Triângulos - Pontos Notáveis

Professor Alessandro Monteiro

www.matematicamonteiro.blogspot.com

Pontos Notáveis são alguns pontos importantes de um triângulo. Estudaremos quatro deles: o Baricentro, o Ortocentro, o Incentro e o Circuncentro.

DEFINIÇÃO:

Ponto de cruzamento das medianas

Ponto de cruzamento das alturas

Ponto de cruzamento das bissetrizes

Ponto de cruzamento das mediatrizes

BARICENTRO

ORTOCENTRO

INCENTRO

CIRCUNCENTRO

BARICENTRO:É o ponto de cruzamento das medianas de um triângulo.

MEDIANA:Segmento que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto.

BARICENTRO

A

B CM

NP

G

AG

GM

BG

GN

CG

GP= = = 2

1

M, N e P

Pontos Médios

AM, BN e CP

Medianas

É o ponto de cruzamento das alturas de um triângulo.

ALTURA:Segmento que vai de um vértice até o lado oposto, formando um ângulo de 90º com este.

ORTOCENTRO

A

B CH

Q

W

O

ORTOCENTRO:

IMPORTANTE:

- Num triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice reto.

- Num triângulo obtusângulo, o ortocentro é externo ao triângulo.

AH, BQ e CW

Alturas

É o ponto de cruzamento das bissetrizes de um triângulo.

BISSETRIZ:Semi-reta que divide um ângulo em duas partes congruentes.

INCENTRO:

A

B C

IMPORTANTE:

- O incentro é o ponto eqüidistante dos lados do triângulo.- O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

INCENTRO

r

r

r

r = distância do incentro aos lados do triângulo

r = raio da circunferência inscrita no triângulo

É o ponto de cruzamento das mediatrizes de um triângulo.

MEDIATRIZ:Reta perpendicular a um segmento passando pelo seu ponto médio.

CIRCUNCENTRO:

A

B CM

QP

IMPORTANTE:

- o ponto eqüidistante dos vértices do triângulo.- o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

R

R

R CIRCUNCENTRO

O circuncentro é:

R = distância do circuncentro aos vértices do triângulo

R = raio da circunferência circunscrita ao triângulo

M, N e P Pontos Médios

EXERCÍCIOS

( ) equidistante dos lados do triângulo

( ) ponto de encontro das mediatrizes

( ) divide cada mediana na razão 2:1

( ) ponto de encontro das bissetrizes internas

( ) podem estar internos, sobre ou externos ao triângulo

( ) centro da circunferência circunscrita

( ) ponto de encontro das medianas

( ) eqüidistante dos vértices do triângulo

( ) ponto de encontro das retas suportes das alturas

( ) centro da circunferência inscrita

1. Nas afirmações abaixo, assinale (B) para baricentro, (I) para incentro, (C) para circuncentro e (O) para ortocentro, sobre as propriedades dos pontos notáveis nos triângulos.

EXERCÍCIOS

( ) O encontro das medianas em um triângulo é o Baricentro.

( ) O encontro das bissetrizes internas de um triângulo é o

Circuncentro.

( ) O encontro das mediatrizes de um triângulo é o Incentro.

( ) O encontro das alturas de um triângulo é o Ortocentro.

( ) Em um triângulo obtusângulo, o baricentro é o ponto externo.

( ) Qualquer triângulo possui os 4 pontos notáveis.

( ) No triângulo equilátero, os 4 pontos notáveis são coincidentes,

( ) No triângulo equilátero, o ortocentro divide as alturas na proporção

2:1

2. Marque V para verdadeiro e F para falso nas seguintes sentenças:

VF

FV

FV

V

V

EXERCÍCIOS

a) O baricentro do triângulo ABC.

b) O incentro do triângulo ABC.

c) O circuncentro do triângulo ABC.

d) O ortocentro do triângulo ABC.

e) Um ex-incentro do triângulo ABC.

3. Um ponto P eqüidista dos vértices de um triângulo ABC. O ponto P é:

X

EXERCÍCIOS

a) O baricentro do triângulo DEF.

b) O incentro do triângulo DEF.

c) O circuncentro do triângulo DEF.

d) O ortocentro do triângulo DEF.

e) Um ex-incentro do triângulo DEF.

4. Um ponto Q pertence à região interna de um triângulo DEF, eqüidista dos lados desse triângulo.O ponto Q é:

X

EXERCÍCIOS

a) baricentro

b) incentro

c) circuncentro

d) ortocentro

e) ex-incentro.

5. Qual dos pontos notáveis do triângulo pode ser um de seus vértices?

X

EXERCÍCIOS

a) Baricentro e Ortocentro

b) Incentro e Circuncentro

c) Baricentro e Circuncentro

d) Incentro e Ortocentro

e) Baricentro e Incentro

6. Quais pontos notáveis de um triângulo nunca se posicionam externamente em relação à sua região triangular?

X

EXERCÍCIOS

a) Mediana

b) Mediatriz

c) Bissetriz

d) Altura

e) Base.

7. (UNITAU) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado:

X

EXERCÍCIOS

a) Baricentro

b) Incentro

c) Circuncentro

d) Ortocentro

e) Mediana

8. (ESAM) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta do lado oposto é denominada altura. O ponto de intersecção das três retas suportes das alturas do triângulo é chamado:

X

EXERCÍCIOS

a) O baricentro e o ortocentro.

b) O baricentro e o incentro.

c) O circuncentro e o incentro.

d) O circuncentro e o ortocentro.

e) O incentro e o ortocentro.

9. (CESESP) Dentre os quatro centros principais do triângulo qualquer, há dois deles que podem se situar no seu exterior, conforme o tipo de triângulo. Assinale a alternativa em que os mesmos são citados.

X

EXERCÍCIOS

3) C

4) B

5) D

6) E

7) D

8) D

9) D

Gabarito

Feliz dia das Crianças

Foto: Professor Ricardo nos seus primeiros anos de vida!!!