19
1 Prof. Lorí Viali, Dr. [email protected] http://www.ufrgs.br/~viali/ Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Coleção de números = estatísticas Coleção de números = estatísticas O número de carros vendidos no país O número de carros vendidos no país aumentou em 30%. aumentou em 30%. A taxa de desemprego atinge, este mês, A taxa de desemprego atinge, este mês, 7,5%. 7,5%. As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. Resultados do Carnaval no trânsito: 145 Resultados do Carnaval no trânsito: 145 mortos, 2430 feridos. mortos, 2430 feridos. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Estatística: Estatística: uma definição A ciência de coletar, organizar, apresentar, analisar e interpretar dados numéricos com o objetivo de tomar melhores decisões. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Estatística (divisão) Estatística (divisão) Descritiva Indutiva Os procedimentos usados para organizar, resumir e apresentar dados numéricos. A coleção de métodos e técnicas utilizados para estudar uma população baseado em amostras probabilísticas desta população. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística POPULAÇÃO POPULAÇÃO Uma coleção de todos os possíveis elementos, objetos ou medidas de interesse.

POPULAÇÃOeuler.mat.ufrgs.br/~viali/pg/material/laminaspime/Descri_6.pdf · 2 Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística CENSO Um

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11

Prof. Lorí Viali, [email protected]

http://www.ufrgs.br/~viali/Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Coleção de números = estatísticasColeção de números = estatísticas

� O número de carros vendidos no país O número de carros vendidos no país aumentou em 30%. aumentou em 30%.

�� A taxa de desemprego atinge, este mês, A taxa de desemprego atinge, este mês, 7,5%.7,5%.

�� As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. �� Resultados do Carnaval no trânsito: 145 Resultados do Carnaval no trânsito: 145

mortos, 2430 feridos.mortos, 2430 feridos.Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Estatística: Estatística: uma definição

A ciência de coletar, organizar, apresentar, analisar e interpretar dados numéricos com o objetivo de tomar melhores decisões.

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Estatística (divisão)Estatística (divisão)

Descritiva

Indutiva

Os procedimentos usados para organizar, resumir e apresentar dados numéricos.

A coleção de métodos e técnicas utilizados para estudar uma população baseado em amostras probabilísticas desta população.

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

POPULAÇÃOPOPULAÇÃO

Uma coleção de todos os possíveis elementos, objetos ou medidas de interesse.

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22

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

CENSOCENSO

Um levantamento efetuado sobre toda uma população é denominado de levantamento censitário ou simplesmente censo.

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

AMOSTRAAMOSTRA

Uma porção ou parte de uma população de interesse.

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

AMOSTRAGEMAMOSTRAGEM

O processo de escolha de uma amostra da população é denominado de amostragem.

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

PROBABILIDADEPROBABILIDADE(Matemática)(Matemática) Univariada

ESTATÍSTICAESTATÍSTICA(Matemática(Matemática

Aplicada)Aplicada)Multivariada

Trabalha com uma única característica dos

dados

Trabalha com duas ou mais características dos dados

POPULAÇÃO(Censo)

AMOSTRA(Amostragem)

InferênciaErro

PROBABILIDADE

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Estatística Descritiva

Probabilidade

Estatística Indutiva

Amostragem

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33

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Estatística x ProbabilidadeEstatística x Probabilidade

120Total1Total1761/662251/652541/642331/631821/621511/61

FreqüênciasFacesProbabilidadesFaces

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

ArredondamentoArredondamento

Todo arredondamento é um erro.

O erro deve ser evitado ou então minimizado.

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

ArredondamentoArredondamento

Regra básica:Arredondar sempre para o

mais próximo.

