesquisa sobre o funcionamento do ambiente
informatizado do OA a ser utilizado;
d) distribuir o relatório de respostas, referido no item 5.1.2 e orientar os estudantes quanto
ao objetivo e preenchimento do mesmo. Este relatório será preenchido pelos estudantes,
concomitantemente ao OA durante as atividades de pesquisa;
e) iniciar as atividades do OA e solicitar aos estudantes o registro de tempo necessário para a
solução de cada atividade, em local definido;
f) solicitar a quatro estudantes voluntários o preenchimento do questionário avaliativo.
5.3 Público alvo para aplicação dessa pesquisa
Essa pesquisa foi aplicada para um grupo de estudantes do curso de Eletrônica, 2° ano,
ELT 2C, do turno tarde, CEFET MG, Campus I. A escolha dessa turma se deu em função da
disponibilidade de horário da turma e pela evolução do conteúdo desenvolvido na disciplina
de Matemática. Esse grupo foi composto por 21 (vinte e um) estudantes e eles se inscreveram
de forma voluntária durante a aula do professor de Matemática, regente da turma.
5.4 Metodologia utilizada na aplicação das atividades
O tratamento dos dados coletados na aplicação das atividades foi feito a partir da
análise de erros como metodologia de investigação e avaliação.
Em Cury (2013), o trabalho investigativo sobre as respostas, em um primeiro
momento, pode levar em conta a tarefa inicial de correção, entretanto é necessário ter um
objetivo na pesquisa e o levantamento de questões que possam ser investigadas.
Mesmo com a informatização das atividades e recursos computacionais disponíveis
para interação entre o estudante e o OA, foi utilizada nesta Pesquisa a abordagem qualitativa
com a observação dos participantes.
105
As quatro atividades foram elaboradas com questionários de múltipla escolha com a
padronização de quatro opções de resposta para cada item, sendo apenas uma delas a opção
correta. Para cada alternativa incorreta marcada pelo estudante pesquisado, uma mensagem
aparece na tela. Se a resposta estiver correta, aparecerá na tela a mensagem “Opção correta!
Parabéns.”. Se a resposta estiver incorreta, aparecerá na tela uma mensagem de orientação ao
estudante, contendo informações adicionais ou sugestões para o mesmo explorar o suporte
teórico do OA. Dessa forma, o estudante terá maior probabilidade de acertar o item na
próxima tentativa.
Caso o estudante acerte o item na primeira tentativa, consideramos que ele teve êxito
nesse item, fazendo o uso do ambiente informatizado de forma adequada. Se ele acerta na
segunda ou terceira tentativas, consideramos que o estudante fez uso com êxito das
ferramentas de interação e de apoio teórico, disponibilizadas no OA. Acertando na quarta
tentativa, percebemos que o ambiente informatizado e as ferramentas de apoio e interação do
OA não foram suficientes para o estudante obter êxito no item, considerando assim,
estatisticamente, que na quarta tentativa o estudante chega à alternativa correta por eliminação
das três tentativas anteriores.
As quatro atividades foram corrigidas e tabuladas relacionando o número de tentativas
necessárias para se chegar à resposta correta em cada item. Sendo assim, foi feito um
tratamento estatístico das respostas encontradas e, posteriormente, uma análise dos resultados
obtidos.
No Relatório de Respostas encontra-se uma categorização das possíveis dificuldades
cometidas pelos estudantes, que provavelmente os levaram ao erro em determinado item. Os
tipos de categorias são descritas a seguir:
a) incompreensão do enunciado: relacionada à dificuldade de interpretação do
enunciado e/ou dos dados disponíveis no item;
b) dificuldade no conteúdo: relacionada à defasagem do conteúdo assimilado, possíveis
erros na manipulação algébrica ou falta de compreensão dos dados fornecidos no item
da atividade;
c) falta de coerência da resposta com os dados da atividade: relacionada à
inconsistência entre a resposta e os dados;
d) incompreensão do ambiente informatizado: relacionada à dificuldade no manuseio
dos recursos disponíveis no OA.
É importante ressaltar que os estudantes poderiam cometer mais de um tipo de erro na
106
resolução de cada item. Dessa forma, a contagem final leva em conta que pode ter ocorrido
mais de um erro no mesmo item.
5.5 Descrição da aplicação das atividades
A aplicação das atividades ocorreu conforme o roteiro descrito anteriormente, de
forma tranquila e produtiva. No momento do início da aplicação, um estudante passou a
integrar o grupo, mesmo não estando inscrito anteriormente.
Figura 24 – Início da aplicação do OA
Fonte: Arquivo do autor
Os estudantes deram início às atividades no horário previsto. Eles se assentaram em
dupla devido à disposição dos equipamentos, entretanto cumpriram o que foi proposto de
forma individual.
107
Figura 25 – Estudantes realizando as atividades (em dupla)
Fonte: Arquivo do autor
Uma estudante relatou que o 3° item da Atividade 2 apresentava duas respostas com a
letra B. Nesse momento, a turma foi informada que se tratava de um erro de digitação e que
era para considerar, entre as opções repetidas, a primeira com B e a segunda como C.
Figura 26 – Momento em que a estudante relata à respeito das duas opções iguais
Fonte: Arquivo do autor
Os dois primeiros estudantes que terminaram as atividades entregaram os relatórios de
resposta às 18h. Foi solicitado que um deles preenchesse o questionário avaliativo.
Até às 18:10h, 13 (treze) estudantes já haviam terminado as atividades e entregues os
relatórios de respostas preenchidos.
O estudante A.C.S. ao entregar o questionário avaliativo, às 18:23h, relatou que achou
as dicas muito importantes, quando se errava o item. Segundo ele, as dicas ajudaram a
108
compreender o item para fazer uma nova tentativa.
Às 18:37h haviam ainda 3 (três) estudantes respondendo os itens da atividade 4.
Os 2 (dois) últimos estudantes entregaram os relatórios de respostas e concluíram os
trabalhos exatamente às 18:40h, horário previsto para o término dos trabalhos.
A duração da aplicação das atividades foi de 2 horas, iniciando às 16:40 h e
finalizando às 18:40 h.
A maioria dos estudantes, ao sair do laboratório, relatou que a participação no trabalho
de pesquisa foi muito satisfatória e prazerosa. Percebe-se que o trabalho atendeu as
expectativas dos mesmos e que eles acharam muito interessante ter uma ferramente
computacional que aborde determinados conteúdos do seu curso.
O resultado da tabulação e sua análise, referentes às atividades aplicadas, apontaram
algumas correções e reformulações a serem feitas em alguns itens. Essas adaptações serão
feitas no Produto Final da Dissertação e os itens originais de aplicação farão parte do apêndice
da dissertação.
5.6 Tabulação e análise dos resultados por atividade
A seguir, tabelas de frequências dos números de acertos por item em cada atividade e
análise desses resultados.
5.6.1 Atividade 1 – Introdução às funções inversas
A tabela 5 apresenta a frequência do número de estudantes que acertou cada item
dessa atividade, de acordo com o número de tentativas.
Tabela 5 – Frequência do número de acertos por tentativa em cada item,
Atividade 1
1ª tentativa 2ª tentativa 3ª tentativa 4ª tentativa
1° Item 16 4 1 0
2° Item 21 0 0 0
3° Item 19 2 0 0
4° Item 5 8 5 3
5° Item 8 11 2 0
6° Item 11 3 4 3
Fonte: dados da pesquisa
109
De acordo com a tabela 5, percebemos que:
a) O 2° item, que trata da obtenção da função a partir dos dados do problema, obteve o
número máximo de acertos na primeira tentativa. Concluímos, portanto, que os estudantes
alcançaram, nesse item, um excelente resultado. Podemos inferir que os mesmos foram
capazes de compreender o enunciado e os dados, construir a expressão exigida, entender e
manipular o OA.
b) O item de pior desempenho foi o 4° Item, que trata de “conceitos básicos sobre função -
domínio, contra domínio e definição”. Neste item, apenas 24% (vinte e quatro por cento)
dos estudantes acertaram na primeira tentativa e 14% acertaram na quarta tentativa. Isso
sugere que os 3 (três) estudantes que acertaram na quarta tentativa provavelmente o
fizeram por exclusão. Podemos inferir que esses estudantes não compreenderam e não
souberam resolver esse item. Ao revisitar esse item, percebemos que ele exige uma
compreensão do problema inicial “máquina de transformação numérica” e a compreensão
da animação 1, que pretende retratar esse problema em termos dos conjuntos envolvidos
na questão (domínio e contra domínio).
c) No 6° item, 52% (cinquenta e dois por cento) dos estudantes acertaram na primeira
tentativa e não relataram ter nenhuma dificuldade. No entanto, 48% (quarenta e oito por
cento) dos estudantes não acertaram na primeira tentativa. Dentre esses: 2 (dois) não
assinalaram nenhuma dificuldade, 4 (quatro) assinalaram ter dificuldade no conteúdo
abordado, 2 (dois) assinalaram dificuldade de incompreensão no enunciado e 1 (um)
assinalou dificuldade no conteúdo abordado e na incompreensão do enunciado. Esse item,
portanto, não traz preocupação no que diz respeito ao OA proposto, uma vez que nenhum
estudante assinalou ter dificuldade na incompreensão do ambiente informatizado.
As figuras 27, 28 e 29 representam cópias referentes ao 4° item da Atividade 1, texto
explicativo da animação bissetriz e própria animação bissetriz. O objetivo dessas cópias é
confirmar que a linguagem utilizada não foi de fácil entendimento, porém, o gráfico 1
demonstra que não houve dificuldade por parte dos estudantes quanto ao ambiente
informatizado, o que indica que a animação atendeu aos objetivos por ela propostos neste
item.
110
Figura 27 – Cópia do 4° item, Atividade 1
Fonte: Elaborado pelo autor (software GeoGebra)
Figura 28 – Cópia do texto explicativo da Animação1, Atividade 1
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
Figura 29 – Cópia da Animação, Atividade 1 (Bissetriz)
Fonte: Elaborado pelo autor (software GeoGebra)
111
O gráfico 1 apresenta o resultado da tabulação das frequências relativas aos tipos de
dificuldades por item, da Atividade 1.
Gráfico 1 – Tipos de dificuldades dos estudantes, Atividade 1
Fonte: Dados da pesquisa
De acordo com o gráfico 1, podemos afirmar que:
a) O ambiente informatizado atendeu às expectativas de forma adequada, pois apenas 1 (um)
estudante, equivalente a 4,8% (quatro, vírgula oito por cento) do total, apresentou
dificuldade no 5° item.
b) O OA mostrou-se eficaz quanto aos itens 1, 2 e 3, pois o número de dificuldades nesses
itens não foi grande, sendo apenas 1 (uma).
c) Em relação aos itens 4, 5 e 6, pode-se ter a seguinte análise: O OA apresenta-se eficaz,
pois 12 (doze) estudantes assinalaram dificuldade no conteúdo abordado e este fato
compromete o entendimento do enunciado.
Incompreensãodo Enunciado
Dificuldade noconteúdoabordado
Falta decoerência da
resposta com osdados daatividade
Incompreensãodo ambiente
informatizado
1° Item 1 1 0 0
2° Item 0 0 0 0
3° Item 0 0 0 0
4° Item 5 5 0 0
5° Item 5 2 2 1
6° Item 4 5 1 0
0
1
2
3
4
5
Qu
anti
dad
e a
ssin
alad
a
Tipos de dificuldades
112
Algumas considerações:
a) Dois estudantes não marcaram nenhum tipo de dificuldade e não erraram nenhum item da
Atividade 1.
b) Oito estudantes erraram alguns itens relacionados a seguir e não justificaram (assinalaram)
o tipo de dificuldade apresentada.
A orientação dada pelo pesquisador no início da aplicação do OA foi que se o estudante
não acertasse o item na primeira tentativa, assinalasse, no relatório de respostas, o tipo de
dificuldade apresentada. Essa orientação foi repetida pelo pesquisador por várias vezes
durante a aplicação das atividades.
A seguir a relação desses itens:
Estudante A) 3°, 4° e 5° itens
Estudante B) 4° e 6° itens
Estudante C) 1°, 3° e 4° itens
Estudante D) 1° item
Estudante E) 4° e 5° itens
Estudante F) 4° item
Estudante G) 1°, 4°, 5° e 6° itens
Estudante H) 5° item
c) O tempo médio gasto pelos estudantes na execução da Atividade 1 foi de 12min e 25 seg.
A seguir encontram-se as transcrições dos comentários que os estudantes fizeram
no relatório de respostas, na íntegra, à respeito da Atividade 1.
Transcrição dos comentários feitos pelos estudantes no espaço
reservado para sugestões, críticas e outros, do relatório de respostas
A matéria ainda não foi estudada por nós. (estudante L.C.)
Muito bem feita. Ótima plataforma. (estudante G.A.G.P.)
Atividade muito tranquila. (estudante V.S.C.L. de S.)
Tabela e gráfico não funcionava corretamente. (estudante F.R.M.)
Atividade bem elaborada, ilustrada e bem feita. (estudante P.R.G.)
Atividade interessante e serve para aumentar o potencial de estudo, mas poderia
ser incluídas mais questões nela. (estudante G.C.G.)
113
Importância da dica para a compreensão. (estudante A.C.S.)
Não houve nenhuma dificuldade na compreensão da atividade. (estudante L.M.A.)
Observações:
a) Onze estudantes não fizeram nenhum registro nesse espaço.
b) O estudante C.B.S.S. teve dificuldade, mas não relatou qual foi.
5.6.2 Atividade 2 – Funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas
A tabela 6 apresenta a frequência da quantidade de estudantes que acertou cada item
dessa atividade, de acordo com o número de tentativas.
Tabela 6 – Frequência do número de acertos por tentativa em cada item, Atividade 2
1ª tentativa 2ª tentativa 3ª tentativa 4ª tentativa
1° Item 20 1 0 0
2° Item 18 2 1 0
3° Item 21 0 0 0
4° Item 18 0 3 0
5° Item 15 5 1 0
6° Item 12 3 5 1
7° Item 12 5 4 0
Fonte: Dados da pesquisa
De acordo com a tabela 6, percebemos que:
a) O 3° Item, que trata da introdução da função inversa arco seno, por meio de uma
animação, obteve um número máximo de acertos na primeira tentativa. Esse resultado já
era previsível, pois a linguagem utilizada foi de fácil entendimento e a sua animação
consegue descrever o seu objetivo de forma eficaz. Podemos concluir, portanto, que para
este item, o OA cumpriu o seu papel como instrumento de ensino e aprendizagem de
forma satisfatória.
b) O 1° item apresentou um resultado semelhante ao do 3° item, diferindo apenas pelo fato
de 1 (um) estudante ter acertado este item na segunda tentativa. equivalente a 5% (cinco
por cento). Portanto a análise deste item é similar à do 3° item.
114
c) O item de pior desempenho por parte dos estudantes foi o 6° item, que refere ao estudo da
função f(x) = sen(x) e da sua inversa g(x) = arcsen(x), apresentadas na animação deste
item. É importante ressaltar que 12 (doze) estudantes acertaram esse item na primeira
tentativa, correspondendo 57% (cinquenta e sete por cento). No entanto, 5 (cinco)
estudantes acertaram na 3ª tentativa e 1 (um), na 4ª tentativa.
d) Ao observar os dados e sua animação, podemos inferir que alguns estudantes não
compreenderam, de forma adequada, a linguagem utilizada para os intervalos, fornecidos
nas respostas, bem como o comportamento das funções seno e arco seno ao variar o
ângulo.
e) O 7° item apresentou resultado similar ao do 6° item.
As figuras 30, 31 e 32 apresentam cópias do 3° item da Atividade 2. O objetivo é
confirmar que a linguagem utilizada é de fácil entendimento e que a animação conseguiu
auxiliar o estudante na resolução deste item, de forma eficaz.
Figura 30 – Cópia do texto explicativo da Animação 2, 3° item, Atividade 2
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
115
Figura 31 – Cópia da Animação 2, 3° item, Atividade 2 (Escolha o Seno)
Fonte: Elaborada pelo autor (software GeoGebra)
Figura 32 – Cópia do enunciado do 3° item, Atividade 2
Fonte: Elaborada pelo autor (software ExeLearning)
As figuras 33 e 34 apresentam cópias do 6° item, da Atividade 2, com a sua animação
e enunciado. O objetivo é confirmar que a linguagem utilizada não é de fácil entendimento e a
animação não conseguiu auxiliar o estudante na resolução deste item, de forma eficaz.
116
Figura 33 – Cópia da Animação do 6° item, Atividade 2 (Seno e Arco Seno)
Fonte: Elaborada pelo autor (software GeoGebra)
Figura 34 – Cópia do enunciado do 6° item, Atividade 2
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
O gráfico 2 apresenta o resultado da tabulação das frequências relativas aos tipos de
dificuldades por item, da Atividade 2.
117
Gráfico 2 – Tipos de dificuldades dos estudantes, Atividade 2
Fonte: Dados da pesquisa
Incompreensãodo Enunciado
Dificuldade noconteúdoabordado
Falta decoerência daresposta comos dados da
atividade
Incompreensãodo ambiente
informatizado
1° Item 0 1 0 0
2° Item 1 1 0 0
3° Item 0 0 0 0
4° Item 0 2 1 0
5° Item 2 2 0 0
6° Item 4 4 0 0
7° Item 3 5 0 0
012345
Qu
anti
dad
e a
ssin
alad
a
Tipos de dificuldades
118
De acordo com o gráfico 2, percebemos:
a) Os estudantes alcançaram no 3° item um resultado excelente em todos os quesitos:
compreensão do enunciado e dos dados, domínio do conteúdo abordado, construção da
expressão exigida, entendimento e manipulação do OA. Isso pode ser facilmente
observado, pois todos os estudantes realizaram este item sem nenhuma dificuldade.
b) No 6° item podemos observar que houve 4 (quatro) estudantes assinalando dificuldades de
compreensão no enunciado do item, que corresponde a 19% (dezenove por cento) e quatro
com dificuldades no conteúdo abordado no item. Nenhum estudante assinalou ter
dificuldades no ambiente informatizado ou na incompreensão/coerência das respostas
fornecidas nesse item.
Portanto, podemos ter a seguinte análise: O OA apresenta-se eficaz, pois pela tabela 2,
15 (quinze) estudantes acertaram este item até a segunda tentativa. Quatro estudantes
assinalaram ter dificuldade no conteúdo abordado, fato esse que compromete o entendimento
do enunciado, mas não se refere à compreensão do OA.
Algumas considerações:
a) Três estudantes não marcaram nenhum tipo de dificuldade e não erraram nenhum item da
Atividade 2.
b) Seis estudantes erraram alguns itens relacionados a seguir e não justificaram (assinalaram)
o tipo de dificuldade apresentada.
A seguir encontra-se a relação desses itens:
Estudante A) 5°, 6° e 7° itens
Estudante B) 7° item
Estudante C) 6° item
Estudante D) 7° item
Estudante E) 2° item
Estudante F) 1°, 5° e 6° itens
c) O tempo médio gasto pelos estudantes na execução da Atividade 2 foi de 13min e 25 seg.
119
A seguir, encontram-se as transcrições dos comentários que os estudantes fizeram no
relatório de respostas, na íntegra, a respeito da Atividade 2.