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

É ímpar

É parAumenta

Não aumenta

Exemplos:Exemplos:

1,456 1,46 1,454 1,45

1,475 1,48

1,485 1,48

VVAARRIIÁÁVVEEIISS

QUALITATIVASQUALITATIVAS

QUANTITATIVASQUANTITATIVAS

ORDINALORDINAL

NOMINALNOMINAL

DISCRETADISCRETA

CONTÍNUACONTÍNUA

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

NOMINAL

ORDINAL

SexoReligião

Estado civil Curso

ConceitoGrau de Instrução

MêsDia da semana

Variável QualitativaVariável Qualitativa

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44

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Variável QualitativaVariável Qualitativa

Número de faltasNúmero de irmãosNúmero de acertos

AlturaÁreaPeso

Volume

CONTÍNUA

DISCRETA

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

ESTATÍSTICA DESCRITIVAESTATÍSTICA DESCRITIVA

� Organização;

� Resumo; ☺ Apresentação.

Conjunto de dados: �Amostra

ou �População

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Um conjunto de dados é resumido de acordo com as seguintes características:

Tendência ou posição central

Dispersão ou variabilidadeAssimetria (distorção)

Achatamento ou curtose

Amostra ouPopulação

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central

(a) As médias

Si

mples

Aritmética

Geométrica

Harmônica

Quadrática

InternaProf. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

AAss médiamédias s

nnn...

x xxxxx ii

n ∑∑ ==

+++= 121

ni

nng xxxxm ... .. ∏== 21

=+++

=

=+++

=

xxxx

xxx

m

in

n

h

n ...

n

n

...

1111

1111

21

21

AritmétAritméticaica

HarmônicaHarmônica

GeométrGeométricaica

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55

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

A média QuadráticaA média Quadrática ee InternaInterna

nn... xxxxm in

q∑==

++=

2222

21

É a média aritmética só que aplicada sobre o conjunto onde uma parte dos dados (extremos) é descartada.

InternInternaa

QuadrátiQuadráticaca

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

4,84,954 6

1,8351 9

mhmgConjuntos xMédias

ExemploExemplo

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Relação entre as médiasRelação entre as médias

Dado um conjunto de dados qualquer, as médias aritmética, geométrica e harmônica mantém a seguinte relação:

mm hgx ≥≥Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central

(a) As médias

Ponderadas

Aritmética

Geométrica

Harmônica

Quadrática

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

AAss médiamédiass PonderadaPonderadass

∑=

=+++

+++=

wwx

wwwwxwxwxm

i

ii

k

kkap

.

.........

21

2211

Aritmética

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

AAss médiamédiass PonderadaPonderadass

∑=

=∑=

∏w w

w w ... .w.w

i ii

i kkgp

x

xxxm 2211

Geométrica

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66

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

AAss médiamédiass PonderadaPonderadass

+

=

=+++

+=

xww

xw

xw

xw

wwwm

i

i

i

k

k

kP

...h

2

2

1

1

21

Harmônica

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

(b) A mediana (median)

me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par

É o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos do mesmo tamanho.

me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar

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(c) Separatrizes

A idéia de repartir o conjunto de dados pode ser levada adiante. Se ele for repartido em 4 partes tem-se os QUARTIS, se em 10 os DECIS e se em 100 os PERCENTIS.

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(c) A moda (mode)

É o(s) valor(es) do conjunto que mais se repete(m).

Um conjunto pode ser unimodal,multimodal ou amodal.

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(a) A amplitude (h)

(b) O Desvio Médio (dma)

(c) A Variância (s2)

(d) O Desvio Padrão (s)

(e) A Variância Relativa (g2)

(f) O Coeficiente de Variação (s)

Dispersão ou VariabilidadeDispersão ou Variabilidade

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h = xmáx - xmín

(a) Amplitude (range)

Considere o conjunto:

-2 -1 0 3 5

h = 5 – (-2) = 7

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77

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(b) DMA (average deviation)

40,25

125

|4||2||1||2||3|n

|xx|dma i

==

=++++−+−+−=

=∑ −=

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(b) A variância (variance)

xxs ni2 22

−= ∑

ni

nn....