Transcrição dos comentários feitos pelos estudantes no espaço
Reservado para sugestões, críticas e outros, do relatório de respostas,
Aumentar o tamanho da letra nos gráficos. (estudante Y.S.)
Muito bem feito. Ótima plataforma. (estudante G.A.G.P.)
Muito legal. Os gráficos ajudam na compreensão do enunciado e exercício.
(estudante F.R.M.)
Bem elaborada e facilitada pela animação, que é bem explicativa. (estudante
G.C.G.)
Enunciado de fácil entendimento no item 5 dessa atividade. (estudante D.R.S.)
Erro de interpretação devido a semelhança entre as opções. (estudante P.P.M.Z.C)
As animações ajudaram em muito na compreensão. (estudante L.M.P.)
Observações:
a) Doze estudantes não fizeram nenhum registro nesse espaço.
b) Os comentários dos estudantes foram satisfatórios, em sua grande maioria.
5.6.3 Atividade 3 – Aplicação das funções trigonométricas Seno, Cosseno e suas inversas,
Arco Seno e Arco Cosseno em circuitos elétricos
A tabela 7 (sete) apresenta a frequência do número de estudantes que acertou cada
item da Atividade 3, de acordo com o número de tentativas.
120
Tabela 7 – Frequência do número de acertos por tentativa em cada item
1ª tentativa 2ª tentativa 3ª tentativa 4ª tentativa
1° Item 17 3 1 0
2° Item 12 5 4 0
3° Item 18 1 2 0
4° Item 20 1 0 0
5° Item 18 1 2 0
6° Item 11 8 2 0
Fonte: dados da pesquisa
De acordo com a tabela 7, percebemos que:
a) Nenhum estudante necessitou da quarta tentativa para acertar os itens propostos nessa
atividade.
b) Os estudantes tiveram um excelente desempenho no 4° item, pois todos eles acertaram
esse item utilizando apenas uma tentativa, exceto 1 (um) que necessitou de duas
tentativas. Esse resultado corresponde a 95% (noventa e cinco por cento) do grupo que
acertou o 4° item na primeira tentativa. O item em questão refere-se à manipulação de um
circuito indutivo representado em uma animação e a obtenção da relação entre tensão,
corrente e potência, para um mesmo instante de tempo. De acordo com o desempenho
apresentado pelos estudantes, esse item atendeu satisfatoriamente aos objetivos por ele
proposto.
c) Os estudantes obtiveram os seus piores desempenhos nessa atividade, no 2° e 6° itens,
necessitando de até três tentativas para acertá-los. Observando o gráfico 2, ambos os itens
apresentam 1 (um) estudante que não compreendeu o ambiente informatizado, o que torna
esses itens preocupantes. Apesar de se tratar de apenas 5% (cinco por cento) do grupo
total, entendemos que o OA “ambiente informatizado” não pode ser um dos causadores de
dúvida durante a execução da atividade proposta, é uma ferramenta de auxílio e um
facilitador para o estudante.
d) No 6° item, nenhum estudante necessitou da quarta tentativa para acertá-lo, porém 8 (oito)
deles acertaram utilizando duas tentativas e 2 (dois) gastaram três tentativas. Isso equivale
a 48% (quarenta e oito por cento) do total do grupo. Apenas 11 (onze) estudantes
acertaram na primeira tentativa, o que corresponde a 52% (cinquenta e dois por cento).
Conjugando os resultados dos acertos na primeira e segunda tentativas, obtém-se um total
percentual de 90% (noventa por cento) dos estudantes acertando esse item na primeira ou
121
na segunda tentativa. Concluímos que esse resultado não é comprometedor, mas requer
uma atenção especial para esse item. Esse fato nos motiva a fazer uma releitura desse item
e algumas modificações, simples, mas necessárias.
As figuras 35, 36 e 37 apresentam cópias do 2° item, Atividade 3, com a sua animação
e enunciado. Os objetivos são: verificar a linguagem utilizada e a sua animação, propostas
para a resolução deste item e a possível identificação das dificuldades ocasionadas.
Figura 35 – Cópia do texto explicativo da Animação do 2° item, Atividade 3
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
Figura 36 – Cópia da Animação do 2° item, Atividade 3 (Circuito Resistivo)
Fonte: Elaborada pelo autor (software GeoGebra)
122
Figura 37 – Cópia do enunciado do 2° item, Atividade 3
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
O 2° item dessa atividade refere-se a um “circuito resistivo”, no qual o estudante
deverá manipulá-lo de forma adequada e obter os dados necessários e utilizá-los na expressão
disponível para a resolução da questão. Nesse item, constatamos que 7 (sete) estudantes
assinalaram ter dificuldade na compreensão do seu enunciado, sugerindo, portanto,
deficiência na interpretação desse item.
Esse fato pode ser confirmado no gráfico 3. Outra dificuldade apresentada por parte de
3 (três) estudantes, confirmada também no gráfico 3, diz respeito ao conteúdo abordado, o que
infere problema na manipulação algébrica, por parte de alguns estudantes. Esse fato se dá, por
se tratar de uma expressão com certo grau de complexidade e envolver dados de uma função
trigonométrica inversa arco seno.
O gráfico 3 apresenta o resultado da tabulação das frequências relativas aos tipos de
dificuldades por item, da Atividade 3.
123
Gráfico 3 – Tipos de dificuldades dos estudantes, Atividade 3
Fonte: Dados da pesquisa
De acordo com o gráfico 3, percebemos que:
a) Nenhum estudante assinalou ter dificuldade alguma em relação ao 4° item, o que deixa
claro que esse item atingiu o seu objetivo de forma satisfatória em todos os quesitos
exigidos da atividade.
b) Sete estudantes expressaram dificuldades em compreender o enunciado referente ao 2°
item, o que motiva uma reformulação do mesmo nesse aspecto.
c) Apesar de haverem 3 (três) marcações na coluna de incompreensão do ambiente
informatizado, apenas 2 (dois) estudantes assinalaram esse tipo de dificuldade; um deles
assinalou no 2° e 5° itens e o outro marcou no 6° item.
Algumas considerações:
a) Em relação à Atividade 3, 5 (cinco) estudantes não assinalaram nenhum tipo de
dificuldade e não erraram nenhum item, o que sugere um excelente aproveitamento desses
estudantes nessa atividade.
Incompreensãodo Enunciado
Dificuldade noconteúdoabordado
Falta decoerência da
resposta com osdados daatividade
Incompreensãodo ambiente
informatizado
1° Item 2 0 1 0
2° Item 7 3 0 1
3° Item 3 0 0 0
4° Item 0 0 0 0
5° Item 0 1 0 1
6° Item 1 3 0 1
01234567
Qu
anti
dad
e a
ssin
alad
a
Tipos de dificuldades
124
b) Nessa atividade, 5 (cinco) estudantes, descritos a seguir, não acertaram os itens ora
relacionados na primeira tentativa e não justificaram (assinalaram) o tipo de dificuldade
apresentada.
A seguir, a relação desses itens:
Estudante A) 1° e 6° itens
Estudante B) 4°, 5° e 6° itens
Estudante C) 6° item
Estudante D) 6° item
Estudante E) 6° item
c) Observamos que nenhum dos 5 (cinco) estudantes, mencionados anteriormente, acertaram
o 6° item na primeira tentativa. De acordo com o gráfico 3, esse dado aumenta em 100%
(cem por cento) a quantidade de estudantes que apresentaram alguma dificuldade nesse
item, da Atividade 3.
d) O tempo médio gasto pelos estudantes na execução da Atividade 3 foi de 13min e 12
seg.
A seguir, encontram-se as transcrições dos comentários que os estudantes fizeram no
relatório de respostas, na íntegra, a respeito da Atividade 3.
Transcrição dos comentários feitos pelos estudantes no espaço
reservado para sugestões, críticas e outros, do Relatório de Respostas.
Os gráficos ajudaram muito na compreensão e fixação do conteúdo visto em sala
de aula, como por exemplo: o comportamento do Circuito RL (estudante
V.H.L.S.).
Aumentar o tamanho dos números e das letras na animação (estudante A.M.O.).
Conteúdo muito simples (estudante C.B.S.S.).
Muito bem feito. Ótima plataforma (estudante G.A.G.P.).
Enunciado do item 1 ficou muito confuso (aluno F.R.M.).
Série de exercícios muito bem elaborada e coerente com o conteúdo abordado. As
animações são muito boas, principalmente na parte de Circuito Indutivo, que é um
conteúdo que costuma gerar dúvida (estudante G.C.G.).
125
Atividade muito interessante que serviu para fixar alguns conteúdos trabalhados na
disciplina de circuitos elétricos II, mostrando graficamente como ocorre o
funcionamento de um indutor, por exemplo. Serviu para ilustrar alguns conceitos
trabalhados em sala, além de explorar várias curiosidades que o programa nos
oferece (estudante P.P.M.Z.C.).
Atividade bem ilustrada e suporte teórico bem explicativo (estudante P.R.C.).
Muito interessantes, as animações (estudante V.S.C.L. da S.).
Observações:
a) Onze estudantes não fizeram nenhum registro nesse espaço.
b) Em relação aos comentários feitos pelos estudantes, percebe-se que a grande maioria
foi satisfatório, o que demonstra que o OA atingiu o objetivo para o qual ele foi
desenvolvido.
c) O estudante A.M.O. comentou que deveria aumentar o tamanho das letras e números.
d) Porém, ao observar esse aspecto da atividade, avalia-se como uma necessidade
particular,
pois não houve nenhum outro comentário a esse respeito e o tamanho da letra está no
padrão exigido.
5.6.4 Atividade 4 – Aplicação das funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas,
arco seno e arco cosseno no triângulo de potências
A tabela 8 apresenta a frequência do número de estudantes que acertou cada item
dessa atividade, de acordo com o número de tentativas.
Tabela 8 – Frequência do número de acertos por tentativa em cada item, Atividade 4
1ª tentativa 2ª tentativa 3ª tentativa 4ª tentativa
1° Item 16 5 0 0
2° Item 19 2 0 0
3° Item 8 10 0 3
4° Item 21 0 0 0
5° Item 15 4 2 0
Fonte: Dados da pesquisa
126
De acordo com a tabela 8, percebemos que:
a) O 4° item dessa atividade teve o número total de acertos na primeira tentativa e, de
acordo com o gráfico 4, nenhum estudante apresentou dificuldade na resolução desse
item. Pode-se concluir, portanto, que esse item atendeu perfeitamente aos objetivos
por ele proposto. Ele se refere ao do triângulo de potências e possui uma animação que
envolve o “círculo trigonométrico adaptado a um triângulo de potências”.
b) Os estudantes tiveram o pior desempenho no 3° item dessa atividade. Ele trata da
relação entre as potências ativa e reativa, fator de potência, corrente e o ângulo
formado entre as potências do triângulo de potências, a partir de uma animação. Na
tabela 4 pode-se constatar que 10 (dez) estudantes acertaram esse item na segunda
tentativa. Além disso, 3 (três) acertaram esse item apenas na quarta tentativa,
significando, portanto, que provavelmente acertaram por exclusão das três primeiras
opções de resposta.
c) Somando-se os acertos da 2ª e 4ª tentativas, obtidos pelos estudantes, temos o
equivalente a 62% (sessenta e dois por cento). Esse percentual sugere a quantidade de
estudantes que não entenderam esse item adequadamente para acertá-lo na primeira
tentativa.
d) Os demais itens dessa atividade tiveram resultados satisfatórios, com quantidade de
acertos, concentrados na primeira e segunda tentativas, acima de 90% (noventa por
cento), portanto não serão analisados.
Os estudantes tiveram melhor desempenho no 4° item da Atividade 4. As figuras 38
e 39 representam cópias do enunciado e da animação desse item.
Figura 38 – Cópia do enunciado do 4° item, Atividade 4
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
127
Figura 39 – Cópia da Animação do 4° item, Atividade 4 (Círculo Trigonométrico
Adaptado)
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
Os estudantes tiveram pior desempenho no 3° item da Atividade 4. As figuras
40 e 41 representam cópias do enunciado e da animação desse item, para conhecimento e
efetuar as alterações que se fizerem necessárias.
Figura 40 – Cópia do enunciado do 3° item, Atividade 4
Fonte: Elaborado pelo autor (software ExeLearning)
128
Figura 41 – Cópia da Animação do 3° item, Atividade 4 (Triângulo de Potências)
Fonte: Elaborado pelo autor (software GeoGebra)
O gráfico 4 apresenta o resultado da tabulação das frequências relativas aos tipos de
dificuldades por item, da Atividade 4.
Gráfico 4 – Tipos de dificuldades dos estudantes, Atividade 4
Fonte: Dados da pesquisa
Incompreensãodo Enunciado
Dificuldade noconteúdoabordado
Falta decoerência da
resposta com osdados daatividade
Incompreensãodo ambiente
informatizado
1° Item 1 2 0 0
2° Item 1 1 0 1
3° Item 4 3 0 2
4° Item 0 0 0 0
5° Item 0 3 0 0
0
1
2
3
4
Qu
anti
dad
e a
ssin
alad
a
Tipos de dificuldades
129
De acordo com o gráfico 4, percebemos que:
a) por se tratar de um conteúdo em que 43% (quarenta e três por cento) dos estudantes
afirmaram ter dificuldade, podemos inferir que o 4° item foi auto instrutivo e que o
ambiente informatizado cumpriu, de forma adequada, o seu papel de OA, proporcionando
ao estudante uma aprendizagem do conteúdo abordado, a partir do próprio item proposto e
de seus recursos;
b) no 3° item, percebemos 9 (nove) sinalizações de dificuldades, porém um estudante
assinalou ter dificuldade em dois quesitos, dificuldade no conteúdo abordado e
incompreensão do ambiente informatizado, devendo-se considerar, portanto, que 8 (oito)
estudantes assinalaram ter alguma dificuldade na resolução do 3° item da Atividade 4.
Dois estudantes apresentaram dificuldades no ambiente informatizado - OA, o que nos
remete a fazer algumas adaptações nesse item. Pretendemos com isso, atingir
satisfatoriamente a totalidade dos estudantes, no que diz respeito à sua compreensão e
manipulação;
c) continuando a análise dos resultados obtidos no 3° item da Atividade 4, constata-se que, a
partir de dados disponíveis no Relatório de Respostas, 5 (cinco) estudantes tiveram
alguma dificuldade nesse item, porém não assinalou nenhuma opção nesse sentido.
Somando-se os dois grupos: os 8 (oito) estudantes que assinalaram ter alguma dificuldade
e os 5 (cinco) que não assinalaram, tem-se um resultado constando 62% (sessenta e dois
por cento) dos estudantes apresentaram alguma dificuldade nesse item.
Algumas considerações:
a) ao dialogar com alguns estudantes, após a aplicação das atividades, a respeito do OA e
do curso que estão fazendo, eles disseram não ter estudado ainda o conteúdo
“triângulo de potências”, mas que têm uma boa noção a respeito do mesmo e que faz
parte do seu programa de curso. Alguns desses estudantes acharam o contato prévio
com esse conteúdo muito importante.
b) três estudantes acertaram todos os itens da Atividade 4 e não assinalaram nenhum tipo
de dificuldade. Essas informações sugerem que 14% (quatorze por cento) dos
estudantes que se submeteram a essa atividade compreenderam perfeitamente todos os
quesitos exigidos para sua interpretação, manipulação e execução dos itens propostos.
c) sete estudantes não acertaram algum item da Atividade 4 na primeira tentativa e não
130
justificaram (assinalaram) o tipo de dificuldade apresentada.
d) a seguir, a relação desses itens:
Estudante A) 1° e 3° itens
Estudante B) 5° item
Estudante C) 1° e 3° itens
Estudante D) 5° item
Estudante E) 3° item
Estudante F) 3° item
Estudante G) 3° item
e) O tempo médio gasto pelos estudantes na execução da Atividade 4, foi de 12min e 20 seg.
A seguir encontram-se as transcrições dos comentários que os estudantes fizeram
no relatório de respostas, na íntegra, a respeito da Atividade 4.
Transcrição dos comentários feitos pelos estudantes no espaço
reservado para sugestões, críticas e outros, do relatório de respostas.
Essencial para reforçar o conteúdo da disciplina de circuito elétricos II (estudante
L.M.A.).
As animações ajudaram na compreensão (estudante V.S.C.L. da S.).
Interessante. As questões conseguiram uma excelente interação entre os conteúdos
de trigonometria e eletricidade (estudante G.C.G.).
Muito bem elaborado (estudante P.R.G.).
O conteúdo abordado não foi visto pela turma, mas não era de difícil compreensão,
entretanto a animação não apresentou o tipo de potência em um dos eixos,
podendo causar equívocos (estudante A.C.S.).
Os gráficos ajudaram na compreensão das questões da atividade (estudante
C.B.S.S.).
Muito bacana. Serviu para explorar algumas curiosidades sobre o assunto
abordado, além de tirar algumas dúvidas sobre o conteúdo e fixá-lo (estudante
P.P.M.Z.C.).
Gostei muito do ambiente criado, porém, especificamente nessa atividade tive um
pouco de dificuldade, já que ainda não estudei os triângulos de potência. Mesmo
assim foi possível fazer e analisar as atividades pela facilidade que a ferramenta
OA trouxe (estudante I.B.F.G.).
131
Gostei de participar e acho que será útil (estudante P.R.T.P.).
Animações boas, mas um pouco confusas (estudante L.M.P.).
Observação:
Onze estudantes não fizeram nenhum registro nesse espaço.
133
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Inicialmente, esta Pesquisa de Mestrado voltou-se à criação de um OA, que buscasse
uma alternativa eficaz ao ensino das funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas,
arco seno e arco cosseno, com as aplicações na educação profissional técnica. Para tanto,
procuramos aprofundar as leituras sobre sequência didática, informática educativa, objetos de
aprendizagem e ensino das funções acima citadas.
O que nos impulsionou ao presente estudo foi a seguinte questão: Como elaborar e
utilizar recursos informatizados adequados, na forma de um OA para auxiliar o estudante na
melhoria de sua aprendizagem em relação às funções trigonométricas seno, cosseno e suas
inversas, arco seno e arco cosseno, no ensino médio e nos cursos técnicos da área de
eletroeletrônica?
Com o intuito de alcançar esse objetivo e obter uma aprendizagem eficaz no estudo
dessas funções, definimos objetivos específicos. A seguir discorreremos sobre o
desenvolvimento dessa pesquisa, em vista a esses objetivos.
1º Objetivo: Identificar nas Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Profissional
Técnica de Nível Médio, a contribuição das TIC´s – Tecnologias da Comunicação e
Informação, na formação do Técnico.
Inicialmente, recorremos aos PCN´s - Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Ensino Médio (BRASIL, 1999) e obtivemos a compreensão de que à medida que a sociedade
se desenvolve, aumenta-se a importância do ensino da Matemática devido as suas
especificidades. No processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos matemáticos, o
estudante deve ter autonomia e capacidade de pesquisa e deve ser agente responsável pela
aquisição de seu conhecimento. Assim, aprender é condição básica para prosseguir
aperfeiçoando-se ao longo da vida.