)xx(

)xx()xx()xx(s

∑ −

−−−

=

=+++

=

2

2222 21

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É a raiz quadrada da variância

xnx

n)xx(s 2

2i

2i −

∑=∑ −=

O Desvio Padrão (standard deviation)

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Se extrairmos a raiz quadrada teremos do resultado anterior teremos o desvio padrão:

61,280,6n

)xx(s i2

==∑ −=

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g2 = s2 / x 2

g = s / x

A Variância Relativa

O Coeficiente de Variação

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O coeficiente de variação do

exemplo anterior, será:

%77,2601

6077,2xsg ===

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88

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

De Grande Conjuntos de DadosDe Grande Conjuntos de Dados

Organização; Resumo eApresentação.

Amostra ou

População

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Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

.......................................

MaiorMenorTortoDesenho

MenorMaior DesenhoTortoLascadoLascadoEsmalteTortoEsmalteDesenhoLascadoTorto MaiorDesenhoMenorLascado

Defeitos em uma linha de produção

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100500TOTAL5,4027Trincado

11,4057Torto 16,6083Menor 14,0070Maior19,4097Lascado19,0095Esmalte14,2071Desenho%FreqüênciaDefeito

Distribuição de freqüências

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99

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SIMPLES

ACUMULADAS

Absoluta

Relativa

Absoluta

Relativa

Apresentação

FREQÜÊNCIAS Percentual

Apresentação

Percentual

Decimal

Decimal

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1,000,020,030,050,150,200,250,30fri

10023515202530fri

—20019619018015011060Fi

—100989590755530Fri

200TOTAL4665104303402501600fiValores

Freqüências - Representação

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

14%

20%

19%14%

7%

11% 5%

DesenhoEsmalteLascadoMaiorMenorTortoTrincado

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Número de dependentes dos funcionários daKapim S.A. – POA – 2004/01

01032112012234120114655111121314220111540113136110

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1010

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Distribuição de freqüências por ponto ou valores da variável: “Número de dependentes dos funcionários da Kapim Ltda.”Porto Alegre - 2004/01.

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

50∑∑∑∑

263544538221170

FuncionáriosDependentes

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Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Diagrama de colunas simples da

variável: “Número de dependentes

dos funcionários da Kapim Ltda.”

Porto Alegre - 2004/01.

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6

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1111

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Neste caso, a média a dada por:

nx.f

f...ffx.f...x.fxfx ii

k21

kk2211 ∑=++++++

=

A média Aritmética

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EXEMPLO

9550∑∑∑∑

1226153516441553168221211070

fixifixi

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A média será, então:

dependente 90,15095

n.

x xf ii === ∑

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1212

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

xnxf

n)xx(f

n)xx(f....)xx(f)xx(fs

22ii

2i

2k

22

22

i

k211

−∑=∑ −=

=−++−+−=

Neste caso, a variância será:

(A) A Variância (s2)

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EXEMPLO

29950∑∑∑∑

62.2 = 722652.3 = 753542.4 = 644432.5 = 455322.8 = 3282

12.21 = 2121102.7 = 070

fixi2fixi

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

A variância será, então:

dependente

90,1xxfs

2

22i2i2

3700,2

50299

n

=

=−=−=∑

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O desvio padrão será dado por:

1,54 1,5395

3700,2n

s xxf 22ii

≅=

==−= ∑

(B) O Desvio Padrão (s)

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Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:

%03,8190,1

539480,1g ==

(C) O Coeficiente de Variação (g)

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1313

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Idade (em meses) dos alunos da turma G da disciplina: Probabilidade e EstatísticaUFRGS - 2004/01

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

276 245 345 240 270 310 368

334 268 288 336 299 236 239 355 330

287 344 300 244 303 248 251 265 246

240 320 308 299 312 324 289 320 264

252 298 315 255 274 264 263 230 303

369 247 266 275 281 230 234

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Distribuição por classes ou intervalos da variável “idade dos alunos da turma G” da disciplina: Probabilidade e Estatística da UFRGS - 2004/01