Utilizamos também as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Profissional
de Nível Técnico, que cita em seu interior o capítulo 3, seção I, artigo 214, da Constituição
Federativa do Brasil, em sua 4ª edição, em 1992, que diz: “A lei estabelecerá o plano nacional
de educação, de duração plurianual, visando à articulação e ao desenvolvimento do ensino em
seus diversos níveis e à integração das ações do Poder Público, que conduzam à”:
134
a) Formação para ao trabalho
b) Promoção humanística científica e tecnológica do país
c) Educação profissional de nível técnico
Nessa Pesquisa analisamos também que o indivíduo precisa se capacitar para enfrentar
os desafios trazidos pela nova concepção da informação e a escola é um lugar privilegiado
para sua preparação. Quando há um trabalho eficaz, essa informação pode se transformar em
conhecimento. O resultado desse trabalho de Mestrado demonstra que o OA produzido
durante a Pesquisa colabora para o fim que se propõe, pois ele auxilia o estudante na
aprendizagem das funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, sobretudo aplicado
aos cursos da área de eletroeletrônica.
Os registros feitos pelos estudantes durante a execução das atividades e os resultados
obtidos pelos estudantes demonstraram que o trabalho conseguiu atingir o primeiro objetivo
proposto, pois é possível identificar a importância das TIC´s durante a aplicação do OA. A
seguir, apresentamos o registro do estudante I.B.F.G. para confirmar essa conclusão.
Figura 42 - Registro do estudante I.B.F.G. sobre a resolução, Atividade 4
Fonte: Dados da pesquisa
Pelo registro do estudante I.B.F.G. podemos perceber que o OA conseguiu criar uma
situação de aprendizagem. O estudante afirma não ter estudado triângulo de potências, mas
conseguiu executar a atividade que aborda esse conteúdo.
Esse registro confirma a citação de Tavares (2007, p. 124), que diz: “um OA é um
recurso ou ferramenta cognitiva auto consistente no processo de ensino e aprendizagem, ou
seja, não depende de outros objetos para fazer sentido”.
2º Objetivo: Propor uma sequência de atividades com foco na parte visual e manipulativa,
através de animações construídas no software GeoGebra, para o ensino do objeto de estudo,
135
que seja aplicável no OA proposto.
Elaboramos as atividades desse OA na forma de sequências didáticas, segundo as
orientações de Zabala (1998).
Para tanto, iniciamos esse trabalho propondo um problema de aplicação “máquina de
transformação numérica”, que objetivou formar o conceito de função inversa, de forma
didática. Concluímos que esse objetivo foi alcançado satisfatoriamente, podendo ser
confirmado nos resultados obtidos na aplicação deste OA e os registros feitos pelos estudantes
durante a execução das atividades.
Na primeira atividade, trabalhamos como construção de gráfico, a partir do
preenchimento de tabela e depois invertemos a função. Na segunda atividade, introduzimos as
funções trigonométricas inversas, embora ainda não aplicadas aos cursos técnicos. O objetivo
é que o estudante entenda como as funções inversas funcionam. Utilizamos, para tanto, de
várias animações construídas no software GeoGebra que dinamizaram as atividades e as
tornaram interessantes e atrativas. Essas duas primeiras atividades podem ser utilizadas nos
cursos regulares de ensino médio.
As outras duas atividades que compõem o OA também cumpriram o papel de elucidar
o conteúdo das duas primeiras, em aplicações básicas na análise de circuitos elétricos e no
triângulo de potências. Procuramos utilizar os três tipos de circuitos elétricos na terceira
atividade: circuito resistivo, circuito indutivo e circuito resistivo e indutivo, através de
animações, tornando os itens dessa atividade dinâmicos.
Desse modo, o estudante teve a oportunidade de aplicar os conceitos de funções
trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, ora adquiridos através das sequências de
atividades desse OA, nos circuitos elétricos e no triângulo de potências, que são objetos de
estudo do seu curso técnico.
A partir dos resultados e registros feitos pelos estudantes, podemos concluir que esse
objetivo foi alcançado satisfatoriamente, e que embora nenhuma das quatro sequências
didáticas apresentadas nesse OA é completa, podemos considerar que todas elas contem
instrumentos suficientes para justificar a sua utilização.
As sequências didáticas trazem em si o objetivo de auxiliar o estudante em um ensino
mais eficiente. São formas que o professor dispõe para incrementar o ensino e aprendizagem,
diversificando as técnicas, criando espaços e momentos de estudo adequados a cada realidade.
A seguir, apresentamos o registro do estudante G.C.G. feito sobre as atividades que
propusemos neste OA.
136
Figura 43 - Registro do estudante G.C.G. sobre a resolução, Atividade3
Fonte: Dados da pesquisa
Concluímos que a sequência de atividades propostas neste OA atingiu esse objetivo,
pois podemos observar várias animações compondo os itens e que de acordo com o estudante
G.C.G. as atividades foram muito bem elaboradas e as animações são muito boas.
3º Objetivo: Desenvolver um OA para o ensino e aprendizagem das funções seno,
cosseno e suas inversas, arco seno e arco cosseno aplicado aos temas, análise das formas de
ondas em circuitos elétricos, análise da potência elétrica instantânea e análise do triângulo de
potências.
Para desenvolver esse trabalho buscamos várias leituras acerca do significado de um
OA, bem como o seu processo de elaboração e a análise de 6 (seis) livros didáticos de
Matemática, que abordam as funções objeto de estudo dessa Pesquisa.
Segundo Cunha (2014), o termo OA surgiu no início do século XXI e passou a ser
utilizado para se referir a recursos digitais. Wiley (2000) define Objetos de Aprendizagem
como sendo qualquer recurso digital que possa ser utilizado para o suporte ao ensino.
Após a análise de 6 (seis) livros didáticos, inclusive o livro “Matemática, construção e
significado, editora executiva: Juliane Matsubara Barroso, Editora Moderna, 2008, volume 2”,
utilizado pela turma no qual o OA foi aplicado, constatamos que não houve nenhuma
atividade que exigisse o uso de tecnologia ou software específico para facilitar a
aprendizagem das funções seno, cosseno e suas inversas.
Este trabalho, portanto, foi desenvolvido segundo a concepção de OA de Wiley
(2000).
Outras definições de OA podem ser encontradas em: Tavares (2007), Oliveira et al
(2001), Reis (2010), Macêdo et al (2007, p.20).
Quanto à aplicação dessas funções na área de eletroeletrônica, nada foi encontrado,
apenas em um dos livros, o autor sugere a utilização da calculadora.
137
Para a sua construção, nos orientamos em Rodrigues et al (2007), que cita as três fases
de construção do Objeto de Aprendizagem cujo título é “Transbordando o Conhecimento”,
descritas a seguir.
a) a primeira diz respeito ao planejamento da construção do OA;
b) a segunda refere-se a implementação propriamente dita do OA em uma linguagem de
programação;
c) a terceira refere-se à criação de orientações ao usuário final.
Destacamos a sua versatilidade, devido a possibilidade de ser utilizado em diversos
ambientes educacionais e ser capaz de renovar a prática docente do professor por meio de
interações com os ambientes informatizados.
Concluímos que esse objetivo foi contemplado dentro dessa pesquisa, uma vez a
construção deste OA se deu a partir das orientações de Rodrigues et al (2007), de forma eficaz
e a sua aplicação no curso da área de eletroeletrônica aconteceu de forma muito produtiva e
tranquila. Pelos registros, o OA conseguiu auxiliar de forma satisfatória o estudante na
aprendizagem de funções seno, cosseno e suas inversas, aplicada são estudo de circuitos
elétricos.
A seguir, colocamos o registro do estudante P.P.M.Z.C. para corroborar com a
conclusão que chegamos.
Figura 44 - Registro do estudante P.P.M.Z.C. sobre a resolução, Atividade 3
Fonte: Dados da pesquisa
Pelo registro do estudante P.P.M.Z.C., podemos perceber a eficácia do OA como
recurso digital auxiliar, uma vez que o professor já havia desenvolvido esse conteúdo
(circuitos elétricos) anteriormente. Esse estudante afirma que o OA serviu para fixar o
138
conteúdo, ressaltando a importância das animações e recursos que o programa oferece.
4º Objetivo: Aplicar em campo o OA desenvolvido e, a partir do feedback observado,
realizar melhorias nesta ferramenta.
O OA necessitava passar por uma verificação quanto ao cumprimento do seu objetivo
principal, anteriormente citado. Definimos então que ele fosse aplicado, no intuito de ser
validado quanto a sua eficácia por um grupo de estudantes do 2° ano do curso de Eletrônica,
do CEFET MG, Campus I.
Elaboramos o roteiro de aplicação e o relatório de respostas, no qual cada estudante
registrou os resultados dos itens das atividades, bem como as dificuldades encontradas
durante a sua execução e as observações que julgasse necessárias.
A aplicação deste OA ocorreu de forma tranquila e produtiva e os estudantes se
mostraram felizes de participar do trabalho de execução das atividades propostas. A seguir
apresentamos cópias de algumas declarações dos estudantes que corroboram com essa
percepção do pesquisador.
Alguns resultados e/ou registros dos estudantes que executaram as atividades
sugeriram pequenas correções nesse OA. Avaliamos o resultado obtido nessa aplicação como
positivo, uma vez que a grande maioria dos estudantes acertaram quase todos os itens das
atividades na primeira tentativa. Além desses resultados, obtivemos vários registros
espontâneos dos estudantes, tecendo elogios das atividades do OA, bem como o ambiente
informatizado.
Seguem cópias de algumas declarações dos estudantes, feitas no relatório de respostas.
Figura 45 - Registro do estudante G.C.G. sobre a resolução, Atividade 4
Fonte: Dados da pesquisa
Todas as cópias dos registros apresentadas anteriormente foram feedbacks dos
estudantes durante a aplicação do OA e as indicações de modificações a serem feitas nessa
ferramenta, sugeridas a partir dos resultados dessa pesquisa, confirmam que esse objetivo
também foi alcançado de forma satisfatória. As sugestões de ajustes nos itens das atividades
139
estão apresentadas no capítulo de aplicação e análise das atividades, dessa Dissertação.
Desse modo, a experiência vivenciada nesse trabalho de pesquisa enriqueceu nossa
formação enquanto professor, pois nos permitiu observar os benefícios que uma mudança na
estrutura das aulas e das atividades propostas pode trazer para o ensino e aprendizagem dos
conteúdos. Permitiu constatar o quanto é importante o educador desenvolver a sua
criatividade, elaborar material próprio, pesquisar o que outros professores estão fazendo para
otimizar o processo de ensino e aprendizagem.
Essa experiência influenciou a minha prática docente, levando-me a uma reflexão
sobre as minhas aulas, bem como o material que tenho utilizado para desenvolver os
conteúdos.
Mediante a análise descrita no capítulo 3 desta Dissertação, na qual percebemos que
há carência nos livros didáticos utilizados para esse estudo, de exemplos de aplicação do
conteúdo tratado nesta Pesquisa de Mestrado, criamos o OA desenvolvido, como um recurso
didático digital complementar durante a introdução das funções trigonométricas seno, cosseno
e suas inversas, arco seno e arco cosseno.
141
REFERÊNCIAS
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144
ZABALA, Antoni. A Prática Educativa: Como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998.
145
APÊNDICE A: Relatório de respostas e questionário avaliativo
Instrumentos utilizados durante a aplicação das atividades para o estudante registrar os
resultados, tipos de dificuldades encontradas, sugestões, críticas e avaliação do OA.
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
“Relatório de respostas e questionário avaliativo”
Registros da aplicação das atividades do Objeto de Aprendizagem - OA: Funções
trigonométricas seno, cosseno e suas inversas arco seno e arco cosseno aplicadas
na área técnica em eletroeletrônica.
Mestrando: Mauro José da Rocha
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Local da Aplicação: CEFET MG – Campus I
Professor colaborador do CEFET MG – Ms. Christiano Sena
Aluno colaborador (iniciais do nome e sobrenomes): ________________________
Curso / Turma / Ano: __________________________________________________
Belo Horizonte,
03/junho/2015
146
Atividade 1 : CRIANDO O CONCEITO DE FUNÇÃO INVERSA
Tempo utilizado:_________________
Quadro 1 - Em cada item da Atividade 1, registre com a letra referente a
resposta assinalada, até obter a resposta correta.
Item
Tentativas
1º 2º 3º 4º 5º 6º
1
2
3
4
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
Quadro 2: Registre com um x, possíveis erros que possam ocorrer em cada item, Atividade 1
Item
Tipos de Erros
1º 2º 3º 4º 5º
6º
Incompreensão do
enunciado.
Dificuldade no conteúdo
abordado.
Falta de coerência da
resposta com os dados da
atividade.
Incompreensão do
ambiente informatizado.
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
Espaço reservado para sugestões, críticas e outros.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
147
Atividade 2 : AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO, COSSENO E SUAS
INVERSAS ARCO SENO E ARCO COSSENO
Tempo utilizado:_________________
Quadro 3: Em cada item da Atividade 2, registre com a letra referente a
resposta assinalada, até obter a resposta correta.
Item
Tentativas
1º 2º 3º 4º 5º 6º
7º
1
2
3
4
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
Quadro 4: Registre com um x, possíveis erros que possam ocorrer em cada item, Atividade 2
Item
Tipos de Erros
1º 2º 3º 4º 5º
6º
7º
Incompreensão do
enunciado.
Dificuldade no conteúdo
abordado.
Falta de coerência da
resposta com os dados da
atividade.
Incompreensão do
ambiente informatizado.
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
Espaço reservado para sugestões, críticas e outros.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
148
Atividade 3 : AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO, COSSENO E SUAS
INVERSAS ARCO SENO E ARCO COSSENO EM CIRCUITOS ELÉTRICOS
Tempo utilizado:_________________
Quadro 5: Em cada item da Atividade 3, registre com a letra referente a
resposta assinalada, até obter a resposta correta.
Item
Tentativas
1º 2º 3º 4º 5º 6º
1
2
3
4
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
Quadro 6: Registre com um x, possíveis erros que possam ocorrer em cada item, Atividade 3
Item
Tipos de Erros
1º 2º 3º 4º 5º
6º
Incompreensão do
enunciado.
Dificuldade no conteúdo
abordado.
Falta de coerência da
resposta com os dados da
atividade..
Incompreensão do
ambiente informatizado
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
Espaço reservado para sugestões, críticas e outros.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
149
Atividade 4 : O ESTUDO DO TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS COM A UTILIZAÇÃO
DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO, COSSENO E SUAS INVERSAS
Tempo utilizado:_________________
Quadro 7: Em cada item da Atividade 4, registre com a letra referente a
resposta assinalada, até obter a resposta correta.
Item
Tentativas
1º 2º 3º 4º 5º
1
2
3
4
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
Quadro 8: Registre com um x, possíveis erros que possam ocorrer em cada item, Atividade 4
Item
Tipos de Erros
1º 2º 3º 4º 5º
Incompreensão do
enunciado.
Dificuldade no conteúdo
abordado.
Falta de coerência da
resposta com os dados da
atividade.
Incompreensão do
ambiente informatizado.
Fonte: Elaborado pelo autor (Microsoft Word)
Espaço reservado para sugestões, críticas e outros.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
150
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
QUESTIONÁRIO AVALIATIVO
a) O que você achou desse Objeto de Aprendizagem - OA?
b) Você teve dificuldade?
c) Achou esse OA confuso?
d) Você acha que esse OA contribui com o ensino e aprendizagem do conteúdo em sua
área de formação?
151
APÊNDICE B: Caderno de atividades
Instrumento aplicado com o apoio da informática educativa
ATIVIDADES QUE COMPÕEM O PRODUTO DA DISSERTAÇÃO
Apresentação do Objeto de Aprendizagem - OA
Esse OA foi desenvolvido como parte da conclusão do Mestrado em Ensino de
Matemática, do programa de Pós-Graduação em ensino de Ciências e Matemática, da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, no período de 2014/2015.
Ele tem o objetivo de auxiliar o professor de Matemática do ensino médio regular e
dos cursos da área de eletroeletrônica, no ensino e aprendizagem das funções trigonométricas
seno, cosseno e suas inversas, arco seno e arco cosseno, bem como facilitar o entendimento
desse conteúdo pelos estudantes. Para tanto, se propõe trabalhar utilizando os campos
aritmético (tabelas), algébrico (equações) e geométrico (gráficos). Priorizamos a utilização de
animações gráficas dentro das atividades do OA.
O OA contém 4 (quatro) atividades abordando o conteúdo "Funções trigonométricas
seno, cosseno e suas inversas arco seno e arco cosseno", e cada qual está organizada contendo
a seguinte estrutura: título, conteúdo, método, objetivo, suporte teórico e desenvolvimento
(itens da atividade).
152
ATIVIDADE 1
CRIANDO O CONCEITO DE FUNÇÃO INVERSA
Conteúdo
Conceito de função inversa, utilizando representações e restrições.
Objetivo
Propor uma sequência didática envolvendo uma situação problema a ser resolvida a partir do
preenchimento de tabela e geração do respectivo gráfico. Dessa forma, o estudante é
estimulado a construir o conceito de função inversa a partir desse problema e as animações
construídas utilizando o software Geogebra.
Método
Resolver as atividades pelos métodos algébrico (cálculo) e geométrico (tabela e gráfico),
utilizando, portanto, os materiais concreto (lápis e papel) e tecnológico (calculadora e
computador). As atividades estão construídas com hierarquia de dificuldades.
Desenvolvimento
Sophia é uma garota esperta e curiosa. Ela inventou a “máquina de transformação numérica”.
Esta máquina é muito interessante, pois, coloca-se um número real qualquer na entrada dela e
ela realiza a seguinte operação: dobra esse número e adiciona, ao resultado obtido, uma
unidade. Ela chama o número de saída como transformado do número de entrada.
Por exemplo: Se o número de entrada for 3, então o de saída será 7.
Assim o transformado de 3 é 7, porque 2.3 = 6 e 6 + 1 = 7. Considere o intervalo real [-5, 5],
para o número de entrada.
Construção de uma tabela
Ao preencher a tabela a seguir com os números de entrada, substituindo o número zero por
números desejados e respeitando o intervalo real definido inicialmente [-5, 5], serão
calculados automaticamente os números transformados respectivos, através de uma função
inserida no sistema. O gráfico referente a situação problema será construído ao lado da tabela
automaticamente para auxiliar o estudante a responder as perguntas correspondentes.
153
Figura 46 – Tabela da atividade 1 (Transformado)
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
Primeiro item
Ao analisar o gráfico e a tabela anteriores (transformado), pode-se concluir que:
A) O conjunto domínio é representado pelo número transformado.
B) O conjunto contra domínio é representado pelo número de entrada.
C) A representação gráfica define uma função para todos os elementos do conjunto do
número de entrada.
D) A representação gráfica define uma função apenas para os elementos positivos do
conjunto do número de entrada.
Obs.: A resposta correta desse item é C
Segundo item
Considerando n: número de entrada e t: transformado, a expressão (função) que descreve o
problema apresentado no início dessa atividade é :
A) t = 2n – 1
B) t = 2n + 1
C) t = 2(n + 1)
D) t = 2(n - 1)
Obs.: A resposta correta desse item é B
154
Terceiro item
Qual das expressões (funções) abaixo poderá ser utilizada para descobrir os números de
entrada, considerando n: número de entrada e t: número transformado?
A) n = 2t + 1
B) n = 2t – 1
C) n = ( t - 1 ) / 2
D) n = t / 2 – 1
Obs.: A resposta correta desse item é C.