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50Total3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 27012230 |--- 250

Número de alunosIdades

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1414

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Histograma de freqüências da

variável “Idade dos alunos da

turma G” de Probabilidade e

Estatística da UFRGS - 2004/01

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

2 3 0 | - - - 2 50 2 50 |- - - 2 70 2 70 | - - - 2 9 0 2 9 0 | - - - 3 10 3 10 | - - -3 3 0 3 3 0 |- - - 3 50 3 50 |- - - 3 7 0

f i / hi

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Antes de apresentar as medidas, i. é, representantes do conjunto, é necessário estabelecer uma notação para alguns elementos da distribuição.

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

xi = ponto médio da classe;

fi = freqüência simples da classe;

lii = limite inferior da classe;

lsi = limite superior da classe;

hi = amplitude da classe.

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1515

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PONTO MÉDIO DA CLASSE

—50∑

3603350 |--- 3703405330 |--- 3503206310 |--- 3303007290 |--- 3102808270 |--- 2902609250 |--- 27024012230 |--- 250xifix

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MÉDIA DA DISTRIBUIÇÃO

5035678912fi

360340320300280260240xi

142601080170019202100224023402880fi. xi

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A média será:

meses 20,28550

14260n

x.f x ii ==∑=

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

xnxf

n)xx(f

n)xx(f....)xx(f)xx(fs

22ii

2i

2k

22

22

i

k211

−∑=∑ −=

=−++−+−=

Neste caso, a variância será:

(A) A variância (s2)

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1616

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50356789

12fi

360340320300280260240xi

4 138 0003.3602 = 3888005.3402 = 5780006.3202 = 6144007.3002 = 6300008.2802 = 6272009.2462 = 608400

12.2402 = 691200 fi. xi

2

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A variância será, então:

meses 420,961

20,28550

4138000

xnxfs

2

2

22i2 i

=

=−=

=−∑=

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O desvio padrão será dado por:

meses 37,70 37,6956

96,1420xnxfs 2

2ii

≅=

==−∑=

(B) O Desvio Padrão (s)

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Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:

%22,1320,285

695623,37g ==

(C) O Coeficiente de Variação (g)

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SkewnessProf. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Primeiro Coeficiente ( de Pearson)

a1 = (Média - Moda) / Desvio Padrão

Segundo Coeficiente ( de Pearson)

a2 = 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão

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1717

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Coeficiente Quartílico

CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)

Coeficiente do Momento

a3 = m3/s3, onde m3 = Σ(Σ(Σ(Σ(X - )3/nx

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Coeficiente = 0 Conjunto Simétrico

Provão 2000Curso: Odonto

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Coeficiente < 0Conjunto: Negativamente Assimétrico

Provão 2000Curso: Jornalismo

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Coeficiente > 0Conjunto: Positivamente Assimétrico

Provão 2000Curso: Eng. Elétrica

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(Kurtosis)

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Coeficiente de Curtose (momentos)

xa4 = m4/s4, onde m4 = Σ(X - )4/n

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1818

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Coeficiente = 3 ou 0Conjunto: Mesocúrtico

Provão 2000Curso: Odonto

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Coeficiente > 3 ou (> 0)Conjunto: Leptocúrtico

Provão 2000Curso: Matemática

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Coeficiente < 3 ou (< 0)Conjunto: Platicúrtico

Provão 1999Curso: Eng. Civil

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Seja “x” um conjunto de dados com média: e desvio padrão sX, e seja y = ax + b, então:

x

sssas

yy

2x

22y

.|a|= .3.= 2.

b+xa.=y .1

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1919

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Seja “x” um conjunto de dados com média: e desvio padrão s, então:

x

P(|x - | ≥ k.s) ≤ 1/k2xou

P(|x - | < k.s) ≥ 1-1/k2xProf. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Se “x” é um conjunto de dados simétrico e unimodal com média e desvio padrão s, então:

x

P(|x - | ≥ k.s) ≤ 4/9k2x