Texto explicativo referente a animação 1 (Bissetriz)
Ao arrastar o botão de arraste na parte inferior do gráfico (bissetriz) para a direita e
para a esquerda, percebe-se que serão construídas duas representações de retas cujos pontos
dessas retas são equidistantes “mesma distância” referentes a reta bissetriz do 1º e 3º
quadrantes “função identidade do tipo i(x) = x”. Essas retas podem representar a situação
inicial dessa atividade “máquina de transformação numérica”. Observe as coordenadas dos
pontos B e C e responda as questões dos dois próximos itens.
Figura 47 – Animação 1 (Bissetriz)
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
155
Quarto item
Considere a situação problema apresentada no início da atividade. Ao analisar o gráfico da
animação 1 (bissetriz), que representa as funções original e a sua inversa, pode-se concluir
que:
A) O conjunto domínio da função original é representado pelo número de entrada.
B) O conjunto imagem da função original é representado pelo número de entrada.
C) A representação gráfica, tanto da função original quanto da sua inversa, não definem uma
função devido ter-se invertido, em relação a situação 1, os conjuntos (número de entrada
"domínio") e ( transformado "contra domínio").
D) As representações gráficas das duas funções não define uma função para todos os
elementos do conjunto.
Obs.: A resposta correta desse item é A.
Texto explicativo referente a animação 2
O gráfico abaixo (inversa) representa a função original e a sua inversa, em relação à reta
bissetriz do 1º e 3º quadrantes. Essa reta passa pela origem e é a representação da função
identidade i(x) = x, ou seja, os valores reais de x e de y pertencentes a essa reta são iguais.
Ao clicar e mover o botão de arraste na parte inferior da tela, o ponto A se desloca sobre a reta
bissetriz, alterando as coordenadas dos pontos B e C pertencentes às retas das funções original
e inversa, respectivamente. Percebe-se que D1 e D2 são referentes as distâncias entre os pontos
A e B , A e C, respectivamente.
156
Figura 48 – Animação 2 (Inversa)
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
Quinto item
Ao mover o botão da animação 2 (Inversa), percebe-se que as distâncias entre os pontos
B e A ; C e A se alteram. Dessa forma, ao observar esse comportamento pode-se concluir que:
A) As distâncias entre os pontos B e A ; C e A são diferentes.
B) As distâncias entre os pontos B e A ; C e A são simétricas por se tratar das funções
original e sua inversa.
C) Os pontos B e C estão equidistantes (mesma distância) em relação ao ponto A, gerando
portanto distâncias iguais.
D) À medida que o ponto A se aproxima da origem dos eixos cartesianos, as distâncias entre
B e A ; C e A aumentam.
Obs.: A resposta correta desse item é C.
157
Sexto item
Ao analisar a representação gráfica da animação 2 (Inversa), atento às coordenadas dos pontos
B e C e as distâncias D1 e D2, pode-se afirmar que:
A) A reta que está associada ao ponto C representa a função do número de entrada do
problema "máquina de transformação numérica".
B) O ponto A está associado a reta que representa as funções número de entrada e número
transformado do problema "máquina de transformação numérica".
C) Percebe-se que as coordenadas dos pontos B e C são iguais, concluindo-se, portanto, que
as retas que estão associadas a esses pontos representam a mesma função referente ao
problema "máquina de transformação numérica".
D) A reta que está associada ao ponto B representa a função do número de entrada do
problema "máquina de transformação numérica".
Obs.: A resposta correta desse item é D.
158
ATIVIDADE 2
AS FUNÇÕES SENO, COSSENO E AS SUAS INVERSAS.
Conteúdo
Estudo das funções seno, cosseno e suas inversas, através de representações e restrições.
Objetivo
Levar o estudante a construir o conceito de funções seno, cosseno e suas inversas pelos
métodos algébrico (cálculo) e geométrico (tabela e gráfico). A atividade está construída com
hierarquia de dificuldades, de forma que ao se superar uma questão anterior, espera-se que o
estudante esteja preparado para executar a etapa imediatamente posterior.
Método
Sequência didática envolvendo situações problema a serem resolvidas a partir de análise de
gráficos, utilizando o software Geogebra e afins.
Desenvolvimento
Texto explicativo referente a animação 1 (construindo seno e cosseno)
A animação 1 (construindo seno e cosseno) tem o objetivo de explicitar o valor do
seno e do cosseno de um determinado arco (ângulo), através do círculo trigonométrico e dos
gráficos dessas funções. Ao arrastar o botão "mova", o ângulo ß será alterado no círculo
trigonométrico. Observe também que os valores do seno e do cosseno referentes ao ângulo ß
serão exibidos automaticamente. Para facilitar a identificação, utilizamos cores diferentes para
representar os valores de seno e de cosseno, conforme legenda próxima ao gráfico. Pode-se
ocultar o gráfico da função seno, da função cosseno ou de ambas, clicando no botão
"selecione a função", caso seja necessário.
159
Figura 49 – Animação 1 (Construindo seno e cosseno)
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
Primeiro item
Considere a animação 1 (construindo seno e cosseno), e arraste o botão "mova" até formar um
ângulo, cujo valor do seno seja igual ao do cosseno. Observe esse valor e assinale a seguir o
menor ângulo em que o valor do seno seja igual ao do cosseno.
Obs.: caso tenha dificuldade em arrastar o botão até os ângulos ficarem iguais, pode-se
utilizar as setas do teclado para a direita ou para a esquerda.
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 90º
Obs.: A resposta correta desse item é B.
160
Segundo item
Remetendo a ideia de função inversa, verifique nos gráficos das funções seno e cosseno,
representados ao lado do círculo trigonométrico da animação 1 (construindo seno e cosseno) e
determine o arco (ângulo) cujo o valor do senß2 = 0 e cosß2 = -1, e assinale a resposta correta
a seguir.
A) 360º
B) 270º
C) 180º
D) 90º
Obs.: A resposta correta desse item é C.
Texto explicativo referente a animação 2 (Escolha o seno)
A animação 2 (escolha o seno) tem o objetivo de informar o arco (ângulo)
correspondente a um determinado valor do seno definido anteriormente. Essa é a ideia inversa
da função seno, ou seja, na função seno pergunta-se normalmente qual será o valor do
segmento (seno) a partir de um determinado arco (ângulo). Para a inversa (arco seno), a
pergunta é ao contrário, ou seja, qual será o arco (ângulo) para um determinado valor do seno.
Para resolver os dois próximos itens, arraste verticalmente o ponto A no eixo dos senos e
observe o que ocorre com o ângulo formado, entre o eixo das abscissas e o segmento OP.
Figura 50 – Animação 2 (Escolha o seno)
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
161
Terceiro item
Utilize a animação 2 (escolha o seno) para responder a esse item. Qual é o arco (ângulo ß)
cujo valor do seno seja 0,5? Essa pergunta corresponde a expressão arco seno ß = 0,5.
Assinale a resposta correta a seguir.
A) 90º
B) 60º
C) 45º
D) 30º
Obs.: A resposta correta desse item é D.
Texto explicativo referente a animação 3 (escolha o cosseno)
A animação 3 (escolha o cosseno) tem o objetivo de fornecer o arco (ângulo) dado o
valor do seu respectivo cosseno. Na parte superior direita do círculo trigonométrico se
encontra uma barra de rolagem que permite alterar o valor do cosseno arrastando-se o botão
dessa barra para a direita ou para a esquerda. Ao movimentar esse botão, os ângulos formados
serão mostrados no círculo trigonométrico ao lado. Essa animação propõe o caminho inverso
ao que comumente se faz. Normalmente, oferece-se o ângulo e, a partir dele, descobre-se o
valor do seu cosseno. Para esse caso, oferece-se inicialmente o valor do cosseno e, a partir
dele, serão determinados os arcos correspondentes. Essa é a ideia da função inversa arco
cosseno.
Figura 51 – Animação 3 (Escolha o cosseno)
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
162
Quarto item
Arraste o botão da barra de rolagem na animação 3 (escolha o cosseno), até que seja mostrado
o valor do cosseno igual a - 0,5. Localize os dois arcos (ângulos) correspondentes a esse valor
no círculo trigonométrico e assinale a resposta correta a seguir.
A) 120º e 240º
B) 90º e 270º
C) 60º e 300º
D) 30º e 45º
Obs.: A resposta correta desse item é A.
Quinto item
Determine, através da representação gráfica da animação 3 (escolha o cosseno), quais são os
arcos (ângulos α e ß) que geram os valores máximo e mínimo, respectivamente, para o
cosseno e assinale a resposta correta a seguir. Essa questão equivale as seguintes perguntas:
Qual deverá ser o arccos(α) = 1 ? Qual deverá ser o arccos(β) = -1 ?
A) 90º e 270º
B) 90º e 180º
C) 0º e 180º
D) 0º e 360º
Obs.: A resposta correta desse item é C
Figura 52 – Funções Seno e Arco Seno
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
163
Sexto item
Considere a animação (funções seno e arco seno) e assinale a alternativa na qual as funções
f(x) = sen(x) e g(x) = arcsen(x) são decrescentes, com .
Pista: Movimente o botão vermelho ao longo do círculo trigonométrico.
A)
B)
C)
D)
Obs.: A resposta correta desse item é B
Figura 53 – Funções Cosseno e Arco Cosseno
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
164
Sétimo item
Analise a animação (funções cosseno e arco cosseno) e assinale a alternativa correta,
considerando o intervalo .
A) A função cosseno tem máximo em 1, enquanto a função arco cosseno tem mínimo em
zero radiano.
B) A função cosseno tem mínimo em zero, enquanto a função arco cosseno tem máximo
em .
C) A função cosseno é decrescente no intervalo , enquanto a função arco cosseno é
crescente entre .
D) A função cosseno é crescente no intervalo , enquanto a função arco cosseno é
decrescente no intervalo .
Obs.: A resposta correta desse item é C
165
ATIVIDADE 3
AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO, COSSENO E AS SUAS INVERSAS,
ARCO SENO E ARCO COSSENO EM CIRCUITOS ELÉTRICOS
Conteúdo
Estudo das funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas arco seno e arco seno,
aplicadas à análise de circuitos elétricos.
Objetivo
Contextualizar o uso das funções seno, cosseno e suas inversas, arco seno e arco cosseno em
problemas reais relacionados à área de eletroeletrônica. A atividade está construída com
hierarquia de dificuldades, de modo a construir conceitos mais concretos perante o uso de
ferramentas matemáticas na análise de circuitos.
Método
Sequência didática envolvendo situações problemas a serem resolvidas a partir de análise de
circuitos e gráficos, bem como aplicação de expressões constantes na questão e/ou no suporte
teórico da atividade, utilizando o software Geogebra e afins.
Desenvolvimento
Texto explicativo referente a animação 1 (circuito resistivo)
A animação 1 (circuito resistivo), tem o objetivo de, através das funções seno e
cosseno, analisar os valores instantâneos das grandezas elétricas: tensão, corrente e potência.
Na planilha lateral é possível informar o instante desejado e verificar o valor das grandezas na
tabela e nos pontos A, B e C. Por fim, o estudante ainda pode arrastar os botões Vp (tensão de
pico), f (frequência) e R (resistência) para verificar a influência desses itens no
comportamento do circuito.
166
Figura 54 – Animação 1 (Circuito resistivo)
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
Primeiro item
Na animação 1 (circuito resistivo), ao variar a frequência f através do botão de rolagem, para
um mesmo instante de tempo t, percebe-se que há uma alteração na forma de onda senoidal
do circuito. Assinale a seguir a alternativa que descreva essa alteração.
A) O valor de pico da tensão diminui.
B) O valor de pico da tensão aumenta.
C) O período da senoidal que representa o pico de tensão aumenta ao diminuir o valor da
frequência.
D) O período da senoidal que representa o pico de tensão diminui ao diminuir o valor da
frequência.
Obs.: A resposta correta desse item é C
167
Segundo item
Através da animação 1 (circuito resistivo), determine o menor tempo para que o circuito tenha
v(t) = vp/2, considerando f = 0,2 Hz. Utilize a expressão t=arcsen(v(t) / vp) / ω e assinale a
seguir a resposta correta.
A) (5 / 6) s
B) (5 / 12) s
C) (6 / 5) s
D) (12 / 5) s
Obs.: A resposta correta desse item é B
Terceiro item
Figura 55 – Animação 2 (Circuito indutivo)
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
Considerando a animação 2 (circuito indutivo), o que ocorre com o circuito puramente
indutivo ao variar a frequência,?
A) Ocorrerá apenas variação da tensão de pico VP.
B) Ocorrerá variação na corrente do circuito.
C) A corrente cresce ou decresce proporcionalmente com a tensão.
D) Ocorrerá alteração na indutância do circuito .
Obs.: A resposta correta desse item é B
168
Quarto item
Estipule um mesmo instante de tempo, movimente os botões de rolagem (Vp, f, L), da
animação 2 (circuito indutivo), referente ao circuito indutivo em questão e observe o que
acontece com os gráficos e os valores correspondentes na tabela à direita da tela. Assinale a
alternativa que representa uma relação verdadeira desse circuito.
Pista: Estipule o mesmo tempo para Vp, f e L.
A) Vp = f / L
B) f = Vp / L
C) P = V.I
D) V = P.I
Obs.: A resposta correta desse item é C
Figura 56 – Animação 3 (Circuito RL)
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
169
Quinto item
Utilize a animação 3 (circuito RL), movimente o botão de arraste R (Resistência) e observe o
que ocorre com a corrente I e a tensão VL. Após obter uma conclusão, assinale a resposta
correta.
A) Ao aumentar o módulo da resistência, a corrente também aumenta o seu módulo, porque
resistência e corrente são proporcionais.
B) Ao diminuir o módulo da resistência, a corrente aumenta o seu módulo, porque corrente e
resistência são inversas.
C) Ao aumentar o módulo da resistência, o módulo da corrente diminui e o módulo da tensão
aumenta, porque corrente e tensão são inversas, ao variar a resistência do diagrama.
D) Ao diminuir o módulo da resistência, o módulo da corrente aumenta e o módulo da tensão
diminui, porque resistência e tensão são proporcionais.
Obs.: A resposta correta desse item é B
Figura 57 – Animação 4 (Diagrama fasorial)
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
170
Sexto item
Utilize a animação 4 (Diagrama fasorial), e mova os botões de arraste R e L para compreender
o que ocorre com os componentes desse diagrama. Após suas conclusões, analise cada
afirmação a seguir e assinale a que estiver correta.
Pista: Considere que o vetor UL está contido no eixo, portanto relaciona-se ao seno. O vetor
UR está contido no eixo x e relaciona-se ao cosseno.
A) Ao fixar o R em 300 Ohms e movimentar o botão L de forma crescente, observa-se que o
valor do seno do ângulo em questão diminui.
B) Ao fixar o L em 0,5 H e movimentar o botão R de forma decrescente, observa-se que o
valor do cosseno do ângulo em questão aumenta.
C) Ao fixar o R em 250 Ohms e movimentar o botão L de forma crescente, observa-se que o
valor do arco seno entre os vetores em questão diminui.
D) Ao fixar o L em 0,95 H e movimentar o botão R de forma decrescente, observa-se que o
valor do arco cosseno entre os vetores em questão aumenta.
Obs.: A resposta correta desse item é D
171
ATIVIDADE 4
O ESTUDO DO TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS COM A UTILIZAÇÃO DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO, COSSENO E SUAS INVERSAS
Conteúdo
Funções trigonométricas seno, cosseno e suas inversas, arco seno e arco seno, aplicadas ao
estudo de triângulo de potências e fator de potência.
Objetivo
Estudar o triângulo de potências e contextualizar o uso das funções seno, cosseno e suas
inversas arco seno e arco cosseno em problemas reais relacionados a área de eletroeletrônica,
como os tópicos fator de potência e máxima transferência de potência. A atividade está
construída com hierarquia de dificuldades, de modo a construir conceitos mais concretos
perante o uso de ferramentas matemáticas na análise de circuitos.
Método
Atividades envolvendo situações problema a serem resolvidas a partir do triângulo de
potências, inserido no software Geogebra. Sugere-se consulta ao suporte teórico da atividade,
caso haja alguma dúvida.
Primeiro item
Considerando o triângulo de potências, apresentado no suporte teórico desta atividade,
assinale a seguir a alternativa correta.
Pista: Caso seja necessário, consulte o Suporte Teórico desta atividade.
A) São elementos (lados) do triângulo de potências: potência aparente, potência ativa e fator
de potência.
B) O maior lado do triângulo de potências é representado pela potência ativa.
C) O fator de potência garante que a potência ativa seja sempre menor ou igual a potência
aparente.
D) O senθ é dado pelo quociente da potência ativa pela potência aparente.
Obs.: A resposta correta desse item é C
172
Figura 58 – Animação 1 (Triângulo de potências)
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
Segundo item
Na animação 1 (triângulo de potências), movimente os botões de arraste até que se obtenha os
valores 485 W para a potência reativa e 970 W para potência aparente. Neste caso, o valor do
arco senθ, no triângulo de potências, é igual a:
A) 90°
B) 60°
C) 45°
D) 30°
Obs.: A resposta correta desse item é D
173
Terceiro item
Na animação 1 (Triângulo de potências), fixe a potência reativa em 500 W e considere a
tensão constante durante todo o processo. Movimente o botão da potência ativa até atingir 650
W e observe o valor da potência aparente e do ângulo formado entre as potências ativa e
aparente. Agora, diminua a potência ativa para 300 W, observe o que está acontecendo e
assinale a seguir a opção correta.
A) O ângulo formado entre as potências aparente e ativa aumenta, assim como o valor da
corrente.
B) O fator de potência aumenta e o valor da corrente diminui.
C) O fator de potência diminui e valor da corrente também diminui.
D) O ângulo formado entre as potências aparente e ativa aumenta e o valor da corrente
permanece constante.
Obs.: A resposta correta desse item é C
Figura 59 – Animação 1 (Círculo Trigonométrico Adaptado)
Fonte: Elaborado pelo autor (software Geogebra)
174
Quarto item
Utilize o Círculo Trigonométrico Adaptado, da animação 2. Considere o ângulo entre as
potências aparente e ativa do triângulo de potências contido nele. O eixo seno representa a
parcela reativa e o eixo cosseno, a parcela ativa. Ao variar o ângulo considerado, através do
botão de arraste "C", pode-se concluir que:
A) Se aumentar o ângulo, a parcela ativa e a parcela reativa também aumentam.
B) Se o ângulo diminuir, a parcela ativa aumenta e a parcela reativa diminui.
C) Se o ângulo aumentar, tanto a parcela ativa quanto a parcela reativa diminui.
D) Se o ângulo diminuir, a parcela ativa diminui e a parcela reativa aumenta.
Obs.: A resposta correta desse item é B
Quinto item
Em um circuito CA com reatância indutiva, a corrente I está atrasada em relação à tensão V.
A potência real é dada por P = VIcosθ, onde θ é o ângulo de fase entre V e I, e cosθ é o fator
de potência do circuito. A potência reativa Q, em volt-ampères reativos (VAr) é dada por
Q = VIsenθ.
Baseado nas informações anteriores, calcule, através da função arco cosseno, o ângulo θ em
um circuito onde a corrente é 2 A, a tensão 400 V e a potência real igual a 692 Watts.
Assinale a alternativa correta a seguir.
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 90º
Obs.: A resposta correta desse item é A
175
APÊNDICE C: CD contendo o Produto educacional (OA Digital)
